Eletrotecnica - Modulo IV Circuito Trifasico

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01000-RH/FA-216 
 
Superintendência de Recursos Humanos 
 
 
 
 
 
 
ELETROTÉCNICA – MÓDULO IV 
CIRCUITO TRIFÁSICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gerência do Centro de Formação e Aperfeiçoamento Pr ofissional 
Sete Lagoas – fevereiro/ 2004 
 
Treinamento & 
Desenvolvimento 
 
 
 
 
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ELETROTÉCNICA – MÓDULO IV 
CIRCUITO TRIFÁSICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaborado por: Roberto Horta Maia – Instrutor Técnico / EFAP (CEMIG) 
 
Gerência do Centro de Formação e Aperfeiçoamento Pr ofissional 
Sete Lagoas – fevereiro/ 2004 
 
Treinamento & 
Desenvolvimento 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 SISTEMAS TRIFÁSICOS ............................. ........................................................... 4 
1.1 Características do sistema trifásico ....................................................................... 4 
1.2 Geração de Tensão Trifásica ................................................................................ 4 
1.3 Tensão de fase e tensão de linha ......................................................................... 8 
1.4 Relação entre a tensão de linha e de fase ............................................................ 9 
1.4 Relação entre a tensão de linha e de fase .......................................................... 10 
1.5 Como instalar as cargas em uma rede trifásica .................................................. 10 
 
2 CIRCUITO ESTRELA ................................ ............................................................ 11 
2.1 Circuito estrela equilibrado .................................................................................. 11 
2.2 Circuito estrela desequilibrado ............................................................................ 14 
 
3 CIRCUITO TRIÂNGULO .............................. .......................................................... 19 
3.1 Circuito triângulo equilibrado ............................................................................... 19 
3.2 Circuito triângulo desequilibrado ......................................................................... 23 
 
4 POTÊNCIA EM CIRCUITOS ESTRELA ................... ............................................. 27 
4.1 Potência monofásica (1ø) num circuito estrela equilibrado ou desequilibrado .... 28 
4.2 Potência trifásica (3ø) num circuito estrela equilibrado ....................................... 28 
4.3 Potência trifásica ( 3ø ) num circuito estrela desequilibrado .............................. 29 
4.4 Fator de potência monofásico ou trifásico (3ø) num circuito estrela equilibrado ou 
desequilibrado ........................................................................................................... 30 
 
5 POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIÂNGULO ................. ........................................... 30 
5.1 Potência monofásica (1ø) num circuito triângulo equilibrado ou desequilibrado . 31 
5.2 Potência trifásica (3ø) num circuito triângulo equilibrado .................................... 31 
5.3 Potência trifásica ( 3ø ) num circuito triângulo desequilibrado ............................ 32 
5.4 Fator de potência monofásico ou trifásico (3ø) num circuito estrela equilibrado ou 
desequilibrado ........................................................................................................... 33 
 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................... ................................................ 34 
 
Escola de Formação e Aperfeiçoamento Profissional – EFAP 
 
 
4 
1 SISTEMAS TRIFÁSICOS 
 
1.1 Características do sistema trifásico 
 
Um sistema trifásico (3Ø) é uma combinação de três sistemas monofásicos (1Ø). 
 
Num sistema (3Ø) equilibrado, a potência é fornecida por um gerador CA que produz 
três tensões iguais em módulo, mas defasadas entre si de 120º. 
 
Embora os circuitos monofásicos sejam amplamente usados em sistemas elétricos, 
a maior parte da geração e distribuição da corrente alternada é trifásica. 
 
 
⇒ Vantagens da Utilização de Circuitos Trifásicos: 
 
• Os motores, geradores e transformadores trifásicos têm menores dimensões, são 
mais leves e mais eficientes do que seus equivalentes monofásicos. 
• Para determinado peso e custo, uma linha de transmissão trifásica é capaz de 
transmitir mais potência do que uma linha monofásica. 
• Os circuitos trifásicos permitem maior flexibilidade na escolha das tensões e 
podem ser usados na alimentação de cargas trifásicas ou monofásicas. 
 
1.2 Geração de Tensão Trifásica 
 
Na figura 1, está representado um alternador trifásico que tem um estator e um rotor. 
 
Os três conjuntos de enrolamentos (enrolamentos de fase) da armadura estão 
fisicamente distribuídos a cada 120º da periferia interna do estator. 
 
São nesses conjuntos de enrolamentos, também chamados de induzido, que as três 
tensões senoidais são geradas. 
 
No rotor do gerador está o enrolamento de campo denominado por indutor, que 
alimentado por uma fonte de corrente contínua produz um campo magnético. Como 
o rotor é girante, seu campo magnético corta os enrolamentos da armadura, 
induzindo neles as tensões senoidais mostradas na figura 2. 
 
Essas tensões têm um valor de pico separado de um terço do período, ou separados 
de 120º, em virtude da disposição espacial de 120º dos enrolamentos da armadura. 
 
Como resultado, o alternador produz três tensões de mesmo valor eficaz (rms), e de 
mesma freqüência (60Hz), mas defasadas de um ângulo de fase de 120º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5 
 
Fig.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os terminais dos enrolamentos de fase de mesmo índice numérico são terminais de 
mesma polaridade, A1, B1 e C1, assim como A2, B2 e C2. Os terminais A1 e A2 
pertencem ao grupo de enrolamentos da fase A, Os terminais B1 e B2 pertencem ao 
grupo de enrolamentos da fase B e Os terminais C1 e C2 pertencem ao grupo de 
enrolamentos da fase C. 
 
