Teoria das Estruturas apostila

Prévia do material em texto

Teoria das Estruturas I / Aula 1 – Introdução 
 
Introdução 
Teoria das Estruturas é a parte da Mecânica cujo estudo consiste na 
determinação dos esforços e das deformações a que as estruturas ficam 
submetidas quando solicitadas por agentes externos (cargas, variações 
térmicas, movimentos de seus apoios etc.). (SUSSEKIND, volume 1) 
Uma estrutura recebe solicitações externas (cargas, ventos etc.) e tem que 
transmitir essas cargas até o apoio. 
Nessa aula, você irá identificar uma classificação dos elementos estruturais, 
compreender também o que são forças e momentos, e quais os tipos de apoios 
em uma estrutura. 
O objetivo desta disciplina é dar continuidade aos conceitos relativos às 
disciplinas de Mecânica Geral e Resistências dos Materiais necessários ao 
curso de Engenharia Civil. 
Fundamentos de componentes 
A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e 
dos movimentos. Ela descreve e prediz as condições de repouso ou movimento 
de corpos sob a ação de forças. 
Forças: Em Física, é qualquer causa capaz de produzir ou acelerar movimentos, 
oferecer resistência aos deslocamentos ou determinar deformações dos corpos. Em 
Mecânica, é potência, agente, ação, causa que gera movimentos. 
 
A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, 
concedendo, assim, os fundamentos para as aplicações da 
Engenharia. 
 
Conceitos Fundamentais 
Os conceitos fundamentais da Mecânica baseiam-se na Mecânica Newtoniana: 
Espaço 
É associado à noção de posição de um ponto material, o qual pode ser definido por três 
comprimentos, medidos a partir de certo ponto de referência, ou de origem, segundo três 
direções dadas. Esses comprimentos são conhecidos como as coordenadas do ponto; 
 
Tempo 
Para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O tempo ou 
instante em que o evento ocorre também deve ser dado; 
Força 
Representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a produzir movimento 
ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, 
direção e sentido; ela é representada por um vetor. 
 
Sistema Internacional de Unidades 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em: 
• unidades básicas: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s); 
• unidades derivadas, entre outras: Newton, Joule, Pascal etc. 
As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isso significa que as três 
unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições. 
 
A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a 
aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da equação F=m.a (Segunda Lei de 
Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2. 
O peso de um corpo também é uma força, e é expresso em Newton (N). Da equação 
P=m.g (Terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo 
de massa 1 kg é = (1 kg) × (9,81 m/s2) = 9,81 N, onde g = 9,81m/s2 é a aceleração da 
gravidade. 
A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida por 
uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 
metro quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa = N/m2. Pascal é também 
unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais 
(cisalhamento). 
 
 
Tipos de elementos estruturais 
Neste item apresenta-se uma classificação dos elementos estruturais com base na 
Geometria e nas dimensões, e também as principais características dos elementos 
estruturais mais importantes e comuns nas construções. 
 
Elementos Lineares — Unidimensionais 
São aqueles onde o comprimento longitudinal é maior em pelo menos três vezes a 
maior dimensão da seção transversal (NBR 6118, item 14.4.1), chamados “barras”. Os 
exemplos mais comuns são: vigas; pilar ou coluna; arcos; treliças; tirante e grelha. 
 
Elementos Bidimensionais 
Também chamados “elementos de superfície”, são aqueles onde a espessura é 
pequena comparada às outras duas dimensões (comprimento e largura) (NBR 6118, 
item 14.4.2). Os exemplos mais comuns são lajes, paredes e cascas. 
 
Elementos Tridimensionais 
São os elementos onde as três dimensões têm a mesma ordem de grandeza. Exemplos mais 
comuns: os blocos de fundação e as sapatas de fundação. 
 
 
 
 
Grandezas Fundamentais 
FORÇA 
É a ação de um corpo sobre outro, causando deformação ou movimento. As 
forças são grandezas vetoriais, caracterizadas por ponto de aplicação, direção, 
sentido e intensidade. Sua unidade no SIA é Newton. 
MOMENTO 
É a tendência de rotação, em torno de um ponto/eixo, provocada por uma força 
(vide Notas). 
Momento = força x distância. Sua unidade no SIA é N.m. 
Momento: Em Física, é qualquer causa capaz de produzir ou acelerar movimentos, 
oferecer resistência aos deslocamentos ou determinar deformações dos 
corpos. Em Mecânica, é potência, agente, ação, causa que gera movimentos. 
 
ESFORÇOS NORMAIS (EN) 
São solicitações aplicadas na direção do eixo da barra, sendo que quando 
produzem o alongamento das fibras serão consideradas “positivas” (tração). 
Quando produzem o encurtamento das fibras serão consideradas “negativas” 
(compressão). 
 
Os Esforços Normais são dados pela razão entre a força perpendicular à área 
de atuação e essa, isto é: 
 
EN = (força)/Área 
 
ESFORÇOS CORTANTES (EC) 
São solicitações aplicadas na direção transversal ao eixo da barra e provocam 
o “corte” da seção. 
 
O corte pode ser dado de “cima para baixo” ou de “baixo para cima”, ou ainda, 
“da esquerda para a direita” ou da “direita para a esquerda”, sem que isto 
produza efeitos distintos. 
 
O esforço cortante “distorce” o elemento, ou seja, altera sua forma e não suas 
dimensões. Dessa forma o sinal “positivo” ou “negativo” não tem influência nas 
tensões e sim na direção das fissuras. 
 
Os esforços cortantes são dados pela razão entre a força tangente à área de 
atuação e essa, isto é: 
 
EC = (força)/Área 
MOMENTO FLETOR (MF) 
É esforço que tende a “dobrar” as barras, causando solicitações de tração 
(alongamento) e de compressão (encurtamento) das fibras. 
 
MOMENTO TORSORES (MT) 
É o esforço que tende a “rodar” as barras sobre seu próprio eixo, causando 
tensões cisalhantes (mudança de forma) na seção. Usando a mão direita, o 
polegar indica a seta dupla, e os dedos o sentido da direção (regra da mão 
direita — no negativo o dedo entra e no positivo o dedo sai). 
 
Condições de Equilíbrio 
Um corpo qualquer submetido a um sistema de forças está em equilíbrio estático caso 
não haja qualquer tendência à translação ou à rotação. 
 
As equações universais da Estática, que regem o equilíbrio de um sistema de forças no 
espaço, são: 
 
No plano, na análise de solicitações em estruturas isostáticas serão sempre utilizadas as 
equações fundamentais da estática: 
∑Fx = 0 (somatório das forças horizontais igual à zero) 
∑Fy = 0 (somatório das forças verticais igual à zero) 
∑MF = 0 (somatório dos momentos fletores igual à zero) 
∑MT = 0 (somatório dos momentos torsores igual à zero) 
Graus de Liberdade 
Uma estrutura espacial possui 6 graus de liberdade: 3 translações e 3 rotações segundo 3 
eixos ortogonais. 
 
A fim de evitar a tendência de movimento da estrutura, esses graus de liberdade 
precisam ser restringidos. Essa restrição é dada pelos apoios (vínculos), que são 
dispositivos mecânicos o quais, por meio de esforços reativos, impedem certos 
deslocamentos da estrutura. 
 
Esses esforços reativos (reações), juntamente com as ações (cargas aplicadas à 
estrutura) formam um sistema em equilíbrio estático. 
Aparelhos de Apoio 
Para garantir que uma estrutura ou um elemento estrutural permaneça na posição 
desejada sob todas as condições de carregamento, eles são fixados em uma fundação ou 
conectados a outros membros estruturais por meio de apoios. 
 
As representações para os apoios mais usuais serão destacadas a seguir. 
 
 
 
 
 
Carregamentos 
As estruturas devem ser dimensionadasde modo que atenda as cargas que uma estrutura 
deve suportar. Normalmente, são dois tipos: carga permanente e sobrecarga. 
 
