Livro Texto - Unidade 1 - Eletricidade Básica

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Autores: Prof. Francisco Xavier Sevegnani
 Prof. Arduino Francesco Lauricella
Eletricidade Básica
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Professores conteudistas: Francisco Xavier Sevegnani / 
Arduino Francesco Lauricella
Francisco Xavier Sevegnani
Graduado em Física (Bacharelado e Licenciatura) pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC‑SP (1971), 
especialista em Física Nuclear pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC‑SP (1974), mestre em Física pela 
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC‑SP (1980) e doutor em Física pela Pontifícia Universidade Católica 
de São Paulo – PUC‑SP (1988). Concluiu o mestrado em Engenharia de Produção pela Universidade Paulista – UNIP 
(2003) e doutorado em Engenharia de Energia e Automação Elétricas pela Escola Politécnica da Universidade de São 
Paulo – PEA/EPUSP (2009). Atualmente, é professor titular da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC‑SP, 
professor adjunto I do Centro Universitário de Educação Inaciana, professor titular da Universidade Paulista (UNIP), 
coordenador do Curso de Engenharia Civil da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo – PUC‑SP, coordenador 
auxiliar do Curso Básico de Engenharia da Universidade Paulista (UNIP) e líder das disciplinas Eletricidade Básica, 
Complementos de Física, Fundamentos de Termodinâmica Eletromagnetismo do Curso de Engenharia.
Arduino Francesco Lauricella
Bacharel em Física pela Universidade de São Paulo – USP (1974) e mestre em Engenharia Mecânica pela Universidade 
de São Paulo – USP (2004). Atualmente, é professor adjunto na Universidade Paulista (UNIP) e na Fundação Educacional 
Inaciana Pe. Saboia de Medeiros (FEI).
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Z13 Zacariotto, William Antonio
Informática: Tecnologias Aplicadas à Educação. / William 
Antonio Zacariotto ‑ São Paulo: Editora Sol.
il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2‑006/11, ISSN 1517‑9230.
1.Informática e tecnologia educacional 2.Informática I.Título
681.3
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona‑Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Ana Fazio
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Sumário
Eletricidade Básica
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 ÁTOMO ....................................................................................................................................................................9
1.1 Partículas elementares ....................................................................................................................... 10
1.2 Estrutura do átomo ............................................................................................................................. 11
1.3 Coroa atômica ....................................................................................................................................... 11
1.4 Núcleo atômico ..................................................................................................................................... 12
2 FUNDAMENTOS DA ELETROSTÁTICA ........................................................................................................ 13
2.1 Primeira lei das ações elétricas ....................................................................................................... 13
2.2 Quantidade de eletricidade .............................................................................................................. 13
2.3 Princípio de conservação da eletricidade ................................................................................... 14
2.4 Condutores e isolantes ....................................................................................................................... 14
2.5 Eletrização por contato ..................................................................................................................... 15
2.6 Eletroscópios .......................................................................................................................................... 15
3 LEI DE COULOMB ............................................................................................................................................. 16
3.1 Unidades das grandezas elétricas .................................................................................................. 18
3.2 Dimensão das grandezas ................................................................................................................... 19
3.3 Símbolo das setes unidades de base ............................................................................................ 20
3.4 Unidade de corrente elétrica (ampere) ........................................................................................ 21
3.5 Unidade de carga elétrica (coulomb) ........................................................................................... 21
3.6 Exemplos resolvidos ............................................................................................................................ 22
4 CAMPO ELÉTRICO E POTENCIAL ELÉTRICO ............................................................................................ 37
4.1 Campo elétrico ...................................................................................................................................... 37
4.1.1 Distribuições de cargas ......................................................................................................................... 39
4.1.2 Exercícios resolvidos .............................................................................................................................. 42
4.2 Potencial elétrico .................................................................................................................................. 60
4.2.1 Trabalho no campo de uma carga puntiforme ........................................................................... 60
4.2.2 Energia potencial elétrica de uma carga puntiforme .............................................................. 61
4.2.3 Potencial elétrico de uma carga puntiforme...............................................................................62
4.2.4 Potencial elétrico para uma distribuição contínua de carga ................................................ 62
4.2.5 Exercícios resolvidos .............................................................................................................................. 64
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Unidade II
5 CAMPO MAGNÉTICO E FORÇA MAGNÉTICA ......................................................................................... 77
6 MOVIMENTO DE PARTÍCULA ELETRIZADA EM CAMPO MAGNÉTICO .......................................... 79
6.1 Exemplos resolvidos ............................................................................................................................ 82
7 FORÇA MAGNÉTICA SOBRE CORRENTE ELÉTRICA ............................................................................. 99
8 CONJUGADO MAGNÉTICO .........................................................................................................................100
8.1 Exemplos resolvidos ..........................................................................................................................102
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APRESENTAÇÃO
Prezado aluno,
Convido‑o para uma viagem no tempo não muito distante, de aproximadamente 150 anos, com 
o objetivo de fazer uma comparação entre os cotidianos passado e atual. Existem muitas diferenças, 
por exemplo, nas áreas de saúde, transporte, comunicação, educação e ciências. Nessas áreas, o 
desenvolvimento foi gigantesco, mas há algo que permeia todos os campos do conhecimento e é o 
assunto principal deste livro: a eletricidade.
Sabemos das complicações que aparecem quando “cai a energia elétrica”: há dificuldades no 
armazenamento de alimentos, na comunicação entre computadores, no carregamento de celulares, 
no funcionamento de motores elétricos, máquinas de lavar roupa e até de um sofisticado robô de uma 
montadora de veículos. Afinal, tudo depende, de alguma maneira, da “energia elétrica”.
Existem outras modalidades de energia, como a solar, a eólica, a nuclear, a mecânica e a química, 
mas, no momento em que a energia é utilizada pelo homem, na maioria das situações, ela está na forma 
elétrica. Dois exemplos: uma hidroelétrica converte energia mecânica em energia elétrica e uma usina 
nuclear converte a energia armazenada no núcleo do átomo também em energia elétrica. Quase todos 
os dispositivos que temos em casa funcionam com “energia elétrica”: secadores; torradeiras; máquinas 
de lavar roupa; geladeiras; televisões; computadores; celulares; elevadores etc. Sem ela, estaríamos com 
nosso cotidiano completamente transformado.
Na verdade, isso que chamamos de eletricidade faz parte de uma área da Física – o eletromagnetismo 
–, que se desenvolveu inicialmente com cientistas, como Thomson, Millikan, Faraday, Maxwell, Stoney, 
Einstein e Tesla.
Há muitas questões que precisam ser entendidas no eletromagnetismo, mas existem algumas 
perguntas básicas: o que é energia elétrica e de onde ela é obtida? Este livro‑texto se propõe a apresentar 
uma introdução conceitual sobre essa matéria, que é, com certeza, muito extensa e exige, por parte do 
aluno – e também por parte do professor – um esforço maior, se comparada com outras áreas da Física, 
como a mecânica. Neste sentido, vale apresentar uma citação de Albert Einstein (1879 – 1955) extraída 
do livro Como Vejo o Mundo: “O ensino deve ser de modo a fazer sentir aos alunos que aquilo que se 
lhes ensina é uma dádiva preciosa e não uma amarga obrigação.”
INTRODUÇÃO
A eletrostática inicia com uma abordagem simplificada da estrutura do átomo, indicando as 
principais partículas em que ele é constituído: os prótons (carga elétrica positiva); os nêutrons (sem 
carga elétrica) e os elétrons (carga elétrica negativa). Os prótons e os nêutrons formam o núcleo do 
átomo, e os elétrons orbitam ao redor do núcleo.
Destaca‑se que os corpos na natureza se apresentam com carga elétrica líquida nula, mas podem 
ser eletrizados por transferência mútua de elétrons e, quando em repouso, já com carga elétrica líquida 
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não nula, interagem entre si por meio de forças elétricas.
Serão expostos: o conceito de carga elétrica puntiforme; a lei fundamental da eletrostática, 
conhecida como Lei de Coulomb, que mostra como determinar a força elétrica entre duas cargas 
elétricas puntiformes, mas cujo princípio é estendido para corpos com cargas elétricas distribuídas; o 
conceito de campo elétrico e sua relação com a força elétrica (F
→
 = qE
→
); o conceito de trabalho da força 
elétrica, mostrando que ela é uma força conservativa, dando margem à definição de energia potencial 
elétrica e potencial elétrico.
O magnetismo inicia‑se com o fato experimental de que partículas eletrizadas em movimento, 
quando próximas a correntes elétricas e/ou imãs que produzem campo magnético, ficam sob a ação de 
forças denominadas magnéticas (F
→
 = qν
→
 ∧ B
→
).
Será mostrado como determinar a trajetória percorrida pela carga elétrica (circular ou helicoidal), 
quando lançada em campo magnético. De forma análoga, será demonstrado que uma corrente elétrica 
em um fio condutor, na presença de campo magnético, também sofre a ação de uma força magnética. 
Por fim, será apresentado que um fio condutor com as extremidades unidas (espira), quando percorrido 
por corrente elétrica e na presença de campo magnético, fica sujeito à ação de um conjugado magnético, 
fato este que originou a construção dos motores elétricos.
As atividades de laboratório vêm com o objetivo de familiarizar o aluno na manipulação dos principais 
instrumentos básicos e bipolos utilizados em circuitos elétricos e também na execução de experimentos, 
para obter a resistência equivalente numa associação de resistores, estudar as características de um 
gerador elétrico e manusear o osciloscópio.
Para que haja um bom entendimento de como trabalhar com todos esses conceitos, este livro‑texto 
contém uma introdução teórica básica, além de grande variedade de exemplos resolvidos e exemplos de 
aplicação com respostas.
Bons estudos!
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ELETRICIDADE BÁSICA
Unidade I
ELETROSTÁTICA
1 ÁTOMO
Muitos fenômenos físicos encontram explicação na estrutura da matéria. A ideia de “átomo”, 
unidade estrutural indivisível da matéria, se deve a filósofos gregos (Demócrito, meio milênio antes de 
Cristo); porém suas especulações em torno do assunto não possuíam uma objetividade necessária para 
lhes conferir valor cientifico. O átomo tornou‑se realidade científica em virtude da lei das Proporções 
Múltiplas, referente às proporções ponderais nas quais se combinam os elementos, apresentada por 
Dalton, em 1805, e em seguida verificada experimentalmente, com grande precisão, por Berzélius (1835). 
A exposição pormenorizada deste assunto pertence à Química.
Desde o início do século 19, o labor perseverante de numerosos pesquisadores vem aumentando 
os conhecimentos sobre a estrutura do átomo. No progresso incessante deste setor de ciência, são 
acontecimentos proeminentes: o estabelecimento das leis da Eletrólise (Faraday, 1832), o estudo 
dos fenômenos associados à descarga elétrica em gases rarefeitos (Gêiser, Puckes, Cromes, Lenard, J. 
J. Thomson, Perin e muitos outros até a atualidade), o descobrimento da radiatividade natural e seu 
estudo subsequente (Becquerel, 1896), a medição da carga do elétron (Milican, 1909), a apresentaçãodo modelo atômico de Rutherford (1911) e a sua complementação por Sommerfeld e Bohr (1913). De 
1900 para cá, surgiram ainda as chamadas teorias modernas: os quanta de Planck (1900), a relatividade 
de Einstein (1905), a mecânica ondulatória de Schrodinger (1926) e a mecânica quântica de Heisenberg 
(1926), repercutindo profundamente nas concepções sobre a estrutura do átomo.
Figura 1 – O átomo de Ernest Rutherford, que ganhou o Prêmio Nobel de 1908. Nesse modelo atômico, 
os elétrons orbitam em torno do núcleo em semelhança aos planetas em torno do Sol
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Unidade I
1.1 Partículas elementares
Em confronto com a extensão de objetos passíveis de observação direta, os átomos são extremamente 
pequenos; seus diâmetros variam desde cerca de 80 . 10‑12 m, para o átomo de hidrogênio (que é o 
mais simples), até a ordem de 300 . 10‑12 m, para os átomos mais complexos; dez milhões de átomos 
densamente enfileirados se estenderiam sobre 1 a 3 milímetros.
Em Química, um átomo se comporta como unidade estrutural indivisível (a menos de um ou alguns 
poucos elétrons periféricos), isto é, um átomo faz parte, ora de uma molécula, ora de outra, ao sabor 
das reações químicas de que ele participa, porém sempre conservando suas características individuais 
(Princípio da Conservação dos Elementos). Entretanto a Física possui recursos para afetar o átomo em sua 
intimidade mais profunda, determinando modificações radicais em sua estrutura e evidenciando que o 
átomo não é realmente indivisível, mas se compõe de partículas subatômicas, denominadas “partículas 
elementares”. Para um primeiro estudo da estrutura do átomo, basta conhecer três partículas elementares, 
a saber: o elétron, o próton e o nêutron; admitem‑se ainda o pósitron, o neutrino e os mésons.
O elétron é uma partícula de eletricidade negativa; a sua quantidade no sistema de unidade 
internacional (SI) é qelétron = ‑ e = ‑ 1,6 . 10
‑19 C e a sua massa, também no SI, vale melétron = 9,11 . 10
‑31 
kg. Para o elétron, admite‑se o diâmetro da ordem de 1,4 . 10‑15 m. Obtêm‑se com facilidade elétrons 
no estado livre, por exemplo, emissão por campo (poder das pontas), efeito termoeletrônico (válvulas 
eletrônicas de rádio e ampolas de raios X) ou efeito eletrônico (células fotoelétricas).
O próton é uma partícula dotada de carga elétrica positiva cuja quantidade é, em valor absoluto, 
igual à do elétron, qpróton = + e = + 1,6 . 10
‑19 C, e sua massa vale aproximadamente mpróton = 1,67 . 10
‑27 
kg. Para o próton, admite‑se um diâmetro um pouco menor que o do elétron. Obtêm‑se prótons livres 
com certa facilidade, ionizando átomos de hidrogênio.
O nêutron é partícula eletricamente neutra cuja massa é sensivelmente igual à do próton, mpróton = 
1,67 . 10‑27 kg. A obtenção de nêutrons livres se baseia em reações nucleares (por exemplo, bombardeio 
de berílio com hélions e pilha atômica).
Dispensamos a descrição das demais partículas elementares, limitando‑nos a observar que a carga 
elétrica de qualquer uma é uma “carga elementar” com sinal que depende da natureza da partícula.
As principais partículas elementares que compõem o átomo são o próton, o nêutron e o elétron. Os 
valores da massa e carga elétrica de cada uma dessas partículas estão na tabela a seguir.
Tabela 1 
Símbolo Carga elétrica (C) Massa (kg)
Próton p+ + 1,602 . 10‑19 1,673 . 10‑27 
Nêutron n0 0 1,675 . 10‑27
Elétron e‑ ‑1,602 . 10‑19 9,109 . 10‑31
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ELETRICIDADE BÁSICA
1.2 Estrutura do átomo
Num átomo distinguem‑se duas partes perfeitamente diferenciadas: o núcleo e a coroa. O núcleo é 
