calc3 exelente livro

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARA
�
IBA
CENTRO DE CI
^
ENCIAS EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE MATEM
�
ATICA
C�alculo Integral
Descomplicado
Lenimar Nunes de Andrade
numerufpb@gmail.com
vers~ao 1.2 { 18/julho/2017
Sum�ario
1 Integral de fun�c~ao de uma vari�avel 1
1.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Breve tabela de integrais inde�nidas . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 Propriedades da integral inde�nida . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Integral de�nida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5.1 Propriedades da integral de�nida . . . . . . . . . . . . . 7
1.5.2 Teorema Fundamental do C�alculo . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Regras de integra�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.1 Integra�c~ao por substitui�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.2 Integra�c~ao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6.3 Integra�c~ao por partes generalizada . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Apoio Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.1 Apresenta�c~ao do Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.2 Simpli�ca�c~ao e fatora�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7.3 Resolu�c~ao de equa�c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.4 C�alculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.5 C�alculo de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7.6 C�alculo de integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Integrais duplas 23
2.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Soma de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 De�ni�c~ao de integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4 Interpreta�c~ao geom�etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Propriedades da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 Integrais parciais e iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 Mudan�ca de vari�aveis na integral dupla . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.10 Integral dupla em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . 43
i
ii SUM
�
ARIO
2.11 Aplica�c~oes da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.11.1
�
Areas e volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.11.2 Centro de gravidade e momento de in�ercia . . . . . . . 49
2.12 Exerc��cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.13 Apoio Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.14 Integrais duplas com o Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.15 Mudan�ca de vari�avel na integral dupla . . . . . . . . . . . . . . 63
2.16 Integral dupla em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . 64
2.17 Exerc��cios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Integrais triplas 68
3.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Integral Tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.3 Integrais iteradas e Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Propriedades da integral tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Mudan�ca de vari�avel em integral tripla . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6 Integral tripla em coordenadas cil��ndricas . . . . . . . . . . . . . 77
3.7 Integral tripla em coordenadas esf�ericas . . . . . . . . . . . . . 79
3.8 Aplica�c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.8.1 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.8.2 Centro de gravidade e momento de in�ercia . . . . . . . 81
3.9 Exerc��cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.10 Apoio Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.11 Integrais triplas com o Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.12 C�alculo de determinante jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.13 Mudan�ca de vari�avel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.14 Integral tripla em coordenadas esf�ericas . . . . . . . . . . . . . 98
3.15 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4 Integrais de linha 101
4.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2 Curvas no plano e no espa�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Integral de linha de 1ª esp�ecie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.1 Propriedades da integral de linha de 1ª esp�ecie . . . . . 104
4.3.2 Interpreta�c~ao geom�etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4 Integral de linha de 2ª esp�ecie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.4.1 Propriedades da integral de linha de 2ª esp�ecie . . . . . 106
4.5 Integral de linha no espa�co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6 Campo vetorial e gradiente de uma fun�c~ao . . . . . . . . . . . . 113
4.7 Independe^ncia do caminho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.8 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
SUM
�
ARIO iii
4.9 Aplica�c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.9.1 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.9.2 C�alculo de �areas e plan��metro . . . . . . . . . . . . . . 126
4.9.3 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.9.4 Momentos e centro de gravidade de um �o . . . . . . . 128
4.10 Exerc��cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.11 Apoio Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.11.1 Integrais de linha de primeira esp�ecie . . . . . . . . . . 142
4.11.2 Integrais de linha de segunda esp�ecie . . . . . . . . . . 143
4.12 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5 Campos vetoriais 148
5.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.2 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.3 O operador gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.4 Rotacional de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
5.5 Divergente de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.6 O operador laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.7 F�ormulas envolvendo o operador r . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.8 Potencial vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8.1 Lembrete �nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.9 Exerc��cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.10 Apoio Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.10.1 Campos vetoriais planos . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.10.2 Campos vetoriais tridimensionais . . . . . . . . . . . . . 164
5.10.3 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.10.4 Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.10.5 Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.10.6 Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.10.7 Potencial escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.10.8 Potencial vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.11 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6 Integrais de superf��cie 172
6.1 Introdu�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.2 Superf��cies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.3 Curvas coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.4 Plano tangente e vetor normal a uma superf��cie . . . . . . . . . 175
6.5
�
Area de uma superf��cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.6
�
Area do gr�a�co de uma fun�c~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.7 Integral de superf��cie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
iv SUM
�
ARIO
6.8 Propriedades da integral de superf��cie . . . . . . . . . . . . . . 182
6.9 Como calcular uma integral de superf��cie . . . . . . . . . . . . . 183
6.10 Caso particular em que a superf��cie �e o gr�a�co de uma fun�c~ao . 185
6.11 Superf��cies orient�aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.12 Fluxo de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.13 Integral de superf��cie de 2ª esp�ecie . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.14 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.15 Teorema do Divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.16 Exerc��cios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.17 Apoio Computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.17.1 Gr�a�cos tridimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.17.2 Integral de superf��cie que �e gr�a�co de uma fun�c~ao . . . 211
6.17.3 Integral de superf��cie de�nida por equa�c~oes param�etricas 213
6.17.4 Fluxo atrav�es de uma superf��cie gr�a�co de fun�c~ao . . . 214
6.17.5 Fluxo atrav�es de uma superf��cie parametrizada . . . . . 216
6.18 Exerc��cios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A Respostas dos exerc��cios propostos 221
A.1 Exerc��cios do cap��tulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
A.2 Exerc��cios do cap��tulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
A.3 Exerc��cios do cap��tulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
A.4 Exerc��cios do cap��tulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
A.5 Exerc��cios do cap��tulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
A.6 Exerc��cios do cap��tulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
B Resumos 234
B.1 Integrais de fun�c~oes com uma vari�avel . . . . . . . . . . . . . . 234
B.2 Integrais duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
B.3 Integrais triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
B.4 Integrais de linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Refere^ncias Bibliogr�a�cas 245
Pref�acio
Este texto corresponde �as notas de aula da disciplina C�alculo Diferencial e
Integral III, ministrada na Universidade Federal da Para��ba desde 2014.
O objetivo geral �e desenvolver os diversos conceitos de integral para fun�c~oes
de v�arias vari�aveis reais, bem como algumas de suas aplica�c~oes n~ao s�o a proble-
mas geom�etricos, como tamb�em a problemas f��sicos.
No cap��tulo 1, fazemos uma r�apida revis~ao do conceito de integral de fun�c~oes
de uma vari�avel real. Esse tipo de conceito deve ter sido desenvolvido em
semestre anterior e, por causa disso, n~ao nos estendemos muito nele.
O cap��tulo 2 �e sobre integrais duplas, o cap��tulo 3 �e sobre integrais triplas, o
4 �e sobre integrais de linha, o 5 �e sobre campos vetoriais e o 6 �e sobre integrais
de superf��cie.
No �nal de cada cap��tulo, acrescentamos uma se�c~ao intitulada \Apoio Com-
putacional". Nessa se�c~ao, s~ao fornecidos comandos e fun�c~oes do Maxima que
podem ser usados nos c�alculos relacionados com o cap��tulo.
�
E muito �util a
programa�c~ao de determinadas f�ormulas ou de�ni�c~oes, ajuda no entendimento
completo dos conceitos envolvidos.
No �nal do texto, as respostas dos exerc��cios propostos foram acrescentadas
no ape^ndice A e um resumo com todas as f�ormulas e resultados mais importantes
est�a no ape^ndice B. Esse resumo �e �util para se revisar rapidamente toda a teoria.
Este texto pode ser copiado e distribu��do livremente. Est�a �a disposi�c~ao em
www.mat.ufpb.br/lenimar/calc3.pdf . Foi elaborado usando-se exclusivamente
programas livres e gratuitos que podem ser facilmente encontrados �a disposi�c~ao
na Internet tais como GeoGebra, Maxima, L
A
T
E
X e FastStone Image Viewer.
Agradecemos a todos os que contribu��ram com coment�arios e sugest~oes e �a
minha esposa Lu��za Am�elia pelo apoio permanente.
Jo~ao Pessoa, 26 de junho de 2017
Lenimar Nunes de Andrade
v
Cap��tulo 1
Integral de fun�c~ao de uma vari�avel
1.1 Introdu�c~ao
O C�alculo Integral teve sua origem no c�alculo de �areas de �guras planas por
Arquimedes (287{212 a.C.). Quase 2000 anos depois de Arquimedes, ele foi
formalizado por Isaac Newton (1642{1727) e Gottfried Leibniz (1646{1716).
Foi Leibniz que inventou as nota�c~oes dx , dy e
´
y dx usadas hoje em dia.
Arquimedes Newton Leibniz
1.2 Primitivas
Consideremos f uma fun�c~ao de�nida em um intervalo I. Uma primitiva de f
em I �e uma fun�c~ao F de�nida em I que satisfaz a propriedade F
0
(x) = f (x) ,
para todo x pertencente ao intervalo I.
Exemplo 1.1 F (x) =
x
4
4
�e uma primitiva de f (x) = x
3
em R porque
F
0
(x) =
d
dx
(
x
4
4
)
=
4x
3
4
= x
3
:
Note que G(x) =
x
4
4
+ 1 e, em geral, H(x) =
x
4
4
+ C onde C �e uma constante
tamb�em s~ao primitivas para a mesma fun�c~ao f .
1
2 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
Exemplo 1.2 Sendo C uma constante real qualquer, observe que
F (x) =
1
8
e
8x
+ C �e uma primitiva de f (x) = e
8x
porque
F
0
(x) =
d
dx
(
1
8
e
8x
+ C
)
=
1
8
� 8e
8x
+ 0 = e
8x
:
A primitiva de uma fun�c~ao f costuma ser denotada por
´
f (x) dx e ser cha-
mada de integral inde�nida de f . Usando esse tipo de nota�c~ao, nos dois
exemplos anteriores t��nhamos
ˆ
x
3
dx =
x
4
4
+ C
e tamb�em que ˆ
e
8x
dx =
e
8x
8
+ C:
1.3 Breve tabela de integrais inde�nidas
Nas f�ormulas a seguir, C �e uma constante que pode assumir qualquer va-
lor real. Todas essas f�ormulas que envolvem as primitivas b�asicas devem ser
memorizadas.
1)
ˆ
x
n
dx =
x
n+1
n + 1
+ C, se n 6= �1
2)
ˆ
1
x
dx = ln jx j+ C
3)
ˆ
e
x
dx = e
x
+ C
4)
ˆ
a
x
dx =
a
x
ln a
+ C; se a > 0
5)
ˆ
sen x dx = � cos x + C
6)
ˆ
cos x dx = sen x + C
7)
ˆ
senh x dx = cosh x + C
8)
ˆ
cosh x dx = senh x + C
9)
ˆ
1
1 + x
2
dx = arctg x + C
10)
ˆ
1
p
1� x
2
dx = arcsen x + C
1.4. PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA 3
1.4 Propriedades da integral inde�nida
As propriedades a seguir s~ao conseque^ncias imediatas das propriedades de
derivada de uma fun�c~ao.
1)
ˆ
k � f (x) dx = k �
ˆ
f (x) dx
2)
ˆ
(f (x) + g(x)) dx =
ˆ
f (x) dx +
ˆ
g(x) dx
3)
ˆ
(f (x)� g(x)) dx =
ˆ
f (x) dx �
ˆ
g(x) dx
4) Se k 6= 0 e
ˆ
f (x) dx = F (x); ent~ao
ˆ
f (kx) dx =
F (kx)
k
5) Se
ˆ
f (x) dx = F (x), ent~ao
ˆ
f (x + k) dx = F (x + k), se k for constante.
Para exempli�car essas propriedades, vamos apresentar alguns exemplos.