Cargas concentradas 
São uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas segundo áreas muito 
reduzidas (em presença das dimensões da estrutura). São representadas por cargas 
aplicadas pontualmente. 
 
Cargas-momento 
São cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um ponto qualquer da 
estrutura. 
 
 
Cargas distribuídas 
São cargas distribuídas continuamente. Os tipos mais usuais são as uniformemente 
distribuídas e as triangulares (casos de empuxos de terra ou água). 
 
Observação 
• na carga triangular, a resultante fica a 1/3 da maior altura; 
• na carga retangular, a resultante fica no centro (l/s). 
 
Atividade 
1) Na prática, o que seria uma carga permanente e uma carga móvel? 
GABARITO 
Cargas permanentes (CP) são aquelas que ocorrem com valores constantes ou 
de pequena variação em torno de sua média, durante praticamente toda a vida 
da construção. As ações permanentes são divididas em: 
 
• diretas, tais como os pesos próprios dos elementos da construção, incluindo-
se o peso próprio da estrutura e de todos os elementos construtivos 
permanentes; 
• indiretas, como protensão, recalques de apoio e a retração dos materiais. 
Fonte: www.maxwell.vrac.puc-rio.br/7603/7603_3.PDF 
 
Cargas acidentais (CA) são aquelas que ocorrem com valores apresentando 
variações significativas em torno de sua média, durante a vida da construção. 
São as cargas móveis ou acidentais das construções, isto é, cargas que atuam 
nas construções em função de seu uso (pessoas, mobiliário, veículos, materiais 
diversos etc.). 
 
Diversas estruturas são solicitadas por cargas móveis. Exemplos são pontes 
rodoviárias e ferroviárias ou pórticos industriais que suportam pontes rolantes 
para transporte de cargas. Os esforços internos, nestes tipos de estrutura, não 
variam apenas com a magnitude das cargas aplicadas, mas também com a 
posição de atuação delas. Portanto, o projeto de um elemento estrutural, como 
uma viga de ponte, envolve a determinação das posições das cargas móveis 
que produzem valores extremos dos esforços nas seções do elemento. 
Fonte: www.maxwell.vrac.puc-rio.br/7603/7603_3.PDF 
 
2) O que seria uma carga distribuída? E carga concentrada? 
GABARITO 
Uma carga quando é aplicada exerce uma força sobre a estrutura. Essa carga 
pode ser concentrada ou distribuída. A diferença é: 
 
• a carga concentrada (exemplo, um pilar na laje) aplica uma força apenas em 
um ponto; 
• a carga distribuída (exemplo, uma laje sobre a viga) aplica várias forças ao 
longo da estrutura. 
Fonte: https://engenheiraco.blogspot.com.br/2013/11/carga-concentrada-e-
carga-distribuida.html 
Teoria das Estruturas I / Aula 2 - Introdução (Continuação) 
 Introdução 
Nesta aula, você irá compreender como calcular uma reação de apoio de 
qualquer estrutura em plano, com e sem articulação. E identificar a estrutura 
isostática, calculando o grau de hiperestaticidade. 
1. Cálculo das reações de apoio 
Definidos os apoios, o cálculo de suas reações é imediato. 
Apoios: São responsáveis pelo vínculo da estrutura ao solo ou a outras partes 
da mesma, de modo a ficar assegurada sua imobilidade. 
 
Exemplo 1: Calcular as reações de apoio com base nas equações do equilíbrio estático 
da viga biapoiada: 
 
 
 
 
2. Estabilidade e Estaticidade 
A estabilidade e a estaticidade devem ser estudadas simultaneamente. 
 
Para definir se a estrutura é isostática; hipostática e hiperestática, utilizaremos os 
seguintes conceitos: 
 
 
2.1 Grau de Estaticidade 
Uma estrutura será estática quando o número e a posição dos apoios forem suficientes 
para o equilíbrio da mesma. Essa “estaticidade” pode ser definida pelo número de 
solicitações existentes (incógnitas) e pelo número de equações disponíveis para sua 
análise, visto que, nessa análise, será gerado um sistema de equações, que pode ser 
determinado ou indeterminado. 
Tal análise pode ser em estruturas “abertas” e estruturas “fechadas”. 
 
O grau de estaticidade das estruturas “abertas” será definido como “externo” e dado por: 
 
Ge = I – E - R 
 
Onde: 
 
I → representa o número de reações de apoio da estrutura; 
 
E → são as equações fundamentais da estática (∑Fx = 0; ∑Fy = 0; ∑M = 0); 
 
R → são as rótulas existentes na estrutura, ou seja, o número de momentos liberados. 
 
 
 
Observação: 
 
Ge = 0 → são estruturas isostáticas; 
 
Ge > 0 → são estruturas hiperestáticas; 
 
Ge < 0 → são estruturas hipostáticas (sem equilíbrio). 
 
 ESTRUTURA HIPERESTÁTICA 
 
I = Reações = 5 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 0 
Ge = I – E – R = 5 – 3 – 0 = 2 
 
 ESTRUTURA HIPERESTÁTICA 
 
I = Reações = 6 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
Ge = I – E – R = 6 – 3 – 1 = 2 
 
 ESTRUTURA ISOSTÁTICA 
 
I = Reações = 4 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
Ge = I – E – R = 4 – 3 – 1 = 0 
 
 ESTRUTURA HIPOSTÁTICA 
 
I = Reações = 3 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 1 
Ge = I – E – R = 3 – 3 – 1 = -1 
 
 
 
 ESTRUTURA ISOSTÁTICA 
 
I = Reações = 3 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 0 
Ge = I – E – R = 3 – 3 – 0 = 0 
 
Atenção 
O grau de estaticidade das estruturas “fechadas” será definido como “interno” e será 
dado por: 
 
Gi = 3 x N 
 
Onde: 
 
Gi → grau de estaticidade interna; 
 
3 → representa o número de esforços liberados (V, H e M ); 
 
N → representa o número de cortes. 
 
Algumas estruturas podem ter suas reações de apoio determinadas, mas pode 
não ser possível traçar os diagramas de solicitações. Isso ocorre em estruturas 
“fechadas”, logo para traçar os diagramas é necessário “abrir” a estrutura. 
O grau de estaticidade interna (Gi) será igual ao produto do número de 
solicitações liberadas pelo número de cortes aplicados. 
 
Como no desenho anterior foi realizado um corte, e esse liberou três esforços 
(V, H e M), o grau de estaticidade interna da estrutura é três (3 x 1 = 3). 
 
Gi = 3 x N 
Gi = 3 x 1 = 3 
Teoria das Estruturas I / Aula 3 - Vigas Isostáticas 
 Introdução 
Nesta aula, você irá compreender como colocar uma viga isostática em 
equilíbrio, traçar os diagramas de esforços (cortante, normal e momento fletor). 
Irá reconhecer também o ponto de momento máximo na viga isostática. 
Esforços internos em estrutura plana 
Uma estrutura é dita plana quando tanto ela quanto as forças que nela atuam pertencem 
a um mesmo plano. 
As direções de deslocamento de interesse são três, para um plano x-y em qualquer seção 
S da estrutura: normal (N); cortante (Q) e momento fletor (MF). 
 
Conhecendo os carregamentos externos (forças aplicadas na estrutura e as reações de 
apoio), os esforços solicitantes internos normal, cortante e momento fletor, em qualquer 
seção transversal, podem ser determinados a linha de estado ou os diagramas: 
 
• Diagrama de esforço normal (DEN); 
• Diagrama de esforço cortante (DEC); 
• Diagrama de momento fletor (DMF). 
 
 
 
 
 
O momento fletor representa o efeito de flexão (dobramento) em uma seção 
transversal de uma barra (dobra a seção de estudo). 
 
