AULAS TEAMS Teoria das Estruturas I alunos

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APRESENTAÇÃO 
 
Teoria das estruturas é a parte da mecânica que estuda as estruturas, consistindo este 
estudo na determinação dos esforços e das deformações a que elas ficam submetidas 
quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações térmicas, movimentos de seus 
apoios,...). Sussekind, volume 1. 
 
Uma estrutura recebi solicitações externas (cargas, ventos, etc,.) e tem que transmitir essas 
cargas até o apoio. 
 
A estática, parte da Mecânica Clássica, é a teoria do equilíbrio das forças. Tem como 
finalidade o estudo das condições ou relações entre as forças que, atuando num corpo ou 
sistema de corpos, implicam em equilíbrio. 
 
A estática, aplicada à engenharia é utilizada para a análise e dimensionamento de 
estruturas e também para cálculo de suas deformações. 
 
1. REVISÃO DE MECÂNICA 
Uma pequena revisão de mecânica. 
A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos 
movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de 
corpos sob a ação de forças. A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos 
físicos, fornecendo, assim, os fundamentos para as aplicações da Engenharia. 
 
1.1. Conceitos Fundamentais 
Os conceitos fundamentais da Mecânica baseiam-se na Mecânica Newtonia: 
• Espaço: o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material, 
o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto 
de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos são 
conhecidos como as coordenadas do ponto; 
 
 
 
• Tempo: para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O 
tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado; 
• Força: a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a 
produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de 
aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um 
vetor; 
 
1.2. Sistema Internacional de Unidades 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e 
unidades derivadas. As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As 
unidades derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc... 
 
As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as 
três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições. 
 
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a 
aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de 
Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2. 
 
O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação 
P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de 
massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da 
gravidade. 
 
A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida 
por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 
metro tro quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N /m2 . Pascal é 
também unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais 
(cisalhamento). 
 
2. INTRODUÇÃO 
 
 
 
“Uma estrutura pode ser definida como uma composição de uma ou mais peças, 
ligadas entre si e ao meio exterior de modo a formar um sistema em equilíbrio”. Ver 
Estruturas Isostáticas, 2011, página 11 - Maria Cascao Ferreira de Almeida 
 
 
2.1. Tipos de elementos estruturais 
Neste item apresenta-se uma classificação dos elementos estruturais com base na 
geometria e nas dimensões, e também as principais características dos elementos 
estruturais mais importantes e comuns nas construções. 
 
2.1.1. Elementos Lineares - Unidimensionais 
São aqueles onde o comprimento longitudinal é maior em pelo menos três vezes a 
maior dimensão da seção transversal (NBR 6118, item 14.4.1), chamados “barras”. Os 
exemplos mais comuns são: Vigas; Pilar ou coluna; Arcos; Treliças; Tirante e Grelha. 
 
2.1.2. Elementos Bidimensionais 
São também chamados “elementos de superfície”. São aqueles onde a espessura é 
pequena comparada às outras duas dimensões (comprimento e largura) (NBR 6118, item 
14.4.2). Os exemplos mais comuns são as lajes, paredes e cascas. 
 
2.1.3. Elementos Tridimensionais 
 
 
 
São os elementos onde as três dimensões tem a mesma ordem de grandeza. 
Exemplos mais comuns são: os blocos de fundação e sapatas de fundação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2. Grandezas Fundamentais 
Força ➔ É a ação de um corpo sobre outro, causando deformação ou movimento. As 
forças sao grandezas vetoriais, caracterizadas por direção, sentido e intensidade. 
 
Momento ➔ É a tendencia de rotação, em torno de um ponto, provocada por uma 
força. Momento = força x distância. 
 
Esforços Normais (EN) ➔ Os Esforços Normais sao solicitaçoes aplicadas na direção 
do eixo da barra, sendo que quando produzem o alongamento das fibras serão 
consideradas “positivas” (tração). Quando produzem o encurtamento das fibras serão 
consideradas “negativas” (compressão). 
 
Esforços Cortantes (EC) ➔ Os Esforços Cortantes sao solicitaçoes aplicadas na 
direção transversal ao eixo da barra e provocam o “corte”da seção. O corte pode ser dado 
de “cima para baixo” ou de “baixo para cima”, ou ainda, “da esquerda para a direita” ou da 
 
 
 
“direita para a esquerda”, sem que isto produza efeitos distintos. O Esforço Cordante 
“distorce” o elemento, ou seja, altera sua forma e nao suas dimensões. Desta forma o sinal 
“positivo” ou “negativo” nao tem influencia nas tensoes e sim na direção das fissuras. 
 
Momento Fletor (MF) ➔ Os Momentos Fletores são esforços que tendem a “dobrar” 
as barras, causando solicitações de tração (alongamento) e de compressão (encurtamento) 
das fibras. 
 
Momento Torsores (MT) ➔ Os Momentos Torsores sao esforços que tendem a 
“rodar” as barras sobre seu próprio eixo, causando tensões cisalhantes (mudança de forma) 
na seção. Usando a mão direita, o polegar indica a seta dupla e os dedos o sentido da 
direção (regra da mão direita – no negativo o dedo entra e no positivo o dedo sai). 
 
 
 
2.3. Condições de Equilíbrio 
Um corpo qualquer submetido a um sistema de forças está em equilíbrio estático 
caso não haja qualquer tendência à translação ou à rotação. 
 
 
 
 
 
As equações universais da Estática que regem o equilíbrio de um sistema de forças 
no espaço são: 
 
 
No plano a analise de solicitaçoes em estruturas isostáticas serao sempre utilizadas 
as equaçoes fundamentais da estática: 
Fx = 0 (somatório das forças horizontais igual à zero) 
Fy = 0 (somatório das forças verticais igual à zero) 
MF = 0 (somatório dos momentos fletores igual à zero) 
MT = 0 (somatório dos momentos torsores igual à zero) 
 
Importante lembrar, para que sejam definidas de forma mais simples as incognitas 
do problema (reacoes de apoios e momentos internos), o ideal é aplicar a equaçao de 
equilibrio de momentos em pontos onde estes momentos sejam zero, como em apoio de 
primeiro e segundo genero, ou em rotulas. 
 
2.4. Graus de Liberdade 
Uma estrutura espacial possui seis graus de liberdade: três translações e três 
rotações segundo três eixos ortogonais. A fim de evitar a tendência de movimento da 
estrutura, estes graus de liberdade precisam ser restringidos. Esta restrição é dada pelos 
apoios (vínculos), que são dispositivos mecânicos que, por meio de esforços reativos, 
impedem certos deslocamentos da estrutura. Estes esforços reativos (reações), juntamente 
com as ações (cargas aplicadas à estrutura) formam um sistema em equilíbrio estático. 
 
 
 
 
 
2.5. Aparelhos de Apoio 
Para garantir que uma estrutura ou um elemento estrutural permaneçam na posição 
desejada sob todas as condições de carregamento, eles são fixados em umafundação ou 
conectados a outros membros estruturais por meio de apoios. 
As representaçoes para os apoios mais usuais serão destacadas a seguir. 
 
2.5.1. Apoio de Primeiro Gênero 
 Apoio de primeiro genero (apoio móvel) é capaz de impedir o movimento do ponto 
vinculado do corpo numa direção pré-determinada. 
 
 
 
 
2.5.2. Apoio de Segundo Gênero 
Apoio fixo ou do 2º gênero ou rótula, é capaz de impedir qualquer movimento do 
ponto vinculado do corpo em todas as direções, permanecendo livre apenas a 
rotação. 
 
 
 
 
 
 
 
2.5.3. Apoio de terceiro Gênero 
O engaste ou apoio do 3º gênero, é capaz de impedir qualquer movimento do ponto 
vinculado do corpo e o movimento de rotação do corpo em relação a esse ponto. 
 
 
 
 
 
Exemplo de apoio na Ponte Rio-Niteroi (Figura 1). 
 
Figura 1 – Apoio na Ponte Rio-Niteói 
 
 
 
 
Fonte: http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=870660 
 
 
 
http://www.skyscrapercity.com/showthread.php?t=870660
 
 
 
 
Quando o número de movimentos impedidos é maior que o necessário para impedir 
o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hiperestática, ocorrendo 
uma situação indesejável de equilíbrio estável. 
Nesse caso, as equações universais da Estática não são suficientes para a 
determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de 
compatibilidade de deformações. 
 
 
2.6. Carregamentos 
As estruturas devem ser dimensionadas de modo que atenda as cargas que uma 
estrutura deve suportar. Normalmente, são dois tipos de cargas: carga permanente e 
sobrecarga. 
 
Cargas concentradas ➔ são uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas 
segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da estrutura). São 
representadas por cargas aplicadas pontualmente; 
 
 
 
 
 
Cargas-momento ➔ são cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um 
ponto qualquer da estrutura. 
 
 
Cargas distribuídas ➔ são cargas distribuídas continuamente. Os tipos mais usuais 
são as cargas uniformemente distribuídas e as cargas triangulares (casos de empuxos de 
terra ou água). 
 
 
Obs: 
• na carga triangular a resultante fica a 1/3 da maior altura. 
• Na carga retangular a resultante fica no centro (l/s). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO 
Definidos os apoios, o calculo de suas reações é imediatos. 
Exemplo 1: Calcular as reações de apoio com base nas equações do equilíbrio 
estático da viga biapoiada abaixo. 
 
 
 
Fx = 0 ➔ HB = 0 
 
+ 
 
 Fy = 0 
VA + VB – 5 = 0 
VA + VB = 5 kN 
 
MA = 0 +
 
-8 VB + (5 x 3) = 0 
-8 VB = - 15 
VB = 1.88 kN 
VA = 3.12 kN 
 
 
 
Exemplo 2: Calcular as reações de apoio com base nas equações do equilíbrio 
estático da viga biapoiada abaixo. 
 
Fx = 0 ➔ HB = 0 
+ Fy = 0 
VA + VB = 0 
VA = - VB 
MA = 0 + 
-l VB + M = 0 
VB = M/l 
 
 
VA = - M/l 
 
 
 
 
Fx = 0 ➔ HB = 0 
+ Fy = 0 
VA + VB = 0 
VA = - VB 
 
MA = 0 + 
-8 VB - 9 = 0 
-8 VB = + 9 
VB = - 1.13 kN 
VA = + 1.13 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Calcular as reações de apoio com base nas equações do equilíbrio 
estático da viga biapoiada abaixo. 
 
