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FÍSICA - ONDAS, ELETRICIDADEFÍSICA - ONDAS, ELETRICIDADE
E MAGNETISMOE MAGNETISMO
ONDULATÓRIA -ONDULATÓRIA -
REVISÃO DEREVISÃO DE
TRIGONOMETRIA,TRIGONOMETRIA,
OSCILAÇÕES E ONDASOSCILAÇÕES E ONDAS
Autor: Me. Hugo M. Vasconcelos
Revisor : Rosa lvo Miranda
IN IC IAR
introdução
Introdução
Quando deslocamos um sistema de seu equilíbrio estável, forças ou torques
tendem a restaurar este equilíbrio, fazendo com o que os corpos entrem em
movimento oscilatório. Na ausência de atrito, essa oscilação continuaria para
sempre. Contudo, devido às condições enfrentadas pelos objetos, a condição
de equilíbrio é restabelecida. Você conhece algum sistema oscilante? Sabe
identi�car os elementos que descrevem esse sistema? Consegue descrever a
propagação de uma onda e suas possíveis interferências umas com as outras?
Fenômenos do tipo periódico estão presentes em diversas aplicações de
Engenharia, como osciladores, corrente elétrica, dentre outros. Atualmente,
tem-se estudado muito sobre o aproveitamento da energia das ondas
marítimas. A forma como as ondas propagam-se ao longo de grandes
distâncias cria uma enorme área de energia aproveitável.
A trigonometria é umas das áreas do conhecimento humano mais antigas. A
necessidade de determinar posições e distâncias, por exemplo, sempre foi
uma questão interessante para a humanidade. Observar a posição dos astros
celestes e a relação entre estes foi um importante campo de estudos de
desenvolvimento para a astronomia. Já aplicações que envolvem a agricultura
também fomentaram o desenvolvimento desse campo da Matemática, bem
como as navegações.
Classi�icação de Triângulos e
Teorema de Pitágoras
Um triângulo pode ser de�nido como uma �gura plana, a qual contém três
lados. Estes podem ser classi�cados em função dos lados, como equilátero,
isósceles e escalenos, conforme vemos na representação da Figura 1.1:
TrigonometriaTrigonometria
Em função dos ângulos, os triângulos podem, ainda, ser classi�cados como
obtusângulos (um ângulo interno maior do que 90º - ângulo obtuso),
acutângulos (três ângulos internos menores do que 90º - ângulos agudos) ou
retângulos (um ângulo interno igual a 90º - ângulo reto).
Ângulos adjacentes são aqueles que possuem o mesmo vértice e um lado
comum, conforme a Figura 1.2:
Figura 1.1 - Classi�cação dos triângulos quanto aos ângulos 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Daremos uma atenção especial ao triângulo retângulo. É possível perceber
que qualquer um dos triângulos – equilátero, isósceles ou escaleno – pode ser
dividido em triângulos retângulos e, em muitas situações, a resolução de
problemas �ca bastante simpli�cada.
Como já dissemos, um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo
reto, ou seja, um ângulo igual a 90º, conforme vemos na Figura 1.3:
Figura 1.2 - Os ângulos α e β são adjacentes, pois possuem o mesmo vértice A
e dividem a mesma semirreta AC
_
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 1.3 - Representação de um triângulo retângulo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Note que, no triângulo retângulo, A, B, e C representam os vértices, enquanto
que a, b, e c representam os lados do triângulo, em que o lado maior é
chamado de hipotenusa, e os demais de catetos.
Pitágoras descobriu que a soma da área dos quadrados menores (azul e
verde),  formados pelos lados a e c de um triângulo retângulo, é igual à área
do quadrado maior (amarelo) de lado b. Em outras palavras, a soma do
quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Isto é o que
chamamos de Teorema de Pitágoras, conforme ilustrado na Figura 1.4:
Matematicamente, escrevemos que:
a2 + c = b2
Círculo Trigonométrico
Em trigonometria, o círculo trigonométrico é utilizado para relacionar o
sistema angular com os números reais. Na Figura 1.5, uma ilustração é feita
para essa relação, que também é útil para representar valores de seno e
cosseno.
Figura 1.4 - Teorema de Pitágoras 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observe que, no círculo, não apenas há a representação dos ângulos,
variando de 0 até 360o, mas também o equivalente em radianos, que varia de
0 até 2π, que equivale a 180o.
O radiano (1 rad) é de�nido como a medida do ângulo central, cujo arco
correspondente representa o mesmo comprimento (C) do raio (R) da
circunferência, conforme Figura 1.6:
Figura 1.5 - Círculo trigonométrico, em que o eixo x representa o cosseno do
ângulo, e o eixo y representa o seno 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 1.6 - De�nição do conceito de radiano no círculo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Note que o comprimento dado pelo arco AB é igual ao raio R. Além disso,
podemos determinar uma relação entre um ângulo α e rad da seguinte
maneira:
α = C /R
Funções Trigonométricas
Iniciamos nossos estudos sobre trigonometria. Agora, vamos conhecer
algumas características mais detalhadas das funções trigonométricas, como
domínio, imagem e grá�co.
A função seno é dada por f(x) = sen(x).
