Fisica - Campo Elétrico, Dipolo Elétrico e Lei de Gauss

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Prof. Jerias Batista, DEFIS – UFMA. Eletromagnetismo Básico (Física III). Parte III: Sobre Campo Elétrico, Dipolo Elétrico e lei de Gauss. 
Curso: Física (Licenciatura/Bacharelado) 
Disciplina: Física III (Eletromagnetismo Básico) 
 
Parte III: Sobre Campo Elétrico, Dipolo Elétrico e lei de Gauss 
 
 
1. Conceitos fundamentais a serem aprendidos 
 
1. O campo ele trico e uma propriedade do espaço, na o dos objetos eletrificados. Mas podemos conecta -lo aos 
objetos com carga 𝑞 a partir da força exercida sobre eles, mediante o monitoramento de seus movimentos. 
No a mbito desta conexa o, podemos dizer que o campo ele trico representa a força ele trica por unidade de 
carga sobre o corpo no lugar onde ele se encontra. Segundo a teoria fí sica denominada Modelo Padra o, um 
campo ele trico de fundo (ou intrí nseco) preenche todo o Universo. Pares de partí culas virtuais (os modos 
normais de vibraça o deste campo de fundo), predominantemente pares ele trons-po sitrons, sa o criadas e 
destruí das em um intervalo de tempo de vida menor do que o possí vel para que seja observado, limitado pelo 
Princípio de Incerteza. Esses pares de partí culas agem como dipolos elétricos (duas cargas de mesmo valor e 
sinais contra rios). Em raza o da modificaça o do campo intrí nseco pela carga ele trica de uma partí cula real de 
carga 𝑞, os dipolos se alinham de modo que seus campos se contrapo em ao campo externo produzido por 𝑞, 
reduzindo seu valor. Este raciocí nio nos permite explicar melhor a origem da permissividade ele trica do 
va cuo, 𝜀0, que aparece em todas as equaço es do eletromagnetismo. O valor de 𝜀0 depende do sistema de 
coordenadas utilizado, mas ela e uma propriedade do espaço que tem relaça o com a polarizaça o do va cuo. O 
valor na o nulo dessa constante ele trica 𝜀0, assim como o de sua contrapartida magne tica 𝜇0, determinam o 
valor finito para a velocidade da luz no va cuo. Se 𝜀0 fosse nulo o valor de 𝑐 poderia ser infinito. Mas na o e ! 
 
2. O campo ele trico pode ser descrito por duas abordagens: alge brica e geome trica. Na abordagem geome trica, 
o campo ele trico e representado por linhas em cuja direça o e sentidos esta o os vetores forças exercidas sobre 
uma carga de prova positiva. As linhas de campo se originam nas cargas positivas e terminam nas cargas 
negativas. Se houvesse somente uma carga positiva no Universo, suas linhas de campo começariam nela e 
terminariam no infinito. No caso de cargas negativas, as linhas de campo começariam no infinito e 
terminariam nelas. Mas na natureza onde temos uma carga positiva sempre temos uma carga negativa por 
perto. 
 
3. O campo ele trico de uma carga pontual e radial, proporcional ao valor da carga e inversamente proporcional 
ao quadrado da dista ncia da carga. O mesmo resultado vale para uma distribuiça o de cargas com simetria 
esfe rica. Para os outros tipos de distribuiça o com diferentes simetrias, a intensidade do campo ele trico 
depende de alguma pote ncia 1/𝑟𝑛 , com 𝑛 ≠ 2. 
 
4. Dipolo ele trico consiste de um arranjo formado por duas cargas de mesma magnitude e sinais contra rios. 
Depois do oscilador harmônico e os gases ideais, estudados em Fí sica II, este e o terceiro modelo matema tico 
fundamental estudado no curso de Fí sica ate aqui. Veremos que o dipolo ele trico e a distribuiça o de carga 
mais importante da natureza, uma vez que todas as mole culas, ce lulas e materiais te m sua existe ncia graças 
a formaça o dos dipolos ato micos no sei interior. As explicaço es e aplicaço es para os dipolos esta o em todas 
as partes. So para mencionar uma delas, temos o feno meno da piezoeletricidade. Este feno meno consiste: 
A) Na geração de uma diferença de potencial no material quando ele está sujeito à uma pressão mecânica 
externa. Isto acontece porque quando o material esta sob pressa o ele altera suas dimenso es por uma 
pequena quantidade, o que faz produzir dipolos ele tricos internos. O efeito global dos dipolos resulta em 
uma diferença de potencial que pode ser muito grande. Como aplicaça o deste efeito temos: 
• Microfones: quando a onda sonora atinge um diafragma piezoele trico este ele oscila na mesma 
freque ncia da onda sonora e produz uma voltagem. Atrave s de um circuito ele trico a corrente gerada 
por esta voltagem e amplificada e enta o enviada para o autofalante. Por causa da rapidez com que os 
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dipolos sa o criados, a resposta da membrana e imediata, e assim a freque ncia da corrente enviada 
para o autofalante e a mesma da onda sonora, o que resulta em grande fidelidade entre os sons 
produzidos por uma pessoa e aquele que sai do alto-falante. Em outras palavras, o diafragma 
transforma pressa o em corrente ele trica e o timbre do som emitido pelo autofalante e o mesmo da 
fonte da onda sonora original. A Figura 1 mostra o diafragma de um microfone do tipo condensador, 
o melhor microfone usado atualmente. Graças aos avanços tecnolo gicos, alguns diafragmas sa o 
muito menores do que 1 mm de dia metro, como os usados nos microfones dos celulares, tabletes e 
ca meras fotogra ficas. 
 
Figura 1 – Diafragma de um microfone moderno. 
 
• Audição humana: quando uma onda sonora atinge o tí mpano, uma membrana flexí vel a qual esta o 
ligadas uma seque ncia de tre s ossos (martelo, bigorna e estribo), ela e transmitida para a co clea, uma 
ca mara no formato de um caracol cheia de lí quido dentro do qual se encontram pequenos filamentos 
bem flexí veis denominados de estereocí lios. Quando a onda de pressa o passa por estes filamentos 
eles se movem de um lado para outro na direça o do movimento da onda. A distorça o nesses 
filamentos produz dipolos ele tricos em suas ce lulas. Os estereocí lios esta o conectados ao nervo 
acu stico por meio do qual a corrente ele trica transporta a informaça o da onda sonora ate o ce rebro, 
onde ela e processada e armazenada. A Figura 2 mostra a imagem de um conjunto de estereocí lios 
do ouvido de um sapo, obtida por Microscopia Eletro nica. 
 
 
Figura 2 – Estereocílios, os sensores piezoelétricos do ouvido. 
 