 
O esforço cortante representa o efeito de força de cisalhamento em uma seção 
transversal de uma barra (força tangente a seção de estudo). 
 
 
O esforço normal representa o efeito de força de tração ou força de compressão 
em uma seção transversal de uma barra (força perpendicular à seção de estudo). 
 
 
Cálculo dos Esforços Internos em uma seção S 
Todas as forças externas já identificadas (reações de apoio e cargas aplicadas), a 
determinação dos Esforços Solicitantes Internos pode ser feita considerando as forças à 
direita de S ou à esquerda de S. 
Exemplo 1 
 
 
 
 
 
Vigas isostáticas 
Vigas são estruturas compostas por barras. As vigas podem ser simples ou 
compostas. 
Nas vigas simples, todos os nós são rígidos, e, nas compostas, os nós podem 
ser articulados (viga Gerber, que veremos na próxima aula). 
Viga Simples 
 
(Vigas - Estruturas compostas por barras.)Uma viga simples pode ser biapoiada ou engastada. 
Viga biapoiada tem dois apoios. 
Para traçar os diagramas dos Esforços Solicitantes Internos, em uma 
determinada viga, é necessário : 
 
1º - Calcular as reações de apoio ; 
2º - Identificar as seções notáveis da viga, tais como, apoios, carga concentrada, 
carga momento, início e fim de carga uniformemente distribuída etc. 
Para ver dois exemplos de Viga Simples – Leitura anexo 
 
Resumo dos diagramas 
Diagrama de Esforço Normal 
 
Para o diagrama de esforço normal, há um degrau no ponto de aplicação da carga 
horizontal. A descontinuidade no diagrama (degrau) é o valor da carga aplicada naquela 
seção da viga. Carga momento e carga pontual na vertical não entram no diagrama de 
esforço normal. 
 
 
 
Diagrama de Esforço Cortante 
 
Diagrama de Momento Fletor 
 
 
CARGA DISTRIBUÍDA 
 
No diagrama de momento fletor, nos trechos de cargas uniformemente 
distribuídas, o diagrama é uma parábola do 2º grau, sendo marcado, no 
centro da linha de fechamento, o valor de (q x l2 / 8) na direção da carga. No 
trecho que não há carregamento o diagrama de momento fletor é uma linha 
linear. 
 
No meio da carga uniformemente distribuída ocorre Ql2 /8 = 15 x 12/8 = 
1.875 kNm 
(4.5 + 6) / 2 = 5.25 kNm 
5.25 + 1.875 = 7.13 kNm 
 
 
 
 
 
CARGA MOMENTO FLETOR 
Para carga momento fletor, no diagrama de momento fletor, há um 
degrau no ponto de aplicação da carga momento fletor (esse degrau é o 
valor da carga momento), no trecho sem carga, o diagrama é uma linha 
linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I / Aula 4 - Vigas Isostáticas (Continuação) 
 Introdução 
Nesta aula, apresenta-se como calcular os valores de momento fletor a partir das 
áreas do diagrama de cortante e também como calcular uma viga Gerber. 
 
Determinar o momento fletor a partir da área de diagrama de 
cortante 
Pode-se calcular o momento fletor pela área do cortante (diagrama do 
cortante). 
 EXEMPLO 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 EXEMPLO 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Atenção 
Resumo: Para achar o valor de momento fletor, deve-se tomar a área do cortante e 
somar (ou diminuir) o momento anterior. 
 
Vigas Gerber 
(vigas Gerber: estruturas compostas por barras.) 
 
As vigas Gerber são decompostas nas diversas vigas isostáticas que as constituem com 
estabilidade própria, e vigas que se apóiam sobre as demais (sem estabilidade própria). 
 
As aplicações principais são em pontes. 
 
 
 
 
Ponte Rio-Niterói – durante sua construção. 
As vigas Gerber, por serem isostáticas simples, podem ser calculadas estabelecendo o 
equilíbrio de cada uma delas, isto é, resolvendo primeiramente as vigas que não têm equilíbrio 
próprio e transmitindo a carga para as vigas com estabilidade própria. 
 
Na viga Gerber (rótula) o momento é zero (nulo). 
 
 
Decomposição das vigas Gerber 
Exemplo 1 de decomposição: 
 
A viga AB está instável, a viga BC esta em equilíbrio (engastada). 
 
Primeiramente, resolve-se a viga AB (que esta instável), achando-se a valor do apoio B, 
transfere-se esse valor para a viga que esta estável (em equilíbrio) viga BC. 
 
Exemplo 2 de decomposição: 
 
A viga AB está instável, a viga BCD está em equilíbrio. 
 
Primeiramente, resolve-se a viga AB (que está instável), achando-se o valor do apoio B, 
transfere-se esse valor para a viga que está estável (em equilíbrio) viga BCD. 
Mias exemplos anexos 
 
Atenção 
Resumo: As rótulas transmitem forças verticais e horizontais, mas não 
transmitem momento; basta que um dos apoios resista à força horizontal na 
viga Gerber. 
 
Teoria das Estruturas I / Aula 5 - Vigas Isostáticas (Continuação) 
 
 Introdução 
Nesta aula, apresenta-se como calcular as reações de apoio de uma estrutura 
inclinada e desenhar seus diagramas de: esforço cortante; esforço normal e 
momento fletor. 
Além disso, o objetivo desta aula é dar continuidade aos estudos de vigas, sendo 
o útimo sobre a viga isostática. 
Viga inclinada 
(Viga inclinada: Estrutura com barras inclinadas (rampas)). 
 
A viga inclinada pode ser biapoiada ou engastada. Observa-se no croqui abaixo um 
exemplo de viga inclinada. 
 
Na viga inclinada há necessidade de se trabalhar com dois sistemas de eixos. 
Para calcular uma viga inclinada é importante verificar: 
 
• A orientação dos apoios; 
• As direções das cargas aplicadas; 
• O ângulo que a viga faz com o eixo horizontal; 
• O desenho do diagrama tem que ser feito perpendicular à viga. 
Exemplo 1 
 
 1º PASSO 
 
 
Calcular as reações de apoio 
ΣFx = 0 ← + 
HA = 0 
ΣFy = 0 ↑ + 
VA + VB – (1 x 8) = 0 
VA + VB = 8tf 
Σ MA = 0 + 
-8 VB + (1 x 8 x 4) = 0 
-8 VB = -32 
VB = 4 tf; logo, VA = 4 tf 
 
 2º PASSO 
 
Para desenhar os diagramas, temos que decompor as forças para o eixo da viga. 
 
a = arctg (6/8) = 36.87º 
Diagrama de esforço normal (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = - 4 sen 36.87º = - 2.40 
Fazendo pelo lado esquerdo NAB = + 8 sen 36.87º = + 4.8 
Logo, tem-se que - 2.4 + 4.8 = + 2.4 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = - 4 sen 36.87º = - 2.40 
Logo, tem-se que - 2.4 + 2.4 = 0 
 
 
 3º PASSO 
 
Diagrama de esforço cortante (kN): 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 4 cos 36.87º = + 3.20 
Fazendo pelo lado esquerdo QAB = - 8 cos 36.87º = - 6.40 
Logo, tem-se que + 3.20 – 6.40 = - 3.20 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = + 4 cos 36.87º = + 3.20 
Logo, tem-se que - 3.20 + 3.20 = 0 
 
Diagrama de momento fletor (kNm): 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado direito MB = 0 
Carga distribuida: ql2/8 = (1 x 82)/8 = 8 ftm 
 
 
 
Para ver mais exemplos de Viga Inclinada – Leitura anexo 
 
 
 
Teoria das Estruturas I / Aula 6 - Quadros Isostáticos Planos Isostáticos 
 
 Introdução 
Nesta aula, você irá reconhecer as estruturas de pórtico plano. Como identificar 
tipo de pórticos, calcular sua estabilidade, calcular as reações de apoio e 
desenhar seus diagramas de esforços normais; cortantes e o diagrama de 
momento fletor. 
Pórtico plano 
(Pórticos planos: Estruturas com barras ligadas.) 
 
