AVALIANDO O APRENDIZADO INTR. A ESTRUTURA

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Apêndice A
Propriedades das figuras planas
Notação: A � área
distâncias ao centroide C
Ix, Iy � momentos de inércia em relação aos eixos x e y, respectivamente
Ixy � produto de inércia em relação aos eixos x e y
IP � Ix + Iy � momento de inércia polar em relação à origem dos eixos x e y
IBB � momento de inércia em relação ao eixo B-B
1 Retângulo (Origem dos eixos no centroide)
2 Retângulo (Origem dos eixos no canto)
3 Triângulo retângulo (Origem dos eixos no centroide)
Ixy �
bh2
72
(b � 2c) IP �
bh
36
(h2 � b2 � bc � c2)
x, y �
Ix �
bh3
36
Iy �
bh
36
(b2 � bc � c2)
A �
bh
2
x �
b � c
3
y �
h
3
IBB �
b3h3
6(b2 � h2)
Ix �
bh3
3
Iy �
hb3
3
Ixy �
b2h2
4
IP
bh
3
(h2 � b2)
Ix �
bh3
12
Iy �
hb3
12
Ixy � 0 IP �
bh
12
(h2 � b2)
A � bh x �
b
2
y �
h
2
y
x
xh
y
b
C
y
x
h
b
O
B
B
y
c
h
b
C x
x
y
2 Mecânica dos Materiais
4 Triângulo (Origem dos eixos no vértice)
5 Triângulo isósceles (Origem dos eixos no centroide) 
(Note: For an equilateral triangle, .)
6 Triângulo retângulo (Origem dos eixos no centroide)
7 Triângulo retângulo (Origem dos eixos no vértice
8 Trapezoide (Origem dos eixos no centroide)
9 Círculo (Origem dos eixos no centro)
Ixy � 0 IP �
πr4
2
�
πd4
32
IBB �
5πr4
4
�
5πd4
64
A �
bh
2
x �
b
2
y �
h
3
Ixy �
bh2
24
(3b � 2c) IBB �
bh3
4
Ix �
bh3
12
Iy �
bh
12
(3b2 � 3bc � c2)
A � πr2 �
πd2
4
Ix � Iy �
πr4
4
�
πd4
64
Ix �
h3(a2 � 4ab � b2)
36(a � b)
IBB �
h3(3a � b)
12
A �
h(a � b)
2
y �
h(2a � b)
3(a � b)
IP �
bh
12
(h2 � b2) IBB �
bh3
4
Ix �
bh3
12
Iy �
hb3
12
Ixy �
b2h2
24
IP �
bh
36
(h2 � b2) IBB �
bh3
12
Ix �
bh3
36
Iy �
hb3
36
Ixy � �
b2h2
72
A �
bh
2
x �
b
3
y �
h
3
h � 13 b/2
IP �
bh
144
(4h2 � 3b2) IBB �
bh3
12
Ix �
bh3
36
Iy �
hb3
48
Ixy � 0
y c
h
b
O
B B
x
B B
C
y
x
b
h
y
x
y
y x
xh
b
B
C
B
y
x
h
b
B B
O
y
y
xh
b
a
B B
C
y
x
r
d = 2r
C
B B
Apêndice A 3
10 Semicírculo (Origem dos eixos no centroide)
11 Quarto de círculo (Origem dos eixos no centro do círculo)
12 Arco de quarto de círculo (Origem dos eixos no ponto de tangência)
13 Setor circular (Origem dos eixos no centro do círculo)
14 Segmento circular (Origem dos eixos no centro do círculo)
Iy �
r4
12
(3α � 3 sen α cos α � 2 sen3 α cos α)
Ix �
r4
4
(α � sen α cos α � 2 sen3 α cos α) Ixy � 0
A �
πr2
2
y �
4r
3π
A � r2(α � sen α cos α) y �
2r
3
a sen3 α
α � sen α cos α
b
α � ângulos em radianos (α … π /2)
Ixy � 0 IP �
αr4
2
Ix �
r4
4
(α � sen α cos α) Iy �
r4
4
(α � sen α cos α)
A � αr2 x � r sen α y �
2r sen α
3α
α � ângulos em radianos (α … π /2)
Ix � a1 � 5π16 br4 L 0,01825r4 Iy � IBB � a
1
3
�
π
16
br4 L 0,1370r4
A � 11 � π
4
2r2 x � 2r
3(4 � π)
L 0,7766r y �
(10 � 3π)r
3(4 � π)
L 0,2234r
Ix � Iy �
πr4
16
Ixy �
r4
8
IBB �
(9π2 � 64)r4
144π
L 0,05488r4
A �
πr2
4
x � y �
4r
3π
Ix �
(9π2 � 64)r4
72π
L 0,1098r4 Iy �
πr4
8
Ixy � 0 IBB �
πr4
8
y
y x
r C
B B
y
y
x
r
B B
C
O
x
y
x
r
x
O
C
B B
y
a a
