conjuntos numericos

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Matemática Nivelamento 2 
NIVELAMENTO DE MATEMÁTICA 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
APRESENTAÇÃO, 4 
1. Conjuntos numéricos, 5 
 1.1 Conjunto dos números naturais, 5 
 1.2 Conjunto dos números inteiros, 6 
 1.3 Conjunto dos números racionais, 7 
 1.4 Conjunto dos números irracionais, 9 
 1.5 Conjunto dos números reais, 9 
 1.6 Conjunto dos números complexos, 10 
2. Reta real e intervalos, 12 
 2.1 Reta real, 12 
 2.2 Módulo ou valor absoluto de um número, 12 
 2.3 Números opostos ou simétricos, 12 
 2.4 Intervalos, 13 
2.5 Operações com intervalos, 15 
3. Operações com números reais, 16 
 3.1 Adição e subtração, 16 
 3.2 Multiplicação e divisão, 17 
 3.3 Potenciação, 19 
 3.3.1 Propriedades da potenciação, 19 
 3.4 Radiciação, 23 
 3.4.1 Propriedades da radiciação, 24 
 3.4.2 Radicais semelhantes, 25 
 3.4.3 Operações com radicais, 25 
 3.4.4 Notação científica, 27 
4. Expressões Algébricas, 29 
 4.1 Valor numérico de uma expressão algébrica, 29 
 4.2 Monômios, 29 
 4.2.1 Monômios semelhantes, 30 
Matemática Nivelamento 3 
 4.2.2 Operações com monômios, 30 
4.3 Polinômios, 31 
 4.3.1 Polinômio a uma variável, 32 
 4.3.2 Operações com polinômios, 32 
5. Produtos Notáveis e fatoração, 37 
5.1 Produtos notáveis, 37 
5.2 Fator comum, 38 
 5.3 Fatoração por agrupamento, 40 
 5.4 Fatoração de produtos notáveis, 41 
Referências Bibliográficas, 44 
 
Matemática Nivelamento 4 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Alguns alunos que ingressam nos cursos superiores apresentam dificuldades em 
algumas disciplinas da graduação por não terem pré-requisitos básicos necessários para os 
estudos que elas propõem. Muitas vezes as dificuldades são em relação a conteúdos 
básicos estudados no Ensino Fundamental e no Ensino Médio e que ainda não são de 
domínio do aluno. 
Assim, a proposta do Nivelamento de Matemática, Módulo 1, é revisar conceitos 
básicos de Matemática estudados no ensino fundamental e médio que permitam aos alunos 
melhor acompanhar os conteúdos abordados nas disciplinas de seus cursos de graduação. 
O objetivo e oportunizar a compreensão de conceitos, procedimentos e estratégias 
matemáticas que permitam desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação 
científica geral. 
 
Matemática Nivelamento 5 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Ao longo do ensino fundamental e médio, você já conheceu os conjuntos 
numéricos que vamos apresentar abaixo. O primeiro deles, o conjunto dos números 
naturais, você certamente conheceu inclusive antes de estar na escola, pois os números 
naturais são utilizados em muitas situações cotidianas nas quais mesmo crianças muito 
pequenas estão envolvidas. Um exemplo: situações de contagem (de anos, de brinquedos, 
etc.). 
Ainda no início do ensino fundamental, você conheceu as frações e os números 
decimais, que pertencem ao conjunto dos números racionais. Nesse primeiro momento, 
as frações e os decimais eram apenas positivos, pois só mais tarde (pela 6ª série/7º ano) 
você deve ter estudado o conjunto dos números inteiros. É a partir do estudo dos 
números inteiros que passamos a compreender que os números podem ser positivos, 
negativos ou zero. 
No final do ensino fundamental, 7ª e 8ª séries (8º e 9º anos), você conheceu o 
conjunto dos números irracionais (que compreende os números não-racionais, ou seja, 
aqueles que não podem ser escritos na forma de fração com numerador e denominador 
inteiros) e o conjunto dos números reais (que consiste na união entre o conjunto dos 
números racionais e o conjunto dos números irracionais). 
No ensino médio, você deve ter conhecido mais um conjunto, denominado 
conjunto dos números complexos, que contém o conjunto dos números reais e que define 
a unidade imaginária i, onde i = 1− . 
 
1.1 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS 
Os números naturais servem para contar. 
O símbolo utilizado para representar o conjunto dos números naturais é . 
O conjunto dos números naturais possui infinitos elementos que podem ser 
ordenados. 
Assim, podemos representá-lo por = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}. 
Matemática Nivelamento 6 
 
 
1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS 
Os números inteiros são utilizados em diversas situações, por exemplo: 
a) Saldo de gols: a diferença entre o número de gols contra e o número de gols a favor 
de um time de futebol. Assim, se o time tem mais gols contra, seu saldo é negativo; 
se ele tem mais gols a favor, seu saldo é positivo; se ele tem o mesmo número de 
gols contra e a favor, seu saldo é nulo. 
b) Fuso-horário: O Meridiano de Greenwinch estabelece a linha imaginária de 
referência a partir da qual a leste é + 1 hora a cada fuso e a oeste é –1 hora a cada 
fuso. Assim, o Brasil está no fuso -3 horas, enquanto Tóquio no Japão está no fuso 
+9 horas, por isso a tão celebrada diferença de 12 horas entre esses dois países. 
c) Temperatura: Existem diferentes escalas para expressar a temperatura. Por 
exemplo, a escala Celsius que, grosso modo, tem como referência 0°C (zero graus 
Celsius) para a temperatura ponto de congelamento da água e 100ºC (cem graus 
Celsius) para a temperatura ponto de evaporação da água em situação de pressão 
atmosférica padrão. Essa é a escala utilizada no Brasil para medir a temperatura 
ambiente. Em geral as temperaturas são positivas, mas no inverno, especialmente 
na região sul, há dias nos quais as temperaturas estão abaixo de zero. 
 