Os pórticos planos são estruturas lineares constituídas por barras que formam quadros 
isostáticos, com cargas ativas e reativas. As estruturas são geralmente ligadas por nós 
rígidos, podendo haver articulações entre as barras (rótulas). 
Para os cálculos das reações de apoio, são necessárias as três equações de equilíbrio 
(equação da estática). 
Os pórticos planos são classificados em: simples e compostos. 
Estudaremos a seguir cada um deles. 
O estudo dos pórticos planos será feito por meio dos exemplos de exercícios. 
Pórtico Plano Simples Biapoiado 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
 
 
 
 
 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a fim de obter as 
convenções de sinais aos Esforços Solicitantes Internos da estrutura (aula 3). 
Diagrama de esforço normal (kN) 
 
- Positivo quando a força sai da seção de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão) 
Barra AD 
Barra DF 
Barra BF 
 
 
Diagrama de esforço cortante (kN) 
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
Barra AD 
Barra DF 
Barra BF 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) 
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = + 30 x 3 = 90 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = + 30 x 7 – 30 x 4 = +210 – 120 = + 90 
Fazendo pelo lado direito MD = + 21.67 x 6 – 20 x 2 = +130.02 – 40 = + 90 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = - 1.67 x 2 + 30 x 7 – 30 x 4 = - 3.34 + 210 – 120 = + 
86.7 
Fazendo pelo lado direito ME = + 21.67 x 4 = + 86.7 
Fazendo pelo lado esquerdo MF = -1.67x 6 +30 x 7 –30 x 4 –20 x 4 = - 10.02 + 210 – 120 
- 80 = 0 
Fazendo pelo lado direito MF = 0 
 
Exemplo 2 
 
 
 
 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a fim de obter as 
convenções de sinais aos Esforços Solicitantes Internos da estrutura (aula 3). 
Achar o ângulo → α = arctg (7/7) = 45º 
Diagrama de esforço normal (kN) 
- Positivo quando a força sai da seção de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão) 
Barra AF 
Barra FG 
Barra BG 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforço cortante (kN) 
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo. 
Barra AF 
Barra FG 
Barra BG 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) 
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = + 44.37 x 2.5 – 65 x 2.5 = - 51.56 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = + 44.37 x 4 – 65 x 4 – 5 x 1.5 = - 90.00 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = + 44.37 x 5.5 – 65 x 5.5 – 5 x 3 – 3 x 1.5 = - 
132,94 
Fazendo pelo lado esquerdo MF = + 44.37 x 7 – 65 x 7 – 5 x 4.5 – 3 x 3 – 4 x 
1.5 = - 181.88 
Fazendo pelo lado esquerdo MG = + 44.37 x 12 – 65 x 7 – 5 x 4.5 – 3 x 8 – 4 x 
6.5 – 20 x 5 x 2.5 = - 245 
Fazendo pelo lado direito MG = + 10 x 7 x 3,5 = + 245 
Fazendo pelo lado esquerdo MB = 0 
 
Pórtico Plano Simples Biapoiado com Articulação e Tirante 
 
Exemplo 3 
 
 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a fim de obter as 
convenções de sinais aos Esforços Solicitantes Internos da estrutura (aula 3). 
Diagrama de esforço normal (kN) 
- Positivo quando a força sai da seção de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão) 
Barra AC 
Barra CD 
Barra BD 
Tirante 
 
Diagrama de esforço cortante (kN) 
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
Barra AC 
Barra CD 
Barra BD 
Tirante 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) 
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = + 40 x 4 = + 160 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = + 40 x 8 – 20 x 4 = + 240 
Fazendo pelo lado direito MC =+ 125.6 x 8 - 20 x 4+ (10 x 4 x 2)–(20 x 3 x 6.5)–(30 x 5 x 
2.5) = - 240 
Fazendo pelo lado esquerdo MG = + 84.4 x 5 + 40 x 8 – 20 x 4 – 30 x 5 x 2.5 = + 286.9 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = 0 (rótula) 
Fazendo pelo lado esquerdo MF = 0 (não há nenhuma força pelo lado esquerdo, que 
faça momento em F) 
Fazendo pelo lado direito MF = - 84.4 x 8 - 40 x 4 + 30 x 5 x 5.5 + 20 x 3 x 1.5 – 10 x 4 x 2 
= 0 
Fazendo pelo lado direito MB = 0 
Tirante 
No momento fletor o tirante é zero. 
 
Momento máximo 
 
Achar a distância: 
84.4 / 30 = 2.81 m (cortante dividido pelo a carga distribuída) ou acha por semelhança 
de triângulo. 
65.6 / 30 = 2.19 m (cortante dividido pelo a carga distribuída) ou acha por semelhança 
de triângulo. 
MMax = + 84.4 x 2.81 + 40 x 8 – 20 x 4 – 30 x 2.81 x (2.81/2) = + 358.7 kNm 
 
 
 
 
 
 
 
Pórtico Plano Simples Engastado e livre (balanço) 
 
Exemplo 4 
 
 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a fim de obter as 
convenções de sinais aos Esforços Solicitantes Internos da estrutura (aula 3). 
Diagrama de esforço normal (kN) 
- Positivo quando a força sai da seçao de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressão) 
Barra AB 
Barra BC 
 
Diagrama de esforço cortante (kN) 
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
Barra AB 
Barra BC 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) 
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = - 437.5 
Fazendo pelo lado esquerdo MB = - 437.5 
Fazendo pelo lado direito MB = 35 x 5 x 2.5 = - 437.5 
Fazendo pelo lado direito MC = 0 
 
 
Pórtico Plano Simples Triarticulado 
 
 
 
 
Exemplo 5 
 
 
Para desenhar os diagramas, temos que decompor as forças para o eixo das 
barras inclinadas. 
 
α = arctg (3/5) = 30.96º 
β = arctg (5/3) = 59.04º 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a fim de obter as 
convenções de sinais aos Esforços Solicitantes Internos da estrutura (aula 3). 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforço normal (kN) 
- Positivo quando a força sai da seçao de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seçao de estudo (compressão) 
Barra AD 
Barra DC 
Barra CE 
Barra BE 
 
Diagrama de esforço cortante (kN) 
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
Barra AD 
Barra DC 
Barra CE 
Barra BE 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) 
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo MA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = + 2.6 x 6 – (2 x 6 x 3) = - 20.4 (no diagrama do Ftool, 
o resultado é – 20.2, aproximação de casa decimal) 
Fazendo MC = 0 (rótula) 
Fazendo pelo lado direito ME = + 6.4 x 3 + (1 x 3 x 1.5) = 23.6 
Fazendo MB = 0 
 
 
Momento máximo para a barra AD 
 
Achar a distância: 
 
2.6 / 2 = 1.3 m (cortante dividido pelo a carga distribuída) ou acha por 
semelhança de triângulo. 
9.4 / 2 = 4.7 m (cortante dividido pelo a carga distribuída) ou acha por 
semelhança de triângulo. 
MMax = + 2.6 x 1.3 – 2 x 1.3 x (1.3/2) = + 1.7 kNm 
 
 
 
Momento máximo para a barra DC - Anexo 
 
Momento máximo para a barra CE 
Achar as distâncias: 
 
4.5 / 2.94 = 1.53 m (cortante dividido pelo a carga distribuída). 
12.6 / 2.94 = 4.30 m (cortante dividido pelo a carga distribuída). 
 
