Potência em Circuitos Elétricos C.A.

Prévia do material em texto

DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
 
Capítulo 12 
 
Potência em Regime Permanente C.A. 
 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
12.1 Potência Média 
Em circuitos lineares cujas entradas são funções periódicas no tempo, as 
tensões e correntes em regime permanente produzidas são periódicas. 
Potência instantânea: 
 
onde v e i possuem período T. Assim, 
 
 
 
Potência instantânea é também periódica com período T. 
p = vi
p t +T( ) = v t +T( )i t +T( )
= v t( )i t( )
= p t( )
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Período fundamental T1 de p é o mínimo tempo no qual esta potência se repete. 
 
T1 não é necessariamente igual a T mas deve ser seu divisor, isto é, para um 
dado n positivo: 
T = nT1
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: Resistor R percorrido por uma corrente i = Imcos(ωt) de período T = 2π/ω. 
Então, 
 
 
 
 
Note que T1 = π/ω ⇒ T = 2T1. 
p = Ri2
= RIm
2 cos2 ωt( )
=
RIm
2
2
1+ cos 2ωt( )!" #$
Relação trigonométrica usada: 
 
 
cos2 α( ) = 12 1+ cos 2α( )
!
"
#
$
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
t 
i(t), p(t) 
T1 
T 
i(t) 
p(t) 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Se a corrente agora é i = Im[1 + cos(ωt)] de período T = 2π/ω. 
Então, 
 
 
Note que T1 = 2π/ω ⇒ T = T1. 
 
p = Ri2
= RIm
2 1+ cos ωt( )!" #$
2
t 
i(t), p(t) 
T1 = T 
i(t) 
p(t) 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Potência média para uma potência instantânea periódica p é dada por: 
 
onde t1 é arbitrário. 
Potência instantânea periódica p: 
 
 
 
Assim, podemos escrever: 
P = 1
T1
p dt
t1
t1+T1∫
p(t) 
t t1 t1 + T1 
P = 1
mT1
p dt
t1
t1+mT1∫
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Se m é selecionado de tal forma que T = mT1 (período de v ou i), então 
 
Portanto, a potência média pode ser obtida por integração no período de v ou i. 
Integrais para funções senoidais e seus produtos: 
 f(t) 
sen(ωt + α), cos(ωt + α) 0 
sen(nωt + α), cos(nωt + α) 0 
sen2(ωt + α), cos2(ωt + α) π/ω	
sen(mωt + α) × cos(nωt + α) 0 
cos(mωt + α) × cos(nωt + β) 0, m ≠ n 
 π[cos (α - β)]/ω, m = n 
P = 1
T
p dt
t1
t1+T∫
f t( )dt, ω ≠ 00
2π ω
∫
!
"
#
$#
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Considere o seguinte bipolo genérico em regime permanente: 
 
 
 
Impedância de entrada do dispositivo, no domínio da frequência: 
Se 
Então temos: 
onde 
A potência média entregue ao dispositivo, tomando t1 = 0 é 
 
Bipolo 
 
I 
V 
+ 
-	
Z = Z∠θ
v =Vm cos ωt +φ( )
i = Im cos ωt +φ −θ( )
Im =
Vm
Z
P = 1
T
p dt
t1
t1+T∫ =
ωVmIm
2π
cos ωt +φ( )cos ωt +φ −θ( ) dt0
2π ω
∫
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Mas, da tabela temos que: 
 
 
Fazendo m = n = 1, α = φ e β = φ – θ, obtemos: 
 
 
 
ou seja, a potência absorvida pelo bipolo é determinada pelas amplitudes Vm e 
Im e pelo ângulo θ pelo qual a tensão v antecede a corrente i. 
cos mωt +α( )cos nωt +β( )dt0
2π ω
∫ =
0 para m ≠ n
π
ω
cos α −β( ) para m = n
$
%
&
'
&
P =
ωVmIm
2π
π
ω
cos θ( )
P =
VmIm
2
cos θ( )
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Em termos de fasores: 
 
 
então 
 
onde ang V = φ e ang I = φ – θ. 
Se o bipolo é um resistor, então θ = 0 e Vm = RIm, assim: 
 