Na Figura 1.7, é possível notar que seu comportamento repete-se a cada
intervalo 2π, ou seja, é uma função periódica, com período 2π. Além disso,
trata-se de uma função ímpar, uma vez que é simétrica em relação à origem,
ou seja, f(−x) = f(x).
Figura 1.7 - Grá�co da função f(x) = sen(x)
Fonte: Elaborada pelo autor.
A função cosseno é dada por f(x) = cos (x), conforme o grá�co da Figura 1.8:
Figura 1.8 - Grá�co da função f(x) = cos(x)
Fonte: Elaborada pelo autor.
É possível notar que seu comportamento repete-se a cada intervalo 2π, ou
seja, é uma função periódica, com período 2π. Além disso, trata-se de uma
função par, uma vez que é simétrica, em relação ao eixo y, ou seja,
f(−x) = − f(x). Perceba, também, que esta é defasada, com relação à função
seno em π /2.
praticar
Vamos Praticar
Um eletricista está realizando um reparo na instalação elétrica de um prédio. Para
atingir pontos altos, ele utiliza uma escada que possui 4 m de comprimento. Em um
dado instante, o eletricista precisou fazer um reparo em uma �ação localizada no
teto do apartamento. Considerando que o menor ângulo que a escada pode ter, em
relação à parede, para garantir segurança ao eletricista, é de 20o, qual deve ser a
altura máxima do teto, para que o eletricista consiga atingir?
a) 1,45 m.
b) 1,36 m.
c) 3,00 m.
d) 3,75 m.
e) 4,50 m.
Você, com certeza, já viu uma mola. É um objeto bem familiar, que pode ser
utilizado para diversos �ns, como na composição dos botões de seleção de
componentes eletrônicos, nos sistemas de suspensão de automóveis ou até
em colchões. Esta pode ser utilizada tanto esticada quanto comprimida.
Contudo, você sabe o que acontece quando movimentamos uma mola?
Inicialmente, esta está em equilíbrio. Quando esticamos ou comprimimos-na,
exercemos uma força paralela ao seu comprimento. Mas o que acontece
depois? A mola �ca oscilando? Será que é possível descrever essas oscilações,
matematicamente? E mais: será que esse movimento é característico somente
das molas? Observe ao seu redor. Existem vários movimentos que se repetem
ou oscilam, como o pêndulo de um relógio antigo, as vibrações de uma corda
de violão ou o som de um clarinete.
Oscilador Harmônico Simples
Oscilações -Oscilações -
MovimentoMovimento
Harmônico SimplesHarmônico Simples
A oscilação é o que ocorre quando um sistema em equilíbrio estável,
conforme a Figura 1.9, é perturbado, produzindo um movimento de vai e vem,
até retornar à posição de equilíbrio. 
Um modelo do movimento harmônico simples é o sistema massa-mola.
Considere um bloco de massa m preso à uma mola, como ilustrado na Figura
1.10. Quando o bloco move-se para a direita, a força age para restaurar no
sentido oposto (esquerda), levando o bloco para a posição de equilíbrio x = 0,
ou seja, sempre que o bloco estiver na posição de equilíbrio, a força
restauradora será nula. 
Figura 1.9 - Ilustração do equilíbrio estável 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Figura 1.10 - Um sistema massa-mola em uma superfície sem atrito 
Fonte: Serway e Jewett (2011, p. 5).
Em muitos sistemas, a força restauradorasurge, quando deslocamos o
sistema do equilíbrio, de modo que a força é proporcional ao deslocamento,
conforme descrito na equação (1).
F(x) = − kx (1)
Sendo x o deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio, e k a
constante elástica da mola que, no Sistema Internacional (SI), possui unidade
de newton por metro (N /m). Em um movimento harmônico simples, a força é
proporcional ao deslocamento. Como a força é restauradora, veri�camos a
existência de um sinal negativo. Assim, toda vez que uma força age em um
sentido, o deslocamento age no sentido oposto, de modo a restaurar a
posição de equilíbrio.
Partícula em Movimento Harmônico Simples
O modelo discutido na seção anterior pode ser descrito como uma partícula
em movimento harmônico simples. Podemos aplicar a segunda Lei de
Newton, ao sistema massa-mola, escolhendo o eixo x como referência, ao
longo do qual ocorre a oscilação. Então:
F = ma = − kx (2)
Lembrando que, por de�nição, a = dv /dt = d2 x /dt2 , podemos escrever:
m 
d2x
dt2
= − kx (3)
Que podemos reescrever como:
d2x
dt2
= −
k
m
x (4)
A qual chamamos a razão k /m de ω2, assim, ω2 = k /m e a equação toma a
forma:
d2x
dt2
= − ω2 x (5)
A solução deve ser do tipo periódica. A equação da posição x(t) deve satisfazer
a equação diferencial de segunda ordem, bem como possuir a representação
matemática da posição da partícula como uma função do tempo. As funções
trigonométricas seno e cosseno exibem este comportamento. Sendo assim,
podemos nos basear nessas funções, para encontrar a nossa solução.
No tempo inicial (t = 0), puxamos o corpo de massa m e, depois, soltamos.