Para melhor visualizar o defasamento físico das bobinas, na figura 3 representamos 
seus enrolamentos concentrados, em três pontos eqüidistantes no estator. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t 
 
120° 240° 
VA VB VC 
0° 
Enrolamento 
de campo 
ou indutor 
(Rotor) 
Enrolamento
da armadura 
ou induzido 
(Estator) 
0º 90º 180º 270º 360º 
 
 + 
 
_ 
 
0 
Fig.2 
120º 240º 0º 
Fase 
A 
Fase 
B 
Fase 
C 
Fig.1 
V 
 
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6 
Em seguida, as três fases do gerador são interligadas para a operação trifásica. 
Ligando-se os terminais de mesma polaridade dos três enrolamentos de fase entre 
si, obtém-se um condutor comum, chamado neutro (N), conforme se verifica na 
figura 4. 
 
Diz-se que em tais condições o gerador está ligado em estrela ( ΥΥΥΥ ). 
 
Desta maneira é disponibilizado para o sistema elétrico três condutores de fases 
distintas, ØA, ØB e ØC. Deve existir uma linha conectada ao terminal do neutro, 
como mostrado, nos casos em que existem quatro linhas ou condutores. Se 
nenhuma linha é conectada ao neutro, o circuito é um circuito a três condutores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As tensões de fase VA, VB e VC podem ser representadas através de um diagrama 
fasorial. Na figura 5, os três fasores estão defasadosentre si de 120º, e as tensões 
estão representadas pelo seu valor eficaz (rms). 
 
 
 
 
 
0º 90º 180º 270º 
V
12
+ 
t 
 
 
 
0º 90º 180º 270º 
V
+ 
t 
240° 
0º 90º 180º 270º 
V+ 
t 
FA 
FB 
FC 
N 
Aterramento 
A1 
A2 
B1 
B2 
C1 
C2 
Fig.4 
 
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7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o gerador está ligado em estrela, as tensões em, cada fase correspondem às 
tensões entre fase e neutro deste sistema, e a origem da circunferência representa o 
ponto comum da ligação dos enrolamentos, sendo este ponto comum o neutro (N). 
 
Assim, obtemos as três tensões entre fase e neutro da rede, VAN, VBN e VCN, figura 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As tensões mostradas na figura 5 são determinadas em qualquer instante de tempo, 
pode-se observar que a soma das tensões é zero. Esse zero como resultado pode 
também ser verificado pela adição vetorial gráfica dos fasores correspondentes a 
tais tensões conforme a figura 7. 
 
 
 fig.5 
 
 
 
 
 fig.6 
VA 
VB 
VC 
N 
 
 
 
VAN 
VBN 
VCN 
 
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8 
Esses três fasores são somados na figura 7 conectando o início de VBN, a ponta de 
VAN e o início de VCN, a ponta de VBN. Sendo que a ponta de VCN toca o inicio de VAN, 
a soma é zero. 
 
E, como a soma dos fasores de tensão é zero, a soma dos valores instantâneos de 
tensão correspondentes é zero para qualquer instante. 
 
De uma forma geral, três senóides têm uma soma zero se elas têm a mesma 
freqüência, mesmo valor de pico e são defasadas de 120º. Em particular, isto é 
verdadeiro para correntes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3 Tensão de fase e tensão de linha 
 
Num sistema elétrico alimentado por uma rede trifásica a quatro fios, temos três 
condutores de fase que são, fase A, B e C, e um condutor de neutro (N). 
 
 
 
 
 
 
No sistema elétrico a tensão de fase (VF) ou tensão simples (v) é a tensão medida 
entre cada fase e o neutro, que para rede trifásica são três, VAN, VBN e VCN. 
 
A tensão de linha (VL) ou tensão composta (V) é a tensão medida entre duas fases 
distintas, que para rede trifásica são três, VAB, VBC e VCA. 
 
Como a tensão de linha é a diferença de potencial entre duas fases que se 
encontram defasadas entre si de 120º, estas tensões correspondem À diferença 
vetorial entre duas tensões de fase, assim: 
 
 
ØN 
ØA 
ØB 
ØC 
VBN VCN 
VAN + VBN + VCN = 0 
VAN 
fig.7 
 
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9 
VAB = VAN + (- VBN) 
VBC = VBN + (- VCN) 
VCA = VCN + (- VAN) 
 
O fasor resultante da diferença vetorial entre duas tensões de fase, é um fasor que 
une as extremidades de dois fasores de fases distintas, como se verifica na figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No diagrama fasorial da figura 2, estão representadas as tensões de linha com a 
origem de cada fasor deslocado para a origem da circunferência. Desta forma se 
verifica que as tensões de linha se encontram defasadas entre si de 120º, e que o 
defasamento existente entre a tensão de linha e de fase é de 30º, com a tensão de 
linha adiantada em relação à de fase. 
 
 fig.5 
30º 
30º 
30º 
VAN 
VCN 
VBN 
VCA VAB 
VBC 
 
Fig.1 
 
 
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10 
1.4 Relação entre a tensão de linha e de fase 
 
A relação entre as tensões de linha (VL) e de fase (VF) num sistema trifásico 
simétrico, com as tensões deslocadas entre si de um ângulo de fase de 120º e de 
mesmo valor eficaz (rms), é igual a 3 , conforme a figura 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 Como instalar as cargas em uma rede trifásica 
 
As cargas podem ser instaladas: 
 
• Entre condutor de fase e condutor de neutro, figura 1. 
• Entre dois condutores de fase, figura 2. 
 
A escolha da instalação depende da tensão nominal das cargas e das tensões da 
rede. 
 
• Se a tensão nominal das cargas corresponde à tensão de fase da rede, as 
cargas serão instaladas entre condutores de fase e condutor neutro. 
• Se a tensão nominal das cargas corresponde à tensão de linha da rede, as 
cargas serão instaladas entre condutores de fase. 
 
 
 
 
 
fig.1 
 
F
L
F
L
F
L
V
V
3
V
1
2
V
2
3
V
2
V
º30cos
=⇒
×=⇒=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30º 
VF 
VF 
VL VL/2 
VL/2 
 
 
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11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É extremamente desejável operar sistemas de potência em estado de equilíbrio ou 
bem próximo do equilíbrio. As linhas de transmissão são também propriamente 
equilibradas. Por outro lado, os circuitos de distribuição são desequilibrados, 
resultantes da aplicação de cargas monofásicas separadas. 
 