Note que se i = Idc (corrente constante), então ω = φ = θ = 0 e Im = Idc, então, 
V =Vm∠φ = V ∠φ
I = Im∠ φ −θ( ) = I∠ φ −θ( )
P = 1
2
V I cos angV − ang I( )
PR =
1
2
RIm
2
PR = RIdc
2
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Se o bipolo é um indutor, então θ = 90º. 
Se o bipolo é um capacitor, então θ = -90º. 
 
Assim, para ambos os casos, temos: 
 
 
ou seja, a potência média dissipada em um indutor ideal ou em um capacitor 
ideal é zero. 
P =
VmIm
2
cos ±90°( ) = 0
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Forma alternativa de muito útil, pode ser obtida lembrando: 
 
 
e, portanto, 
 
 
como Vm = |Z|Im, podemos re-escrever P como: 
P =
VmIm
2
cos θ( )
Z = Re Z{ }+ j Im Z{ }= Z∠θ
cos θ( ) =
Re Z{ }
Z
Re{Z} 
Im{Z} 
Z
θ	
P =
VmIm
2
cos θ( ) =
Z ImIm
2
Re Z{ }
Z
=
1
2
Im
2 Re Z{ }
P = 1
2
Im
2 Re Z{ }
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
P =
VmIm
2
cos θ( ) = 12 Im
2 Re Z{ }
Se o dispositivo é uma carga passiva, então a energia entregue a esta carga é 
não negativa, logo: 
ou de modo equivalente, 
Se θ = 0, o dispositivo é equivalente a um resistor. 
Se θ = π/2, o dispositivo é equivalente a uma indutância. 
Se θ = -π/2, o dispositivo é equivalente a uma capacitância. 
Para -π/2 < θ < 0, o dispositivo é equivalente a um circuito RC. 
Para 0 < θ < π/2 , o dispositivo é equivalente a um circuito RL. 
Para | θ | > π/2, então P < 0, o dispositivo atua como uma fonte (ativo). 
Re Z jω( ){ }≥ 0
−
π
2
≤θ ≤
π
2
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: Cálculo da potência entregue pela fonte. 
 
 
 
 
Impedância sobre a fonte: 
Corrente máxima: 
Potência entregue a Z: 
 
ou de outro modo: 
Z =100+ j100 =100 2∠45° Ω#$ %&
Im =
Vm
Z
=
100
100 2
=
1
2
 A!" #$
P =
VmIm
2
cosθ = 100
2 2
cos45° = 25 W!" #$
P = 1
2
Im
2 Re Z{ }= 12
1
2
!
"
#
$
%
&
2
100 = 25 W'( )*
1 H vg = 100cos(100t) [V] 
100 Ω	
+ 
-	
i 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Potência dissipada pelo resistor R = 100 Ω: 
 
 
Portanto, o indutor não dissipa potência. 
A potência consumida pela fonte é: 
 
 
Sinal negativo: corrente sai pelo terminal positivo da fonte. 
Ou seja, fonte entrega 25 W para Z. 
PR =
RIm
2
2
=
100 1
2
!
"
#
$
%
&
2
2
= 25 W'( )*
PR = −
VmIm
2
cosθ = −25 W"# $%
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
12.2 Superposição e Potência 
Circuitos com mais de uma fonte: 
 
 
 
Por superposição, temos i = i1 + i2, onde i1 e i2 são as correntes em R devido a 
vg1 e vg2, respectivamente. 
Potência instantânea: 
 
Assim, a superposição não pode ser aplicada diretamente para potência 
instantânea. 
vg1 
R 
+ 
-	
vg2 + 
-	
i 
p = R i1+ i2( )
2
= Ri1
2 + 2Ri1i2 + Ri2
2
= p1+ p2 + 2Ri1i2
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
No caso de p ser periódica com período T, a potência média será: 
 