a parte central, na qual se localiza quase toda a massa do átomo, que se compõe de prótons e nêutrons 
em números comparáveis, com predominância de nêutrons (salvo o núcleo do átomo de hidrogênio, que 
contém um só próton).
O diâmetro do núcleo é da ordem de 10‑14 m. O arranjo das partículas no núcleo é muito denso; uma 
cabeça de alfinete constituída só de prótons e nêutrons que, se eles se aglomerassem tão densamente 
como em um núcleo, teria massa da ordem de 100 mil toneladas.
O número Z de prótons do núcleo é denominado “numero atômico” do elemento ao qual pertence 
o átomo em questão; ele coincide com o número de ordem do elemento na tabela periódica, e varia 
para os elementos naturais desde 1 para o hidrogênio, até 92 para o urânio (atualmente já se conhecem 
elementos artificiais com número atômico superior a 100).
O número total M de prótons e nêutrons do núcleo é denominado número de massa do átomo, e 
varia para os elementos naturais desde 1 até 238 para o isótopo mais pesado do urânio (sendo maior 
ainda para os elementos trans uranianos). Dado um elemento qualquer de símbolo X, agregam‑se a 
esse símbolo o número atômico Z e o número de massa M, do seguinte modo: MZ X , resultando num 
símbolo que determina perfeitamente o átomo representado por ele. Por exemplo, os átomos de cloro 
têm número atômico Z=17 e números de massa M=35 ou M=37, portanto, os átomos de cloro são 
representados pelos símbolos: 3517Cl e 
37
17Cl .
A coroa é a parte do átomo que envolve o núcleo. Ela é constituída exclusivamente de elétrons e 
por isso tem massa muito pequena em confronto com a do núcleo. Num átomo neutro, o número de 
elétrons é igual ao número de prótons. Quando não existe essa igualdade, o átomo se diz ionizado e se 
apresenta eletrizado positivamente na falta de elétrons (íon positivo, cátion) e eletrizado negativamente 
na sobra de elétrons (íon negativo, ânion).
1.3 Coroa atômica
A fim de compreender a estrutura do átomo, propõem‑se dois modelos, a saber: o modelo planetário 
(Rutherford, Bohr, Sommerfeld), em primeira abordagem da matéria, e o modelo quântico (Schrodinger, 
Heisenberg, Dirac) para estudo avançado. Aqui será abordado apenas o modelo planetário.
Os elétrons de um átomo se movem em certas trajetórias denominadas trajetórias estáveis, as quais 
se distribuem em camadas concêntricas com o núcleo e são designadas, de dentro para fora, pelas letras 
K, L, M, N, O, P e Q. Cada camada pode conter um número de elétrons variável até um número máximo 
bem determinado, igual a 2 para a camada K, 8 para a camada L, 18 para a camada M etc. A última 
camada de elétrons de um átomo não pode conter mais de 8 elétrons, salvo a camada K, que não pode 
conter mais de 2 deles.
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Unidade I
As propriedades químicas de um átomo são determinadas pelas camadas eletrônicas exteriores. 
Mediante agentes físicos adequados (campo elétrico, onda eletromagnética, energia térmica), um elétron 
qualquer pode ser afastado de sua trajetória estável, passando temporariamente para uma trajetória 
mais distante do núcleo, fenômeno este ligado à absorção de uma quantidade de energia, e ao retornar 
a sua trajetória estável, o elétron emite a mesma quantidade de energia sob a forma de um fóton (trem 
de onda eletromagnética, infravermelho, raio X etc.).
Dois átomos com números atômicos iguais apresentam coroas idênticas, mesmo que os números de 
massa sejam diferentes; suas propriedades químicas são idênticas e seus espectros são idênticos. Tais 
átomos com coroas idênticas e núcleos diferentes chamam‑se isótopos e se diferem exclusivamente 
pelo número de nêutrons.
Figura 2 – São sete camadas em que os elétrons podem orbitar em torno do núcleo do átomo. 
Para manter a estabilidade do átomo, cada camada pode suportar uma quantidade definida de elétrons
1.4 Núcleo atômico
O núcleo atômico é comparativamente minúsculo, e o seu diâmetroé cerca de 100 mil vezes menor 
que o átomo ao qual pertence. Quanto às extensões, o núcleo está para o átomo como uma cabeça 
de alfinete está para um balão de 10 metros de diâmetro. A densidade absoluta de núcleos atômicos é 
enorme e mede 116 . 106 toneladas por centímetro cúbico.
No núcleo, localiza‑se quase toda a massa do átomo. Na maioria dos elementos, o núcleo é estável, sendo 
afetado apenas por agentes mais ou menos violentos. Alguns elementos possuem núcleos instáveis, que se 
desagregam espontaneamente (radioatividade). Os núcleos complexos e pouco estáveis são excitados de modo 
conveniente (mediante bombardeio com feixe de prótons ou nêutrons que podem desintegrar‑se dando origem 
a núcleos mais simples e partículas elementares). Esse fenômeno dá‑se com a perda de massa e o desprendimento 
de uma quantidade de energia equivalente à massa perdida (vale a relação de Einstein E = m . c2).
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ELETRICIDADE BÁSICA
 Saiba mais
A tabela periódica, que organiza todos os elementos químicos de acordo 
com suas propriedades, é apresentada oficialmente pela União Internacional 
de Química Pura e Aplicada (Iupac). Veja no endereço:
Disponível em: <http://www.iupac.org/fileadmin/user_upload/news/
IUPAC_Periodic_Table‑8Jan16.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2016.
2 FUNDAMENTOS DA ELETROSTÁTICA
O modo mais direto para eletrizar dois corpos é atritando um sobre o outro. Tomemos dois bastões V1 
e V2 de vidro, e dois bastões E1 e E2 de ebonite; atritemos aqueles com seda e estes com lã. Suspendamos 
V1 e E1 mediante fios finos e bem flexíveis; nessas condições, mesmo sob a ação de forças débeis, os 
bastões suspensos se desviam, denunciando a presença das forças. Aproximando o bastão V2, ora a um, 
ora a outro dos bastões suspensos, observa‑se que V1 é repelido e E1 é atraído: a aproximação de E2 aos 
bastões suspensos produz atração de V1 e repulsão de E1.
Essas forças que se exercem entre os bastões de vidro e de ebonite, após serem atritados com seda 
e lã respectivamente, não são de natureza gravitacional nem magnética; por terem sido observadas 
primeiro com o âmbar amarelo – em grego denominado elétron –, são chamadas ações elétricas. Os 
corpos que exercem tais ações elétricas são ditos eletrizados; no caso descrito, eles foram eletrizados 
por atrito, mas existem vários outros processos de eletrização. De um modo geral, pode‑se dizer que dois 
corpos constituídos de substâncias diferentes, quando atritados um com o outro, se eletrizam.
A eletrização por atrito não é consequência da fricção propriamente, mas do contato íntimo e extenso 
que se estabelece entre os corpos que se atritam mutuamente; esse contato faculta a transferência de 
elétrons de um, que se eletriza positivamente, para o outro, que se eletriza negativamente. As ações 
elétricas poderiam ser atribuídas a algum estado da matéria, ou a alguma coisa na matéria; sabemos ser 
verdadeira a segunda hipótese: a eletrização é devido a algum agente físico concreto que se designa por 
eletricidade. Um corpo incapaz de exercer ações elétricas diz‑se neutro.
2.1 Primeira lei das ações elétricas
Os experimentos descritos se enunciam sob a forma de uma lei fundamental da eletrostática, a 
saber: cargas de mesma espécie se repelem e cargas de espécies distintas se atraem.
2.2 Quantidade de eletricidade
Denomina‑se “carga elétrica puntiforme” uma carga elétrica que se distribui em um espaço de 
extensão desprezível em relação às distâncias que a separam de outras cargas. A medida de uma carga 
elétrica é denominada “quantidade de eletricidade”; é uma grandeza que se atribui à carga segundo os 
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Unidade I
critérios de igualdade e multiplicidade. A menor quantidade de eletricidade que existe na natureza é a 
carga elétrica de um próton, ou a de um elétron; em valor absoluto, elas são iguais e constituem a “carga 
elementar”:
e = 1,60 . 10‑19 C
Toda carga elétrica é múltipla inteira da carga elementar.
2.3 Princípio de conservação da eletricidade
Corpos podem ser eletrizados de variados modos, como: atrito; contato; influência; diversas 
modalidades de emissão e indução eletromagnética. Na quase totalidade desses fenômenos, as partículas 
elementares participantes são permanentes, isto é, nem criadas, nem destruídas, nem aparecem, nem 
desaparecem, mas simplesmente mudam de lugar – são transferidas de um corpo para outro ou de uma 
região para outra dentro de um mesmo corpo.
Por exemplo, consideremos um corpo eletricamente neutro; qualquer parte macroscópica dele 
contém cargas elementares positivas e negativas em números iguais, portanto, com soma zero. No 
corpo todo, a soma das cargas elementares positivas e negativas é igual a zero. Suponhamos que de 
uma região A saiam cinco elétrons que vão sediar‑se em uma região B. A região A fica com carga +5e e a 
região B com carga – 5e, mas no corpo todo a soma das cargas positivas e negativas é nula. Um sistema 
é eletricamente isolado quando não recebe, nem cede cargas ao ambiente.
2.4 Condutores e isolantes
A movimentação de cargas elétricas em um meio material é sempre possível, porém com facilidade 
ou dificuldade, que varia com a natureza do meio. Os meios materiais que oferecem grande liberdade 
de movimento à eletricidade são ditos bons condutores ou simplesmente condutores de eletricidade; 
os que oferecem grande resistência à movimentação da eletricidade são ditos maus condutores de 
eletricidade ou simplesmente isolantes ou, ainda, dielétricos.
Os isolantes retêm as cargas que possuem, ao contrário dos condutores; uma barra condutora pode 
manifestar‑se eletrizada por atrito, desde que a segure mediante um cabo isolante para impedir o 
escoamento de suas cargas. Nos condutores de eletricidade, algumas partículas elétricas são móveis; as 
cargas elétricas podem movimentar‑se na forma de elétrons.
Os metais e o grafite são ótimos condutores eletrônicos. Nos metais, certos elétrons periféricos dos 
átomos são fracamente ligados, chamando‑se, então, “elétrons livres”. Eles respondem prontamente a 
forças exercidas sobre eles, destacando‑se dos átomos aos quais pertencem e movendo‑se em nuvens 
eletrônicas através da matéria condutora. Por exemplo, calcula‑se em 1022 o número desses elétrons 
em um grama de cobre. Nos isolantes ou dielétricos, não existem elétrons livres em número apreciável. 
O isolante ideal é o vácuo, pois não oferece cargas livres para transporte de eletricidade. São isolantes, 
também, o ar e outros gases (quando não ionizados), o vidro, a mica, as resinas sintéticas, a ebonite, a 
água pura e os óleos minerais.
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2.5 Eletrização por contato
Pondo um corpo neutro N em contato com um corpo eletrizado E, uma parte da carga elétrica deste 
pode passar para aquele. Assim, o corpo neutro N se eletriza por contato com o corpo eletrizado E.
Se o corpo eletrizado E possuir carga positiva, ele está com deficiência de elétrons e atrai os elétrons 
do corpo neutro. Havendo contato entre os dois, uma parte dos elétrons de N passa para E. Logo, surge 
uma deficiência de elétrons também em N, que se eletriza positivamente e diminui a deficiência de 
elétrons de elétrons em E, cuja carga positiva diminui. A passagem de elétrons de N para E tende a 
prolongar‑se até que ambos os corpos manifestem igual “avidez” pelos elétrons que lhes faltam para a 
neutralização. O mecanismo descrito, mutatis mutandis, se aplica no caso em que o corpo eletrizado E 
possui carga negativa; os elétrons excedentes em E se repelemmutuamente e passam em parte para N, 
que se eletriza negativamente.
Quando um dos corpos em questão é isolante, ou ambos os são, a troca de cargas se limita sobre 
o corpo isolante a uma zona elementar em torno do ponto de contato. Nos condutores, a troca de 
cargas interessa a toda sua extensão. Quando os corpos postos em contato são condutores e iguais, a 
distribuição de cargas elétricas entre eles se faz em partes iguais, todavia há uma condição restritiva; os 
corpos considerados devem estar longe de outros corpos condutores, eletrizados ou não, caso contrário, 
manifesta‑se o fenômeno da influência eletrostática, o que modifica a repartição das cargas.
Em certas condições, a carga do corpo eletrizado passa totalmente para o corpo inicialmente neutro, 
com o qual ele é posto em contato.
2.6 Eletroscópios
Não dispomos de órgãos sensoriais capazes de denunciar‑nos a eletrização de um corpo; para isso, 
precisamos de dispositivos que, de algum modo, revelem se um corpo está ou não eletrizado. Tais 
dispositivos são denominados eletroscópios e permitem determinar o sinal da carga elétrica sediada em 
um corpo. Apresentamos o pêndulo elétrico, o eletroscópio de folhas, o eletroscópio de pilha e os pós 
eletroscópios.
Pêndulo elétrico – compõe‑se de uma pequena esfera de material leve (medula de sabugueiro 
ou cortiça), suspensa a um fio leve, flexível e isolante (seda não tingida). Aproximando‑se ao pêndulo 
elétrico, um corpo eletrizado A, a atração que este exerce naquele desvia o pêndulo do prumo, assim, o 
pêndulo denuncia a presença de carga elétrica no corpo aproximado. Permitindo que o corpo A toque a 
esfera do pêndulo, esta se eletriza por contato com o corpo A, sendo imediatamente repelida por este. 
Em seguida, aproximemos ao pêndulo um corpo eletrizado B; se o pêndulo for repelido por B, as cargas 
de A e B são homônimas; se o pêndulo for atraído por B, as cargas de A e B são heterônimas.
Eletroscópio de folhas – é um dispositivo mais sensível do que o pêndulo elétrico, permitindo 
detectar a presença de cargas menores. Em princípio, consta de um bastão condutor vertical, e em 
sua extremidade inferior estão suspensas, lado a lado, duas folhas metálicas extremamente finas; 
estas lâminas, de preferência, são de ouro – que se consegue laminar até 1/1000 mm de espessura 
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Unidade I
(folhas de alumínio também se prestam bem). À extremidade superior do bastão prende‑se uma esfera 
metálica ou, em outros casos, uma prato metálico circular e horizontal. Se as folhas do eletroscópio 
forem eletrizadas, elas se repelem mutuamente e se inclinam, formando entre si um ângulo tanto maior 
quanto maiores forem as cargas elétricas das lâminas. Para o funcionamento do eletroscópio de folhas, 
contribui o fenômeno da influência eletrostática. O eletrômetro de Braun também funciona com o 
mesmo princípio.
Eletroscópio de pilha – é um aparelho mais sensível que os anteriores e possui uma única lâmina 
indicadora, suspensa no espaço entre duas placas condutoras verticais e fixas suficientemente afastadas 
para que a lâmina indicadora não possa tocá‑las. As placas são ligadas aos terminais de uma pilha; esta 
é um dispositivo que tem a propriedade de eletrizar os condutores ligados aos seus terminais com cargas 
de sinais contrários. Se a lâmina indicadora for eletrizada, ela é atraída por uma das placas e repelida 
pela outra, desviando‑se da vertical. O sentido do desvio indica o sinal da carga que o motivou.
Pós-eletroscópios – são pós que permitem determinar a existência e o sinal das cargas dos corpos 
eletrizados. Adotam‑se geralmente o mínio (Pb3 04) e o enxofre, finamente pulverizados e misturados 
um com o outro. Passando a mistura por uma peneira fina, os grãos se atritam entre si e com a tela de 
peneira; consequentemente o mínio se eletriza positivamente e o enxofre negativamente. Caindo sobre 
o corpo eletrizado, essa mistura de pós eletrizados é decomposta em seus componentes, pois o corpo 
eletrizado atrai os grãos de carga oposta e repele os de carga igual a dele. Um corpo com carga positiva 
atrai o enxofre (amarelo); com carga negativa atrai o mínio (vermelho).
 Saiba mais
Quando materiais são atritados entre si, uma série de tribo elétrica indica 
suas respectivas tendências a ficarem positivamente ou negativamente 
carregados. Veja no endereço:
INSTITUTO DE FÍSICA DE SÃO CARLOS (IFSC). Laboratório de Eletricidade 
e Magnetismo: Introdução à Eletrostática. USP. Disponível em: <http://
www.ifsc.usp.br/~strontium/Teaching/Material2010‑2%20FFI0106%20
LabFisicaIII/01‑IntroducaoEletrostatica.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2016.
3 LEI DE COULOMB
Essa lei expressa a força elétrica entre dois corpos eletrizados, estando esses corpos em uma distância 
relativa muito maior que a dimensão dos corpos, de forma que as cargas elétricas são consideradas 
puntiformes. Admitindo que as cargas elétricas desses corpos sejam Q e q, e que estejam fixas 
respectivamente nos pontos 0 e P, a força elétrica que essas cargas exercem mutuamente é expressa 
pela equação:
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ELETRICIDADE BÁSICA
2
0
1 .
. .ˆ
4
=
 Q q
F r
rpiε
 (Q sobre q) ou 
2
0
1 .
. .
4
ˆ− = −
 Q q
F r
rpiε
 (q sobre Q) 
[1]
Figura 3 – A força é de repulsão entre duas cargas elétricas puntiformes quando Qq > 0, isso vale quando as cargas que estão 
interagindo são de mesmo sinal, caso contrário, a força será de atração
Sendo r = OP e 
0)
ˆ
( −
=
P
r
r
, portanto rˆ é um vetor unitário. A constante ε0 é denominada constante 
 de permissividade elétrica no vácuo, seu valor numérico depende exclusivamente da escolha do sistema 
de unidade adotado. Sendo 83 10≅
m
c
s
 a velocidade de propagação da luz no vácuo, a definição do 
Coulomb conduz a:
2
7 2 9
2
0
1
10 9 10 
4
−
= ≅
Nm
c
Cpiε
 