Como o movimento inicial tem um deslocamento não nulo, a função cosseno
é mais apropriada que a função seno, já que cos(00) = 1. Logo, a solução é
dada por:
x(t) = A cos (ωt + Φ) (6)
A é a amplitude máxima do movimento a partir do equilíbrio; Φ é a constante
de fase, apresentando o deslocamento da curva do cosseno para a direita
(Φ < 0) ou para a esquerda (Φ > 0).
A função x(t) é periódica, ou seja, sua forma repete-se a cada período de
oscilação T. A função cosseno completa um ciclo a cada 2π (em radianos), isto
é, 360o (em graus). O argumento da função cosseno é ωt, o qual pode variar
de 0 até 2π, e o tempo pode variar de 0 até 2π. Logo:
ωT = 2π (7)
ou seja,
T = 2π /ω (8)
conforme representação na Figura 1.11: 
Figura 1.11 - Representação grá�ca do movimento harmônico simples  a)
Φ < 0 b) Φ = 0
Fonte: Serway e Jewett (2011, p. 6).
De�nindo a frequência como o inverso do período, ou seja, o número de
oscilações por unidade de tempo, podemos escrever:
f =
1
T
=
ω
2π
=
1
2π√ km (9)
Podemos, também, escrever a frequência angular ω em termos de f ou T.
Assim:
ω = 2πf =
2π
T
 (10)
A diferença entre estas é igual a 2π. Tendo a frequência de oscilação da
unidade de medida em Hz, e a frequência angular ω da unidade de rad /s no
sistema internacional.
Também podemos obter a velocidade e a aceleração da partícula no
movimento harmônico simples a partir da posição, como ilustrado na Figura
1.12. Para simpli�car, vamos considerar que a constante de fase ϕ = 0. Logo:
x(t) = Acos(ωt) (11)
v(t) =
dx
dt
= − ωAsen(ωt) (12)
a(t) =
d2x
dt2
= − ω2Acos(ωt) (13)
Ou seja, a velocidade e a aceleração não são constantes, mas variam entre
valores máximos e mínimos, no decorrer do tempo. Como as funções seno e
cosseno variam entre −1 e +1, os valores máximos da velocidade e da
aceleração, em módulo, são:
vmax = ωA = A√ km (14)
amax = ω
2A = A
k
m
 (15)
O oscilador harmônico simples não é apenas um movimento vibratório, mas
também um tipo muito especí�co de movimento, o qual é determinado pelas
equações que acabamos de estudar. 
Figura 1.12 - Descrição do MHS de uma partícula com relação ao (a)
deslocamento x(t), com uma constante de fase Φ igual a zero 
Fonte: Halliday (2016, p. 91).
O período T corresponde a uma oscilação completa; (b) a velocidade v(t)  da
partícula; e (c) a aceleração a(t) da partícula.
Energia no Movimento Harmônico
Simples
Assim, como um objeto cai na superfície da Terra, devido ao potencial
gravitacional, uma mola também tem energia potencial, quando é
comprimida ou esticada. É a energia potencial elástica .
Ao deslocar o sistema massa-mola do equilíbrio, você realiza o trabalho, que é
convertido em energia potencial na mola. Quando o objeto é deslocado por
uma distância x, a partir da posição de equilíbrio x = 0, a mola é contraída
para levar o objeto de volta à posição inicial. Quando o objeto passa pela
posição de equilíbrio, este possui energia cinética máxima e nenhuma energia
potencial. A partir daí, o corpo passa pelo ponto de equilíbrio, ganhando
energia potencial, bem como comprimindo a mola.
Vamos considerar um objeto que desliza sobre uma superfície sem atrito.
Também vamos desprezar a resistência do ar. Nesse sistema, o processo
continua inde�nidamente. Em um movimento oscilatório, a energia está
continuamente sendo transferida nas formas de energia potencial e energia
cinética.
Para um sistema massa-mola, a energia potencial é dada por:
U =
1
2kx
2 (16)
Podemos ilustrar, na Figura 1.13, explicitamente, essa troca entre a energia
potencial e a energia cinética no movimento harmônico simples, pois basta
substituir a dependência da posição (amplitude) x, em relação ao tempo na
expressão da energia potencial, e a velocidade na expressão da energia
cinética. 
Figura 1.13 - Ilustração da variação da Energia Potencial (azul), Energia
Cinética (verde) e Energia Total (linha pontilhada), com a variação da
amplitude de oscilação da partícula 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fazendo isso, encontramos:
U =
1
2
kx2 =
1
2
k(Acos(ωt))2 =
1
2
kA2(ωt) (17)
K =
1
2kv
2 =
1
2m(−ωAsen(ωt))
2 =
1
2mω
2A2sen2(ωt) =
1
2kA
2sen2(ωt) (18)
Consideramos que ω2 = k /m. Ambas as energias têm o mesmo valor máximo
1
2kA
2, mas a energia potencial é máxima, quando a energia cinética é zero e
vice-versa.
O que podemos dizer sobre a energia total do sistema? É dada por:
E = U + K =
1
2
kA2(ωt) +
1
2
kA2sen2(ωt) =
1
2
kA2 (19)
Como resultado, encontramos que, apesar da energia cinética K e de a
energia potencial U variarem no tempo, sua soma – a energia total do sistema
– não muda, isto é, a energia total do sistema é conservada.