Distância em X e Y: 
 
Y = 1.53 x cos 59.04° = 0.79 m 
X = 1.53 x sen 59.04° = 1.3 m 
 
MMax esquerdo = + 19.7 x 6.3 +2.6 x 8.2 – (2 x 6 x 5.2) – (4 x 5 x 3.8) – (4 x 1.3 x 
0.65)= + 3.5 kNm 
 
 
Pórtico Plano Composto 
 
Teoria das Estruturas I / Aula 7 - Quadros Isostáticos Planos Isostáticos 
(Continuação) 
 
 Introdução 
Nesta aula, você irá reconhecer as estruturas dos pórticos compostos. Além 
disso, também irá identificar os tipos de pórticos compostos, calcular sua 
estabilidade, calcular as reações de apoio e desenhar seus diagramas de 
esforços normais; cortantes e o diagrama de momento fletor. 
Pórtico composto 
(Pórticos Compostos: Estruturas apoiadas em outros pórticos.) 
 
Os pórticos compostos podem ser considerados como uma associação de 
pórticos simples, uns com estabilidade própria e outros cuja estabilidade 
depende dos pórticos que os suportam (analogia como as vigas Gerber, no 
caso de viga). (Sussekind, v. 1) 
Para resolução dos pórticos compostos deve-se: 
 
Os estudos dos pórticos compostos serão feito por meio dos exemplos de 
exercícios. 
 
 
 
Exemplo 1 
 
 
 
 
ΣFx = 0 ← + 
HA = (10 x 4) = 40 kN (se deu positivo, o sentido escolhido para HA está certo) 
ΣFy = 0 ↑ + 
VA = (20 x 5) + 60 = 160 kN 
Σ MA= 0 (toda a estrutura roda horário, logo para ficar em equilíbrio a reação do 
momento fletor, será anti-horário) 
(10 x 4 x 2) + (20 x 5 x 2.5) + 60 x 5 = 630 Nkm 
 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador a fim de obter as 
convenções de sinais aos Esforços Solicitantes Internos da estrutura (aula 3). 
Diagrama de esforço normal (kN) 
- Positivo quando a força sai da seção de estudo (tração); 
- Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão). 
Barra AB 
Fazendo pelo lado esquerdo NA = - 160 
Fazendo pelo lado esquerdo NAB = Const. = - 160 
Fechando a barra AB, tem-se pelo lado direito = - 60 + (20 x 5) + (30 x 4) = + 160 
-160 + 160 = 0, barra AB em equilíbrio 
Barra BC 
Fazendo pelo lado esquerdo NB = + 40 – (10 x 4) = 0 
Fechando a barra BC, não tem carga horizontal pelo lado direito 
Barra CD 
Fazendo pelo lado esquerdo NC = +40 – (10 x 4) = 0 
Fechando a barra CD, não tem carga horizontal pelo lado direito 
 
Diagrama de esforço cortante (kN) 
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo. 
Barra AB 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 40 
Fazendo pelo lado esquerdo QAB = -(10 x 4) = - 40 
Logo, +40 – 40 = 0 
Fechando a barra AB, tem-se pelo lado direito = 0 (não há força horizontal) 
barra AB em equilíbrio 
Barra BC 
Fazendo pelo lado esquerdo QB = + 160 
Fazendo pelo lado esquerdo QBC = - (20 x 5) = - 100 
Logo, tem-se que + 160 – 100 = + 60 
Fechando a barra BC, tem-se pelo lado direito = + 60 – (30 x 4) = - 60 
+ 60 – 60 = 0 ,barra BC em equilíbrio. 
Barra CD 
Fazendo pelo lado esquerdo QC = + 160 – (20 x 5) = + 60 
Fazendo pelo lado esquerdo QCD = - (30 x 4) = - 120 
Logo, tem-se que + 60 – 120 = - 60 
Fazendo pelo lado esquerdo QD = + 60 
Logo, tem-se que - 60 + 60 = 0 
Fechando a barra CD, tem-se pelo lado direito = 0 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) 
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo; 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = - 630 
Fazendo pelo lado esquerdo MB = - 630 + 40 x 4 – 10 x 4 x 2 = - 550 
Fazendo pelo lado direito MB = + 60 x 9 – (20 x 5 x 2.5) – (30 x 4 x 7) = - 550 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = 0 (rótula) 
Fazendo pelo lado direito MD = 0 
Ql2 /8 = 60 Nkm 
 
Exemplo 2 
 
 1º PASSO 
 
 
 2º PASSO 
 
 
 
 3º PASSO 
 
 DIAGRAMAS 
 
Exemplo 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 
 
 
 
Calculando a reação de apoio desse pórtico: 
 
3º Passo: Calcular as reações de apoio do trecho estável. 
 
Para ver o Cálculo da reação de apoio desse pórtico e Diagramas – Anexo 
 
Exemplo 5 
 
1º Passo: Calcular o grau de estabilidade do pórtico (para saber se é isostático) 
Ge = I – E – R = 0 → para ser Isostático 
I = Reações = 6 
E = Equações = 3 
R = Rótula = 3 
Ge = I – E – R = 6 – 3 – 3 = 0, logo é estrutura isostática. 
2º Passo: Verificar qual o trecho do pórtico composto que está sem estabilidade. 
Nesse caso, é o trecho BD. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagramas 
 
Teoria das Estruturas I / Aula 8 - Estruturas isostáticas tridimensionais 
 
 Introdução 
Nesta aula, estudaremos as estruturas de grelhas planas: como calcular a 
estabilidade da grelha, calcular as reações de apoio e desenhar seus diagramas 
de esforços cortantes; diagrama de momento fletor e diagrama de momento 
torçor. 
Grelhas 
Grelha é uma estrutura plana, submetida a um carregamento perpendicular a seu 
plano. 
Estaticidade da grelha plana 
Admitindo-se o plano XY como sendo o plano da grelha, as cargas terão toda a direção 
Z. Neste caso, as equações de equilíbrio serão: 
 
ΣFZ = 0 → Somatório das forças perpendiculares igual a zero (nulo) 
ΣMX = 0 → Somatório dos momentos em torno do eixo x, (nulo) 
ΣMY = 0 → Somatório dos momentos em torno do eixo y, (nulo) 
 
Uma grelha será isostática quando houver três incógnitas para calcular. 
 
Na grelha com os três apoios, as incógnitas são as reações verticais em cada apoio (VA, 
VB e VC), conforme figura anterior. 
 
Na grelha engastada, as reações serão de momento fletor, momento torçor e a reação 
vertical, no engaste (MFA, MTA e VA), vide figura anterior. 
 
Grelhas Hiperestáticas → Possuem 4 ou mais apoios (sem rótulas) e grelhas engastadas 
com apoios. 
 
Grelhas Hipostáticas → Possuem 2 ou menos apoios e grelha com 3 apoios colineares 
(que está sobre a mesma reta). 
 
Cálculo das reações de apoio da grelha plana 
Para calcular as reações de apoio na grelha, temos que fazer o somatório dos momentos 
em função das forças, e suas distâncias em relação ao eixo considerado. 
Diagramas de esforços 
Após calcular as reações de apoio (colocar a grelha em equilíbrio), o próximo passo é 
determinar os esforços solicitantes em uma seção genérica S de uma grelha e traçar seus 
respectivos diagramas, três tipos de esforços podem atuar na seção S: 
 Esforço cortante Q; 
 Momento fletor MF e 
 Momento torçor MT. 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Perspectiva 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador, a fim de ter as convenções 
de sinais para os Esforços Solicitantes Internos da estrutura (apostila 3). 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFZ = 0 ↑ + 
VA + VB + VF – 5 – (20 x 6) – 3 = 0 
VA + VB + VF = 128 kN 
Para achar os valores de VA, VB e VF , será feito momento na barra. 
Escolher a barra que tenha uma incógnita para calcular. 
 