Fx = 0 ➔ HB = 0 
+ Fy = 0 
VA + VB – (q x l) = 0 
VA + VB = ql 
MA = 0 + 
-l VB + (q x l x l/2) = 0 
VB = ql/2 
 
 
VA = ql/2 
 
 
 
 
 
Fx = 0 ➔ HB = 0 
+ 
 
 Fy = 0 
VA + VB – (20 x 8) = 0 
VA + VB = 160 kN 
 
MA = 0 + 
-8 VB + (20 x 8 x 4) = 0 
-8 VB = -640 
VB = 80 kN , logo VA = 80 kN 
 
 
 
 
Exemplo 4: Calcular as reações de apoio da viga abaixo. 
 
Fx = 0 ➔ HB = 0 
+ 
 
 Fy = 0 
VA + VB – (
2
8130
) = 0 
VA + VB = 520 kN 
 
MA = 0 + 
-8 VB + (
2
8130
 x 
3
82
) = 0 
-8 VB = -2771.6 
VB = 346.5 kN , logo VA = 173.5 kN 
 
Exemplo 5: Calcular as reações de apoio da viga abaixo. 
 
Fx = 0 ➔ HA = 0 
+ 
 
 Fy = 0 
VA – (20 x 3.5) = 0 
VA = 70 kN 
 
MA = + (20 x 3.5 x 4.25) 
MA = 297.5 kNm 
 
 
 
 
Exemplo 6: Calcular as reações de apoio da viga abaixo. 
 
Fx = 0 + 
HB +10 = 0 , logo HB = -10kN. Se deu negativo, HB é para outro sentido 
 
+ 
 
 Fy = 0 
VA + VB – 20 – (5 x 2) – (
2
213
) = 0 
VA + VB = 43 kN 
 
MA = 0 + 
-7 -11VB + (
2
213
x( 2
3
1
 )+9)) + (5 x 2 x 4)-20 x 3 = 0 
-11 VB = -98.67 
VB = 8.97 kN 
Va = 34.03 kN 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 7: Calcular as reações de apoio do portico abaixo. 
 
 
 + 
HA - 4 = 0 , logo HA = 4kN, se deu positivo, HA esta no sentido certo 
 
+ 
 
 Fy = 0 
VA + VB – 6 = 0 
VA + VB = 6 kN 
 
MA = 0 + 
-8VB + (4 x 6) + (6 x 4)-8 = 0 
-8 VB = -40 
VB = 5 kN 
VA = 1 kN 
 
 
 
Exemplo 8: Calcular as reações de apoio da treliça abaixo. 
 
 
 + 
Fx = 0 
HA +3 -4 -2 = 0 , logo HA = 3kN, se deu positivo, logo HA esta no sentido certo 
 
+ Fy = 0 
VA + VB – 3 -8 -6 -5 = 0 
VA + VB = 22 kN 
 
MA = 0 + 
-14VB + (6 x 10) + (2 x 6) + (5 x 7) + (8 x 7) - (3 x 8) + (3 x 4) + (4 x 6)= 0 
-14 VB = -175 
VB = 12.5 kN 
VA = 9.5 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9: Calcular as reações de apoio da viga engastada abaixo. 
 
Solução: 
Primeiro passo é decompor a carga de 3 kN, para X e Y. 
X = 3 cos 40º = 2.30 kN 
Y = 3 sen 40º = 1.93 kN 
 
HA = 2.30 kN 
 
VA = (7 x 5) + (4 x 3) + 3 + 6 + 2 + 1.93 = 59.93 kN 
 
 
 
MA = (7 x 5 x 2.5) + (4 x 3 x 6.5) + (3 x 2) + (6 x 7) + (2 x 12) + (1.93 x 10) + 7 = 
263.80 kNm 
 
 
 
 
Exemplo 10: Calcular as reações de apoio do portico abaixo. 
 
 
 
 + Fy = 0 
VA + VB – (8 x 2) –(3 x 5) – (6 x 2) - 2 = 0 
VA + VB = 45 kN 
MA = 0 
 
+ 
-5VB + (6 x 2 x 6) + (3 x 5 x 2.5) + (2 x 1) 
- (4 x 2) - (8 x 2 x 1) = 0 
VB = 17.5 kN 
VA = 27.5 kN 
 
+ Fx = 2 kN 
 
 
 
Exemplo 11: Calcular as reações de apoio da grelha abaixo. 
 
+ 
 
 Fz = 0 
VA + VB + VC = 16 t 
 
MAB = 0 + 
+ (4 x 3) – 6 VC +(3 x 6) = 0 
– 6 VC = - 30 
VC = 5 t 
 
MBC = 0 + 
+ (3 x 3) + 3 VA - (9 x 1.5) – (4 x 3) = 0 
+ 3 VA = + 16.5 
VA = 5.5 t 
VB = 5.5 t 
 
 
 
 
Exemplo 12: Calcular as reações de apoio da grelha abaixo. 
 
+ 
 
 Fz = 0 
VA + VB + VC = 6 t 
 
MAB = 0 + 
+ (1 x 5 x 2.5) – 5 VC +(1 x 5) - 2 = 0 
– 5 VC = - 15.5 
VC = 3.1 t 
 
MBC = 0 + 
+ 3 VA + (1 x 2) + 4 + 3 = 0 
+ 3 VA = - 9 
VA = -3 t 
VB = 5.9 t 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 15: Calcular as reações de apoio do portico abaixo. 
 
ΣFx = 0 + 
HA+ (4 x 2) - (6 x 2) = 0 
HA = 4 kN 
ΣFy = 0 + 
VA = (3 x 8) + (2 x 8) =40 kN 
 
Σ MA➔ sentido horário: (24 x 4) + (16 x 4) + (8 x 7) = 216 kNm 
 Sentido anti-horário: (12 x 5) = 60kNm 
Logo, no engaste terá que girar no sentido anti-horário no valor de 156 kNm para a 
estrutura ficar em equilíbrio. 
 
 
 
 
Exemplo 16: Calcular as reações de apoio do portico abaixo. 
 
 
 
ΣFx = 0 + 
HA = 0 
 
ΣFy = 0 + 
VA + VB - (2000 x 7) - 5000 = 0 
VA + VB = 19000 kN 
 
Σ MA= 0 + 
-7 VB + (5000 x 5) + (2000 x 7 x 3.5) = 0 
-7 VB= 74000 
 VB= 10571 kN ; logo, VA = 8429 kN 
 
 
 
 
 
Exemplo 17: Calcular as reações de apoio do portico articulado abaixo. 
 
 
ΣFx = 0 + 
HA + HB - (3 x 4) = 0 
HA + HB = 12 kN 
ΣFy = 0 + 
VA + VB (2 x 10) = 0 
VA + VB = 20kN 
Σ MA= 0 + 
-10 VB- (3 x 4 x 2) + (2 x 10 x 5) = 0 
-10 VB= 76 
 VB= 7.6 kN ; logo, VA = 12.4kN 
Para descobrir os valores de HAe HB, faremos momento em outro ponto, onde o 
momento seja zero. Momento em C. 
Σ MC esquerda= 0 
 + 
5 VA– 7HA- (2 x 5 x 2.5) = 0 
HA = 5.3kN, logo HB = 6.7 kN 
 
 
 
 
Exemplo 18: Calcular as reações de apoio do portico articulado abaixo. 
 
ΣFx = 0 + 
HA + HB + (1 x 3) – (2 x 6) = 0 
HA + HB = 9kN 
 
ΣFy = 0 + 
VA + VB (4 x 10) = 0 
VA + VB = 40 kN 
 
Σ MA= 0 + 
-10 VB–3HB- (1 x 3 x 4.5) + (4 x 10 x 5) + (2 x 6 x 3) = 0 
-10 VB- 3 HB + 222.5 = 0 
Tenho 2 incógnitas.Logo, preciso fazer momento em outro ponto onde o momento 
seja zero. Neste caso em C (rótula), lá o momento fletor é zero. Vou ter que escolher um 
lado (direito ou esquerdo) para fazer o calculo do momento fletor em C. Se for fazer pelo 
lado direito terei as incógnitas B, se for fazer pelo lado esquerdo terei as incógnitas A. 
Como já fiz um sistema em B (-10 VB- 3 HB + 222.5 = 0), logo fazei o momento em C pelo 
lado direito. 
 
 
 
 
Σ MC Direito = 0 + 
-5 VB + 6HB + (1 x 3 x 4.5) + (4 x 5 x 2.5) = 0 
-5 VB + 6HB + 63.5 = 0 
 
Montando o sistema para achar VB e HB. 
-10 VB- 3 HB + 222.5 = 0 
-5 VB + 6HB + 63.5 = 0 
 
VB = 20.3 kN 
HB = 6.4 kN 
Logo, VA e HA 
VA = 19.7 kN 
HA = 2.6 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. ESTABILIDADE E ESTATICIDADE 
À estabilidade e a estaticidade devem ser estudadas simultaneamente. 
Estabilidade classifica-se como: estável e instável. 
Estaticidade classifica-se como: hipostática, isostática e hiperestática. 
 
Para definir se a estrutura é: isostática; hipostática e hiperestática. 
 
• Estruturas isostáticas 
Quando o número de movimentos impedidos é igual ao estritamente necessário para 
impedir o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é isostática, 
ocorrendo uma situação de equilíbrio estável. 
 
 
Número de reações (incognitas) = Número de equações de equilíbrio 
 
• Estruturas hipostáticas 
Estruturas hipostáticas são aquelas cujo número de reações de apoio ou vínculos é 
inferior ao número de equações fornecidas pelas condições de equilíbrio da Estática. 
 
Número de reações (incognitas) < Número de equações de equilíbrio 
 
• Estruturas hiperestáticas 
Quando o número de movimentos impedidos é maior que o necessário para impedir 
o movimento de corpo rígido da estrutura, diz-se que a estrutura é hiperestática, ocorrendo 
uma situação indesejável de equilíbrio estável. 
Nesse caso, as equações universais da Estática não são suficientes para a 
determinação das reações de apoio, sendo necessárias equações adicionais de 
compatibilidade de deformações. 
 