Movimento Harmônico Simples e
Movimento Circular Uniforme
Existem alguns dispositivos bastantes conhecidos, os quais apresentam uma
relação entre o movimento oscilatório e o movimento circular. Os pistões de
um motor de automóvel, por exemplo, movem-se para cima e para baixo, em
um movimento oscilatório, que é resultado do movimento circular das rodas.
Nas antigas locomotivas, o eixo de acionamento vai e volta, também, de
forma oscilatória, gerando o movimento circular. Esse movimento de vai e
vem aparente é apenas um componente do movimento circular real e tem
uma forma senoidal.
Especi�camente, o vetor posição r de qualquer objeto em movimento circular
faz um ângulo que aumenta linearmente com o tempo: θ = ωt, em que
medimos θ em relação ao eixo x. Quando o objeto está sobre o eixo x, temos
t = 0. Logo, as duas componentes (polares) do objeto:
x = r cosθ y = r senθ
tornam-se:
x(t) = rcoscos (ωt) y(t) = r sen (ωt)
Essas são as equações para dois osciladores harmônicos simples diferentes:
um na direção x, e outro na direção y. Já que um oscilador é o cosseno e o
outro é seno, estes estão com uma diferença de fase (defasagem) de 90o ou
π /2.
Podemos pensar, portanto, que o movimento circular uniforme é o resultado
de movimentos harmônicos simples perpendiculares, com mesma amplitude
e frequência, mas com 90o de diferença de fase. Isso ajuda-nos a entender
porque usamos o termo frequência angular para o movimentoharmônico
simples, mesmo sabendo que não há nenhum ângulo envolvido no sistema.
O argumento ωt na descrição do movimento harmônico simples é o mesmo
que aparece no ângulo θ da correspondência angular. O tempo para que
ocorra um ciclo no movimento harmônico simples é o mesmo tempo de
revolução no movimento circular, tal que os valores de Te ω são exatamente
os mesmos.
É possível veri�car que os movimentos harmônicos simples perpendiculares,
com mesma amplitude e frequência, somam-se vetorialmente para produzir o
movimento circular. Se as amplitudes ou frequências não são as mesmas, os
movimentos tornam-se mais complexos.
Pêndulo Simples
Um pêndulo simples consiste em uma partícula de massa m, suspensa por
um �o inextensível e de massa desprezível, com comprimento L. Quando a
partícula é afastada de sua posição de equilíbrio e liberada em seguida, o
pêndulo oscilará em um plano vertical, sob a ação da gravidade, como mostra
a Figura 1.14: 
As forças que atuam sobre a partícula de massa m são tensão do �o T e  força
gravitacional mg, que pode ser decomposta em duas componentes: uma
tangencial ao movimento, de módulo mgsenΦ; e outra radial, de módulo
mgcosΦ.
A componente tangencial é uma força restauradora, pois tende a trazer a
partícula para sua posição de equilíbrio, a mais baixa do pêndulo. Essa força
age sempre contrariamente ao movimento da partícula. Aplicando a lei de
Newton, na direção tangencial, temos:
m
d2s
dt2
= ma = − mgsenΦ (20)
O comprimento do arco $s$ está relacionado ao ângulo θ por:
s = LΦ
Derivando ambos os lados dessa relação, encontramos:
d2x
dt2
= L
d2Φ
dt2
Substituindo esse resultado na equação (1), temos:
Figura 1.14 - Forças que atuam em um pêndulo simples 
Fonte: Tipler (2009, p. 477).
d2θ
dt2
= −
g
L
senΦ
Para ângulos pequenos:
senΦ ≈ Φ
e podemos escrever:
d2Φ
dt2
= −
g
L
Φ Φ ≪ 1
Logo, temos a mesma equação, que descreve o movimento de um objeto
ligado a uma mola, isto é, uma equação de movimento harmônico simples.
Para pequenos deslocamentos angulares, a representação grá�ca do
movimento do pêndulo simples é semelhante ao padrão sinusoidal para o
movimento harmônico simples. Analogamente, sua solução é:
Φ = Φmaxcoscos (ωt + ϕ) (21)
reflita
Re�ita
Percebeu que a massa m não aparece
nesta equação �nal? Isso signi�ca que
o movimento do pêndulo não
depende dela. Re�ita sobre este fato.
θmax é a amplitude do movimento ou posição angular máxima, e a frequência
angular do pêndulo é dada por:
ω =√gL (22)
Portanto, o período do movimento para pequenas oscilações é:
T =
2π
ω
= 2π√Lg (23)
O período e a frequência angular do pêndulo simples, oscilando em ângulos
pequenos, dependem apenas do comprimento do �o e da aceleração da
gravidade. 
saibamais
Saiba mais
Você pode estudar as oscilações em um
pêndulo formado por um corpo rígido
qualquer, em que o corpo oscila em um
plano vertical, em torno de um eixo que
passa pelo corpo.
