aula 7

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introdução
Introdução
FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
ANÁLISE DIMENSIONAL EANÁLISE DIMENSIONAL E
TRANSFERÊNCIA DE CALORTRANSFERÊNCIA DE CALOR
Autor: Me. Rafaela Guimarães
Revisor : Mar io Ca l le f i
IN IC IAR
Nesta unidade, vamos estudar a teoria da semelhança e os critérios de aplicação desta teoria
através da análise de grandezas adimensionais. Faremos também um estudo sobre os
coe�cientes que podemos empregar no protótipo e no modelo, além de estudarmos o uso da
análise dimensional com equações diferenciais e a teoria da camada limite.
No tópico dois aprofundaremos nosso estudo sobre análise dimensional e teoria da
semelhança, analisando diversos tipos de escoamento e o balanço de energia com a inclusão
das perdas por calor, também conhecidas por perdas por atrito.
Depois, iniciaremos nosso estudo sobre as formas de transferência de calor e as equações
utilizadas na análise de problemas envolvendo esses tópicos. Por �m, terminaremos
analisando a radiação, a equação dos gases perfeitos e o conceito de resistividade térmica.
Assim, teremos percorrido um amplo caminho no estudo de fenômenos de transporte.
Muitos dos problemas envolvendo fenômenos de transporte são resolvidos por meio de
experimentos e análise de dados experimentais. Um dos objetivos de qualquer experimento
é obter resultados que podem ser usados em uma enorme gama de aplicações. O conceito de
semelhança pode ser utilizado para garantir este objetivo.
Teoria da Semelhança
De acordo com Munson, Young e Okiishi (2004, p. 344):
o conceito de semelhança garante que as medidas obtidas em um sistema (por
exemplo, em uma simulação com um protótipo feito em escala reduzida) possam
ser utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar (fora do
laboratório). O estudo dos fenômenos no modelo pode resultar em formulações
empíricas que serão capazes de fornecer predições especí�cas de uma ou mais
características de outro sistema similar.
Modelos e Semelhanças
Utilizamos modelos para simular grandes estruturas ou projetos como aviões, navios, portos,
barragens. Um modelo em Engenharia pode ser de�nido como uma representação de um
sistema físico que pode ser utilizado para predizer o comportamento de alguma característica
de um sistema. O sistema físico para o qual as predições são feitas é chamado de protótipo.
Existem modelos maiores que os originais, como modelos que utilizam células de glóbulos
vermelhos do nosso sangue.
Análise Dimensional eAnálise Dimensional e
Teoria da SemelhançaTeoria da Semelhança
Teoria dos Modelos
Esta teoria pode ser desenvolvida a partir da análise dimensional, sendo uma função de um
conjunto de termos pi, ou seja:
Π1 = 𝝓 (Π2, Π3, …, Πn) (Equação 4.1)
A formulação desta relação necessita do conhecimento da natureza geral do fenômeno físico
e das variáveis importantes do fenômeno. Não precisamos dos valores especí�cos. Podemos
aplicar a equação 4.1 em qualquer sistema que seja descrito pelas mesmas variáveis. Se a
equação 4.1 descreve o comportamento de um protótipo, uma relação similar pode ser
escrita para o modelo deste protótipo, dada por:
Π1 m = 𝝓 (Π2 m, Π3 m, …, Πn m) (Equação 4.2)
Onde a forma da função será a mesma desde que os fenômenos envolvidos no protótipo e no
modelo sejam os mesmos. As variáveis com o termo m serão utilizadas para o protótipo.
Agora vamos considerar que:
Π2 m = Π2 
Π3 m = Π3 (Equação 4.3)
Πn m = Πn 
Como a forma de 𝝓 é a mesma para o protótipo e para o modelo, temos:
Π1 m = Π1 (Equação 4.4)
A equação 4.4 nos mostra que o valor medido no modelo Π1 m será igual ao valor Π1 do
protótipo, desde que os outros termos π sejam iguais. As condições especi�cadas na equação
4.3 fornecem as condições de projeto do modelo e são chamadas de condições de
semelhança ou leis do modelo.
Um ou mais termos π precisam ter semelhança geométrica entre eles, ou seja, o protótipo
precisa ser uma versão em escala do modelo. Também precisamos que um ou mais
parâmetros sejam semelhantes, como a rugosidade super�cial ou o número de Reynolds. A
igualdade entre os termos π requer que a relação entre estas forças no modelo e no protótipo
sejam as mesmas.
Análise dos Coe�icientes de Transferência
As razões entre quantidades semelhantes do modelo e do protótipo precisam ter condições
de semelhança. Por exemplo, se num dado problema existem dois comprimentos
importantes l1 e l2, os critérios de semelhança nos termos pi precisam ser:
l1
l2
=
l1m
l2m
 (Equação 4.5)
De modo que:
l1m
l1
=
l2m
l2
 (Equação 4.6)
A razão 
l1m
l1
 é chamada de escala de comprimento. Só existirá uma escala de comprimento e
todos os comprimentos estarão �xados com esta escala. O mesmo é válido para os outros
parâmetros, como velocidade, viscosidade etc.
A escala de comprimento é representada por λl e as outras escalas por λv, λμ etc., onde o
subscrito indica o parâmetro. A indicação da escala é feita em razões 1/10 ou proporções 1:
10.
Se um ou mais critérios π não forem satisfeitos, como, por exemplo, se Π2 m ≠ Π2 , o modelo
será chamado de modelo distorcido. Modelos distorcidos são usados no estudo de
escoamentos em canais abertos ou escoamentos com superfícies livres devido à di�culdade
de encontrarmos um protótipo que satisfaça a relação Π2 m = Π2.