 
 
 
Número de reações (incognitas) > Número de equações de equilíbrio 
 
 
4.1. Grau de Estaticidade 
Uma estrutura será estática, quando o número e a posição dos apoios é suficiente 
para o equilíbrio da mesma. Esta “estaticidade” pode ser definida pelo número de 
solicitações existentes (incognitas) e pelo número de equações disponiveis para sua analise, 
visto que nesta analise sera gerado um sistema de equações, que pode ser determinado ou 
indeterminado. Esta analise pode se em estruturas “abertas” e estruturas “fechadas”. 
 
O grau de estaticidade das estrututas “aberta” será definido como “externo”e será 
dado por: 
Ge = I – E - R 
Onde: 
I ➔ representa o numero de reações de apoio da estrutura; 
E ➔ são as equacoes fundamentais da estática (Fx =0; Fy =0; M =0 ) 
R ➔são as rótulas existentes na estrutura, ou seja, o número de momentos 
liberados. 
 
Observação: 
Ge = 0 ➔ são estruturas isostáticas 
Ge > 0 ➔ são estruturas hiperestáticas 
Ge < 0 ➔ são estruturas hipostáticas (sem equilíbrio) 
 
 
 
 
 
 
 
I = Reações = 5 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 0 
Ge = I – E – R = 5 – 3 – 0 = 2 
Estrutura hiperistática 
 
I = Reações = 6 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
Ge = I – E – R = 6 – 3 – 1 = 2 
Estrutura hiperistática 
 
I = Reações = 4 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
Ge = I – E – R = 4 – 3 – 1 = 0 
Estrutura isostática 
 
I = Reações = 3 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
Ge = I – E – R = 3 – 3 – 1 = -1 
Estrutura hipostática 
 
I = Reações = 3 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 0 
Ge = I – E – R = 3 – 3 – 0 = 0 
Estrutura isostática 
 
 
 
 
 
 
O grau de estaticidade das estrututas “fechadas” será definido como “interna”e será 
dado por : 
Gi = 3 x N 
Onde: 
Gi ➔ grau de estaticidade interna; 
3 ➔ representa o número de esforços liberados (V, H e M ); 
N ➔ representa o número de cortes. 
 
Algumas estruturas podem ter suas reações de apoio determinadas, mas pode não 
ser possivel traçar os diagramas de solicitações. Isso ocorre em estruturas “fechadas”, logo 
para traçar os diagramas é necessario “abrir”a estrutura. 
O grau de estaticidade interna (Gi) será igual produto do número de solicitações 
liberadas pelo número de cortes aplicados. 
 
 
Como no desenho acima foi realizado um corte e este liberou três esforços (V, H e 
M), o grau de estaticidade interna da estrutura é três (3 x 1 = 3). 
Gi = 3 x N 
Gi = 3 x 1 = 3 
 
 
5. ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURA PLANA 
Uma estrutura é dita plana quando tanto ela quanto as forças que nela atuam 
pertencem a um mesmo plano. 
 
 
 
 
As direções de deslocamento de interesse são três, para um plano x-y em qualquer 
seção S da estrutura: normal (N); cortante (Q) e momento fletor (MF). 
 
Convenção de sinais para os Esforços Solicitantes Internos de uma estrutura 
 
Tabela Livro Estruturas Isostáticas – Maria Cascão 
 
Conhecendo as forças externas (forças aplicadas na estrutura e as reações de apoio) 
os esforços solicitantes internos normal, cortante e momento fletor, em qualquer seção 
transversal, podem ser determinados pela linha de estado ou os diagramas: 
Diagrama de esforço normal (DEN); 
Diagrama de esforço cortante (DEC); 
Diagrama de momento fletor (DMF); 
 
O momento fletor representa o efeito de flexão (dobramento) em uma seção 
transversal de uma barra (dobra a seção de estudo). 
 
O esforço cortante representa o efeito de força de cisalhamento em uma seção 
transversal de uma barra (força que corta a seção de estudo). 
 
 
 
 
O esforço normal representa o efeito de força de tração ou força de compressão em 
uma seção transversal de uma barra (força que entra ou sai da seção de estudo). 
 
 
 
5.1. Cálculo dos Esforços Internos em uma seção S 
Todas as forças externas já identificada (reaçoes de apoio e cargas aplicadas), a 
determinação dos Esforços Solicitantes Internos pode ser feito considerando as forças à 
direita de S ou a esquerda de S. 
 
Exemplo: 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 + 
HA = 2 kN 
ΣFy = 0 + 
VA + VB - 3 = 0 
VA + VB = 3 kN 
Σ MA= 0 + 
-9 VB + (3 x 6) = 0 
-9 VB= -18 
 VB= 2 kN ; logo, VA = 1 kN 
 
2º Passo: Determinar os Esforços Solicitantes Internos: 
 
 
 
Para determinar o Esforços Solicitantes Internos da Seção S, pode ser feito por 
qualquer lado, esquerdo ou direito de S. 
Fazendo a esquerda de S1. 
N = +2 kN (tração) 
Q = +1 kN (para cima + ) 
M = + (1 x 3) = +3 kNm 
 
Fazendo a direita de S2. 
N = 0 (não tem força normal a direita de S2) 
Q = -2 kN (para baixo - ) 
M = + (2 x 3) = +6 kNm 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. VIGAS ISOSTÁTICAS 
Vigas são estruturas compostas por barras. As vigas podem ser simples ou 
compostas. Viga simples todos os nós são rígidos e a composta os nós podem ser 
articulados (viga gerber). 
 
6.1. Viga Simples: 
Uma viga simples pode ser biapoiada ou engastada. 
Viga biapoiada tem dois apoios (um apoio de primeiro gênero e outro de segundo 
gênero). Já a viga engastada, somente um engaste. 
 
 
 
Para traçar os diagramas dos Esforços Solicitantes Internos em uma determinada 
viga é necessário: 
1º - Calcular as reações de apoio; 
2º - Identificar as seções notáveis da viga, tais como, apoios, carga concentrada, 
carga momento, início e fim de carga uniformemente distribuída, etc. 
 
1º Exemplo: 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 + 
HB - 8 = 0 , Logo HB = 8 kN 
 
 
 
ΣFy = 0 + 
VA + VB – (20 x 4) - 3 = 0 
VA + VB = 83 kN 
Σ MA= 0 + 
-11 VB + (3 x 9) + (20 x 4 x 5) = 0 
-11 VB= -427 
 VB= 38.82 kN ; logo, VA = 44.18 kN 
 
2º Passo: Desenhar os diagramas 
Diagrama de esforço normal (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo NC = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo ND = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo NE = - 8 (entrando na seção E pelo ladoesquerdo) 
Fazendo pelo lado esquerdo NEB = Constante =- 8 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = + 8 (saindo da seção B pelo lado esquerdo) 
Fechando o diagrama no ponto B = -8 +8 = 0 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = +44.18 
Fazendo pelo lado esquerdo QC = Constante = +44.18 
Fazendo pelo lado esquerdo QCD = - 20 x 4 = - 80 
Logo, tem-se que + 44.18 – 80 = – 35.82 
Fazendo pelo lado esquerdo QDE = Constante = -35.82 
Fazendo pelo lado esquerdo QE = -3 
Logo, tem-se que -35.82 – 3 = – 38.82 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = + 38.82 
Fechando o diagrama no ponto B = -38.82 +38.82 = 0 
 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado direito MA = + 38.82 x 11 – 3 x 9 – (20 x 4 x 5) = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = + 44.18 x 3 = + 132.55 
Fazendo pelo lado direito MC = + 38.82 x 8 – 3 x 6 – (20 x 4 x 2) = + 132.55 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = + 44.18 x 7 – (20 x 4 x 2) = + 149.27 
Fazendo pelo lado direito MD = + 38.82 x 4 – 3 x 2 = + 149.27 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = + 44.18 x 9 – (20 x 4 x 4) = + 77.64 
Fazendo pelo lado direito ME = + 38.82 x 2 = + 77.64 
Fazendo pelo lado esquerdo MB = + 44.18 x 11 – (20 x 4 x 6) - 3 x 2 = 0 
Fazendo pelo lado direito MA = 0 
 
 
No meio da carga uniformemente distribuída ocorre Ql2 /8 = 20 x 42/8 = 40 kNm 
(132.55 + 149.27) / 2 = 140.91 kNm 
140.91 + 40 = 180.91 kNm 
 
Calculando o Momento Máximo: 
 
 
 
 
 
 
Primeiro passo é descobrir o valor de x (distância) para calcular o valor do momento 
máximo. 
Fazendo por semelhança de triangulo, x = 2.209 m 
Momento Máximo = + 44.18 x 5.209 – (20 x 2.209 x 2.209/2) = + 181.35 kNm 
 
Obs.: O momento fletor máximo ocorre no ponto onde o esforço cortante é zero, 
porque: dM / dx = Q. 
 
- Convenção: O diagrama de momento fletor é desenhado para baixo se positivo e 
para cima se negativo. 
 