A ligação estrela ou triângulo é obtida pela ligação de cargas trifásicas, ou pelo 
agrupamento de cargas monofásicas instaladas na rede trifásica. 
 
 
2 CIRCUITO ESTRELA 
 
2.1 Circuito estrela equilibrado 
 
Na figura 1, está representado um circuito que tem uma carga trifásica equilibrada 
ligada em estrela, ou um grupo de cargas monofásicas equilibradas distribuídas 
igualmente entre as fases da rede trifásica formando uma ligação estrela. 
 
Essas cargas são alimentadas por uma fonte com os enrolamentos conectados em 
estrela. Essa fonte pode ser um gerador, ou o secundário de um transformador 
trifásico. 
 
A linha de neutro conecta os dois nós neutros. 
 
⇒ Para que um circuito seja estrela equilibrado, ele terá que atender às 
condições de equilíbrio, que são: 
 
• Impedâncias idênticas nas fases 
• Mesmo Ângulo de defasagem entre tensão e corrente nas fases 
• Cargas de natureza iguais nas fases 
 
A corrente que atravessa cada linha ( IL ) de alimentação de um circuito alimentando 
cargas ligadas em estrela é a mesma que percorre a carga ligada a cada uma das 
Esta montagem é 
chamada ligação estrela ( 
Υ ) 
ØC 
ØA 
ØB 
N 
Z1 Z2 Z3 
Esta montagem é 
chamada ligação triângulo 
( ∆ ) 
ØC 
ØA 
ØB 
N 
Z1 
Z2 
Z3 
Fig.1 Fig.2 
 
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12 
fases. A corrente de carga é também denominada por corrente de fase ( IF ), sendo 
assim: 
ILA = IF1 ; ILB = IF2 ; ILC = IF3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Conseqüências do equilíbrio: 
 
• As correntes de linha ou correntes de fase são iguais: 
 
 
IF1 = IF2 = IF3 ou ILA = ILB = ILC 
 
• Não existe corrente circulando no neutro, pois a soma vetorial das correntes de 
fase é zero: 
 
 
 
 
⇒ Determinação das correntes de fase: 
 
A correntes de fase podem ser encontradas a partir de: 
 
 
 
 
 
 
1
NA
1F Z
V
I =
2
NB
2F Z
V
I = 
3
NC
3F Z
V
I = ; ; 
IN = IF1 + IF2 + IF3 = 0 
 
Figura 1 
C 
N 
VCN 
N 
ØA 
VCA 
 VBC 
VAB 
Ø
C 
VBN VAN 
IL
IL
IN 
ILA 
B A 
Z 2 
Z 3 
Z 1 
ØB 
IN = I1 + I2 + 
IF
IFIF
 
Secundário em estrela de um 
transformador trifásico 
 
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13Como o circuito é equilibrado, as correntes de fase IF1, IF2 e IF3 possuem o mesmo 
módulo, mas defasadas entre si de 120º, conforme determinado pela seqüência de 
fase visto na figura 1. 
 
Como já foi verificado, não existe corrente na linha de neutro para um circuito estrela 
equilibrado, conforme se verifica na figura 1. A não existência da corrente de neutro 
é devido às correntes de fase possuírem o mesmo módulo e uma diferença de fase 
de 120º, portanto a soma vetorial destas correntes é igual a zero. 
 
Como exemplo para representação fasorial das correntes de fase, na figura 1, foram 
consideradas as cargas sendo puramente resistivas, e assim, o ângulo ( ϕϕϕϕ ) de 
defasagem entre corrente e tensão em cada fase é igual a zero. 
 
Representação Fasorial das correntes de fase 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Rompimento do condutor neutro 
 
Pelo fato de o condutor do neutro não conduzir corrente, ele pode ser eliminado para 
transformar o circuito de quatro condutores em um circuito de três condutores. 
 
A mais importante conseqüência da corrente zero no neutro é que os dois nos 
neutros estão no mesmo potencial, mesmo na ausência do condutor neutro da rede. 
 
O neutro obtido no ponto comum da ligação estrela é também denominado de neutro 
artificial ou flutuante, sendo representado pela letra O para diferenciá-lo do neutro da 
rede, apesar de estarem os dois nos neutros em mesmo potencial, VN = VO e 
VON = 0. 
 
VB
 
VCA VAB 
VAN = VAO 
VBN = 
V 
VCN = 
V 
IF1 
IF
IF2 
IF2 
120º 
120º 
30º 
30º 
60º 
30º 
 
IF3 
IF1 
IF2 IF3 
IN = IF1 + IF2 + IF3 = 
0 
Fig.1 
ω 
 
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14 
3
V
V
V
V
V
V
CO
CA
BO
BC
AO
AB ===
 
As tensões aplicadas às cargas após o rompimento do neutro da rede serão VAO, 
VBO e VCO, sendo que estas tensões são iguais em módulo e com o mesmo ângulo 
de fase das tensões VAN, VBN e VCN, assim: 
 
VAO = VAN ; VBO = VBN ; VCO = VCN 
 
 
Na prática, entretanto, é conveniente a presença de um condutor de neutro para 
assegurar o equilíbrio das tensões nas fases no caso de as impedâncias de carga 
não serem exatamente iguais. Em um circuito estrela equilibrado mesmo com o 
neutro da rede rompido, o ângulo de defasagem entre os fasores representativos 
das tensões de linha e de fase permanecem em 30º figura 1, e desta forma a relação 
entre tensão de linha e de fase permanece igual a 3 como por exemplo: 
 
 
 
 
 
2.2 Circuito estrela desequilibrado 
 
Para que um circuito seja estrela desequilibrado, ele terá que atender a uma das 
condições para desequilíbrio ou todas ao mesmo instante que são: 
 
• Impedâncias diferentes nas fases 
• Ângulo de defasagem entre tensão e corrente diferentes nas fases 
• Cargas de natureza diferentes nas fases 
 
⇒ Conseqüências do equilíbrio: 
 
• As correntes de linha ou de fase podem ser diferentes em módulo, e os ângulos 
de defasagem entre as correntes podem ser diferentes de 120º, dependendo da 
natureza das cargas e do ângulo de defasagem entre tensão e corrente em cada 
uma das fases. 
• Existe corrente circulando no neutro por ser esta corrente a soma vetorial de IF1, 
IF2 e IF3, como se verifica na figura 1. Pelo fato do condutor de neutro conduzir 
corrente, ele não pode ser eliminado. 
 