 [2]
Na presença de um sistema discreto de N cargas Qi (i = 1, 2, ...... N), a força elétrica resultante sobre 
a carga elétrica q é expressa por:
2
10
1
 . . .ˆ
4
=
 
=   ∑
 N
i
i
i i
Q
F r q
rpiε [3]
Figura 4 – Cada uma das cargas elétricas Q1, Q2 e Q3 exerce força elétrica sobre a carga elétrica q, sendo necessário somar 
vetorialmente essas forças para obter a força resultante em q
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Unidade I
Em uma distribuição contínua de carga Q, a força elétrica resultante que essa distribuição aplica 
sobre a carga q é expressa por:
2
0
 ˆ
1
4
=
 dQ
dF q r
rpiε 
2
0
1
4
ˆ
 
= =    ∫ ∫
 
Q
dQ
F dF r q
rpiε
  
 [4]
Figura 5 – Quando uma carga elétrica Q é distribuída sobre o corpo, é necessário dividi‑lo em partes infinitesimais dQ, para 
equacionar o elemento de força dF
→
 e em seguida aplicar o princípio da superposição e obter, por integração, a força resultante F
→
3.1 Unidades das grandezas elétricas
O valor de uma grandeza é geralmente expresso sob a forma do produto de um número por uma 
unidade. A unidade é apenas um exemplo específico da grandeza em questão usada como referência. 
O número é a razão entre o valor da grandeza considerada e a unidade. Para uma grandeza específica, 
podemos utilizar inúmeras unidades diferentes. Por exemplo, a altura de um tijolo pode ser expresso 
como h = 0,45m = 45 cm.
Para se estabelecer um sistema de unidades, como o Sistema Internacional de Unidades (SI), é 
necessário primeiro estabelecer um sistema de grandezas e uma série de equações que definam as 
relaçõesentre essas grandezas. Isso é necessário porque as equações entre as grandezas determinam 
as equações que relacionam as unidades. É conveniente, também, escolher definições para um número 
restrito de unidades, que são denominadas unidades de base e, em seguida, definir unidades para todas 
as outras como produto de potências de unidades de base, que são denominadas unidades derivadas.
Da mesma maneira, as grandezas correspondentes são descritas como grandezas de base e grandezas 
derivadas. Sob o ponto de visto científico, a divisão das grandezas de base e grandezas derivadas é 
questão de convenção – isso não é fundamental para a compreensão da física. Todavia, no que se 
refere às unidades, é importante que a definição de cada unidade de base seja efetuada com cuidado 
particular. As definições das unidades derivadas em função das unidades de base decorrem das equações 
que determinam as grandezas derivadas em função das grandezas de base. O número de grandezas 
derivadas importantes para a ciência e a tecnologia é seguramente ilimitado.
Quando novas áreas científicas se desenvolvem, novas grandezas são introduzidas pelos pesquisadores, 
a fim de representarem as propriedades da área, e com essas novas grandezas vêm novas equações, que 
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ELETRICIDADE BÁSICA
se relacionam com grandezas familiares e depois com as grandezas de base. Desta forma, as unidades 
derivadas a serem utilizadas com essas novas grandezas podem ser definidas como o produto de 
potências das unidades de base escolhidas previamente.
As grandezas de base utilizadas no Sistema Internacional de Unidades (SI) são: comprimento; massa; 
tempo; corrente elétrica; temperatura termodinâmica; quantidade de substância e intensidade luminosa. 
As grandezas de base são, por convenção, consideradas independentes.
As unidades de base correspondentes do SI são: metro, quilograma, segundo, ampare, kelvin, mol e 
candela. As unidades derivadas do SI são, então, formadas por produtos de potências das unidades de 
base, segundo relações algébricas que definem as grandezas derivadas correspondentes, em função das 
grandezas de base. Em raras ocasiões, podem‑se escolher várias formas de relações entre grandezas. Um 
exemplo particularmente importante se refere à definição das grandezas eletromagnéticas. As equações 
eletromagnéticas racionalizadas se baseiam em quatro grandezas, utilizadas com o SI: comprimento; 
massa; tempo e corrente elétrica. Nessas equações, a constante elétrica ε0 (permissividade do vácuo) e 
a constante magnética µ0 (permeabilidade do vácuo) possuem dimensões e valores tais que verificam a 
 
equação 0 0 2
1
=
c
ε µ , onde c é a velocidade da luz no vácuo. A Lei de Coulomb, que descreve a força 
 
eletrostática entre duas partículas com cargas q e Q, separadas por uma distância r, é expressa pela 
equação:
2
0
1
. ˆ
4
=
 q Q
F r
rpiε


 [5]
A constante 4π é introduzida para simplificar a apresentação de outras leis do Eletromagnetismo, 
como a Lei de Gauss.
E a equação correspondente da força magnética entre elas, quando ambas estão em movimento, é 
expressa por:
0
2
( )ˆ
4
× ×
=
  q Qqv Qv rF
r
µ
pi

 [6]
Onde 

qv e 

Qv representam respectivamente as velocidades das cargas elétricas q e Q.
3.2 Dimensão das grandezas
Por convenção, as grandezas físicas são organizadas segundo um sistema de dimensões. Cada uma 
das sete grandezas de base do SI é considerada como tendo a sua própria dimensão, que é simbolicamente 
representada por uma única letra maiúscula em tipo romano, sem serifa. Os símbolos utilizados tanto 
para as grandezas de base quanto para indicar sua dimensão são dados a seguir:
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Unidade I
Tabela 2 – Grandezas de base e dimensões utilizadas no SI
Grandezas de base Símbolo de grandeza Símbolo de dimensão
Comprimento l, x, r, r etc. L
Massa m M
Tempo t T
Corrente elétrica I, i I
Temperatura termodinâmica T Θ
Quantidade de substância n N
Intensidade luminosa Iν J
Todas as outras grandezas são derivadas e podem ser expressas em função das grandezas de base por 
meio de equações da física. As dimensões das grandezas derivadas são escritas sob a forma de produtos 
de potência das dimensões das grandezas de base através de equações que relacionam as grandezas 
derivadas com as grandezas de base. Em geral, a dimensão de uma grandeza Q é escrita sob a forma de 
um produto dimensional:
dim Q = LαMβTγIδΘεNξJη [7]
Onde os expoentes α, β, γ, δ, ε, ξ e η, em geral números inteiros pequenos, positivos, negativos ou 
zero, são chamados de expoentes dimensionais. A informação fornecida pela dimensão de uma grandeza 
derivada sobre a relação entre essa grandeza e as grandezas de base é a mesma informação contida 
nas unidades SI para a grandeza derivada, ela mesma sendo obtida como o produto de potências das 
unidades de base do SI.
Existem algumas grandezas derivadas Q para as quais a equação de definição é tal que todos os 
expoentes dimensionais na expressão da dimensão de Q são iguais a zero. Isso se aplica, em particular, 
a uma grandeza definida como a razão entre duas grandezas do mesmo tipo. Essas grandezas são 
descritas como adimensionais ou de dimensão um. A unidade derivada coerente dessas grandezas 
adimensionais é sempre o número um (1), isto é, a razão entre duas unidades idênticas para duas 
grandezas de mesmo tipo.
Existem também grandezas que não podem ser descritas por meio das sete grandezas de base do SI, 
mas cujo valor é determinado por contagem. Por exemplo, o número de moléculas, a degenerescência em 
mecânica quântica e a função de partição na termodinâmica estatística. Essas grandezas de contagem 
são, geralmente, consideradas como grandezas adimensionais.
3.3 Símbolo das setes unidades de base
As unidades de base do Sistema Internacional estão reunidas na tabela a seguir, que relaciona as 
grandezas de base aos nomes e aos símbolos das sete unidades de base.
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ELETRICIDADE BÁSICA
Tabela 3 – Unidades de base do Sistema Internacional (SI)
Grandezas de base Símbolo de grandeza Nome Símbolo 
Comprimento l, x, r etc. metro m
Massa m quilograma kg
Tempo t segundo s
Corrente elétrica I, i ampere A
Temperatura termodinâmica T kelvin K
Quantidade de substância n mol mol
Intensidade luminosa Iν candela cd
3.4 Unidade de corrente elétrica (ampere)
O ampere é a intensidade de uma corrente elétrica constante que, se mantida em dois condutores 
paralelos, retilíneos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível e situados à distância de 
1 metro entre si, no vácuo, produz entre esses condutores uma força igual a 2 . 10‑7 N por metro de 
comprimento.
Disso resulta que a constante magnética µ0, também conhecida como a permeabilidade no vácuo, 
é exatamente:
7
0 4 10 
−
=
Tm
A
µ pi 
 [8]
3.5 Unidade de carga elétrica (coulomb)
Um coulomb é a carga elétrica positiva puntiforme que repele outra igual, no vácuo, a um metro de 
distância, com força 9 . 109 N. A carga elementar pode ser determinada mediante experiências dentre as 
quais se destaca a de Millikan, que resulta em e = 1,60 . 10‑19 C ∴ 1C = 6,25 . 1018 . e.
A menos do sinal, um coulomb equivale a carga de 6,25 . 1018 eletrons. A permissividade elétrica 
 
no vácuo ε0, calculada utilizando a Lei de Coulomb, 
2
0
1
4
=
F
r
Q qpiε 
, e considerando F = 9 . 109 N, 
Q = q = 1C, r = 1m, resulta em:
9
2
01 9 10
1
4 1 1
=
piε

 
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε

2
12
0 2
8,85 10−=
C
Nm
ε 
 [9]
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Unidade I
 Saiba mais
O órgão que regulamenta o Sistema Internacional de Unidades é o 
Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). O Instituto Nacional de 
Metrologia, Qualidade e Tecnologia (Inmetro) tem uma tradução autorizada 
pelo BIPM, da oitava edição. Para saber mais acerca do assunto, acesse:
INSTITUTO NACIONAL DE METROLOGIA, QUALIDADE E TECNOLOGIA. 
Sistema Internacional de Unidades: SI. Duque de Caxias (RJ): INMETRO/
CICMA/SEPIN, 2012. Disponível em: <http://www.inmetro.gov.br/inovacao/
publicacoes/si_versao_final.pdf>. Acesso em: 20 dez. 2016.
3.6 Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Certo isótopo de urânio é representado pelo símbolo 23892U . Quantos nêutrons, prótons e elétrons 
compõem um átomo desse isótopo?
Solução:
Sejam n, p e e respectivamente os números de nêutrons, prótons e elétrons do átomo em 
questão, temos:
n + p = 238 e = p = 92 n = 146
Exemplo 2
Duas cargas pontuais, com quantidades de eletricidades q1 = 20 . 10
‑6 C e q2 = 10 . 10
‑6 C, situam‑se 
no ar em pontos separados pela distância r = 0 ,30 m. Calcular a intensidade das forças que essas cargas 
exercem mutuamente.
Dado:
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε

q1 > 0
Figura 6
 
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Solução:
 
1 2
2
0
1
4
=
 q q
F
rpiε


 
6 6
9
2
20 10 10 10
9 10
0,30
− −
=

F
  
 
|F
→
| = 20 N (força atração)
Exemplo 3
É dado um triângulo equilátero ABC com lado L = 2,0 m. Nos pontos A e B, localizam‑se as cargas qA 
= 20 . 10‑6 C e qB = 10 . 10
‑6 C respectivamente. Determinar a força elétrica resultante F
→
 que atua sobre 
uma terceira carga qC = 2,0 . 10
‑6 C localizada em C.
Dado: 
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε

Figura 7
Solução:
2
0
1
4
=

A C
AC
q q
F
ACpiε


 
6 6
9
2
20 10 2 10
9 10
2
− −
=

ACF
  
  
0,09 =

ACF N
2
0
1
4
=

B C
BC
q q
F
BCpiε


 
6 6
9
2
10 10 2 10
9 10
2
− −
−
=

BCF
  
  
0,045 =

BCF N
 
060=θ
 
( ) 1cos
2
=θ
 
( ) 3 0,87
2
= =sen θ
 ( ) ( )(cos ˆ )ˆ = +
 
AC ACF F i sen jθ θ 0,09 (0,5 0,87 ˆ ˆ)= +

ACF i j
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Unidade I
( )ˆ0,045 0,0783 ˆ= +ACF i j N
( ) ( )(cos ˆ )ˆ = − BC BCF F i sen jθ θ ( )0,045 0,5 ˆ ˆ0,87 = −

