Lei de Gauss

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P1 de Física III - R 
Aluna(o): _____________________________________________________________ Matrícula:__________________________ 
1o Semestre de 2016 Data: 13 de outubro de 2016 Horário: das 16h10min às 17h50min 
1ª Questão) (1,5 pontos) A figura abaixo mostra três sistemas constituídos por uma partícula carregada e uma 
casca esférica com uma distribuição de cargas uniforme. As cargas são dadas e os raios das cascas estão 
indicados. Ordene os sistemas de acordo com o módulo da força exercida pela casaca sobre a partícula, em 
ordem decrescente. Justifique sua resposta de acordo com conceitos físicos e cálculos. 
 
2ª Questão) Considere uma linha de carga positiva de comprimento L, carregada com densidade linear de carga 
!, uniforme, e disposta conforme a figura. 
(a) (1,0 ponto) Calcule o campo elétrico, informando sua 
direção e sentido, no ponto A de coordenadas (x,0), para 
x> 0. 
(b) (1,0 ponto) Determine o trabalho que deve ser realizado 
para levar uma carga q (positiva) do ponto A do eixo x, 
em x = a > 0 , ao ponto B do eixo x em x = 2a > 0, 
segundo a trajetória mostrada na figura, indicada pela 
linha tracejada. Considere neste item apenas, o limite 
em que L/2 >> a. 
(c) (1,0 ponto) Calcule o potencial elétrico no ponto C de 
coordenadas (0,y) para y > L/2. 
(d) (1,0 ponto) A partir do potencial, calcule a componente y 
do campo elétrico no ponto C de coordenadas (0, y), para 
y > L/2. 
Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto Politécnico 
Engenharia Mecânica
!
Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5 Total
-4Q2R R/2
d
+5Q
+8Q
+2q -q
+6q
R
(a)
(b) (c)
C
x
L/2
L/2 A B
y
3ª Questão) Um cilindro circular isolante, muito longo, de raio r1, com densidade volumétrica uniforme de 
cargas positivas !, está concêntrico com uma casca cilíndrica condutora de raio interno r2 e raio externo r3. A 
carga total na casca cilíndrica é nula. Nos ítens abaixo, despreze o campo elétrico e as cargas nas extremidades 
do cilindro e da camada cilíndrica. 
(a) (2,0 pontos) Calcule o campo elétrico para r < r1, r1< r <r2, r2 < r <r3, e para r > r3. 
(b) (0,5 ponto) Qual é a densidade superficial de carga acumulada "2 e "3, nas superfícies interna e externa da 
casca condutora, respectivamente? Determine se as cargas acumuladas em cada superfície da casca são 
positivas ou negativas. 
 
4ª Questão) (2,0 pontos) Quatro capacitores de capacitância C, inicialmente descarregados, foram associados e 
uma diferença de potencial V foi aplicada, conforme a figura. Qual é a capacitância equivalente do sistema 
formado pelos 4 capacitores? Determine a carga q na placa indicada na figura. Dê sua resposta em termos de C 
e V . 

 
Boa Prova! 
Formulário:
☛
✡
✟
✠Questão 3
Um cilindro circular muito longo de raio a, isolante, com densidade volumétrica uniforme
de cargas igual a ρ > 0, é concêntrico a uma camada ciĺındrica condutora de raio interno
b e raio externo c com carga total zero. O campo elétrico no ponto C imediatamente
fora do condutor vale E1⃗ı. Nos ı́tens abaixo despreze o campo elétrico e as cargas nas
extremidades do cilindro e da camada ciĺındrica.
is
ol
an
te
co
nd
ut
or
x
y
c
b
a C
(a) (1,0 ponto) Calcule o campo elétrico para r < a e b < r < c.
(b) (0,5 pontos) Calcule o campo elétrico para r > c.
(c) (1,0 ponto) Calcule as densidades superficiais de carga σc e σb nas superf́ıcies externa
e interna da camada ciĺındrica condutora em função de E1, ϵ0, b e c.
5
r2
r3
r1
☛
✡
✟
✠Questão 4
Um capacitor esférico é formado por uma esfera interna de raio a e uma camada esférica
concêntrica de raio interno 3a, conforme a figura.
a
3a
(a) (1,0 ponto) Calcule a capacitância C deste capacitor no vácuo a partir da definição.