B) Na mudança das dimensões do material quando ele é sujeito à uma diferença de potencial. Isto acontece 
porque quando o material esta sob uma diferença de potencial ele fica polarizado. O efeito global dos 
dipolos resulta em aumento nas dimenso es do material. Como aplicaça o deste efeito temos: 
• Motores: Existe uma enorme quantidade de aplicaço es para esses motores, sobretudo em 
microeletro nica e nanoeletro nica. A grande vantagem deles esta na possibilidade de miniaturizaça o 
e da grande precisa o dos movimentos. A Figura 3 mostra um motor desse tipo perto de um palito de 
fo sforo, para fins de comparaça o. Eles sa o usados em ca meras fotogra ficas (de celulares ou na o) para 
mudar a posiça o das lentes. Sem esse tipo de motor seria impossí vel existirem te cnicas de grande 
precisa o tais como as Microscopia Eletro nica (usa ondas de ele trons), Microscopia de Força Ato mica 
(usa a força entre a tomos) e Microscopia de Tunelamento Qua ntico (usa a corrente entre a tomos). 
Todas elas precisam de um motor piezoele trico para movimentar a amostra exposta a um feixe de 
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ele trons, no primeiro caso, e de uma agulha nanome trica, nos dois u ltimos casos. Alguns desses 
motores te m movimentos controlados a dista ncias de ate 100 vezes menores do que o dia metro de 
um a tomo! 
 
 
Figura 3 – Exemplo de um motor piezoelétrico. 
 
• Sensores: Existem muitas aplicaço es para sensores piezoele tricos. Como todos os relo gios medem 
a passagem do tempo? Sejam eles de pulso (analo gico ou digital) ou o relo gio do seu computadorou 
celular, todos eles usam um cristal de quartzo, que e um material piezoele trico. Quando uma la mina 
desse material e conectada aos polos de uma bateria ele se polariza e vibra com uma velocidade de 
exatamente 32.768 vezes por segundo. Por ser muito esta vel sob grande intervalo de temperatura, 
este nu mero de vibraço es dos dipolos e usado pelos mecanismos dos relo gios como uma unidade de 
segundo, ou seja, quando o cristal vibra 32.768 vezes isso corresponde a 1 s no mecanismo do 
relo gio. Muitos celulares mais modernos medem altitude e pressa o atmosfe rica. Como fazem isso? 
Usando sensores piezoele tricos. Inu meras aplicaço es industriais usam sensores de pressa o para 
pararem movimentos de ma quinas, braços robo ticos e esteiras rolantes. Quando saber a hora de 
parar um movimento? Usando sensores piezoele tricos. Se seu relo gio for do tipo smartwatch 
possivelmente ele tem capacidade de medir a pressa o arterial e seus batimentos cardí acos. Como ele 
faz isso? Usando um sensor piezoele trico. Como os medidores de pressa o sanguí nea nas clí nicas e 
hospitais como os da Figura 4 medem a pressa o? Alia s, todos os nu meros da tela do equipamento 
mostrado nesta Figura (relo gio, pressa o sanguí nea a e batimentos cardí acos) dependem de um 
sensor piezoele trico. 
 
Figura 4 – Medidor de pressão sanguínea e batimentos cardíacos. 
 
Quando o motorista de um carro pisa mais forte no acelerador ele quer passar uma instruça o para o 
motor fornecer mais pote ncia para que a velocidade do carro aumente. Isso na o e feito de qualquer 
maneira. Como o motor vai saber qual o valor da pote ncia desejada pelo motorista? O sistema le a 
dista ncia que o pedal se move e adequa a pressa o do combustí vel injetado pela bomba nos cilindros, 
isso para uma determinada marcha engatada. Como a bomba de combustí vel sabe exatamente qual 
a pressa o que o combustí vel tem ao entrar nos cilindros para, apo s ser queimado pela faí sca da vela, 
fornecer a pote ncia desejada pelo motorista? Usando um sensor piezoele trico. Quem joga a tinta em 
uma impressora para que caia exatamente a quantidade certinha para desenhar apenas uma letra no 
papel e na o borrar? Quem gera o som nos exames de ultrassom dos hospitais? E quem capta o eco 
do som de volta no exame de ultrassom? Como funciona o sonar dos quais os submarinos dependem 
totalmente para se guiar nas profundidades dos oceanos? E o que dizer das balanças que voce sobe 
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nelas para medir sua massa? Ja observou alguma vez o tamanho do furo onde fica o microfone do seu 
celular? Como pode ser ta o pequeno e ta o sensí vel? Baseado em que conceito os fornos de 
microondas sa o construí dos? Tudo isso, e muito mais, depende do modelo do dipolo ele trico. Como 
estudante de Fí sica voce precisa na o so entender os processos matema ticos por tra s deste 
importante modelo teo rico, mas precisa, sobretudo, entender os conceitos e as implicaço es deles no 
seu cotidiano. 
 
5. Fluxo ele trico e a componente do campo ele trico normal a uma superfí cie vezes a a rea da superfí cie. O 
conceito de fluxo ele trico e fundamental para o desenvolvimento de um me todo simples para calcular o 
campo ele trico, seja de uma carga pontual, seja de uma distribuiça o espacial de cargas com simetria 
conhecida. O estudo do fluxo ele trico esta por tra s da lei de Gauss para a eletrosta tica, que e a primeira das 4 
equaço es atribuí das na literatura a James de Maxwell. 
 
6. A lei de Gauss declara que o fluxo ele trico atrave s de uma superfí cie fechada e proporcional a carga ele trica 
lí quida dentro dela. Em outras palavras, o nu mero total de linhas de campo que saem e entram numa regia o 
volume trica delimitada por uma superfí cie, ou seja, o campo ele trico total, e produzido pelas cargas ele tricas 
dentro do volume. Se uma carga ele trica estiver do lado de fora do volume ela contribui para o campo ele trico 
dentro dele, mas na o contribui para o fluxo ele trico que cruza sua superfí cie. 
 
