2 - Metodo das Forcas

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APRESENTAÇÃO 
 
Começaremos a sedimentar e ampliar os conceitos da estática das estruturas, analisando 
sistemas hiperestáticos através dos métodos clássicos (forças e deslocamentos), para 
introduzir o estudo de análise matricial de estruturas. 
 
Apresenta-se o Método das Forças (um dos métodos clássicos utilizados para análise de 
estruturas hiperestáticas) como calcular uma estrutura hiperestática usando esse método. 
 
Livros: 
✓ Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha – Capítulo 8; 
✓ Curso de análise estrutural – José Carlos Sussekind – Volume 2 – Capítulo 2; 
✓ Análise Estrutural – Jack C. Mc Cormac – Capítulo 15 a 16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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OBJETIVOS 
Apresentar um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas, o 
Método das Forças. 
O método das forças é para determinar reações de apoio e/ou esforços seccionais ao 
equilíbrio estático de estruturas hiperestáticas, permitindo que as demais reações de apoio 
e/ou esforços sejam calculados com a equações da estática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
1. TEORIA DAS ESTRUTURAS I – Relembrando alguns conceitos básicos 
Antes de mais nada, relembrar o que é uma estrutura hiperestática. 
Estruturas hiperestáticas são aquelas em que o número de reações de apoio é superior 
ao de equações da estática (X = 0; Y = 0 e M = 0), portanto, essas equações somente 
são insuficientes para a determinação das reações de apoio. 
A determinação das reações de apoio que atuam nestas estruturas são geralmente 
calculadas pelo Método das Forças ou pelo Método dos Deslocamentos. No método das 
forças, as variáveis são os esforços; no método dos deslocamentos, as deformações. 
O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é determinado pelo número de reações 
de apoio excedentes àquelas necessárias para o seu equilíbrio. 
Relembrando, como calcular o grau de hiperestaticidade, a fim de descobrir se a 
estrutura é restringida, é usando umas das formulas que existe na literatura. A fórmula a 
seguir, foi tirada do livro Sussekind: 
G = Ge + Gi 
Ge = I – E – R 
Gi = 3 x N 
Onde: 
G ➔ grau hiperestático das estrututas; 
Ge ➔ grau hiperestático externo; 
Gi ➔ grau hiperestático interno; 
I ➔ representa o numero de reações de apoio (incógnita) da estrutura; 
E ➔ são as equacoes fundamentais da estática (Fx =0; Fy =0; M =0 ) 
R ➔são as rótulas existentes na estrutura, ou seja, o número de momentos liberados. 
3 ➔ representa o número de esforços liberados (V, H e M ) no corte; 
N ➔ representa o número de cortes. 
 
Observação: 
G = 0 ➔ são estruturas isostáticas 
G > 0 ➔ são estruturas hiperestáticas 
G < 0 ➔ são estruturas hipostáticas (sem equilíbrio) 
 
 
 
 
4 
 
2. MÉTODO DAS FORÇAS 
A metodologia utilizada pelo Método das Forças (também conhecido como Método da 
Flexibilidade e Método dos Esforços) para analisar uma estrutura hiperestática é: 
• Utilizar uma estrutura auxiliar isostática (não haverá nenhuma alteração do 
ponto de vista estático, se mandemos os mesmos vínculos), chamada de 
Sistema Principal, que é obtida da estrutura original (hiperestática) pela 
eliminação de vínculos. E somar uma série de soluções básicas (chamado de 
estados) que satisfazem as condições de equilíbrio. 
 
Essa eliminação de vínculos podem ser impedimentos de apoio ou vínculos de 
continuidade interna, e os deslocamentos e rotações são sempre calculados nas direções dos 
vínculos eliminados. A Figura 1 demostra a passagem do pórtico I (hiperestático), para o 
pórtico II (isostático), observasse que não houve nenhuma alteração no ponto de vista 
estático. Rompeu-se a quantidade de vínculos (os engastes) que se transformou-se em apoio 
de 1º e 2º gêneros, introduzindo no local os esforços X1, X2 e X3. 
 
 
Figura 1 – Pórtico I (hiperestático) e pórtico II (isostático, chamado de Sistema Principal). 
 
Nenhuma alteração ocorreu ao adotar a estrutura isostática (pórtico II), foram 
aplicados os esforços quanto foi o grau de hiperestaticidade. Assim, a determinação de X1, 
X2 e X3 implicará na resolução da estrutura. 
 
Quando rompido um vínculo é aplicado um esforço, no sistema principal serão 
liberadas deformações que não existem e assim a solução exige que os deslocamentos 
provocados pelos hiperestáticos sejam nulos. 
No caso acima, temos: 
 
 
5 
 
Rotação para X2 e X3 
Translação para X1. 
 