Exemplo 1.3 Calcule
ˆ
(x
6
+ x
3
) dx .
Basta usar o fato de que a primitiva de uma soma �e a soma das primitivas e
que a primitiva de x
n
(n 6= �1) �e igual a
x
n+1
n+1
.
ˆ
(x
6
+ x
3
) dx =
ˆ
x
6
dx +
ˆ
x
3
dx =
x
6+1
6 + 1
+
x
3+1
3 + 1
=
x
7
7
+
x
4
4
+ C;
onde C �e uma constante que pode assumir qualquer valor.
Exemplo 1.4 Calcule
ˆ
(4
p
x +
5
p
x
3
) dx .
Usando
b
p
x
a
=x
a
b
, podemos transformar essas ra��zes em pote^ncias de x .
ˆ
(4
p
x +
5
p
x
3
) dx = 4
ˆ
p
x dx +
ˆ
5
p
x
3
dx = 4
ˆ
x
1=2
dx +
ˆ
x
3=5
dx
=
4x
1
2
+1
1
2
+ 1
+
x
3
5
+1
3
5
+ 1
+ C =
4x
3
2
3
2
+
x
8
5
8
5
+ C =
8
p
x
3
3
+
5
5
p
x
8
8
+ C:
Exemplo 1.5 Calcule
ˆ (
3
x
�
4
x + 1
)
dx .
ˆ (
3
x
�
4
x + 1
)
dx = 3
ˆ
1
x
dx � 4
ˆ
1
x + 1
dx = 3 ln jx j � 4 ln jx + 1j+ C:
4 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
Exemplo 1.6 Calcule
ˆ (
3
x
2
�
4
x
2
+ 1
)
dx .
ˆ (
3
x
2
�
4
x
2
+ 1
)
dx = 3
ˆ
x
�2
dx � 4
ˆ
1
x
2
+ 1
dx
=
3x
(�2+1)
(�2 + 1)
� 4 arctg x + C =
3x
�1
(�1)
� 4 arctg x + C =
�3
x
� 4 arctg x + C:
Exemplo 1.7 Calcule
ˆ
(cos(3x) + cos(x + 2)� 4 sen(5x)) dx .
ˆ
(cos(3x) + cos(x + 2)� 4 sen(5x)) dx =
ˆ
cos(3x) dx +
ˆ
cos(x + 2) dx
� 4
ˆ
sen(5x) dx =
sen(3x)
3
+ sen(x + 2)� 4
(
� cos(5x)
5
)
+ C
=
sen(3x)
3
+ sen(x + 2) +
4
5
cos(5x) + C:
Exemplo 1.8 Calcule a integral inde�nida
ˆ
1
x
2
� x � 12
dx .
Inicialmente, observamos que o polino^mio do 2
o
grau que aparece no deno-
minador possui duas ra��zes reais: x
2
� x � 12 = 0 ) x =
1�
p
1+48
2
) x = �3
ou x = 4. Assim, o denominador pode ser fatorado na forma x
2
� x � 12 =
(x�(�3))(x�4) = (x+3)(x�4) e, por causa disso, a fra�c~ao
1
x
2
�x�12
=
1
(x+3)(x�4)
pode ser escrita como uma soma de fra�c~oes mais simples (denominadas fra�c~oes
parciais): uma com denominador (x + 3), outra com denominador (x � 4) e
numeradores a serem calculados:
1
(x + 3)(x � 4)
=
A
x + 3
+
B
x � 4
:
Multiplicando tudo por (x + 3)(x � 4) e simpli�cando obtemos
1 = A(x � 4) + B(x + 3);
ou seja,
1 = (A+ B)x + (�4A+ 3B):
Comparando coe�cientes de um lado e do outro da equa�c~ao, obtemos o seguinte
sistema linear nas vari�aveis A e B:{
A+ B = 0
�4A+ 3B = 1
1.5. INTEGRAL DEFINIDA 5
Da primeira equa�c~ao otemos A = �B e da segunda equa�c~ao 4B + 3B = 1, ou
seja, B = 1=7 e A = �1=7. Conclu��mos dessa forma que
1
x
2
� x � 12
=
�1
7(x + 3)
+
1
7(x � 4)
e, a partir da��, obtemos a primitiva desejada:
ˆ
1
x
2
� x � 12
dx = �
1
7
ln jx + 3j+
1
7
ln jx � 4j+ C:
Exemplo 1.9 Calcule a integral
ˆ
1
25x
2
+ 7
dx .
Como 25x
2
+ 7 = 7(
25
7
x
2
+ 1) = 7((
5x
p
7
)
2
+ 1), temos que
ˆ
1
25x
2
+ 7
dx =
1
7
ˆ
1
(
5x
p
7
)
2
+ 1
dx =
1
7
5
p
7
arctg(
5x
p
7
)+C =
p
7
35
arctg(
5x
p
7
)+C:
1.5 Integral de�nida
Uma parti�c~ao de um intervalo [a; b] �e um conjunto P = fx
0
; x
1
; x
2
; � � � ; x
n
g
tal que
a = x
0
< x
1
< x
2
< � � � < x
n
= b;
que divide o intervalo [a; b] em n intervalos [x
k�1
; x
k
], com k = 1; 2; � � � ; n.
O comprimento do intervalo [x
k�1
; x
k
] �e �x
k
= x
k
� x
k�1
e o maior dos
comprimentos �x
1
;�x
2
; � � � ;�x
n
�e denotado por max�x
k
.
Sendo f uma fun�c~ao de�nida no intervalo [a; b], escolhemos em cada intervalo
[x
k�1
; x
k
] da parti�c~ao um ponto c
k
e formamos a seguinte soma:
S
n
= f (c
1
)�x
1
+ f (c
2
)�x
2
+ � � �+ f (c
n
)�x
n
=
n∑
k=1
f (c
k
)�x
k
:
Esse tipo de soma �e denominada soma de Riemann
1
de f com rela�c~ao �a
parti�c~ao e n�umeros c
i
escolhidos.
1
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866), matem�atico alem~ao.
6 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
Se f (c
k
) > 0, ent~ao cada parcela f (c
k
)�x
k
pode ser interpretada como a �area
de um reta^ngulo de base �x
k
e altura f (c
k
). Assim, a soma de Riemann S
n
�e a
soma das �areas de todos esses reta^ngulos.
Se existir o limite de S
n
quando n ! 1 e max�x
k
! 0, ent~ao esse li-
mite �e denominado integral de�nida de f em [a; b]; denotado por
ˆ
b
a
f (x) dx .
Simbolicamente, temos por de�ni�c~ao:
ˆ
b
a
f (x) dx = lim
max�x
k
!0
n∑
k=1
f (c
k
)�x
k
:
Complementamos a de�ni�c~ao acrescentando o seguinte:
ˆ
a
a
f (x) dx = 0 e
ˆ
a
b
f (x) dx = �
ˆ
b
a
f (x) dx .
Se f (x) � 0 em [a; b] e
ˆ
b
a
f (x) dx existir, ent~ao a integral de f em [a; b]
�e numericamente igual �a �area A da regi~ao do plano cartesiano situada entre o
gr�a�co de f e o eixo dos x e entre as retas verticais x = a e x = b, ou seja,
A =
ˆ
b
a
f (x) dx: Por outro lado, se f (x) � 0 em [a; b], ent~ao A = �
ˆ
b
a
f (x) dx:
1.5. INTEGRAL DEFINIDA 7
Quando
´
b
a
f (x) dx existir, ent~ao f ser�a chamada integr�avel. Pode-se mos-
trar que toda fun�c~ao cont��nua de�nida em um intervalo fechado �e integr�avel.
1.5.1 Propriedades da integral de�nida
Consideremos f ; g integr�aveis em um intervalo [a; b] e k 2 R uma constante
qualquer. Ent~ao :
ˆ f+g �e integr�avel em [a; b] e
ˆ
b
a
(f (x)+g(x)) dx =
ˆ
b
a
f (x) dx+
ˆ
b
a
g(x) dx .
ˆ k � f �e integr�avel em [a; b] e
ˆ
b
a
(k � f (x)) dx = k �
ˆ
b
a
f (x) dx .
ˆ Se f (x) � 0 em [a; b], ent~ao
ˆ
b
a
f (x) dx � 0.
ˆ Se a < c < b e f �e integr�avel em [a; c ] e em [c; b], ent~aoˆ
b
a
f (x) dx =
ˆ
c
a
f (x) dx +
ˆ
b
c
g(x) dx:
1.5.2 Teorema Fundamental do C�alculo
A de�ni�c~ao de integral de�nida atrav�es de somas de Riemann n~ao �e pr�atica
de se usar para calcular o valor num�erico da integral. Para o c�alculo de integrais
de�nidas, �e mais pr�atico utilizar o seguinte teorema conhecido pelo nome de
Teorema Fundamental do C�alculo:
Teorema 1.1 Se f for integr�avel em [a; b] e se F for uma primitiva de f em
[a; b], ent~ao
ˆ
b
a
f (x) dx = F (b)� F (a) .
8 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
A diferen�ca F (b)�F (a) costuma ser abreviada na forma [F (x)]
b
a
ou F (x)j
b
a
.
Exemplo 1.10 calcule
ˆ
3
0
(x
2
� 5x + 6) dx .
Uma primitiva de f (x) = x
2
� 5x + 6 �e F (x) =
x
3
3
�
5x
2
2
+ 6x . Logo,
ˆ
3
0
(x
2
� 5x + 6) = [F (x)]
3
0
= F (3)� F (0) =
3
3
3
�
5 � 3
2
2
+ 6 � 3� 0 =
9
2
:
Se fosse utilizado uma outra primitiva para f (x) tal como F (x) =
x
3
3
�
5x
2
2
+6x+1
ou F (x) =
x
3
3
�
5x
2
2
+ 6x + C, ent~ao o resultado �nal n~ao se alteraria.
Exemplo 1.11 Calcule a �area da regi~ao sob o gr�a�co de y = sen x e acima do
eixo dos x , com x satisfazendo 0 � x � �.
Neste caso, devemos calcular A =
ˆ
�
0
sen x dx . Como a primitiva de sen x �e
a fun�c~ao � cos x , temos ent~ao o seguinte resultado:
ˆ
�
0
sen x dx = [� cos x ]
�
0
= � cos� � (� cos 0) = �(�1)� (�1) = 1 + 1 = 2:
Portanto, a �area procurada �e de 2 unidades de �area.
1.6 Regras de integra�c~ao
Tamb�em conhecidas como t�ecnicas de primitiva�c~ao, s~ao f�ormulas que s~ao
�uteis para determina�c~ao de primitivas de alguns tipos de fun�c~oes.
1.6.1 Integra�c~ao por substitui�c~ao
A integra�c~ao por substitui�c~ao �e uma das t�ecnicas maissimples e �e uma das
primeiras que deve ser testada em um c�alculo de primitivas. Equivale �a regra da
cadeia para a derivada de fun�c~oes compostas.
Se F e g s~ao fun�c~oes deriv�aveis e F �e uma primitiva de f , ou seja, F
0
= f ,
ent~ao [F (g(x))]
0
= F
0
(g(x))g
0
(x) = f (g(x))g
0
(x) que pode ser escrito na forma
ˆ
f (g(x))g
0
(x) dx = F (g(x)) + C:
Fazendo u = g(x), temos
du
dx
= g
0
(x) que pode ser escrito na forma
du = g
0
(x) dx . Assim, a integra�c~ao por substitui�c~ao consiste na aplica�c~ao da
seguinte f�ormula:
1.6. REGRAS DE INTEGRAC�
~
AO 9
ˆ
f (g(x))g
0
(x) dx =
ˆ
f (u) du = F (u) + C = F (g(x)) + C;
onde u = g(x); du = g
0
(x) dx .
