Exercícios Sistemas Lineares Completo

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SISTEMAS LINEARES
1) Resolva os seguintes sistemas pelo método de Cramer:
a) 
b) 
 Resp.: S = 
c) 
 Resp.: Vazio
d) 
 Resp.: S = {(1, 2, -1}
e) 
 Resp.: S = {(1, 2, -1)}
f) 
 Resp.: S = {(3, 2, 2)}
g) 
 Resp.: S = {(1, 2, 3)}
h) 
 Resp.: S = {(2, 2, 4)}
i) 
 Resp.: S = {(-1, 2, 2)}
j) 
 Resp.: S = {(1, -1, 2)}
k) 
 Resp.: S = {(-2, 3, 1)}
l) 
 Resp.: S = {(2, 0, 5)}
m) 
 Resp.: S = {(2, 3, 5)}
2) Resolva e classifique os Sistemas Lineares por Escalonamento:
a) 
b) 
 Resp.: SPI – S = {(14k, -9k, k)}
c) 
 Resp.: SPD – S = {(1, -1, 2)}
d) 
 Resp.: SPD – S = {(1, -1, 3)}
e) 
 
Resp.: SPI – S = {(0, 2K+1, K)}
f) 
 Resp.: SI – S = Vazio
g) 
 
Resp.: SPD – S = {(31/7, -15/7, -2)}
h) 
 
Resp.: SPD – S = {(-1, 0, 1, 2)}
i) 
 Resp.: SPD – S = {(1, 1, 2)}
j) 
Resp.: SPI – S = {(6k - 5, 3 - k, k)}
k) 
Resp.: SPI – S = {(1 – 5k/7, - k/7, k)}
l) 
Resp.: SPI – S = {(5 – 3k, 2 – k, k)}
m) 
 Resp.: SPI – S = {(3 – 3k, k - 2, k)}
n) 
Resp.: SPI – S = {(2 – k, 2k + 2, k)}
o) 
Resp.: SPI – S = {(1 – 5k/7, - k/7, k)}
p) 
Resp.: SPI – S = {(3 – 3k, k – 2, k)}
q) 
 Resp.: S = {(-1, 1, 2)}
r) 
 Resp.: SPD – S = {(3, -1, 2)
3) Discuta os Sistemas Lineares:
a) 
b) 
 Resp.: m ≠ 4 (SPD); m = 4 (SI)
c) 
 
Resp.: m ≠ -1 (SPD); m = -1 (SPI)
d) 
 Resp.: m ≠ -2 (SPD); m = -2 (SPI)
e) 
 Resp.: m ≠ 1 e m ≠ 2 (SPD); m = 1 (SI); m = 2 (SI)
f) 
 Resp.: a ≠ 1(SPD); a = 1 e b = 2 (SPI); a = 1 e b ≠ 2 (SI)
g) 
 Resp.: a ≠ 1(SPD); a = 1 e b = 1 (SPI); a = 1 e b ≠ 1 (SI)
h) 
 
Resp.: a ≠ 3 e a ≠ -7 (SPD); a = 3 e b = 2 (SPI); a = 3 e b ≠ 2 (SI); a = -7 e b = -4 (SPI); a = 7 e b ≠ -4 (SI)
i) 
 Resp.: k ≠ 1(SPD); k = 1 (SPI)
j) 
 