C
O
y
r
x
x
y
x
a a
C
O
y
y
x
r
15 Círculo com o núcleo removido (Origem dos eixos no centro do círculo)
16 Elipse (Origem dos eixos no centroide)
17 Semissegmento parabólico (Origem dos eixos no canto)
18 Arco parabólico (Origem dos eixos no vértice)
α � arccos
a
r
b � 2r2 � a2 A � 2r2aα � ab
r2
b
α � ângulos em radianos (α … π /2)
Ix �
bh3
21
Iy �
hb3
5
Ixy �
b2h2
12
A �
bh
3
x �
3b
4
y �
3h
10
y � f(x) �
hx2
b2
Ix �
16bh3
105
Iy �
2hb3
15
Ixy �
b2h2
12
A �
2bh
3
x �
3b
8
y �
2h
5
y � f(x) � ha1 � x2
b2
b
L 4,17b2/a � 4a (0 … b … a/3)
Circunferência L π [1,5(a � b) � 1ab ] (a/3 … b … a)
Ixy � 0 IP �
πab
4
(b2 � a2)
A � πab Ix �
πab3
4
Iy �
πba3
4
Ix �
r4
6
a3α � 3ab
r2
�
2ab3
r4
b Iy � r
4
2
aα � ab
r2
�
2ab3
r4
b Ixy � 0
4 Mecânica dos Materiais
a
a
y
x
a
2a
br
b
C
y
x
b
a a
b
C
y = f (x)
y
x
y
x
C
O b
h
Vertex
y
y
h
b
x
x
C
O
Vertex
y = f (x)
19 Semissegmento de grau n-ésimo (Origem dos eixos no canto)
20 Arco de grau n-ésimo (Origem dos eixos no ponto de tangência)
21 Onda senoidal (Origem dos eixos no centroide)
22 Anel circular fino (Origem dos eixos no centro). Fórmulas aproximadas para o
caso em que t é pequeno
Ix �
2bh3n3
(n � 1)(2n � 1)(3n � 1)
Iy �
hb3n
3(n � 3)
A � bh1 n
n � 1
2 x � b(n � 1)
2(n � 2)
y �
hn
2n � 1
y � f(x) � ha1 � xn
bn
b (n 7 0)
y � f(x) �
hxn
bn
(n 7 0)
Ixy �
b2h2n2
4(n � 1)(n � 2)
Ixy � 0 IP � 2πr
3t �
πd3t
4
A � 2πrt � πdt Ix � Iy � πr
3t �
πd3t
8
Ixy � 0 IBB �
8bh3
9π
Ix � a 89π �
π
16
bbh3 L 0,08659bh3 Iy � a 4π � 32π 3 bhb3 L 0,2412hb3
A �
4bh
π y �
πh
8
Ix �
bh3
3(3n � 1)
Iy �
hb3
n � 3
Ixy �
b2h2
4(n � 1)
A �
bh
n � 1
x �
b(n � 1)
n � 2
y �
h(n � 1)
2(2n � 1)
Apêndice A 5
C
O
y
y = f (x)
y
x
x
b
h
y
x
x h
b
O
C y
y = f (x)
y
y
h
b b
x
B B
C
y
x
t
C
r
d = 2r
23 Arco circular fino (Origem dos eixos no centro do círculo). Fórmulas aproxima-
das para o caso em que t é pequeno
24 Retângulo fino (Origem dos eixos no centroide). Fórmulas aproximadas para o
caso em que t é pequeno
25 Polígono regular com n lados (Origem dos eixos no centroide)
C � centroide (no centro do polígono)
n � número de lados (n � 3) b � comprimento de um lado
β � ângulo central para um lado α � ângulo interior (ou ângulo do vértice)
R1 � raio do círculo circunscrito (linha CA)
R2 � raio do círculo inscrito (linha CB)
momento de inércia ao redor de qualquer eixo através de C (o centroide C é
um ponto principal e cada eixo através de C é um eixo principal)
Ixy � 0 IBB � r
3ta2β � sen 2β
2
�
1 � cos 2β
β b
Ix � r
3t(β � sen β cos β) Iy � r
3t(β � sen β cos β)
A � 2βrt y �
r sen β
β
β � ângulo em radianos (Observação: Para arco semicircular, β � π /2.)
Ix �
tb3
12
sen2 β Iy �
tb3
12
cos2 β IBB �
tb3
3
sen2 β
A � bt
β �
360°
n
α � an � 2
n
b180° α � β � 180°
Ic �
nb4
192
acotg β
2
b a3 cotg2 β
2
� 1b IP � 2Ic
Ic �
R1 �
b
2
cossec
β
2
R2 �
b
2
cotg
β
2
A �
nb2
4
cotg
β
2
6 Mecânica dos Materiais
y
y
x
B B
C
b b
t
r
O
y
x
B B
C
b
t
b
b
b
a
C
B
A
R1
R2