BCF i j
 ( )0,0225 0ˆ ˆ,0392 = −

BCF i j N = +
  
AC BCF F F
( ) 0,0675 0,0391 ˆ ˆ= +F i j N
Figura 8
Exemplo 4
Duas cargas elétricas puntiformes Q1 e Q2 são mantidas fixas a uma distância L. Uma terceira carga 
elétrica q, também puntiforme, está em equilíbrio num ponto P, que pertence a uma reta, que passa 
pelas três cargas. Pede‑se a posição do ponto P.
Dados: 1
2
4=
Q
Q
 L = 6 m
Figura 9 
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Solução:
1
1 2
0
1
4
 ˆ=
 qQ
F i
xpiε ( )
2
2 2
0
1
 
4
ˆ= −
−
 qQ
F i
L xpiε 
 1 2= +
  
F F F 0=

F
( )
1 2
2 2
0 0
1 1
 0
4 4
ˆ ˆ
 
= + − = 
− 
 qQ qQ
F i i
x L xpiε piε ( )
1 2
2 2
 ˆ −
−
qQ qQ
i
x L x ˆ 0=i ( )
1 2
2 2
 0− =
−
qQ qQ
x L x
( )
1 2
2 2
=
−
qQ qQ
x L x ( )
1 2
2 2
=
−
Q Q
x L x ( )
2
1
2
2
=
−
Q x
Q L x
1
2
=
−
Qx
L x Q 
2=
−
x
L x
2 2= −x L x 3 2=x L 
2
3
=x L
 
2
6
3
=x 4 =x m 
Figura 10
Exemplo 5
Em uma vertical, situam‑se uma carga elétrica fixa Q, uma partícula de massa m e carga elétrica q. 
O campo gravitacional local vale g. Determinar a distância r entre as cargas na situação de equilíbrio da 
partícula.
Dados: m = 1 kg Q = q = 1 C 210 =
m
g
s
 
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε

Figura 11
26
Re
vi
sã
o:
 A
na
 F
az
io
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
4/
01
/1
7
Unidade I
Solução:
=pesoF mg 2
0
1
4
=elétrica
Qq
F
rpiε 
 =peso elétricaF F
 
2
0
1
4
=
Qq
mg
rpiε
 0
1
4
=
Qq
r
mgpiε 
9 1 19 10
1 10
=r


 
30000 =r m 30 =r km
Figura 12
Exemplo 6
Em pontos fixos A e B, separados por distância 2d, no vácuo, situam‑se cargas Q puntiformes, 
positivas e iguais. Ao longo de uma mediatriz de AB, desloca‑se uma carga de prova q. Determinar o 
ponto P, onde a carga q fica sujeita à força máxima.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10
4
=
Nm
Cpiε
 
31 10 −=q C 6
1
10 
18
−
=Q C 2 2 =d m
Figura 13
27
Re
vi
sã
o:
 A
na
 F
az
io
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
4/
01
/1
7
ELETRICIDADE BÁSICA
Solução:
 
0 2
0
1
4
=
qQ
F
rpiε 
2 2 2
= +r d y
 
0 2 2
0
1
4
=
+
qQ
F
d ypiε 
( ) = ysen
r
θ
( )
2 2
=
+
y
sen
d y
θ
 
02 ( )=F F sen θ
 
2 2 2 2
0
1
2
4
=
+ +
qQ y
F
d y d ypiε
2 2 2 2
0
1
2
4
=
+ +
qQ y
F
d y d ypiε
 
3
0 2 2 2
2
4
( )
=
+
qQ y
F
d y
piε

 
( ) 32 2 2
0
2
4
− 
= +  
qQ
F y d y
piε
 
 
0=
dF
dy
( ) ( )3 52 2 2 22 2
0
3
2 1 2
4 2
− − 
= + + − +  
dF qQ
d y y d y y
dy piε
    
( ) ( )3 52 2 2 22 231 2 0
2
− −
+ + − + =d y y d y y   
( ) ( )3 52 2 2 22 231 2 0
2
− −
+ = + =d y y d y y   
( ) ( ) ( )3 3 12 2 2 2 2 22 231 2 0
2
− − −
+ = + + =d y y d y d y y    
( ) 12 231 2 0
2
−
= + =y d y y  
 
2 2 23+ =d y y 
2 22=d y
 2
=
d
y
Exemplo 7
Uma pirâmide reta tem vértice P, base quadrada ABCD de lado L, centro G e altura h. Nos pontos A, 
B, C, D e G situam‑se cargas puntiformes, que representaremos por essas mesmas letras: qA, qB, qC, qD, 
qG. Em uma carga q colocada em P, as demais exercem força resultante na direção GP, com intensidade 
F. Determinar as cargas qB e qD.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10
4
=
Nm
Cpiε
 qA = ‑ 3 . 10
‑6 qC = ‑ 3 . 10‑6 C qG = 1 . 10‑6 C 
28
Re
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 F
az
io
 -
 D
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gr
am
aç
ão
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ef
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rs
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 -
 2
4/
01
/1
7
Unidade I
q = 2 . 10‑8m F = 50 . 10‑6 N 3 2 =L m h = 4m
Figura 14 
Solução:
= = = =AB BC CD DA L 
2 2
= = +AC BD L L 2= =AC BD L
3 2 2= =AC BD 6 = =AC BD m 4 = =GP h m
 
= = = = +   
AC
AP BP CP DP h
 
 
= = = = +   AP BP CP DP
5 = = = =AP BP CP DP m ( )cos = GPAPθ ( )
4
cos 0,8
5
= =θ
=A CF F =D BF F 2 cos( ) 2 cos( )= + +G A BF F F Fθ θ 
2
0
1
4
=
G
G
q
F q
GPpiε

 
6
9 2 6
2
1 10
9 10 2 10 10
4
−
− −
=GF

    
611,25 10 −=GF N
2
0
1
4
=
A
A
q
F q
APpiε

 
6
9 2 6
2
3 10
9 10 2 10 10
5
−
− −
−
=AF

    
621,60 10 −= −AF N
29
Re
vi
sã
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 A
na
 Faz
io
 -
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gr
am
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: J
ef
fe
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on
 -
 2
4/
01
/1
7
ELETRICIDADE BÁSICA
2
0
1
4
=
B
B
q
F q
BPpiε

 
9 2 6
2
9 10 2 10 10
5
− −
=
B
B
q
F    
 
67, 2 10−=B BF q 
6 6 6 650 10 11,25 10 2 21,60 10 0,8 2 7,2 10 0,8− − − −= + − + Bq        
6 6 650 10 11,25 10 34,56 10 11,52− − −= − + Bq   
 
6,36
650 11,25 34,56 10
1 ,52
.
1
−
   
− +
=

Bq 
66,36 10 −= =D Bq q C 
Figura 15
Exemplo 8
Três pequenas esferas são dotadas de cargas elétricas q1, q2 e q3. Sabe‑se que as esferas se situam no 
vácuo, sobre um plano horizontal sem atrito – os centros das esferas estão alinhados – e se encontram 
em equilíbrio nas posições representadas no esquema a seguir. Pede‑se as cargas elétricas q1 e q3.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10
4
=
Nm
Cpiε
 q1 = 270 . 10
‑6 C d = 0,12m
30
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 -
 2
4/
01
/1
7
Unidade I
Figura 16 
Solução:
3212
3 21 2
2 2 2
0 0
..1 1
4 4
   
= + −      
 
FF
resultante q qq qF
d dpiε piε 
 2 0=
resultanteF 3 21 2
2 2
0− =
q qq q
d d

 
 
31 0
1 1
− =
qq
 3 1=q q 
6
3 270 10 
−
=q C
13 23
1 3 2 3
3 2 2
0 0
1 1
4 (2
.
)
.
4
   
= +      
 
F F
resultante q q q qF
d dpiε piε 
3 0=
resultanteF 
1 3 2 3
2 2
0
(2 )
+ =
q q q q
d d
 
 
1 2 0
4 1
+ =
q q
 
2 1
1
4
= −q q
 
6
2
1
270 10 
4
−
= −q C 62 67,5 10 
−
= −q C 
Figura 17 
Exemplo 9
Um dipolo elétrico é constituído pelas cargas elétricas +q e ‑q, separadas pela distância d. Determinar 
a intensidade da força elétrica que esse dipolo exerce sobre uma carga q*, situada no ponto P (ver figura).
Dados 
2
9
2
0
1
9 10
4
=
Nm
Cpiε
 q = 5 . 10‑6 C q≠ = 1 . 10‑2 C d = 0,02 m k = 20
31
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ef
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on
 -
 2
4/
01
/1
7
ELETRICIDADE BÁSICA
d
Figura 18
Solução:
* *
2 2
0 0
1 ( )( ) 1 ( )( )
4 4
2 2
− +
− +
= +   
+ −      
 
F F
q q q q
F
d d
kd kd
piε piε
 
*
2 2
0
1 1
4
2 2
  
− 
= +    
+ −        
q
F q
d d
kd kd
piε
2 2
*
2 2
0
2 2
4
2 2
    
− − + +        
=     
+ −        
d d
kd kd
q
F q
d d
kd kd
piε

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
*
2
0
2 2
2 2 2 2
4
2 2
           
− + − + + −                         
=       + −          
d d d d
kd kd kd kd
q
F q
d d
kd kd
piε
   

 
( )
( )
*
22
0 2
4
2
4
2
      
=     
−        
d
kd
q
F q
d
kd
piε
 
 
( ) ( )
2
*
4 2
4 20
2
4
2
2 2
   
=     
+ −        
q kd
F q
d d
kd kd
piε
 
2
*
4 4
0
2
4
 
=   
q kd
F q
k dpiε 
*
4 4
0
2
4
 
=   
qd kd
F q
k dpiε
*
3 3
0
1
2
 
=   
qd
F q
k dpiε
2 9 6
3 3
1
1 10 18 10 5 10 0.02 ( )
20 0.02
− −
=F       
 281,25 =F N
32
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 F
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 2
4/
01
/1
7
Unidade I
d
Figura 19
Exemplo 10
Dois pêndulos elétricos de mesmo comprimento L, suspensos pelo mesmo ponto, no ar, são dotados 
de mesmas cargas elétricas q e mesma massa m. O campo de gravidade local é de intensidade g. Os 
pêndulos permanecem em equilíbrio na posição ilustrada. Pedem‑se:
a) a distância x;
b) o ângulo θ que cada pêndulo forma com a vertical.
Dados: L = 1m m = 0,005 kg g = 10 210 =
m
g
s
 q = 1 . 10‑6 C 
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε

Figura 20
Solução:
a) tan( )=F mg θ
 
2
2
0
1
4
=
q
F
xpiε 
( ) / 2tan
cos( )
=
x
L
θ
θ
2
2
0
1 / 2
4 cos( )
=
q x
mg
Lxpiε θ

 
2
3
0
1 1
2 cos( )
=
q
mg
Lxpiε θ

 ( ) ( )
2
cos 1= − senθ θ
33
Re
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o:
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 F
az
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am
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on
 -
 2
4/
01
/1
7
ELETRICIDADE BÁSICA
( )cos 1 ( )
2
= −
x
L
θ
 
 
2
3
0
1 1
2
1 ( )
2
=
−
q
mg
x x
L
L
piε


 
2 3
0
2
4
1 ( )
2
=
−
L q x
mg x
L
piε
3 2
2
0
2
4
1
2
=
 
−   
x L q
mgx
L
piε
 
se 2
�
x
L
<< L, então, 
2
1 1
2
 
− ≅  
x
L , resultando em:
2
3
0
2
4
=
L q
x
mgpiε 
( )
1
2 36
9
1 10
9 10 2 1
0.005 10
− 
 =   
x

   

 
 0,711 =x m
b) 
( ) / 2= xsen
L
θ
 
( ) 0.711 / 2 0.3555
1
= =sen θ
 
020,8=θ
( )269 1 109 10 2 1 0.36
0.005 10
−
=

   
 
 
3
2
0.36
1
2
=
 
−   
x
x
L
 0.696 =x m
 
( ) / 2= xsen
L
θ
 
( ) 0.696 / 2 0.348
1
= =sen θ 
020,4=θ
Figura 21
34
Re
vi
sã
o:
 A
na
 F
az
io
 -
 D
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 -
 2
4/
01
/1
7
Unidade I
Exemplo 11
No modelo planetário mais simples do átomo de hidrogênio em estado fundamental, um elétron 
executa movimento circular em torno de um próton imóvel no centro da trajetória eletrônica cujo raio 
é r. Qual é a velocidade linear e angular do elétron?
Dados: e = 1,6 . 10‑19 C m = 9,11 . 10‑31 kg r = 5,3 . 10‑11 m
Solução:
A única força que age o elétron é a atração eletrostática que o próton exerce nele. Essa força é 
perpendicular à velocidade, logo, o movimento é uniforme. A força de atração eletrostática F é a força 
centrípeta que convém ao movimento circular uniforme do elétron.
 