7. O campo ele trico no interior de um condutor em equilí brio eletrosta tico e zero. Uma possí vel maneira de ver 
isso e considerando que nos condutores a permissividade ele trica 𝜀 e infinita, ou seja, o campo tem 
dificuldade muito grande de se estabelecer dentro deste tipo de material. Na verdade, o condutor tem 
ele trons livres que se movem facilmente para uma das suas extremidades quando sujeito a um campo ele trico 
externo, deixando para tra s í ons positivos. Portanto, o material se polariza em um intervalo de tempo 
muití ssimo curto, tipicamente da ordem de 10−15 s. Quando atinge o equilí brio eletrosta tico, o campo devido 
a polarizaça o das cargas do condutor tem exatamente a mesma magnitude e sentido contra rio ao do campo 
externo, e assim o campo total dentro dele e nulo. Essa e a maneira que a natureza encontra para anular o 
campo ele trico externo dentro do condutor. Este princí pio tem grande importa ncia, por exemplo no efeito de 
blindagem eletrosta tica, seja no interior de uma cavidade condutora (Figura a esquerda), seja no interior de 
um a tomo ou material (Figura a direita). Como exemplo, no a tomo de hidroge nio so tem um pro ton e um 
ele tron. Enta o o ele tron fica sob o efeito da carga ele trica do pro ton inteiro. Agora veja o caso do a tomo de 
Silí cio que tem 14 pro tons no nu cleo, mas seus 4 ele trons de vale ncia so sentem a carga ele trica de cerca de 
4 pro tons. Os outros 10 pro tons sa o blindados pelos ele trons mais internos. Este efeito tem implicaço es 
enormes nas propriedades dos materiais em geral. 
 
 
Figura 5 – (Direita) Efeito da blindagem eletrostática em uma cavidade condutora. (Esquerda) Efeito da blindagem 
eletrostática nos átomos isolados. 
 
 
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Prof. Jerias Batista, DEFIS – UFMA. Eletromagnetismo Básico (Física III). Parte III: Sobre Campo Elétrico, Dipolo Elétrico e lei de Gauss. 
8. A magnitude do campo ele trico devido a um fio infinito e uniformemente carregado varia com o inverso da 
dista ncia perpendicular ao fio. Este e o mesmo resultado para um fio finito e o campo for medido muito 
pro ximo do fio. 
 
9. O campo ele trico devido a uma folha muito grande, plana e uniformemente carregada, na o depende da 
dista ncia ate a folha. Este mesmo resultado ocorre com o campo de uma folha pequena quando elas esta o 
muito pro ximas da outra, ou seja, quando o campo e medido muito pro ximo da uma distribuiça o plana de 
cargas. Este resultado e a ge nese do conceito de capacitor. Vamos entende -la melhor quando estudarmos os 
capacitores. Esta e a u nica distribuiça o de cargas ele tricas cujo campo na o depende da dista ncia ate a fonte. 
 
10. O campo ele trico fora de uma distribuiça o esfe rica de carga 𝑞 e equivalente ao campo de uma carga pontual 
𝑞 colocada no centro da distribuiça o esfe rica. Este resultado e de grande importa ncia pra tica em muitas 
situaço es. Ele e equivalente ao problema do campo gravitacional estudado em Fí sica 2. A raza o por tra s disso 
se deve a simetria esfe rica. A a rea da superfí cie esfe rica do corpo onde existem cargas ele tricas e 
proporcional ao quadrado da dista ncia ate o centro dele (𝐴 = 4𝜋𝑟2). Mas o campo ele trico e inversamente 
proporcional ao quadrado a mesma dista ncia 𝑟 (𝐹 = 𝑞2/(4𝜋𝜀0𝑟
2)). Assim, tanto faz as cargas estarem 
concentradas no centro da esfera ou distribuí das em todo o seu volume, ou mesmo distribuí das apenas na 
superfí cie da esfera, para quem esta do lado de fora corpo esfe rico o efeito fí sico e o mesmo. 
 
 
2. Sobre o Campo Elétrico 
 
2.1 Descrição Física 
 
 Todas as teorias da Física são baseadas em dois conceitos fundamentais: partícula e campo. Até aqui já 
estudamos como a força elétrica atua entre partículas carregadaseletricamente que não se encontram em contato 
direto, mas não entramos nos detalhes. Agora vamos discutir estes detalhes tentando responder à seguinte 
pergunta: como uma partícula pode influenciar outra que está bem longe dela? A força que uma partícula exerce 
sobre a outra é algum tipo de substância que emana dela e é absorvida pela outra? Se sim, que substância é esta 
e quais são suas propriedades? Se não, o que é então? Uma coisa é certa: o que quer que seja, deve ser 
obrigatoriamente algo de natureza física, e que possui energia e quantidade de movimento, já que a partícula 
sujeita a esta força tem sua energia e sua quantidade de movimento alteradas. A energia e a quantidade de 
movimento da partícula distante não podem ter aparecido do nada. Lembre-se de física I que a força descrita pela 
segunda lei de Newton é local, ou seja, ela só existe localmente onde atua. Em outras palavras, a força não viaja 
de um ponto a outro do espaço. Portanto, tem que ter “algo” que transporte a força ou então algo que transporte 
“alguma coisa” que depois se transforme em força quando interage com a partícula. 
 Para entender os detalhes do que ocorre entre duas partículas carregadas eletricamente, vamos 
introduzir o conceito de campo de forças elétricas, ou apenas campo elétrico. Este conceito já foi introduzido 
parcialmente na Unidade II, quando falamos das forças elétricas. Enquanto uma partícula é dotada de 
propriedades como massa, carga elétrica, energia, momento linear, temperatura, etc., e são localizadas no espaço, 
um campo representa uma grandeza física que preenche todo o espaço, é contínuo e deslocalizado. Em cada ponto 
do espaço este campo é dotado de uma magnitude (campos escalares) e também de direção e sentido (campos 
vetoriais). Note que o campo é uma propriedade do espaço, não da matéria. A magnitude de um campo equivale 
ao valor da grandeza física representada por ele em cada ponto do espaço. A temperatura e a energia são 
exemplos de campos escalares. Qualquer grandeza física vetorial pode formar um campo vetorial, como é o caso 
de uma força, velocidade, etc. 
 O conceito de campo elétrico é essencial para explicar por que a lei de Coulomb obedece à 3ª lei de 
Newton. A 3ª lei de Newton considera que as forças de ação e reação são instantâneas. Mas se uma carga elétrica 
estiver a uma distância 𝑟 de outra carga, verifica-se que a ação de uma sobre a outra não é instantânea, mas ocorre 
somente após um tempo equivalente a ∆𝑡 = 𝑟/𝑐, onde 𝑐 é a velocidade com que a informação é transmitida de 
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uma até a outra. Informação aqui significa energia e quantidade de movimento. Conforme já foi dito, a força não 
existe no espaço entre as duas partículas. Ela só se manifesta localmente onde as partículas se encontram quando 
estas interagem com o campo elétrico e fornecem energia e quantidade de movimento para ele, ou quando 
interagem com o campo e absorvem energia e quantidade de movimento dele. O que se move entre as partículas 
é a energia e momento linear, não a força. Não existe força no espaço vazio. O que existe é apenas campo. 
 Existe uma interpretação muito mais sofisticada para o campo elétrico, dada pela Teoria Quântica de 
Partículas. Segundo esta versão, o campo é formado por fótons virtuais (fótons) que possuem energia e momento 
linear positivo e negativo, mas cujo valor médio oscila naturalmente em torno de zero. A presença de uma 
partícula eletricamente carregada promove alteração nas partículas virtuais e essas passam a oscilar com valores 
de energia e momento diferentes de zero. Quando outra partícula carregada é colocada nas proximidades, ela 
absorveria esses fótons e se moveria para longe (carga positiva) ou para perto (carga negativa). 
 