Com uma equação para cada descolamento nulo, o problema será resolver o sistema 
nxn. 
Será utilizado o principio da superposição dos efeitos, separando o carregamento 
externo e os hiperestáticos. 
 
O primeiro índice é o local e o segundo a causa. 
10 + 11 X1 + 12 X2 + 13 X3 = 0 ➔ translação de X1 
20 + 21 X1 + 22 X2 + 23 X3 = 0 ➔ rotação de X2 
30 + 31 X1 + 32 X2 + 33 X3 = 0 ➔ rotação de X3 
 
A solução do sistema fornece o valor de Xi. 
 
Na hora de escolher um sistema principal isostático são infinitas e o mais lógico é 
procurar um sistema isostático que forneça diagramas de momento fletores mais simples 
possíveis. 
 
O traçado de diagramas de momentos fletores é muito importante também dentro da 
metodologia do Método das Forças. 
 
Resumindo: A estrutura utilizada para a superposição de soluções básicas é, em geral, 
uma estrutura isostática auxiliar obtida a partir da estrutura original pela eliminação de 
vínculos. Essa estrutura isostática é chamada Sistema Principal (SP). As forças ou os 
momentos associados aos vínculos liberados são as incógnitas do problema e são 
denominados hiperestáticos. Luiz Fernando Martha. 
 
Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças 
será explicada detalhadamente pelos exercícios a seguirem. 
 
 
 
6 
 
3. EXERCÍCIOS 
O método das forças será explicado detalhadamente através dos exemplos de 
exercícios a seguir. 
Nestes exemplos a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J. 
 
Exemplo 1: Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, 
conforme mostra a Figura 2. 
Dados: 
Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h) 
E = 1 x 108 kN/m2 
 
 
Figura 2 – Viga com carregamento distribuído de 30 kN/m. 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R 
Ge = 3 – 2 – 0 = 1 ➔ estrutura uma vez hiperistática, que desejamos resolver (X1). 
Logo o sistema será: 
10 + 11 X1 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
Rompemos uma quantidade de vínculos tal (no caso, 1) que transformasse a estrutura 
hiperestática em estrutura isostática. Para preservar a compatibilidade estática, introduzimos 
os esforços (no caso, X1, X2, X3,....) existentes nos vínculos rompidos, que continuam sendo 
as incógnitas do problema, e cuja determinação implicará na resolução da estrutura. 
Arbitramos um valor qualquer para cada um dos hiperestáticos (X1, X2, X3,....), por 
simplicidade, arbitramos valores unitários (=1). 
 
 
7 
 
Para esse exemplo temos 3 modelos de sistema principal (estrutura isostática), como 
pode ser visto na Figura 3. Lembrando que na hora de escolher um sistema principal 
isostático são infinitas e o mais lógico é procurar um sistema isostático que forneça 
diagramas de momento fletores mais simples possíveis. 
 
 
 
 
Figura 3 – Exemplos de três tipos de sistema principal (isostático). Escolher um. 
 
Para o nosso exercício vamos adotar o primeiro exemplo, colocando x no balanço 
direito. Conforme a Figura 4. 
 
Figura 4 – Esse será o nosso Sistema Principal. 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras 
Para usar a tabela de Kurt Beyer (estruturas compostas por barras retas com inércia 
constante) devemos calcular o comprimento elástico das barras. A deformação  devido ao 
trabalho à flexão vale: 
𝛿 = ∫
𝑀 �̅�
𝐸 𝐽
 𝑑𝑥 
 
 
 
8 
 
Sendo Jc uma inércia arbitrária, chamada de inércia de comparação (que usualmente 
é arbitrada igual à menos das inércias das barras), temos: 
𝐸 𝐽𝑐 𝛿 = ∑ ( 
𝐽𝑐
𝐽𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎∫ ∫ 𝑀 𝑀
𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎
) 𝑑𝑥 
 
Chamando de comprimento elástico (L’) da barra i e que é o comprimento fictício de 
uma barra de inércia Jc que nos dá a mesma deformação da barra de comprimento Li e inércia 
Ji. Usando a fórmula do livro Sussekind para calcular L’: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra que esta estudando. 
 
Calculando o momento de inércia das barras. 
As barras têm as mesmas seções, logo elas tem as mesmas inercia. 
J = bh3/12 = 0,0170667 m4 
Calculando o comprimento elástico (L’) de cada barras: 
Barra 1 ➔ L’ = 3*0,0170667/0,0170667 = 3 m 
Barra 2 ➔ L’ = 5*0,0170667/0,0170667 = 5 m 
 
4º Passo: Estado 0 (só carga): Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama 
de momento fletor (M0) com as cargas externas. 
 