Exemplo 1.12 Calcule
ˆ
x
2
e
x
3
dx .
Fazendo u = x
3
, temos
du
dx
= 3x
2
) du = 3x
2
dx )
1
3
du = x
2
dx . Substi-
tuindo na integral, obtemos:
ˆ
x
2
e
x
3
dx =
ˆ
e
u
�
1
3
du =
1
3
ˆ
e
u
du =
1
3
e
u
+ C =
e
x
3
3
+ C;
onde C �e qualquer constante real.
Exemplo 1.13 Calcule
ˆ
x
5
√
1 + x
6
dx .
Fazendo u = 1 + x
6
, temos
du
dx
= 6x
5
) du = 6x
5
dx )
1
6
du = x
5
dx .
Substituindo na integral, obtemos:
ˆ √
1 + x
6︸ ︷︷ ︸
p
u
� x
5
dx︸ ︷︷ ︸
1
6
du
=
1
6
ˆ
p
u du =
1
6
(
u
1
2
+1
1
2
+ 1
)
+C =
u
3
2
9
+C =
√
(1 + x
6
)
3
9
+C:
Exemplo 1.14 Calcule
ˆ
sen
p
x + 1
p
x + 1
dx .
Fazendo u =
p
x + 1, temos du =
1
2
p
x+1
dx ) 2 du =
1
p
x+1
dx . Substituindo
na integral:ˆ
sen
p
x + 1︸ ︷︷ ︸
sen u
�
1
p
x + 1
dx︸ ︷︷ ︸
2 du
= 2
ˆ
sen u du = �2 cos u+C = �2 cos
p
x + 1+C:
Exemplo 1.15 Calcule
ˆ
e
arctg x
1 + x
2
dx .
Fazendo u = arctg x , temos du =
1
1+x
2
dx que substituindo na integral,
fornece: ˆ
e
arctg x︸ ︷︷ ︸
e
u
�
1
1 + x
2
dx︸ ︷︷ ︸
du
=
ˆ
e
u
du = e
u
+ C = e
arctg x
+ C:
Exemplo 1.16 Calcule
ˆ
1
x ln x
dx .
10 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
Fazendo u = ln x , temos du =
1
x
dx que pode ser substitu��do na integral:
ˆ
1
ln x︸︷︷︸
1=u
�
1
x
dx︸︷︷︸
du
=
ˆ
1
u
du = ln juj+ C = ln j ln x j+ C:
Exemplo 1.17 Calcule
ˆ
tg x dx .
Observamos que tg x =
sen x
cos x
e fazemos u = cos x ) du = � sen x dx , que
pode ser substitu��do na integral do seguinte modo:
ˆ
tg x dx =
ˆ
sen x
cos x
dx =
ˆ
1
cos x︸ ︷︷ ︸
1=u
� sen x dx︸ ︷︷ ︸
� du
=
ˆ
�1
u
du = � ln juj+ C
= � ln j cos x j+ C = ln j cos x j
�1
+ C = ln j sec x j+ C:
Exemplo 1.18 Calcule
ˆ
cos
7
x dx .
Inicialmente, observamos que
cos
7
x = cos
6
x � cos x = (cos
2
x)
3
� cos x = (1� sen
2
x)
3
� cos x:
Depois, fazemos u = sen x ) du = cos x dx e substitu��mos na integral:
ˆ
cos
7
x dx =
ˆ
(1� sen
2
)
3︸ ︷︷ ︸
(1�u
2
)
3
� cos x dx︸ ︷︷ ︸
du
=
ˆ
(1� u
2
)
3
du
=
ˆ
(1� 3u
2
+ 3u
4
� u
6
) du = u � 3(
u
3
3
) + 3(
u
5
5
)�
u
7
7
+ C
= sen x � sen
3
x +
3
5
sen
5
x �
1
7
sen
7
x + C:
Note que utilizamos a conhecida f�ormula do cubo da diferen�ca:
(a � b)
3
= a
3
� 3a
2
b + 3ab
2
� b
3
:
Em geral, as primitivas que envolvem pote^ncias ��mpares de sen x ou cos x se
resolvem com um procedimento semelhante ao que acabamos de fazer.
Exemplo 1.19 Calcule
ˆ
sen
5
x cos
4
x dx .
Inicialmente, observamos que
sen
5
x = sen
4
x � sen x = (sen
2
x)
2
� sen x = (1� cos
2
x)
2
� sen x:
1.6. REGRAS DE INTEGRAC�
~
AO 11
Depois, fazemos u = cos x ) du = � sen x dx e substitu��mos na integral:ˆ
sen
5
x cos
4
x dx =
ˆ
cos
4
x(1� cos
2
)
2︸ ︷︷ ︸
u
4
(1�u
2
)
2
� sen x dx︸ ︷︷ ︸
� du
= �
ˆ
u
4
(1� u
2
)
2
du
= �
ˆ
u
4
(1� 2u
2
+ u
4
) du = �
ˆ
(u
4
� 2u
6
+ u
8
) du = �
u
5
5
+2(
u
7
7
)�
u
9
9
+C
= �
1
5
cos
5
x +
2
7
cos
7
x �
1
9
cos
9
x + C:
Exemplo 1.20 Calcule
ˆ
x
4
x
10
+ 1
dx .
Antes de tudo, note que uma substitui�c~ao como u = x
4
ou u = x
10
n~ao
funciona porque, nesses casos, du = 4x
3
dx ou du = 10x
9
dx e n~ao ter��amos
como substituir uma express~ao dessas na integral dada.
Sendo assim, escrevemos x
10
= (x
5
)
2
, fazemos u = x
5
) du = 5x
4
dx e
substitu��mos na integral:
ˆ
x
4
x
10
+ 1
dx =
ˆ
1
(x
5
)
2
+ 1︸ ︷︷ ︸
1=(u
2
+1)
� x
4
dx︸ ︷︷ ︸
1
5
du
=
1
5
ˆ
1
u
2
+ 1
du
=
1
5
arctg u + C =
arctg x
5
5
+ C:
1.6.2 Integra�c~ao por partes
A integra�c~ao por partes �e equivalente �a regra da derivada do produto de
duas fun�c~oes. Consideremos duas fun�c~oes f e g de�nidas em um mesmo
intervalo. Temos: [f (x)g(x)]
0
= f
0
(x)g(x) + f (x)g
0
(x) que �e equivalente a
f (x)g
0
(x) = [f (x)g(x)]
0
� f
0
(x)g(x) que implicaˆ
f (x)g
0
(x) dx =
ˆ
[f (x)g(x)]
0
dx �
ˆ
f
0
(x)g(x) dx .
Como uma primitiva de [f (x)g(x)]
0
�e f (x)g(x), a f�ormula anterior pode ser
escrita na forma:ˆ
f (x)g
0
(x) dx = f (x)g(x)�
ˆ
f
0
(x)g(x) dx:
Fazendo u = f (x) e v = g(x) temos
du
dx
= f
0
(x) e
dv
dx
= g
0
(x) que podem
escritos na forma du = f
0
(x) dx e dv = g
0
(x) dx . Substituindo na f�ormula
anterior, obtemos: ˆ
u dv = uv �
ˆ
v du:
12 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
Essa f�ormula �e conhecida pelo nome de integra�c~ao por partes e geralmente �e
utilizada para calcular primitiva do produto de duas fun�c~oes.
Um diagrama que ajuda na organiza�c~ao dos c�alculos �e mostrado a seguir:
D I
+ u dv
&
�
´
du ! v
Nesse diagrama, na primeira coluna temos sinais + e � que se alternam, na
�ultima linha da primeira coluna deixamos indicado tamb�em uma opera�c~ao de
integra�c~ao. A segunda coluna �e identi�cada pela letra D e �e formada pela
fun�c~ao u e sua derivada e a terceira coluna �e identi�cada por um I e �e formada
pela fun�c~ao dv e sua integral inde�nida. A f�ormula da integra�c~ao por partes
pode ser identi�cada nesse diagrama ao efetuarmos as multiplica�c~oes indicadas
pelas setas.
Exemplo 1.21 Calcule
ˆ
x sen x dx .
Para usar a integra�c~ao por partes, devemos escolher o u e o dv na express~ao
x sen x dx . Algumas das possibilidades s~ao as seguintes:
ˆ u = x , dv = sen x dx
ˆ u = sen x , dv = x dx
Essa segunda op�c~ao n~ao �e uma boa ideia porque dv = x dx implica v =
x
2
2
e u = sen x implica du = cos x dx . Quando forem substitu��dos na f�ormula
da integra�c~ao por partes, vamos obter o seguinte:
´
u dv = uv �
´
v du =
x
2
sen x
2
�
´
x
2
cos x
2
dx . Note que n~ao h�a nenhuma simpli�ca�c~ao com rela�c~ao �a
integral do enunciado do problema. A integral
´
v du =
´
x
2
cos x
2
dx parece mais
complicada do que a integral inicial. Portanto, essa n~ao �e uma boa op�c~ao.
Vamos tentar agora a outra op�c~ao: u = x , dv = sen x dx . Temos: du = dx
e v = � cosx e substituindo na integral, fornece o seguinte:ˆ
x︸︷︷︸
u
sen x dx︸ ︷︷ ︸
dv
=
ˆ
u dv = uv �
ˆ
v du = x(� cos x)�
ˆ
(� cos x) dx
= �x cos x +
ˆ
cos x dx = �x cos x + sen x + C:
Um diagrama que representa os c�alculos realizados �e mostrado a seguir:
D I
+ x sen x
&
�
´
1 ! � cos x
1.6. REGRAS DE INTEGRAC�
~
AO 13
Outras integrais como
ˆ
x cos x dx ,
ˆ
xe
x
dx se resolvem usando-se inte-
gra�c~ao por partes, fazendo-se u = x .
Exemplo 1.22 Calcule
ˆ
ln x dx .
Observamos que ln x = 1 � ln x e fazemos a seguinte tentativa: u = ln x e
dv = 1dx . A partir dessa escolha, obtemos: du =
1
x
dx e v = x .
ˆ
ln x dx =
ˆ
ln x︸︷︷︸
u
� 1 dx︸︷︷︸
dv
=
ˆ
u dv = uv �
ˆ
v du
= x ln x �
ˆ
x �
1
x
dx = x ln x �
ˆ
1 dx = x ln x � x + C:
Exemplo 1.23 Calcule
ˆ
x arctg x dx .
Escolhemos u = arctg x e dv = x dx . A partir da��, obtemos: du =
1
1+x
2
dx e
v =
x
2
2
.
ˆ
x arctg x dx =
ˆ
arctg x︸ ︷︷ ︸
u
� x dx︸︷︷︸
dv
=
ˆ
u dv = uv �
ˆ
v du
=
x
2
arctg x
2
�
ˆ
x
2
2(1 + x
2
)
dx =
x
2
arctg x
2
�
1
2
ˆ
x
2
1 + x
2
dx
A fra�c~ao
x
2
1+x
2
possui dois polino^mios como numerador e denominador. Al�em
disso, o grau do numerador �e maior ou igual ao grau do denominador. Em um
caso como esses, devemos dividir os polino^mios para tentar simpli�car a fra�c~ao.