 
 
2º Exemplo: 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio no engaste 
ΣFx = 0 + 
HA - 30 = 0 , Logo HA = 30 kN 
ΣFy = 0 + 
VA - (28 x 1.5) - 5 = 0 
VA = 47 kN 
Σ MA= + 
- MA + (28 x 1.5 x 1.75) + (5 X 4.5) – 8 = 0 
MA = 88 kNm 
 
 
 
2º Passo: Desenhar os diagramas 
Diagrama de esforço normal (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = + 30 
Fazendo pelo lado esquerdo NAB = Constante = + 30 
Fazendo pelo lado esquerdo NBC = Constante = + 30 
Fazendo pelo lado esquerdo NCD = Constante = + 30 
Fazendo pelo lado esquerdo ND = - 30 
Logo, tem-se que + 30 – 30 = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo NDE = Constante = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo NEF = Constante = 0 
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 47 
Fazendo pelo lado esquerdo QAB = Constante = + 47 
Fazendo pelo lado esquerdo QBC = - (28 x 1.5 ) = 42 
Logo, tem-se que + 47 – 42 = + 5 
Fazendo pelo lado esquerdo QCD = Constante = + 5 
Fazendo pelo lado esquerdo QD = - 5 
Logo, tem-se que + 5 – 5 = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo QDE = Constante = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo QEF = Constante = 0 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = - 88 
Fazendo pelo lado direito MA = + 8 – 5 X 4.5 - (28 X 1.5 X 1.75 ) = - 88 
Fazendo pelo lado esquerdo MB = - 88 + 47 X 1 = - 41 
Fazendo pelo lado direito MB = + 8 – 5 x 4.5 – (28 x 1.5 x 0.75) = - 41 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = - 88 + 47 X 2.5 - (28 x 1.5 x 2.75) = - 2 
Fazendo pelo lado direito MC = + 8 – 5 x 2 = - 2 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = - 88 + 47 X 4.5 - (28 x 1.5 x 2.75) = + 8 
Fazendo pelo lado direito MD = + 8 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = - 88 + 47 X 6 - (28 x 1.5 x 4.25) – 5 X 1.5 = + 8 
Fazendo pelo lado direito ME = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MF = - 88 + 47 X 7 - (28 x 1.5 x 5.25) – 5 X 2.5 -8 = 0 
Fazendo pelo lado direito MF = 0 
 
 
 
 
 
7. DETERMINAR O MOMENTO FLETOR A PARTIR DA ÁREA DE DIAGRAMA DE 
CORTANTE 
Pode-se calcular o momento fletor pela área do cortante (diagrama do cortante). 
 
Exemplo 1: 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 + 
HB = 0 
ΣFy = 0 + 
VA + VB – 15 – (23 x 1) - 7 = 0 
VA + VB = 45 kN 
Σ MA= 0 + 
-4 VB + (7 x 3) + (23 x 1 x 1.5) – (15 x 1) = 0 
-4 VB= -40.5 
VB= 10.13 kN ; logo, VA = 34.87 kN 
 
 
 
2º Passo: Desenhar os diagramas: 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo QC = - 15 
Fazendo pelo lado esquerdo QCA = Constante = - 15 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 34.87 
Logo, tem-se que - 15 + 34.87 = + 19.87 
Fazendo pelo lado esquerdo QAD = Constante = +19.87 
Fazendo pelo lado esquerdo QDE = - (23 x 1) = - 23 
Logo, tem-se que + 19.87 – 23 = – 3.13 
 
 
 
Fazendo pelo lado esquerdo QF = - 7 
Logo, tem-se que – 3.12 – 7 = – 10.13 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = +10.13 
Fechando o diagrama no ponto B = - 10.13 + 10.13 = 0 
 
 
 
Área do cortante QCA = 15 x 1 = 15 
Área do cortante QAD = 19.87 x 1 = 19.87 
Área do cortante QDG = (19.87 x 0.864)/2 = 8.584 
Área do cortante QGE = (3.13 x 0.136)/2 = 0.213 
Área do cortante QEF = 3.13 x 1 = 3.13 
Área do cortante QFB = 10.13 x 1 = 10.13 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) pela área do cortante: 
MC = 0 
MA = - 15 (negativo porque o cortante esta no negativo) 
MD = - 15 + 19.87 (positivo porque o cortante esta no positivo) = + 4.87 
MG = + 4.87 + 8.584 (positivo porque o cortante esta no positivo) = + 13.454 = Momento Máximo 
ME = + 13.454 - 0.213 (negativo porque o cortante esta no negativo) = + 13.25 
MF = + 13.25 – 3.13 (negativo porque o cortante esta no negativo) = + 10.13 
MB = + 10.13 – 10.13 (negativo porque o cortante esta no negativo) = 0 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 + 
HB = 0 
ΣFy = 0 + 
VA + VB – (13 x 2) – (25 x 1) = 0 
VA + VB = 51 kN 
Σ MA= 0 + 
-4 VB + (25 x 1 x 3.5) – 15 + (13 x 1 x 0.5) – (13 x 1 x 0.5) = 0 
-4 VB= - 72.5 
VB= 18.13 kN ; logo, VA = 32.87 kN 
 
 
 
2º Passo: Desenhar os diagramas: 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo QC = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo QCA = - 13 x 1 = - 13 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 32.87 
Logo, tem-se que - 13 + 32.87 = + 19.87 
Fazendo pelo lado esquerdo QAD = - (13 x 1) = - 13 
Logo, tem-se que + 19.87 – 13 = + 6.87 
Fazendo pelo lado esquerdo QDE = Constante = + 6.87 
Fazendo pelo lado esquerdo QEF = Constante = + 6.87 
Fazendo pelo lado esquerdo QEB = - (25 x 1) = - 25 
 
 
 
Logo, tem-se que + 6.87 – 25 = – 18.13 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = – 18.13 
Fechando o diagrama no ponto B = - 18.13 + 18.13 = 0 
 
Área do cortante QCA = (13 x 1)/2 = 6.5 
Área do cortante QAD = ((19.87 + 6.87) x 1)/2 = 13.37 
Área do cortante QDE = (6.87 x 1) = 6.87 
Área do cortante QEF = (6.87 x 1) = 6.87 
Área do cortante QFG = (6.87 x 0.2748)/2 = 0.944 
Área do cortante QGB = (18.13 x 0.7252)/2 = 6.574 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) pela área do cortante: 
MC = 0 
MA = - 6.5 (negativo porque o cortante esta no negativo) 
MD = - 6.5 + 13.37 (positivo porque o cortante esta no positivo) = + 6.87 
ME = + 6.87 + 6.87 (positivo porque o cortante esta no positivo) = + 13.75 
ME = 15 (neste ponto ha uma valor de momento fletor de 15) 
Logo, tem-se que + 13.75 – 15 = - 1.25 
MF = -1.25 + 6.87 (positivo porque o cortante esta no positivo) = + 5.62 
MG = + 5.62 + 0.944 (positivo porque o cortante esta no positivo) = + 6.57 = Momento Máximo 
MB = + 6.57 – 6.57 (negativo porque o cortante esta no negativo) = 0 
 
Resumo: 
Para achar o valor de momento fletor, tem que pegar a área do cortante e somar (ou 
diminuir) o momento anterior. 
 
 
 
 
8. VIGAS GERBER 
As Vigas Gerber são decompostas nas diversas vigas isostáticas que as constituem 
de vigas com estabilidade própria e vigas que se apóiam sobre as demais (sem estabilidade 
própria). 
As aplicações principais são em pontes. 
 
 
Livro: Sussekind 
 
As vigas Gerber por serem vigas isostáticas simples,podem ser calculadas 
estabelecendo o equilíbrio de cada uma delas. Resolvendo primeiramente as vigas que não 
tem equilíbrio próprio e transmitindo a carga para as vigas com estabilidade própria. 
Na viga Gerber (rótula) o momento é zero (nulo). 
Ponte Rio-Niterói – na sua construção. 
 
 
Fonte: http://banco.agenciaoglobo.com.br/Pa...idimagem=18021 
http://banco.agenciaoglobo.com.br/Pages/DetalheDaImagem/?idimagem=18021
 
 
 
 
 
Fonte: http://banco.agenciaoglobo.com.br/Pa...idimagem=18010 
 
Decomposição das vigas Gerber. 
Exemplo 1 de decomposição: 
 
A viga AB está instável, a viga BC esta em equilíbrio (engastada). 
Primeiramente resolve a viga AB (que esta instável), achando a valor do apoio B 
transferi esse valor para a viga que esta estável (em equilíbrio) viga BC. 
 
Exemplo 2 de decomposição: 
 
A viga AB está instável, a viga BCD esta em equilíbrio. 
http://banco.agenciaoglobo.com.br/Pages/DetalheDaImagem/?idimagem=18010
 
 
 
Primeiramente resolve a viga AB (que esta instável), achando a valor do apoio B 
transferi esse valor para a viga que esta estável (em equilíbrio) viga BCD. 
 
 
Exemplo 3 de decomposição: 
 
 
A viga I está instável, a viga II esta em equilíbrio (engastada). 
Viga I ➔ ➔ instável (sem equilíbrio). 
 
Viga II ➔ ➔ estável (com equilíbrio). 
 
Resolve-se primeiramente a viga que esta sem equilíbrio (viga I), descobrindo a 
reação do apoio adicional, transfere-se para a viga II. 
 
 
Exemplo 4 de decomposição: 
 
 
 
A viga I está instável, a viga II e III estável (em equilíbrio). 
Resolve primeiramente a viga I. E transferi as reações para as vigas I e II. 
 
 
 
 
 
Viga I ➔ ➔ instável (sem equilíbrio). 
Na viga I, colocam-se os apoios para calcular as reações de apoio, com os valores 
das reações de apoio, transferir o valor para a viga em equilíbrio. 
 
Viga II e III➔ ➔ estável (com equilíbrio). 
 
Exemplo 5 de decomposição: 
 
 
 
 
Exemplo 6 de decomposição: 
 
 
 
 
 
 
 
Resumo: 
As rótulas transmitem forças verticais e horizontais, mas não transmitem momento; 
Basta que um dos apoios resista a força horizontal na viga Gerber. 
 
Exercícios: 
1) Calcular a vigas Gerber. 
 
 
 
 
 
DEC (kN) 
DMF (kNm) 
 
 
 
 
2) Calcular a vigas Gerber. 
 
 
 
DEC (kN) 
DMF (kNm) 
 
 
 
 
3) Calcular a vigas Gerber. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Calcular a vigas Gerber. 
 
 
 
 
 
 
 
9. VIGA INCLINADA 
Na viga inclinada à necessidade de se trabalhar com dois sistemas de eixos. 
 
 
 
Para calcular uma viga inclinada é importante verificar: 
• A orientação dos apoios; 
• As direções das cargas aplicadas; 
• O ângulo que a viga faz com o eixo horizontal e 
• O desenho do diagrama tem que ser feito perpendicular a viga. 
 
