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QUESTÃO 1 
Um pesquisador de educação matemática realizou uma série de 
experimentos para medir a eficiência de estudo, em %, de seus alunos, 
durante algumas horas de estudo diárias na disciplina de Cálculo III. O 
pesquisador apontou que a eficiência é adequadamente modelada por uma 
função do tempo, cuja taxa de variação é expressa por dE/dt = 54 – 18t, em 
que E é a eficiência do estudo, cujo valor está no intervalo [0, 100]%, e t é o 
tempo, em horas. O pesquisador afirmou que para a turma analisada, a 
eficiência era nula em t = 0. 
Nessas condições, resolva os itens abaixo: 
a) escreva o PVI que descreve a situação e o resolva. 
Resolução: 
o 𝐸𝑞. 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 (𝐸𝐷𝑂) → 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 54 − 18𝑡 
o 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 → [0,100]% 
o 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 → 𝑡 = 0 
 
𝑪𝒐𝒏𝒅𝒊çã𝒐 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝐸 = 0 ∙ 𝑡 ⇒ 𝐸(0) = 0 
𝐸𝑞. 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑂𝑟𝑑𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 (𝐸𝐷𝑂) − 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟ê𝑠, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 
𝑑𝐸
𝑑𝑡
= 54 − 18𝑡 
𝑑𝐸 ∙ 1 = 𝑑𝑡 ∙ (54 − 18𝑡) 
𝑑𝐸 = 𝑑𝑡(54 − 18𝑡) 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
∫ 𝑑𝐸 = ∫(54 − 18𝑡)𝑑𝑡 
𝐸 = 54𝑡 − 18𝑡2 
𝐸 = 54𝑡 −
18𝑡2
2
+ 𝑘 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑘 
𝑬 = 𝟓𝟒𝒕 − 𝟗𝒕𝟐 + 𝒌 
𝑬𝒏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒌. 
𝑆𝑎𝑏𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖çã𝑜 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 é 𝐸 = 0 ∙ 𝑡 ⇒ 𝑬 = 𝟎 𝒆 𝒕 = 𝟎, 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑎 
𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝐸 = 54𝑡 − 9𝑡2 + 𝑘 
0 = 54 ∙ 0 − 9 ∙ 02 + 𝑘 ⇒ 0 = 0 − 0 + 𝑘 = 0 
𝑷𝒐𝒓𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒕𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒐 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒌 = 𝟎. 
𝑭𝒖𝒏çã𝒐 𝒅𝒐 𝑷𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑰𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 (𝑷𝑽𝑰) 
𝐸(𝑡) = 54𝑡 − 9𝑡2 
0 ≤ 54 − 9𝑡2 ≤ 100 
 
b) qual o domínio da função solução do item (a)? 
Resolução: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 → [0,100]%, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
0 ≤ 54 − 9𝑡2 ≤ 100 
54 − 9𝑡2 ≥ 0 → 𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
9𝑡(6 − 𝑡) ≥ 0 
𝑃𝑎𝑟𝑎 9𝑡 ≥ 0 ⇒ 𝒕 ≥ 𝟎. 
𝑃𝑎𝑟𝑎 6 − 𝑡 ≥ 0 ⇒ −𝑡 ≥ −6 (−1) ⇒ 𝒕 ≤ 𝟔. 
 
𝑫𝒐𝒎í𝒏𝒊𝒐 𝒅𝒂 𝒇𝒖𝒏çã𝒐 
𝐸(𝑡) = 54𝑡 − 9𝑡2 
𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠; 
𝑫(𝒇){𝒕 ∈ ℝ|𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟔} 
 
 
c) qual a eficiência, em 2 horas de estudo? 
Resolução: 
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 2, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
𝐸(𝑡) = 54𝑡 − 9𝑡2 
𝐸(2) = 54 ∙ 2 − 9 ∙ 22 
𝐸(2) = 108 − 36 
𝑬(𝟐) = 𝟕𝟐 
 
 
 
 
 
 
d) qual a eficiência máxima de estudo? E quando ocorre? 
Resolução: 
𝑉𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎: 
𝑆𝑒𝑗𝑎: 𝐸(𝑡) = 54𝑡 − 9𝑡2 
𝑋𝑣 = −
𝑏
2 ∙ 𝑎
 𝑒 𝑌𝑣 = −
∆
4 ∙ 𝑎
 
𝑃𝑎𝑟𝑎: 𝑋𝑣 = −
𝑏
2 ∙ 𝑎
⇒ 𝑋𝑣 = −
54
2 ∙ (−9)
 ⇒ 𝑋𝑣 = −
54
−18
⇒ 𝑿𝒗 = 𝟑 
∴ 𝒐 𝒗é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒏𝒐 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑿𝒗 = 𝟑. 
 
𝑃𝑎𝑟𝑎: 𝑌𝑣 = −
∆
4 ∙ 𝑎
 ⇒ 𝑌𝑣 =
−2916
4 ∙ (−9)
 ⇒ 𝑌𝑣 =
−2916
−36
 ⇒ 𝒀𝒗 = 𝟖𝟏 
∴ 𝒐 𝒗é𝒓𝒕𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒃𝒐𝒍𝒂 𝒏𝒐 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝒀𝒗 = 𝟖𝟏. 
𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑚 3 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 é 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑐𝑎𝑛ç𝑎𝑟 𝑎 𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 
𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 81%. 
 
e) o que acontece com a eficiência de estudo na medida em que o tempo 
transcorre dentro do domínio da função (domínio obtido em (b))? Justifique 
seus argumentos apresentando o gráfico da função solução. 
 
 
Imagem 1 
 
 
 
Imagem 2 
 
 
 
Imagem 3