Neste caso particular, a maneira mais f�acil de se efetuar essa divis~ao �e somar e
subtrair o n�umero 1 no numerador:
x
2
1 + x
2
=
x
2
+ 1� 1
1 + x
2
=
x
2
+ 1
1 + x
2
�
1
1 + x
2
= 1�
1
1 + x
2
:
Voltando agora ao c�alculo da integral, temos:
ˆ
x
2
1 + x
2
dx =
ˆ (
1�
1
1 + x
2
)
dx =
ˆ
1 dx�
ˆ
1
1 + x
2
dx = x�arctg x+C:
Conclu��mos ent~ao que
ˆ
x arctg x =
x
2
arctg x
2
�
1
2
ˆ
x
2
1 + x
2
dx =
x
2
arctg x
2
�
1
2
(x � arctg x + C) :
Um diagrama que organiza os c�alculos realizados �e:
14 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
D I
+ arctg x x
&
�
´
1
1+x
2
!
x
2
2
Outras integrais como
ˆ
x arcsen x dx ,
ˆ
x arccos x dx ,
ˆ
x ln x dx tamb�em
se resolvem de modo semelhante, fazendo-se dv = x dx .
1.6.3 Integra�c~ao por partes generalizada
A integra�c~ao por partes pode ser usada v�arias vezes no c�alculo de uma �unica
integral. Por exemplo, para calcular
´
x
2
cos x dx usamos duas vezes, para cal-
cular
´
x
3
e
x
dx usamos tre^s vezes etc. Em geral, se usamos a f�ormula n vezes,
obtemos a seguinte f�ormula da integra�c~ao por partes generalizada:
ˆ
u(x)v(x) dx = u(x)v
1
(x)� u
0
(x)v
2
(x) + u
00
(x)v
3
(x) + : : :
+ (�1)
n�1
u
(n�1)
(x)v
n
(x) + (�1)
n
ˆ
u
(n)
(x)v
n
(x) dx;
onde v
1
(x) =
´
v(x) dx , v
2
(x) =
´
v
1
(x) dx , . . . , v
n
(x) =
´
v
n�1
(x) dx .
Essa f�ormula tamb�em pode ser representada na forma de diagrama, conforme
mostrado a seguir:
D I
+ u v
&
� u
0
v
1
&
+ u
00
v
2
&
� u
000
v
3
.
.
.
.
.
. &
.
.
.
(�1)
n�1
u
(n�1)
v
n�1
&
(�1)
n
´
u
(n)
! v
n
A primeira coluna �e preenchida com sinais +, �, +, �, . . . alternadamente e na
�ultima linha �e indicado um s��mbolo da opera�c~ao de integra�c~ao. A coluna D �e
formada pela fun�c~ao u e suas derivadas sucessivas u
0
, u
00
, u
000
, . . . e a coluna I
pela fun�c~ao v e suas integrais inde�nidas v
1
, v
2
, v
3
, . . . . O c�alculo sucessivo de
1.6. REGRAS DE INTEGRAC�
~
AO 15
derivadas �e realizado enquanto a derivada obtida n~ao �e nula e at�e que a primitiva´
u
(n)
(x)v
n
(x) dx seja conhecida.
Exemplo 1.24 Calcular
ˆ
x
5
cos 3x dx .
D I
+ x
5
cos 3x
&
� 5x
4
sen 3x
3
&
+ 20x
3
� cos 3x
9
&
� 60x
2
� sen 3x
27
&
+ 120x
cos 3x
81
&
�
´
120 !
sen 3x
243
Observando o diagrama, multiplicamos elementos da coluna das derivadas D
pelos da coluna das integrais I e chegamos �a seguinte conclus~ao:
ˆ
x
5
cos 3x dx =
x
5
sen 3x
3
+
5x
4
cos 3x
9
�
20x
3
sen 3x
27
�
60x
2
cos 3x
81
+
120x sen 3x
243
+
40 cos 3x
243
A �ultima parcela mostrada no resultado anterior foi obtida atrav�es do seguinte
c�alculo: �
´
120
(
sen 3x
243
)
dx = �
120
243
´
sen 3x dx = �
120
243
(
� cos 3x
3
)
=
40 cos 3x
243
.
Observa�c~ao:
ˆ Integrais como
ˆ
x
n
sen x dx ,
ˆ
x
n
cos x dx ,
ˆ
x
n
e
x
dx tamb�em se resol-
vem pela integra�c~ao por partes generalizada, fazendo-se u = x
n
.
ˆ Integrais como
ˆ
x
n
arcsen x dx ,
ˆ
x
n
arctg x dx ,
ˆ
x
n
ln x dx se resolvem
de modo semelhante, fazendo-se dv = x
n
dx .
16 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
1.7 Apoio Computacional
1.7.1 Apresenta�c~ao do Maxima
O Maxima �e um programa gratuito que pode ser copiado facilmente da inter-
net a partir de maxima.sourceforge.net . Pode ser usado para resolver diversos
problemas e realizar in�umeras opera�c~oes nos cursos de C�alculo tais como:
ˆ Calcular lim
x!a
f (x) com um comando limit(f(x), x, a);
ˆ Calcular a derivada f
0
(x) com um comando di�(f(x), x) e f
(n)
(x) com
di�(f(x), x, n);
ˆ Calcular
´
f (x) dx com integrate(f(x), x) e
´
b
a
f (x) dx com um comando
integrate(f(x), x, a, b);
ˆ Calcular o somat�orio
n∑
k=i
f (k) com sum(f(k), k, i, n);
ˆ Obter a s�erie de Taylor f (x) = f (a) + f
0
(a)(x � a) + � � � +
f
(n)
(a)
n!
(x � a)
n
com um comando taylor(f(x), x, a, n);
ˆ Simpli�ca�c~ao de express~oes alg�ebricas com ratsimp(express~ao), fatora�c~ao
com um comando factor(express~ao) e expans~ao com expand(express~ao);
ˆ Resolver uma equa�c~ao com solve(equa�c~ao, vari�avel) e um sistema de
equa�c~oes com um comando solve([equa�c~oes, . . . ], [vari�aveis, . . . ]);
ˆ Opera�c~oes com vetores, matrizes e determinantes;
ˆ Constru�c~ao de gr�a�cos planos ou tridimensionais;
ˆ Resolu�c~ao de equa�c~oes diferenciais.
Ao ser chamado, o Maxima apresenta uma tela como a que �e mostrada a
seguir. Os comandos de entrada (input) s~ao enumerados com (%i01), (%i02),
(%i03), . . . , enquanto que os de sa��da (output) s~ao enumerados com (%o01),
(%o02), (%o03), . . . .
O �ultimo caracter de cada linha deve ser um \;" ou um \$" e deve-se pres-
sionar a tecla [Enter] ou a combina�c~ao de teclas [Shift][Enter] no �nal da
digita�c~ao da linha.
1.7. APOIO COMPUTACIONAL 17
As opera�c~oes b�asicas s~ao + (adi�c~ao), - (subtra�c~ao), * (multiplica�c~ao),
/ (divis~ao), ^ (potencia�c~ao) e algumas fun�c~oes b�asicas s~ao sqrt (raiz qua-
drada), abs (valor absoluto), log (logaritmo natural), exp (exponencial de base
e), fun�c~oes hiperb�olicas: sinh, cosh, tanh, fun�c~oes trigonom�etricas: sin, cos,
tan, cot, sec, csc e trigonom�etricas inversas: asin, acos, atan.
Por exemplo,
√
ln(secx + tgx) �e codi�cado noMaxima no seguinte formato:
sqrt(log(sec(x) + tan(x))). Outro exemplo: senh ax =
e
ax
�e
�ax
2
�e codi�cado
na forma sinh(a*x) = (exp(a*x) - exp(-a*x))/2 .
Algumas constantes simb�olicas do Maxima s~ao: %pi (� = 3; 141592 : : : ),
%e (e = 2; 7182818: : : ), %i (i =
p
�1) e %phi (� = 1; 61803 : : : ),
inf (in�nito) e minf (menos in�nito).
1.7.2 Simpli�ca�c~ao e fatora�c~ao
Exemplo 1.25 Fatorar o polino^mio x
5
� 6x
3
+ 2x
2
� 7x � 14.
(%i01) p: x^5 - 6*x^3 + 2*x^2 - 7*x - 14;
(%o01) x
5
� 6x
3
+ 2x
2
� 7x � 14
(%i02) factor(p);
(%o02) (x + 1)(x
2
� 7)(x
2
� x + 2)
Logo, o polino^mio fatorado �e (x + 1)(x
2
� 7)(x
2
� x + 2).
Exemplo 1.26 Simpli�car a fra�c~ao
3a
3
� 21ab + 3a
2
b � a
3
b � 21b
2
+ 7ab
2
� a
2
b
2
+ 7b
3
3a
3
� 21ab � 15a
2
b � a
3
b + 105b
2
+ 7ab
2
+ 5a
2
b
2
� 35b
3
:
18 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
(%i03) q: ( 3*a^3 - 21*a*b + 3*a^2*b - a^3*b - 21*b^2 + 7*a*b^2
- a^2*b^2 + 7*b^3)/(3*a^3 - 21*a*b - 15*a^2*b
- a^3*b + 105*b^2 + 7*a*b^2 + 5*a
^
2*b^2 - 35*b^3);
(%o03)
7b
3
� a
2
b
2
+ 7ab
2
� 21b
2
� a
3
b + 3a
2
b � 21ab + 3a
3
�35b
3
+ 5a
2
b
2
+ 7ab
2
+ 105b
2
� a
3
b � 15a
2
b � 21ab + 3a
3
(%i04) ratsimp(q);
(%o04) �
b + a
5b � a
Como conclus~ao apresentada pelo programa, a fra�c~ao simpli�cada �e �
b+a
5b�a
.
1.7.3 Resolu�c~ao de equa�c~oes
Exemplo 1.27 Resolver a equa�c~ao 7x
4
+ 117x
3
+ 694x
2
+ 1458x � 476 = 0
.
(%i05) solve(7*x^4 + 117*x^3 + 694*x^2 + 1458*x - 476 = 0, x);
(%o05) [x = �7; x =
2
7
; x = �3%i � 5; x = 3%i � 5]
As ra��zes encontradas pelo Maxima s~ao �7,
2
7
, �5� 3i e �5 + 3i .
1.7.4 C�alculo de limites
Exemplo 1.28 Calcular lim
x!1
3x
3
+ 2x
2
� 7x + 10
5x
3
+ x
2
� 50x � 17
.
(%i05) 'limit((3*x^3+2*x^2-7*x+10)/(5*x^3+x^2-50*x-17), x, inf);
(%o05) lim
x!1
3x
3
+ 2x
2
� 7x + 10
5x
3
+ x
2
� 50x � 17
(%i06) limit((3*x^3+2*x^2-7*x+10)/(5*x^3+x^2-50*x-17), x, inf);
(%o06)
3
5
Portanto, o limite calculado �e igual a
3
5
.
Exemplo 1.29 Calcular lim
x!0
1� cos ax
x
2
.
(%i07) 'limit((1 - cos(a*x))/x^2, x, 0) = limit((1 - cos(a*x))/x^2, x, 0);
(%o07) lim
x!0
1� cos(ax)
x
2
=
a
2
2
1.7. APOIO COMPUTACIONAL 19
1.7.5 C�alculo de derivadas
Exemplo 1.30 Dado f (t) = t
5
�8t
3
+4t
2
�10t�2, calcular f
0
(t), f
00
(t) e f
000
(t).
(%i08) f(t) := t^5 - 8*t^3 + 4*t^2 - 10*t - 2;
(%o08) f (t) := t
5
� 8t
3
+ 4t
2
+ (�10)t � 2
(%i09) di�(f(t), t);
(%o09) 5t
4
� 24t
2
+ 8t � 10
(%i10) di�(f(t), t, 2);
(%o10) 20t
3
� 48t + 8
(%i11) di�(f(t), t, 3);
(%o11) 60t
2
� 48
Conclu��mos dessa forma que f
0
(t) = 5t
4
�24t
2
+8t�10, f
00
(t) = 20t
3
�48t+8
e f
000
(t) = 60t
2
� 48.
Exemplo 1.31 Determinar a derivada de x cos(7e
x
) com rela�c~ao a x .