(b) (0,5 ponto) Como se altera a capacitância se o espaço entre os condutores for
preenchido com um material de constante dielétrica κ?
(c) (1,0 ponto) Quatro capacitores de capacitância C, inicialmente descarregados, foram
associados e uma diferença de potencial V foi aplicada, conforme a figura. Determine
a carga q na placa indicada na figura. Dê sua resposta em termos de C e V .
+ _
V
q=?
7
Formulário
F⃗ =
qq′(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, F⃗ = qE⃗, E⃗ =
q(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, E⃗ =
1
4πϵ0
!
dq
r2
r̂,
p = qd, τ⃗ = p⃗× E⃗, U = −p⃗ · E⃗, ΦE =
!
E⃗ · dA⃗,
"
E⃗ · dA⃗ =
qint
ϵ0
,
V =
q
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|
, VB − VA = −
B!
A
E⃗ · dℓ⃗, V =
1
4πϵ0
!
dq
r
, E⃗ = −∇⃗V,
V =
1
4πϵ0
#
i
qi
ri
, U =
1
4πϵ0
#
i<j
qi qj
rij
, C = Q/V, Ceq = C1 + C2 + ... ,
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ... , U =
Q2
2C
=
CV 2
2
=
QV
2
,
ϵ
ϵ0
= κ, u =
ϵ0
2
E2, E =
E0
κ
,
E =
σ
ϵ
, u =
ϵ
2
E2,
"
ϵ0κE⃗ · dA⃗ = qint−liv.
!
dt
(t2 + c)3/2
=
t
c
√
t2 + c
,
!
dt
at + b
=
1
a
ln(at + b), ln(a/b) = ln a− ln b.
dV = dxdydz, dV = 4πr2dr, dV = 2πrhdr.
9
Formulário
F⃗ =
qq′(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, F⃗ = qE⃗, E⃗ =
q(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, E⃗ =
1
4πϵ0
!
dq
r2
r̂,
p = qd, τ⃗ = p⃗× E⃗, U = −p⃗ · E⃗, ΦE =
!
E⃗ · dA⃗,
"
E⃗ · dA⃗ =
qint
ϵ0
,
V =
q
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|
, VB − VA = −
B!
A
E⃗ · dℓ⃗, V =
1
4πϵ0
!
dq
r
, E⃗ = −∇⃗V,
V =
1
4πϵ0
#
i
qi
ri
, U =
1
4πϵ0
#
i<j
qi qj
rij
, C = Q/V, Ceq = C1 + C2 + ... ,
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ... , U =
Q2
2C
=
CV 2
2
=
QV
2
,
ϵ
ϵ0
= κ, u =
ϵ0
2
E2, E =
E0
κ
,
E =
σ
ϵ
, u =
ϵ
2
E2,
"
ϵ0κE⃗ · dA⃗ = qint−liv.
!
dt
(t2 + c)3/2
=
t
c
√
t2 + c
,
!
dt
at + b
=
1
a
ln(at + b), ln(a/b) = ln a− ln b.
dV = dxdydz, dV = 4πr2dr, dV = 2πrhdr.
9
Formulário
F⃗ =
qq′(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, F⃗ = qE⃗, E⃗ =
q(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, E⃗ =
1
4πϵ0
!
dq
r2
r̂,
p = qd, τ⃗ = p⃗× E⃗, U = −p⃗ · E⃗, ΦE =
!
E⃗ · dA⃗,
"
E⃗ · dA⃗ =
qint
ϵ0
,
V =
q
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|
, VB − VA = −
B!
A
E⃗ · dℓ⃗, V =
1
4πϵ0
!
dq
r
, E⃗ = −∇⃗V,
V =
1
4πϵ0
#
i
qi
ri
, U =
1
4πϵ0
#
i<j
qi qj
rij
, C = Q/V, Ceq = C1 + C2 + ... ,
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ... , U =
Q2
2C
=
CV 2
2
=
QV
2
,
ϵ
ϵ0
= κ, u =
ϵ0
2
E2, E =
E0
κ
,
E =
σ
ϵ
, u =
ϵ
2
E2,
"
ϵ0κE⃗ · dA⃗ = qint−liv.
!
dt
(t2 + c)3/2
=
t
c
√
t2 + c
,
!
dt
at + b
=
1
a
ln(at + b), ln(a/b) = ln a− ln b.
dV = dxdydz, dV = 4πr2dr, dV = 2πrhdr.