Balanços Diferenciais
Algumas vezes precisamos acrescentar equações à análise dimensional. Neste caso, podemos
utilizar as leis de semelhança conjuntamente com as equações diferenciais que descrevem o
fenômeno.
Vamos estudar o escoamento de um �uido Newtoniano com escoamento bidimensional para
ilustrar esse caso.
A equação que descreve o escoamento é a equação da continuidade, dada por:
du
dx
+
dv
dy
= 0 (Equação 4.7)
E as equações de Navier - Strokes (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004) para esse escoamento
são dadas por:
ρ 
du
dt
 + u 
du
dx
 + v 
du
dy
 = −
dp
dx
+ μ 
d2u
dx2
 + 
d2u
dy2
 ( Equação 4.8)
ρ 
dv
dt
 + u 
dv
dx
 + v 
dv
dy
 = −
dp
dy
− ρg + μ 
d2v
dx2
 + 
d2v
dy2
 (Equação 4.9)
Como podemos notar, o eixo y é vertical e a força gravitacional ρ g está presente apenas no
eixo y. Agora temos que estabelecer as condições de contorno. Vamos especi�car as
velocidades em todas as fronteiras da região que está sendo analisada. Adotaremos u = uB e
v = vB em todos os pontos da fronteira com x = xB e y = yB. Podemos também especi�car a
pressão na região da fronteira, ou, se nossa análise for de um escoamento transitório, temos
que estabelecer as condições iniciais, usualmente adotamos t = 0.
Nossas variáveis são u, v, p, x, y e t, de modo que necessitamos de uma velocidade de
referência (pode ser a velocidade de escoamento em um ponto distante, onde o escoamento
não será turbulento, ou a velocidade na seção de entrada de um canal), uma pressão de
referência p0, um comprimento de referência l (pode ser o comprimento de um corpo imerso
em um �uido ou a largura de um canal) e um tempo de referência τ. As variáveis
adimensionais (indicadas com asterisco) são dadas por:
u ∗ =
u
V
 v ∗ =
v
V
 p ∗ =
p
p0
 (Equação 4.10)
x ∗ =
x
l
 y ∗ =
y
l
 t ∗ =
t
τ
 (Equação 4.11)
As equações que descrevem o fenômeno podem, então, ser reescritas em função destas
novas variáveis. Logo:
du
dx
=
dVu ∗
dx ∗
dx ∗
dx
=
V
l
 
du ∗
dx ∗
 (Equação 4.12)
d2u
dx2
=
V
l 
d
dx ∗
du ∗
dx ∗
dx ∗
dx =
V
l2
 
d2u ∗
dx ∗
2 (Equação 4.13)
Todos os outros termos das equações podem ser expressos da mesma forma. Logo, as
equações que descrevem o fenômeno em função das novas variáveis serão:
du ∗
dx ∗
+
du ∗
dy ∗
= 0 (Equação 4.14)
( ) ( )
( ) ( )
( )
ρ V
τ
du ∗
dt ∗
+
ρ V2
l
u ∗ 
du ∗
dx ∗
 + v ∗ 
du ∗
dy ∗
 = −
p0
l
dp ∗
dx ∗
+
μ V
l2
d2u ∗
dx ∗
2 + 
d2u ∗
dy ∗
2 (Equação 4.15)
ρ V
τ
dv ∗
dt ∗
+
ρ V2
τ
u ∗ 
dv ∗
dx ∗
 + v ∗ 
dv ∗
dy ∗
 = −
p0
l
dp ∗
dy ∗
− [ρ g]+
μ V
l2
d2v ∗
dx ∗
2 + 
d2v ∗
dy ∗
2 (Equação 4.16
Sendo 
ρ V
τ = Fil (força de inércia local); 
ρ V2
l = Fic (força de inércia convectiva); 
p0
l = Fp
(força de pressão); [ρ g] = Fg (força gravitacional) e 
μ V
l2
 = Fv (força viscosa).
Os termos que aparecem entre colchetes são quantidades de referência que podem ser
interpretadas como indicativos das várias forças (por unidade de volume). Agora, vamos
dividir as equações (4.15) e (4.16) por 
ρ V2
l , que é o indicativo da força de inércia convectiva:
l
τ V
du ∗
dt ∗
+ u ∗ 
du ∗
dx ∗
 + v ∗ 
du ∗
dy ∗
= −
p0
ρ V2
dp ∗
dx ∗
+
μ 
ρ V l
d2u ∗
dx ∗
2 + 
d2u ∗
dy ∗
2 (Equação 4.17)
l
τ V
dv ∗
dt ∗
+ u ∗ 
dv ∗
dx ∗
 + v ∗ 
dv ∗
dy ∗
= −
p0
ρ V2
dp ∗
dy ∗
−
g l
V2
+
μ 
ρ V l
d2v ∗
dx ∗
2 + 
d2v ∗
dy ∗
2 (Equação 4.18)
Os termos entre colchetes são os grupos adimensionais (ou seus recíprocos) que foram
desenvolvidos na análise dimensional, sendo que 
l
τ V é o número de Strouhal; 
p0
ρ V2
 é o
número de Euler; 
g l
V2
 é o recíproco do número de Froude e 
μ 
ρ V l é o recíproco do número
de Reynolds.
Podemos concluir que cada um dos grupos adimensionais pode ser interpretado como uma
razão entre duas forças e que estes grupos adimensionais aparecem de maneira natural das
equações que descrevem os escoamentos.
Teoria da Camada Limite
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )
[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]( )
[ ] [ ] [ ] [ ]( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
Quando um corpo se move através de um �uido, há uma interação entre estes, ou seja,
surgem forças que atuam na interface �uido-corpo. Estas forças podem ser descritas em
função da tensão de cisalhamento na parede τp e da tensão normal, que é devida à pressão p.