Exemplo 1: 
 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 + 
HA = 0 
ΣFy = 0 + 
VA + VB – (1 x 8) = 0 
VA + VB = 8 tf 
Σ MA= 0 
 + 
-8 VB + (1 x 8 x 4) = 0 
-8 VB= -32 
VB= 4 tf ; logo, VA = 4 tf 
 
 
 
 
Para desenhar os diagramas, temos que decompor as forças para o eixo da viga. 
 = arctg (6/8) = 36.87º 
Diagrama de esforço normal (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = - 4 sen 36.87º = - 2.40 
Fazendo pelo lado esquerdo NAB = +8 sen 36.87º = + 4.8 
Logo, tem-se que - 2.4 + 4.8 = + 2.4 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = - 4 sen 36.87º = - 2.40 
Logo, tem-se que - 2.4 + 2.4 = 0 
 DEN (tf) 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 4 cos 36.87º = + 3.20 
Fazendo pelo lado esquerdo QAB = - 8 cos 36.87º = - 6.40 
Logo, tem-se que + 3.20 – 6.40 = - 3.20 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = + 4 cos 36.87º = + 3.20 
Logo, tem-se que - 3.20 + 3.20 = 0 
 
 
 
 
 DEC (tf) 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado direito MB = 0 
Carga distribuida: ql2/8 = (1 x 82)/8 = 8 ftm 
 
 DMF (tfm) 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 + 
HA – 6 = 0; logo, HA = 6 tf 
ΣFy = 0 + 
VA + VB = 0 
Σ MA= 0 + 
-8 VB + (1 x 6 x 3) = 0 
-8 VB= -18 
VB= 2.25 tf ; logo, VA = - 2.25 tf , VA é para baixo 
 
Para desenhar os diagramas, temos que decompor as forças para o eixo da viga. 
 = arctg (6/8) = 36.87º 
 
 
 
 
Diagrama de esforço normal (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = + 2.25 sen 36.87º + 6 cos 36.87º = + 6.15 
Fazendo pelo lado esquerdo NAB = - 6 cos 36.87º = - 4.8 
Logo, tem-se que + 6.15 - 4.8 = + 1.35 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = - 2.25 sen 36.87º = - 1.35 
Logo, tem-se que - 1.35 + 1.35 = 0 
DEN (tf) 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = - 2.25 cos 36.87º + 6 sen 36.87º = + 1.80 
Fazendo pelo lado esquerdo QAB = - 6 sen 36.87º = - 3.60 
Logo, tem-se que + 1.80 – 3.60 = - 1.80 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = + 2.25 cos 36.87º = + 1.80 
Logo, tem-se que - 1.80 + 1.80 = 0 
 
 DEC (tf) 
 
 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado direito MB = 0 
Carga distribuida: ql2/8 = (1 x 62)/8 = 4.50 ftm 
 
 DMF (tfm) 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
L = Raiz(62 + 82) = 10 m 
Para calcular as reaçoes de apoio, temos que decompor as forças para o mesmo eixo 
do apoio. 
R = 1 x 10 = 10 tf 
 = arctg (6/8) = 36.87º 
Ry = 10 cos 36.87º = 8.0 tf 
Rx = 10 sen 36.87º = 6.0 tf 
ΣFx = 0 + 
HA – 6 = 0; logo, HA = 6 tf 
ΣFy = 0 + 
VA + VB = 8 tf 
Σ MA= 0 
 + 
-8 VB + (8 x 4) + (6 x 3)= 0 
-8 VB= -50 
VB= 6.25 tf ; logo, VA = 1.75 tf 
 
 
 
 
Para desenhar os diagramas, temos que decompor as forças dos apoios, a carga 
distribuida, já esta perpendicular a viga. 
Diagrama de esforço normal (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = - 1.75 sen 36.87º + 6 cos 36.87º = + 3.75 
Fazendo pelo lado esquerdo NAB = constante = + 3.75 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = - 6.25 sen 36.87º = - 3.75 
Logo, tem-se que + 3.75 – 3.75 = 0 
 DEN (tf) 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = 1.75 cos 36.87º + 6 sen 36.87º = + 5.0 
Fazendo pelo lado esquerdo QAB = - ( 1 x 10) = 10 
Logo, tem-se que + 5.0 – 10 = - 5.0 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = + 6.25 cos 36.87º = + 5.0 
Logo, tem-se que - 5.0 + 5.0 = 0 
 
DEC (tf) 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado direito MB = 0 
Carga distribuida: ql2/8 = (1 x 102)/8 = 12.50 ftm 
 
 DMF (tfm) 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos: 
1) 
 
 Reação de apoio 
 DEN (kN) 
 
 
 
 
 DEC (kN) 
 
 
 
 DMF (kNm) 
 
 
 
 
 
 
2) 
 
 
 DEN (kN) 
 
 DEC (kN) 
 
 
 
 DMF (kNm) 
 
 
10. PORTICO PLANO 
Os pórticos planos são estruturas lineares constituídas por barras que formam 
quadros isostáticos, com cargas ativas e reativas. As estruturas são geralmente ligadas por 
nós rígidos, podendo haver articulações entre as barras (rótulas). 
Para os cálculos das reações de apoio, são necessárias as três equações de equilíbrio 
(equação da estática). 
Os pórticos planos são classificados: 
• Pórticos Simples; 
o Biapoiado 
o Engastado e livre (balanço) 
o Triarticulado 
o Biapoiado com articulação e tirante 
• Pórticos Compostos; 
 
 
Pórtico Biapoiado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pórtico Engastado e livre (balanço) 
Pórtico Triarticulado 
Pórtico Biapoiado com articulação e tirante 
Pórtico Composto 
 
 
 
 
 
 
10.1. Pórtico Simples 
Os estudos dos pórticos planos serão feito através dos exemplos de exercícios. 
 
Exemplo 1: Pórtico Biapoiado 
 
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
Ge = I – E – R = 0 ➔ para ser Isostático 
I = Reações = 3 
Pórtico Composto 
Pórtico Composto 
 
 
 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 0 
Ge = I – E – R = 3 – 3 – 0 = 0, logo é estrutura isostática. 
 
2ºPasso: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 + 
HA - 30 = 0 , HA = 30 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para HA esta certo) 
 
ΣFy = 0 + 
VA + VB – 20 = 0 
VA + VB = 20 kN 
Σ MA= 0 + 
-6 VB + (20 x 2) + (30 x 3) = 0 
-6 VB= - 130 
VB= 21.67 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para VB esta certo) 
VA = - 1.67 kN (se deu negativo, o sentido escolhido para VA é sentido contrário) 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador, para ter as 
convenções de sinais para os Esforços Solicitantes Internos da estrutura (apostila 3). 
 
Diagrama de esforço normal (kN): 
• Positovo quando a força sai da seçao de estudo (traçao) 
• Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressao) 
Barra AD 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = +1.67 (positivo porque sai da seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo NAC = Const. = + 1.67 
observador 
 
 
 
Fazendo pelo lado esquerdo NCD = Const. = + 1.67 
Fechando a barra AD, tem-se pelo lado direito = + 20 – 21.67 = - 1.67 
-1.67 + 1.67 = 0 , barra AD em equilíbrio 
Barra DF 
Fazendo pelo lado esquerdo ND = + 30 – 30 = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo NE = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo NF = 0 
Fechando a barra DF, tem-se pelo lado direito = 0 
Barra BF 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = -21.67 (negativo porque entra na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo NBF = Const. = -21.67 
Fechando a barra BF, tem-se pelo lado direito = +20 + 1.67 = + 21.67 
-21.67 + 21.67 = 0 , barra BF em equilíbrio 
 
 DEN (kN) 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
• Positovo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
Barra AD 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 30 
Fazendo pelo lado esquerdo QAC = Const. = 30 
Fazendo pelo lado esquerdo QC = - 30 
Logo, tem-se que + 30 – 30 = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo QCD = Const. = 0 
Fechando a barra AD, tem-se pelo lado direito = 0 , barra AD em equilíbrio 
Barra DF 
Fazendo pelo lado esquerdo QD = - 1.67 
Fazendo pelo lado esquerdo QDE = Const. = - 1.67 
Fazendo pelo lado esquerdo QE = -20 
Logo, tem-se que - 1.67 – 20 = 21.67 
Fazendo pelo lado esquerdo QEF = Const. = - 21.67 
Fazendo pelo lado esquerdo QF = +21.67 
 
 
 
Logo, tem-se que - 21.67 + 21.67 = 0 
Barra BF 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = 0 (não há carga paralela a essa seçao de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo QBF = Const. = 0 
Verificando a barra BF, pelo lado direito = +30 - 30 = 0 
 
 DEC (tf) 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
• Positovo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
• Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = + 30 x 3 = 90 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = + 30 x 7 – 30 x 4 = +210 – 120 = + 90 
Fazendo pelo lado direito MD = + 21.67 x 6 – 20 x 2 = +130.02 – 40 = + 90 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = - 1.67 x 2 + 30 x 7 – 30 x 4 = - 3.34 + 210 – 120 = + 86.7 
Fazendo pelo lado direito ME = + 21.67 x 4 = + 86.7 
Fazendo pelo lado esquerdo MF = -1.67 x 6 +30 x 7 –30 x 4 –20 x 4 = - 10.02 + 210 – 120 - 80 = 0 
Fazendo pelo lado direito MF = 0 
 DMF (tfm) 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Pórtico Biapoiado 
 
 
 
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
Ge = I – E – R = 0 ➔ para ser Isostático 
I = Reações = 3 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 0 
Ge = I – E – R = 3 – 3 – 0 = 0, logo é estrutura isostática. 
 