9
Formulário
F⃗ =
qq′(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, F⃗ = qE⃗, E⃗ =
q(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, E⃗ =
1
4πϵ0
!
dq
r2
r̂,
p = qd, τ⃗ = p⃗× E⃗, U = −p⃗ · E⃗, ΦE =
!
E⃗ · dA⃗,
"
E⃗ · dA⃗ =
qint
ϵ0
,
V =
q
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|
, VB − VA = −
B!
A
E⃗ · dℓ⃗, V =
1
4πϵ0
!
dq
r
, E⃗ = −∇⃗V,
V =
1
4πϵ0
#
i
qi
ri
, U =
1
4πϵ0
#
i<j
qi qj
rij
, C = Q/V, Ceq = C1 + C2 + ... ,
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ... , U =
Q2
2C
=
CV 2
2
=
QV
2
,
ϵ
ϵ0
= κ, u =
ϵ0
2
E2, E =
E0
κ
,
E =
σ
ϵ
, u =
ϵ
2
E2,
"
ϵ0κE⃗ · dA⃗ = qint−liv.
!
dt
(t2 + c)3/2
=
t
c
√
t2 + c
,
!
dt
at + b
=
1
a
ln(at + b), ln(a/b) = ln a− ln b.
dV = dxdydz, dV = 4πr2dr, dV = 2πrhdr.
9
Formulário
F⃗ =
qq′(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, F⃗ = qE⃗, E⃗ =
q(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, E⃗ =
1
4πϵ0
!
dq
r2
r̂,
p = qd, τ⃗ = p⃗× E⃗, U = −p⃗ · E⃗, ΦE =
!
E⃗ · dA⃗,
"
E⃗ · dA⃗ =
qint
ϵ0
,
V =
q
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|
, VB − VA = −
B!
A
E⃗ · dℓ⃗, V =
1
4πϵ0
!
dq
r
, E⃗ = −∇⃗V,
V =
1
4πϵ0
#
i
qi
ri
, U =
1
4πϵ0
#
i<j
qi qj
rij
, C = Q/V, Ceq = C1 + C2 + ... ,
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ... , U =
Q2
2C
=
CV 2
2
=
QV
2
,
ϵ
ϵ0
= κ, u =
ϵ0
2
E2, E =
E0
κ
,
E =
σ
ϵ
, u =
ϵ
2
E2,
"
ϵ0κE⃗ · dA⃗ = qint−liv.
!
dt
(t2 + c)3/2
=
t
c
√
t2 + c
,
!
dt
at + b
=
1
a
ln(at + b), ln(a/b) = ln a− ln b.
dV = dxdydz, dV = 4πr2dr, dV = 2πrhdr.
9
FormulárioF⃗ =
qq′(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, F⃗ = qE⃗, E⃗ =
q(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, E⃗ =
1
4πϵ0
!
dq
r2
r̂,
p = qd, τ⃗ = p⃗× E⃗, U = −p⃗ · E⃗, ΦE =
!
E⃗ · dA⃗,
"
E⃗ · dA⃗ =
qint
ϵ0
,
V =
q
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|
, VB − VA = −
B!
A
E⃗ · dℓ⃗, V =
1
4πϵ0
!
dq
r
, E⃗ = −∇⃗V,
V =
1
4πϵ0
#
i
qi
ri
, U =
1
4πϵ0
#
i<j
qi qj
rij
, C = Q/V, Ceq = C1 + C2 + ... ,
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ... , U =
Q2
2C
=
CV 2
2
=
QV
2
,
ϵ
ϵ0
= κ, u =
ϵ0
2
E2, E =
E0
κ
,
E =
σ
ϵ
, u =
ϵ
2
E2,
"
ϵ0κE⃗ · dA⃗ = qint−liv.
!
dt
(t2 + c)3/2
=
t
c
√
t2 + c
,
!
dt
at + b
=
1
a
ln(at + b), ln(a/b) = ln a− ln b.
dV = dxdydz, dV = 4πr2dr, dV = 2πrhdr.
9
Formulário
F⃗ =
qq′(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, F⃗ = qE⃗, E⃗ =
q(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, E⃗ =
1
4πϵ0
!
dq
r2
r̂,
p = qd, τ⃗ = p⃗× E⃗, U = −p⃗ · E⃗, ΦE =
!