2
0
1
4
=
elétron prótonq q
F
rpiε

 = −elétronq e = +prótonq e
 
2
2
0
1
4
=
e
F
rpiε
=F ma 
2
=
v
a
r 
2
=
mv
F
r 
2 2
2
0
1
4
=
mv e
r rpiε
 
2
0
1 1
4
=
e
v
m rpiε

19 2
9
31 11
1 (1.6 10 )
9 10
9.11 10 5.3 10
−
− −
=v

  
  
62,18 10=
m
v
s
 =v rω 
 
=
v
r
ω
 
6
11
2.18 10
5.3 10−
=ω

 
164,11 10 =
rad
s
ω 
Figura 22 
35
Re
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 F
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 2
4/
01
/1
7
ELETRICIDADE BÁSICA
Exemplo 12
No tampo horizontal de uma mesa, fixa‑se um aro circular; ambos são isolantes e perfeitamente 
lisos. Nas extremidades A e B de um diâmetro, fixam‑se as cargas elétricas q1 e q2. Sobre a placa, dentro 
do aro, abandona‑se uma pequena esfera eletrizada com carga q. As cargas elétricas são todas de 
mesmo sinal. A pequena esfera estaciona junto ao aro num ponto C. Seja BÂC = θ, mostrar a relação: 
32
1
tan ( )=
q
q
θ .
Figura 23
Solução:
 
1
1 2
0 1
1
4
=
qq
F
rpiε 
2
2 2
0 2
1
4
=
qq
F
rpiε
 ( )1 2cos( )=F sen Fθ θ
 
( )1 22 2
0 01 2
1 1
cos( )
4 4
=
qq qq
sen
r r
θ θ
piε piε
 
( )1 22 2
1 2
cos( )=
q q
sen
r r
θ θ
 
( )22 2
2
1 1cos( )
=
senq r
q r
θ
θ
 
2
1
tan( )=
r
r
θ
 
( )22
1
tan ( )
cos( )
=
senq
q
θθ
θ
22
1
tan ( )tan(=
q
q
θ θ= tan2(θ)tan(θ)
 
32
1
tan ( )=
q
q
θ
36
Re
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 F
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 -
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gr
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 -
 2
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01
/1
7
Unidade I
Figura 24
Exemplo de aplicação
(Lei de Coulomb)
Exemplo 1
Três cargas elétricas puntiformes q1, q2 e q3 estão fixas nas posições A, B e C, respectivamente. Calcular 
a intensidade, a direção e o sentido da força elétrica resultante que atua sobre a carga elétrica q3.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10
4
=
Nm
Cpiε
 AB = 8m BC = 10m CA = 6m
q1 = 1 . 10‑6 C q2 = ‑ 2 . 10‑6 C q3 = 4 . 10‑2 C 
Figura 25 
Resposta: 5760 ˆ ˆ5680 = +

F i j N
Exemplo 2
Uma esfera de massa m está eletrizada com carga elétrica Q e encontra‑se em equilíbrio apoiada 
num plano inclinado de um ângulo θ. Além das forças peso e normal, a esfera sofre a ação de uma força 
elétrica, que é aplicada por uma carga elétrica puntiforme q, mantida fixa numa distância x da esfera. 
O campo de gravidade local vale g. Não considerar a ação de forças de atrito. Determinar a distância x.
37
Re
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 A
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 F
az
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 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: J
ef
fe
rs
on
 -
 2
4/
01
/1
7
ELETRICIDADE BÁSICA
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10
4
=
Nm
Cpiε
 Q = 1,5 . 10‑5 C q = 0,05 C m = 0,004kg
θ = 600 210 =
m
g
s
Figura 26
Resposta: x = 312, 1m
4 CAMPO ELÉTRICO E POTENCIAL ELÉTRICO
4.1 Campo elétrico
Quando se constata uma força elétrica F
→
 que atua sobre uma carga de prova q estacionária em um 
ponto P, diz‑se que no ponto P existe um campo elétrico E
→
, que satisfaz a condição:
F
→
 = qE
→
 
[10]
Isso mostra que na vizinhança do ponto P existem corpos eletrizados, que exercem sobre a carga 
de prova a força elétrica F
→
, sendo que o campo elétrico depende apenas do formato, da disposição e da 
quantidade de carga elétrica desses corpos. O campo elétrico de uma carga elétrica puntiforme pode ser 
obtido pela aplicação direta da Lei de Coulomb.
 
2
0
1
 
4
ˆ=
 qQ
F r
rpiε 
1
=
 
E F
q 
2
0
ˆ
1 1
 
4
=
 qQ
E r
q rpiε
38
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Unidade I
2
0
1
 
4
ˆ=
 Q
E r
rpiε [11]
Situação 1
Figura 27 – Na situação 1, no ponto P, sem a presença da carga de prova q, temos somente o campo elétrico E
→
 devido à presença da 
carga Q. Na situação 2, com a presença da carga de prova q, além do campo elétrico E
→
, temos a força F
→
 aplicada pela carga Q sobre a 
carga q
O campo elétrico de um conjunto discreto de cargas elétricas puntiformes é obtido pela aplicação 
do princípio de superposição.
 1=
= ∑ 
n
i
i
E E
 
2
0
ˆ
1
 
4
=

i
i i
i
Q
E r
rpiε
2
10
1
 ˆ
4
=
= ∑
n
i
i
i i
Q
E r
rpiε [12]
Figura 28 – Cada uma das cargas elétricas Q1, Q2 e Q3 produz campo elétrico no ponto P, sendo necessário 
somar vetorialmente esses campos para obter o campo resultante nesse ponto
39
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7
ELETRICIDADE BÁSICA
Para obter o campo elétrico de um corpo eletrizado, no qual é necessário considerar que a carga 
elétrica é distribuída nesse corpo, novamente aplica‑se o princípio de superposição.
 
2
0
 ˆ
1
4
=
 dQ
dE r
rpiε
 = ∫ E dE
2
0
ˆ
1
 
4
= ∫ dQE rrpiε [13]
O elemento de carga elétrica dQ é representado de acordo com a maneira como a carga elétrica é 
distribuída no corpo.
Figura 29 – Quando uma carga elétrica Q é distribuída sobre o corpo, é necessário dividi‑lo em partes infinitesimais dQ e equacionar 
o elemento de campo elétrico dE
→
 no ponto P e, em seguida, aplicar o princípio da superposição e obter, por integração, o campo 
elétrico resultante E
→
4.1.1 Distribuições de cargas
A matéria compõe‑se em partículas, das quais muitas possuem carga elétrica. A carga do elétron, 
em valor absoluto, chama‑se “carga elementar”, a saber: e = 1,6 . 10‑19 C. Corpo material macroscópico 
contém partículas em número elevado. Carga elétrica do corpo é a soma algébrica das cargas elementares 
positivas e negativas que ele contém.
Já elemento de volume macroscópico deve ser suficientemente grande para conter numerosas 
moléculas, e suficientemente pequeno para que possa ser identificado com um diferencial matemático. 
Se dQ = 0 em cada elemento de volume macroscópico do corpo, este é dito eletricamente neutro. Se 
for dQ ≠ 0 em elementos de um corpo, este é dito eletrizado, com a carga Q equivalente à integral dos 
elementos dQ.
Princípio de conservação da eletricidade – eletricidade não se cria, nem se destrói. Partículas 
elétricas positivas e negativas podem reunir‑se ou separar‑se, mas a soma de suas cargas é invariável. 
Um sistema é dito eletricamente isolado quando não recebe cargas do ambiente, nem cede cargas ao 
ambiente. Vale a seguinte lei de conservação: “Em sistema eletricamente isolado, a soma algébrica 
das cargas positivas e negativas é constante”. Em particular, a soma algébrica das cargas positivas e 
negativas do universo é invariável.
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7
Unidade I
A carga elétrica localiza‑se em partículas elementares ou em corpos macroscópicos, portanto, ocupa 
espaço. Sendo dV um elemento de volume que contém um ponto P, dQ a carga no elemento, é densidade 
volumétrica de carga em P a grandeza:
=
dQ
dV
ρ
 [14]
Apresenta‑se o caso em que uma carga se distribui em película fina denominada distribuição 
superficial. Sendo dA a área de um elemento de película que contém um ponto P, dQ a carga no elemento, 
é densidade superficial de carga em P a grandeza:
=
dQ
dA
σ
 [15]
Eventualmente, uma carga se distribui ao longo de um fio fino denominado distribuição linear. 
Sendo dl o comprimento de um elemento de fio que contém um ponto P, dQ a carga no elemento, é 
densidade linear de carga em P a grandeza:
=
dQ
dl
λ
 [16]
 Lembrete
Condutores pontiagudos eletrizados possuem grande densidade de 
cargas em suas extremidades pontiagudas. Essa propriedade, chamada de 
poder das pontas, explica o funcionamento dos para‑raios.
Exemplos para cada uma dessas distribuições de carga:
a) Um bastão AB, de comprimento L = 1,0m, está eletrizado com uma carga elétrica Q. A densidade 
 linear da distribuição é ( ) 62 5 10 −= + Cx
m
λ  , sendo 0 ≤ x ≤ L. Determinar Q.
Figura 30
=dQ dxλ = ∫Q dxλ 
0
= ∫LQ dxλ ( )16
0
10 2 5−= +∫Q x dx  
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ELETRICIDADE BÁSICA
2
6 110 (2 5 1)
2
−
= +Q    
66 10 −=Q C
b) Em um disco circular de raio R = 1m, a densidade superficial σ, a distância r do centro do disco 
 
vale: 6
2 2
1
10 
1
−
 
=   +
C
r m
σ , sendo 0 ≤ r ≤ R. Qual é a carga Q do disco?
Figura 31
=
dQ
dA
σ =dQ dAσ 2=dA rdrσ pi  = ∫Q dQ 2= ∫Q rdrσ pi  
0
2= ∫RQ rdrpi σ 
6
2
0
1
2 10
1
−
 
=   +∫
R
Q rdr
r
pi  
 
6
2
0
2
10
1
−
 
=   +∫
R r
Q dr
r
pi  
1
6
2
0
2
10
1
−
 
=   +∫ rQ drrpi  16 2 010 ln( 1)−= +Q rpi  
( ) ( )610 (ln 2 ln 1 )−= −Q pi   ( ) 6ln 2 10 −=Q Cpi   62, 2 10 −=Q C
c) Uma casca esférica de raios internos r1 = 0,5m e externos r2 = 0,6m é eletrizada com densidade 
 
volumétrica 63 3
1
10 
4
−
=
C
r m
ρ
pi
, sendo r1 ≤ r ≤ r2.
Figura 32
42
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7
Unidade I
=
dQ
dV
ρ =dQ dVρ 24=dV r drpi 6 23
1
10 4
4
−
=dQ r dr
r
pi
pi
6 110−=dQ dr
r 
2
1
6 110−= ∫
r
r
Q
r

 
6 2
1
10 ln( )−=
r
Q
r

6 0.610 ln( )
0.5
−
=Q  
60,18 10 −=Q C
 Observação
Quando um corpo está eletrizado, sua carga elétrica pode ser considerada 
puntiforme, se analisarmos o campo elétrico num ponto muito distante 
dele. Mas, se o ponto estiver muito próximo, a análise do campo elétrico 
deverá levar em consideração a distribuição da carga elétrica sobre o corpo.
4.1.2 Exercícios resolvidos
1. Determinar a intensidade do campo elétrico no vácuo devido a uma carga elétrica puntiforme Q, 
em um ponto P, cuja distância da carga é r.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε

 
 Q = 10 . 10‑6 C r = 0,1m
Solução:
 
2
0
1
4
=
Q
E
rpiε 
6
9
2
10 10
9 10
0.1
−
=E

 
 
9000000 =
N
E
C
2. Nos vértices A, B e C de um triângulo equilátero de lado L, situam‑se cargas elétricas puntiformes 
q1, q2 e q3, respectivamente. Determinar o campo elétrico E
→
 no centro de gravidade G do triângulo.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε
 q1 = 1 . 10
‑6 C q2 = 2 . 10
‑6 C q3 = 3 . 10
‑6 C L = 2m
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ELETRICIDADE BÁSICA
Figura 33
Solução:
 
2
3
= = = =r AG BG CG AM
 
3
2
=
L
AM
 
2 3
3 2
=
L
r
 
3
3
=
L
r
 3
=
L
r
2
 
3
=r m
 
1
1 2
0
1
4
=
q
E
rpiε 
6
9
1 2
1 10
9 10
2
3
−
=    
E

 
 
 
1 6750 =
N
E
C
2
2 2
0
1
4
=
q
E
rpiε 
6
9
2 2
2 10
9 10
2
3
−
=    
E

 
 
 
2 13500 =
N
E
C
2
3 2
0
1
4
=
q
E
rpiε 
 
6
9
3 2
3 10
9 10
2
3
−
=    
E

 
 
3 20250 =
N
E
C
 
1 1
3 1
( )
2 2
ˆ ˆ= +

E E i j 2 2
ˆ= −

E E j
 
3 3
3 1
( )
2
ˆ ˆ
2
= − +

E E i j
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/1
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Unidade I
1
3 1ˆ ˆ6750 
2 2
 
= +  
 N
E i j
C
 
2 13500 ˆ = −
 N
E j
C 
3
3 1
20250 ˆ 
2 2
ˆ
 
= − +  
 N
E i j
C
1 2 3= + +
   
E E E E 
3 1 3 1
6750 13500 20250ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
2 2 2 2
   
= + + − + − +      

E i j j i j
 
 
( )
11691,3 0
3 1 1
6750 20250 6750 13500 20250 
2 2 2
ˆ ˆ
−  
  
= − + − +    
 

E i j
11691,3 ˆ = −
 N
E i
C
Figura 34
3. Em pontos A e B, separados pela distância AB, localizam‑se cargas puntiformes com quantidades 
de eletricidade q1 e q2, respectivamente. Determinar:
a) o campo elétrico resultante no ponto C;
b) sobre a reta AB, o ponto D no qual o campo elétrico resultante é nulo.
Dados: AB = 0,30 m q1 = 4 . 10
‑6 C q2 = 1 . 10
‑6 C AC = 0,25m
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε

 
45
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ELETRICIDADE BÁSICA
Figura 35
Solução:
a) 
1
1 2
0
1
4
=
q
E
ACpiε 
6
9
1 2
4 10
9 10
0.20
−
=E

 
 
1 900000 =
N
E
C
( )
2
1 2
0
1
4
=
−
q
E
AB ACpiε 
6
9
2 2
1 10
9 10
(0.30 0.25)
−
=
−
E

 
 
2 3600000 =
N
E
C
1 90000 ˆ0 =
 N
E i
C 
2 3600000 ˆ = −
 N
E i
C 
1 2= +
  
E E E 
 ˆ ˆ900000 3600000 = −

E i i
 
2700000 ˆ = −
 N
E i
C
b) 1 2 0= + =
  
E E E 
 
1
1 2
0
1
4
 ˆ=
 q
E i
ADpiε ( )
2
2 2
0
1
 
4
ˆ= −
−
 q
E i
AB ADpiε
 ( )
1 2
2 2
0 0
1 1
 0
4 4
ˆ ˆ= − =
−
 q q
E i i
AD AB ADpiε piε ( )
1 2
2 2
 0− =
−
q q
AD AB AD
( )
6 6
2 2
4 10 1 10
 0
0.30
− −
− =
−
AD AD
 
 ( )2 2
4 1
 0
0.30
− =
−
AD AD 
0.2 =AD m
Figura 36
4. Uma partícula de massa m e carga elétrica q, inicialmente estacionária, é submetida a um campo 
eletrostático uniforme E. Após o tempo t, o campo é invertido, porém conservando a intensidade. 
Determinar a distância d, do ponto de partida ao ponto de chegada.
46
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Unidade I
Dados: m = 0,004kg q = 2 . 10‑6 C 500000 =
N
E
C
 t = 0,8s
Solução:
212
2
=d at
 
=F ma =F qE =ma qE 
 
=
qE
a
m
212
2
=
qE
d t
m 
6
21 2 10 5000002 0.5
2 0.0004
−
=d
 
   625 =d m
5. Sobre o eixo 0x, um bastão isolante, compreendido entre os pontos de abscissas ‑a e +a, está 
eletrizado uniformemente com carga positiva Q. Determinar o campo elétrico E
→
 produzido pelo bastão 
nos pontos do eixo. Esboçar também gráfico cartesiano (x, E).
Figura 37
Solução:
Ponto P situado à direita do bastão:
2
=
Q
a
λ
 
'
=
dQ
dx
λ
 
'
=dQ dxλ
 ( )2'0
1
4
=
−
dQ
dE
x xpiε
 ( )
'
2'
0
1
4
=
−
dx
dE
x x
λ
piε
 
= ∫E dE
 ( )
'
2'
04
+
−
=
−
∫a
a
dx
E
x x
λ
piε
 
'
0
1
4 ( )
+
−
=
−
a
a
E
x x
λ
piε
( )0
1 1
( )
4
= −
− − −
E
x a x a
λ
piε
0
1 1
4
 