 
2.2 Descrição Geométrica 
 
 Do ponto de vista macroscópico, o campo de forças elétricas se torna muito mais abstrato, e por isso 
vamos representá-lo por linhas que indicam a direção de movimento de uma partícula de prova positiva 
colocada dentro dele. Por convenção, vamos considerar que a “carga de prova” é sempre uma partícula com carga 
elétrica positiva. O campo elétrico gerado por um objeto carregado eletricamente muda à medida que nos 
afastamos dele. A variação em magnitude é observada pela densidade das linhas de campo a uma determinada 
distância da partícula carregada, enquanto a direção pode ser visualizada diretamente pela indicação das setas 
nas linhas. As linhas de campo representam o campo elétrico total em qualquer ponto do espaço. Por convenção, 
a orientação do campo elétrico é a mesma da força que atua sobre a carga elétrica prova (positiva). Por esta 
convenção é que o campo de uma carga positiva aponta para longe dela, e o campo de uma carga negativa aponta 
para ela. 
 A Figura 6 ilustra a visão macroscópica do campo gerado por uma carga positiva 𝑞1 positiva. Veremos que 
é a presença do campo elétrico �⃗� 1 criado por 𝑞1 na posição onde se encontra a partícula de carga elétrica 𝑞2 
(também positiva) que faz com que esta reaja à força 𝐹 12 e se afaste de 𝑞1. Figura 7 (à esquerda) ilustra o campo 
de uma carga 𝑞1 positiva. À sua direita tem uma partícula de carga de teste 𝑞0 positiva. Veja que o sentido do 
campo de 𝑞1 aponta para a direita, direção de movimento da carga de teste 𝑞0. Se a carga 𝑞1 for negativa, Figura 
7 (à direita), a carga de teste 𝑞0 se movimentará para a esquerda, e por isso o campo de 𝑞1 aponta para a esquerda. 
Portanto, chegamos ao importante resultado que nos mostra que o campo de uma carga elétrica positiva é 
divergente (aponta para longe dela) enquanto o campo elétrico de uma carga elétrica negativa é convergente 
(aponta para ela). Cuidado! Isto só é assim porque adotamos uma carga de teste positiva. Se a carga de teste fosse 
negativa, o campo elétrico das cargas apontaria no sentido contrário ao resultado mostrado na Figura 7. Nada na 
natureza mudaria se adotássemos uma carga de prova negativa. Não confunda o mundo real com uma teoria. 
Tudo que estamos mostrando aqui não tem realidade. Isto é apenas uma teoria, e como tal, queremos que suas 
previsões sejam o mais próximo possível com os fenômenos reais. Não é a natureza que se comporta conforme a 
nossa teoria, mas desejamos que o contrário seja verdadeiro. 
 
 
Fig. 6 – Ilustração para o campo elétrico gerado por uma carga poitiva. 
 
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Fig. 7 – Ilustração para o campo elétrico gerado por uma carga positiva e negativa. 
 
 Se em uma região do espaço houver mais de uma partícula carregada eletricamente, o campo total não 
será mais constante em direção e sentido, e a força elétrica será tangente a um ponto dele. A Figura 8 ilustra este 
fato. Veja que essas linhas de campo não são linhas retas. Isto significa que elas são geradas por mais de uma 
carga elétrica. 
 
Fig. 8 – Ilustração para o campo elétrico gerado por mais de uma carga elétrica (não mostradas na figura). 
 
 Vamos ilustrar melhor o campo total mostrando explicitamente as cargas que o geram. Na Figura 9 (à 
esquerda) temos a distribuição do campo para duas cargas positivas de mesmo valor. Veja que exatamente no 
centro os campos das duas cargas apontam em sentidos contrários e seu valor total é nulo. Como essas linhas de 
campo representam a soma dos campos em cada ponto do espaço, duas linhas jamais podem ser cruzar. Portanto, 
concluímos que exatamente ao longo da bissetriz que divide as duas partículas o campo total é nulo. Na Figura 9 
(à direita) temos a distribuição do campo de duas cargas de mesmo valor, mas de sinais contrários. Esse arranho 
de carga elétrica é conhecida como dipolo elétrico. Esta é a distribuição decarga mais importantes na natureza, 
pois por meio dela conseguimos entender uma grande quantidade de fenômenos (toda a Química e Biologia são 
baseadas nesse tipo de distribuição de cargas), além de conceber muitas aplicações tais como os fornos de 
microondas, radares, capacitores e toda a telecomunicação. Ela está na base da formação de todos os materiais. 
Os campos das duas cargas na região central apontam para a esquerda, e a agora a soma dos campos ao longo da 
bissetriz da reta que une as partículas não é nula. É este campo não nulo entre os átomos que os mantém juntos 
formando as moléculas, estas formando células e os materiais em geral. Mais adiante vamos aprender a calcular 
a distribuição de campo elétrico de um dipolo. 
 
 
Fig. 9 – Ilustração para o campo elétrico total gerado por duas cargas positivas (esquerda) e por um dipolo elétrico (direita). 
 
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2.3 Descrição Algébrica 
 
 Já discutimos o campo elétrico de forma qualitativa. Para descrevê-lo quantitativamente, vamos fazer uso 
do modelo matemático da força elétrica, conforme descrita pela lei de Coulomb na parte II. Quando 𝑛 cargas 
elétricas 𝑞𝑖 exercem força sobre uma carga de prova 𝑞0, temos: 
 
∑𝐹 𝑖
𝑛
𝑖=1
=
|𝑞0|
4𝜋𝜀0
∑
|𝑞𝑖|
|𝑟 𝑖,0|
2
𝑛
𝑖=1
�̂�𝑖,0 (1) 
 
 Vemos que a força elétrica depende dos valores da carga 𝑞0 e 𝑞𝑖, bem como das localizações destas em 
relação à 𝑞0, dadas pelo vetor 𝑟 𝑖,0, e também da permissividade do meio 𝜀0. Como todas as cargas 𝑞𝑖 agem sobre 
𝑞0, podemos definir uma grandeza que representa a força por unidade de carga 𝑞0: 
 
∑𝐹 𝑞0
𝑞0
=
1
4𝜋𝜀0
∑
𝑞𝑖
|𝑟 𝑖,0|
2
𝑛
𝑖=1
�̂�𝑖,0 (2) 
 