2º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 + 
HA – 5 + (10X 7) = 0 , HA = - 65 kN (se deu negativo, o sentido escolhido para HA é 
no sentido contrário) 
ΣFy = 0 + 
VA + VB – (20 x 5) – 4 - 3 = 0 
VA + VB = 107 kN 
Σ MA= 0 + 
-12 VB - (10 x 7 x 3.5) + (20 x 5 x 9.5) + (4 x 5.5) + (3 x 4) + (5 x 2.5) = 0 
-12 VB= - 751.5 
VB= 62.62 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para VB esta certo) 
VA = 44.37 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para VB esta certo) 
 
 
 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador, para ter as 
convenções de sinais para os Esforços Solicitantes Internos da estrutura (apostila 3). 
Achar o ângulo ➔  = arctg (7/7) = 45º 
 
Diagrama de esforço normal (kN): 
• Positivo quando a força sai da seção de estudo (traçao) 
• Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão) 
Barra AF 
Esse trecho do pórtico a barra é inclinada, logo, para desenhar os diagramas, devemos rebater as 
cargas. O desenho do diagrama tem que ser perpendicular à barra. 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = - 44.37 x sen45 – 65 x cos 45 = - 31.37 – 45.96 = - 77.34 
Fazendo pelo lado esquerdo NAC = Const. = - 77.34 
Fazendo pelo lado esquerdo NC = - 5 x cos 45 = - 3.54 
Logo, tem-se que -77.34 – 3.54 = 80.88 
Fazendo pelo lado esquerdo NCD = Const. = - 80.88 
Fazendo pelo lado esquerdo ND = + 3 x sen 45 = + 2.12 
Logo, tem-se que -80.88 + 2.12 = - 78.75 
Fazendo pelo lado esquerdo NDE = Const. = - 78.75 
Fazendo pelo lado esquerdo NE = + 4 x sen 45 = + 2.83 
Logo, tem-se que -78.75 + 2.83 = - 75.93 
Fazendo pelo lado esquerdo NEF = Const. = - 75.93 
Fechando a barra AF, tem-se pelo lado direito as cargas (10 x 7); ( 20 x 5); (62.62) 
- 62.62 x sen 45 + 20 x 5 x sen 45 + 10 x 7 x cos 45 = 75.93 
-75.93 + 75.93 = 0 , barra AF em equilíbrio 
Barra FG 
Fazendo pelo lado esquerdo NF = -5 – 65 = -70 
Fazendo pelo lado esquerdo NFG = Const. = - 70 
Fechando a barra FG, tem-se pelo lado direito = + 10 x 7 = + 70 
-70 + 70 = 0 , barra FG em equilíbrio 
 
observador 
 
 
 
Barra BG 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = -62.62 
Fazendo pelo lado esquerdo NBG = Const. = -62.62 
Fechando a barra BG, tem-se pelo lado direito = -44.37 + 3 + 4 + (20 x 5) = + 62.62 
-62.62 + 62.62 = 0 , barra BG em equilíbrio 
 
 DEN (kN) 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
• Positovo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
Barra AF 
Esse trecho do pórtico a barra é inclinada, logo para desenhar os diagramas devemos rebater as 
cargas. O desenho do diagrama tem que ser perpendicular a barra. 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 44.37 x cos45 – 65 x sen 45 = + 31.37 – 45.96 = - 14.58 
Fazendo pelo lado esquerdo QAC = Const. = - 14.58 
Fazendo pelo lado esquerdo QC = - 5 x sen 45 = - 3.54 
Logo, tem-se que -14.58 – 3.54 = -18.12 
Fazendo pelo lado esquerdo QCD = Const. = - 18.12 
Fazendo pelo lado esquerdo QD = - 3 x cos 45 = - 2.12 
Logo, tem-se que – 18.12 - 2.12 = - 20.24 
Fazendo pelo lado esquerdo QDE = Const. = - 20.24 
Fazendo pelo lado esquerdo QE = - 4 x cos 45 = - 2.83 
Logo, tem-se que -20.24 - 2.83 = - 23.07 
Fazendo pelo lado esquerdo QEF = Const. = - 23.07 
Fechando a barra AF, tem-se pelo lado direito as cargas (10 x 7); ( 20 x 5); (62.62) 
+ 62.62 x cos 45 - 20 x 5 x cos 45 + 10 x 7 x sen 45 = 23.07 
-23.07 + 23.07 = 0 , barra AF em equilíbrio 
Fazendo pelo lado esquerdo NF = -5 – 65 = -70 
Fazendo pelo lado esquerdo NFG = Const. = - 70 
Fechando a barra FG, tem-se pelo lado direito = + 10 x 7 = + 70 
-70 + 70 = 0 , barra FG em equilíbrio 
 
 
 
Barra FG 
Fazendo pelo lado esquerdo QF = + 44.37 – 3 – 4 = 37.38 
Fazendo pelo lado esquerdo QFG = - (20 x 5) = -100 
Logo, tem-se que +37.38 - 100 = - 62.62 
Fechando a barra FG, tem-se pelo lado direito = +62.62 
-62.62 + 62.62 = 0 , barra FG em equilíbrio 
Barra BG 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo QBG = + (10 x 7) = + 70 
Fechando a barra BG, tem-se pelo lado direito = - 65 -5 = - 70 
+70 - 70 = 0 , barra BG em equilíbrio 
 
 DEC (tf) 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
• Positovo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
• Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = + 44.37 x 2.5 – 65 x 2.5 = - 51.56 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = + 44.37 x 4 – 65 x 4 – 5 x 1.5 = - 90.00 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = + 44.37 x 5.5 – 65 x5.5 – 5 x 3 – 3 x 1.5 = - 132,94 
Fazendo pelo lado esquerdo MF = + 44.37 x 7 – 65 x 7 – 5 x 4.5 – 3 x 3 – 4 x 1.5 = - 181.88 
Fazendo pelo lado esquerdo MG = + 44.37 x 12 – 65 x 7 – 5 x 4.5 – 3 x 8 – 4 x 6.5 – 20 x 5 x 2.5 = 
 - 245 
Fazendo pelo lado direito MG = + 10 x 7 x 3,5 = + 245 
Fazendo pelo lado esquerdo MB = 0 
 
 
 
 
 DMF (tfm) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Pórtico Biapoiado com articulação e tirante 
 
 
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
Ge = I – E – R = 0 ➔ para ser Isostático 
I = Reações = 4 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
Ge = I – E – R = 4 – 3 – 1 = 0, logo é estrutura isostática. 
 
2º Passo: Calcular as reações de apoio 
 + ΣFx = 0 
HA – (10 x 4) = 0 , HA = 40 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para HA esta 
certo) 
ΣFy = 0 + 
VA + VB – (30 x 5) – (20 x 3) = 0 
VA + VB = 210 kN 
Σ MA= 0 
 + 
-8 VB + (10 x 4 x 6) + (20 x 3 x 6.5) + (30 x 5 x 2.5) = 0 
-8 VB= - 1005 
VB= 125.6 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para VB esta certo) 
VA = 84.4 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para VA esta certo) 
 
 
 
Para achar o valor do tirante (N1). 
Tenho que escolher um ponto que seja momento igual a zero, na rótula. 
Fazendo momento fletor em D pelo lado direito (basta fazer um dos lados, direito ou 
esquerdo). 
Σ MD= 0 + 
-4 N1 - (10 x 4 x 2) = 0 
-4 VB= + 80 
N1= - 20 kN (se deu negativo, o sentido escolhido para N1 é sentido contrário. Logo, 
o tirante é tração) = + 20 kN 
 
 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador, para ter as 
convenções de sinais para os Esforços Solicitantes Internos da estrutura (apostila 3). 
 
Diagrama de esforço normal (kN): 
• Positovo quando a força sai da seçao de estudo (traçao) 
• Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressao) 
Barra AC 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = -84.4 (negativo porque entra na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo NAE = Const. = - 84.4 
Fazendo pelo lado esquerdo NEC = Const. = - 84.4 
Fechando a barra AC, tem-se pelo lado direito = - 125.6 +(30 x 5) + (20 x 3) = + 84.4 
- 84.4 + 84.4 = 0 , barra AC em equilíbrio 
observador 
 
 
 
Barra CD 
Fazendo pelo lado esquerdo NC = + 40 – 20 = + 20 
Fazendo pelo lado esquerdo NCG = Const. = + 20 
Fazendo pelo lado esquerdo NGD = Const. = + 20 
Fechando a barra CD, tem-se pelo lado direito = -20 
+ 20 - 20 = 0 , barra CD em equilíbrio 
Barra BD 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = -125.6 (negativo porque entra na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo NBF = Const. = - 125.6 
Fazendo pelo lado esquerdo NFD = Const. = - 125.6 
Fechando a barra BD, tem-se pelo lado direito = - 84.4 +(30 x 5) + (20 x 3) = + 125.6 
- 125.6 + 125.6 = 0 , barra BD em equilíbrio 
Tirante 
O cálculo do tirante já foi feito na reação de apoio. 
Tirante = + 20 kN 
 DEN (kN) 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
• Positovo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
Barra AC 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 40 
Fazendo pelo lado esquerdo QAE = Const. = + 40 
Fazendo pelo lado esquerdo QE = - 20 
Logo, tem-se que + 40 – 20 = + 20 
Fazendo pelo lado esquerdo QEC = Const. = + 20 
Fechando a barra AC, tem-se pelo lado direito = - (10 x 4) + 20 = - 20 
+ 20 - 20 = 0 , barra AC em equilíbrio 
Barra CD 
Fazendo pelo lado esquerdo QC = + 84.4 
Fazendo pelo lado esquerdo QCG = - (30 x 5) = -150 
 
 
 
Logo, tem-se que + 84.4 – 150 = - 65.6 (nesse trecho a linha do cortante passa pelo zero, terá um 
momento máximo) 
Fazendo pelo lado esquerdo QGD = - (20 x 3) = -60 
Logo, tem-se que – 60 – 65.6 = - 125.6 
Fechando a barra CD, tem-se pelo lado direito = + 125.6 
- 125.6 + 125.6 = 0 , barra CD em equilíbrio 
Barra BD 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = 0 (não há carga paralela a essa seçao de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo QBF = Const. = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo QF = + 20 
Fazendo pelo lado esquerdo QFD = - (10 x 4) = - 40 
Logo, tem-se que + 20 – 40 = - 20 
Fechando a barra BD, tem-se pelo lado direito = + +40 -20 = + 20 
- 20 + 20 = 0 , barra BD em equilíbrio 
Tirante 
No cortante o tirante é zero. 
 