 
 
onde P1 e P2 são as potências médias de vg1 e vg2, respectivamente, atuando 
isoladamente. 
A superposição para a potência média só se aplica se: 
 
 
o que faz com que: 
P = 1
T
pdt =
0
T
∫ 1T p1+ p2 + 2Ri1i2( )dt0
T
∫
= P1+ P2 +
2R
T
i1i2 dt0
T
∫
i1i2 dt0
T
∫ = 0
P = P1+ P2
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Im1cos ω1 t +T( )+φ1!" #$+ Im2 cos ω2 t +T( )+φ 2!" #$= Im1cos ω1t +φ1( )+ Im2 cos ω2t +φ 2( )
Caso importante: 
 
 
Assumindo que i = i1 + i2 é periódica com período T, temos: 
 
Para que a igualdade da equação seja válida devemos ter que: 
 
 
m e n inteiros positivos. 
Portanto, se ω é um número tal que T = 2π/ω, então ω1 = mω e ω2 = nω. 
i1 = Im1cos ω1t +φ1( )
i2 = Im2 cos ω2t +φ 2( )
ω1T = 2π m
ω2T = 2π n
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Então, 
 
 
 
Se m = n ⇒ ω1 = ω2 ⇒ a superposição não pode ser aplicada. 
Se m ≠ n ⇒ a superposição pode ser aplicada. 
 
i1 i2 dt0
T
∫ = Im1Im2 cos mω t +φ1( )cos nω t +φ2( )dt0
2π ω
∫
=
Im1Im2 cos φ1 −φ2( )
ω
 m = n
0 m ≠ n
$
%
&
'
&
Generalização para o caso de senóide periódica com qualquer número de 
componentes senoidais de diferentes frequências: 
A potência média devida à soma das componentes é a soma das potências 
médias devida a cada componente atuando isoladamente. 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Pode ser mostrado que a superposição da potência média é mantida para 
senóides cujas frequências não são múltiplos inteiros de uma frequência ω: 
Generalização da definição de potência média: 
 
 
que pode ser aplicadatambém para o caso i = i1 + i2, onde 
 
 
Neste caso i não é periódica, pois ω1/ω2 = 1/π não é um número racional, mas 
P = lim
τ→∞
1
τ
pdt
0
τ
∫
i1 = cos t
i2 = cosπ t
lim
τ→∞
1
τ
i1i2 dt0
τ
∫ = 0
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: 
 
 
 
 
ω1 = ω2 ⇒ não se pode usar a superposição para a potência. 
Superposição para calcular a corrente: 
100 cos(377t + 60º) [V] 
100 Ω	
+ 
-	
+ 
-	
i 
50 cos(377t) [V] 
I1 =1∠60° A"# $%
I2 = −0,5∠0
! A#$ %&
I = I1+ I2 = j0,866 A!" #$
P = 1
2
RIm
2 =
1
2
100 0,866( )
2
= 37,5 W!" #$
Im = 0,866 A!" #$
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: 
 
 
 
 
ω1 = 377 rad/s e ω2 = 0 rad/s ⇒ pode-se usar a superposição para a potência. 
100 cos(377t + 60º) [V] 
100 Ω	
+ 
-	
+ 
-	
i 
50 [V] 
I1 =1∠60° A"# $% para ω1 = 377
I2 = −0,5 A"# $% para ω2 = 0
P1 =
1
2
RIm1
2 =
1
2
100 1( )
2
= 50 W!" #$
P2 = RIm2
2 =100 −0,5( )
2
= 25 W"# $%
P = P1+ P2 = 75 W!" #$
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Estendendo o procedimento do exemplo anterior para uma corrente periódica 
que é a soma de N + 1 senóides de diferentes frequências, 
 
Encontra-se a potência média entregue ao resistor R: 
 
 
Assim, temos a superposição das potências: 
i = Idc + Im1cos ω1t +φ1( )+ Im2 cos ω2t +φ2( )+ ...+ ImN cos ωNt +φN( )
P = RIdc
2 +
R
2
Im1
2 + Im2
2 + ...+ ImN
2( )
P = Pdc + P1+ P2 + ...+ PN
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: 
 