 Olhando para o lado esquerdo desta equação podemos dizer que ele representa uma força por unidade 
de carga de prova. O termo do lado direito só depende das cargas 𝑞𝑖, do meio entre elas, 𝜀0, e das distâncias 𝑟 𝑖,0 
entre cada uma das partículas de carga 𝑞𝑖 e um ponto 𝑃 qualquer do espaço onde se quer medir o valor do campo. 
Veja que no ponto 𝑃 não tem partícula e, portanto, não existe uma interação. O que temos em 𝑃 é apenas o campo 
no vácuo produzido pelas várias partículas localizadas nas distâncias 𝑟 𝑖,0 dele. A este termo vamos chamar de 
campo de forças elétricas, ou apenas campo elétrico. Assim, definimos o campo elétrico �⃗� em um ponto do espaço 
como a força elétrica normalizada por uma carga de prova positiva e pontual, 𝑞0: 
 
∑�⃗� 𝑖
𝑛
𝑖
=
∑𝐹 𝑞0
𝑞0
=
1
4𝜋𝜀0
∑
𝑞𝑖
|𝑟 𝑖,0|
2
𝑛
𝑖=1
�̂�𝑖,0 (3) 
 
Aqui ∑ �⃗� 𝑖
𝑛
𝑖 é a soma dos campos gerados por todas as cargas elétricas 𝑞𝑖; ∑𝐹 𝑞0 é a soma de todas as forças entre 
as cargas 𝑞𝑖 e 𝑞0, mediada pelos campos �⃗� 𝑖. Pela definição de campo elétrico, sua unidade no SI é N/C. Escrevendo 
a equação (3) de forma mais compacta, 
 
∑𝐹 𝑞0 = 𝑞0(∑ �⃗�
 
𝑖
𝑛
𝑖 ) (4) 
 
Este resultado mostra que a força elétrica só se manifesta quando a partícula 𝑞0 é colocada dentro da região do 
espaço onde existe um campo criado pelas cargas elétricas partículas 𝑞𝑖. As cargas 𝑞𝑖 interagem com 𝑞0 (via força) 
instantaneamente por meio dos campos �⃗� 𝑖 no local onde 𝑞0 se encontra. Esta interação se propaga de 𝑞𝑖 com a 
velocidade da luz transportando energia e momento até 𝑞0. O tempo para que a partícula 𝑞0 perceba a presença 
das partículas 𝑞𝑖 em 𝑟 𝑖,0 é: 
 
∆𝑡 =
|𝑟 𝑖,0|
𝑐
 (5) 
 
 Para se ter uma ideia melhor, vamos avaliar os tempos típicos envolvidos na interação entre cargas e 
campos. Consideremos que o campo elétrico seja gerado por um elétron de carga elétrica 𝑞𝑖. Se a partícula pontual 
interage localmente com o campo numa distância equivalente às suas dimensões clássicas (~10−15 𝑚), esta 
interação ocorre dentro de um tempo equivalente a: 
 
9 
 
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∆𝑡 =
10−15 𝑚
3 × 108 𝑚/𝑠
 ~ 10−24 𝑠 
 
 Consideremos agora outra partícula de carga 𝑞0 colocado a uma distância de 30 𝑐𝑚 de 𝑞𝑖. O tempo de 
transcurso para a energia e momento entre estas duas partículas é cerca de: 
 
∆𝑡 =
0,3 𝑚
3 × 108 𝑚/𝑠
 ~ 10−9 𝑠 
 
 Este tempo é 1015 vezes maior do que o intervalo de tempo gasto na interação local e, diante disto, 
podemos considerar a interação local como sendo instantânea. Finalizando, entendemos que as cargas elétricas 
𝑞𝑖 interagem instantaneamente com os campos e estas interações se propagam com 𝑣 = 𝑐 até a posição de 𝑞0, e 
então interage instantaneamente com esta. A introdução do conceito de campo elétrico é importante porque ele 
explica como a força eletrostática satisfaz a 3ª lei de Newton e, ao mesmo tempo, nos livra da dificuldade de 
explicarmos como uma força poderia agir à distância instantaneamente. Não existe força que interaja à distância. 
O próprio Newton percebeu isso, mas não deu uma solução para o problema. 
 
 
2.4 Cálculo do Campo Elétrico 
 
 Nesta seção vamos aprender a determinar a distribuição espacial do campo elétrico criado por uma ou 
várias partículas carregadas eletricamente. Vamos começar pelo caso mais simples de uma distribuição de cargas 
discretas pontuais. 
 
2.4.1 Campo elétrico de várias cargas pontuais 
 
 Como exemplo, vamos calcular o campo elétrico em um vértice de um quadrado de lado 𝑎 que possui 
cargas elétricas iguais a 𝑞 nos outros três vértices (Figura 10). 
 
Fig. 10 – Ilustração do campo elétrico no vértice de um quadrado devido a 3 cargas dispostas nos outros 3 vértices. 
 
Como os campos não estão na mesma direção vamos usar o método da decomposição. 
∑�⃗� 𝑖
3
𝑖=1
= �⃗� 1 + �⃗� 2 + �⃗� 3 = (�⃗� 1𝑥 + �⃗� 1𝑦) + (�⃗� 2𝑥 + �⃗� 2𝑦) + (�⃗� 3𝑥 + �⃗� 3𝑦) 
 = (𝐸1𝑥 + 𝐸2𝑥 + 𝐸3𝑥)𝑖̂ + (𝐸1𝑦 + 𝐸2𝑦 + 𝐸3𝑦)𝑗 ̂
 
Pela figura, 
 
𝐸1𝑥 =
𝑘0𝑞1
𝑎2
 𝐸1𝑦 = 0 
𝐸2𝑥 =
√2𝑘0𝑞2
4𝑎2
 𝐸2𝑦 =
√2𝑘0𝑞2
4𝑎2
 
10 
 
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𝐸3𝑥 = 0 𝐸3𝑦 =
𝑘0𝑞3
𝑎2
 
 
Fazendo os cálculos, a magnitude e a direção do campo são: 
 
∑𝐸 =
𝑘0𝑞
𝑎2
(
1
2
+ √2) 
𝑁
𝐶
; 𝑡𝑔𝜃 =
∑𝐸𝑦
∑𝐸𝑥
= 1 e θ = 450 
 
 
2.4.2 Campo elétrico de dipolo elétrico 
 
 O dipolo elétrico é formado por duas cargas de mesmo valor e sinais contrários mantidas a uma distância 
tal que uma das cargas sempre está dentro do campo elétrico da outra. O modelo físico para o dipolo elétrico 
está para a Eletricidade assim como o oscilador harmônico está para a Mecânica, o gás ideal está para a 
Termodinâmica, o dipolo magnético está para o Magnetismo, o poço de potencial está para a Mecânica 
Quântica e o átomo de hidrogênio está para a Física Atômica. Estes são os seis modelos idealizados mais 
fundamentais de toda a Física. Praticamente todas as propriedades dos materiais e fenômenos físicos são 
qualificadas, quantificadas e explicadas usando pelo menos um ou uma combinação destes modelos. Do 
congelamento da água ao crescimento de uma árvore, quase todos os eventos físicos ligados aos materiais, da 
escala atômica à escala macroscópica, envolvem dipolos elétricos. 
 