Resp.: k ≠ 3 e k ≠ -8 (SPD); k = 3 ou k = -8 (SPI)
k) 
 Resp.: a = 4 (SPI); a ≠ 4 (SI)
l) 
 Resp.: m = 3 (SPI); m ≠ 3 (SI)
APLICAÇÕES DE SISTEMAS LINEARES
1. 
2. Numa lanchonete os pastéis têm preço único e os refrigerantes também. Nesta lanchonete, paguei R$ 5,80 por 5 pastéis e 3 copos de refrigerante e meu amigo pagou R$ 3,60 por 3 pastéis e 2 copos de refrigerante. Qual o preço do pastel e do refrigerante? 
Resposta: S = {(0,80; 0,60)}
3. Um caminhão-baú pode levar, no máximo, 58 caixas do tipo A ou B, de mesmo tamanho. Elas têm, respectivamente 56 kg e 72 kg. A carga máxima para esse caminhão é de 3,84 toneladas em cada viagem. Quantas caixas de cada tipo são transportadas por esse caminhão, estando ele com a capacidade máxima ocupada?
Resposta: S = {(21,37)}
4. Ao voltar de uma viagem à Europa, Carlos trouxe 100 moedas de três tipos:
	Peso em Gramas
	Valor em $
	Tipo 1
	3
	10
	Tipo 2
	5
	20
	Tipo 3
	9
	50
Se o peso total das 100 moedas era de 600 gramas e o valor total que ele trouxe foi de 2.800 dólares calcule quantas moedas de cada tipo tem Carlos.
Resposta: Tipo 1 = 10; Tipo 2 = 60; Tipo 3 = 30
5. Um nutricionista pretende misturar três tipos de alimentos (A, B e C) de forma que a mistura resultante contenha 3.600 unidades de vitaminas, 2.500 unidades de minerais e 2.700 unidades de gorduras. As unidades por grama de vitaminas, minerais e gorduras dos alimentos constam da tabela abaixo:
	Vitaminas
	Minerais
	Gordura
	A
	40
	100
	120
	B
	80
	50
	30
	C
	120
	50
	60
Quantas gramas do alimento C devem compor a mistura?
Resposta: 20 gramas
6. Na feira, uma dona-de-casa verificou que as barracas A, B e C tinham preços diferentes por quilo de produto, conforme a tabela abaixo:
	Tomate
	Batata
	Cebola
	A
	R$ 40,00
	R$ 50,00
	R$ 30,00
	B
	R$ 50,00
	R$ 40,00
	R$ 40,00
	C
	R$ 50,00
	R$ 40,00
	R$ 30,00
Comprando x quilos de tomates, y quilos de batatas e z quilos de cebolas, tanto na barraca A quanto na B, a dona-de-casa gastaria a mesma quantia: RS 260,00; comprando as mesmas quantidades na barraca C, ela economizaria RS 10,00. 
Determine x + y + z. 
Resposta: 6
7. Num concurso publico, foram realizadas três provas, com 10 questões em cada uma. Cada questão valia um ponto, mas os pesos x, y e z das provas, nessa ordem, eram diferentes. O primeiro classificado no concurso, que acertou 8 questões na primeira prova; 9, na segunda, e 10, na terceira, obteve, no final, um total de 93 pontos. O segundo classificado acertou, nessa mesma ordem, 9, 9 e 7 questões, totalizando 80 pontos. O terceiro classificado acertou 8, 8 e 7 questões, respectivamente, atingindo a soma de 75 pontos no final. Calcule os pesos x, y e z.
Resposta: S = {(2, 3, 5)}
8. Uma loja vende certo componente eletrônico, que é fabricado por três marcas diferentes: A, B e C. Um levantamento sobre as vendas desse componente, realizado durante três dias consecutivos, revelou que:
· no 1° dia foram vendidos dois componentes da marca A, um da marca B e um da marca C, resultando num total de R$ 150,00 em vendas;
· no 2º dia, foram vendidos quatro componentes da marca A, três da marca B e nenhum da marca C, num total de R$ 240.00;
· no último dia, não houve vendas da marca A, mas foram vendidos cinco da marca B e três da marca C, totalizando R$ 350,00.
Qual é o preço do componente fabricado por A, B e C?
Resposta: Componente A: R$ 30,00 - B: R$ 40,00 
C: R$ 50,00
9. Em um estacionamento há motos e carros, num total de 79 veículos e 248 rodas. Qual é o número de motos no estacionamento? E o número de carros?
Resposta: 34 motos e 45 carros
10. Em um baile, o convite vendido para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$ 10,00. Sabendo que o número de mulheres que foram ao baile excede de 5 o número de homens e que, ao todo, foram arrecadados R$ 550,00, pergunta-se: Qual é o número de homens que foram ao baile?	
Resposta: 20 homens
11. Os alunos do 2° grau de uma escola do interior organizaram uma festa junina no pátio da escola. Havia várias opções de divertimento: quadrilha, bingo, gincanas, etc. Três barracas, B1, B2 e B3, distribuídas no pátio, ofereciam exatamente as mesmas opções de alimentação: churrasco, quentão e pastel; cada uma dessas três opções tinha o mesmo preço nas três barracas. Ao final da noite, encerrada a festa, fez-se um balanço sobre o consumo nas barracas e verificou-se que:
· na barraca B1 foram consumidos 28 churrascos, 42 quentões e 48 pastéis, arrecadando um total de R$ 102,00;
· na barraca B2 foram consumidos 23 churrascos, 50 quentões e 45 pastéis, arrecadando um total de R$ 95,00;
· na barraca B3, foram consumidos 30 churrascos, 45 quentões e 60 pastéis, arrecadando um total de R$ 117,00.
Qual é o preço de um churrasco? E de um quentão? E de um pastel?
Resposta: Churrasco = R$ 1,50; Quentão = R$ 0,40; Pastel = R$ 0,90
12. No ano de 1998, Maurício, Mirandinha e Juliano concorreram à presidência do Grêmio Estudantil da Escola Nóbrega. O presidente é eleito pelos alunos através de voto direto e secreto. Cada eleitor vota em dois candidatos de sua preferência. Apurados os votos, verificou-se que: Maurício e Mirandinha tiveram 1.060 votos; Maurício e Juliano. 1.070 votos e Mirandinha e Juliano 1.050 votos. Com quantos votos foi eleito o presidente? Quem é ele?
Resposta: Maurício com 540 votos
13. Numa lanchonete, Márcio come três pastéis e toma um refrigerante, e sua amiga Marta come dois pastéis e toma dois refrigerantes. Cada um paga a sua despesa. Ele paga R$ 3,60, e ela, R$ 4,00. Na mesa ao lado, um grupo de estudantes come 15 pastéis e toma 8 refrigerantes. Qual o valor dessa despesa?
Resposta: R$ 21,60
14. (Unicamp-SP) Um copo cheio de água pesa 385 g; com 2/3 de água, pesa 310 g. Pergunta-se:
	