IN = IF1 + IF2 + IF3 ≠≠≠≠ 0 
 
 
⇒ Determinação das correntes de fase: 
 
As correntes de fase podem ser encontradas a partir de: 
 
 
 
 
 
1
NA
1F Z
V
I =
2
NB
2F Z
V
I = 
3
NC
3F Z
V
I = ; ; 
 
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15 
A54,2I
50
V127
I
Z
V
I 2F2F
2
BN
2F =⇒Ω
=⇒= 
A27,1I
100
V127
I
Z
V
I 1F1F
1
AN
1F =⇒Ω
=⇒= 
A08,5I
25
V127
I
Z
V
I 3F3F
3
CN
3F =⇒Ω
=⇒= 
Na figura 1, foi representado um circuito estrela com desequilíbrio entre as três 
fases, sendo que a impedância nas três fases é de natureza resistiva, e o ângulo (φ) 
de defasagem entre tensão e corrente em cada fase é de 0º. 
 
Sendo a tensão de fase igual a 127V e as impedâncias das cargas, Z1 = 100Ω, Z2 = 
50 Ω e Z3 = 25 Ω, os módulos das correntes de fase ou linha serão iguais a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como o circuito é desequilibrado, a soma vetorial das correntes das fases é diferente 
de zero: IF1 + IF2 + IF3 ≠ 0 , no caso do exemplo acima citado: 
 
 
 
 
Desta forma, verifica-se que existe corrente circulando no neutro por ser esta 
corrente a soma vetorial de I F1 , I F2 e I F3 , como se verifica na figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
IN 
VCN 
IN N 
Ø
A 
VAB 
VCA 
VB
ØC 
VBN VAN 
ILB = 2,54 
A 
ILC = 5,08 A 
ILA = 1,27 A 
ØB 
C 
N 
B A 
Z 2 
Z 3 
Z 1 
IF
IFIF
Fig. 1 
IN = IF1 + IF2 + IF3 = 
IN 
 
IN = IF1 + IF2 + IF3 = 3,15 A 
Equação 1.6.2 a 
 
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16 
 
Representação Fasorial das correntes de fase e corr ente do neutro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Rompimento do condutor neutro 
 
Pelo fato de o condutor de neutro conduzir corrente, ele não pode ser eliminado. 
 
A mais importante conseqüência da circulação de corrente no neutro é que, caso o 
neutro da rede venha a ser suprimido, os dois nós neutros não estarão no mesmo 
potencial figura 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
VCN 
N 
A 
VAB 
VCA 
VBC 
C 
VBN VAN 
 ILB 
 ILC 
 ILA 
B A 
Z2 
Z3 
 Z1 
B 
VON IF3 
IF2 IF1 
Condutor neutro 
interrompido O 
Fig.3 
I F1 + I F2 + I F3 = 0 
 
VAB 
VBC 
VCA 
VAN 
VBN 
VCN 
IF1 
IF3 
IF2 
Fig.2 
IF2 
IF3 
IN 
IF1 
IF3 
IF2 
IN = IF1 + IF2 + IF3 = 3,15 A 
ω 
 
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17 
Através da figura 4, verifica-se que o neutro (N) da rede está representado na origem 
da circunferência, e que o neutro artificial (O) está deslocado em relação a esta 
origem, e desta forma, existe uma diferença de potencial entre o neutro da rede e o 
artificial denominado por VON, que, para os valores representados na figura 1, tem 
valor de: 
VON = 44,97 V 
 
O deslocamento do neutro artificial em relação ao neutro da rede é provocado pela 
condição de que a soma vetorial das correntes de fase tem que ser, 
obrigatoriamente, igual a zero (IF1 + IF2 + IF3 = 0), uma vez que não existe o 
condutor de neutro para que ocorra o retorno da corrente de desequilíbrio. 
 
Desta forma, como não existe a possibilidade de variação das impedâncias das 
cargas, ocorrerá o deslocamento do neutro artificial em relação ao neutro da rede, o 
que irá provocar sobretensão na fase de menor carga e subtensão na fase mais 
carregada. 
 
Em conseqüência da variação das tensões nas cargas, os módulos e os ângulos das 
correntes de fase irão variar para que seja atendida a condição imposta, IF1 + IF2 + IF3 
= 0. Apesar das variações das tensões de fase (VAO , VBO e VCO), o módulo e o 
ângulo das tensões de linha (VAB ,VBC e VCA ) permanecem inalterados. 
 