Podemos obter o arrasto e a sustentação pela integração das tensões de cisalhamento e
normais ao corpo.
Como a obtenção das integrais das tensões normais e de cisalhamento são complexas,
utilizamos coe�cientes adimensionais de arrasto e de sustentação, conhecidos por CL
(coe�ciente de sustentação) e CD (coe�ciente de arrasto). Estes coe�cientes são dados por:
CL =
L
1
2 ρ U
2A
 e CD =
D
1
2 ρ U
2A
 (Equação 4.19)
Onde A é a área do objeto e U é a velocidade do escoamento em um ponto bem distante
(quando a diferença entre duas medidas for menor que 1%).
Os escoamentos externos possuem características que dependem de inúmeras variáveis.
Para simpli�car os cálculos, nós utilizamos os parâmetros adimensionais como o número de
Reynolds, o número de Froude, o número de Mach etc. Neste momento, vamos focar nossa
atenção no número de Reynolds e considerar um escoamento variando de acordo com este
parâmetro.
A maior parte dos escoamentos (água e ar) estão associados a objetos de tamanho
moderado, com comprimento entre 0,01 < l < 10 m e com velocidade variando entre 0,01 m/s
< U < 100 m/s. Assim, teremos números de Reynolds variando entre 10 < Re <109. Utilizamos
como regra geral que escoamentos com número de Reynolds Re > 100 são controlados pelos
efeitos da inércia, enquanto que Re < 1 são controlados pelos efeitos viscosos.
Agora vamos nos concentrar nos escoamentos com número de Reynolds bem menores do
que 1, como óleos, lagos, estações de tratamento de esgoto etc. A Figura 4.1 mostra três
escoamentos sobre uma placa plana com comprimento l.
Quando o número de Reynolds é pequeno, os efeitos da viscosidade são fortes e a placa
afetará bastante o escoamento uniforme. Por isso deveremos medir U em uma região muito
longe da placa.
Quando o número de Reynolds se torna moderado, a região onde se pode sentir o efeito da
viscosidade se limita à jusante da placa. Já para números de Reynolds grandes, o escoamento
será controlado pelos efeitos da inércia.
O físico alemão Ludwing Prandtl estudou os efeitos do escoamento na camada limite, que
pode ser de�nida por uma região muito �na e adjacente à superfície do corpo onde os efeitos
viscosos são muito importantes.
Fora da camada limite esses efeitos podem ser desprezados. Portanto, temos que estudar
algumas grandezas, como a velocidade em dois momentos:
Dentro da camada limite e
Fora da camada limite.
Vamos estudar a estrutura da camada limite considerando o movimento de uma partícula
�uida no campo de escoamento, conforme a Figura 4.2.
Quando a partícula entra na camada limite, o gradiente de velocidade faz com que ela
comece a distorcer, ou seja, o escoamento será rotacional dentro da camada limite. A partir
de uma distância, o escoamento se torna turbulento devido a esta distorção. O valor crítico
para que esta turbulência ocorra varia entre 2 x 103 a 3 x 106, essa variação é função da
rugosidade e da intensidade da turbulência presente no escoamento.
A função da camada limite na placa é permitir que o �uido mude sua velocidade do valor U
para zero na placa, ou seja, teremos um per�l de velocidade dado pela Figura 4.3.
O per�l de velocidade será dado por u = u(x, y) que satisfaça as condições V = 0 em y e V ≈ U
î em y = δ, ou seja, para δ = y, será adotado u = 0,99U.
Devido à diferença de velocidades U - u dentro da camada limite, a vazão através da seção b -
b é menor do que aquela apresentada na seção a - a. Assim:
δ ∗ =
∞
∫
0
1 − 
u
U
 dy (Equação 4.20)
Ou seja, a espessura de deslocamento representa o aumento de espessura necessário do
corpo para que a vazão do escoamento uniforme U seja igual a do escoamento viscoso
apresentado no resto do �uido. Portanto, podemos adicionar uma espessura de
deslocamento na parede real para simular este efeito.
praticar
Vamos Praticar
Na �gura a seguir temos a seção transversal de um componente estrutural longo de uma ponte.
Munson, Young e Okiishi (2004, p. 369) a�rmam que:
ocorre o desenvolvimento de vórtices na parte posterior do corpo e que estes são
desprendidos em uma forma regular e com frequência de�nida quando o vento escoa
em torno deste corpo. Estes vórtices podem criar forças periódicas que atuam na
estrutura e é importante sabermos a frequência de emissão destes componentes.
Para a estrutura mostrada na Figura 4.4, temos que D = 0,2 m, H = 0,6 m e a velocidade do vento é
igual a 25 km/h.
( )
Admitindo que as condições do ar são as normais, a frequência de emissão dos vórtices deve ser
determinada utilizando um modelo (Dm = 40 mm) que deve ser testado em um túnel de água. A
temperatura da água no túnel é de 20ºC. Considerando que as propriedades do ar na condição
padrão são μ = 1,79 x 10-5 kg/ms e ρ = 1,23 kg/m3 e as da água a 20ºC são μ = 1,00 x 10-5 kg/ms e ρ =
998 kg/m3, após a determinação Hm do modelo e da velocidade do escoamento de água no teste, se
a frequência do modelo for de 25 Hz, a frequência de desprendimento dos vórtices será um número
entre:
a) 0 e 10 Hz.
b) 11 e 20 Hz.
c) 21 e 30 Hz.
d) 31 e 40 Hz.
e) Acima de 41 Hz.
