Uma esfera isolante de raio R tem densidade volumétrica de carga ρ > 0 uniforme. (a) Utilize a lei de Gauss para encontrar o vetor campo elétrico e...

(a) Para encontrar o vetor campo elétrico em qualquer ponto, podemos utilizar a lei de Gauss. Como a esfera tem densidade volumétrica de carga uniforme, podemos considerar uma esfera gaussiana de raio r < R, com carga Q = (4/3)πr³ρ. Pela simetria da esfera, o campo elétrico é radial e tem a mesma magnitude em todos os pontos da esfera gaussiana. Assim, podemos escrever a lei de Gauss como: E(4πr²) = Q/ε0 Substituindo Q, temos: E(4πr²) = (4/3)πr³ρ/ε0 Simplificando, temos: E = (rρ)/(3ε0) (b) Para calcular a diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera, podemos integrar o campo elétrico ao longo de um caminho que ligue esses dois pontos. Como o campo elétrico é radial, podemos escolher um caminho retilíneo que ligue o centro ao ponto mais afastado da superfície da esfera. Assim, temos: V = -∫E.dr Integrando de r = 0 (centro) até r = R (superfície), temos: V = -∫0R (rρ)/(3ε0) dr V = -(ρ/(6ε0)) ∫0R r dr V = -(ρ/(6ε0)) [R²/2 - 0] V = -(ρR²)/(12ε0) Portanto, a diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera é -(ρR²)/(12ε0).