Com o neutro da rede rompido, o ângulo de defasagem entre os fasores 
representativos das tensões de linha e de fase (VAO , VBO e VCO) são diferentes de 
30º e, desta forma, a relação entre tensão de linha e de fase é diferente de 3 , 
como por exemplo: 
 
AO
AB
V
V ou 
BO
BC
V
V
 ou 
CO
CA
V
V
 3≠ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4 
VBN 
VAN 
VCO 
N 
VON 
VBO 
VCN 
VAO 
Neutro artificial 
deslocado em 
relaçãoao neutro 
da rede. 
Tensão entre o 
ponto comum da 
estrela e a fase 
Diferença de 
potencial entre o 
neutro da rede e o 
neutro artificial (VON) 
O 
ω 
 
Escola de Formação e Aperfeiçoamento Profissional – EFAP 
 
 
18 
A78,2I
50
V23,139
I
Z
V
I 2F2F
2
BO
2F =⇒Ω
=⇒= 
A65,1I
100
V43,165
I
Z
V
I 1F1F
1
AO
1F =⇒Ω
=⇒= 
A51,3I
25
V75,87
I
Z
V
I 3F3F
3
CO
3F =⇒Ω
=⇒= 
Os valores das sobretensões e subtensões nas fases após o rompimento do neutro, 
para os valores de impedância de carga e corrente de neutro representado na figura 
1, serão iguais: 
 
 
VAO = 165,43 V ; VBO = 139,23 ; VCO = 87,75 
 
 
As correntes nas fases após o rompimento do condutor neutro terão os seguintes 
valores: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
VCN 
N 
VBC 
C 
 ILC = 3,51 A 
B 
Z3 VON IF3 
A 
VAB 
VCA VBN VAN 
 ILB = 2,78 A 
 ILA = 1,65 
A 
A 
Z2 Z1 
B 
IF2 IF1 
O 
Fig.3 
 
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19 
3 CIRCUITO TRIÂNGULO 
 
3.1 Circuito triângulo equilibrado 
 
Na figura 1, está representado um circuito que tem uma carga trifásica equilibrada 
ligada em triângulo, ou um grupo de cargas monofásicas distribuídas igualmente 
entre as fases da rede trifásica formando uma ligação triângulo equilibrado. 
 
Estas cargas são alimentadas por uma fonte com os enrolamentos conectados em 
estrela(Y). Esta fonte pode ser um gerador, ou o secundário de um transformador 
trifásico conectado em Y. Não existe, é claro , um condutor de neutro, porque uma 
carga ∆ tem apenas três terminais de fase. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Para que um circuito seja triângulo equilibrado ele terá que atender às 
condições de equilíbrio, que são: 
 
• Impedâncias idênticas nas fases 
• Mesmo Ângulo de defasagem entre tensão e corrente nas fases 
• Cargas de natureza iguais nas fases 
 
A corrente de cada linha ( IL ) de alimentação de um circuito que esteja alimentando 
cargas ligadas em triângulo é diferente da corrente que percorre a carga. A corrente 
de carga é também denominada por corrente de fase ( IF ), sendo assim têm-se três 
correntes de fase e três correntes de linha que são: 
 
Correntes de fase: IF1 , IF2 e IF3 
 
Correntes de linha: ILA , ILB e ILC 
 
 
 
VA
 
VB
 
IF1 
IF3 
C 
A 
B 
Z2 
 Z1 Z3 
ILB 
ILC 
ILA 
Fig. 1 
ØA ØB 
ØC 
IF2 
VC
 
N 
 
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20 
⇒ Conseqüências do equilíbrio: 
 
• As correntes de linha são iguais: 
 
ILA = ILB = ILC 
 
• As correntes de fase são iguais: 
 
IF1 = IF2 = IF3 
 
 
⇒ Determinação das correntes de fase: 
 
A correntes de fase podem ser encontradas a partir de: 
 
 
 
 
 
Como o circuito é equilibrado as correntes de fase IF1, IF2 e IF3 possuem o mesmo 
módulo, mas defasadas entre si de 120º, então para encontrar as correntes de fase, 
basta encontrar a corrente em uma das fases e usá-la com a seqüência de fase para 
encontrar as outras duas. 
 
Como exemplo para representação fasorial das correntes de fase, na figura 2, foram 
consideradas as cargas sendo, puramente, resistivas, e assim o ângulo ( ϕϕϕϕ ) de 
defasagem entre corrente e tensão em cada fase é igual a zero. Verificamos, então, 
que IF1 está em fase VAB, IF2 com VBC e IF3 com VCA. 
 
Representação Fasorial das correntes de fase 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
BA
1F Z
V
I = 
2
CB
2F Z
V
I =
3
AC
3F Z
V
I = ; ; 
Figura 17.10 a 
VAB 
VBC VCA 
IF3 
IF1 
120º 
IF2 
120º 
120º 
Fig.2 
ω 
 
Escola de Formação e Aperfeiçoamento Profissional – EFAP 
 
 
21 
A2,2I
100
V220
I
Z
V
I 2F2F
2
BC
2F =⇒Ω
=⇒= 
A2,2I
100
V220
I
Z
V
I 1F1F
1
AB
1F =⇒Ω
=⇒= 
A2,2I
100
V220
I
Z
V
I 3F3F
3
CA
3F =⇒Ω
=⇒= 
Sendo a tensão de fase igual a 220V, e as impedâncias das cargas, Z1 = 100 Ω, Z2 = 
100 Ω e Z3 = 100 Ω, os módulos das correntes de fase serão iguais a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Determinação das correntes de linha: 
 
A corrente em cada uma das linhas de alimentação é a composição vetorial de duas 
correntes de fase em sentido contrário, o que se verifica na figura 3, e como as 
correntes de fase são equilibradas, as correntes de linha também serão. As 
correntes de linha são determinadas vetorialmente pela expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para análise vetorial das correntes de linha, foi considerado o circuito resistivo e as 
correntes de fase com valores já mencionados anteriormente, IF1 = 2,2 A, IF2 = 2,2 A 
e IF3= 2,2 A. 
 