 
 
 
ω1 = ω2 ⇒ Não podemos usar a superposição para a potência, mas podemos 
utilizar superposição de correntes. 
10 cos(100t) [V] 
10 Ω	
+ 
-	
+ 
-	
i 
I1 =1∠0° A"# $% 
I2 = 2∠60° A"# $%
P = 1
2
RIm
2 =
1
2
⋅10 ⋅ −1,732( )
2
=15 W#$ %&
20 cos(100t + 60º) [V] 
I = I1 − I2 =1− (1+ j1,732) = − j1,732 A"# $%
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
12.3 Valores Eficazes 
Método de comparação da potência entregue por diferentes formas de onda. 
 
Valor eficaz de uma corrente (ou tensão) periódica é sempre uma constante 
igual à corrente c.c. (ou tensão c.c.) que iria entregar a mesma potência média 
para um resistor R. 
 
Se Ieficaz é o valor eficaz de i, podemos escrever: 
 
De onde se tira a corrente eficaz: 
 
P = RIeficaz
2 =
1
T
Ri2 dt
0
T
∫
Ieficaz =
1
T
i2 dt
0
T
∫
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
De modo similar, a tensão eficaz é: 
 
 
Termo “eficaz” é a tradução da abreviatura de “root-mean-square (rms)”. 
Valor rms = raiz quadrada da média do valor ao quadrado da corrente (tensão). 
Considerando uma corrente senoidal , a corrente eficaz é 
 
 
 
Assim, uma corrente senoidal de amplitude Im entrega a mesma potência média 
a um resistor R, que uma corrente c.c. de valor igual a . 
Veficaz =
1
T
v2 dt
0
T
∫
i = Im cos ωt +φ( )
Ieficaz =
ω
2π
Im cos ω t +φ( )!" #$
2
dt
0
2π ω
∫ = Im2 ⋅
ω
2π
⋅
π
ω
Im
2
Ieficaz =
Im
2
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
De modo similar, para uma tensão senoidal , a tensão eficaz é: 
 
 
 
Note que tanto a corrente como a tensão eficaz são independentes da 
frequência ω e da fase φ. 
Assim, a potência média para um bipolo é dada por: 
 
 
ou 
Veficaz =
ω
2π
Vm cos ω t +φ( )!" #$
2
dt
0
2π ω
∫
P =Veficaz Ieficaz cosθ
P = Ieficaz
2 Re Z{ }
Veficaz =
Vm
2
 
Bipolo 
 
I 
V 
+ 
-	
P =
VmIm
2
cosθ
v =Vm cos ωt +φ( )
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: 
Valores eficazes são empregados normalmente nas geração e distribuição de 
potência. 
O valor de tensão nominal de 127 V para uma rede é um valor eficaz. 
A potência que é fornecida em 60 Hz às residências vem através de uma tensão 
que tem o valor máximo igual a . 
 
Valores máximos são geralmente empregados em eletrônica e 
telecomunicações. 
127 2 ≅180 V
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Valor eficaz da corrente composta de senóides com diferentes frequências: 
 
Potência média: 
 
Portanto, o valor eficaz da corrente senoidal composta de diferentes frequências 
é 
 
De forma análoga, 
i = Idc + Im1cos ω1t +φ1( )+ Im2 cos ω2t +φ2( )+ ...+ ImN cos ωNt +φN( )
P = R Idc
2 + I1eficaz
2 + I2eficaz
2 + ...+ IN eficaz
2( )
Ieficaz = Idc
2 + I1eficaz
2 + I2eficaz
2 + ...+ IN eficaz
2
Veficaz = Vdc
2 +V1eficaz
2 +V2eficaz
2 + ...+VN eficaz
2
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: Cálculo do valor eficaz das correntes: 
a) 
 
i =
A para 0 ≤ t < 2
−A para 2 ≤ t < 4
#
$
%
&%
Ieficaz =
1
T
i2 dt
0
T
∫
Ieficaz =
1
4
A2 dt
0
2
∫ + −A( )
2
dt
2
4
∫
#
$%
&
'(
=
A2
4
t
0
2
+ t
2
4#
$
%
&
'
( =
A2
4
2+ 2#$ &'
Ieficaz = A
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
b) i = 2t 0 < t < T 
 
