lista1_introducaoPROCESSOS ESTOCASTICOS

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Universidade Federal de Campina Grande – UFCG
Unidade Acadêmica de Engenharia Elétrica – UAEE
Curso de Graduação em Engenharia Elétrica
Processos Estocásticos
Lista 1
Tema(s): Introdução aos Processos Estocásticos
Professor(es): Bruno B. Albert
1.1. Considere clientes chegando a um banco em instantes de tempo aleatórios. O banco possui uma estrutura
de atendimento em fila única. No horário de maior movimentação bancária é contado o número de clientes
na fila a cada 5 minutos. Seja X[n] o tamanho da fila na n-ésima contagem. Também é contado o tempo
de espera na fila de cada cliente nesse horário. Y [k] representa o tempo de espera na fila em minutos do
k-ésimo cliente. Considere que o experimento é repetido durante vários dias.
(a) Descreva o processo estocástico {X[n]}. (Se ele é contı́nuo ou discreto no tempo, se ele tem valores
discretos ou contı́nuos.)
(b) Desenhe uma função amostra tı́pica.
(c) Descreva o processo estocástico {Y [k]}. (Observe que k não representa um ı́ndice de tempo.)
(d) Desenhe uma função amostra tı́pica.
(e) Se calculassemos o coeficiente de correlação entreX[n] e Y [k] obterı́amos um valor positivo, negativo
ou zero? Justifique.
Solução:
(a) Discreto no tempo com valores discretos. (c) Discreto no “tempo” com valores contı́nuos. (e) Positivo,
a fila aumentando espera-se um aumento no tempo de espera.
1.2. Iniciando em primeiro de janeiro, medimos a temperatura no aeroporto João Suassuna ao meio-dia todos
os dias durante um ano. Esse experimento gera uma sequência C(1), C(2), . . . , C(365) de medidas de
temperatura. As temperaturas foram registradas todos os anos desde 1940.
(a) Descreva o processo estocástico. (Se ele é contı́nuo ou discreto no tempo, se ele tem valores discretos
ou contı́nuos).
(b) Desenhe uma função amostra tı́pica.
(c) O que representa a média de uma função amostra? Como você calcularia essa média?
(d) Como você calcularia a temperatura média no dia 7 de setembro, por exemplo? Qual a diferença desse
caso para o anterior em termos de funções amostras?
Solução:
(a) Discreto no tempo com valores contı́nuos. (c) A média de temperatura de um determinado ano. (d)
Tomando todos os valores da temperatura em todos os anos no dia 7 de setembro.
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1.3. Um processo estocástico discreto no tempo {X[n], n = 1, 2, . . .} é definido como
X[n] = A(−1)n,
em que A ∈ {−1, 1} é uma variável aleatória e P [A = 1] = 1/3.
(a) Esboce as funções amostras. (Obs. Só temos duas funções amostra)
(b) Descreva o processo
1.4. Seja p(t) um pulso retangular definido como
p(t) =
{
1, 0 ≤ t ≤ 1
0, caso contrário
O processo estocástico {X(t),−∞ < t <∞} é definido por
X(t) = p(t− T )
em que T é uma variável aleatória uniformente distribuı́da no intervalo (0, 1).
(a) Esboce duas funções amostras e descreva o processo.
(b) Descreva o processo, (se ele é contı́nuo ou discreto no tempo, se ele tem valores discretos ou contı́nuos).
1.5. Defina o processo estocástico {X(t),−∞ < t <∞} como
X(t) = t+A
em que A é uma variável aleatória uniformente distribuı́da no intervalo [−1, 1].
(a) Esboce três funções amostras e descreva o processo.
(b) Descreva o processo, (se ele é contı́nuo ou discreto no tempo, se ele tem valores discretos ou contı́nuos).
1.6. Considere o processo estocástico X(t) = D| sen 2πt|, −∞ < t <∞ um sinal seno retificado em onda
completa tendo amplitude aleatória dada por D que é uma variável aleatória passo aleatório com função de
massa de probabilidade
pD(x) =
{
1/3 quando x = 1
2/3 quando x = −1
(a) Esboce as duas funções amostras.
(b) Descreva o processo, (se ele é contı́nuo ou discreto no tempo, se ele tem valores discretos ou contı́nuos).
Solução:
(b) O processo X(t) é contı́nuo no tempo com valores discretos.
1.7. Considere o processo estocástico discreto no tempo X[n] = A sen(0, 5πn) + B cos(0, 5πn), n =
0, 1, 2, . . . em que A e B são variáveis aleatórias passo aleatório independentes, com função de massa
de probabilidade
pA(x) = pB(x) =
{
1/2 quando x = 1
1/2 quando x = −1
(a) Desenhe as funçoes amostras.
(b) O processo estocástico X[n] tem valores discretos ou contı́nuos? Justifique.
Solução:
(b) O processo X[n] tem valores discretos, em qualquer tempo n ele é 1 ou -1.
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1.8. Considere o processo estocástico X[n] = D[n]g(n), n = 1, 2, . . . , em que D[n] é um processo es-
tocástico passo aleatório iid com probabilidade p = 1/3 e g(n) = n é uma função determinı́stica.
(a) Esboce duas funções amostras de X[n].
(b) Descreva o processo, (se ele é contı́nuo ou discreto no tempo, se ele tem valores discretos ou contı́nuos).
Solução:
(b) O processo X[n] é discreto no tempo com valores discretos.
1.9. Um processo estocástico é definido por X(t) = Z + t para −∞ < t < ∞, em que Z é uma variável
aleatória, que é exponencialmente distribuı́da, fZ(z) = e−z para z ≥ 0 e zero caso contrário.
(a) Esboce duas funções amostras de X(t).
(b) Descreva o processo, (se ele é contı́nuo ou discreto no tempo, se ele tem valores discretos ou contı́nuos).
1.10. Um processo estocástico discreto no tempo é definido por X[n] = An para n = 0,±1,±2, . . ., em que
A é uma variável aleatória, que é uniformente distribuı́da entre 0 e 1, fA(a) = 1 para 0 ≤ a ≤ 1 e zero
caso contrário.
(a) Esboce duas funções amostras de X[n].
(b) O processo X[n] tem valores discretos ou contı́nuos? Justifique