 DEC (tf) 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
• Positovo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
• Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = + 40 x 4 = + 160 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = + 40 x 8 – 20 x 4 = + 240 
Fazendo pelo lado direito MC =+ 125.6 x 8 - 20 x 4+(10 x 4 x 2)–(20 x 3 x 6.5)–(30 x 5 x 2.5)= - 240 
Fazendo pelo lado esquerdo MG = + 84.4 x 5 + 40 x 8 – 20 x 4 – 30 x 5 x 2.5 = + 286.9 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = 0 (rótula) 
Fazendo pelo lado esquerdo MF = 0 (não há nenhuma força pelo lado esquerdo, que faça momento 
em F) 
 
 
 
Fazendo pelo lado direito MF = - 84.4 x 8 - 40 x 4 + 30 x 5 x 5.5 + 20 x 3 x 1.5 – 10 x 4 x 2 = 0 
Fazendo pelo lado direito MB = 0 
Tirante 
No momento fletor o tirante é zero. 
 DMF (tfm) 
 
Momento máximo 
 
Achar a distância: 
84.4 / 30 = 2.81 m (cortante dividido pelo a carga distribuida) ou acha por semelhança de triangulo. 
65.6 / 30 = 2.19 m (cortante dividido pelo a carga distribuida) ou acha por semelhança de triangulo. 
MMax = + 84.4 x 2.81 + 40 x 8 – 20 x 4 – 30 x 2.81 x (2.81/2) = + 358.7 kNm 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4: Pórtico Engastado 
 
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
Ge = I – E – R = 0 ➔ para ser Isostático 
I = Reações = 3 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 0 
Ge = I – E – R = 3 – 3 – 0 = 0, logo é estrutura isostática. 
 
2º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 + 
HA = 0 (não há força horizontal) 
 
ΣFy = 0 + 
VA – (35 x 5) = 0 
VA = 175 kN 
Σ MA= 35 x 5 x 2.5 = 437.5 kNm (anti-horário) 
 
 
 
 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador, para ter as 
convenções de sinais para os Esforços Solicitantes Internos da estrutura (apostila 3). 
 
Diagrama de esforço normal (kN): 
• Positovo quando a força sai da seçao de estudo (traçao) 
• Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressao) 
Barra AB 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = - 175 (negativo porque entra na seção de estudo) 
Fazendo pelo lado esquerdo NAB = Const. = - 175 
Fechando a barra AB, tem-se pelo lado direito = + (35 x 5) = +175 
- 175 + 175 = 0 , barra AB em equilíbrio 
Barra BC 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo NBC = Const. = 0 
Fechando a barra BC, tem-se pelo lado direito = 0 
 
 DEN (kN) 
observador 
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
• Positovo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
Barra AB 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo QAB = Const. = 0 
Fechando a barra AB, tem-se pelo lado direito = 0 , barra AD em equilíbrio 
Barra BC 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = + 175 
Fazendo pelo lado esquerdo QBC = - (35 x 5) = - 175 
Logo, tem-se que + 175 – 175 = 0 
 
 DEC (tf) 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
• Positovo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
• Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = - 437.5 
Fazendo pelo lado esquerdo MB = - 437.5 
Fazendo pelo lado direito MB = 35 x 5 x 2.5 = - 437.5 
Fazendo pelo lado direito MC = 0 
 
 
 
 DMF (tfm) 
 
11. PORTICO COMPOSTO 
Os pórticos compostos (estruturas compostas) podem ser considerados como uma 
associação de pórticos simples uns com estabilidade própria e outros cuja a estabilidade 
depende dos pórticos que os suportam (analogia como as vigas Gerber, no caso de viga). 
Sussekind, volume 1. 
 
Para resolução dos pórticos compostos deve-se: 
1. Identificar os pórticos sem apoio (que depende de outro pórtico para estar em 
equilíbrio); 
2. Verificar os que têm estabilidade própria e os quenão têm estabilidade 
própria; 
3. Resolver inicialmente os pórticos que não tem estabilidade própria, para achar 
suas reações de apoio, para apoiar no pórtico com estabilidade própria; 
4. O conhecimento das reações, permite resolver o pórtico que está com 
estabilidade própria. 
 
Os estudos dos pórticos compostos serão feito através dos exemplos de exercícios. 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
Ge = I – E – R = 0 ➔ para ser Isostático 
I = Reações = 4 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
Ge = I – E – R = 4 – 3 – 1 = 0, logo é estrutura isostática. 
 
 
 
2º Passo: Verificar qual o precho do pórtico composto de esta sem estabilidade. 
Nesse caso é o trecho CD. 
 
 
 
 
Resolvendo o trecho CD: 
2º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 + 
HC = 0 (Nõ tem foirça horizontal nesse trecho) 
ΣFy = 0 + 
VC + VD – (30 x 4) = 120 kN 
Estrutura simétrica. Logo, VC = 60 kN e VD = 60 kN 
 
 
 
Transferir o apoio da seção C para o pórtico estável. 
3º Passo: Calcular as reações de apoio do trecho estável. 
 
 
 
 
 
ΣFx = 0 + 
HA = (10 x 4) = 40 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para HA esta certo) 
ΣFy = 0 + 
VA = (20 x 5) + 60 = 160 kN 
Σ MA= 0 (toda a estrutura roda horário, logo para ficar em equilíbrio a reação do 
momento fletor, será anti-horário) 
 (10 x 4 x 2) + (20 x 5 x 2.5) + 60 x 5 = 630 Nkm 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador, para ter as 
convenções de sinais para os Esforços Solicitantes Internos da estrutura (apostila 3). 
 
Diagrama de esforço normal (kN): 
• Positovo quando a força sai da seçao de estudo (traçao) 
• Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressao) 
Barra AB 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = - 160 
Fazendo pelo lado esquerdo NAB = Const. = - 160 
Fechando a barra AB, tem-se pelo lado direito = - 60 + (20 x 5 ) + ( 30 x 4) = + 160 
-160 + 160 = 0 , barra AB em equilíbrio 
Barra BC 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = + 40 – (10 x 4) = 0 
Fechando a barra BC, não tem carga horizontal pelo lado direito 
Barra CD 
Fazendo pelo lado esquerdo NC = + 40 – (10 x 4) = 0 
Fechando a barra CD, não tem carga horizontal pelo lado direito 
 
 DEN (kN) 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
observador 
 
 
 
• Positovo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
Barra AB 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 40 
Fazendo pelo lado esquerdo QAB = -(10 x 4) = - 40 
Logo, +40 – 40 = 0 
Fechando a barra AB, tem-se pelo lado direito = 0 (não há força horizontal) 
barra AB em equilíbrio 
Barra BC 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = + 160 
Fazendo pelo lado esquerdo QBC = - (20 x 5) = - 100 
Logo, tem-se que + 160 – 100 = + 60 
Fechando a barra BC, tem-se pelo lado direito = + 60 – (30 x 4) = - 60 
+ 60 – 60 = 0 ,barra BC em equilíbrio. 
Barra CD 
Fazendo pelo lado esquerdo QC = + 160 – (20 x 5) = + 60 
Fazendo pelo lado esquerdo QCD = - (30 x 4) = - 120 
Logo, tem-se que + 60 – 120 = - 60 
Fazendo pelo lado esquerdo QD = + 60 
Logo, tem-se que - 60 + 60 = 0 
Fechando a barra CD, tem-se pelo lado direito = 0 
 
 DEC (kN) 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
• Positovo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
• Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = - 630 
Fazendo pelo lado esquerdo MB = - 630 + 40 x 4 – 10 x 4 x 2 = - 550 
Fazendo pelo lado direito MB = + 60 x 9 – (20 x 5 x 2.5) – (30 x 4 x 7) = - 550 
 
 
 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = 0 (rótula) 
Fazendo pelo lado direito MD = 0 
Ql2 /8 = 60 Nkm 
 DMF (kNm) 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
Ge = I – E – R = 0 ➔ para ser Isostático 
I = Reações = 4 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
Ge = I – E – R = 4 – 3 – 1 = 0, logo é estrutura isostática. 
 
2º Passo: Verificar qual o precho do pórtico composto de esta sem estabilidade. 
Nesse caso é o trecho CD. 
 
 
 
 
3º Passo: Calcular as reações de apoio do trecho estável. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagramas: 
 DEN (kN) 
 
 DEC (kN) 
 
 
 
 
 
 DMF (kNm) 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
Ge = I – E – R = 0 ➔ para ser Isostático 
I = Reações = 4 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
Ge = I – E – R = 4 – 3 – 1 = 0, logo é estrutura isostática. 
 
2º Passo: Verificar qual o precho do pórtico composto de esta sem estabilidade. 
Nesse caso é o trecho ED. 
 
3º Passo: Calcular as reações de apoio do trecho estável. 
 
Diagramas: 
 
 
 
 
 DEN (kN) 
 
DEC (kN) 
 
 
 
 
 
DMF (kNm) 
 
Exemplo 4: 
 
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
Ge = I – E – R = 0 ➔ para ser Isostático 
I = Reações = 6 
 
 
 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 3 
Ge = I – E – R = 6 – 3 – 3 = 0, logo é estrutura isostática. 
 
2º Passo: Verificar qual o precho do pórtico composto de esta sem estabilidade. 
Nesse caso é o trecho BD. 
Calculando o trecho BD: 
 
 
 
 
 
3º Passo: Calcular as reações de apoio do trecho estável. 
 
 
 
 
 
 
Diagramas: 
 DEN (kN) 
 
 DEC (kN) 
 
 DMF (kNm) 
 
12. GRELHAS 
Grelha é uma estrutura plana, submetida a um carregamento perpendicular a seu 
plano. 
 
12.1. Estaticidade da grelha plana 
Admitindo-se o plano XY como sendo o plano da grelha, as cargas terão toda a 
direção Z. Neste caso, as equações de equilíbrio serão: 
 
 
 
 
∑FZ = 0 ➔ Somatório das forças perpendiculares igual a zero (nulos) 
∑MX = 0 ➔ Somatório dos momentos em torno do eixo x, (nulo) 
∑MY = 0 ➔ Somatório dos momentos em torno do eixo y, (nulo) 
 
Uma grelha será isostática quando houver três incógnitas para calcular. 
 
 
Na grelha com os três apoios, as incógnitas são as reações verticais em cada apoio 
(VA, VB e VC), na figura acima. 
Na grelha engastada, as reações serão de momento fletor, momento torçor e a 
reação vertical, no engaste (MFA, MTA e VA), na figura acima. 
 
 
 
 
 
Grelhas Hiperestáticas ➔ São grelhas com 4 ou mais apoios (sem rótulas) e grelhas 
engastada com apoios. 
 
 
Grelhas Hipostáticas ➔ São grelhas com 2 ou menos apoios e grelha com 3 apoios 
colineares (que está sobre a mesma reta). 
 