Ieficaz =
1
T
i2 dt
0
T
∫
Ieficaz =
1
T
2t( )
2
dt
0
T
∫ = 4T ⋅
t3
3
0
T
=
4
T
⋅
T 3
3
Ieficaz =
2T
3
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
c) 
 
i =
Im sen ωt( ) para 0 ≤ t < π ω
0 para π ω ≤ t < 2π ω
"
#
$
%$
 T = 2π
ω
Ieficaz =
1
T
i2 dt
0
T
∫
Ieficaz =
1
T
Im
2 sen2 ωt( )dt +00
π ω
∫"#$
%
&'
=
ω Im
2
2π
sen2 ωt( )dt0
π ω
∫ =
ω Im
2
2π
⋅
π
2ω
Ieficaz =
Im
2
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
12.4 Fator de Potência 
Potência média entregue a uma carga em regime permanente c.a. é: 
 
O produto VeficazIeficaz é denominado de potência aparente. 
Unidade da potência aparente = voltamperes (VA) ou kilovoltamperes (kVA). 
Potência média ≤ potência aparente 
Fator de potência fp : 
 
Fator de potência fp no caso senoidal: 
P =Veficaz Ieficaz cosθ
f p =
P
Veficaz Ieficaz
= cosθ
f p =
Potência Média
Potência Aparente
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Cargas puramente resistivas ⇒ tensão e corrente em fase ⇒ θ = 0 ⇒ fp = 1 ⇒ 
potência média = potência aparente. 
 
Cargas indutivas e capacitivas onde as reatâncias se cancelam ⇒ tensão e 
corrente em fase ⇒ θ = 0 ⇒ fp = 1 ⇒ potência média = potência aparente. 
 
Carga puramente reativa ⇒ tensão e corrente a ±90º ⇒ θ = ±90º ⇒ fp = 0 ⇒ 
potência média = 0. 
f p =
P
Veficaz Ieficaz
= cosθ
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Carga onde -90º < θ < 0 é equivalente a um circuito RC. 
 
Carga onde 0 < θ < 90º é equivalente a um circuito RL. 
 
Como cos(θ ) = cos(-θ), então fp é o mesmo para um circuito RC ou RL com 
mesmo |θ |. 
 
Para diferenciar: fp é caracterizado como adiantado ou atrasado pela fase da 
corrente com relação à da tensão (referência). 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: Frequência = 60 Hz 
ω = 2πf = 2π 60 = 377 rad/s 
 
 
 
 
 
Fator de potência: 
0,1 H vg 
100 Ω	
+ 
-	
Z =100+ j37,7 =106,9∠22,95° Ω
f p = cos 22,95°( ) = 0,936 atrasado
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: O fator de potência afeta grandemente a conta de eletricidade. 
Suponha que um moinho consuma 100kW de uma linha de 220 V eficazes, com 
fp = 0,85 atrasado. 
Corrente eficaz do moinho: 
 
Potência aparente fornecida: 
 
Suponha que fp é aumentado para 0,95 atrasado, então: 
 
Assim, a potência aparente é reduzida para: 
Ieficaz =
P
Veficaz f p
=
105
220 ⋅0,85
= 534,8 A"# $%
Veficaz Ieficaz = 220 ⋅534,8 =117,65 kVA"# $%
Ieficaz =
P
Veficaz f p
=
105
220 ⋅0,95
= 478,5 A"# $%
Veficaz Ieficaz = 220 ⋅478,5=105,26 kVA"# $%
56,3 A 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Note que Ieficaz foi reduzida de 56,3 A. 
Portanto, a usina precisa gerar uma corrente maior para fp menor. 
Como as linhas de transmissão têm resistência, a usina precisa produzir uma 
potência média maior para fornecer os 100 kW à carga. 
Se a resistência for 0,1 Ω, então a potência gerada pela fonte deve ser: 
 