Os escoamentos reais apresentam dissipação de energia mecânica por causa do atrito
viscoso e possuem a propriedade de aderência do �uido às superfícies sólidas. A seguir,
vamos estudar como obter um balanço de massa, quantidade de movimento e calor para
esses escoamentos.
Analogias Entre Balanço de Massa,
Quantidade de Movimento e Calor
A perda de carga, de acordo com Livi (2017, p. 112):
representada por hp, é a parcela de energia mecânica do escoamento que é
irreversivelmente convertida em energia térmica por causa do atrito viscoso entre
duas seções consideradas. Ela também representa a energia mecânica por
unidade de peso do �uido que é dissipada devido ao atrito viscoso.
Temos dois tipos diferentes de perda de carga, ainda de acordo com Livi (2017, p. 112), dados
por:
• Perda de carga distribuída, hp,d, que ocorre devido ao atrito viscoso ao longo
da tubulação entre duas seções;
• Perda de carga localizada ou acidental, hp,l, que ocorre devido aos acessórios
ou acidentes localizados em determinadas posições nas tubulações como, por
exemplo, as válvulas, as variações de diâmetro nas seções da tubulação, as
curvas etc.
Perdade CargaPerda de Carga
A perda de carga total dada por hp será a soma de todas as perdas de cargas distribuídas e
localizadas entre 2 seções, dada por:
hp = ∑ hp , d + ∑ hp , l (Equação 4.21)
Tomemos como exemplo um duto horizontal de diâmetro D constante, conforme está
mostrado na Figura 4.5, onde temos um escoamento permanente de um �uido
incompressível de massa especí�ca ρ, não havendo perda de carga localizada.
Na seção (1) temos uma pressão estática p1 e na seção temos uma pressão p2. A perda de
carga distribuída, devido ao atrito viscoso entre as seções (1) e (2) que são separadas por um
comprimento L, pode ser dada pela equação de Bernoulli somada a perda de carga, dada por:
y1 +
V21
2 g
+
p1
ρ g
= y2 +
V22
2 g
+
p2
ρ g
+ hp, d (Equação 4.22)
Neste exemplo, temos duto horizontal de diâmetro constante, então V1 = V2 e y1 = y2, logo, a
equação (4.22) �ca reduzida a:
hp , d =
p1 − p2
ρ g
 (Equação 4.23)
Ou seja, segundo Livi (2017, p. 112), “a perda de carga distribuída, em um escoamento dentro
de um duto horizontal com diâmetro constante, é dada pela queda de carga da pressão entre
as duas seções consideradas”.
Através de simulações, veri�camos que, para escoamentos dentro de seções tubulares
constantes, a queda de pressão estática, devido ao atrito viscoso entre duas seções, depende
do diâmetro do duto, da rugosidade da parede do tubo, da velocidade média do escoamento,
da massa especí�ca e da viscosidade do �uido. A equação de Darcy-Weisbach relaciona estas
variáveis e é dada por:
hp , d = f
L
D
 
V2
_
2 g
 (Equação 4.24)
Onde f é um coe�ciente de proporcionalidade chamado de fator de atrito, L é o comprimento
considerado do duto, D é o diâmetro interno da tubulação e V− é a velocidade média do
escoamento.
Livi (2017, p. 113) ressalta que se pode obter   “o fator de atrito f experimentalmente, ele é
função de dois parâmetros adimensionais dados por:
f = f Re, 
e
D
 (Equação 4.25)
Onde Re é o número de Reynolds do escoamento e 
e
D é a rugosidade relativa do duto”.
Ainda recorrendo a Livi (2017, p. 113), temos que esta rugosidade pode ser de�nida “como a
altura média das saliências da superfície interna do duto e a rugosidade relativa é o quociente
entre a rugosidade e o diâmetro interno do duto, sendo que ambos são expressos nas
mesmas unidades”.
O fator de atrito f pode ser obtido pelo diagrama de Moody dado na �gura 4.6, este fator é
adimensional.
( )
Podemos determinar a rugosidade relativa 
e
D quando conhecermos o diâmetro do duto e o
material que ele foi construído através do diagrama mostrado na Figura 4.7.
A perda de carga localizada (também chamada de acidental) hp,l é obtida por meio da
equação:
hp , l = K
V2
_
2 g (Equação 4.26)
Figura 4.6 - Diagrama de Moody para os fatores de atrito para escoamentos em dutos de
seção circular
Fonte: Livi  (2017, p. 113).
Figura 4.7 - Diagrama de Moody para a rugosidade relativa de dutos de seção circular
Fonte: Livi  (2017, p. 114).
Sendo que K é o coe�ciente de perda de carga localizada. Ele é determinado
experimentalmente para cada componente da tubulação e pode ser encontrado em tabelas e
manuais do fabricante.
Aplicação da Análise Dimensional
A seguir, estudaremos a análise dimensional no estudo dos modelos de escoamentos em
condutos fechados, em torno de corpos imersos e com superfície livre, assim teremos um
padrão que poderá ser aplicado na maioria das análises de fenômenos de transporte.
Escoamento em Condutos Fechados
Estes escoamentos ocorrem em tubos, válvulas, conexões ou outros dispositivos e
geralmente são usados para a medida de características dos escoamentos. A maioria destes
componentes possui seção transversal circular, mas podem apresentar outros formatos.
Como não existe uma interface com a atmosfera, as forças dominantes são as de inércia e as
devido à viscosidade do �uido.