 
 
Falta escrever sobre o dipolo e sobre os tópicos abaixo. Mas eu cansei! 
 
 
 
2.4.3 Campo elétrico de uma distribuição linear de cargas (fio reto e um anel) 
2.4.4 Campo elétrico de uma distribuição superficial (disco finito e infinito) 
2.4.5 Campo elétrico de uma distribuição volumétrica (esfera)2.4.6 Fluxo Elétrico, Lei de Gauss e seus usos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
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Exercícios para consolidação de conceitos a Parte II: campo elétrico, dipolo elétrico e lei de Gauss 
 
 
1. Para ser capaz de determinar o campo elétrico produzido por uma distribuição de carga conhecida usando a 
lei de Gauss, qual das seguintes condições deve ser satisfeita? 
a) A distribuição de carga deve estar em um meio não condutor. 
b) A distribuição de carga deve estar em um meio condutor. 
c) A distribuição de carga deve possuir simetria esférica ou cilíndrica. 
d) A distribuição de carga deve ser uniforme. 
e) A distribuição de carga deve possuir um alto grau de simetria que permita se tirar conclusões imediatas 
acerca de como deve ser o campo elétrico. 
 
2. Um dipolo elétrico consiste em duas cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos situadas a uma distância 
muito pequena uma da outra. Quando ele é colocado em um campo elétrico uniforme, qual das seguintes 
afirmativas é verdadeira? 
a) O dipolo não experimentará uma força resultante por parte do campo; uma vez que as cargas são de mesmo 
valor absoluto e de sinais opostos, os efeitos individuais se cancelam. 
b) Não existirá uma força resultante e nenhum torque resultante exercido sobre o dipolo. 
c) Haverá uma força resultante, mas não um torque resultante exercido sobre o dipolo. 
d) Não existirá uma força resultante, mas haverá (em geral) um torque resultante exercido sobre o dipolo. 
 
3. Quando definimos o campo elétrico, porque é necessário especificar que a magnitude da carga de teste tem que 
ser muito pequena? 
 
4. A figura abaixo mostra linhas de campo elétrico devido a duas placas metálicas carregadas e paralelas. Podemos 
concluir que: 
a) a placa superior é positiva e a inferior é negativa. 
b) um próton colocado em X experimentaria a mesma força que se fosse colocado em Y. 
c) um próton colocado em X experimentaria uma força maior do que se fosse colocado em Z. 
d) um próton colocado em X experimentaria uma força menor do que se fosse colocado em Z. 
e) um próton colocado em X teria seu peso equilibrado pela força elétrica. 
 
5. Duas partículas pontuais, com a mesma carga, são colocadas nos dois vértices de um triângulo equilátero. Uma 
terceira partícula é colocada de modo que o campo elétrico no terceiro vértice é nulo. A terceira partícula deve: 
a) estar sobre a bissetriz perpendicular à linha que une as duas primeiras cargas. 
b) estar sobre a linha que une as duas primeiras cargas. 
c) ter a mesma carga que as duas primeiras partículas. 
d) ter carga de mesmo tamanho que as duas primeiras, mas com sinal diferente. 
e) estar no centro do triângulo. 
 
6. Considere 𝑛 cargas pontuais positivas e iguais cada uma com carga 𝑄/𝑛 dispostas simetricamente em torno de 
um círculo de raio 𝑅. 
a) Calcule a magnitude do campo elétrico em um ponto sobre o eixo (𝑥) que passa pelo centro do círculo, a 
uma distância 𝑥 deste. 
b) Explique porque este resultado é idêntico ao obtido em sala de aula para o caso de um anel de raio 𝑅 
eletricamente carregado. 
12 
 
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7. Ainda sobre o problema do anel eletricamente carregado, mostre que o campo elétrico ao longo do eixo de 
simetria que passa pelo centro do anel é máximo no ponto 𝑥 = 𝑎/√2 e tem valor 𝐸𝑚á𝑥 = 𝑄 (6√3𝜋𝜀0𝑎
2)⁄ . Faça 
um gráfico de 𝐸 em função de 𝑥 e estude com cuidado o comportamento do campo. Por que existe um valor 
máximo? 
 
8. É possível ter campo elétrico no vácuo? Explique. Considere o ponto A 
da figura ao lado. Existe carga elétrica neste ponto? Existe força elétrica 
neste ponto? Existe campo elétrico neste ponto? Responda as mesmas 
perguntas para o ponto C. 
 
 
 
 
 
 
9. A figura ao lado mostra uma pequena esfera isolante de massa 𝑚 e carga 𝑞, mantida no 
ângulo 𝜃 por um cordão isolante. A parede vertical é isolante e possui uma densidade de 
carga 𝜎. Considerando a força gravitacional sobre a esfera, encontre uma expressão para 𝜎 
em função de 𝑚,𝑔, 𝑞, 𝜀0 e 𝜃. 
 
 
10. De todas as distribuições de carga elétrica possíveis na natureza o dipolo elétrico é certamente a mais 
importante. Todas as reações químicas dependem dele; os animais e vegetais só existem por causa deles; a tensão 
superficial nos líquidos é controlada por dipolos elétricos; as colas só colam e as lagartixas só andam nas paredes 
verticais graças aos dipolos elétricos; etc., etc. Considere um dipolo elétrico com momento de dipolo 𝑝 dentro de 
um campo elétrico uniforme �⃗� . 
a) Faça um desenho mostrando um dipolo dentro de um campo elétrico externo. 
b) Encontre as orientações do dipolo para as quais o torque total sobre ele é nulo. 
c) Faça uma análise para a energia potencial do dipolo e, a partir dela, diga em que posição o dipolo se encontra 
em equilíbrio estável. 
d) Faça um esquema (desenho) e explique, baseado no modelo de dipolo elétrico, por que alguns insetos 
conseguem caminhar sobre a superfície da água sem afundar. 
e) À luz de sua discussão sobre dipolos elétricos, explique por que a água é considerada um solvente universal. 
f) Para finalizar, explique o funcionamento dos fornos de microondas à luz do conceito de dipolos elétricos. 
 