Portanto,A usina deve produzir 5,7 kW a mais de potência para fornecer à carga de fp 
mais baixo. 
Pg =100.000+0,1Ieficaz
2
Pg =
128,6 kW f p = 0,85
122,9 kW f p = 0,95
!
"
#
$#
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Método de correção do fator de potência de uma carga: 
Pode-se alterar o fator de potência conectando uma impedância Z1 em paralelo 
com a carga Z = R + jX. 
 
 
 
 
 
Note que apenas a corrente I1 fornecida pelo gerador muda. 
Associação das impedâncias: 
Z1 Z = R + jX 
I1 I 
ZT 
ZT =
Z ⋅Z1
Z+Z1
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Selecionamos Z1 tal que: 
•  Z1 absorva potência média = 0; 
•  ZT tenha o fator de potência desejado fp = FP. 
A primeira condição requer que Z1 seja puramente reativa: 
 
A segunda condição requer que: 
 
 
Substituindo ZT em termos de R, X e X1, temos: 
11 jX=Z
cos tan−1
Im ZT{ }
Re ZT{ }
"
#
$
$
%
&
'
'
(
)
*
*
+
,
-
-
= FP
X1 =
R2 + X 2
R tan cos−1 FP( )"# $% − X
tan cos−1 FP( )"# $% =
> 0 se FP é atrasado
< 0 se FP é adiantado
&
'
(
)(
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Obtenção de X1: 
 
 
 
mas 
ZT =
Z ⋅Z1
Z+Z1
=
R+ jX( ) jX1
R+ jX + jX1
=
−XX1+ jRX1
R+ j X + X1( )
×
R− j X + X1( )
R− j X + X1( )
ZT =
RX1
2 + jX1 R
2 + X 2 + XX1( )
R2 + X + X1( )
2
cos tan−1
Im ZT{ }
Re ZT{ }
"
#
$
$
%
&
'
'
(
)
*
*
+
,
-
-
= FP ⇒
Im ZT{ }
Re ZT{ }
= tan cos−1 FP( )() +,
X1 R
2 + X 2 + XX1( )
RX1
2
= tan cos−1 FP( )"# $% ⇒
R2 + X 2 + XX1
X1
= R tan cos−1 FP( )"# $%
R2 + X 2
X1
+ X = R tan cos−1 FP( )!" #$ ⇒ X1 =
R2 + X 2
R tan cos−1 FP( )!" #$− X
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: Fator de potência alterado para 0,95 atrasado no circuito: 
 
 
 
 
 
Fator de potência: 
 
Desejamos fator de potência de 0,95, então tan(cos-1FP) é positiva: 
1 H vg = 100cos(100t) [V] 
100 Ω	
+ 
- 
i 
Z =100+ j100 =100 2∠45° Ω
f p = cosθ = cos45° = 0,707 atrasado
X1 =
R2 + X 2
R tan cos−1 FP( )"# $% − X
=
1002 +1002
100 tan cos−1 0,95( )"# $% −100
= −297,92 Ω
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Como X1 < 0, a reatância é uma capacitância C = -1/ωX1 = 33,6 µF. 
Impedância de carga torna-se: 
 
Potência média para a carga corrigida: 
 
que é a mesma entregue a Z. 
Corrente atual: 
 
Corrente sem correção do fator de carga: 
ZT =
ZZ1
Z+Z1
=
100+ j100( ) − j297,92( )
100+ j100( )+ − j297,92( )
=190,0∠18,2°
P =
Vm
2
2 ZT
cos θ( ) = 100
2
2 190,0( )
cos 18,2°( ) = 25 W
A 372,0
2190
100
==eficazI
A 5,0
2
21
2
=== meficaz
II
corrente reduzida de 
0,128 [A] (25,6%) 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
12.5 Potência Complexa 
Potência complexa em regime permanente c.a. 
Útil para determinação e a correção de fatores de potência associados a cargas 
interconectadas. 
Representações fasoriais para e : 
 