Exemplo: 
Barra AB → Tem a incógnita VF (para achar) 
Barra CD → Tem as incógnitas VF e VA (para achar) 
Barra EF → Tem as incógnitas VA e VB (para achar) 
Barra GH → Tem as incógnitas VA e VB (para achar) 
Logo, começaremos pela barra AB 
Σ MAB= 0 + (fazendo momento na barra AB, anda no eixo X) 
- 6 VF + (3 x 7) + (20 x 6 x 3) = 0 
- 6 VF + 381 = 0 
VF = 63.5 kN 
Achando o valor de VF, vou escolher outra barra. 
Σ MCD= 0 + (fazendo momento na barra CD, anda no eixo y) 
- 2 VF + (3 x 2) + 5 VA – (5 x 4) = 0 
+ 5 VA = + 141 
VA = 28.2 kN 
Logo, VB = 36.3 kN 
 
Diagrama de esforço cortante (kN) 
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo. 
 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = + 28.2 (positivo porque sobe na seção de estudo) 
QA S1 = Const. = + 28.2 
QS1 = - 5 
Logo, tem-se que + 28.2 – 5 = + 23.2 
QS1 B = Const. = + 23.2 
QB = + 36.3 
Logo, tem-se que + 23.2 + 36.3 = + 59.5 
QC D = - (20 x 6) = - 120 
Logo, tem-se que + 59.5 – 120 = - 60.5 
QE F = Const. = - 60.5 
QF = + 63.5 
Logo, tem-se que – 60.5 + 63.5 = + 3 
QG S2 = Const. = + 3 
QS2 = - 3 
Logo, tem-se que + 3 - 3 = 0 
 
 
Diagrama de momento torçor (kNm) 
Para desenhar o diagrama de momento torçor, temos que usar a regra da mão direita. 
E é calculado por barra. 
- Positivo quando a força sai da seção de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão) 
 
Fazendo pelo lado esquerdo MTAB = 0 (não tem nenhuma força pelo lado esquerdo) 
Fazendo pelo lado direito MTAB = - (20 x 6 x 3) – (3 x 7) + (63.5 x 6) = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MTCD = - (28.2 x 5) + (5 x 4) = - 121 
Fazendo pelo lado direito MTCD = - (63.5 x 2) + (3 x 2) = - 121 
Fazendo pelo lado esquerdo MTEF = + (28.2 x 6) - (5 x 6) + (36.3 x 6) – (20 x 6 x 3) = - 3 
Fazendo pelo lado direito MTEF = - (3 x 1) = - 3 
 
Foi feito pelo lado esquerdo e verificado pelo lado direito. 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) 
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MS1 = + (28.2 x 1) = + 28.2 
Fazendo pelo lado direito MS1 = + (36.3 x 4) – (20 x 6 x 4) + (63.5 x 6) – (3 x 6) = + 28.2 
Fazendo pelo lado esquerdo MB = + (28.2 x 5) – (5 x 4) = +121 
Fazendo pelo lado direito MB = + (63.5 x 2) – (3 x 2) = +121 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = 0 (não tem nenhuma carga à frente do ponto C, só 
rotação; flexão não tem) 
Fazendo pelo lado direito MC = – (20 x 6 x 3) + (63.5 x 6) – (3 x 7) = 0 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = + (28.2 x 6) – (5 x 6) + (36.3 x 6) – (20 x 6 x 3) = – 3 
Fazendo pelo lado direito MD = – (3 x 1) = – 3 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = + (28.2 x 5) – (5 x 4) = + 121 
Fazendo pelo lado direito ME = + (63.5 x 2) – (3 x 2) = + 121 
Fazendo pelo lado esquerdo MF = + (28.2 x 7) – (5 x 6) + (36.3 x 2) – (20 x 6 x 2) = 0 
Fazendo pelo lado direito MF = 0 (não tem nenhuma carga a frente do ponto F, só 
rotação; flexão não tem) 
Fazendo pelo lado esquerdo MG = + (28.2 x 6) – (5 x 6) + (36.3 x 6) – (20 x 6 x 3) = – 3 
Fazendo pelo lado direito MG = – (3 x 1) = – 3 
Fazendo pelo lado direito MS2 = 0 
Fazendo pelo lado direito MH = 0 
 
Foi feito pelo lado esquerdo e verificado pelo lado direito. 
 
 
 
 
Exemplo 2 
 
 
Para desenhar os diagramas devemos colocar um observador, a fim de ter as 
convenções de sinais para os Esforços Solicitantes Internos da estrutura 
(apostila3). 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFZ = 0 ↑ + 
VB + VD + VF – 1 – 4 – 3 = 0 
VB + VD + VF = 8 kN 
Para achar os valores de VB , VD e VF , será feito momento na barra. 
Escolher a barra que tenha uma incógnita para calcular. 
Exemplo: 
Barra AB → Tem as incógnitas VD e VF (para achar) 
Barra CD → Tem a incógnitas VF (para achar) 
Barra EF → Tem a incógnita VB (para achar) 
Barra GH → Tem as incógnitas VB e VD (para achar) 
Barra IJ → Tem as incógnitas VB e VD (para achar) 
 
Logo, começaremos pela barra CD 
Σ MCD = 0 + (fazendo momento na barra CD, anda no eixo X) 
+ (4 x 2) – 4 VF + (3 x 4) + (4 x 1) = 0 
– 4 VF = – 24 
VF = 6 kN 
 
Achando o valor de VB, vou escolher outra barra. 
Σ MEF= 0 + (fazendo momento na barra EF, anda no eixo y) 
+ 2 VB – (4 x 2) – (1 x 2) + (3 x 2) = 0 
+ 2 VB = + 4 
VB = 2 kN 
Logo, VC = 0 kN 
 
Diagrama de esforço cortante (kN) 
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo. 
 
Fazendo pelo lado direito QA = – 4 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = – 6 – 2 + 1 + 3 = – 4 
QA B = Const. = – 4 
QB = + 2 
Logo, tem-se que – 4 + 2 = – 2 
QC D = Const. = – 2 
QD = 0 
Logo, tem-se que – 2 + 0 = – 2 
QE F = Const. = – 2 
QF = + 6 
Logo, tem-se que – 2 + 6 = + 4 (esse + 4 é a soma doas duas barras GH e IJ) 
QG = – 1 
QG H = Const. = – 1 
Logo, tem-se que – 1 + 4 = + 3 
QI J = Const. = + 3 
QJ = – 3 
Logo, tem-se que + 3 – 3 = 0 
 
 
Diagrama de momento torçor (kNm) 
Para desenhar o diagrama de momento torçor, temos que usar a regra da mão direita. 
E é calculado por barra. 
- Positivo quando a força sai da seção de estudo (tração) 
- Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão) 
 
Fazendo pelo lado esquerdo MTAB = 0 (não tem nenhuma força pelo lado direito) 
Fazendo pelo lado esquerdo MTCD = + (4 x 2) = + 8 
Fazendo pelo lado direito MTEF = + (3 x 2) - (1 x 2) = + 4 
Fazendo pelo lado esquerdo MTGH = 0 (não tem nenhuma força pelo lado esquerdo) 
Fazendo pelo lado direito MTIJ = 0 (não tem nenhuma força pelo lado direito) 
 
 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) 
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo. 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = 0 
Fazendo pelo lado direito MB = – (4 x 2) = – 8 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = 0 (não tem nenhuma carga à frente do ponto C, só 
rotação; flexão não tem) 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = – ( 4 x 2) + (2 x 2) = – 4 
Fazendo pelo lado esquerdo ME = + ( 4 x 2) = + 8 
Fazendo pelo lado direito MF = 0 (não tem nenhuma carga à frente do ponto F, só 
rotação; flexão não tem) 
Fazendo pelo lado esquerdo MH = – ( 1 x 2) = – 2 
Fazendo pelo lado direito MI = – ( 3 x 2) = – 6 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio 
ΣFZ = 0 ↑ + 
VA - 2 – (3 x 3) = 0 
VA = 11 kN 
Momento Fletor, escolhendo horário positivo: 
Σ MFA = + (2 x 2) + (3 x 3 x 2) = 22 kNm 
Momento Torçor, escolhendo horário negativo: 
Σ MTA = – (2 x 3) – (3 x 3 x 1.5) + 1 = – 18.5 kNm 
 
 
Diagrama de esforço cortante (kN) 
- Positivo quando a força sobe pelo lado esquerdo da seção de estudo 
 
Fazendo pelo lado esquerdo QA = +11 
QA B = Const. = + 11 
QC D = – (3 x 3) = – 9 
Logo, tem-se que + 11 – 9 = + 2 
QD = – 2 
Logo, tem-se que + 2 – 2 = 0 
 
 
Diagrama de momento torçor (kNm) 
Para desenhar o diagrama de momento torçor, temos que usar a regra da mão direita. 
E é calculado por barra. 
- Positivo quando a força sai da seção de estudo (tração); 
- Negativo quando a força entra na seção de estudo (compressão). 
 