(%i12) 'di�(x*cos(7*exp(x)), x);
(%o12)
d
d
(xcos(7%e
x
)
(%i13) di�(x*cos(7*exp(x)), x);
(%o13) cos(7%e
x
)� 7x%e
x
sin(7%e
x
)
Portanto,
d
dx
(x cos(7e
x
)) = cos(7e
x
)� 7x sen(7e
x
).
Exemplo 1.32 Calcular as derivadas primeira e segunda da fun�c~ao de�nida por
f (x) = arctg(3x + 10).
(%i14) di�(atan(3*x + 10), x);
(%o14)
3
(3x + 10)
2
+ 1
(%i15) di�(atan(3*x + 10), x, 2);
(%o15) �
18(3x + 10)
((3x + 10)
2
+ 1)
2
As respostas obtidas pelo programa s~ao f
0
(x) =
3
(3x+10)
2
+1
e f
00
(x) = �
18(3x+10)
((3x+10)
2
+1)
2
Exemplo 1.33 Sendo f (x; y) = x
5
+ 4x
3
y
4
� 11y
3
+ 4, calcular as derivadas
segundas
@
2
f
@x
2
,
@
2
f
@y
2
e
@
2
f
@x@y
.
20 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
(%i16) f(x, y) := x^5 + 4*x^3*y^4 - 11*y^3 + 4;
(%o16) f (x; y) := x
5
+ 4x
3
y
4
+ (�11)y
3
+ 4
(%i17) ['di�('f(x, y), x, 2), 'di�('f(x, y), y, 2), 'di�('di�('f(x, y), x), y)];
(%o17) [
d
2
dx
2
(f (x; y));
d
2
dx
2
(f (x; y));
d
2
dxdy
(f (x; y))]
(%i18) [di�(f(x, y), x, 2), di�(f(x, y), y, 2), di�(di�(f(x, y), y), x)];
(%o18) [24xy
4
+ 20x
3
; 48x
3
y
2
� 66y ; 48x
2
y
3
]
Portanto,
@
2
f
@x
2
= 24xy
4
+ 20x
3
,
@
2
f
@y
2
= 48x
3
y
2
� 66y e
@
2
f
@x@y
= 48x
2
y
3
.
1.7.6 C�alculo de integrais
Exemplo 1.34 Calcular
ˆ
(x
2
+ x +
1
x
+
1
x
2
) dx
(%i19) integrate(x^2 + x + 1/x + 1/x^2, x);
(%o19) log(x) +
x
3
3
+
x
2
2
�
1
x
Logo,
´
(x
2
+ x +
1
x
+
1
x
2
) dx = ln x +
x
3
3
+
x
2
2
�
1
x
Exemplo 1.35 Calcular
ˆ
x
x
2
+ 7x + 13
dx .
(%i20) 'integrate(x/(x^2+7*x+13), x) = integrate(x/(x^2+7*x+13), x);
(%o20)
ˆ
x
x
2
+ 7x + 13
dx =
log(x
2
+ 7x + 13)
2
�
7 atan
(
2x+7
p
3
)
p
3
A resposta obtida pelo programa �e
ln(x
2
+7x+13)
2
�
7
p
3
arctg
(
2x+7
p
3
)
.
Exemplo 1.36 Calcular
ˆ
5
1
(4x
2
+
p
x � 1) dx .
(%i21) 'integrate(4*x^2 + sqrt(x - 1), x, 1, 5)
(%o21)
ˆ
5
1
4x
2
+
p
x � 1 dx
(%i22) integrate(4*x^2 + sqrt(x - 1), x, 1, 5);
(%o22)
512
3
Conclus~ao:
´
5
1
(4x
2
+
p
x � 1) dx =
512
3
Exemplo 1.37 Calcular
ˆ
2�
�
4
cos t
2 sen t + 3
dt.
1.8. EXERC
�
ICIOS PROPOSTOS 21
(%i23) 'integrate(cos(t)/(3+ 2*sin(t)), t, %pi/4, 2*%pi) =
integrate(cos(t)/(3+2*sin(t)), t, %pi/4, 2*%pi);
(%o23)
ˆ
2�
�
4
cos(t)
2 sin(t) + 3
dt =
log(3)
2
�
log(
p
2) + 3
2
1.8 Exerc��cios Propostos
P1) Calcule as seguintes integrais inde�nidas:
a)
ˆ
(x + 1)
2016
dx b)
ˆ
(e
x
2
� 3e
5x+1
) dx c)
ˆ
5 sen(4x + 1) dx
d)
ˆ
cos
(
3x � 5
8
)
dx e)
ˆ
1
9x
2
+ 1
dx f)
ˆ
1
9x
2
� 1
dx
P2) Calcule as seguintes integrais de�nidas:
a)
ˆ
1
�1
(ax
2
+ bx + c) dx b)
ˆ
e
1
sen(ln x)
x
dx c)
ˆ �
4
�
�
4
tg x dx
P3) Usando uma substitui�c~ao conveniente, calcule as seguintes integrais:
a)
ˆ
6x
5
+ 8x
3
x
6
+ 2x
4
+ 3
dx b)
ˆ
x(3x
2
+ 5)
100
dx c)
ˆ
e
x
e
x
+ 1
dx
d)
ˆ
e
sen
2
x
sen 2x dx e)
ˆ
sec
2
x tg
8
x dx f)
ˆ
sen
7
x cos
5
x dx
P4) Usando integra�c~ao por partes, calcule as seguintes integrais inde�nidas:
a)
ˆ
x cos x dx b)
ˆ
x ln x dx c)
ˆ
x
9
ln x dx
d)
ˆ
arctg x dx e)
ˆ
xe
x
dx f)
ˆ
x
2
e
x
dx
P5) Calcule
ˆ
x
3
e
x
2
dx . (Sugest~ao: fa�ca x
3
= x
2
�x , use a substitui�c~ao u = x
2
e, depois, use integra�c~ao por partes.)
P6) Calcule
ˆ
1
x(x
100
+ 1)
dx . (Sugest~ao: escreva o numerador na forma
1 = (1 + x
100
)� x
100
e separe a fra�c~ao em duas.)
22 CAP
�
ITULO 1. INTEGRAL DE FUNC�
~
AO DE UMA VARI
�
AVEL
P7) a) Calcule
ˆ
sec � d�. (Sugest~ao: sec � =
sec �(sec �+tg �
sec �+tg �
)
b) Calcule
ˆ
sec
3
� d�. (Sugest~ao: sec
3
� = sec � � sec
2
�, u = sec �,
dv = sec
2
�.)
P8) Calcule
ˆ √
x
2
+ 1dx . (Sugest~ao: fa�ca x = tg � e, a partir da��,
calcule �, sec � e use o exerc��cio anterior.)P9) Sabendo que V = �
ˆ
b
a
(f (x))
2
dx �e o volume do s�olido obtido ao
dar uma volta completa em torno do eixo dos x com o gr�a�co de y = f (x),
a � x � b, calcule os volumes dos seguintes s�olidos de revolu�c~ao:
a) y = cos x , �
�
2
� x �
�
2
b) y =
1
x
, 1 � x � 4
c) y = �
√
16� x
2
, �4 � x � 4
P10) Sabendo que C =
ˆ
b
a
√
1 + (f
0
(x))
2
dx �e o comprimento do gr�a�co
no intervalo [a; b] da fun�c~ao deriv�avel y = f (x), calcule os comprimentos dos
seguintes arcos:
a) y =
x
2
4
�
ln x
2
, 2 � x � 5 b) y = ln(sec x), 0 � x �
�
4
c) y = 2 + ln(sen x),
�
6
� x �
�
3
Cap��tulo 2
Integrais duplas
2.1 Introdu�c~ao
Neste cap��tulo, estendemos o conceito de integral de�nida em um intervalo
para integral de fun�c~ao de duas vari�aveis de�nida em uma regi~ao do plano. Com
esse tipo de ferramenta, podemos calcular �areas, volumes e explorar alguns
conceitos f��sicos como centro de gravidade e momento de in�ercia de um s�olido.
2.2 Soma de Riemann
Dados dois intervalos [a; b] e [c; d ] de n�umeros reais, consideremos um
reta^ngulo
R = [a; b]� [c; d ] = f(x; y) 2 R
2
j a � x � b; c � y � dg
no plano cartesiano xOy contido no dom��nio de uma fun�c~ao f (x; y).
Consideremos tamb�em as parti�c~oes a = x
0
< x
1
< x
2
< � � � < x
n
= b do
intervalo [a; b] e c = y
0
< y
1
< y
2
< � � � < y
m
= d de [c; d ]. Essas parti�c~oes
23
24 CAP
�
ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS
determinam uma parti�c~ao do reta^ngulo R formada por m � n reta^ngulos R
i j
:
R
i j
= f(x; y) 2 R
2
j x
i�1
� x � x
i
; y
j�1
� y � x
j
g:
Em cada R
i j
, escolhemos um ponto P
i j
de coordenadas (x
�
i
; y
�
j
).
Parti�c~ao da regi~ao R Reta^ngulo R
i j
e ponto P
i j
Uma vez escolhidos os m � n pontos P
i j
, escrevemos a seguinte soma:
S =
n∑
i=1
m∑
j=1
f (x
�
i
; y
�
j
)�x
i
�y
j
:
Esse somat�orio �e conhecido pelo nome de soma de Riemann associada �a parti�c~ao
da regi~ao R e aos pontos P
i j
.
Gr�a�co de f (x; y) e regi~ao R Soma de Riemann
Se a regi~ao R contida no dom��nio da fun�c~ao f n~ao for um reta^ngulo, ent~ao
um procedimento semelhante pode ser realizado, conforme o que �e sugerido
pelas seguintes �guras. Supondo R limitada, ent~ao ele est�a contida em algum
reta^ngulo. Fazemos uma subdivis~ao desse reta^ngulo em reta^ngulos menores
e levamos em conta apenas aqueles reta^ngulos R
i j
que estejam inteiramente
contidos na regi~ao R. A partir da��, constru��mos uma soma de Riemann usando
apenas esses reta^ngulos e pontos P
i j
= (x
�
i
; y
�
j
) 2 R
i j
escolhidos aleatoriamente.
2.3. DEFINIC�
~
AO DE INTEGRAL DUPLA 25
Parti�c~ao da regi~ao R do plano xOy Gr�a�co de z = f (x; y) e regi~ao R
i j
Exemplo 2.1 Considere a fun�c~ao f (x; y) = x
2
+ y
2
de�nida no reta^ngulo
R = [0; 2] � [0; 2]. Dividindo R em quatro quadrados de lado 1 e escolhendo
em cada quadrado o v�ertice inferior esquerdo P
i j
, calcule a soma de Riemann
associada a f e a esses pontos.
Os pontos escolhidos nos quadrados s~ao P
11
= (x
1
; y
1
) = (0; 0), P
12
= (x
1
; y
2
) =
(1; 0), P
21
= (x
2
; y
1
) = (0; 1) e P
22
= (x
2
; y
2
) = (1; 1). Como �x
1
= �x
2
=
�y
1
= �y
2
= 1, temos que a soma de Riemann procurada �e
S =
2∑
i=1
2∑
j=1
f (x
i
; y
j
)�x
i
�y
j
= f (x
1
; y
1
)�x
1
�y
1
+ f (x
1
; y
2
)�x
1
�y
2
+ f (x
2
; y
1
)�x
2
�y
1
+ f (x
2
; y
2
)�x
2
�y
2
= f (0; 0) � 1 � 1 + f (1; 0) � 1 � 1
+ f (0; 1) � 1 � 1 + f (1; 1) � 1 � 1 = 0 + 1 + 1 + 2 = 4:
2.3 De�ni�c~ao de integral dupla
Sendo max�x
i
o maior dos comprimentos dos intervalos [x
0
; x
1
]; [x
1
; x
2
];
[x
2
; x
3
]; � � � ; [x
n�1
; x
n
] e max�y
j
o maior dos comprimentos dos intervalos [y
0
; y
1
];
[y
1
; y
2
]; [y
2
; y
3
]; � � � ; [y
m�1
; y
m
], temos que se max�x
i
! 0, n ! 1 e se
max�y
j
! 0, m !1.