 
Fasores eficazes: 
v =Vm cos ωt +φ( ) i = Im cos ωt +φ −θ( )
V =Vm exp jφ( ) I = Im exp j φ −θ( )"# $%
Veficaz =
V
2
=Veficaz exp jφ( ) Ieficaz =
I
2
= Ieficaz exp j φ −θ( )"# $%
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Potência média: 
 
mas 
 
onde I*eficaz é o complexo conjugado de Ieficaz. Logo, 
 
Veficaz I*eficaz = potência complexa cuja parte real é a potência média: 
 
onde Q é a potência reativa (unidade: VA reativo = var). 
Módulo da potência complexa = potência aparente: 
P =Veficaz Ieficaz cosθ =
Euler
Re Veficaz Ieficaz exp jθ( ){ }
VeficazIeficaz
* =Veficaz Ieficaz exp jθ( )
P = Re VeficazIeficaz
*{ }
S =VeficazIeficaz
* = P + jQ
S = VeficazIeficaz
* = Veficaz Ieficaz
* =Veficaz Ieficaz
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Assim, 
 
Para uma impedância Z, temos que senθ = Im{Z}/|Z|, logo 
 
ou, de forma análoga: 
Q = Im S{ }=Veficaz Ieficaz senθ
Q =Veficaz Ieficaz
Im Z{ }
Z
=
Veficaz
Z
Ieficaz Im Z{ }= Ieficaz2 Im Z{ }
Q =Veficaz
2 Im Z{ }
Z
2
Ieficaz 
Veficaz 
θ	
Im 
Re 
Componente em 
quadratura de Ieficaz 
Componente em 
fase de Ieficaz 
Produz a 
potência ativa P 
Produz a potência 
reativa Q 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Potência complexa em termos de um diagrama: 
 
Carga indutiva (fp atrasado) 0 < θ ≤ 90º, Q > 0: 
 
 
Carga capacitiva (fp adiantado) -90º ≤ θ < 0, Q < 0: 
 
 
Carga com fp = 1 requer Q = 0, pois θ = 0: 
Re 
Im 
P 
Q 
S 
θ	
Im Re P 
Q 
S 
θ	
θ = tan−1 Q
P
"
#
$
%
&
'
Re 
Im 
S = P 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Z1 Z2 
Ieficaz 
Veficaz 
I1, eficaz I2, eficaz + 
-	
Potência complexa associada a uma carga composta de duas impedâncias: 
 
 
 
 
 
 
 
A potência complexa entregue pela fonte às cargas interconectadas é igual a 
soma das potências entregues a cada carga individual. 
Princípio da conservação de potência! 
S =VeficazIeficaz
∗ =Veficaz I1,eficaz + I2,eficaz( )
∗
S =VeficazI1,eficaz
∗ +VeficazI2,eficaz
∗
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
A conservação de potência complexa pode ser usada para corrigir o fator de 
potência. 
Exemplo: 
 
 
 
Potência complexa entregue à carga original Z: 
Conectando uma reatância pura Z1 em paralelo com Z resulta: 
Pela conservação de potência complexa, para a carga resultante, temos: 
 
A potência média P entregue a carga não se altera com o acréscimo de Z1. 
Z1 Z = R + jX 
I1 I 
ZT 
S = P + jQ
S1 = jQ1
ST = S+S1 = P + j Q+Q1( )
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: Mudar o fator de potência para FP = 0,95 (atrasado). 
 