 
 
 
 
9 
 
5º Passo: Estado 1 (só X1): Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de 
momento fletor (M1) com a carga de 1 kN no X1 (no hiperestático). 
 
 
 
 
6º Passo: Calculando dos E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos dois momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela 
de Kurt Beyer vejo a equação da multiplicação dos dois momentos. 
 
10 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 0: 
𝐸 𝐽𝑐 𝛿10 = 𝑀1 𝑥 𝑀0 
 
Barra 1: L’ de 3 m com par. 2º grau (-375 kNm) x triângulo (5kNm). 
 
 
 
 
10 
 
 
 x 
 
 
 
 
 x 
 
 
Olhando a tabela, temos: 
Triangulo com triangulo e ql2/8 com triangulo. 
Na segunda coluna com a segunda linha encontraremos a primeira equação e na 
segunda coluna com a quinta linha encontraremos a segunda equação, logo temos: 
 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� + 
1
3
 𝐿′ 𝑀𝑚 �̅� 
Onde: 
L’ = 3 m (comprimento da barra 1) 
M = -375 kNm (momento fletor da parábola 2º grau) 
M = 5 kNm (momento fletor do triangulo) 
M = 33,75 kNm (momento fletor do ql2/8) 
Substituindo os valores, temo: 
1
3 
 𝑥 3 𝑥 (−375) 𝑥 5 + 
1
3
 𝑥 3 𝑥 5 𝑥 33,75 = −1706,25 
 
Barra 2: L’ de 5 m com par. 2º grau (-375 kNm) x triângulo (5kNm). 
 x 
 
 
11 
 
Olhando a tabela, temos: 
Parábola do 2º grau com triangulo. 
Na segunda coluna com a oitava linha encontraremos a equação: 
1
4
 𝐿′ 𝑀 �̅� 
Onde: 
L’ = 5 m (comprimento da barra 2) 
M = -375 kNm (momento fletor da parábola 2º grau) 
M = 5 kNm (momento fletor do triangulo) 
Substituindo os valores, temo: 
1
4
 𝑥 5 𝑥 (−375) 𝑥 5 = −2343,75 
 
𝐸 𝐽𝑐 𝛿10 = −4050 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝐸 𝐽𝑐 𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
 
Como existe essa figura na tabela, não preciso fazer por barras. Uso direto (barra 1 + 
barra 2). 
 
Olhando a tabela, temos: 
Na última coluna com a última linha encontraremos a equação: 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� 
Onde: 
L’ = 8 m (comprimento de toda a viga) 
M = 5 kNm (momento fletor do triangulo) 
M = 5 kNm (momento fletor do triangulo) 
Substituindo os valores, temo: 
 
 
12 
 
1
3
 𝑥 8 𝑥 5 𝑥 5 = 66,67 
 
𝐸 𝐽𝑐 𝛿11 = 66,67 
 
7º Passo: Sistema 
Montar o sistema para acha r X1. 
10 + 11 X1 = 0 
-4050 + 66,67 X1 = 0 
X1 = 60,75 kN 
Se deu positivo, significa que o sentido de X1 está correto, para cima. 
Volto a estrutura hiperestática e coloco o valor que achei em X1 (60,75 kN). Conforme 
mostra a Figura 5. 
 
Figura 5 – Viga com o valor de X1. 
 
Calculo as reações de apoio e desenho os diagramas solicitantes (diagramas finais). 
Conforme a Figura 6. 
 
 
Figura 6 – Reação de apoio após achar X1. 
 
 
 
13 
 
 
Figura 7 – Diagrama de esforços cortantes. 
 
 
Figura 8 – Diagrama de momento fletor. 
 
 
 
14 
 
Exemplo 2: Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, 
conforme mostra a Figura 9. 
Dados: 
Valores de inércia: Nos pilares J = 1 e na viga J = 2. 
E = 1 x 108 kN/m2 
 
Figura 9 – Pórtico com carregamento distribuído de 20 kN/m. 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R => Ge = 5 – 3 – 0 = 2 ➔ estrutura duas vezes hiperistática, desejamos 
resolver (X1 e X2). Logo nosso sistema será: 
10 + 11 X1 + 12 X2 = 0 
20 + 21 X1 + 22 X2 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para 
facilitar os cálculos e indicar X1 e X2. Conforme a Figura 10. 
 
Figura 10 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1 e X2. 
 