E⃗ · dA⃗,
"
E⃗ · dA⃗ =
qint
ϵ0
,
V =
q
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|
, VB − VA = −
B!
A
E⃗ · dℓ⃗, V =
1
4πϵ0
!
dq
r
, E⃗ = −∇⃗V,
V =
1
4πϵ0
#
i
qi
ri
, U =
1
4πϵ0
#
i<j
qi qj
rij
, C = Q/V, Ceq = C1 + C2 + ... ,
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ... , U =
Q2
2C
=
CV 2
2
=
QV
2
,
ϵ
ϵ0
= κ, u =
ϵ0
2
E2, E =
E0
κ
,
E =
σ
ϵ
, u =
ϵ
2
E2,
"
ϵ0κE⃗ · dA⃗ = qint−liv.
!
dt
(t2 + c)3/2
=
t
c
√
t2 + c
,
!
dt
at + b
=
1
a
ln(at + b), ln(a/b) = ln a− ln b.
dV = dxdydz, dV = 4πr2dr, dV = 2πrhdr.
9
Formulário
F⃗ =
qq′(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, F⃗ = qE⃗, E⃗ =
q(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, E⃗ =
1
4πϵ0
!
dq
r2
r̂,
p = qd, τ⃗ = p⃗× E⃗, U = −p⃗ · E⃗, ΦE =
!
E⃗ · dA⃗,
"
E⃗ · dA⃗ =
qint
ϵ0
,
V =
q
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|
, VB − VA = −
B!
A
E⃗ · dℓ⃗, V =
1
4πϵ0
!
dq
r
, E⃗ = −∇⃗V,
V =
1
4πϵ0
#
i
qi
ri
, U =
1
4πϵ0
#
i<j
qi qj
rij
, C = Q/V, Ceq = C1 + C2 + ... ,
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ... , U =
Q2
2C
=
CV 2
2
=
QV
2
,
ϵ
ϵ0
= κ, u =
ϵ0
2
E2, E =
E0
κ
,
E =
σ
ϵ
, u =
ϵ
2
E2,
"
ϵ0κE⃗ · dA⃗ = qint−liv.
!
dt
(t2 + c)3/2
=
t
c
√
t2 + c
,
!
dt
at + b
=
1
a
ln(at + b), ln(a/b) = ln a− ln b.
dV = dxdydz, dV = 4πr2dr, dV = 2πrhdr.
9
Formulário
F⃗ =
qq′(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, F⃗ = qE⃗, E⃗ =
q(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, E⃗ =
1
4πϵ0
!
dq
r2
r̂,
p = qd, τ⃗ = p⃗× E⃗, U = −p⃗ · E⃗, ΦE =
!
E⃗ · dA⃗,
"
E⃗ · dA⃗ =
qint
ϵ0
,
V =
q
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|
, VB − VA = −
B!
A
E⃗ · dℓ⃗, V =
1
4πϵ0
!
dq
r
, E⃗ = −∇⃗V,
V =
1
4πϵ0
#
i
qi
ri
, U =
1
4πϵ0
#
i<j
qi qj
rij
, C = Q/V, Ceq = C1 + C2 + ... ,
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ... , U =
Q2
2C
=
CV 2
2
=
QV
2
,
ϵ
ϵ0
= κ, u =
ϵ0
2
E2, E =
E0
κ
,
E =
σ
ϵ
, u =
ϵ
2
E2,
"
ϵ0κE⃗ · dA⃗ = qint−liv.
!
dt
(t2 + c)3/2
=
t
c
√
t2 + c
,
!
dt
at + b
=
1
a
ln(at + b), ln(a/b) = ln a− ln b.
dV = dxdydz, dV = 4πr2dr, dV = 2πrhdr.
9
Formulário
F⃗ =
qq′(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, F⃗ = qE⃗, E⃗ =
q(r⃗ − r⃗′)
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|3
, E⃗ =
1
4πϵ0
!
dq
r2
r̂,
p = qd, τ⃗ = p⃗× E⃗, U = −p⃗ · E⃗, ΦE =
!
E⃗ · dA⃗,
"
E⃗ · dA⃗ =
qint
ϵ0
,
V =
q
4πϵ0|r⃗ − r⃗′|
, VB − VA = −
B!