ACESSAR
Oscilador Harmônico Amortecido
https://pt.khanacademy.org/science/physics/mechanical-waves-and-sound/harmonic-motion/v/pendulum
Em um movimento harmônico simples, como pode ser veri�cado na Figura
1.15, um objeto oscila com amplitude constante. Isso ocorre porque não há
nenhum mecanismo de dissipação de energia. Na realidade, o atrito ou algum
outro mecanismo de dissipação de energia (por exemplo, a resistência do ar)
está sempre presente. Na presença de algum tipo de energia dissipativa, a
amplitude da oscilação diminui, com o passar do tempo, e o movimento deixa
de ser harmônico simples, para tornar-se um movimento harmônico
amortecido. A diminuição na amplitude é chamada amortecimento. 
Figura 1.15 - Oscilador amortecido devido a um líquido viscoso 
Fonte: Tipler (2009, p. 483).
Esse tipo de movimento é essencial para o sistema de suspensão de um
automóvel. O amortecedor, ligado a uma mola principal de suspensão, é
constituído de um pistão, em um reservatório de óleo, que se move em
resposta a uma vibração na estrada. Nesse pistão, há buracos que deixam
passar o óleo. Assim, durante o movimento, surgem forças de viscosidade que
procam um amortecimento.
Em muitos sistemas, a força de amortecimento é aproximadamente
proporcional à velocidade e com direção oposta:
→
Fd = − b
→v (24)
b é uma constante. Usamos a seta para indicar as grandezas vetoriais.
Vamos, agora, escrever a segunda lei de Newton, ∑
→
F = m→a, incluindo a força
de amortecimento como a força restauradora. Para o sistema massa-mola,
temos:
m
d2x
dt2
= − kx − b
dx
dt (25)
A solução exata para essa equação pode ser encontrada usando métodos
padrões para a resolução de equações diferenciais, que podem não ser
familiares a você. Portanto, vamos, simplesmente, indicar sua solução sem
provas. Para constantes de amortecimento su�cientemente pequenas, a
solução é dada por:
x(t) = Ae −( b2m)tcoscos (ω′t + ϕ) (26).
em que:
ω′ =√ km −( b2m)2 (27)
Essa equação descreve um movimento senoidal, cuja amplitude cai
exponencialmente até zero. Esse decréscimo depende da constante de
amortecimento b e da massa m. Quando o amortecimento é tão fraco, ou
seja, o valor de b é pequeno, que somente uma pequena fração da energia
total é perdida em cada ciclo, a frequência é, essencialmente, a mesma da
oscilação sem amortecimento, isto é, chamada de frequência natural:
ω′ ≅ ωo = √k /m (28)
Por outro lado, se o amortecimento é forte, a força de amortecimento diminui
o movimento, e a frequência torna-se menor. Quando t = 2m /b, a amplitude
reduz-se a 1/e de seu valor inicial, em que e = 2, 718 é a constante de Euler.
Esse tempo é chamado de meia-vida da oscilação.
As equações que você acabou de ver são válidas para b ≤ 2√k /m. Quando b
atinge um valor crítico máximo, bc = 2mωo, o sistema é chamado de
criticamente amortecido, pois este não oscila e volta ao equilíbrio de forma
exponencial.
Muitos sistemas físicos podem ser modelados como osciladores amortecidos.
Amortecedores de automóveis, por exemplo, são projetados com molas
especí�cas para dar um amortecimento crítico, de modo que obtenha um
retorno rápido ao equilíbrio, para absorver a energia transmitida pelos
solavancos da estrada.
Oscilador Harmônico Forçado e
Ressonância
Para manter um sistema amortecido oscilando inde�nidamente, a energia
mecânica deve ser injetada no sistema. Quando isso é feito, o oscilador é dito
excitado ou forçado. Quem mantém uma criança oscilando, no balanço de
jardim, empurrando-a pelo menos uma vez a cada ciclo, está forçando um
oscilador. Se o mecanismo de excitação injeta energia no sistema a uma taxa
maior do que a taxa com que esta é dissipada, a energia mecânica do sistema
e a amplitude aumenta com o tempo. Se o mecanismo de excitação injeta
energia a mesma taxa com que esta é dissipada, a amplitude permanece
constante no tempo. Nesse caso, o movimento do oscilador é estacionário.
A Figura 1.16 mostra um sistema, o qual consiste num corpo em uma mola
que está sendo excitada, movendo-se o ponto de apoio para cima e para
baixo, em um movimento harmônico simples de freqüência ω. No início, o
movimento é complicado, mas este acaba por entrar em regime estacionário,
quando o sistema oscila com a mesma frequência de excitação e com uma
amplitude constante e, portanto, com energia constante. Em regime
estacionário, a energia injetada no sistema pela força de excitação, a cada
ciclo, é igual à energia dissipada pelo amortecimento em cada ciclo. 