11. Quando um momento de dipolo de um dipolo elétrico colocado dentro de um campo elétrico gira para tornar-
se aproximadamente alinhado com o campo: 
a) o campo realiza trabalho positivo e a energia potencial aumenta. 
b) o campo realiza trabalho positivo e a energia potencial diminui. 
c) o campo realiza trabalho negativo e a energia potencial aumenta. 
d) o campo realiza trabalho negativo e a energia potencial diminui. 
e) o campo não realiza trabalho. 
 
12. Um dipolo elétrico dentro de um campo elétrico uniforme é deslocado de um pequeno ângulo 𝜃 de sua posição 
de menor energia, conforme ilustra a figura ao lado. A separação entre as cargas é 2𝑎, e cada partícula possui 
massa 𝑚. 
a) Se o dipolo é abandonado desta posição, mostre que ele vai se comportar como um oscilador harmônico 
simples, cuja frequência é dada por: 
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𝑓 =
1
2𝜋
√
𝑞𝐸
𝑚𝑎
 
b) Se as massas das partículas são 𝑚1 e 𝑚2, mas preservam suas 
cargas iguais, mostre que a frequência de oscilação pode ser dada 
por: 
𝑓 =
1
2𝜋
√
𝑞𝐸(𝑚1 + 𝑚2)
2𝑎𝑚1𝑚2
 
 
13. Estudamos duas situações nas quais o fluxo através de uma superfície fechada é zero: quando não tem 
partículas carregadas dentro da superfície ou quando tem partículas carregadas, mas a carga total é zero. Para as 
duas situações é correto concluir que o campo elétrico sobre a superfície é zero? Baseie seus comentários à luz 
da lei de Gauss, que afirma que o fluxo elétrico é proporcional à carga encerrada pela superfície, não ao campo 
elétrico. 
 
14. A Terra fica mais perto do Sol durante o inverno do que durante o verão. Como isto muda o fluxo luminoso 
que atinge uma determinada área da superfície da Terra? Qual a influência disto no clima do planeta? 
 
15. Uma partícula de carga 𝑞 se encontra do lado de fora de quatro objetos metálicos, cuja carga uniforme é 𝑄: 
(1) uma esfera sólida grande, (2) uma casca esférica grande, (3) uma esfera sólida pequena e (4) uma casca 
esférica pequena. A distância entre a partícula e o centro dos objetos é a mesma e a carga 𝑞 é pequena o suficiente 
para não alterar a distribuição de 𝑄. Classifique os objetos de acordo com a força eletrostática (do maior para o 
menor). 
 
16. Uma esfera de raio 𝑅 sólida feita de material isolante contém carga positiva que é distribuída noseu volume 
de forma que a densidade de carga aumenta linearmente com a distância do centro da esfera, ou seja, 𝜌 = 𝐶𝑟, 
onde 𝐶 é uma constante. Qual dos gráficos abaixo fornece a magnitude do campo elétrico em função da distância 
𝑟 do centro da esfera? Sugestão: Problema semelhante a este foi resolvido em sala de aula, mas com 𝜌 constante 
(solução foi o item C). Tente resolver o problema sem fazer muitos cálculos, simplesmente analisando a carga total 
e usando a lei de Gauss. 
 
17. Uma pessoa é colocada dentro de uma esfera metálica oca e isolada da terra. Se uma grande quantidade de 
carga é colocada sobre a esfera, a pessoa dentro dela sofrerá algum perigo se tocar nas suas paredes? Explique o 
que ocorreria se a pessoa inicialmente tivesse uma pequena quantidade de carga de sinal contrário ao da esfera 
e então tocasse nas paredes. 
 
18. A figura ao lado mostra duas esferas iguais de raio 𝑅, cada uma 
carregada uniformemente com carga elétrica de valor 𝑄. O centro de uma 
das esferas está na origem do eixo 𝑥, enquanto o centro da outra está na 
posição 𝑥 = 2𝑅. Encontre a magnitude e direção do campo elétrico 
resultante devido a estas duas distribuições de carga nos seguintes 
pontos sobre o eixo 𝑥: 
a) 𝑥 = 0; b) 𝑥 = 𝑅/2; c) 𝑥 = 𝑅; d) 𝑥 = 3𝑅. 
 
14 
 
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19. Um fio condutor de comprimento 𝐿 e carregado com carga 
elétrica −𝑞 se encontra a uma distância 𝑑 do centro de uma 
esfera dielétrica de raio 𝑅. A esfera possui carga elétrica +𝑞, 
uniformemente distribuída ao longo de seu volume, conforme 
ilustra a figura ao lado. 
a) Determine o fluxo elétrico total através da superfície da 
esfera para o caso 𝑑 < 𝑅. 
b) Encontre uma expressão para o fluxo elétrico máximo 
através dessa esfera. 
 
 
 
20. Uma partícula com carga −60,0 𝑛𝐶 é colocada no centro de uma casca esférica não condutora de raio interno 
20,0 𝑐𝑚 e externo 25,0 cm. A casca esférica tem carga distribuída com densidade de −1,33 𝜇𝐶𝑚3. Um próton se 
movimenta em órbita circular muito próximo da superfície exterior da casca esférica. Calcule a velocidade do 
próton. 
 
21. Um modelo clássico de uma molécula ionizada é constituído por um par de partículas fixas, ambas de carga 
+𝑒, separadas por uma distância 2𝑎, e com uma terceira partícula, de carga −𝑒, massa 𝑚, descrevendo uma órbita 
circular de raio 𝑟 em torno do eixo que liga as duas outras cargas. Com estas informações, obtenha: 
a) o campo elétrico que atua sobre a carga −𝑒; 
b) a relação entre o raio 𝑟 e a frequência angular de revolução 𝜔. 
 
22. Uma esfera sólida e isolante de raio 𝑎 tem uma carga negativa −2𝑄, 
uniformemente distribuída através de seu volume. Concentricamente com 
esta esfera existe uma casca esférica condutora de raio interno 𝑏 e raio 
externo 𝑐, e possui uma carga total igual a 𝑄, conforme ilustra a figura ao 
lado. 
a) Construa uma superfície gaussiana esférica de raio 𝑟 > 𝑐 e encontre a 
carga líquida dentro desta. 
b) Qual é a direção do campo elétrico para 𝑟 > 𝑐? 
c) Encontre o campo elétrico para 𝑟 > 𝑐. 
d) Construa uma superfície gaussiana esférica de raio 𝑟, onde 𝑏 < 𝑟 < 𝑐, 
e encontre a carga líquida dentro dela. 
e) Encontre o campo elétrico na região 𝑏 < 𝑟 < 𝑐. 
f) Construa uma superfície gaussiana esférica de raio 𝑟, onde 𝑎 < 𝑟 < 𝑏, e encontre a carga líquida dentro dela. 
g) Encontre o campo elétrico na região 𝑎 < 𝑟 < 𝑏. 
h) Construa uma superfície gaussiana esférica de raio 𝑟, onde 𝑟 < 𝑎, e encontre a carga líquida dentro dela. 
i) Encontre o campo elétrico na região 𝑟 < 𝑎. 
j) Determine a carga líquida na superfície interna da casca esférica condutora. 
k) Determine a carga líquida na superfície exterior da casca esférica condutora. 
l) Faça um gráfico da magnitude do campo elétrico em função de 𝑟 em todas as regiões anteriores. 
 