 
12.2. Calcular as reações de apoio da grelha plana 
Para calcular as reações de apoio na grelha, terá que fazer o somatório dos 
momentos é função das forças e suas distâncias em relação ao eixo considerado. 
 
12.3. Diagramas de esforços 
Após calcular as reações de apoio (colocar a grelha em equilíbrio), o próximo passo é 
determinar dos esforços solicitantes numa seção genérica S de uma grelha e ao traçado de 
seus respectivos diagramas, podem atuar três tipos de esforços: esforço cortante Q; 
momento fletor MF e momento torçor MT. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: 
 
Perspectiva 
 
 Planta 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFZ = 0 + 
VA + VB + VF – 5 – (20 x 6) – 3 = 0 
VA + VB + VF = 128 kN 
Para achar os valores de VA , VB e VF , será feito momento na barra. 
Escolher a barra que tenha uma incógnita para calcular. 
Exemplo: 
Barra AB ➔ Tem a incógnita VF (para achar) 
Barra CD ➔ Tem as incógnitas VF e VA (para achar) 
Barra EF ➔ Tem as incógnitas VA e VB (para achar) 
Barra GH ➔ Tem as incógnitas VA e VB (para achar) 
observador 
 
 
 
Logo, começaremos pela barra AB 
Σ MAB= 0 + (fazendo momento na barra AB, anda no eixo X) 
- 6 VF + (3 x 7) + (20 x 6 x 3) = 0 
- 6 VF + 381 = 0 
VF = 63.5 kN 
Achando o valor de VF, vou escolher outra barra. 
Σ MCD= 0 + (fazendo momento na barra CD, anda no eixo y) 
- 2 VF + (3 x 2) + 5 VA – (5 x 4) = 0 
+ 5 VA = + 141 
VA = 28.2 kN 
Logo, VB = 36.3 kN 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador,para ter as 
convenções de sinais para os Esforços Solicitantes Internos da estrutura (apostila 3). 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
• Positovo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 28.2 (positivo porque sobe na seção de estudo) 
QA S1 = Const. = + 28.2 
QS1 = - 5 
Logo, tem-se que + 28.2 – 5 = + 23.2 
QS1 B = Const. = + 23.2 
QB = + 36.3 
Logo, tem-se que + 23.2 + 36.3 = + 59.5 
QC D = - (20 x 6) = - 120 
Logo, tem-se que + 59.5 – 120 = - 60.5 
QE F = Const. = - 60.5 
QF = + 63.5 
Logo, tem-se que – 60.5 + 63.5 = + 3 
QG S2 = Const. = + 3 
QS2 = - 3 
Logo, tem-se que + 3 - 3 = 0 
 
 
 
 
 
Diagrama de momento torçor (kNm): 
Para desenhar o diagrama de momento torçor, tem que usar a regra da mão direita. 
E é calculado por barra. 
• Positovo quando a força sai da seçao de estudo (traçao) 
• Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressao) 
Fazendo pelo lado esquerdo MTAB = 0 (não tem nenhuma força pelo lado esquerdo) 
Fazendo pelo lado direito MTAB = - (20 x 6 x 3) – (3 x 7) + (63.5 x 6) = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MTCD = - (28.2 x 5) + (5 x 4) = - 121 
Fazendo pelo lado direito MTCD = - (63.5 x 2) + (3 x 2) = - 121 
Fazendo pelo lado esquerdo MTEF = + (28.2 x 6) - (5 x 6) + (36.3 x 6) – (20 x 6 x 3) = - 3 
Fazendo pelo lado direito MTEF = - (3 x 1) = - 3 
Foi feito pelo lado esquerdo e verificado pelo lado direito. 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
• Positovo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
• Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MS1 = + (28.2 x 1) = + 28.2 
Fazendo pelo lado direito MS1 = + (36.3 x 4) – (20 x 6 x 4) + (63.5 x 6) – (3 x 6) = + 28.2 
Fazendo pelo lado esquerdo MB = + (28.2 x 5) – (5 x 4) = +121 
 
 
 
Fazendo pelo lado direito MB = + (63.5 x 2) – (3 x 2) = +121 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = 0 (não tem nenhuma carga a frente do ponto C, só rotação, flexão não tem) 
Fazendo pelo lado direito MC = – (20 x 6 x 3) + (63.5 x 6) – (3 x 7) = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = + (28.2 x 6) – (5 x 6) + (36.3 x 6) – (20 x 6 x 3) = – 3 
Fazendo pelo lado direito MD = – (3 x 1) = – 3 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = + (28.2 x 5) – (5 x 4) = + 121 
Fazendo pelo lado direito ME = + (63.5 x 2) – (3 x 2) = + 121 
Fazendo pelo lado esquerdo MF = + (28.2 x 7) – (5 x 6) + (36.3 x 2) – (20 x 6 x 2) = 0 
Fazendo pelo lado direito MF = 0 (não tem nenhuma carga a frente do ponto F, só rotação, flexão não tem) 
Fazendo pelo lado esquerdo MG = + (28.2 x 6) – (5 x 6) + (36.3 x 6) – (20 x 6 x 3) = – 3 
Fazendo pelo lado direito MG = – (3 x 1) = – 3 
Fazendo pelo lado direito MS2 = 0 
Fazendo pelo lado direito MH = 0 
Foi feito pelo lado esquerdo e verificado pelo lado direito. 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: 
 
 
Perspectiva 
 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFZ = 0 + 
VB + VD + VF – 1 – 4 – 3 = 0 
VB + VD + VF = 8 kN 
Para achar os valores de VB , VD e VF , será feito momento na barra. 
Escolher a barra que tenha uma incógnita para calcular. 
Exemplo: 
Barra AB ➔ Tem as incógnitas VD e VF (para achar) 
Barra CD ➔ Tem a incógnitas VF (para achar) 
Barra EF ➔ Tem a incógnita VB (para achar) 
observador 
 
 
 
Barra GH ➔ Tem as incógnitas VB e VD (para achar) 
Barra IJ ➔ Tem as incógnitas VB e VD (para achar) 
 
Logo, começaremos pela barra CD 
Σ MCD = 0 + (fazendo momento na barra CD, anda no eixo X) 
+ (4 x 2) – 4 VF + (3 x 4) + (4 x 1) = 0 
– 4 VF = – 24 
VF = 6 kN 
 
Achando o valor de VB, vou escolher outra barra. 
Σ MEF= 0 + (fazendo momento na barra EF, anda no eixo y) 
+ 2 VB – (4 x 2) – (1 x 2) + (3 x 2) = 0 
+ 2 VB = + 4 
VB = 2 kN 
Logo, VC = 0 kN 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador, para ter as 
convenções de sinais para os Esforços Solicitantes Internos da estrutura (apostila 3). 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
• Positovo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
 
Fazendo pelo lado direito QA = – 4 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = – 6 – 2 + 1 + 3 = – 4 
QA B = Const. = – 4 
QB = + 2 
Logo, tem-se que – 4 + 2 = – 2 
QC D = Const. = – 2 
QD = 0 
Logo, tem-se que – 2 + 0 = – 2 
QE F = Const. = – 2 
QF = + 6 
Logo, tem-se que – 2 + 6 = + 4 (esse + 4 é a soma doas duas barras GH e IJ) 
QG = – 1 
QG H = Const. = – 1 
 
 
 
Logo, tem-se que – 1 + 4 = + 3 
QI J = Const. = + 3 
QJ = – 3 
Logo, tem-se que + 3 – 3 = 0 
 
 
 
Diagrama de momento torçor (kNm): 
Para desenhar o diagrama de momento torçor, tem que usar a regra da mão direita. 
E é calculado por barra. 
• Positovo quando a força sai da seçao de estudo (traçao) 
• Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressao) 
Fazendo pelo lado esquerdo MTAB = 0 (não tem nenhuma força pelo lado direito) 
Fazendo pelo lado esquerdo MTCD = + (4 x 2) = + 8 
Fazendo pelo lado direito MTEF = + (3 x 2) - (1 x 2) = + 4 
Fazendo pelo lado esquerdo MTGH = 0 (não tem nenhuma força pelo lado esquerdo) 
Fazendo pelo lado direito MTIJ = 0 (não tem nenhuma força pelo lado direito) 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
• Positovo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
• Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado direito MB = – (4 x 2) = – 8 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = 0 (não tem nenhuma carga a frente do ponto C, só rotação, flexão não tem) 
 
 
 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = – ( 4 x 2) + (2 x 2) = – 4 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = + ( 4 x 2) = + 8 
Fazendo pelo lado direito MF = 0 (não tem nenhuma carga a frente do ponto F, só rotação, flexão não tem) 
Fazendo pelo lado esquerdo MH = – ( 1 x 2) = – 2 
Fazendo pelo lado direito MI = – ( 3 x 2) = – 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: 
 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFZ = 0 + 
VA - 2 – (3 x 3) = 0 
VA = 11 kN 
Momento Fletor, escolhendo horário positivo: 
Σ MFA = + (2 x 2) + (3 x 3 x 2) = 22 kNm 
Momento Torçor, escolhendo horário negativo: 
Σ MTA = – (2 x 3) – (3 x 3 x 1.5) + 1 = – 18.5 kNm 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
• Positovo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = +11 
QA B = Const. = + 11 
QC D = – (3 x 3) = – 9 
Logo, tem-se que + 11 – 9 = + 2 
QD = – 2 
Logo, tem-se que + 2 – 2 = 0 
 
 
 
 DEC (kN) 
 
Diagrama de momento torçor (kNm): 
Para desenhar o diagrama de momento torçor, tem que usar a regra da mão direita. 
E é calculado por barra. 
• Positovo quando a força sai da seçao de estudo (traçao) 
• Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressao) 
Fazendo pelo lado esquerdo MTAB = – 18.5 (o valor da reação do engaste) 
Fazendo pelo lado direito MTCD = 0 (não tem nenhuma força pelo lado direito) 
 
 DMT (kNm) 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
• Positovo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
• Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = – 22 (o valor da reação do engaste) 
Fazendo pelo lado direito MB = 0 (não tem nenhuma carga a frente do ponto B, só rotação, flexão não tem) 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = – (2 x 3) – (3 x 3 x 1.5) = – 19.5 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = 0 
 
 
 
 DMF (kNm)