 
15 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras. 
O comprimento elástico das barras: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra em estududo. 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1 ➔ L’1 = 3*1/1 = 3 m 
Barra 2 ➔ L’2 = 6*1/2 = 3 m 
Barra 3 ➔ L’3 = 6*1/1 = 3 m 
 
4º Passo: Estado 0 (só carga): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com as cargas 
externas. Conforme pode ser visto na Figura 11. 
 
Figura 11 – Diagrama de momento fletor (M0), com o Sistema Principal. 
 
 
 
16 
 
5º Passo: Estado 1 (só X1) 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X1 (no hiperestático), Figura 12. 
 
Figura 12 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1. 
 
6º Passo: Estado 2 (só X2) 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X2 (no hiperestático), Figura 13. 
 
Figura 13 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2. 
 
 
 
 
17 
 
7º Passo: Calcular as E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela de 
Kurt Beyer. 
 
10 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 0: 
𝛿10 = 𝑀1 𝑥 𝑀0 
Barra 1: L’ de 3 m com retângulo (-360 kNm) x retângulo (6kNm). 
 𝐿′𝑀 𝑀 = 3 𝑋 6 𝑋 (−360) = −6480 
Barra 2: L’ de 3 m com par. 2º grau (-360 kNm) x triângulo (6kNm). 
1
4
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
4
𝑋 3 𝑋 6 𝑋(−360) = −1620 
Barra 3 = 0 
 
𝛿10 = −8100 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1: L’ de 3 m com retângulo (6kNm) x retângulo (6kNm). 
 𝐿′𝑀 𝑀 = 3 𝑥 6 𝑥 6 = 180 
 
Barra 2: L’ de 3 m com triangulo (6kNm) x triângulo (6kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 6 𝑥 6 = 36 
𝛿11 = 144 
 
12 = 21 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿12 = 𝛿21 = 𝑀1 𝑥 𝑀2 
Barra 1: L’ de 3 m com triangulo (-3kNm) x retângulo (6kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 3 𝑥 (−3) 𝑥 6 = −27 
 
 
18 
 
Barra 2: L’ de 3 m com triangulo (6kNm) x retângulo (-3kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
 𝑥 3 𝑥 (−3) 𝑥 6 = −27 
Barra 3 = 0 
 
𝛿12 = 𝛿21 = −54 
 
20 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 0: 
𝛿20 = 𝑀2 𝑥 𝑀0 
Barra 1: L’ de 3 m com triangulo (-3kNm) x retângulo (-360kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 3 𝑥 (−3) 𝑥 (−360) = 1620 
 
Barra 2: L’ de 3 m com par. 2º grau (-360 kNm) x retângulo (-3kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
 𝑥 3 𝑥 (−3) 𝑥 (−360) = 1080 
 
Barra 3 = 0 
 
𝛿20 = 2700 
 
22 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿22 = 𝑀2 𝑥 𝑀2 
Barra 1: L’ de 3 m com triangulo (-3kNm) x triângulo (-3kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3 
𝑥 3 𝑥(−3) 𝑥(−3) = 9 
 
Barra 2: L’ de 3 m com retângulo (-3kNm) x retângulo (-3kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 3 𝑥(−3) 𝑥(−3) = 27 
 
Barra 3: L’ de 3 m com triangulo (3kNm) x triângulo (3kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 = 9 
 
 
19 
 
𝛿22 = 45 
 
7º Passo: Sistema 
Montar o sistema para acha r X1 e X2. 
10 + 11 X1 + 12 X2 = 0 
20 + 21 X1 + 22 X2 = 0 
 
-8100 + 144 X1 - 54 X2 = 0 
 2700 - 54 X1+ 45 X2 = 0 
Resolvendo: 
X1 = 60,36 kN 
X2 = 13,64 kN 
 
Se deu positivo, significa que o sentido de X1 e X2 estão corretos. 
Voltar a estrutura hiperestática e colocar os valores de X1 e X2. Conforme a Figura 14. 
 
 
Figura 14 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1 e X2. 
 
Agora calcular as reações de apoio (Figura 15) e desenhar os diagramas solicitantes. 
 
 
20 
 
 
 
Figura 15 – Estrutura original (hiperestática) com as reações de apoios. 
 
 
Figura 16 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
21 
 
 
Figura 17 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
Figura 18 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
 
22 
 
Exemplo 3: Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, 
conforme a Figura 19. Dados: Usar valores de inércia = 1. e E = 1 x 108 kN/m2 
 
Figura 19 – Pórtico com tirante ou escora. 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R => Ge = 5 – 3 – 1 = 1 ➔ estrutura uma vez hiperistática, (X1). 
Logo nosso sistema será: 10 + 11 X1 + 12 X2 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.): Escolher uma estrutura isostática. 
 