	a) Qual é o peso do copo vazio? 
	b) Qual é o peso do copo com 3/5 de água?
Resposta: a) 160 g - b) 295 g
15. Dona Elza deu R$ 13,50 para sua filha comprar tantos sabonetes e tantas pastas dentais. Nem precisou falar de que marca, pois isso a menina já sabia. Só recomendou que ela não se esquecesse de pegar o troco. No supermercado, a menina pegou 4 sabonetes e 6 pastas. Quando a moça do caixa avisou que faltavam R$ 0,30, ela pensou: "Se o dinheiro não deu para comprar 4 sabonetes e 6 pastas, então minha mãe deve ter pedido 6 sabonetes e 4 pastas". E fez a troca. Voltando ao caixa, recebeuR$ 0.30 de troco. Qual era o preço de cada sabonete comprado?
Resposta: R$ 1,20
16. (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
· Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
· Carlos e Andréia pesam 123 kg;
· Andréia e Bidu pesam 66 kg.
Nessas condições, determine a peso de cada um deles. Resposta: Andréia = 51 kg; Carlos = 72 kg e
Bidu = 15 kg
17. (UDF) Um aluno ganha 5 pontos por exercício que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou?
Resposta: 35 acertos
18. (Unifor-CE) Sejam X, Y e Z três artigos distintos que são vendidos em certa loja. Sabe-se que: X custa tanto quanto Y e Z juntos; o preço de Y é a diferença entre o dobro do de X e 50 reais; o preço de Z é a diferença entre o triplo do de Y e 80 reais. Nessas condições, pela compra dos três artigos, sendo um único exemplar de cada tipo, deverão ser desembolsados: 
Resposta: R$ 80,00
19. Quatro colegas de classe possuem R$ 225,00. Todos terão a mesma importância se o segundo der R$ 10,00 ao primeiro, se a importância do terceiro for dobrada e se da importância que tem o quarto, for subtraída a metade. Quanto tem cada um? (Sugestão: arme um sistema de 4 equações com 4 incógnitas.)
Resposta: R$ 40,00 – R$ 60,00 – R$ 25,00 – R$ 100,00
20. Durante uma semana o Shopping Ubirama reservou uma área para as crianças brincarem sobre rodas e colocou à disposição bicicletas (2 rodas), triciclos (3 rodas) e carrinhos (4 rodas). Ao final da promoção, devido ao desgaste, tiveram que trocar todos os pneus. Entre bicicletas e triciclos foram trocados 90 pneus, entre bicicletas e carrinhos, 130 e entre triciclos e carrinhos, 160. Quantas eram as bicicletas que estiveram à disposição das crianças?
Resposta: 15 bicicletas
21. Na feira, uma das barracas de frutas estava vendendo embalagens com 10 pêras, 5 maçãs e 4 mangas por 11 reais; outra barraca vendia um pacote contendo 8 pêras, 6 maçãs e 4 mangas por 10 reais, e uma terceira vendia 6 pêras e 12 maçãs por 9 reais. Na verdade, só havia mudança na quantidade de cada pacote porque o preço de cada espécie de fruta era o mesmo nas três barracas. Qual o preço a se pagar por 3 pêras, 2 maçãs e 2 mangas em qualquer dessas barracas?
Resposta: R$ 3,90
22. (Vunesp-SP) Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não-sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1.400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, o número de sócios presentes ao show é:
Resposta: 120 pessoas
23. (UCS-BA) Xisto, Yuri e Zoltan tinham, juntos 97 figurinhas. Xisto deu a metade de suas figurinhas a Yuri e este ficou com 13 figurinhas a mais que Zoltan. Em seguida, Zoltan deu a metade de suas figurinhas a Xisto, que ficou então com 9 figurinhas a menos que Yuri. O número de figurinhas que Yuri tinha inicialmente era? Resposta: 25 figurinhas
24. (UEL-PR) Numa loja, os artigos A e B, juntos, custam RS 70,00, dois artigos A mais um C custam RS 105,00 e a diferença de preço entre os artigos B e C, nessa ordem, é RS 5,00. Qual é o preço do artigo C? Resposta: R$ 25,00
25. (UFPE) Eric necessita de complementos das vitaminas A e C. Diariamente ele precisa de pelo menos 63 unidades de A e no mínimo 55 unidades de C. Ele pode escolher entre os compostos I e II que apresentam, por cápsula, as características abaixo:
	Composto
	Vitamina A
	Vitamina C
	Valor R$
	I
	7 un
	4 un
	0,70
	II
	4 un
	5 un
	0,50
Qual gasto mínimo diário de Eric, em reais, com os compostos I e II? Resposta: R$ 7,00
26. Calcule as intensidades das correntes i1, i2 e i3 no circuito da figura abaixo.
Informações complementares:
Pela lei dos nós de Kirchhoff:
i1 = i2 + i3 i1 - i2 - i3 = 0
Pela lei das malhas de Kirchhoff:
· Para a malha I: +50 - 5i1 - 20i3 = 0 5i1 - 20i3 = 50
· Para a malha II: 30 + 20i3 - 10i2 = 0 10i2 - 20i3 = 30
Resposta: S = {(6,5,1)}
27. (Fesp-SP) Uma pessoa alimenta seu cão combinando o conteúdo de duas marcas de rações preparadas pelos fabricantes X e Y. A tabela abaixo discrimina a quantidade de unidades de vitaminas e de sais minerais em cada saco de ração e a quantidade mínima de unidades que o cão deve consumir:
	