Em relação aos valores das correntes de fase descritos, as correntes de linha terão 
seus módulos iguais a: 
ILA = IF1 + (- IF3) ; ILB = IF2 + (- IF1) ; ILC = IF3 + (- IF2) 
VA
 
VB
 
IF3 
C B 
Z2 
Z1 Z3 
ILB 
ILC 
ILA 
Fig.3 
ØA ØB 
ØC 
IF2 
VC
IF2 IF1 
IF3 IF2 
IF1 
 IF1 
I 
N 
 
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22 
 
 
 
 
Conforme se verifica no diagrama fasorial da figura 4, o ângulo de defasagem entre 
a corrente de cada uma das linhas e a respectiva corrente de fase para o circuito 
triângulo equilibrado é igual a 30º, e a corrente de fase está adiantada da de linha 
desde que seja acompanhada a seqüência de fase positiva A,B e C. Este ângulo de 
defasagem de 30º entre as correntes independe do módulo e do ângulo da 
impedância de carga. As correntes de linha ILA , ILB e ILC estão defasadas entre si 
em 120º e com a mesma seqüência de fase das correntes de fase. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Relação entre corrente de linha e de carga 
 
Em função do defasamento de 30º entre a corrente de linha IL e de carga IF para um 
circuito ∆ equilibrado, o módulo da corrente de linha é 3 vezes o módulo da 
corrente de fase : 
 
 
 
 
 
Para valores de corrente de fase exemplificados anteriormente, a corrente de linha é 
igual a : 
 
 
3.II3
I
I
FL
F
L ====⇒⇒⇒⇒==== 
A81,3I3.A2,2I LL ====⇒⇒⇒⇒==== 
ILA = IF1 + (- IF3) ⇒⇒⇒⇒ ILA = 3,81 A ; I LB = IF2 + (- IF1) ⇒⇒⇒⇒ ILB = 3,81 A 
ILC = IF3 + (- IF2) ⇒⇒⇒⇒ ILC = 3,81 A 
 
 
VBC 
VCA VAB 
VAN 
VBN 
VCN 
IF1 
IF2 
ILC 
120º 
120º 
30º 
30º 
 
30º 
 
IF3 
Fig.4 
ILA 
ILB 
-IF2 
-IF3 
-IF1 
120º 
ω 
 
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23 
Vetorialmente, podemos verificar a relação 3 entre a corrente de linha e a de fase. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Circuito triângulo desequilibrado 
 
Na figura 1, está representado um circuito que tem uma carga trifásica 
desequilibrada ligada em triângulo, ou um grupo de cargas monofásicas distribuídas 
entre as fases da rede trifásica formando uma ligação triângulo desequilibrado. 
 
Estas cargas são alimentadas por uma fonte com os enrolamentos conectados em 
estrela(Y). Esta fonte pode ser um gerador, ou o secundário de um transformador 
trifásico conectado em Y. Não existe, é claro , um condutor de neutro, porque uma 
carga ligada em triângulo tem apenas três terminais de fase. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VAB 
VB
 
VCA VAB 
VAN 
VBN 
VCN 
IF1 
IF2ILC 
120º 
120º 
30º 
30º 
 
30º 
 
IF3 
ILA 
ILB 
-IF2 
-IF3 
-IF1 
120º 
ω 
IF IF 
2
IL 
2
IL 
I L 
30º 
F
L
F
L
F
L
I
I
3
I
1
.
2
I
2
3
I
2
I
º30cos =⇒=⇒=
 
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24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Para que um circuito seja triângulo desequilibrado, basta atender a uma das 
condições de desequilíbrio, que são: 
 
• Impedâncias diferentes nas fases 
• Ângulo de defasagem entre tensão e corrente diferentes nas fases 
• Cargas de natureza diferentes nas fases 
 
⇒ Conseqüências do desequilíbrio: 
 
• As correntes de linha são diferentes: 
• As correntes de fase são diferentes: 
 
As correntes de fase podem ser diferentes em módulo, e os ângulos de defasagem 
entre as correntes podem se diferenciar de 120º, dependendo da natureza das 
cargas e do ângulo de defasagem entre tensão e corrente em cada uma das fases. 
 
O mesmo acontece com as correntes de linha, por serem a composição de correntes 
de fase desequilibradas. 
 
⇒ Determinação das correntes de fase: 
 
Como o circuito é desequilibrado, as correntes de fase terão que ser calculadas 
individualmente e podem ser encontradas a partir de: 
 
 
 
 
 
VA
VB
 
IF1 
IF3 
C 
A 
B 
Z2 
 Z1 Z3 
ILB 
ILC 
ILA 
Fig. 1 
ØA ØB 
ØC 
 
IF2 
VC
VAN VBN 
VCN 
N 
1
BA
1F Z
V
I = 
2
CB
2F Z
V
I =
3
AC
3F Z
V
I = ; ; 
 
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25 
A4,4I
50
V220
I
Z
V
I 2F2F
2
BC
2F =⇒Ω
=⇒= 
A2,2I
100
V220
I
Z
V
I 1F1F
1
AB
1F =⇒Ω
=⇒= 
A47,1I
150
V220
I
Z
V
I 3F3F
3
CA
3F =⇒Ω
=⇒= 
Como exemplo para representação fasorial das correntes de fase, na figura 2, foram 
consideradas as cargas sendo puramente resistivas, e com os valores das 
impedâncias diferentes nas três fases. Assim, as correntes possuem módulos 
diferentes, mas o ângulo (ϕ) de defasagem entre corrente e tensão em cada fase é 
igual a zero. Verificamos então que IF1 está em fase VAB, IF2 com VBC e IF3 com VCA. 
 
Representação Fasorial das correntes de fase 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na figura 3, foi representado um circuito triângulo alimentado por uma fonte trifásica 
de 220V / 127V - 60Hz, com desequilíbrio entre as três fases, sendo que as cargas 
são de natureza resistiva, mas com valores de impedâncias diferentes nas fases. As 
impedâncias das fases são: 
 
Z1 = 100Ω ; Z2 = 50 Ω ; Z3 = 150 Ω 
 
As correntes de fase serão iguais a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 17.10 a 
VAB 
VBC VCA 
IF3 
IF1 
120º 
IF2 
120º 
120º 
Fig.2 
ω 
Figura 17.11 a 
 
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26 
⇒ Determinação das correntes de linha: 
 
A corrente em cada uma das linhas de alimentação é a composição vetorial de duas 
correntes de fase em sentidos contrários, o que se verifica na figura 3, e como as 
correntes de fase são desequilibradas, as correntes de linha também serão. As 
correntes de linha são determinadas, vetorialmente, pela expressão: 
 
 
 
 
Para análise vetorial das correntes de linha foi considerado o circuito resistivo e as 
correntes de fase com valores já mencionados anteriormente, IF1 = 2,2 A, IF2 = 4,4 A 
e IF3 = 1,47 A. 
 