Figura 20 – Sistema Principal (estrutura isostática), com o local onde estar o X1. 
 
 
23 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras. Como o momento de inércia é 
1 em todas as barras, logo, L’ = L 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra que esta estudando. 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1 ➔ L’1 = 8 m 
Barra 2 ➔ L’2 = 6 m 
Barra 3 ➔ L’3 = 8 m 
 
4º Passo: Estado 0 (só carga): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com as cargas 
externas. Figura 21. 
 
Figura 21 – Diagrama de momento fletor (M0) com as cargas externas. 
 
 
24 
 
 
5º Passo: Estado 1 (só X1) 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X1 (no hiperestático). Figura 22. 
 
Figura 22 – Diagrama de momento fletor (M1) com a carga de 1kN em X1. 
 
6º Passo: Calculando dos E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela de 
Kurt Beyer. 
 
10 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 0: 
𝛿10 = 𝑀1 𝑥 𝑀0 
Barra 1: Separando a barra 1 em duas barras. Barra 1a e barra 1b. 
Barra 1a: L’ de 5 m com triangulo (-5kNm) x triângulo (225kNm). 
 x 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 5 𝑥 (−5) 𝑥 225 = −1875 
 
 
 
25 
 
Barra 1b: L’ de 3 m com triangulo (-5kNm) x trapézio (225kNm a 292,5). Esse trapézio 
tem que somar com ql2/8. 
 x 
 
1
6
 𝐿′ 𝑀 (2𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) + 
1
3
 𝐿′ 𝑀 𝑀 = 
= 
1
6
𝑥 3 𝑥(−5) 𝑥 (2 𝑥 225 + 292,5) + 
1
3
 𝑥 3 𝑥(−5) 𝑥 16,88 = −1940,65 
𝛿10 = −3815,65 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1 = barra 3: L’ de 8 m com triangulo (-5kNm) x triângulo (-5kNm). 
2 𝑥 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 2 𝑥 
1
3
𝑥 8 𝑥 (−5) 𝑥 (−5) = 133,33 
𝛿11 = 133,33 
 
7º Passo: Sistema 
Montar o sistema para achar X1. 
10 + 11 X1 + 12 X2 = 0 
-3815,65 + 133,33 X1 = 0 
Resolvendo: 
X1 = 28,62 kN 
 
Deu positivo, significa que o sentido de X1 está correto. 
Volto a estrutura hiperestática e coloco o valor de X1 (Figura 23). 
Calculo as reações de apoios (Figura 24). 
 
 
26 
 
 
Figura 23 – Estrutura hiperestática com o valor de X1. 
 
 
Figura 24 – Estrutura hiperestática com os valores das reações de apoios. 
 
Desenhar os diagramas solicitantes (Figura 25, Figura 26 e Figura 27). 
 
 
27 
 
 
Figura 25 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
Figura 26 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
28 
 
 
Figura 27 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
 
29 
 
Exemplo 4: Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, 
conforme a Figura 28. Dados: Usar valores de inércia = 1. e E = 1 x 108 kN/m2 
 
Figura 28 – Pórtico com tirante ou escora. 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R 
Ge = 6 – 3 – 1 = 2 ➔ estrutura duas vezes hiperistática, (X1 e X2). 
Logo o sistema será: 
10 + 11 X1 + 12 X2 = 0 
20 + 21 X1 + 22 X2 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.). Escolher uma estrutura isostática e colocar os X1 
e X2 (Figura 29): 
 
Figura 29 – Sistema Principal (estrutura isostática). 
 
 
30 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras. Como o momento de inércia é 
1 em todas as barras, logo, L’ = L 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra que esta estudando. 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1 ➔ L’1 = 3 m 
Barra 2 ➔ L’2 = 6 m 
Barra 3 ➔ L’3 = 3 m 
Barra 4 ➔ L’4 = 5 m 
 
4º Passo: Estado 0 (só carga): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com as cargas 
externas (Figura 30). 
 
Figura 30 – Diagrama de momento fletor (M0) com as cargas externas. 
 
 
 
31 
 
 
5º Passo: Estado 1 (só X1) 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X1 (no hiperestático), conforme a Figura 31. 
 
Figura 31 – Diagrama de momento fletor (M1) com a carga de X1. 
 
5º Passo: Estado 2 (só X2) 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X2 (no hiperestático), conforme a Figura 32. 
 
Figura 32 – Diagrama de momento fletor (M2) com a carga de X2. 
 
6º Passo: Calculando dos E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela de 
Kurt Beyer. 
 
