Questão resolvida - Para uma função contínua f [a,b] R o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do seu gráfico em torno do eixo Ox é dado porV f(x)2 dx. Calcule esse volume no caso em que f

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Para uma função contínua o volume do sólido de revolução obtido pela f : a, b R[ ] →
rotação do seu gráfico em torno do eixo é dado por:Ox
 
V = π f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
 
Calcule esse volume no caso em que , definida no intervalo , conforme f x = xe( ) x 0, 1[ ]
ilustra a figura a baixo.
 
Resolução:
 
Usando as informações do enunciado, temos que a integral que fornece o volume do sólido 
é;
 
V = π xe dx = π x e dx V = π x e dx
1
0
∫ x 2
1
0
∫ ( )2 x 2 →
1
0
∫ 2 2x
 
Antes, vamos resolver a integral em sua dorma indefinida;
 
I = x e dx∫ 2 2x
 
 
 
Vamos aplicar integral por partes, a definição de integral por partes é;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
correlacionamos e da seguinte forma:u v
 
u = x du = 2xdx e dv = e dx; w = 2x dw = 2dx 2dx = dw2 → 2x → →
 
dx = dv = e v = e v = v =→
dw
2
→
w dw
2
→ ∫ w dw
2
→
e
2
w
→
e
2
2x
 
Substituindo : x e dx = x - 2xdx = - xe dx∫ 2 2x 2 e
2
2x
∫e
2
2x x e
2
2 2x
∫ 2x
 
Vamos resolver a integral que sobrou também usando integral por partes;
 
xe dx u = x du = dx e dv = e dx; w = 2x dw = 2dx 2dx = dw∫ 2x → → 2x → →
 
dx = dv = e v = e v = v =→
dw
2
→
w dw
2
→ ∫ w dw
2
→
e
2
w
→
e
2
2x
 
correlacionamos u e v, temos :
 
xe dx = x - dx = - e dx = - = -∫ 2x e
2
2x
∫e
2
2x xe
2
2x 1
2
∫ 2x xe
2
2x 1
2
e
2
2x xe
2
2x e
4
2x
 
Com isso, a solução final da integral que fornece o volume, em sua forma indefinida, é;
 
x e dx = - - = - + + c = + + c∫ 2 2x x e
2
2 2x xe
2
2x e
4
2x x e
2
2 2x xe
2
2x e
4
2x x e - xe
2
2 2x 2x e
4
2x
Voltando para a integral em sua forma defina, temos que o volume é;
 
V = π x e dx = π +
1
0
∫ 2 2x x e - xe
2
2 2x 2x e
4
2x 1
0
 
 
Resolvendo;
 
V = π + = π + - +
x e - xe
2
2 2x 2x e
4
2x 1
0
1 e - 1 ⋅ e
2
( )2 2⋅1 2⋅1 e
4
2⋅1 0 e - 0 ⋅ e
2
( )2 2⋅0 2⋅0 e
4
2⋅0
 
V = π + - + = π + - +
1 ⋅ e - e
2
2 2 e
4
2 0 ⋅ e - 0 ⋅ e
2
0 0 e
4
0 e - e
2
2 2 e
4
2 0 ⋅ 1 - 0 ⋅ 1
2
1
4
 
V = π + - + = π 0 + - + = π - 0 + = π -
0
2
e
4
2 0 - 0
2
1
4
e
4
2 0
2
1
4
e
4
2 1
4
e
4
2 1
4
 
V = π - = V = π
e
4
2 1
4
e - 1
4
2
 
V ≅ 5, 02 u. v.
 
 
(Resposta )