26 CAP
�
ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS
Se existir o limite da soma de Riemann de f associada a uma parti�c~ao de uma
regi~ao R contida no seu dom��nio quando max�x
i
! 0 e max�y
j
! 0, ent~ao
a fun�c~ao f �e dita integr�avel na regi~ao R e seu limite �e denominado integral
dupla de f na regi~ao R e �e denotada por
˜
R
f (x; y) dx dy .
¨
R
f (x; y) dx dy = lim
max�x
i
!0
max�y
j
!0
n∑
i=1
m∑
j=1
f (x
�
i
; y
�
j
)�x
i
�y
j
A �area do ret~angulo R
i j
pode ser denotada por �A
k
= �x
i
�y
j
. Nesse caso,
quando max�x
i
! 0 e max�y
j
! 0 temos tamb�em max�A
k
! 0. Denotando
dxdy por dA, temos que a integral dupla
˜
R
f (x; y) dx dy tamb�em pode ser
denotada por
˜
R
f (x; y) dA e de�nida por:
¨
R
f (x; y) dA = lim
max�A
k
!0
n∑
i=1
m∑
j=1
f (x
�
i
; y
�
j
)�A
k
2.4 Interpreta�c~ao geom�etrica
A integral dupla de uma fun�c~ao f (x; y) � 0 em uma regi~ao R do plano xOy
corresponde ao volume V do s�olido que est�a abaixo do gr�a�co da fun�c~ao e acima
do plano xOy :
V =
¨
R
f (x; y) dA:
Quando f (x; y) = 1, a altura h do s�olido �e igual a 1 e o seu volume coincide
com a �area da base R: V =
˜
R
f (x; y) dA =
˜
R
1 dA =
˜
R
dA = �area da base
�h = �area da base = �area de R. Portanto,¨
R
dA = �area de R:
2.5. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DUPLA 27
Pode-se mostrar que se f for cont��nua em uma regi~ao R fechada e limitada,
ent~ao f �e integr�avel.
2.5 Propriedades da integral dupla
Consideremos f e g duas fun�c~oes integr�aveis em uma regi~ao R. Ent~ao:
ˆ
¨
R
k � f (x; y) dA = k �
¨
R
f (x; y) dA, onde k �e uma constante.
ˆ
¨
R
(f (x; y)� g(x; y)) dA =
¨
R
f (x; y) dA�
¨
R
g(x; y) dA.
ˆ Se f (x; y) � g(x; y) em R, ent~ao
¨
R
f (x; y) dA �
¨
R
g(x; y) dA. Em
particular, se f (x; y) � 0 em R, ent~ao
¨
R
f (x; y) dA � 0.
ˆ Se R = R
1
[ R
2
sem sobreposi�c~ao de regi~oes (ou seja, a �area de R
1
\ R
2
�e nula) ent~ao
¨
R
f (x; y) dA =
¨
R
1
f (x; y) dA+
¨
R
2
f (x; y) dA
2.6 Integrais parciais e iteradas
Dada uma fun�c~ao f (x; y) de�nida em um reta^ngulo R = [a; b] � [c; d ], a
integral
´
b
a
f (x; y) dx �e chamada integral parcial de f com rela�c~ao a x . Esse tipo
de integral �e calculada considerando-se o x como �unica vari�avel e mantendo-se
o y constante.
De modo semelhante,
´
d
c
f (x; y) dy �e a integral parcial de f com rela�c~ao a
y e �e calculada considerando-se como �unica vari�avel o y e mantendo-se o x
constante.
Exemplo 2.2 Sendo f (x; y) = x
3
y
5
+ 2 de�nida em R = [0; 1] � [0; 2], deter-
mine
´
1
0
f (x; y) dx e
´
2
0
f (x; y) dy .
Mantendo-se y constante, temos:
ˆ
1
0
(x
3
y
5
+ 2) dx =
[
x
4
4
� y
5
+ 2x
]
x=1
x=0
= (
1
4
4
� y
5
+ 2 � 1)� 0 =
y
5
5
+ 2
28 CAP
�
ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS
e mantendo-se o x constante:ˆ
2
0
(x
3
y
5
+ 2) dy =
[
x
3
�
y
6
6
+ 2y
]
y=2
y=0
= (x
3
�
2
6
6
+ 2 � 2)� 0 =
32x
3
3
+ 4:A integral
´
d
c
(´
b
a
f (x; y) dx
)
dy �e formada por duas integrais parciais
\encaixadas" e �e chamada de integral iterada. Da mesma forma,´
b
a
(´
d
c
f (x; y) dy
)
dx tamb�em �e uma integral iterada. Em geral, �e costume
escrever a integral iterada sem pare^nteses:
ˆ
ˆ
b
a
(ˆ
d
c
f (x; y) dy
)
dx =
ˆ
b
a
ˆ
d
c
f (x; y) dy dx
ˆ
ˆ
d
c
(ˆ
b
a
f (x; y) dy
)
dx =
ˆ
b
c
ˆ
d
a
f (x; y) dy dx
�
E calculado primeiro a integral \mais interna". Por �ultimo, calcula-se a integral
\mais externa".
�
E importante observar a ordem da integra�c~ao: dx dy ou dy dx . Se for dx dy
ent~ao calcula-se primeiro a integral com rela�c~ao a x e depois com rela�c~ao a
y . Se for dy dx ent~ao �e calculado primeiramente a integral com rela�c~ao a y e
depois com rela�c~ao a x .
Exemplo 2.3 Calcule
ˆ
2
1
ˆ
3
0
(x
2
� y
2
) dx dy
Inicialmente, calculamos a integral parcial \interna":
ˆ
3
0
(x
2
� y
2
) dx =
[
x
3
3
� xy
2
]
x=3
x=0
= (
3
3
3
� 3y
2
)� 0 = 9� 3y
2
:
Agora, calculamos a integral parcial \externa" do resultado da integral anterior:ˆ
2
1
(9� 3y
2
) dy = [9y � y
3
]
y=2
y=1
= (9 � 2� 2
3
)� (9 � 1� 1
3
) = 10� 8 = 2:
Conclu��mos assim que
´
2
1
´
3
0
(x
2
� y
2
) dx dy = 2:
2.7 Teorema de Fubini
O c�alculo de uma integral dupla atrav�es da de�ni�c~ao de soma de Riemann
�e bastante trabalhoso e �as vezes �e muito dif��cil de ser realizado. Para tornar
poss��vel o c�alculo desse tipo de integral temos o Teorema de Fubini
1
que est�a
enunciado a seguir. Por uma quest~ao de simplicidade, vamos inicialmente utilizar
apenas regi~oes retangulares.
1
Guido Fubini (1879{1943), matem�atico italiano.
2.7. TEOREMA DE FUBINI 29
Teorema 2.1 Se f (x; y) for cont��nua em uma regi~ao retangular
R = [a; b]� [c; d ] = f(x; y) 2 R
2
j a � x � b; c � y � dg;
ent~ao a integral dupla de f (x; y) em R �e dada por
¨
R
f (x; y) dA =
ˆ
d
c
(ˆ
b
a
f (x; y) dx
)
dy =
ˆ
b
a
(ˆ
d
c
f (x; y) dy
)
dx:
O Teorema de Fubini permanece v�alido para outros tipos de regi~ao de inte-
gra�c~ao, diferentes de reta^ngulos. Vamos chamar de regi~ao do tipo 1 uma regi~ao
do plano xOy que seja descrita pelas desigualdades{
a � x � b;
g
1
(x) � y � g
2
(x)
onde g
1
e g
2
s~ao cont��nuas em [a; b] e vamos chamar de regi~ao do tipo 2 aquela
que pode ser descrita pelas desigualdades{
h
1
(y) � x � h
2
(y);
c � y � d
onde h
1
e h
2
s~ao cont��nuas em [c; d ]. Esses tipos de regi~ao est~ao ilustrados nas
�guras a seguir:
Regi~ao do tipo 1 Regi~ao do tipo 2
Para regi~oes desses tipos, o Teorema de Fubini �e enunciado nas seguintes
formas:
Teorema 2.2 Se R for uma regi~ao descrita por a � x � b; g
1
(x) � y � g
2
(x);
com g
1
e g
2
cont��nuas em [a; b], ent~ao
¨
R
f (x; y) dA =
ˆ
b
a
(ˆ
g
2
(x)
g
1
(x)
f (x; y) dy
)
dx =
ˆ
b
a
ˆ
g
2
(x)
g
1
(x)
f (x; y) dy dx:
30 CAP
�
ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS
Teorema 2.3 Se R for uma regi~ao descrita por h
1
(y) � x � h
2
(y); c � y � d;
com g
1
e g
2
cont��nuas em [a; b], ent~ao
¨
R
f (x; y) dA =
ˆ
d
c
(ˆ
h
2
(y)
h
1
(y)
f (x; y) dx
)
dy =
ˆ
d
c
ˆ
h
2
(x)
h
1
(x)
f (x; y) dx dy :
Exemplo 2.4 Sendo f (x; y) = 3x
2
y +1 e R o reta^ngulo [0; 2]� [�1; 1], calcule˜
R
f (x; y) dA:
Um gr�a�co da regi~ao R est�a desenhado a seguir:
Observando a regi~ao de integra�c~ao, temos que a varia�c~ao do x e do y nessa
regi~ao �e 0 � x � 2 e �1 � y � 1. Portanto a integral a ser calculada �e igual a
I =
ˆ
2
0
ˆ
1
�1
(3x
2
y + 1) dy dx: A integral parcial \interna" �e igual a
ˆ
1
�1
(3x
2
y + 1) dy =
[
3x
2
y
2
2
+ y
]
1
�1
=
(
3x
2
2
+ 1
)
�
(
3x
2
2
� 1
)
= 2:
Usamos agora esse resultado para calcular a integral \externa":
I =
ˆ
2
0
2 dx = [2x ]
2
0
= 4� 0 = 4:
Portanto,
˜
R
f (x; y) dA = 4.
Exemplo 2.5 Calcule
˜
R
(2 � x + y) dA onde R �e o tria^ngulo no plano xOy
delimitado pelas retas x = 1, y = 0 e y = x .
Um gr�a�co da regi~ao de integra�c~ao (tria^ngulo R) �e mostrado a seguir:
2.7. TEOREMA DE FUBINI 31
Essa regi~ao pode ser descrita pelas seguintes desigualdades:{
0 � x � 1;
0 � y � x
A partir da��, escrevemos a integral dupla no formato de integral iterada e calcu-
lamos cada integral, come�cando pela mais interna:
¨
R
(2� x + y) dA =
ˆ
1
0
ˆ
x
0
(2� x + y) dy dx =
ˆ
1
0
[
2y � xy +
y
2
2
]
y=x
y=0
dy =
ˆ
1
0
[
2x � x
2
+
x
2
2
� 0
]
dx =
ˆ
1
0
(2x�
x
2
2
) dx =
[
x
2
�
x
3
6
]
x=1
x=0
= 1�
1
6
�0 =
5
6
:
Portanto,
˜
R
(2� x + y) dA =
5
6
:
Observa�c~ao 1: Note que essa regi~ao de integra�c~ao tamb�em pode ser descrita
pelas desigualdades: {
y � x � 1;
0 � y � 1
Neste caso, a integral a ser calculada �e igual a
´
1
0
´
1
y
(2� x + y) dx dy .