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23. Seja 𝐸 a magnitude do campo em um ponto 𝑃 situado a uma distância 𝐷 de um plano uniformemente 
carregado com densidade superficial de carga 𝜎. A maior contribuição para 𝐸 provém dos pontos mais próximos 
de 𝑃 sobre o plano. Mostre que a região do plano situada a uma distância ≤ 2𝐷 do ponto 𝑃 é responsável pela 
metade (𝐸/2) do campo em 𝑃. Seja 𝐸 a magnitude do campo em um ponto 𝑃 situado a uma distância 𝐷 de um 
plano uniformemente carregado com densidade superficial de carga 𝜎. A maior contribuição para 𝐸 provém dos 
pontos mais próximos de 𝑃 sobre o plano. Mostre que a região do plano situada a uma distância ≤ 2𝐷 do ponto 
𝑃 é responsável pela metade (𝐸/2) do campo em 𝑃. 
 
24. Uma esfera uniformemente carregada com volumétrica 𝜌 contém em seu 
interior uma cavidade esférica (ver figura ao lado). Se 𝑑 é o vetor que liga os 
centros das duas esferas, mostre que o campo no interior da cavidade pode ser 
escrito como: 
�⃗� =
𝜌𝑑 
3𝜀0
 
 
25. Uma barra de comprimento 𝐿 (figura ao lado) está uniformemente 
carregada com carga elétrica 𝑄. 
a) Encontre as componentes do campo elétrico no ponto 𝑃 sobre o 
eixo 𝑦 a uma distância 𝑑 da origem. 
b) Quais os valores aproximados do campo quando 𝑑 ≫ 𝐿? Explique 
por que você esperaria este resultado. 
 
 
26. O semicírculo à esquerda de raio 𝑟 possui carga elétrica 𝑞 uniformemente distribuída, 
conforme figura à esquerda. Encontre uma expressão para o campo elétrico no centro 𝑂 do 
semicírculo. 
 
27. Considere um número infinito de cargas idênticas, cada uma com elétrica 𝑞, dispostas 
sobre o eixo 𝑥 nas posições 𝑎, 2𝑎, 3𝑎, 4𝑎, ..., da origem. Encontre uma expressão para o 
campo elétrico desta distribuição na origem do eixo 𝑥? Dica: use a resultado: 
1 +
1
22
+
1
32
+
1
42
+ ⋯ =
𝜋2
6
 
 
28. Uma carga elétrica 𝑞 se encontra no centro de uma esfera de raio 𝑅, conforme 
ilustra a figura ao lado. Encontre o fluxo elétrico através da área da superfície da 
esfera descrita pelo ângulo 𝜃. 
 
 
29. Duas partículas de massa 𝑚 e carga elétrica 𝑞 de mesma magnitude são presas 
nas extremidades de dois fios isolantes de mesmo comprimento 𝐿. Se um campo 
elétrico �⃗⃗� constante é estabelecido na região onde as partículas estão, elas 
permanecem em equilíbrio de modo que os fios formam um ângulo 𝜃 = 900, 
conforme a figura ao lado. 
a) Qual das partículas tem carga positiva? 
b) Mostre que o valor absoluto do campo elétrico externo pode ser escrito 
como: 
𝐸 =
𝑚𝑔
𝑞
+
𝑘𝑞
2𝐿2
 
 
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30. Uma das ferramentas experimentais mais importantes à disposição da Ciência hoje é a Microscopia de Força 
Atômica (AFM). A Figura abaixo (à esquerda) mostra um esquema da técnica. Usa-se uma agulha muito fina (tip) 
montada em um braço (cantiléver) que varre a superfície da amostra a uma distância muito pequena dela, 
podendo se aproximar à uma distância menor do que o diâmetro de 1 átomo. Quando está a uma distância menor 
do 100 nm da superfície da amostra, os átomos da agulha começam a sentir o campo elétrico gerado pelos dipolos 
permanentes da amostra e se polarizam. Existem outros tipos de forças, que no conjunto são denominadas de 
forças de van der Walls, mas vamos focar apenas nesta. Estas forças são atrativas e por isso a partir dessas 
distâncias a agulha é puxada para baixo pela amostra, entortando o cantiléver. Um laser incide sobre uma região 
refletora na parte de trás do cantiléver e é focalizado no detector. Assim, a força atômica é medida em função da 
distância amostra-agulha. Quando a agulha se aproxima muito da amostra os elétrons vão começar a se superpor 
e o princípio da exclusãovai impedir que isso aconteça, e este efeito se manifesta como uma força repulsiva. A 
energia potencial associada a estes fenômenos que competem entre si até os átomos atingirem uma posição de 
estabilidade é muito conhecido na literatura, denominado de Potencial de Lenard-Jones, 𝑉 =
𝐴
𝑟12
−
𝐵
𝑟6
. A força 
associada a este potencial pode ser encontrada a partir da relação 𝐹 = −∇𝑉. Com esta técnica é possível medir 
uma grande quantidade de propriedades de todos os tipos de materiais, tais como a viscosidade, tensões 
superficiais, adesão, coeficiente de elasticidade, rugosidade, etc. A Figura abaixo (à direita) mostra como os 
átomos estão organizados formando o material Silício. Isto é uma “fotografia real”, não uma simulação em 
computador. Este problema tem como objetivo estimar a dependência da força entre um dipolo permanente e 
um átomo neutro. Na Figura mais abaixo temos um dipolo permanente à esquerda com momento de dipolo 𝑝1 =
𝑄𝑠1 e um átomo neutro à direita com polarizabilidade 𝛼, de modo que sob o campo do dipolo ele se polariza e 
passa a ter um momento de dipolo 𝑝2 = 𝑞𝑠2 = 𝛼𝐸1, onde 𝐸1 é o campo do dipolo permanente. Mostre que a força 
entre o dipolo permanente e o átomo neutro pode ser escrita como: 
𝐹 ≈ (
1
4𝜋𝜀0
)
2 12𝛼𝜇1
2
𝑟7