A amplitude e, portanto, a energia de um sistema em regime estacionário não
depende apenas da amplitude da força de excitação, mas também depende
de sua frequência. A frequuência natural de um oscilador , ωo, é a sua
frequência, quando não há forças de excitação e nem forças de
amortecimento presentes. No caso de uma mola, por exemplo,ωo = √k /m. Se
a frequência de excitação é su�cientemente próxima da frequência natural do
sistema, o sistema oscilará com uma amplitude relativamente grande. Por
exemplo, se o suporte da �gura anterior oscila em uma frequência próxima
da frequência natural do sistema massa-mola, a massa oscilará com uma
amplitude muito maior do que a que teria se o suporte oscilasse com
frequências signi�cativamente maiores ou menores, conforme ilustração na
Figura 1.17. Esse fenômeno é chamado ressonância. Quando a frequência de
excitação é igual à frequência natural do oscilador, a energia por ciclo
transferida ao oscilador é máxima. A frequência natural do sistema é, então,
chamada de frequência de ressonância . 
Figura 1.16 - Um corpo preso a uma mola vertical pode ser forçado movendo-
se o suporte para cima e para baixo 
Fonte: Tipler e Mosca (2009, p. 487).
A Figura 1.17 mostra os grá�cos da potência média, injetada em um oscilador,
como função da frequência de excitação para dois valores diferentes de
amortecimento. Essas curvas são chamadas curvas de ressonância. Quando o
amortecimento é fraco (grande Q), a largura do pico de ressonância
correspondente é pequena, e dizemos que a ressonância é estreita. Para
amortecimento forte, a curva de ressonância é larga. A largura de cada curva
de ressonância, Δω, indicada na Figura 1.16, é a largura na metade da altura
máxima. Pode-se mostrar que, para o amortecimento fraco, a razão entre a
largura de ressonância e a frequência de ressonância é igual ao inverso do
fator Q:
Δω
ωo
=
1
Q
 (29)
Assim, o fator Q é uma medida direta da estreiteza da ressonância. Existem
muitos exemplos de ressonância. Quando você senta em um balanço,
intuitivamente, você inclina-se para impulsioná-lo com sua mesma frequência
natural. Muitas máquinas vibram, porque possuem partes giratórias, as quais
não estão perfeitamente balanceadas.
Figura 1.17 - Curva de ressonância para um oscilador forçado 
Fonte: Tipler e Mosca (2009, p. 487).
Ondas Progressivas e ondas
Harmônicas
Em geral, falamos de onda quando há transmissão de um sinal entre dois
pontos distantes, sem que haja transporte direto de matéria. Para uma onda
na superfície da água, podemos associar esse sinal, por exemplo, a uma
crista, em que a elevação da água é máxima. Para uma onda na corda,
fazemos um movimento para cima e para baixo, causando uma perturbação,
gerando uma sinuosidade ou um pulso, o qual se deslocará ao longo da
corda.
As ondas classi�cam-se em dois tipos: 
1. ondas transversais : quando a vibração é perpendicular à direção de
propagação, como mostrado na Figura 1.19. Por exemplo, as ondas
do mar e ondas em uma corda.
2. ondas longitudinais : quando a direção de propagação coincide com
a direção de vibração, como mostrado na Figura 1.18. Nos líquidos e
gases, a onda propaga-se dessa forma. A mola e o som são alguns
exemplos.
Figura 1.18 - Na ilustração, um êmbolo move-se para trás e para frente,
criando uma onda longitudinal 
Fonte: Halliday (2016, p. 119).
Uma onda progressiva é uma onda que se propaga de um ponto a outro e
transporta energia na direção de propagação. O oposto de onda progressiva é
uma onda oscilante, denominada onda estacionária, em que não há �uxo de
energia. As ondas sonoras produzidas na fala são progressivas, enquanto que
as originadas no interior de uma �auta são ondas estacionárias.
Você verá, agora, a descrição matemática da propagação de um pulso em
uma onda. Vamos assumir que a perturbação mantém sua forma enquanto
se propaga, desprezando quaisquer perdas por atrito ou outras formas de
dissipação de energia.
Para simpli�car, vamos considerar uma onda mecânica transversal, que se
propaga em uma longa corda esticada. O grá�co (a), na Figura 1.19, mostra
um pulso ondulatório,, de forma arbitrária no instante t = 0, que viaja com
velocidade v na direção x. Matematicamente, no instante t = 0, a altura y da
corda passa a ser descrita por uma função f(x), que descreve a forma do
pulso. Em um instante t posterior, o pulso percorreu uma distância vt,
conforme mostra (b). 
A coordenada y indica o deslocamento transversal de um ponto particular da
corda. Esta depende da coordenada x e do tempo t, ou seja, y = y(x, t). No
instante inicial, temos:
y(x, t = 0) = f(x) (30)
f é uma função que descreve a forma da onda, ou seja, o pulso. Como
estamos assumindo que o pulso não muda ao longo de sua propagação, para
qualquer tempo posterior, a onda continuará sendo descrita pela função f(x).
No referencial que acompanha o pulso, devemos usar a relação entre as
abscissas dos dois referenciais:
x′ = x − vt (31)
Portanto, em um instante t, a onda é descrita por:
y(x, t) = f(x′) = f(x − vt) (32)
A função f(x − vt) tem, no instante t, a mesma forma em relação ao ponto x = vt
, que a função f(x) tem em relação ao ponto x = 0 no instante t = 0. Para
descrever a onda completamente, temos de conhecer a função f.
Figura 1.19 - Um pulso transversal propagando-se com velocidade v para a
direita 
Fonte: Tipler e Mosca (2009, p. 502).