= −  
− +
E
x a x a
λ
piε 
( )
0
( )
4 ( )( )
 + − −
=  
− + 
x a x a
E
x a x a
λ
piε 0
1 2
4 ( )( )
 
=  
− + 
a
E
x a x a
λ
piε
47
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ELETRICIDADE BÁSICA
0
1
4 ( )( )
=
− +
Q
E
x a x apiε > +x a
Ponto P no interior do bastão:
( ) ( )
' '
2 2' '
0 0 0
 
4
+ −  = − + − − − 
∫ ∫a x a xdx dxE
a x x a x x
λ
piε
' '
0 00
1 1
 
4
+ − 
= − 
+ − − −  
a x a x
E
a x x a x x
λ
piε
( ) ( )0
1 1 1 1
( ( )
4
 
= − − − 
+ − + + − − − − 
E
a x a x a x a x a x a x
λ
piε
 0
1 1 1 1
( ( )
4 0 0
 
= − − − + − E a x a x
λ
piε 0
1 1
4
 
= − 
− + E a x a x
λ
piε
( )
0
( )
4 ( )( )
 + − −
=  
− + 
a x a x
E
a x a x
λ
piε 0
2
4 ( )( )
 
=  
− + 
x
E
a x a x
λ
piε 0
1 2
4 2 ( )( )
 
=  
− + 
Q x
E
a a x a xpiε
0
1
4 ( )( )
=
− +
Qx
E
a a x a xpiε

 − < < +a x a
6. Em um referencial cartesiano Oxyz, o eixo Oy coincide com um fio irrestrito, eletrizado 
uniformemente com densidade linear positiva λ. O meio ambiente é o vácuo. Com base na Lei de 
Coulomb, estudar o campo eletrostático E
→
.
Solução: por motivo de simetria, o campo é nulonos pontos do fio; é normal ao fio nos pontos fora 
dele.
48
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Unidade I
Figura 38
( )
'
2'
0
1
4
=
dq
dE
rpiε
 
 =dq dyλ
 
( )' cos=rr θ 
'
cos( )
=
r
r
θ ( )
'
2
0
1
4 / cos( )
=
dy
dE
r
λ
piε θ
tan( )=y r θ tan( )=
dy d
r
d d
θ
θ θ 
( ) 21tan cos ( )=
d
d
θ
θ θ 
2
1
cos ( )
=
dy
r
dθ θ
2
1
cos ( )
=dy r dθ
θ 
' 2
2 2
0
1 1
 cos ( )
4 cos ( )
=dE r d
r
λ θ θ
piε θ
'
0
1
 
4
=dE d
r
λ θ
piε 
'cos( )=dE dE θ 
 0
1
 cos( )
4
=dE d
r
λ θ θ
piε

 0
 cos( ) 
4
=
r
dE d
λ θ θ
piε
 
2
0
2
 cos( ) 
4
+
−
= ∫
r
E d
pi
pi
λ θ θ
piε
2
2
cos( ) 2
2 2
+
−
   
= − − =      ∫ d sen sen
pi
pi
pi piθ θ
 0
 2
4
=E
r
λ
piε 0
1
2
=E
r
λ
piε
49
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7
ELETRICIDADE BÁSICA
7. Um anel circular fino e de raio R é eletrizado uniformemente com carga elétrica Q. Adotar 
referencial cartesiano com origem no centro do anel, eixo 0y perpendicular ao plano do anel. O meio 
ambiente é o vácuo:
a) determinar o campo eletrostático E
→
 nos pontos do eixo Oy;
b) pesquisar o ponto onde a intensidade do campo é máxima;
c) mostrar que para Y >> R o resultado tende àquele que seria obtido se a carga Q fosse localizada 
no centro do anel.
Solução:
a) Devido à simetria, o campo é dirigido segundo Oy (a favor ou contra conforme o sinal de Q). 
Consideremos y > 0. Elemento de anel possui carga dQ e sua distância ao ponto P é 2 2= +r R y , 
em P ele contribui com o componente dE’, de grandeza '
2 2
0
1
4
=
+
dQ
dE
R ypiε
 . Do vetor dE’ 
 
somente interessa o componente dE segundo Oy, e sua grandeza é dE = dE’ cos (θ), sendo cos (θ) 
= ( )cos = y
r
θ . Resultando em:
2 2
0
1 y
4 r
=
+
dQ
dE
R ypiε

 
2 2 2 2
0
1 y
4
=
+ +
dQ
dE
R y R ypiε

 
3
0 2 2 2
1
4
( ) 
=
+
y
dE dQ
R y
piε
 
= ∫E dE
 
3
0 2 2 2
1
4
( ) 
=
+
∫yE dQ
R y
piε
 
3
0 2 2 2
1
4
( ) 
=
+
y
E Q
R y
piε
3
0 2 2 2
1
 
4
( ) 
ˆ
 
=
+
 y
E Q j
R y
piε
b) O máximo de E ocorre quando o termo 3
2 2 2( ) +
y
R y
 for máximo, logo, é necessário que:
3
2 2 2
 0
( ) 
=
+
d y
dy
R r
 e 
2
2 3
2 2 2
 0
( ) 
<
+
d y
dy
R r
, logo
( ) ( ) ( )3 53/22 2 2 2 2 22 23
2 2 2
3
 ( 1 2 0
2
( ) 
− − − 
= + = + + − + =  
+
d y d
y R y R y y R y
dy dy
R r
    
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Unidade I
( ) ( ) ( )3 3 12 2 2 2 2 22 231 2 0
2
− − − 
+ + − + + =  R y y R y y R y    
( ) 12 2 21 3 0−− + =y R y 2 2 23+ =R y y 2 22=R y 2=
R
y
32
0 2 2
1 / 2
4
( ) 
2
=
+
R
E Q
R
R
piε
 
32
0 2
1 1
4 32
( ) 
2
=
R
E Q
Rpiε
 
3
0
1 1 8
 
4 2 3 3
=
R
E Q
Rpiε
3
0
1 1 2 2
 
4 2 3 3
=
R
E Q
Rpiε 
2
0
2 1
 
4 3 3
 
=   
Q
E
Rpiε

c) Podemos exprimir a intensidade do campo na forma:
3
0 2 2 2
1
4
( ) 
=
+
y
E Q
R y
piε
 
 
3
20 2
2
2
1
4
1
=
 
+  
Q
E
R
y
y
piε
Se y >> R, significa que 
2
2
1�
R
y
, logo, 
3
2 2
2
1 1
 
+ ≅  
R
y
 e portanto: 
2
0
1
4
≅
Q
E
ypiε 
Figura 39
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ELETRICIDADE BÁSICA
8. Uma película circular de centro 0 e raio R é eletrizada uniformemente com densidade superficial de 
carga elétrica σ. O eixo de cotas 0z coincide com o eixo de revolução da película; nesse eixo, considerar 
um ponto P. de cota z. Determinar o campo eletrostático em P.
Figura 40
Solução:
Por motivo de simetria, o campo P tem a direção do eixo de revolução 0z; somente interessam 
componentes segundo 0z. Imaginemos o disco dividido em coroas concêntricas; na coroa genérica, 
consideremos o elemento de área dA = RdRd∅, esse elemento de área contém uma quantidade de carga 
elétrica dQ = σdA ∴ dQ = σRdRd∅, sua distância até o ponto P é:
2 2
= +r R z
Em P, a carga dQ produz campo elétrico de grandeza:
'
2
0 
1
4
=
dQ
dE
rpiε
A projeção sobre o eixo 0z é: dE = dE’ cos(θ):
Sendo ( )cos = z
r
θ ( )
2 2
cos =
+
z
R z
θ 2 2 2 2
0 
1
4
∅
=
+ +
RdRd z
dE
R z R z
σ
piε
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Unidade I
2 2 2 2
0 
1
4
∅
=
+ +
RdRd z
dE
R z R z
σ
piε ( )
3
2 20 2
4
= ∅
+
z RdR
dE d
R z
σ
piε
( )
02
3
2 20 0 0 2
4
= ∅
+
∫ ∫
R
z RdR
E d
R z
piσ
piε
 ( )
0
3
2 20 0 2
2
4
=
+
∫
R
z RdR
E
R z
σ
pi
piε
 
0
2 2
0 0
1
2
4
= −
+
R
z
E
R z
σ
pi
piε

2 2
0 0
1 1
( )
2
= − −
+
E z
zR z
σ
ε
 
 
2 2
0 0
1 1
( )
2
= −
+
E z
z R z
σ
ε
 
 
2 2
0 0
(1 )
2
= −
+
z
E
R z
σ
ε
9. Considerar um referencial cartesiano triortogonal 0xyz. O plano x0y está uniformemente eletrizado 
com densidade superficial de cargas σ. Determinar o campo eletrostático E
→
 em um ponto genérico P.
Solução:
Por simetria, para pontos sobre a película, o campo elétrico é nulo. Para pontos situados fora da 
película, o campo elétrico pode ser calculado utilizando o resultado do disco eletrizado, basta manter a 
altura z constante e aumentar o raio do disco R0 até o infinito.
2 2
0 0
(1 )
2
= −
+
z
E
R z
σ
ε
 
 0 = ∞R
 
2 2
0 
(1 )
2
= −
∞ +
z
E
z
σ
ε 0 2
=E
σ
ε
10. Uma película esférica e homogênea de centro 0 e raio R tem carga Q. Determinar o campo 
elétrico E
→
 produzido pela película em um ponto P (0P = r), nos casos:
a) P fora da película (r > R).
b) P dentro da película (r < R).
c) P na própria película (r = R).
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ELETRICIDADE BÁSICA
Solução:
Figura 41
A densidade superficial de carga elétrica da película é 
24
=
Q
R
σ
pi . Sobre a película, a área elementar 
é dA = RdθRsen (θ)d∅ ∴ dA = R2 sen(θ)d∅dθ, onde 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ ∅ ≤ 2π . A carga elementar vale 
dQ = σdA ∴ dQ = σR2 sen(θ)dθd∅. No ponto P, esse elemento de carga dQ produz um correspondente 
elemento de campo dado por:
'
' 2
0
1
4 ( )
=
dQ
dE
rpiε
O sistema é simétrico em relação ao eixo 0P, por isso do campo dE’ só interessa o componente 
segundo 0P, logo:
dE = dE’cos(α)
( ) ( )
2
2'
0
1 1
cos( )
4
= ∅dE R sen d d
r
σ θ θ α
piε
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Unidade I
A integral em d∅ é independente, portanto, já pode ser efetuada, logo:
( ) ( )
2
2
2
2'
0 0
1 1
cos( )4
= ∅ ∅∫

dE R sen d d d
r
pi
pi
σ θ θ α
piε
( ) ( )
2
2'
0
1 1
cos( )
2
=dE R sen d
r
σ θ θ α
ε
Pela figura, vem: ( )cos = PN
PM
α PN = OP ‑ 0N OP = r 0N = Rcos(θ)
PM = r’ ( ) ' ( )cos −= r Rcosr
θ
α
No ∆0PM, a lei do cosseno dá:
(r’)2 = r2 + R2 ‑ 2rRcos(θ)
Disso tudo, resultam:
( ) ( )
22 2 '
2
+ −
=
r R r
Rcos
r
θ
 ∴ 
( ) ( )
22 2 '
2
+ −
− = −
r R r
r Rcos r
r
θ
 ∴
( ) ( )
22 2 '
2
− +
− =
r R r
r Rcos
r
θ
 ∴ 
( ) ( )
22 2 '
'
cos
2
− +
=
r R r
rr
α
 ∴ ( )' '2 2=r dr rRsen dθ θ
( ) ' '= r drsen d
rR
θ θ
 ( )
( )22 2 '2 ' '
2 ''
0
1
 
2 2
− +
=
r R rR r dr
dE
rR rrr
σ
ε
 
( )
( )
22 2 '
'
2 2'
0
 
4
− +
=
r R rR
dE dr
r r
σ
ε
( )
2 2
' '
2 2'
0
 
4
 
− = +  
R r R
dE dr dr
r r
σ
ε
a) O ponto P é externo à película; nele, o campo resultante é a integral de dE em relação r’, desde 
r ‑ R até r + R.
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/1
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ELETRICIDADE BÁSICA
( )
2 2
'
2 2 '
22 '
0
( )
4
+ +
− −
 
  
= − +    
∫ ∫
 
R R
r R r R
r R r R
R dr
E r R dr
r r
σ
ε
2
0
4
4
=
R
E R
r
σ
ε 
2
2
0
=
R
E
r
σ
ε
Lembrando que 24
=
Q
R
σ
pi
, vem 
2
2 2
0
 
4
=
Q R
E
R rpi ε
2
0
1
 
4
=
Q
E
rpiε
Em ponto externo, a película esférica e homogênea produz campo como se sua carga estivesse toda 
no centro.
b) O ponto P é interno à película; nele, o campo resultante é a integral de dE em relação a r’, desde 
R ‑ r até R + r.
( )
2 2
'
2 2 '
22 '
0
( )
4
−
+ +
− −
 
  
= − +    
∫ ∫
 
r r
r R r R
R r R r
R dr
E r R dr
r r
σ
ε
E = 0
Em ponto interno, a película esférica homogênea produz campo nulo.
c) O ponto P está engastado na película: r = R; nele, o campo resultante é a integral de dE em relação 
a r’, desde 0 até 2R.
( ) ( )
2
2 2'
2 2 '
22 '
0 0 04
 
  
= − +    
∫ ∫
 
zero R
R RR dr
E R R dr
R r
σ
ε
2
0
2
4
=
R
E R
R
σ
ε 
2
2
02
=
R
E
R
σ
ε 02
=E
σ
ε 
24
=
Q
E
Rpi 
2
0
1
 
2 4
=
Q
E
Rε pi
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Unidade I
2
0
1 1
2 4
=
Q
E
Rpiε
Esse campo é metade do campo em ponto externo infinitamente próximo à superfície esférica. 
Na película, o campo experimenta dupla descontinuidade: à medida que o ponto externo se avizinha 
da película, o campo tende ao limite 
0
σ
ε
; quando o ponto se incorpora à película, o campo nela cai 
 
bruscamente pela metade daquele limite, ou seja, 
02
σ
ε
 quando o ponto passa para o lado de dentro da 
película, o campo cai a zero.
11. Uma esfera maciça de centro 0 e raio R eletrizada com carga positiva de densidade volumétrica 
constante ρ. Dentro da esfera, considerar um ponto genérico P, a distância r do centro. Determinar o 
campo eletrostático em P.
Solução:
Imaginemos a esfera dividida em cascas concêntricas; seja r’ o raio, seja dr’ a espessura da casca 
genérica. Cada casca equivale a uma película esférica homogênea, e atua em P como se sua carga 
estivesse no centro. Para o campo elétrico em P(r), só contribuem as cascas com r’ < r. A casca 
genérica tem área 4π(r’)2, volume 4π(r’)2dr’, para o campo em P(r), ela contribui com o componente 
 ( )2' '
2
0
41
 