Observa�c~ao 2: Note que as desigualdades{
0 � x � 1;
0 � y � 1
correspondem a um quadrado de lado 1, com um v�ertice na origem (0; 0) e,
consequentemente, n~ao �e a regi~ao de integral do exemplo atual.
Exemplo 2.6 Calcule
˜
R
y dA sabendo que R �e a parte do primeiro quadrante
do c��rculo de raio 2 e centro na origem.
A regi~ao de integra�c~ao �e mostrada a seguir:
32 CAP
�
ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS
Uma circunfere^ncia de raio 2 e centro na origem tem equa�c~ao x
2
+ y
2
= 4. A
partir da��, podemos isolar o valor de x ou o valor de y para obter x =
√
4� y
2
ou y =
p
4� x
2
: Assim, conclu��mos que essa regi~ao pode ser descrita por
{
0 � x � 2;
0 � y �
p
4� x
2
ou por {
0 � x �
√
4� y
2
;
0 � y � 2
Podemos usar qualquer uma dessas duas descri�c~oes para calcularmos a integral
desejada. Utilizando a primeira, temos:
¨
R
y dA =
ˆ
2
0
ˆ p
4�x
2
0
y dy dx =
ˆ
2
0
[
y
2
2
]
y=
p
4�x
2
y=0
dx =
ˆ
2
0
(
4� x
2
2
� 0
)
dx
=
ˆ
2
0
(
2�
x
2
2
)
dx =
[
2x �
x
3
6
]
x=2
x=0
= 4�
8
6
� 0 =
8
3
:
Exemplo 2.7 Calcule
¨
R
sen x
x
dA, onde R �e o tria^ngulo no plano x0y cujos
v�ertices s~ao os pontos (0; 0), (1; 0) e (1; 2).
A regi~ao de integra�c~ao est�a representada no gr�a�co
2.7. TEOREMA DE FUBINI 33
e pode ser descrita pelas desigualdades{
y
2
� x � 1;
0 � y � 2
ou {
0 � x � 1;
0 � y � 2x
O primeiro conjunto de desigualdades leva a:
¨
R
sen x
x
dA =
ˆ
2
0
ˆ
1
y
2
sen x
x
dx dy :
O problema agora �e que a integral parcial \interna", a
´
1
y
2
sen x
x
dx , n~ao pode
ser calculada usando-se apenas as fun�c~oes elementares conhecidas. Assim, n~ao
conseguimos concluir o c�alculo da integral dupla dada no enunciado.
Vamos agora tentar usar o segundo conjunto de desigualdades mostrado
anteriormente. Com essas desigualdades, obtemos a seguinte integral iterada:
¨
R
sen x
x
dA =
ˆ
1
0
ˆ
2x
0
sen x
x
dy dx =
ˆ
1
0
[
sen x
x
� y
]
y=2x
y=0
dx =
ˆ
1
0
sen x
x
�2x dx
=
ˆ
1
0
2 sen x dx = [�2 cos x ]
1
0= �2 cos 1� (�2 cos 0) = 2� 2 cos 1:
Portanto, �e importante observar a ordem de integra�c~ao. Neste exemplo, n~ao
conseguimos resolver usando a ordem dx dy . S�o conseguimos resolve^-lo se
usarmos a ordem dy dx .
Exemplo 2.8 Calcule
ˆ
3
0
ˆ
1
p
x
3
e
y
3
dy dx .
34 CAP
�
ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS
A integral do enunciado j�a est�a na forma iterada.
�
A primeira vista, �ca
parecendo que �e s�o calcular uma integral com rela�c~ao a y , depois uma integral
com rela�c~ao a x que o problema vai se resolver sem a necessidade de se desenhar
a regi~ao de integra�c~ao. Mas, ao tentarmos resolver a integral parcial \interna",
a
´
1
p
x
3
e
y
3
dy , n~ao vamos conseguir porque uma primitiva para e
y
3
n~ao pode ser
determinada usando-se apenas as fun�c~oes elementares conhecidas. Em uma
situa�c~ao como essa, devemos tentar mudar a ordem de integra�c~ao para ver se
assim aparece alguma simplica�c~ao que ajude na resolu�c~ao do problema. Para
mudar a ordem, temos que desenhar a regi~ao de integra�c~ao.
Observando a integral iterada dada no enunciado, conclu��mos que a regi~ao
de integra�c~ao R �e descrita por {
0 � x � 3;√
x
3
� y � 1
Neste caso, y =
√
x
3
�e o mesmo que y
2
=
x
3
, ou seja, x = 3y
2
.
Um gr�a�co dessa regi~ao �e o seguinte:
A partir da observa�c~ao desse gr�a�co, conclu��mos que a regi~ao tamb�em pode ser
descrita na seguinte forma: {
0 � y � 1;
0 � x � 3y
2
Portanto, a integral dada pode ser escrita e calculada na seguinte forma
ˆ
1
0
ˆ
3y
2
0
e
y
3
dx dy =
ˆ
1
0
[
e
y
3
� x
]
x=3y
2
x=0
dy =
ˆ
1
0
e
y
3
� (3y
2
� 0) dy
=
ˆ
1
0
3y
2
e
y
3
dy =
[
e
y
3
]
y=1
y=0
= e
1
3
� e
0
3
= e � 1:
Observa�c~ao: A integral
´
3y
2
e
y
3
dy pode ser calculada usando-se a t�ecnica da
substitui�c~ao:
u = y
3
) du = 3y
2
dy )
ˆ
3y
2
e
y
3
dy =
ˆ
e
u
du = e
u
= e
y
3
:
2.8. MUDANC�A DE VARI
�
AVEIS NA INTEGRAL DUPLA 35
2.8 Mudan�ca de vari�aveis na integral dupla
Suponhamos que em uma integral simples
ˆ
b
a
f (x) dx seja feita a mudan�ca de
vari�avel x = g(u). Ent~ao,
ˆ
b
a
f (x) dx =
ˆ
�
�
f (g(u))g
0
(u)du. Assim, quando
o x �e trocado por g(u), o intervalo de integra�c~ao [a; b] �e transformado em
outro intervalo [�; �] e o dx deve ser trocado por g
0
(u) du. Com uma integral
m�ultipla ocorre algo semelhante quando as vari�aveis s~ao trocadas: a regi~ao de
integra�c~ao tamb�em muda e o dx dy (ou o dy dx) tamb�em �ca multiplicado por
uma express~ao que envolve as derivadas das mudan�cas de vari�aveis.
Suponhamos que seja realizada uma troca de vari�aveis x , y por u, v de
acordo com as rela�c~oes x = f (u; v) e y = g(u; v). Supondo todas as fun�c~oes
envolvidas deriv�aveis com rela�c~ao �as suas vari�aveis, de�nimos o jacobiano
2
dessa
transforma�c~ao de vari�aveis e denotamos por J(u; v) ou por
@(x;y)
@(u;v)
como sendo o
seguinte determinante:
J(u; v) =
@(x; y)
@(u; v)
=
∣∣∣∣∣∣
@x
@u
@x
@v
@y
@u
@y
@v
∣∣∣∣∣∣ = @x@u @y@v � @y@u @x@v :
De modo semelhante, se u, v forem trocadas por x e y com u = h(x; y) e
v = j(x; y), ent~ao o jacobiano de u; v com rela�c~ao a x; y �e de�nido por
J(x; y) =
@(u; v)
@(x; y)
=
∣∣∣∣∣∣
@u
@x
@u
@y
@v
@x
@v
@y
∣∣∣∣∣∣ = @u@x @v@y � @u@y @v@x :
Exemplo 2.9 Consideremos x = u
2
+ 5v
2
e y = 4uv
2
� 1. Ent~ao
J(u; v) =
@(x; y)
@(u; v)
=
∣∣∣∣∣∣
@x
@u
@x
@v
@y
@u
@y
@v
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 2u 10v
4v
2
8uv
∣∣∣∣ = 16u2v � 40v 3:
O objetivo desta se�c~ao �e enunciar o seguinte teorema conhecido como Te-
orema de Mudan�ca de Vari�avel na Integral Dupla. Sua demonstra�c~ao s�o pode
ser encontrada em textos considerados mais avan�cados.
Teorema 2.4 Se f (x; y) �e cont��nua e na integral dupla
˜
R
f (x; y) dx dy se quer
passar das vari�aveis x e y para u, v atrav�es das express~oes cont��nuas e dife-
renci�aveis x = '(u; v) e y = (u; v) que estabelecem uma bije�c~ao entre os
2
em homenagem a Carl Gustav Jacob Jacobi (1804{1851), matem�atico alem~ao.
36 CAP
�
ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS
pontos da regi~ao de integra�c~ao R = R
xy
no plano xOy e os pontos de uma
regi~ao transformada R
uv
no plano uOv e de tal forma que seu jacobiano J(u; v)
n~ao troque de sinal nessa regi~ao.
Ent~ao:
¨
R
xy
f (x; y) dx dy =
¨
R
uv
f ('(u; v); (u; v))jJ(u; v)j du dv .
A seguir, veremos alguns exemplos de utiliza�c~ao desse teorema.
Exemplo 2.10 Calcule
˜
R
(x + y)
3
(x � y)
2
dA, onde R �e o quadrado delimitado
pelas retas x + y = 1, x � y = 1, x + y = 3 e x � y = �1.
Nas equa�c~oes que de�nem a fronteira da regi~ao R, aparecem as express~oes
x+y e x�y . Por causa disso, vamos usar as seguintes substitui�c~oes: u = x+y
e v = x � y . Com essas mudan�cas de vari�aveis, a regi~ao R = R
xy
delimitada
por x + y︸ ︷︷ ︸
u
= 1, x � y︸ ︷︷ ︸
v
= 1, x + y︸ ︷︷ ︸
u
= 3 e x � y︸ ︷︷ ︸
v
= �1, transforma-se na regi~ao
R
uv
no plano uOv delimitada por u = 1, u = 3, v = 1 e v = �1, conforme
mostrado na �gura a seguir:
2.8. MUDANC�A DE VARI
�
AVEIS NA INTEGRAL DUPLA 37
A partir de u = x + y e v = x � y , podemos calcular x e y em fun�c~ao de
u e v . Para isso, �e s�o somar e depois subtrair essas equa�c~oes que obtemos o
seguinte: x =
u+v
2
e y =
u�v
2
. Derivando x e y com rela�c~ao a u e a v , temos o
seguinte determinante jacobiano:
J(u; v) =
@(x; y)
@(u; v)
=
∣∣∣∣ @x@u @x@v@y
@u
@y
@v
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 12 121
2
�
1
2
∣∣∣∣ = �1
4
�
1
4
= �
1
2
:
Usando agora o Teorema de Mudan�ca de Vari�aveis temos o seguinte:
¨
R
(x + y)
3
(x � y)
2
dA =
¨
R
uv
u
3
v
2
jJ(u; v)j du dv =
ˆ
1
�1
ˆ
3
1
u
3
v
2
2
du dv
=
1
2
ˆ
1
�1
v
2
(ˆ
3
1
u
3
du
)
dv =
1
2
(ˆ
3
1
u
3
du
)(ˆ
1
�1
v
2
dv
)
=
1
2
[
u
4
4
]
3
1
[
v
3
3
]
1
�1
=
(3
4
� 1
4
)(1
3
� (�1)
3
)
24
=
20
3
:
Observa�c~ao 1: O gr�a�co da regi~ao R
xy
serve apenas como ilustra�c~ao e �e
dispens�avel na resolu�c~ao do problema.