Se o número de Ma for menor do que 0,3, os efeitos da compressibilidade podem ser
desprezados. Geralmente estes escoamentos são descritos por uma série de termos de
comprimento dados por l1, l2, ...li, onde l é alguma dimensão de comprimento. Esta série nos
leva a uma série de termos π que possuem a forma:
Πi =
li
l
 (Equação 4.27)
Sendo i = 1, 2, … Dois fatores são importantes nesse tipo de escoamento: a rugosidade das
superfícies internas e a geometria básica do sistema. Se de�nirmos a altura média da
rugosidade da superfície como ε, o termo π que representa a rugosidade será de�nido por 
ε
l .
A rugosidade da superfície tem que estar em escala para podermos obter a semelhança
geométrica completa. Para isto, a superfície do modelo tem que ser mais lisa do que aquela
do protótipo se a escala de comprimento for menor do que 1.
Um termo do nosso interesse, por exemplo, a queda de pressão, pode ser obtido por:
Termo π dependente = 𝝓 
li
l ,
ε
l , 
ρ V l
μ            (Equação 4.28)
Esta é a fórmula geral para qualquer tipo de problema. Os dois primeiros termos π no lado
direito da equação (4.28) dizem respeito ao critério da semelhança geométrica, dado por:
( )
lim
lm
=
li
l
 e 
εm
lm
=
ε
l
 (Equação 4.29)
ou
lim
li
=
εm
ε
=
lm
l
= λi (Equação 4.30)
Ou seja, podemos escolher a escala, mas uma vez escolhida temos que utilizá-la em todos os
comprimentos.
Outro critério de semelhança será dado pelo número de Reynolds:
ρm Vm lm
μm
=
ρ V l
μ (Equação 4.31)
Logo, a relação entre a velocidade no modelo e a no protótipo será igual a:
Vm
V
=
μm
μ
 
ρ
ρm
 
l
lm
 (Equação 4.32)
Ou seja, o valor real da escala de velocidade será função das escalas de viscosidade dinâmica,
de massa especí�ca e de comprimento. Se utilizarmos o mesmo �uido no modelo e no
protótipo, podemos simpli�car a equação (4.32), porque μm = μ e ρm = ρ. O resultado desta
simpli�cação será dado por:
Vm
V
=
l
lm
 (Equação 4.33)
Ou seja, a velocidade do �uido no modelo será maior do que aquela no protótipo se a escala
for menor do que 1, porque Vm = V /λi.
O termo π dependente será igual no modelo e no protótipo se os critérios de semelhança
forem satisfeitos. Vamos considerar que a variável dependente é a variação de pressão (Δp)
entre dois pontos ao longo de um conduto fechado. Então, o termo π dependente será dado
por:
Π1 =
Δp
ρ V2
 (Equação 4.34)
Portanto, a queda de pressão no protótipo pode ser então calculada com a relação:
Δp =
ρ
ρm
 
V
Vm
2
Δpm (E'quação 4.35)( )
Ou seja, a queda de pressão varia de acordo com a densidade do �uido, dividida pela
densidade do modelo, o quadrado da velocidade do �uido dividida pela velocidade do
modelo e a variação da pressão no modelo. Deste modo, é possível se calcular a pressão no
protótipo a partir da pressão no modelo.
Escoamentos em Torno de Corpos Imersos
Estes modelos são utilizados no estudo das características dos escoamentos associados a
aviões, automóveis, bolas de golfe, construções etc. Os critérios de semelhança são similares
aos estudados em escoamentos em dutos fechados, ou seja, temos que manter a semelhança
geométrica e os números de Reynolds no modelo e no protótipo devem ser iguais.
Para escoamentos incompressíveis (onde o número de Mach é desprezado), a fórmula geral
aplicada a este problema será a mesma equação 4.28.
Geralmente, a variável que queremos neste tipo de problema é o arrasto desenvolvido no
corpo, representado pela letra D, ou melhor, o coe�ciente de arrasto dado por:
CD =
D
1
2 ρ V
2 l2
 (Equação 4.36)
Onde l2 é usado para representar a área do objeto. Se igualarmos a equação 4.36 à equação
geral dada por 4.28, teremos:
D
1
2 ρ V
2 l2
= CD = 𝝓
li
l
,
ε
l
, 
ρ V l
μ
 (Equação 4.37)
O critério de semelhança geométrica também será dado pelas equações 4.29  a 4.31. Logo,
teremos:
D
1
2 ρ V
2 l2
=
Dm
1
2 ρ
2
m V
2
m l
2
m
 (Equação 4.38)
ou
D =
ρ
ρm
 
V
Vm
2
 
l
lm
2
Dm (Equação 4.39)Esta equação fornece um modo para calcular o arrasto no protótipo D a partir da medição do
arrasto no modelo Dm.
( )
( ) ( )
Escoamento em Super�ície Livre
Os escoamentos em canais, rios, vertedouros e cascos de navios são exemplos de
escoamentos em superfícies livres. Nesta classe de problema, as forças gravitacional e de
inércia são muito importantes, portanto, o número de Froude é um parâmetro importante de
semelhança, assim como as forças de tensão super�cial e o número de Weber. A fórmula
geral para problemas em uma superfície livre pode ser expressa como:
Termo π dependente = 𝝓 
li
l ,
ε
l , 
ρ V l
μ , 
V
(g l ) 1 / 2
, 
ρ V2l
σ            (Equação 4.40)
O número de Froude do modelo e do protótipo devem ser iguais, ou seja:
Vm
gm lm
1 / 2
=
V
(g l)1 / 2
 (Equação 4.41)
Fazemos isso operando o modelo e o protótipo no mesmo campo gravitacional, ou seja:
Vm
V
=
lm
l
1 / 2
= λi (Equação 4.42)
( )
( )
( ) √
Portanto, a escala da velocidade será determinada pela raiz quadrada da escala de
comprimento.