Fazendo pelo lado esquerdo MTAB = – 18.5 (o valor da reação do engaste) 
Fazendo pelo lado direito MTCD = 0 (não tem nenhuma força pelo lado direito) 
 
 
Diagrama de momento fletor (kNm) 
- Positivo quando a força sobe por qualquer lado da seção de estudo; 
- Negativo quando a força desce por qualquer lado da seção de estudo. 
 
Fazendo pelo lado esquerdo MA = – 22 (o valor da reação do engaste) 
Fazendo pelo lado direito MB = 0 (não tem nenhuma carga a frente do ponto B, só 
rotação; flexão não tem) 
Fazendo pelo lado esquerdo MC = – (2 x 3) – (3 x 3 x 1.5) = – 19.5 
Fazendo pelo lado esquerdo MD = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I / Aula 9 - Estudos das cargas móveis 
 Introdução 
Nesta aula, você irá reconhecer as estruturas relacionadas a cargas móveis, tais 
como, pontes rodoviárias, pontes ferroviárias ou pontes rolantes (para transporte 
de cargas) que são solicitadas por cargas móveis. 
Além disso, você irá distinguir as cargas móveis e trem-tipo; linhas de influência; 
utilização de linhas de influência; traçado de linhas de influência de esforços e 
reações de apoio em vigas. 
Carga Móvel 
Os carregamentos devem ser classificados em dois tipos: cargas permanentes 
e cargas acidentais. 
As cargas permanentes → peso próprio da estrutura, paredes fixas, elementos, 
forros, pisos e contrapisos etc. 
Para estruturas carregadas, apenas por cargas permanentes, a análise dos esforços 
utiliza os diagramas de esforços (cortante, normal, momento fletor e torçor). A partir 
dos diagramas de esforços obtêm‐se os esforços mais desfavoráveis atuantes na 
estrutura. Na ação das cargas permanentes, os deslocamentos não variam com o 
tempo, são únicos para toda a vida útil da estrutura. 
As cargas acidentais → diversas estruturas são solicitadas por cargas móveis como 
pontes rodoviárias e ferroviárias ou pontes rolantes (para transporte de cargas). Os 
esforços internos, nesses tipos de estrutura, não variam apenas com a magnitude das 
cargas aplicadas, mas também com sua posição de atuação. 
Portanto, o projeto de um elemento estrutural, como uma viga de ponte, envolve a 
determinação das posições das cargas móveis que produzem valores extremos ou 
limites (máximos e mínimos) dos esforços internos nas seções transversais do 
elemento. (MARTHA, 2010) 
 
A Figura 1 apresenta alguns veículos considerados em projetos de estradas. 
(PAPPALARDO Jr., 2011) 
 
Figura 1 
Cargas móveis 
(a) caminhão trator trucado + semirreboque de 4 eixos 
(b) caminhão + reboque de 4 eixos 
(c) caminhão trator trucado + semirrreboque de 5 eixos 
(Fonte: Limites legais. //www1.dnit.gov.br/Pesagem/qfv%20pdf.pdf) 
 
O dimensionamento de estruturas sob a ação de cargas móveis exige que a análise dos 
esforços seja rigorosa. O procedimento geral consiste em se determinar a posição das 
cargas móveis, em uma estrutura, que provocam os valores limites de determinado 
esforço interno em uma dada seção transversal. Este procedimento é feito com o auxílio 
das linhas de influência. (MARTHA, 2010) 
Com base no traçado de linha de influência, é possível obter as chamadas envoltórias 
limites de esforços internos, que são necessárias ao dimensionamento de estruturas 
submetidas a cargas móveis ou acidentais. As envoltórias limites de momento fletor, em 
uma estrutura, descrevem os valores máximos e mínimos de momento fletor nas seções 
transversais da estrutura. (MARTHA, 2010) 
(Linha de Influência (LI): Registra a variação de um determinado efeito.) 
 
Linhas de Influência 
Uma linha de influência (LI) registra a variação de um determinado efeito (uma reação 
de apoio, um esforço cortante ou um momento fletor em uma seção transversal) em 
função da posição de uma força vertical e unitária que percorre a estrutura. (MARTHA, 
2010) 
Os estudos de cargas móveis e linhas de influência serão feitos através de exemplos de 
exercícios. 
Linhas de Influência para viga biapoiada com balanços 
O primeiro exemplo será feito sem fórmulas. 
A carga P = 1 kN será aplicada nas seções (S1, VA, S2, S3, VB, S4 e S5). Sempre se aplica 
uma carga unitária. 
 
Serão calculados os valores das reações de apoio para várias distâncias. Para x = 0; x = 
1; x = 3.5; x = 5; x = 6; x = 7 e x = 8. 
Para a carga P = 1kN em S1, VA, S2, S3, VB, S4 e S5. 
 
 
1º Passo: Calcular as reações de apoio: 
 
Para x = 0 m 
 
ΣFy = 0 + 
VA + VB – 1 = 0 
VA + VB = 1 kN 
Σ MA= 0+ 
-5 VB 1 (1 * 1) = 0; VB = - 0.2 kN e VA = 1.2 kN 
 
Para x = 1 m 
 
 
 
Para x = 3.5 m 
 
 
Para x = 5 m 
 
 
 
 
Para x = 6 m 
 
Para x = 7 m 
 
Para x = 8 m 
 
Com os valores das reações de apoio, podemos preencher o quadro a seguir. 
 
2º Passo: Agora traçar as linhas de influência (LI) para os apoios 
(VA e VB): 
 
LIVA (kN) 
 
(b + l) / l → (1 + 5) / 5 = 1.2 kN 
- b / l → - 2 / 5 = -0.4 kN 
Passando uma paralela (exemplo na viga acima, a linha azul) a linha de 
influência, sempre será o valor de unitário. 
LIVB (kN) 
 
(b + l) / l → (2 + 5) / 5 = 1.4 kN 
- b / l → - 1 / 5 = -0.2 kN 
 
3º Passo: 
 
 Construir as linhas de influência (LI) para o esforço cortante e o 
momento fletor na seção S2: 
 
QS2 e MS2 
 
 
 
 
 
Para x = 0 m 
 
Logo, para x = 0 m: 
QS2 = 0.2 kN 
MS2 = -0.5 kNm 
 
Para x = 1 m 
 
Logo, para x = 1 m: 
QS2 = 0.0 kN 
MS2 = 0.0 kNm 
Para x = 3.5 m 
 
Logo, para x = 3.5 m: 
QS2 = 1.0 kN 
MS2 = 1.2 kNm 
Para x = 5 m 
 
Logo, para x = 5 m: 
QS2 = 0.2 kN 
MS2 = 0.5 kNm 
Para x = 6 m 
 
Logo, para x = 6 m: 
QS2 = 0 kN 
MS2 = 0 kNm 
Para x = 7 m 
 
Logo, para x = 7 m: 
QS2 = - 0.2 kN 
MS2 = - 0.5 kNm 
Para x = 8 m 
 
Logo, para x = 8 m: 
QS2 = - 0.4 kN 
MS2 = - 1.0 kNm 
 
Resumindo em quadro: 
 
4º Passo: Agora, traçar as linhas de influência (LI) para os QS2 e MS2: 
 
LIQS2 (kN) 
 
LIMS2 (kNm) 
 
Linhas de Influência para viga engastada 
Construir as linhas de influência (LI) para o esforço cortante e o momento fletor 
na seção S3. 
Primeiramente, calcular as reações de apoio para x distâncias. 
 