Quando a onda propaga-se no sentido x negativo, basta fazer v = − v. Nesse
caso, temos:
y(x, t) = f(x + vt) (33)
Como antes, f(x) representa a forma da onda em t = 0.
A função y(x, t) descreve, completamente, a forma da onda e seu movimento é
válido para ondas de diferentes formas, sejam transversais ou longitudinais.
Um caso particular de onda progressiva é a onda harmônica simples, na qual
a função em t = 0 possui a forma senoidal. Uma onda harmônica simples
pode ser produzida, por exemplo, movendo uma das extremidades de uma
corda longa para cima e para baixo, mantendo sempre o mesmo
deslocamento vertical.
Escolhendo as coordenadas de forma que, em x = 0, esta possua um mínimo
em t = 0, temos:
y(x, 0) = Asen(kx) (34)
A é a amplitude da onda, e k é uma constante chamada número de onda. Se a
amplitude for máxima em t = 0, temos uma função cosseno, com constante
de fase nula:
y(x, 0) = Acos(kx) (35)
Podemos encontrar o valor de k, lembrando que a onda repete-se e, portanto,
de�nimos:
comprimento de onda (λ): distância entre duas cristas ou dois vales
da onda;
período (T): intervalo de tempo para que a onda viaje por uma
distância λ.
A função seno repete-se quando o ângulo ou o argumento �ca acrescido de 2π
, logo, devemos ter:
kλ = 2π (36)
ou:
k =
2π
λ (37)
O número de onda é uma grandeza angular, cuja unidade no SI é o rad/m,
assim, como a frequência angular, este é medido em rad /s:
ω =
2π
T
= 2πf (38)
Existe uma relação simples entre o período e o comprimento de onda, que é a
velocidade de qualquer onda periódica. Por de�nição, a velocidade da onda é
a distância de um comprimento de onda percorrida por um período T. Assim,
tem-se:
v =
λ
T
 (39)
Como qualquer outro movimento harmônico, o período está relacionado à
frequência:
f =
1
T
 (40)
Logo, a velocidade de propagação da onda também pode ser escrita em
termos da frequência:
v = λf (41)
Essa terminologia para as relações fundamentais da frequência e velocidade
aplicam-se tanto para ondas transversais quanto para as ondas longitudinais.
Para descrever uma onda movendo-se com velocidade v, devemos trocar x na
expressão y(x, 0) por x vt, obtendo:
y(x, t) = Acos[k(x − vt)] (42)
Sabemos que k = 2π /λ e v = λ /T. Logo, o argumento da função cosseno torna-
se:
kvt =(2πλ)(λT)t = 2πT t (43)
Também sabemos que ω = 2π /T. A frequência angular que descreve o
movimento harmônico simples é a mesma na descrição do movimento
ondulatório. Não é de admirar-se, pois, em um ponto �xo no espaço, a onda
oscilacomo um oscilador harmônico simples. Dessa maneira, podemos
escrever uma onda que se propaga na forma senoidal como:
y(x, t) = Acos[kx ± ωt)] (44)
Em que usamos o sinal de +/– para descrever uma onda propagando-se na
direção de x positivo (sinal negativo) e na direção de x negativo (sinal positivo).
O argumento do cosseno é chamado de fase da onda . Para compreender
melhor o assunto, acompanhe o seguinte exemplo prático. 
praticar
Vamos Praticar
Um sur�sta rema para além de onde se quebram as ondas de forma senoidal, com
cristas de 14 m de distância. Ele oscila em uma crista com comprimento vertical de
3,6 m, um processo que leva 1,5 segundos. É possível a�rmar que a equação que
descreve a onda:
a) apresenta uma forma do tipo y(x, t) = y1 cos (0, 100x − ωt).
b) é descrita por y(x, t) = y1 cos (0, 449x − 1, 5t).
c) é descrita por y(x, t) = 10 cos (0, 449x − 2, 09t).
d) apresenta uma forma do tipo y(x, t) = 1, 8 cos (0, 449x − 2, 09t).
e) apresenta uma forma do tipo y(x, t) = 3, 6 cos (0, 449x − 2, 09t).
Superposição e Interferência de
Ondas
Muitas vezes, duas ou mais ondas sonoras estão presentes no mesmo lugar,
ao mesmo tempo. Um exemplo são as ondas sonoras quando todo mundo
está falando em uma festa ou quando a música toca nos alto-falantes do
sistema de som estéreo.
A Figura 1.20 ilustra esse tipo de situação. Ela mostra dois pulsos transversais
de alturas iguais, ambos “para cima”, movendo-se um em direção ao outro.
Quando eles se encontram, os dois pulsos se fundem e formam outro, que é a
soma individual de cada pulso. Esse é um exemplo do princípio de
superposição linear . 
Figura 1.20 - Exemplo de superposição linear 
Fonte: Halliday (2016, p. 132).
Princípio da superposição: quando duas ou mais ondas sobrepõem-se, a onda
resultante é a soma algébrica das ondas individuais. Matematicamente,
quando as ondas sobrepõem-se, o deslocamento da corda é dado pela soma
algébrica:
y′(x, t) = y1(x, t) + y2(x, t) (45)
Esse princípio pode ser aplicado a todos os tipos de ondas.