A
E⃗ · dℓ⃗, V =
1
4πϵ0
!
dq
r
, E⃗ = −∇⃗V,
V =
1
4πϵ0
#
i
qi
ri
, U =
1
4πϵ0
#
i<j
qi qj
rij
, C = Q/V, Ceq = C1 + C2 + ... ,
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+ ... , U =
Q2
2C
=
CV 2
2
=
QV
2
,
ϵ
ϵ0
= κ, u =
ϵ0
2
E2, E =
E0
κ
,
E =
σ
ϵ
, u =
ϵ
2
E2,
"
ϵ0κE⃗ · dA⃗ = qint−liv.
!
dt
(t2 + c)3/2
=
t
c
√
t2 + c
,
!
dt
at + b
=
1
a
ln(at + b), ln(a/b) = ln a− ln b.
dV = dxdydz, dV = 4πr2dr, dV = 2πrhdr.
9
3ª Questão) Um fio carregado positivamente com densidade linear de carga λ é composto de um 
segmento de reta de comprimento L conectado a um circulo de raio R, conforme a figura. Calcule o 
vetor campo elétrico no ponto C (centro do círculo). 
 
4ª Questão) Quatro capacitores de capacitância C, inicialmente descarregados, foram associados e 
uma diferença de potencial V foi aplicada, conforme a figura. Qual é a capacitância equivalente do 
sistema formado pelos 4 capacitores? Determine a carga q na placa indicada na figura. Dê sua 
resposta em termos de C e V . 

 
5ª Questão) Uma camada esférica condutora, neutra, tem raio interno a e raio externo b. No centro 
da camada, na cavidade interna, há uma carga puntiforme q >0. 
(a) (1,0 ponto) Usando a Lei de Gauss e propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático, 
determine as densidades superficiais de carga σ(a) e σ(b) nas superfícies interna e externa da 
camada esférica. 
(b) (1,0 ponto) Calcule o vetor campo elétrico em todo o espaço. 
✬
✫
✩
✪
F́ısica III - 4320301
Escola Politécnica - 2012
GABARITO DA PS
5 de julho de 2012
☛
✡
✟
✠Questão 1
(a) (1,0 ponto) Considere a configuração da figura em que as cargas pontuais Q1 = q,
Q2 = −q e Q3 = 2q, com q > 0, estão fixas nas posições indicadas. Além disso,
está presente no espaço um campo magnético uniforme B⃗ = Bȷ⃗. Num determinado
instante, uma outra carga q passa pela origem do sistema de coordenadas com
velocidade v⃗ no plano xy, formando um angulo de 60◦ com o eixo x, conforme a
figura. Calcule neste instante o vetor força eletromagnética sobre essa carga em
termos dos versores ı⃗,⃗ȷ e k⃗.
!"!#
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B
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' v
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()*
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''
(b) (1,5 ponto) Um fio carregado com densidade linear de carga λ > 0 é composto de
um segmento de reta de comprimento L conectado a um ćırculo de raio R, conforme
a figura. Calcule o vetor campo elétrico no ponto O (centro do ćırculo).
!
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# k i
j
1
C
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✠Questão 4
Um capacitor esférico é formado por uma esfera interna de raio a e uma camada esférica
concêntrica de raio interno 3a, conforme a figura.
a
3a
(a) (1,0 ponto) Calcule a capacitância C deste capacitor no vácuo a partir da definição.
(b) (0,5 ponto) Como se altera a capacitância se o espaço entre os condutores for
preenchido com um material de constante dielétrica κ?
(c) (1,0 ponto) Quatro capacitores de capacitância C, inicialmente descarregados, foram
associados e uma diferença de potencial V foi aplicada, conforme a figura. Determine
a carga q na placa indicada na figura. Dê sua resposta em termos de C e V .
+ _
V
q=?
7
☛
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✠Questão 2
Uma camada esférica condutora, neutra, tem raio interno a e raio externo b. No centro
da camada, na cavidade interna, há uma carga puntiforme q > 0.
q
a
b
(a) (1,5 ponto) Usando a lei de Gauss e propriedades dos condutores em equiĺıbrio
eletrostático determine as densidades superficiais de carga σ(a) e σ(b) nas superf́ıcies
interna e externa da camada esférica.
(b) (1,0 ponto) Calcule o vetor campo elétrico em todo o espaço.
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