4
=
r dr
dE
r
ρ pi
piε
, simplificando, vem ( )2' '2
0
=dE r dr
r
ρ
ε
, portanto, o campo elétrico resultante 
 
 
 
em P(r) é ( )
31
3
2' '
2
0 0
= ∫

r
r
E r dr
r
ρ
ε
, o que resulta em:
03
=E r
ρ
ε
O campo elétrico é central; sua intensidade aumenta linearmente, desde zero no centro até 
03
R
ρ
ε
 
na superfície da esfera.
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/1
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ELETRICIDADE BÁSICA
Figura 42
12. Considerar um referencial cartesiano triortogonal 0xyz. O plano z0x está uniformemente 
eletrizado com densidade superficial de cargas σ > 0. Determinar o campo eletrostático E em um ponto 
genérico P de ordenada y.
Solução:
Figura 43
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/1
7
Unidade I
Dividindo‑se o plano em faixas de largura dz, conforme indicado a seguir, poderemos considerar o 
resultado já conhecido do campo elétrico produzido por uma reta eletrizada, portanto:
'
0
1
2
=
dz
dE
r
σ
piε
Nessa expressão, σdz representa a carga por unidade de comprimento da faixa e equivale à densidade 
linear λ. O campo elétrico resultante deve ser perpendicular ao plano, logo, só interessa o componente 
de dE’, segundo o eixo 0y.
dE = dE’cos(α)
0
1
cos( )
2
=
dz
dE
r
σ
α
piε
Exprimindo z e r em função de α, vem:
cos( )
=
y
r
α 
( )cos = y
r
α
 tan( )=z y α
2
1
cos ( )
 tan( )=

dz d
y
d d
α
α
α α

 
2
1
cos ( )
=
dz
y
dα α

 
2
1
cos ( )
=dz y dα
α

( )
cos( )
2
0
1
 cos( )
2 cos
 
=   

y
dE d
r
α
σ
α α
piε α 02
=dE d
σ
α
piε
Logo, 
/2
0
2
2
+
−
= ∫E dpi
pi
σ
α
piε
 
02
=E
σ
pi
piε
 
02
=E
σ
ε
Exemplo de aplicação
1. Um dipolo elétrico é constituído pelas cargas puntiformes ‑q e +q, separadas pela distância d (ver 
figura). Determine o campo elétrico E
→
 produzido pelo dipolo no ponto P.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε
 q = 1,8 .10‑6 C d = 0,20 m
59
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ELETRICIDADE BÁSICA
Figura 44
Resposta: 1985,9 2385,8 ˆ ˆ= +
 N
E i j
C
2. Um bastão de comprimento L está eletrizado uniformemente com uma carga elétrica Q. O bastão 
é mantido fixo na posição vertical. Próximo ao bastão, numa distância a de sua extremidade superior, 
está uma esfera condutora eletrizada uniformemente com uma carga elétrica q. A massa da esfera é m 
e o campo de gravidade local é g. Verifica‑se que a esfera permanece em equilíbrio quando abandonada 
em repouso no ponto P (ver figura). Determine a distância a.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε
 Q = q = 1 . 10‑6 C m = 0,20 m = 1 . 10‑3 kg L = 0,40 m
2
10 =
m
g
s
Formulário: 
0
1
4 ( )
=
+bastão
Q
E
a L apiε


Figura 45
Resposta: a = 0,77 m
60
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Unidade I
4.2 Potencial elétrico
Quando uma partícula eletrizada se move em uma região do espaço onde existe um campo elétrico, 
sobre ela atuará uma força elétrica que pode conferir à partícula uma aceleração e consequentemente 
uma variação de sua velocidade, realizando, portanto, um trabalho. A variação de energia cinética da 
partícula é calculada pelo trabalho da força resultante sobre ela. Há forças que possuem a propriedade 
pela qual o seu trabalho não depende da trajetóriapercorrida pela partícula entre dois pontos fixos. Esse 
tipo de força é chamada de conservativa. Para esse grupo de forças, pode‑se definir os conceitos de 
energia potencial. A força elétrica está dentro desse grupo, sendo uma força conservativa, o que permite 
a definição de “energia potencial elétrica” e também de “potencial elétrico”.
4.2.1 Trabalho no campo de uma carga puntiforme
Em um ponto fixo 0, situa‑se uma carga elétrica Q. No campo elétrico dessa carga, transporta‑se 
uma carga de prova q, desde um ponto qualquer A até um ponto qualquer B. Na posição genérica P, a 
carga q sofre por parte da carga Q a ação da força F
→
. A Lei de Coulomb dá:
2
0
1
 
4
 ˆ=
 Qq
F r
rpiε
, sendo ˆ
( 0)
0
−
=
P
r
P
 ou 
0)
ˆ
( −
=
P
r
r
 
Em deslocamento elementar d I
→
, o trabalho de F
→
 é:
dW = F
→
 . d I
→
 [17]
E o trabalho de F
→
 entre os pontos A e B é dado por:
= ∫ BAB
A
W F dl
 [18]
2
0
1
 
4
ˆ=
  Qq
F dl r dl
rpiε
 
 
ˆ ˆ cos( )=
 
r dl r dl θ
 ˆ 1=r
( )cos =dl drθ
 ˆ =

r dl dr
2
0
1
 
4
=
 Qq
F dl dr
rpiε

 
2
0
1
 
4
= ∫BAB
A
Qq
W dr
rpiε 
2
0
1
 
4
= ∫B
A
r
AB
r
Qq
W dr
rpiε
( )
0
1
1
4
= −
B
A
r
AB
r
Qq
W
rpiε

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ELETRICIDADE BÁSICA
( )
0
1 1
1 ( )
4
= − −AB
B A
Qq
W
r rpiε

 [19]
É importante observar que o resultado obtido para o trabalho da força elétrica mostra claramente 
que ele não depende da particular trajetória entre os pontos A e B, mostrando de fato que a força 
elétrica é conservativa e, por isso, admite energia potencial.
Figura 46 – A trajetória percorrida pela carga de prova q, entre os pontos A e B, 
não modifica o trabalho da força elétrica que atua sobre ela
4.2.2 Energia potencial elétrica de uma carga puntiforme
Pode‑se atribuir para um ponto de referência P0, escolhido de forma arbitrária, uma energia potencial 
igual a zero. A posição desse ponto de referência vai depender da geometria da distribuição de carga 
elétrica que produz o campo elétrico ao qual é submetido a carga de prova. No caso mais simples de 
considerar o campo elétrico sendo produzido por uma carga elétrica puntiforme Q, é mais conveniente 
considerar que o ponto de referência esteja no infinito. Considera‑se, portanto, que a energia potencial 
U da carga de prova, em ponto P qualquer, como o trabalho produzido pela força elétrica, quando essa 
carga é transportada do ponto P até o infinito, logo, vem:
0 →
= P PU W ( )0
0
 
0
1 1
1 ( )
4→
= = − −P P
P P
Qq
U W
r rpiε
 0 ∞= = ∞Pr r
( )
0 
0
1 1
1 ( )
4→
= = − −
∞
P P
P
Qq
U W
rpiε
 ( )

0 
0
1 1
1 ( )
4→
= = − −
∞
zero
P P
P
Qq
U W
rpiε

0
1
4
=
P
Qq
U
rpiε ou 0
1
4
=
Qq
U
rpiε [20]
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Unidade I
 Lembrete
Na área elétrica, adota‑se como ponto de referência de potencial a 
Terra. O potencial elétrico da Terra é nulo.
4.2.3 Potencial elétrico de uma carga puntiforme
Em analogia ao conceito de campo elétrico, quando falamos que uma carga elétrica produz campo 
elétrico na sua vizinhança, também podemos dizer que uma carga elétrica produz potencial elétrico ao 
seu redor. O potencial elétrico V, num ponto qualquer, é a energia potencial elétrica U por unidade de 
carga elétrica nesse ponto, ou seja:
1
=V U
q [21]
Um volt (símbolo V) é o potencial do campo num ponto onde a carga de um coulomb possui energia 
 
potencial de um joule: 1 1=
J
V
C
.
No caso de considerar o potencial elétrico de uma carga puntiforme Q, vem:
0
1 1
4
=
Qq
V
q rpiε
0
1
4
=
Q
V
rpiε [22]
4.2.4 Potencial elétrico para uma distribuição contínua de carga
Para uma distribuição contínua de carga, faz‑se um procedimento semelhante ao da distribuição 
discreta. Considera‑se a força elétrica F
→
 sobre uma carga de prova q expressa em função do campo 
elétrico E
→
 da distribuição contínua de carga, ou seja:
F
→
 = qE
→
O trabalho elementar da força fica:
=

dW F dl =

dW qE dl
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ELETRICIDADE BÁSICA
E a variação elementar dU de energia potencial é:
= −dU dW = −

dU qE dl
Depreende‑se que a variação elementar dV do potencial elétrico é:
1
=dV dU
q 
1
( )= −

dV qE dl
q

= −

dV E dl [23]
Conclui‑se que o potencial elétrico produzido por uma distribuição contínua de carga é:
0 0
= −∫ ∫ 
P P
P P
dV E dl
 
0
0
− = −∫ 
P
P P
P
V V E dl
Como no ponto de referência P0 o potencial elétrico é nulo, vem:
0
0=PV 
0
− = −∫ 
P
P
P
V E dl ou 
0
= ∫ 
P
P
P
V E dl
a equação de muita importância na solução de problemas é a que permite expressar o trabalho da 
força elétrica em função da variação do potencial elétrico. Vejamos:
= ∫ BAB
A
W F dl
 =
 
F qE 
= ∫ BAB
A
W q E dl
= −

dV E dl
= −∫BAB
A
W q dV
 
= − ∫BAB
A
W q dV
( )= − −AB B AW q V V [24]
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Unidade I
Figura 47 – O trabalho da força elétrica que atua sobre a carga q pode ser determinado pelo produto entre ‑ q e a diferença de 
potencial elétrico entre os pontos B (final) e A (inicial). Esse trabalho não depende da trajetória percorrida
 Observação
Para cada campo elétrico, existe uma função potencial elétrica. Isso 
mostra que é mais simples o cálculo do trabalho da força elétrica pela 
equação W = ‑ q∆V, em vez de usar a equação = ∫ W F dl , que exigiria 
que se efetuasse uma integral.
4.2.5 Exercícios resolvidos
1. Em um referencial cartesiano 0xyz, duas cargas puntiformes e iguais a q estão fixas e separadas 
pela distância 2a sobre o eixo 0x. Pedem‑se, para um ponto P situado sobre o eixo 0y:
a) o potencial elétrico (adotar V = 0 no infinito);
b) o campo elétrico, determinado através do potencial.
Figura 48
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ELETRICIDADE BÁSICA
Solução:
a) o potencial elétrico total no ponto P vale:
0
1
4
 
= +  
q q
V
r rpiε 
2 2
= +r a y 
2 2
0
1 2
4
=
+
q
V
a ypiε
b) o campo elétrico total no ponto P vale:
= −
d
E V
dy 
2 2
0
1 2
4
  
= −  
+  
d q
E
dy a ypiε 
2 2
0
2 1
4
  
= −  
+  
q d
E
dy a ypiε
( ) 12 2 2
0
2
4
− 
= − +  
q d
E a y
dypiε 
( ) 32 2 2
0
2 1
2
4 2
− 
= − − +  
q
E a y y
piε

( )32 20 2
1 2
 
4
=
+
qy
E
a y
piε
 
(Esse resultado confere com aquele que seria obtido pela aplicação da Lei de Coulomb.)
2. Um bastão de comprimento L está eletrizado uniformemente com uma carga elétrica Q. Adotar 
V = 0 no infinito. Determinar o potencial elétrico produzido pelo bastão no ponto P, que dista a de sua 
extremidade (ver figura).
Figura 49
Solução:
0
1
 
4 ( )
=
+ −
dQ
dV
L a xpiε . =dQ dxλ 0
 
4 ( )
=
+ −
dx
dV
L a x
λ
piε0 0
 
4 ( )
=
+ −∫ ∫
L dx
dV
L a x
λ
piε 0 0
 
4 ( )
=
+ −∫
L dx
V
L a x
λ
piε 
0
0
( 1) ln( )
4
= − + −
L
V L a x
λ
piε
( )
0
ln ln( )
4
 = − − + V a L aλpiε 
=
Q
L
λ
 
( )
0
1
ln ln( )
4
 = − − + QV a L aLpiε
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Unidade I
0
1
ln( )
4
= −
+
Q a
V
L L apiε
 ou 
0
1
ln( )
4
+
=
Q L a
V
L apiε
Pode‑se verificar se esse resultado confere com o potencial da carga puntiforme, fazendo o limite 
de V para a>>L. Vejamos:
0
1
ln( )
4
+ 
=   �a L
Q L a
V lim
L apiε

 
ln( )
+ 
≅  �a L
L a L
lim
a a 0
1 
 
4
=
Q L
V
L apiε
0
1
4
=
Q
V
apiε
Podemos também calcular o campo elétrico aplicando a equação:
= −
d
E V
da 
( )
0
1
ln ln( )
4
  = − − − +   
d Q
E a L a
da Lpiε
( ){ }
0
1
ln ln( )
4
 = − + Q dE a L aL dapiε 0
1 1 1
( )
4
= −
+
Q
E
L a L apiε
0
1
( )
4 ( )
+ −
=
+
Q L a a
E
L a L apiε 0
1
( )
4 ( )
=
+
Q L
E
L a L apiε
0
1
 
4 ( )
=
+
Q
E
a L apiε
3. O eixo 0y está eletrizado uniformemente com uma densidade linear de carga λ (reta eletrizada). 
Determinar o potencial elétrico de um ponto P, situado no plano x0y, de coordenadas z = y = 0 e x > 0.
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ELETRICIDADE BÁSICA
Figura 50
Solução:
O potencial elétrico pode ser obtido partindo da equação:
0 0
1 1
 
4
 
= −  
dQ
dV
r rpiε
O ponto de referência, nesse caso, é o ponto P0, de coordenadas: x = x0, y = 0 e z = 0
2 2
= +r x y 
2 2
0 0= +r x y =dQ dyλ
2 2 2 2
0 0
1 1
 
4
  = − + + 
dV dy
x y x y
λ
piε
 0
2
∞
= ∫V dV
 
2 2 2 2
0 0 0
1 1
2 
4
∞   = − + + 
∫V dy
x y x y
λ
piε
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2 2
0 00 0 0
0
2 )1 1 x
 ln 1 ln( ) ln( ) 
2 )
∞
∞
 + +    
− = = − = −  + + + +    
∫ x y y xdy ln x xx y x y x y y
0 0
1 x
 2 ( 1)ln( ) 
4
= −V
x
λ
piε 
0
0
 ln( )
2 x
=
x
V
λ
piε
O campo eletrostático pode ser também obtido utilizando a equação:
= −
d
E V
dx
0
0
1
2 
4
 