 
 
 
 
 
 
Potência complexa para a carga não corrigida: 
Temos que QT = Q + Q1 , então 
1 H vg = 100cos(100t) [V] 
100 Ω	
+ 
- 
i 
S =VeficazIeficaz
∗ = P + jQ = 25+ j25
Veficaz = 70,7 V!" #$
Ieficaz =
Veficaz
Z
= 0,3535 1− j1( ) A"# $%
θ = tan−1
QT
P
"
#
$
%
&
'
Z =100+ j100 =100 2∠45° Ω
Ieficaz
∗ = 0,3535 1+ j1( ) A"# $%
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Portanto, 
 
e 
 
 
 
O valor de Q1 é: 
 
Como e temos: 
FP = cosθ = cos tan−1
QT
P
"
#
$
%
&
'
(
)
*
*
+
,
-
-
QT = P tan cos
−1 FP( )"# $%
= 25tan cos−1 0,95( )"# $%
= 25tan 18,2°( )
= 8,22 vars"# $%
Q1 =QT −Q = 8,22− 25= −16,78 vars"# $%
Q1 =Veficaz
2 Im Z1( )
Z1
2 Z1 = jX1
Q1 =
Veficaz
2
X1
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Resolvendo para X1 obtemos: 
 
 
 
Que representa uma capacitância C = -1/(ωX1) = 33,6 µF. 
X1 =
Veficaz
2
Q1
=
70,7( )
2
−16,78
= −297,9 Ω
1 H vg = 100cos(100t) [V] 
100 Ω	
+ 
-	
i 
33,6 µF 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Exemplo: Z1 representa uma carga de 10 kW com fp1 = 0,9 (atrasado) e Z2 
representa uma carga de 5 kW com fp2 = 0,95 (adiantado): 
 
 
 
 
 
Para Z1, temos: 
onde 
Z1 Z2 
Ieficaz 
Veficaz 
I1, eficaz I2, eficaz + 
- 
S1 = P1+ jQ1
P1 =10
4 W!" #$
θ1 = cos
-1 f p1( ) = cos-1 0,9( ) = 25,84°
Q1 = P1 tan θ1( ) = 4843 vars!" #$
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Para Z2, temos: 
onde 
 
 
 
A potência complexa total é: 
 
 
Portanto, para as cargas associadas: 
S2 = P2 + jQ2
P2 = 5⋅10
3 W"# $%
Q2 = P2 tan θ2( ) = −1643 vars"# $%
ST = S1+S2 = 10
4 + j4843( )+ 5⋅103 − j1643( )
=1,5⋅104 + j3200
θ = tan-1 3200
1,5⋅104
"
#
$
%
&
' =12,04° f p = cosθ = cos 12,04°( ) = 0,978 atrasado( )
θ2 = cos
-1 f p2( ) = cos-1 0,95( ) = −18,2°
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
12.5 Medição de Potência 
Dispositivo que mede a potência média que é entregue a uma carga ⇒ 
wattímetro. 
Wattímetro: possui uma bobina rotativa de alta resistência de tensão conectada 
em paralelo com a carga e uma bobina fixa de baixa resistência de corrente, que 
é conectada em série com a carga. 
Conexão típica: 
Carga 
I 
Bobina de 
corrente 
Bobina de 
tensão 
± 
± 
+ 
 
V-	
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
Tensão na bobina de corrente = 0 
Corrente na bobina de tensão = 0 
Um terminal de cada bobina é marcado com o símbolo ± tal que, se a corrente 
entra no terminal ± da bobina de corrente e o terminal ± da bobina de tensão é 
positivo com relação ao outro terminal, então o medidor dá uma medida positiva. 
 
Na figura anterior, isto corresponde a carga absorvendo potência. 
 
Se a conexão dos terminais ou da bobina de corrente ou da bobina de tensão 
(mas não ambas) for invertida a leitura será negativa. 
DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I 
O wattímetro abaixo está conectado para indicar: 
 
 
 
 
 
 
Um medidor de potência aparente ou VA simplesmente mede o produto da 
tensão eficaz pela corrente eficaz. 
O varímetro mede a potência reativa. 
P = V ⋅ I cosθ
Carga 
I 
Bobina de 
corrente 
Bobina de 
tensão 
± 
± 
+ 
 
V 
 
-