 
32 
 
 
10 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 0: 
𝛿10 = 𝑀1 𝑥 𝑀0 
Barra 1: = 0 
 
Barra 2: Triangulo de -280kNm com triangulo de 4kNm. 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 6 𝑥 (−280) 𝑥 4 = −2240 
Barra 3: = 0 
 
Barra 4: Par. Par. do 2º grau (tang. Horiz.) de -160kNm com triangulo de 4kNm. 
1
4
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
4
𝑥 5 𝑥 (−160) 𝑥 4 = −800 
𝛿10 = −3040 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1: = 0 
 
Barra 2: Triangulo de 4kNm com triangulo de 4kNm. 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 6 𝑥 4 𝑥 4 = 32 
Barra 3: = 0 
 
Barra 4: Par. Triangulo de 4kNm com triangulo de 4kNm. 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 5 𝑥 4 𝑥 4 = 26,67 
𝛿11 = 58,67 
 
12 = 21 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿12 = 𝛿21 = 𝑀1 𝑥 𝑀2 
 
 
33 
 
Barra 1: = 0 
 
Barra 2: Triangulo de -1kNm com triangulo de 4kNm. 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 6 𝑥 (−1) 𝑥 4 = −8 
Barra 3: = 0 
 
Barra 4: = 0 
𝛿12 = 𝛿21 = −8 
 
20 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 0: 
𝛿20 = 𝑀2 𝑥 𝑀0 
Barra 1: = 0 
 
Barra 2: Triangulo de -280kNm com triangulo de -1kNm. 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 6 𝑥 (−280) 𝑥 (−1) = 560 
Barra 3: = 0 
 
Barra 4: Par. Triangulo de 120kNm com triangulo de 1kNm. 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 120 𝑥 1 = 120 
𝛿20 = 680 
 
22 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿20 = 𝑀2 𝑥 𝑀0 
Barra 1: Triangulo de 1kNm com triangulo de 1kNm. 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 1 𝑥 1 = 1 
 
Barra 2: Triangulo de -1kNm com triangulo de -1kNm. 
 
 
34 
 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 6 𝑥 (−1) 𝑥 (−1) = 2 
 
Barra 3: Triangulo de 1kNm com triangulo de 1kNm. 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 1 𝑥 1 = 1 
 
Barra 4:= 0. 
𝛿22 = 4 
 
7º Passo: Sistema 
Montar o sistema para achar X1 e X2. 
10 + 11 X1 + 12 X2 = 0 
20 + 21 X1 + 22 X2 = 0 
-3040 + 58,67 X1 - 8 X2 = 0 
 680 - 8 X1 + 4 X2 = 0 
Resolvendo: 
X1 = 39,38 kN 
X2 = -91,25 kNm (deu negativo, significa dizer o sentido de X2 é contrário ao que foi 
escolhido). 
 
Volto a estrutura hiperestática e coloco os valores de X1 e X2. 
Calculando as reações de apoios (Figura 32) e desenhando os diagramas solicitantes. 
 
Figura 33 – Estrutura hiperestática com os valores das reações de apoios. 
 
 
35 
 
 
Figura 34 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática). 
 
Figura 35 – Diagrama de Esforços Cortante (DEC) na estrutura original (hiperestática). 
 
Figura 36 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
36 
 
Exemplo 5: Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, 
conforme a Figura 37. 
Dados: 
Valores de inércia está nas barras e E = 1 x 108 kN/m2 
 
Figura 37 – Pórtico hiperestático. 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R 
Ge = 6 – 3 – 1 = 2 ➔ estrutura duas vezes hiperistática, (X1 e X2). 
Logo o sistema será: 
10 + 11 X1 + 12 X2 = 0 
20 + 21 X1 + 22 X2 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.). Escolher uma estrutura isostática e colocar os X1 
e X2 (Figura 38): 
 
 
37 
 
 
Figura 38 – Sistema Principal (estrutura isostática). Colocando X1 e X2 e dando nomes as barras. 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras. Como o momento de inércia é 
1 em todas as barras, logo, L’ = L 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra que esta estudando. 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1 ➔ L’1 = 3,60 x (1/1,5) = 2,40 m 
Barra 2 ➔ L’2 = 3,35 x (1/2,0) = 1,68 m 
Barra 3 ➔ L’3 = 5,39 x (1/3,0) = 1,80 m 
Barra 4 ➔ L’4 = 2,50 x (1/1,0) = 2,50 m 
 
4º Passo: Estado 0 (só carga): 
 
 
38 
 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor (M0) com as 
cargas externas (Figura 39). 
 