	Ração X
	Ração Y
	Mínimo
	Vitaminas
	40
	20
	200
	Sais Minerais
	20
	40
	200
Se o saco da ração X custa R$ 10,00 e o da Y custa R$ 15,00, determine o inteiro mais próximo do total de sacos a serem comprados de modo a minimizar os custos e satisfazer as quantidades mínimas requeridas. Resposta: 7 sacos
28. (UF-MG) Em três tipos de alimentos verificou-se que, para cada grama:
a) o alimento I tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B e 8 unidades de vitamina C;
b) o alimento II tem 2 unidades de vitamina A, 1 unidade de vitamina B e 5 unidades de vitamina C;
c) o alimento III tem 3 unidades de vitamina A, não contém vitamina B e tem 3 unidades de vitamina C.
Ache todas as possíveis quantidades dos alimentos I, II e III que forneçam, simultaneamente, 11 unidades de vitamina A, 3 de vitamina B e 20 de vitamina C.
Resposta: 
29. (UFU-MG) Um sitiante utiliza milho, farelo de trigo e alfafa para alimentar seus porcos. O número de unidades de cada tipo de ingrediente nutricional básico encontrado num quilo de cada alimento é dado na tabela abaixo, juntamente com as necessidades diárias de cada porco: 
	
	Ingrediente Nutricional
	Vitaminas
	Carboidratos
	Proteína
	Vitaminas
	Quilo de
Milho
	40
	30
	10
	Quilo de 
Farelo de Trigo
	20
	40
	20
	Quilo de 
Alfafa
	20
	40
	40
	Necessidade Diária
	110
	120
	70
Determine quantos quilos de milho, farelo de trigo e alfafa cada porco deve consumir por dia para satisfazer suas necessidades de nutrientes.
Resposta: 2 kg de milho; ½ kg de trigo e 
1 kg de alfafa.
30. (UFES) Examinando os anúncios abaixo, conclua o preço de cada faca, garfo e colher.
31. Sabe-se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades de vitamina A, 180 unidades de vitamina B, 140 unidades de vitamina C, 180 unidades de vitamina D e 350 unidades de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram estudados cinco alimentos. Fixada a mesma quantidade (1 g) de cada alimento, determinou-se que:
· O alimento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 unidade de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E. 
· O alimento II tem 9 unidades de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 0 unidade de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E.
· O alimento III tem 2 unidades de A, 2 unidades de B, 5 unidades de C, 1 unidade de D e 2 unidades de E. 
· O alimento IV tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 2 unidades de D e 13 unidades de E.
· O alimento V tem 1 unidade de A, 1 unidade de B, 1 unidade de C, 9 unidades de D e 2 unidades de E.
Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada?
Resposta: Alimento I = 10; II = 10; III = 20; 
IV = 20; V = 10
Resposta: Faca: R$ 5,50; Colher: R$ 3,00 e 
Garfo: R$ 4,00
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