= −   
xd
E ln
dx x
λ
piε 
( )
0
1 1
2 1
4
= − −E
x
λ
piε 0
1
2
=E
x
λ
piε
O potencial elétrico também pode ser obtido utilizando a equação do campo elétrico, através da 
equação:
= −

dV E dl
0
ˆ1 
2
=

E i
x
λ
piε 
ˆˆ ˆ= + +

dl dxi dyj dzk
 P
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Unidade I
0
1
 ( ˆ )
2
ˆˆ ˆ= − + +dV i dxi dyj dzk
x
λ
piε

 0
1
 
2
= −dV dx
x
λ
piε
0 0
( )
0( )
1
 
2
= −∫ ∫
V x x
V x x
dV dx
x
λ
piε
 
( ) ( )0
0 0
ln( )
2
− = −

zero
x
V x V x
x
λ
piε
( )
0 0
ln( )
2
= −
x
V x
x
λ
piε ou 
( ) 0
0
ln( )
2
=
x
V x
x
λ
piε
4. Um anel circular fino de raio R é eletrizado uniformemente com carga elétrica Q. Adotar referencial 
cartesiano com origem no centro do anel, eixo 0y perpendicular ao plano do anel. O meio ambiente é o 
vácuo. Adotar V = 0 no infinito. Pedem‑se:
a) o potencial elétrico nos pontos do eixo 0y;
b) o campo elétrico produzido pelo anel, utilizando a equação: ( )
 
= −
d
E V y
dy
.
Figura 51
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ELETRICIDADE BÁSICA
Solução:
a) Seja P um ponto genérico do eixo 0y, e y sua ordenada. Um elemento qualquer do anel possui 
carga dQ; sua distância ao ponto P é 2 2= +r R y . Para o potencial elétrico em P, ele contribui 
com a parcela:
0 0
1
4
 
= −  
dQ dQ
dV
r rpiε
Com V = 0 no infinito, faz‑se r0 = ∞, resultando em:
0
1
4
=
dQ
dV
rpiε
2 2
0
1
4
=
+
dQ
dV
R ypiε
 , totalizando as parcelas dQ, vem:
2 2
0
1
4
=
+
Q
V
R ypiε
b) ( )
 
= −
d
E V y
dy
 
2 2
0
1
 4
  
= −  
+  
d Q
E
dy R ypiε
 
2 2
0
1
4 
  
= −  
+  
Q d
E
dy R ypiε
( ) 12 2 2
04 
− 
= − +  
Q d
E R y
dypiε 
( ) 32 2 2
0
1
( ) 2
4 2
−
= − − +
Q
E R y y
piε
 
( ) 32 2 2
04
−
= +
Q
E R y y
piε
 
 ( )
3
2 20 2
4
=
+
Q y
E
R y
piε
 ( )
3
2 20 2
 
4
ˆ=
+
 Q y
E j
R y
piε
Pode‑se também verificar que na condição de y>>R o campo elétrico tende ao resultado previsto do 
campo da carga elétrica puntiforme. Vejamos:
�y R ( ) ( )
3 3
2 2 2 32 2+ ≅ ≅R y y y
 
3
0
ˆ 
4
=
 Q y
E j
ypiε 
2
0
1
 
4
ˆ=
 Q
E j
ypiε
5. Um disco circular de raio R0 é eletrizado uniformemente com densidade superficial de carga 
elétrica σ. Adotar V = 0 no centro do disco. Determinar o potencial elétrico V nos pontos do eixo de 
revolução, em função da distância y ao centro do disco. Em particular, estudar o caso cujo raio do disco 
cresce irrestritamente.
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Unidade I
σ
Figura 52
Solução:
O potencial elétrico produzido no ponto P por coroas concêntricas de carga elétrica dQ = σ2πrdr é 
expresso por:
0
1 1
4
 
= −  
dQ
dV
r Rpiε 
2 2
= +r R y 0
1 1 1
2
4
 
= −  dV RdRr R σ pipiε
0
2 1 1
4
 
= −  dV RdRr R
σ pi
piε 0
1 1
2
 
= −  dV RdRr R
σ
ε 
2 2
0
1 1
2
  
= − 
+  
dV RdR
RR y
σ
ε
2 2
02
  
= − 
+  
RdR
dV dR
R y
σ
ε
 
0 0
2 2
0 0 02
  
= − 
+  ∫ ∫
R R
RdR
V dR
R y
σ
ε
0
02 2
0
002
 
= + −  
R
R
V y R R
σ
ε 
( )2 20 0
0
( )
2
= + − −V y y R y R
σ
ε
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ELETRICIDADE BÁSICA
Caso o raio do disco cresça até que R0>>y, então:
2 2
2 2
0 0 0
0 0
1
1 1
2
    
+ = + ≅ +        
y y
y R R R
R R

2 2 2
2 2
0 0 0 0 0 0 02
0 00
1 1 1
1
2 2 2
  
+ − − ≅ + − − = + − − = − +    
y y y
y R y R R y R R R y R y
R RR

Supondo que R0 → ∞ vem 
2
0
1
2
→
y
zero
R
, portanto, 2 2
0 0+ − − ≅ −y R y R y , logo:
( )
02
= −V y y
σ
ε
6. Uma película esférica de raio R está uniformemente eletrizada com uma carga elétrica Q. Adotar 
V = 0 no infinito. Determinar o potencial elétrico V(r) produzido pela película a partir do campo elétrico.
Solução:
= −

dV E dl =

E dl Edr = −dV Edr 
( )
( )∞ ∞
= −∫ ∫
V r r
V
dV Edr
( ) ( )
∞
− ∞ = −∫

zero
r
V r V Edr
 
( )
∞
= −∫rV r Edr
Tabela 4 
Campo elétrico (película esférica)
 R < r ≤ ∞
 
2
0
1
4
=
Q
E
rpiε
0 ≤ r < R E = 0
< ≤ ∞R r ( )
∞
= −∫rV r Edr ( ) 2
0
1
4
∞
= − ∫rQV r drrpiε ( ) ( )0
1
1
4
∞
 
= − −   
r
Q
V r
rpiε
( )

0
1 1
4
   
= − ∞   
zero
Q
V r
rpiε 
( )
0
1
4
=
Q
V r
rpiε
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 -
 D
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am
aç
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 -
 2
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01
/1
7
Unidade I
0 ≤ <r R ( ) 
∞
= −∫rV r E dr ( )

 
∞
= − −∫ ∫
zero
R r
R
V r E dr E dr
( ) 
∞
= −∫RV r E dr
 
( ) 2
0
1
4
∞
= − ∫RQV r drrpiε ( ) ( )0
1
1
4
∞
= − −
R
Q
V r
rpiε
( )

0
1 1
4
 
  
= − ∞   
zero
Q
V r
Rpiε
 
( )
0
1
4
=
Q
V r
Rpiε
7. O plano z0x está eletrizado uniformemente com densidade superficial de carga σ. Adotar V = 0 no 
plano y = 0. Determinar, através do campo elétrico, o potencial elétrico em um ponto P de ordenada y > 0.
Solução:
 = −

dV E dl 
ˆ =

E E j 
ˆ = −

dV E j dl 
ˆ =

j dl dy
 = −dV E dy 
( )
(0) 0
 = −∫ ∫
V y y
V
dV E dy ( ) ( )0 ( 0)− = − −V y V E y
( )0 0=V ( ) = −V y E y 
02
=E
σ
ε 
( )
02
= −V y y
σ
ε

8. Um plano está eletrizado com densidade superficial de carga elétrica σ, no vácuo. Qual é a distância 
entre superfícies equipotenciais de tensão ∆V?
Dados: 6 2
1,1
10 
2
−
=
C
m
σ
pi
 1000 ∆ =V V 
2
12
0 2
8,85 10−=
C
Nm
ε 
Solução:
02
∆ =V dσ
ε
 02
∆
=
V
d ε
σ 
12
6
1000
2 8.85 10
1.1
10
2
−
−
=d
pi
  

 0,10 =d m
9. Em uma ampola esvaziada, há dois eletrodos entre os quais se mantém a diferença de potencial 
elétrico ∆V. Do catodo, que é negativo, parte um elétron; do ânodo, que é positivo, parte um íon positivo, 
ambos inicialmente em repouso. Determinar a velocidade que cada partícula atinge no eletrodo oposto.
Dados: qelétron = ‑ 1,6 . 10
‑19 C melétron = 9,11 . 10
‑31 kg qíon = + 1,6 . 10
‑19 C
3116762,4 10 −=íonm kg 10000 ∆ =V V
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ELETRICIDADE BÁSICA
Solução:
21
2
∆ =q V mv
 
2 .∆
=
q V
v
m
2 .∆
=
elétron
elétron
elétron
q V
v
m 
19
31
2.1.6.10 10000
9.11.10
.−
−
=elétronv
 
75,93.10 =elétron
m
v
s
2 .∆
=
íon
íon
íon
q V
v
m 
19
31
2.1.6.10 10000
16762.4.1
.
0
−
−
=íonv
 
61,38.10 =íon
m
v
s
10. Qual é a energia necessária para constituir um sistema formado por três cargas elétricas 
puntiformes idênticas, com cada uma de magnitude q, sendo que as cargas são mantidas fixas em 
distâncias iguais entre si de magnitude L.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10 
4
=
Nm
Cpiε
 
61 10 −=q C 10 =L m
Solução:
2 2
0 0
1 1
 2 
4 4
= +
q q
U
L Lpiε piε 
2
0
1
3 
4
=
q
U
Lpiε 
6 2
9 (1 10 )3 9 10
10
−
=U

  
U = 0,0027J
Exemplo de aplicação
1. No triângulo da figura a seguir, a partícula de massa m e carga elétrica q é liberada do repouso no 
ponto A, sendo acelerada pelas duas cargas elétricas de mesma magnitude Q, que são mantidas fixas. 
Pedem‑se:
a) o potencial elétrico nos pontos A e B;
b) a velocidade com que a partícula atinge o ponto B.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10
4
=
Nm
Cpiε
 a = 6m b = 8m Q = 0,005 C m = 0,004 kg q = ‑ 0,02 C
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Unidade I
Figura 53
Resposta: 2449,5=
m
v
s
2. Um anel de centro 0 e raio R está eletrizado uniformemente com carga elétrica Q. Uma partícula 
de massa m e carga elétrica q é lançada com velocidade inicial v0, a partir de um ponto P que está 
numa distância x0 do centro do anel. Determine a velocidade mínima v0, de maneira que a partícula não 
retorne mais à posição inicial.
Dados: 
2
9
2
0
1
9 10
4
=
Nm
Cpiε
 R = 1,5m x0 = 2m Q = 0,0025 C m = 0,08kg q = ‑ 0,05 C
Anel eletrizado
Figura 54 
Resposta: 0 3354,1 =
m
v
s
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ELETRICIDADE BÁSICA
 Resumo
Nesta unidade, estudamos os fundamentos da eletricidade, que está 
presente no dia a dia de todos nós. Iniciamos com a estrutura do átomo, 
que possui um núcleo com prótons (cargas positivas) e nêutrons (cargas 
negativas), bem como uma eletrosfera com elétrons. A carga elétrica 
do elétron é –1,6.10‑19 C e a do próton vale +1,6.10‑19 C. Verifica‑se 
experimentalmente que cargas de mesmo sinal se repelem e de sinais 
diferentes se atraem.
Charles Augustin Coulomb (1783), físico francês, descobriu uma fórmula, 
a Lei de Coulomb, para calcular a força de atração ou repulsão entre cargas 
elétricas. Demonstrou‑se que a força entre duas cargas é diretamente 
proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional à distância 
que as separa. Se houver uma distribuição discreta de cargas para calcular 
a força resultante sobre uma carga de prova q, se aplicará o princípio da 
superposição, isto é, a força resultante será igual à soma vetorial das forças 
componentes.
Quando uma carga elétrica Q for distribuída sobre o corpo, será 
necessário dividi‑lo em partes infinitesimais dQ para equacionar o elemento 
de força dF e, em seguida, aplicar o princípio da superposição e obter, por 
integração, a força resultante F.
A carga elétrica gera campo elétrico à sua volta. Uma carga Q, fixa no 
ponto O, cria‑se o campo E no ponto P. Colocando‑se uma carga de prova 
q no ponto P, surge a força F=q E.
Pela Lei de Coulomb, o campo elétrico é diretamente proporcional à 
carga Q e inversamente proporcional ao quadrado da distância r.
Para várias cargas puntiformes fixas em vários pontos P1 (Q1), P2 (Q2), 
......, PN (QN), o campo elétrico resultante no ponto P será a soma vetorial dos 
campos produzidos por cada carga (princípio da superposição).
Quando uma carga elétrica Q for distribuída sobre o corpo, este se 
dividirá em partes infinitesimais dQ e será equacionado o elemento de 
campo elétrico dE no ponto P. Aplica‑se o princípio da superposição, e por 
integração obtém‑se o campo elétrico resultante.
A partícula eletrizada, movendo‑se em região com campo elétrico, 
sofre uma força elétrica que produz, na partícula, aceleração ou variação 
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7
Unidade I
da velocidade com o tempo, realizando trabalho. A variação da energia 
cinética da partícula, por sua vez, é calculada pelo trabalho da força 
resultante sobre ela. Há forças que possuem a propriedade do trabalho e 
não dependem da trajetória percorrida pela partícula entre dois pontos 
fixos. Estas são chamadas de forças conservativas – a força elétrica 
é uma delas – e definem os conceitos de energia potencial elétrica e 
potencial elétrico.
Por exemplo, em um ponto fixo O situa‑se uma carga Q. No campo 
dessa carga, transporta‑se a carga de prova P(q) desde um ponto qualquer 
A até um ponto qualquer B. Na posição genérica P, a carga q sofre, por 
parte da carga Q, a força F. O trabalho da força elétrica não depende da 
particular trajetória entre os pontos A e B, mostrando, de fato, que a força 
elétrica é conservativa e, por isso, admite energia potencial. Para determinar 
a energia potencial elétrica de uma carga puntiforme, adota‑se um ponto 
de referência P0, escolhido de forma arbitrária e, neste ponto, a energia 
potencial é igual a zero.
A posição deste ponto de referência vai depender da geometria 
de distribuição da carga elétrica, que produzo campo elétrico ao qual 
é submetida a carga de prova. No caso mais simples, ao considerar o 
campo elétrico criado por uma carga puntiforme Q, adota‑se o ponto de 
referência no infinito.
Considera‑se, portanto, que a energia potencial U da carga de prova, 
em ponto P qualquer, como sendo o trabalho produzido pela força elétrica 
quando essa carga for transportada do ponto P até o infinito.
A carga elétrica produz ao seu redor campo elétrico e potencial 
elétrico, e este, em um ponto qualquer, é a energia potencial elétrica 
U por unidade de carga elétrica q nesse ponto. O potencial elétrico é 
diretamente proporcional à carga elétrica e inversamente proporcional 
à distância ao ponto P. O potencial elétrico e o campo elétrico estão 
relacionados pela equação dV = – E x dl. Na área elétrica, considera‑se 
potencial igual a zero na Terra.