Figura 39 – Diagrama de momento fletor (M0) com as cargas externas. 
 
5º Passo: Estado 1 (só X1) 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor (M1) com a 
carga de 1 kN no X1 (no hiperestático), conforme a Figura 40. 
 
Figura 40 – Diagrama de momento fletor (M1) com a carga de X1. 
 
 
39 
 
 
5º Passo: Estado 2 (só X2) 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor (M2) com a 
carga de 1 kN no X2 (no hiperestático), conforme a Figura 41. 
 
Figura 41 – Diagrama de momento fletor (M2) com a carga de X2. 
 
6º Passo: Calculando dos E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela de 
Kurt Beyer. 
 
10 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 0: 
𝛿10 = 𝑀1 𝑥 𝑀0 
Barra 1: L’ de 2,40 m com retângulo de 8kNm com trapézio (-907,9kNm a -799,9kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 (𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) = 
1
2
𝑋 2,40 𝑋 8 𝑋 (−799,9 − 907,9) = −16394,88 
 
Barra 2: L’ de 1,68 m com trapézio (8kNm a 5kNm) com trapézio (-799,9kNm a -312,5kNm, 
esse trapézio tem de descontar o ql2/8). 
1
6
 𝐿′ [ 𝑀𝐴̅̅ ̅̅̅ (2 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) + 𝑀𝐵̅̅ ̅̅ ̅ (2𝑀𝐵 + 𝑀𝐴) ] +
1
3
 𝐿′ 𝑀 (𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) 
 
 
40 
 
1
6
 𝑥 1,68 [ 5̅ (2 𝑥 312,5 + 799,9) + 8̅ (2 𝑥 − 799,9 − 312,5) ] +
1
3
𝑥 1,67 𝑥 28,06 (5 + 8)
= −6074,43 
 
Barra 3: L’ de 1,80 m com triangulo (5kNm) com Par. do 2º grau (tang. Horiz.) de -312,5kNm. 
1
4
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
4
𝑋 1,80 𝑋 (−312,5) 𝑋 5 = −703,13 
 
Barra 4 = 0 
𝛿10 = −23172,44 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1: L’ de 2,40 m com retângulo (8kNm) com retângulo (8kNm). 
𝐿′ 𝑀 �̅� = 2,40 𝑋 8 𝑋 8 = 153,6 
 
Barra 2: L’ de 1,68 m com trapézio (8kNm a 5kNm) com trapézio (8kNm a 5kNm). 
1
6
 𝐿′ [ 𝑀𝐴̅̅ ̅̅̅ (2 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) + 𝑀𝐵̅̅ ̅̅ ̅ (2𝑀𝐵 + 𝑀𝐴) ] 
1
6
𝑥 1,68 [ 5 (2 𝑥 5 + 8) + 8̅ (2𝑥8 + 5) ] = 72,24 
 
Barra 3: L’ de 1,80 m com triangulo (5kNm) com triangulo (5kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑋 1,80 𝑋 5 𝑋 5 = 15 
 
Barra 4 = 0 
𝛿11 = 240,84 
 
12 = 21 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿12 = 𝛿21 = 𝑀1 𝑥 𝑀2 
Barra 1: A barra 1 terá que dividir em duas (barra 1a e barra 1b). 
 
 
 
41 
 
x 
Barra 1a: L’ de 0,40 m com triangulo (0,6kNm) com retângulo (8kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 0,40 𝑥 8 𝑥 0,6 = 0,96 
 
Barra 1b: L’ de 2,0 m com triangulo (-3,0kNm) com retângulo (8kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 2,0 𝑥 8 𝑥 (−3,0) = −24,0 
 
Barra 2: L’ de 1,68 m com trapézio (8kNm a 5kNm) com trapézio (-3kNm a -4,5kNm). 
Escolher um dos trapézios para decompor (retângulo + triângulo), será o trapézio de (-3kNm 
a -4,5kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 (𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) + 
1
6
 𝐿′ 𝑀 (2𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) 
1
2
 𝑥 1,68 𝑥 − 3 𝑥 (5 + 8) + 
1
6
𝑥 1,68 𝑥 − 1,5 (2 𝑥 5 + 8) = −40,32 
 
Barra 3: L’ de 1,80 m com trapézio (-4,5kNm a -2,5kNm) com triângulo (5kNm). 
1
6
 𝐿′ 𝑀 (𝑀𝐴 + 2𝑀𝐵) = 
1
6
𝑥 1,80 𝑥 5 𝑥 (−2,5 − 2 𝑥 4,5) = −17,25 
 
Barra 4: = 0 
𝛿12 = 𝛿21 = −80,61 
 
20 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 0: 
𝛿20 = 𝑀2 𝑥 𝑀0 
Barra 1: A barra 1 terá que dividir em duas (barra 1a e barra 1b). 
 