Em relação aos valores das correntes de fase descritos, as correntes de linha terão 
seus módulos iguais a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No diagrama fasorial da figura 4, estão representadas as correntes de linha 
determinadas através da composição vetorial das correntes de fase, verifica-se pelo 
diagrama fasorial que o ângulo de defasagem entre a corrente de cada uma das 
linhas e a respectiva corrente de fase para o circuito triângulo desequilibrado é 
diferente de 30º. 
 
 
ILA = IF1 + (- IF3) ; ILB = IF2 + (- IF1) ; ILC = IF3 + (- IF2) 
ILA = IF1 + (- IF3) ⇒⇒⇒⇒ ILA = 3,2 A ; I LB = IF2 + (- IF1) ⇒⇒⇒⇒ ILB = 5,82 A 
ILC = IF3 + (- IF2) ⇒⇒⇒⇒ ILC = 4,28 A 
 
VA
VB
IF1=2,2A 
IF3=1,47A 
C 
A 
B 
Z2 
 Z1 Z3 
ILB = 5,82 A 
ILC = 4,28 
A 
Fig. 3 
ØA ØB 
ØC 
 
IF2 
=4,4A 
VC
ILA = 3,2 A 
IF1 =2,2A IF3 =1,47A 
IF2 =4,4A IF1=2,2A 
IF3 =1,47A IF2 =4,4A 
VAN VBN 
VCN 
N 
 
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27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Relação entre corrente de linha e de carga 
 
Em função do defasamento entre a corrente de linha IL e de carga If ser diferente 
de 30º para um circuito triângulo desequilibrado, o módulo da corrente de linha 
é diferente de 3 vezes o módulo da corrente de fase : 
 
 
 
 
 
 
 
4 POTÊNCIA EM CIRCUITOS ESTRELA 
 
Num circuito estrela equilibrado ou desequilibrado, a tensão na carga é a tensão de 
fase (VF) da rede, e a corrente na carga (IF) é igual a corrente na linha (IL). 
 
 
 
 
 
 
 
 
VBC 
VCA VAB 
VAN 
VBN 
VCN 
IF1 
IF2 
ILC 
30º 
30º 
 
30º 
 
IF3 
Fig.4 
ILA 
ILB 
-IF2 
-IF3 
-IF1 
ω 
IL ≠ 3 . If 
 
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28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para se calcular a potência em um circuito estrela deve proceder da seguinte forma: 
 
4.1 Potência monofásica (1ø) num circuito estrela e quilibrado ou 
desequilibrado 
 
Quando está se calculando as potências por fase, as expressões abaixo são usadas 
tanto para o circuito estrela equilibrado, quanto para o desequilibrado. 
 
⇒ Potência aparente monofásica: 
 
 S1Ø = VF . IL (VA) 
 
⇒ Potência ativa monofásica: 
 
 P1Ø = VF . IL . cos ϕϕϕϕ (W) 
 
⇒ Potência reativa monofásica: 
 
 Q1Ø = VF . IL . sen ϕϕϕϕ (var) 
 
4.2 Potência trifásica (3ø) num circuito estrela eq uilibrado 
 
As expressões para cálculo das potências trifásicas em circuito estrela equilibrado 
não podem ser utilizadas para o circuito estrela desequilibrado. 
 
 
 
 
ØA 
ØB 
ØC 
N 
VF = VAN 
VF = VCN 
VF = VBN 
VL 
VL 
VL = VF . 3 
IL = IF 
 
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29 
 
⇒ Potência aparente trifásica: 
 
S3Ø = VF . IL . 3 (VA) 
 
Como 
3
V
V LF ==== , teremos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Potência ativa trifásica: 
 
P3Ø = S1Ø . cos ϕϕϕϕ . 3 ⇒⇒⇒⇒ P3Ø = VF . IL . 3 . cos ϕϕϕϕ (W) ou , 
 
 
P3Ø = S3Ø . cos ϕϕϕϕ ⇒⇒⇒⇒ 
 
 
 
⇒ Potência reativa trifásica: 
 
Q3Ø = S1Ø . sen ϕϕϕϕ . 3 ⇒⇒⇒⇒ Q3Ø = VF . IL . 3 . sen ϕϕϕϕ (var) ou , 
 
 
Q3Ø = S3Ø. sen ϕϕϕϕ ⇒⇒⇒⇒ 
 
 
 
4.3 Potência trifásica ( 3ø ) num circuito estrela desequilibrado 
 
Num circuito estrela equilibrado ou desequilibrado, as potências ativa de cada fase 
podem ser somadas, algebricamente, para se determinar a potência ativa trifásica 
(P3Ø), o mesmo acontece com as potências reativas por fase que podem ser 
somadas para se determinar a potência reativa trifásica (Q3Ø). Porém a potência 
aparente trifásica (S3Ø) para um circuito estrela desequilibrado só pode ser 
determinada atravésdo teorema de Pitágoras. 
 