Do mesmo modo, podemos obter a relação entre o número de Reynolds e a velocidade que
será dado por:
Vm
V
 = λi
3 / 2 (Equação 4.43)
Como utilizamos no protótipo água doce ou salgada e a escala de comprimento é pequena,
precisamos que o critério de semelhança seja mantido também no número de Weber dado
por:
σm
ρm
σ
ρ
= λi
2 (Equação 4.44)
É claro que muitas vezes temos que utilizar algumas simpli�cações devido a di�culdade de
igualar todos os critérios de semelhança.
praticar
Vamos Praticar
“Dados a vazão do escoamento, a massa especí�ca ρ, o diâmetro e o comprimento do tubo,
podemos calcular o número de Reynolds” (LIVI, 2017, p. 152).  
A água está escoando em uma tubulação onde a parede é de aço comercial. Esse �uido possui
viscosidade de 0,001 Pa.s e massa especí�ca igual 1.000 kg/m3. Nestas condições, a vazão da água é
igual a 0,04 m3/s. A seção circular da tubulação apresenta diâmetro de 20 e comprimento de 600 m.
A perda de carga distribuída ao longo da tubulação será um número entre:
a) 0 a 10 m.
b) 11 a 20 m.
c) 21 a 30 m.
d) 31 a 40 m.
e) Acima de 40 m.
( )
( )
A termodinâmica, de acordo com Moran (2005, p. 07), estuda:
as relações entre as propriedades de um sistema e as trocas de calor e trabalho
com a vizinhança, fornecendo informações sobre a quantidade de energia (calor)
envolvida para o sistema passar de um estado inicial a um estado �nal em um
dado processo termodinâmico.
De acordo com Livi (2017, p. 157), podemos de�nir “o calor como a energia que é transferida
em função de uma diferença de temperatura”.
Além disso, o autor a�rma que   “a transferência de calor é a área da ciência que estuda os
mecanismos de transporte de calor e a determinação das distribuições de temperatura e dos
�uxos ou taxas de transferência de calor” (LIVI, 2017, p. 157).
Temos três formas de transferir calor ilustradas na Figura 4.8:
Condução: ocorre devido ao aquecimento do metal que está interno ao cabo da
panela;
Convecção: ocorre devido ao aquecimento da água;
Radiação: ocorre nas chamas do fogão.
Estas três formas de calor podem ocorrer simultaneamente ou separadas. Muitas vezes uma
aplicação começa utilizando a transferência de calor por condução, depois utiliza a convecção
e, por �m, termina também usando a radiação, como é o caso de quando fervemos água em
uma panela de ferro, que aquece através das chamas do fogão. A água ferverá mais
rapidamente devido às várias formas de transferência de calor.
Introdução aIntrodução a
Transferência de CalorTransferência de Calor
Segundo Livi (2017, p. 157):
o �uxo de calor é a taxa de transferência de calor, ou a quantidade de calor que é
transferida através de uma superfície por unidade de tempo e a densidade de
�uxo de calor é a quantidade de calor que é transferida por unidade de tempo e
por unidade de área.
Condução
De acordo com Livi (2017, p. 157), “a condução é caracterizada pela transferência de energia
térmica em um meio material sólido ou �uido, causada pela existência de um gradiente de
temperatura”.
Livi (2017, p. 157) adicionalmente estabelece que   “a densidade de �uxo de calor por
condução é diretamente proporcional ao gradiente de temperatura, ou seja, em um processo
na direção do eixo x”, sendo assim, temos:
qx = − k
dT
dx (Equação 4.45)
Sendo que Livi (2017, p. 157) denomina “qx como sendo a densidade de �uxo de calor por
condução na direção x; 
dT
dx como o gradiente de temperatura na direção x e k como o
coe�ciente de proporcionalidade conhecido como condutividade térmica do material”. Esta
equação também é conhecida como equação unidimensional de Fourier para a condução de
calor.
Finalmente, Livi (2017, p. 158) estabelece que “a densidade de �uxo de calor é a taxa de
transferência de calor por unidade de área” e é dada por:
Qx
A
= − k
dT
dx
 (Equação 4.46)
Sendo “Qx como  o �uxo de calor por condução na direção x e A como a área da seção normal
ao �uxo de calor” (LIVI, 2017, p. 158).
A equação geral de Fourier para a condução de calor escrita na forma vetorial é dada por:
q− = − k−T (Equação 4.47)
O sinal negativo na equação é devido ao fato de que o �uxo de calor por condução se dá no
sentido contrário ao gradiente (ᐁ) de temperatura.
Recorrendo novamente a Livi (2017, p. 158), temos que “a condução de calor é uma
transferência de energia térmica através de um meio material sólido ou �uido em função de
um gradiente (diferença) de temperatura”. Este �uxo ocorre da região de maior temperatura
para a região de menor temperatura.
Os materiais que são bons condutores de calor são, em geral, bons condutores de
eletricidade como os metais (cobre, ouro, alumínio), ou seja, a condutividade térmica é a
propriedade do material de conduzir calor e, na maioria das vezes, essa propriedade é
dependente da temperatura.
Convecção
Esta transferência de calor ocorre pelo deslocamento de uma massa �uida. Quando um �uido
está em movimento, existe uma distribuição não uniforme de temperatura que produz um
gradiente de temperatura (condução) e o transporte dessa massa �uida também produz
calor.
Esta transferência é classi�cada em função do escoamento em:
Convecção forçada que é causada por agentes externos como ventiladores e
bombas;
Convecção natural ou livre que é causada por forças devida ao gradiente de massa
especí�ca que produz diferenças de temperatura no �uido.