No ponto de encontro das duas ondas que você viu na �gura, as cristas
coincidem-se, e a amplitude da onda resultante é, momentaneamente, a
soma das duas. Nesse caso, interferem construtivamente.
Vamos aplicar o princípio de superposição a duas ondas senoidais
propagando-se no mesmo sentido em um meio. As duas ondas podem ter a
mesma frequência, mesmo comprimento de onda e amplitude, mas fases
diferentes. Assim, escrevemos:
y1(x, t) = Asen(kx − ωt − ϕ1) (46)
y2(x, t) = Asen(kx − ωt − ϕ2) (47)
ϕ1 e ϕ2 são as constantes de fase de cada onda. Se essas ondas encontrarem-
se, a função de onda resultante é, de acordo com o princípio da superposição:
y(x, t) = y1 + y2 = 2Acos(Δϕ)sen(kx − ωt − ϕ′) (47)
Em que usamos a identidade trigonométrica:
sena + senb = 2coscos (a − b2 ) sen(a + b2 ) (48)
A constante de fase da onda resultante é dada por ϕ =
(ϕ1 +ϕ2)
2 .
A função y também é senoidal e tem a mesma frequência e comprimento de
onda das ondas individuais. A amplitude resultante é dada por:
y(x, t) = 2Acos(Δϕ2) (49)
Em que Δϕ = ϕ2 − ϕ1 é a diferença de fase entre as ondas. Se for zero, a
amplitude da onda resultante é 2A, ou seja, o dobro da amplitude das ondas
individuais. Nesse caso, as duas ondas interferem construtivamente. A
condição geral, para que aconteça uma interferência construtiva, é:
Δϕ = 2mπ (m = 0, ± 1, ± 2, …)
Por outro lado, se $\Delta \phi $ é qualquer múltiplo ímpar de $\pi $,
Δϕ = (2m + 1)π (m = 0, ± 1, ± 2, …) (51)
A onda resultante tem amplitude nula, ou seja, as duas ondas interferem
destrutivamente. Nesse caso, o máximo de uma onda coincide com o mínimo
da outra. 
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Vibrações e ondas
Editora : IST Press
Autor : João Paulo Silva
ISBN : 978-9898481146
Comentário : o livro cobre, essencialmente, todos os
tópicos de um curso introdutório em vibrações e ondas.
Os temas são abordados recorrendo, geralmente, a
exemplos de mecânica ou eletromagnetismo, sendo,
também, dados vários exemplos da física subatômica.
Frequentemente, o estudo de vibrações é associado a
outros temas (termodinâmica, óptica, etc.) e, nesses
casos, o presente livro cobrirá o programa de vibrações.
WEB
O que signi�ica a descoberta das ondas
gravitacionais?
Ano : 2016
Comentário : as ondas gravitacionais são ondulações
na curvatura do espaço-tempo, que se propagam para
o exterior, a partir da fonte. São ondas transversais, as
quais comprimem e esticam o que estiver em seu
caminho.
ACESSAR
https://www.youtube.com/watch?v=jMVAgCPYYHY
conclusão
Conclusão
Você estudou os elementos dos fenômenos ondulatórios e suas aplicações.
Primeiro, você entendeu a dinâmica do movimento oscilatório, por meio de
um exemplo típico, um corpo ou partícula de massa m, ligado a uma mola
horizontal. Nesse caso, surge uma força restauradora da forma Fx = kx, em
que k é uma constante, e x é o deslocamento da partícula em relação à sua
posição de equilíbrio. Depois, com base na segunda lei de Newton, você viu
como resolver a equação de movimento do sistema.
Ademais, vimos que a energia está continuamente sendo transferida nas
formas de energia potencial U e energia cinética K, sendo U máxima quando K
é zero, e vice-versa. A energia total no sistema é constante, ou seja,
E = U + K =
1
2kA
2, já que o sistema não é dissipativo.
Como aplicação do movimento oscilatório, você estudou o pêndulo simples,
que consiste em uma partícula de massa m, suspensa por um �o de
comprimento L.
Na segunda parte, foram observados os elementos de uma onda progressiva,
em particular, de uma onda harmônica. Você aprendeu, também, o princípio
da superposição: quando duas ondas sobrepõem-se, a onda resultante é a
soma algébrica das ondas individuais, podendo ocorrer uma interferência
construtiva ou destrutiva.
O movimento oscilatório ocorre em todo o mundo físico. As moléculas de
água oscilam para aquecer a comida em um forno micro-ondas, por exemplo.
Edifícios e pontes sofrem movimentos desse tipo. Como engenheiro, você
precisará realizar estudos detalhados desses fenômenos, para evitar
resultados desastrosos.
referências
Referências
Bibliográ�cas
HALLIDAY, D. Fundamentos de Física : gravitação, ondas e termodinâmica.
10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
SERWAY, R. A.; JEWETT, J. W. Jr. Física para cientistas e engenheiros :
oscilações, ondas e termodinâmica. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros : mecânica,
oscilações e ondas, termodinâmica. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.