Matemática Nivelamento 7 
Uma característica importante dos números inteiros é que eles expressam os 
resultados de todas as diferenças entre dois números naturais. Por exemplo: 
25 – 15 = 10 (diferença positiva) 
15 – 25 = –10 (diferença negativa) 
15 – 15 = 0 (diferença nula) 
Outra característica é que os números inteiros podem ser de três tipos: positivos, 
negativos ou zero. 
 
O símbolo utilizado para representar o conjunto dos números inteiros é . Apesar 
das brincadeiras de justificar que z vem de “zinteiros”, acredita-se que a escolha desta letra 
venha da palavra zahl que em alemão significa número. 
Como os naturais, os números inteiros também podem ser ordenados. 
A representação do conjunto é dada por = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}. 
E ainda temos alguns subconjuntos que recebem notação especial: 
= {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros não-nulos 
+ = {0, 1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros não-negativos 
–
 = {..., –3, –2, –1, 0}: conjunto dos números inteiros não-positivos 
= {1, 2, 3, ...}: conjunto dos números inteiros positivos 
 = {..., –3, –2, –1}: conjunto dos números inteiros negativos 
Observação: O asterisco (*) exclui o zero do conjunto. 
 
1.3 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS 
Os números racionais servem para representar a razão entre dois números inteiros. 
Esses números estão associados aos processos de medição, pois medir consiste na 
comparação de duas grandezas de mesmo tipo. 
Os números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma 
b
a
, 
com a e b inteiros e b diferente de zero. 
O símbolo utilizado para o conjunto dos números racionais é , podendo ser 
assim representado: 
Matemática Nivelamento 8 
 
Observações: 0≠b , porque não existe divisão por zero. 
 
Exemplos de números racionais: 
2
1
 
3
2
 
5
12
− são números racionais na forma fracionária 
2,4 0,666... –0,5 são números racionais na forma decimal 
 
Vejam que na forma decimal os números racionais podem ser decimais exatos ou 
dízimas periódicas. 
Os decimais exatos são aqueles números decimais que possuem um número finito 
de casas decimais. Por exemplo: 
8
5
= 0,625 
4
1
= 0,25 
2
5
− = –2,5 
As dízimas periódicas são aqueles números decimais que possuem um ou mais 
algarismos (período) quese repete infinitamente. Por exemplo: 
9
1
= 0,11111... período 1 
6
17
= 2,833333... período 3 
11
25
− = –2,272727... período 27 
A fração que gera uma dízima periódica é chamada geratriz. 
Abaixo alguns subconjuntos do conjunto dos números racionais que recebem 
notação especial: 
 conjunto dos números racionais não-nulos 
+ conjunto dos números racionais não-negativos 
 conjunto dos números racionais não-positivos 
 
conjunto dos números racionais positivos 
 conjunto dos números racionais negativos 
Observação: O asterisco (*) exclui o zero do conjunto. 
 
 
Matemática Nivelamento 9 
1.4 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 
São aqueles que não admitem a representação na forma de fração com numerador e 
denominador inteiros e na forma decimal são dízimas não-periódicas. 
Por exemplo: a medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1 unidade de 
medida. 
 
Utilizando o teorema de Pitágoras, temos que: 
2d
2d
11d
11d
2
2
222
=
=
+=
+=
 
Com o auxílio de computadores, o valor decimal de 2 já foi calculado com 
milhares de casas e não há nenhuma repetição periódica como é característica dos números 
irracionais. 
2 = 1, 414213562373... 
 
Um outro exemplo: o famoso número pi (pi). 
O número pi é o obtido pela razão entre o comprimento de uma circunferência (C) 
pelo seu diâmetro (d). 
 
 
Então, pi = 
d
C
. 
Na forma decimal, pi = 3,141592654... 
 
Outros exemplos de números irracionais: 11 5 3 −,, ,... 
 
1.5 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
Conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais e do 
conjunto dos números irracionais.
 
O símbolo utilizado para o conjunto dos números reais é . 
Resumindo, podemos relacionar os conjuntos estudados no diagrama abaixo: 
Matemática Nivelamento 10 
 
 
Lê-se: está contido em , está contido em e está contido em . 
 
 Lê-se: menos . Essa diferença representa o conjunto dos números 
irracionais que não possuem um símbolo próprio. 
 
As notações a seguir representam alguns subconjuntos do conjunto dos números 
reais: 
* 
= conjunto dos números reais não-nulos 
+ = conjunto dos números reais não-negativos 
−
 = conjunto dos números reais não-positivos 
*
+ = conjunto dos números reais positivos 
*
−
 = conjunto dos números reais negativos 
Observação: O asterisco (*) exclui o zero do conjunto. 
 
1.6 CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS 
Os números complexos são números escritos na forma z = a + bi, com a e b 
números reais e i = 1− (chamada unidade imaginária). 
O símbolo utilizado para o conjunto dos números complexos é . 
Podemos representar o conjunto dos números complexos por: 
 = {z = a + bi | a ∈ , b ∈ * e i = 1− } 
a é denominada parte real e bi é denominada parte imaginária. 
 
Considerando um número z = a + bi em sua forma algébrica: 
Se b = 0, z é um número real, pois z = a + 0i ⇒ z = a. 
Se b ≠ 0, z é um número imaginário, pois z = a + bi. 
Matemática Nivelamento 11 
Se a = 0 e b ≠ 0, z é um número imaginário puro, pois z = 0 + bi ⇒ z = bi. 
 
Exemplos de números complexos: 
2 + 3i –1 + i –5i 8 
Podemos concluir que ⊂ (lê-se: está contido em )