Como já aprendemos, quando um �uido se movimenta sobre uma superfície sólida podemos
dividir o campo da velocidade em duas regiões principais: uma junto à superfície sólida e
outra mais distante (fora da camada limite) que apresenta uma distribuição uniforme de
velocidade chamada de escoamento livre.
Do mesmo modo, quando existir uma diferença de temperatura entre a superfície sólida e o
�uido adjacente a ela, podemos dividir o campo da temperatura do �uido em dois: um junto à
superfície sólida chamado de camada limite térmica e um outro mais distante onde o �uido
apresenta distribuição uniforme de temperatura.
Considerando uma situação de transferência de calor, por convecção forçada, de uma placa
sólida aquecida, vamos manter a superfície da placa a uma temperatura constante T, sendo
que o �uido adjacente possui Temperatura T∞ conforme é mostrado na Figura 4.9.
Temos a formação de uma película �uida em repouso aderida à placa devido à propriedade
da aderência dos �uidos viscosos às superfícies sólidas. A velocidade de escoamento nesta
película é zero, sendo que o calor é transferido somente por condução.
À medida que o �uido escoa sobre a superfície sólida, temos um efeito retardado exercido
pela placa sobre o movimento das partículas do �uido, de maneira que a espessura $\delta $
da camada limite hidrodinâmica aumenta em função do eixo x, que tem origem no bordo de
ataque da placa.
Se a superfície da placa e o escoamento livre do �uido apresentarem temperaturas
diferentes, aparecerá uma camadalimite térmica com espessura δT que aumentará à medida
que o �uido escoar sobre a superfície sólida.
Alguns valores típicos do coe�ciente de transferência de calor por convecção são dados na
Tabela 4.1.
Tabela 4.1 - Valores típicos do coe�ciente de transferência de calor por convecção
Fonte: Bergman e Lavine (2019, p. 06).
O número de Prandtl é dado pela relação entre as espessuras das camadas limites
hidrodinâmica e térmica, e é um parâmetro adimensional que representamos por Pr, que é
de�nido como o quociente entre a viscosidade cinemática e a difusividade térmica do �uido,
dado por:
Pr =
ν
α (Equação 4.48)
Para os gases, o número de Prandtl é próximo da unidade. Já para os metais líquidos, temos
Pr <<1 e para os óleos viscosos, Pr >> 1.
Para a mesma situação representada pela �gura 4.8, a densidade de �uxo de calor por
convecção é diretamente proporcional à diferença entre as temperaturas da superfície sólida
e do �uido e é dada por:
q = h(Ts − T∞) Equação4.49)
Onde q é a densidade de �uxo de calor por convecção, Ts é a temperatura da superfície
sólida, T∞ é a temperatura do �uido e h é o coe�ciente de transferência de calor por
convecção também chamado de coe�ciente de película. A equação (4.49) é conhecida por Lei
de Newton do resfriamento.
Este coe�ciente h depende do tipo de escoamento, da geometria do sistema, das
propriedades do �uido, se a convecção é forçada ou natural, e da posição ao longo da
superfície. Geralmente este coe�ciente é determinado experimentalmente.
praticar
Vamos Praticar
“Um forno industrial foi construído com tijolo refratário de 0,25 cm de espessura, conforme mostra a
Figura 4.10. A condutividade térmica do tijolo usado na construção é de 1,7 W/m.K. Os medidores de
temperatura instalados na parede externa e interna deste registraram medidas de 1.200 e 1.500ºC,
respectivamente. Este forno foi construído com 1,4 m de comprimento por 0,75 m de altura. A taxa
de calor perdida neste sistema será um número entre:
a) Entre 0 e 500 W.
b) Entre 501 e 1.000 W.
c) Entre 1.001 e 1.500 W.
d) Entre 1.501 e 2.000 W.
e) Acima de 2.001 W.
Continuando nosso estudo de transferência de calor, agora vamos estudar a radiação, a Lei
dos Gases Perfeitos e o conceito de resistividade térmica, ou seja, a maior ou menor
facilidade que um material possui de absorver calor e a relação deste conceito com a
Termodinâmica.
Radiação
Livi (2017, p. 161) a�rma que “a  radiação é quando ocorre uma transferência de calor sem a
necessidade de um meio material, o transporte de energia tem e�ciência máxima através do
vácuo absoluto”.
Qualquer superfície com temperatura acima de 0 K emite radiação térmica. Um corpo negro
pode ser de�nido como uma superfície que absorve totalmente a radiação incidente sobre
ele. Este corpo negro (radiador ideal) emite radiação térmica com uma densidade de �uxo
dada pela Lei de Stefan-Boltzmann (quando o nome de uma lei aparece separado por hífen, o
hífen indica que a lei foi descoberta por dois cientistas), dada por:
q = σT4s (Equação 4.50)
Onde q é a densidade de �uxo de energia radiante emitida pela superfície, $\sigma $é a
constante de Stefan-Boltzmann e Ts é a temperatura absoluta da superfície.
As superfícies reais emitem menos energia que um corpo negro, então a densidade de �uxo
destas superfícies será dada por:
Transferência de CalorTransferência de Calor
q = εσT4s (Equação 4.51)
Onde ε é a emissividade da superfície.
Segundo Livi (2017, p. 161), “a emissividade ε é uma propriedade da superfície e indica a
e�ciência com que a radiação térmica é emitida pela superfície em comparação com um
corpo negro”, como é o caso das substâncias não metálicas que possuem emissividade alta,
enquanto que os metais polidos apresentam emissividade baixa.