Calcular as reações de apoio e desenhar os diagramas de cortante e 
momento fletor para: 
 
Para x = 0 m 
 
Para x = 1 m 
 
 
 
 
Para x = 2 m 
 
 
 
 
Para x = 3 m 
 
 
 
 
Para x = 4 m 
 
 
 
 
 
Para x = 5 m 
 
 
 
 
Resumindo os resultados em uma só tabela: 
 
Agora, traçar as linhas de influência (LI) para os QS3 e MS3: 
 
Linhas de Influência para viga biapoiada 
Construir as linhas de influência (LI) para o esforço cortante e o momento fletor na 
seção S1. 
Primeiramente, calcular as reações de apoio para x distâncias. 
 
 
 
 
 
Para x = 0 m 
 
Para x = 1 m 
 
Para x = 2 m 
 
 
 
Para x = 3 m 
 
Resumindo os resultados em uma só tabela: 
 
Agora, traçar as linhas de influência (LI) para os QS3 e MS3: 
 
Linhas de influência para vigas Gerber 
O traçado das linhas de influência de vigas Gerber é obtido a partir das linhas de 
influência das vigas simples, levando em consideração a transmissão de carga da viga 
que está apoiada para aquela que serve de apoio. 
Deve-se lembrar de que quando a carga móvel está sobre um apoio ela é integralmente 
transmitida para ele. 
Construir as linhas de influência (LI) para o esforço cortante e o momento fletor na 
seção S2. 
Primeiramente, resolver a viga Gerber e depois calcular as reações de apoio para x 
distâncias. 
 
 
Decomposição da estrutura. 
 
 
 
 
 
 
 
Para x = 5 m 
 
Para x = 4 m 
 
Para x = 3 m 
 
Para x = 2.5 m 
 
Para x = 2 m 
 
Para x = 1 m 
 
 
Para x = 0 m 
 
 
Resumindo os resultados em uma só tabela: 
 
Traçar as linhas de influência (LI) para os QS2 e MS2; VA e VB e VC. 
 
 LIVA (kN) 
 
 II 
LIVB (kN) 
 
 III 
LIVC (kN) 
 
 IV 
LIQS2 (kN) 
 
 V 
 
LIMS2 (kNm) 
 
Linhas de influência para carga móvel – Trem Tipo 
Denomina-se trem-tipo o conjunto do carregamento móvel a ser aplicado à estrutura em 
sua posição mais desfavorável para cada seção de cálculo e combinação de 
carregamento. 
 Os trens-tipos compõem-se de compressores, caminhões e multidão. 
 Cargas permanente e acidental. 
Para a viga simplesmente apoiada, sujeita às ações permanente e acidental, serão traçadas as linhas de influência. 
Construir as linhas de influência (LI) para o esforço cortante e o momento fletor na 
seção S1. 
 
 
S1 esta a 5 m do apoio A. 
 
Para ler mais sobre Linhas de influência para carga móvel – Trem 
Tipo – Anexo 
Linhas de Influência para viga biapoiada com balanços 
Para determinar as linhas de influência, o equilíbrio de forças verticais e de momento, 
em relação ao apoio A, viga biapoiada com balanços na Figura abaixo, é VA = (L – x) / 
L e VB = x / L. 
 
Essas relações nada mais são que as próprias expressões analíticas das linhas de 
influência das reações de apoio, pois expressam a variação de VA e VB em função da 
posição x da força concentrada unitária. 
Essas expressões também são válidas para a força unitária sobre os balanços da viga. 
(MARTHA, 2010) 
 
Viga biapoiada com balanços. 
 
Calculando as reações de apoio. Considerando x = 4 m e L = 10 m. 
VA = (L – x) / L = 10 – 4 / 10 = 0.6 kN 
VB = x / L = 4 / 10 = 0.4 kN 
O equilíbrio também pode ser utilizado para determinar as linhas de influência do 
esforço cortante e do momento fletor em uma seção C como mostra o exemplo: 
 
Reação de apoio: 
VA = (L – x) / L 
VB = x / L 
Para x = 3 m 
VA = (L – x) / L = 10 – 3 / 10 = 0.7 kN 
VB = x / L = 3 / 10 = 0.3 kN 
 
Carga unitária no balanço à esquerda 
 
Reação de apoio: 
ΣFy = 0 ↑ + 
VA + VB - 1 = 0 
VA + VB = 1 kN 
ΣMA = 0 + 
-10 VB - (1 * 1.5) = 0 
VB = -0.15 kN 
VA = 1.15 kN 
 
 
Carga unitária 
Esforço Cortante (kN): 
No balanço esquerdo 
para x = 0 
Qd = + (a – x) / L → Qd = a / L → Qd = + 2 / 10 = 0.20 
Qe = + (a – x) / L → Qe = + 1.5 / 10 = 0.15 
para x = a 
QA = + (a – x) / L → QA = + 2 - 2 / 10 = 0 
Momento Fletor (kN*m): 
Md = - (a – x) * (L – z) / L 
Para x = 0 
Md = - (a) * (L – z) / L → MC = - 2 * (10 – 4) / 10 = - 1.2 
Para x = a 
MA = - (a - x) * (L – z) / L → MC = - 2 + 2 * (10 – 4) / 10 = 0 
 
 
 
 
No balanço direito 
 
para x = 0 
Qf = - (b – x) / L → Qf = - b / L → Qf = - 2 / 10 = - 0.20 
para x = b 
QB = - (b – x) / L → QB = - 2 + 2 / 10 = 0 
Momento Fletor (kN*m): 
Mf = - (b – x) * z / L 
Para x = 0 
Mf = - b * z / L → Mf = - 2 * 4 / 10 = - 0.8 
Para x = b 
MB = - (b – x) * z / L 
MB = - (b – b) * z / L → MB = - (2 – 2) * 4 / 10 = 0 
 
No meio da viga, é calculado como viga biapoiada (exercício anterior). 
no Trecho AC 
Esforço Cortante (kN): 
Em C pela esquerda: 
QA = 0 
QC = - x / L → QC = - 4 / 10 = - 0.4 
QB = 0 
Momento Fletor (kN*m): 
Em C pela esquerda: 
MC = z / L * (L – z) → MC = 4 / 10 * (10 – 4)= + 2.4 
A figura a seguir são os diagramas da linha de influência no ponto C (LIQC e LIMC). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teoria das Estruturas I / Aula 10 – Exercícios 
 Introdução 
Nesta aula, você irá reconhecer os ensinamentos adquiridos com os exercícios 
resolvidos de estruturas isostáticas, diagramas de esforços (cortante, normal e 
momento fletor). 
Exercícios 
A melhor forma de aprender é praticando. Nessa aula disponibilizamos uma lista 
com 46 exercícios para você testar seus conhecimentos. 
Os exercícios que você encontrará a seguir envolvem: 
 Vigas (diagramas); 
 Vigas Inclinadas (diagramas) 
 Vigas Gerber (diagramas); 
 Pórticos Simples (diagramas); 
 Pórtico Composto (diagramas); 
 Pórtico Articulado (diagramas); 
 Pórtico Atirantado (diagramas); 
 Pórtico com Balanço (diagramas). 
 
Lista de exercícios