 
)VA(3.I.VS
3
3.3.I.V
S
9
3.3.I.V
S
3
3
.3.I.
3
V
S3. I . 
3
V
 S
LL3Ø
LL
3Ø
LL
3ØL
L
3ØL
L
3Ø
====⇒⇒⇒⇒
====⇒⇒⇒⇒
====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====
 
 
 
)W(cos.3.I.VP LL3Ø ϕϕϕϕ==== 
(var)sen.3.I.VQ LL3Ø ϕϕϕϕ==== 
 
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30 
⇒ Potência ativa trifásica : 
 
P3Ø = PØA + PØB + PØC (W) 
 
⇒ Potência reativa trifásica : 
 
Q3Ø = QØA + QØB + QØC (var) 
 
⇒ Potência aparente trifásica : 
 
S3Ø = 
2
3Ø
2
 3Ø Q P ++++ 
 
 
4.4 Fator de potência monofásico ou trifásico (3ø) num circuito estrela 
equilibrado ou desequilibrado 
 
⇒ Fator de potência monofásico: 
 
FP1Ø = 
1Ø
1Ø
S
P
 
 
⇒ Fator de potência trifásico: 
 
FP3Ø = 
3Ø
3Ø
S
P
 
 
 
 
5 POTÊNCIA EM CIRCUITOS TRIÂNGULO 
 
Em um circuito triângulo equilibrado ou desequilibrado, a tensão na carga (VF) 
corresponde a tensão de linha (VL) da rede. 
 
Num circuito triângulo equilibrado, a corrente na linha de alimentação (IL) é √3 vezes 
maior que a corrente na carga (IF). Porém, para os circuitos triângulo desequilibrado 
a relação entre a corrente de linha (IL) e a de fase (IF) é diferente de √3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para se calcular a potência em um circuito triângulo deve proceder da seguinte 
forma: 
 
5.1 Potência monofásica (1ø) num circuito triângulo equilibrado ou 
desequilibrado 
 
Quando está se calculando as potências por fase, as expressões abaixo são usadas 
tanto para o circuito triângulo equilibrado quanto para o desequilibrado. Devemos, 
porém, observar que a corrente na carga é chamada de corrente de fase (IF), e que 
a tensão na carga corresponde à tensão de linha (VL) da rede. 
 
⇒ Potência aparente monofásica: 
 
 S1Ø = VL . IF (VA) 
 
⇒ Potência ativa monofásica: 
 
 P1Ø = VL . IF . cos ϕϕϕϕ (W) 
 
⇒ Potência reativa monofásica: 
 
 Q1Ø = VL . IF . sen ϕϕϕϕ (var) 
 
 
5.2 Potência trifásica (3ø) num circuito triângulo equilibrado 
 
As expressões para cálculo das potências trifásicas em um circuito triângulo 
equilibrado não podem ser utilizadas para o circuito triângulo desequilibrado. 
 
 
VF = VL 
VF = VL 
IF1 
IF3 
C 
A 
B 
Z2 
 Z1 Z3 
ILB 
ILC 
ILA 
ØA 
ØB 
ØC 
 
IF2 
VF = VL VL = VAB 
VL = VBC 
VL = VAC 
 
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32 
⇒ Potência aparente trifásica: 
 
S3Ø = VL . IF . 3 (VA) 
 
Como 
3
I
I LF ==== , teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒ Potência ativa trifásica: 
 
 
P3Ø = S1Ø . cos ϕϕϕϕ . 3 ⇒⇒⇒⇒ P3Ø = VL . IF . 3 . cos ϕϕϕϕ (W) ou , 
 
 
P3Ø = S3Ø. cos ϕϕϕϕ ⇒⇒⇒⇒ 
 
 
 
⇒ Potência reativa trifásica: 
 
 
Q3Ø = S1Ø . sen ϕϕϕϕ . 3 ⇒⇒⇒⇒ Q3Ø = VL . IF . 3 . sen ϕϕϕϕ (var) ou , 
 
 
Q3Ø = S3Ø. sen ϕϕϕϕ ⇒⇒⇒⇒ 
 
 
 
5.3 Potência trifásica ( 3ø ) num circuito triângul o desequilibrado 
 
Num circuito triângulo equilibrado ou desequilibrado, as potências ativas de cada 
fase podem ser somadas, algebricamente, para se determinar a potência ativa 
trifásica (P3Ø), o mesmo acontece com as potências reativas por fase que podem ser 
somadas para se determinar a potência reativa trifásica (Q3Ø). Porém a potência 
)VA(3.I.VS
3
3.3.I.V
S
9
3.3.I.V
S
3
3
.3. 
3
I
 . VS3. 
3
I
 . V S
LL3Ø
LL
3Ø
LL
3Ø
L
L3Ø
L
L3Ø
====⇒⇒⇒⇒
====⇒⇒⇒⇒
====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒====
 
 
 
(var)sen.3.I.VQ LL3Ø ϕϕϕϕ==== 
)W(cos.3.I.VP LL3Ø ϕϕϕϕ==== 
 
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33 
aparente trifásica (S3Ø) para um circuito triângulo desequilibrado só pode ser 
determinada através do teorema de Pitágoras. 
 
⇒ Potência ativa trifásica: 
 
P3Ø = PØA + PØB + PØC (W) 
 
⇒ Potência reativa trifásica: 
Q3Ø = QØA + QØB + QØC (var) 
 
⇒ Potência aparente trifásica: 
 
S3Ø = 
2
3Ø
2
 3Ø Q P ++++ 
 
 
5.4 Fator de potência monofásico ou trifásico (3ø) num circuito estrela 
equilibrado ou desequilibrado 
 
⇒ Fator de potência monofásico: 
 
FP1Ø = 
1Ø
1Ø
S
P
 
 
⇒ Fator de potência trifásico: 
 
FP3Ø = 
3Ø
3Ø
S
P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escola de Formação e Aperfeiçoamento Profissional – EFAP 
 
 
34 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
 
O’ Malley John. Análise de Circuitos 2ª Edição 
 
Gussow Millton. Eletricidade Básica 
 
Kerchner & Corcoran. Circuitos de Corrente Alternada 
 
Say M.G. Manual do Engenheiro Eletricista 
 
Martignoni Alfonso. Eletrotécnica 
 
Halliday & Resnick. Física 
 
Valkenburgh Van, Nooger & Neville Inc. Eletricidade Básica 
 
Apostilas de Eletrotécnica I, II e III - EFAP / CEMIG.