Observa�c~ao 2: Note que a �area da regi~ao R
xy
�e (
p
2)
2
= 2 e a �area de R
uv
�e 2
2
= 4. Portanto,
�
Area(R
xy
) =
1
2
�
�
Area(R
uv
) e que esse fator
1
2
�e igual ao
m�odulo do jacobiano jJ(u; v)j:
Observa�c~ao 3: O jacobiano da transforma�c~ao tamb�em pode ser calculado
usando-se a f�ormula
@(x; y)
@(u; v)
�
@(u; v)
@(x; y)
= 1;
que �e o mesmo que J(u; v) � J(x; y) = 1 , ou seja, J(u; v) =
1
J(x; y)
. Assim,
podemos calcular primeiramente o J(x; y) e, depois, inverter a fra�c~ao obtida
para ter o valor de J(u; v). No exemplo atual, temos o seguinte: u = x + y e
v = x � y que implica
J(x; y) =
@(u; v)
@(x; y)
=
∣∣∣∣∣ @u@x @u@y@v
@x
@v
@y
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 1 1
1 �1
∣∣∣∣ = �1� 1 = �2;
logo, J(u; v) = �
1
2
:
Observa�c~ao 4: Em toda integral do tipo
´
b
a
´
d
c
f (u)g(v) du dv , onde a; b; c e
d s~ao constantes, �e poss��vel escreve^-la como produto de duas integrais simples:
ˆ
b
a
ˆ
d
c
f (u)g(v) du dv =
(ˆ
d
c
f (u) du
)
�
(ˆ
b
a
g(v) dv
)
.
38 CAP�
ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS
Para veri�car isso, basta observar que k
1
= g(v) �e constante com rela�c~ao a u
e que k
2
=
´
b
a
f (u) du �e constante com rela�c~ao a v . Logo, k
1
logo pode sair da
integral com rela�c~ao a u e k
2
pode sair da integral com rela�c~ao a v :
2
ˆ
b
a
ˆ
d
c
f (u) g(v)︸︷︷︸
k
1
du dv =
ˆ
b
a
ˆ
d
c
k
1
f (u) du dv =
ˆ
b
a
k
1
�
ˆ
d
c
f (u) du dv
=
ˆ
b
a
g(v) �
ˆ
d
c
f (u) du︸ ︷︷ ︸
k
2
dv =
ˆ
b
a
k
2
g(v) dv = k
2
ˆ
b
a
g(v) dv
=
(ˆ
d
c
f (u) du
)
�
(ˆ
b
a
g(v) dv
)
:
Exemplo 2.11 Calcule
˜
R
cos(xy) dA, onde R �e a regi~ao do primeiro quadrante
do plano xOy delimitado pelas curvas xy = 1, xy = 2, y = x e y = 3x .
As equa�c~oes y = x e y = 3x podem ser escritas nos seguintes formatos:
y=x = 1 e y=x = 3. Sendo assim, ao utilizarmos as mudan�cas de vari�aveis
u = xy e v = y=x a regi~ao R = R
xy
do plano xOy transforma-se no reta^ngulo
R
uv
no plano uOv delimitado pelas retas u = 1, u = 2, v = 1 e v = 3.
O jacobiano de u; v com rela�c~ao a x; y �e dado por:
J(x; y) =
@(u; v)
@(x; y)
=
∣∣∣∣∣ @u@x @u@y@v
@x
@v
@y
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ y x
�
y
x
2
1
x
∣∣∣∣ = y
x
+
xy
x
2
=
2y
x
:
A partir da��, obtemos: J(u; v) =
1
J(x; y)
=
x
2y
=
1
2
(
y
x
)
=
1
2v
: Aplicando a
2.8. MUDANC�A DE VARI
�
AVEIS NA INTEGRAL DUPLA 39
mudan�ca de vari�aveis na integral dada:
¨
R
cos(xy) dA =
¨
R
uv
cos u � jJ(u; v)j du dv =
ˆ
3
1
ˆ
2
1
cos u �
∣∣∣∣ 1
2v
∣∣∣∣ du dv
=
ˆ
3
1
ˆ
2
1
cos u �
1
2v
du dv =
1
2
(ˆ
3
1
1
v
dv
)
�
(ˆ
2
1
cos u du
)
=
1
2
[ln v ]
3
1
[sen u]
2
1
=
1
2
(ln 3� ln 1︸︷︷︸
0
)(sen 2� sen 1) =
ln 3
2
(sen 2� sen 1):
Observa�c~ao 1: Note que na regi~ao R
uv
temos v � 1 e, consequentemente,∣∣ 1
2v
∣∣
=
1
2v
.
Observa�c~ao 2: J(u; v) tamb�em poderia ter sido calculado da seguinte forma:
multiplicamos as equa�c~oes u = xy e v = y=x e obtemos uv = y
2
. Da��,
y =
p
uv = u
1=2
v
1=2
que implica x =
u
y
=
u
p
uv
=
u�
p
uv
p
uv �
p
uv
=
u
p
uv
uv
=
p
uv
v
=
u
1=2
v
1=2
v
= u
1=2
v
�1=2
. A partir da��, calculamos as derivadas de x e de y com
rela�c~ao a u e a v e obtemos o seguinte determinante:
J(u; v) =
@(x; y)
@(u; v)
=
∣∣∣∣ @x@u @x@v@y
@u
@y
@v
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ 12u�1=2v�1=2 �12u1=2v�3=21
2
u
�1=2
v
1=2
1
2
u
1=2
v
�1=2
∣∣∣∣
=
1
4
u
�1=2
u
1=2
v
�1=2
v
�1=2
+
1
4
u
�1=2
u
1=2
v
�3=2
v
1=2
=
1
4
v
�1
+
1
4
v
�1
=
1
2
v
�1
=
1
2v
:
Exemplo 2.12 Calcule
˜
R
(x
4
� y
4
)e
xy
dA, onde R �e a regi~ao do primeiro qua-
drante do plano xOy delimitado pelas hip�erboles xy = 1, xy = 3, x
2
� y
2
= 3
e x
2
� y
2
= 4.
Fazendo u = xy e v = x
2
� y
2
, temos que a regi~ao R = R
xy
no plano xOy
transforma-se no reta^ngulo R
uv
delimitado por u = 1, u = 3, v = 3 e v = 4 no
plano uOv .
40 CAP
�
ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS
O jacobiano de u; v com rela�c~ao a x; y �e dado por:
J(x; y) =
@(u; v)
@(x; y)
=
∣∣∣∣∣ @u@x @u@y@v
@x
@v
@y
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ y x
2x �2y
∣∣∣∣ = �2y 2 � 2x2 = �2(x2 + y 2):
A partir da��, obtemos: J(u; v) =
1
J(x;y)
= �
1
2(x
2
+y
2
)
: Poder��amos usar as equa�c~oes
u = xy e v = x
2
� y
2
para escrever x; y em fun�c~ao de u; v . Mas n~ao tem ne-
cessidade de se fazer isso porque a express~ao x
2
+ y
2
cancela outra que aparece
no denominador no seguinte c�alculo:
¨
R
(x
4
� y
4
)e
xy
dA =
¨
R
xy
(x
2
� y
2
)(x
2
+ y
2
)e
xy
dx dy
=
¨
R
uv
v(x
2
+ y
2
)e
u
jJ(u; v)j du dv =
¨
R
uv
ve
u
(x
2
+ y
2
) �
1
2(x
2
+ y
2
)
du dv
=
1
2
ˆ
4
3
ˆ
3
1
ve
u
du dv =
1
2
(ˆ
4
3
v dv
)
�
(ˆ
3
1
e
u
du
)
=
1
2
[
v
2
2
]
4
3
� [e
u
]
3
1
=
1
2
(
4
2
2
�
3
2
2
)(e
3
� e
1
) =
7(e
3
� e)
4
:
2.9 Coordenadas polares
A todo ponto P = (x; y) do plano cartesiano xOy , podemos associar um
n�umero r � 0 e a medida de um a^ngulo � da seguinte forma:
ˆ r �e a dista^ncia do ponto P �a origem O = (0; 0);
ˆ � �e a medida do a^ngulo formado por
�!
OP e o semi-eixo positivo dos x .
Neste caso, dizemos que (r; �) s~ao as coordenadas polares do ponto P .
Como
x
r
= cos � e
y
r
= sen �, temos x = r cos � e y = r sen � e a partir da��
obtemos o seguinte:
2.9. COORDENADAS POLARES 41
ˆ x
2
+ y
2
= r
2
cos
2
� + r
2
sen
2
� = r
2
) r =
√
x
2
+ y
2
ˆ Dividindo y por x , obtemos:
y
x
=
r sen �
r cos �
= tg � de onde conclu��mos o
seguinte:
� =

arctg
y
x
; se x > 0; y � 0
2� + arctg
y
x
; se x > 0; y < 0
� + arctg
y
x
; se x < 0
�
2
; se x = 0; y > 0
3�
2
; se x = 0; y < 0
ˆ Sendo assim, dadas as coordenadas cartesianas de qualquer ponto (x; y),
podemos calcular sem di�culdade as suas coordenadas polares (r; �).
ˆ Por exemplo, se P = (2; 2) ent~ao r =
p
2
2
+ 2
2
=
p
8 = 2
p
2 e � =
arctg
2
2
= arctg 1 =
�
4
. Logo, as coordenadas polares de P s~ao (2
p
2;
�
4
).
Uma curva do plano pode ser descrita fornecendo-se uma rela�c~ao entre r e
�, r = f (�). A partir da��, podemos atribuir valores a �, calculamos os valores de
r correspondentes a esses valores e marcamos o ponto (r; �).
ˆ Circunfere^ncia: toda equa�c~ao do tipo r = C (constante) de�ne uma cir-
cunfere^ncia de centro na origem e raio igual a C.
ˆ Espiral de Arquimedes: equa�c~ao como r = a� de�ne uma espiral de Arqui-
medes, onde a �e uma constante positiva.
�
A medida que o � aumenta, o r
aumenta tamb�em.
42 CAP
�
ITULO 2. INTEGRAIS DUPLAS
ˆ Cardi�oide: �e uma equa�c~ao da forma r = a(1 + cos �) ou r = a(1 + sen �),
onde a �e uma constante positiva.
ˆ Ros�aceos: toda equa�c~ao do tipo r = cos(n�) ou r = sen(n�) de�ne um
ros�aceo de n p�etalas, se n for ��mpar, ou de 2n p�etalas, se n for par.
2.10. INTEGRAL DUPLA EM COORDENADAS POLARES 43
2.10 Integral dupla em coordenadas polares
Se x = r cos � e y = r sen �, ent~ao o jacobiano de x; y com rela�c~ao a r; � �e
dado por:
J(r; �) =
@(x; y)
@(r; �)
=
∣∣∣∣∣∣
@x
@r
@x
@�
@y
@r
@y
@�
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ cos � �r sen �
sen � r cos �
∣∣∣∣ = r cos2 � + r sen2 � = r:
Portanto, a integral dupla de uma fun�c~ao f em uma regi~ao do plano descrita
por � � � � � e g
1
(�) � r � g
2
(�), �e dada por:
¨
R
f (x; y) dx dy =
¨
R
r�
f (r cos �︸ ︷︷ ︸
x
; r sen �︸ ︷︷ ︸
y
) jJ(r; �)j dr d�︸ ︷︷ ︸
dx dy
=
¨
R
r�
f (r cos �; r sen �)r dr d� =
ˆ
�
�
ˆ
g
2
(�)
g
1
(�)
f (r cos �; r sen �)r dr d�:
Exemplo 2.13 Calcule
´
1
0
´ p
1�x
2
0
(x
2
+ y
2
) dy dx .
A regi~ao de integra�c~ao �e descrita pelas desigualdades: 0 � x � 1 e 0 � y �
p
1� x
2
. Como y =
p
1