Lei dos Gases Perfeitos
Gases são mais compressíveis que líquidos. De acordo com Munson (2004, p. 11-12), “a massa
especí�ca de um gás está relacionada com a pressão e a temperatura através da equação:
p = ρRT (Equação 4.52)
Sendo que p é a pressão absoluta, ρ é a massa especí�ca,  T é a temperatura absoluta (em
Kelvin) e R é a constante do gás. A equação (4.52) é chamada de Lei dos gases perfeitos ou de
equação de estado para os gases perfeitos, porque aproxima o comportamento dos gases
reais nas condições normais. A pressão é dada em N/m2 ou Pa e a pressão absoluta pode ser
obtida somando-se a pressão relativa com a pressão atmosférica local (MUNSON; YOUNG;
OKIISHI, 2004,  p. 11-12).
Resistência Térmica
Bergman (2019, p. 08) a�rma que   “os três modos de transferência de calor, condução,
convecção e radiação, apresentam uma taxa de transferência de calor” que pode ser
representada na forma:
q =
dx
dt A =
ΔT
Ri
 (Equação 4.53)
Onde Δ T é a diferença de temperatura e A é a área perpendicular à direção da transferência
de calor. Chamamos Ri de resistência térmica.
A energia térmica é constituída por uma componente sensível, chamada de Usens, que leva
em consideração os movimentos de translação, rotação e vibração dos átomos que compõem
a matéria e um componente latente Ulat, que é relacionado com as forças intermoleculares
ligadas a mudanças de fase entre os estados sólido, líquido e gasoso.
Os índices de Usens e Ulat são associados ao calor especí�co, chamado de c de um material.
Imaginemos um volume de controle em regime estacionário e na ausência de geração de
energia térmica ou mecânica, ou seja, a energia de entrada é igual a energia de saída. O
coe�ciente de energia chamado de calor especí�co c é conhecido, assim como a temperatura
de entrada e saída do nosso volume de controle. A relação entre estas grandezas é dada pela
1ª Lei da Termodinâmica, ou seja:
q = mc (Tsai − Tent) (Equação 4.54)
O lado direito da equação 4.54 representa a taxa líquida de saída da entalpia (a energia
térmica mais trabalho do escoamento) para um gás ideal ou de saída de energia térmica de
um líquido incompressível.
praticar
Vamos Praticar
A Figura 4.11 mostra uma tubulação de vapor d’água, esta não tem isolamento térmico e atravessa
uma sala que está a uma temperatura ambiente de 25 ºC. Medimos a temperatura externa de tubo
de diâmetro externo de 50 mm e a leitura foi de 300 ºC, sendo que esta superfície possui
emissividade igual a 0,9.
Adotar  que σ = constante de Stefan-Boltzmann que vale 5,67 x 10-8 W/(m2. K4).
Dado que o coe�ciente associado à transferência de calor por convecção natural da superfície para o
ar é igual a 15 W/m2K, a taxa de calor perdida pela superfície por unidade de comprimento do tubo
será um número entre:
a) 0 a 500 W/m.
b) 501 a 1.000 W/m.
c) 1.001 a 1.500 W/m.
d) 1.501 a 2.000 W/m.
e) acima de 2.001 W/m.
indicações
Material
Complementar
FILME
Volcano
Ano: 1997
Comentário: O �lme conta o caos que seria se um terremoto
provocasse uma erupção vulcânica na cidade de Los Angeles. A lava
utiliza as diversas tubulações de água e do metrô para queimar e
destruir a cidade. Bombeiros, engenheiros e geólogos se juntam
para criar um plano e tentar desviar a lava para o mar. No vídeo, é
possível acionar as legendas.
TRA ILER
LIVRO
Princípios de Termodinâmica para Engenharia
Editora: LTC
Autores: MICHAEL, J. M.; SHAPIRO, H. N., BOETTNER, D. D.; BAILEY,
M. B.
ISBN: 978-85-216-3489-8
Comentário: Este livro estuda de uma forma prática a
Termodinâmica e suas Leis. Ele tem uma explicação muito didática
sobre o ciclo de Rankine que é apresentada nas páginas 357 a 364,
inclusive com exemplo muito ilustrativo.
conclusão
Conclusão
Chegamos ao �nal de nosso estudo e nesta unidade foi possível entender as vantagens da
análise dimensional aliadas com a aplicação de equações diferenciais para podermos simular
situações reais em laboratório.
Também aprendemos sobre as perdas nas tubulações por calor ou atrito e como incluí-las no
estudo do balanço de energia, massa e movimento.
Além disso, estudamos a transferênciade calor por convecção e condução, assim como suas
aplicações técnicas.
Encerramos nosso estudo com a radiação e a resistividade térmica dos materiais. Assim,
pudemos ter um amplo panorama dos fenômenos de transporte, sua utilização e aplicações
na Engenharia.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BERGMAN, T. L.; LAVINE, A. S. Incropera Fundamentos de Transferência de Calor e de
Massa. Tradução e revisão técnica de Fernando Luiz Pellegrini Pessoa, Eduardo Mach Queiroz
& André Luiz Hemerly Costa. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019.
LIVI, C. P. Fundamentos de Fenômenos de Transporte: um texto para Cursos Básicos. 2. ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MORAN, M. J.; SHAPIRO, H. N.; MUNSON B. R.; DEWITT, D. P.   Introdução à Engenharia de
Sistemas Térmicos: Termodinâmica, Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor.
Tradução de Carlos Alberto Biolchini da Silva. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F; OKIISHI, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos.
Tradução da quarta edição americana de: Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo: Edgard Blucher,
2004.
RAIMO, P. A. Aquecimento de Água no Setor Residencial. Dissertação (Mestrado em
Energia) - Programa Interunidades de Pós-Graduação de Energia, Universidade de São Paulo,
São Paulo, 2007.