 
42 
 
 
 x 
Barra 1a: L’ de 0,40 m com triangulo (0,6kNm) com trapézio (-907,9kNm a -889,9kNm) 
1
6
 𝐿′ 𝑀 (𝑀𝐴 + 2𝑀𝐵) = 
1
6
𝑥 0,40 𝑥 0,6 𝑥 (−889,9 + 2 𝑥 − 907,9) = −108,23 
 
Barra 1b: L’ de 2,0 m com triangulo (-3,0kNm) com trapézio (-889,9kNm a -
799,9kNm). 
1
6
 𝐿′ 𝑀 (2𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) = 
1
6
𝑥 2,0 𝑥 − 3,0 𝑥 (2𝑥 − 799,9 − 889,9) = 2489,50 
 
Barra 2: L’ de 1,68 m com trapézio (-799,9 kNm a -312,5 kNm) com trapézio (-3kNm 
a -4,5kNm). O trapézio (-799,9 kNm a -312,5 kNm) tem que descontar o ql2/8 = 28,06 kNm. 
E o trapézio (-3kNm a -4,5kNm), tem que separar por retângulo + triângulo. 
 x 
Trapézio com retângulo: 
1
2
 𝐿′ 𝑀 (𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) = 
1
2
 𝑥 1,68 𝑥(−3)𝑥 ((−312,5 − 799,9) ) = 2803,25 
Retângulo com par. 2º grau: 
2
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
2
3
𝑥 1,68 𝑥 (−3) 𝑥 (28,06) = −94,28 
Trapézio com triângulo: 
 
 
 
43 
 
1
6
 𝐿′ 𝑀 (2𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) = 
1
6
𝑥 1,68 𝑥(−1,5) 𝑥 (2𝑥 − 312,5 + (−799,9)) = 598,46 
Triângulo com par. 2º grau: 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 1,68 𝑥 (28,06) 𝑥 (−1,5) = −23,57 
 
Barra 3: L’ de 1,80 m com Par. 2º grau tang. Horiz. (-312,5 kN) com trapézio (-4,5kNm 
a -2,5kNm). 
1
12
 𝐿′ 𝑀 (𝑀𝐴 + 3𝑀𝐵) = 
1
12
 𝑥 1,80 𝑥 (−312,5) 𝑥 (−2,5 + 3 𝑥 (−4,5)) = 750 
 
Barra 4 = 0. 
𝛿20 = 6415,13 
 
22 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿22 = 𝑀2 𝑥 𝑀2 
Barra 1: A barra 1 terá que dividir em duas (barra 1a e barra 1b). 
 
 x 
 
Barra 1a: L’ de 0,40 m com triangulo (0,6kNm) com triangulo (0,6kNm) 
1
3
 𝐿′ 𝑀 𝑀 = 
1
3
𝑥 0,40 𝑥 0,6 𝑥 0,6 = 0,048 
 
Barra 1b: L’ de 2,0 m com triangulo (-3,0kNm) com triangulo (-3,0kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 𝑀 = 
1
3
 𝑥 2,0 𝑥 − 3,0 𝑥 − 3,0 = 6,05 
 
 
44 
 
Barra 2: L’ de 1,68 m com trapézio (-3,0 kNm a -4,5 kNm) com trapézio (-3,0kNm a -
4,5kNm). 
1
6
 𝐿′ [ 𝑀𝐴̅̅ ̅̅̅ (2 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) + 𝑀𝐵̅̅ ̅̅ ̅ (2𝑀𝐵 + 𝑀𝐴) ] 
1
6
 𝑥 1,68 [ −3 ((2 𝑥(−3) − 4,5)) + −4,5 ((2𝑥(−4,5) − 3)) ] = 23,94 
 
Barra 3: L’ de 1,80 m com trapézio (-4,5kNm a -2,5kNm) com trapézio (-4,5kNm a -
2,5kNm). 
1
6
 𝐿′ [ 𝑀𝐴̅̅ ̅̅̅ (2 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) + 𝑀𝐵̅̅ ̅̅ ̅ (2𝑀𝐵 + 𝑀𝐴) ] 
1
6
 𝑥 1,80 [ −2,5 ((2 𝑥(−2,5) − 4,5)) + −4,5 ((2𝑥(−4,5) − 2,5)) ] = 22,65 
 
Barra 4: L’ de 2,50 m com triangulo (2,5kNm) com triangulo (2,5kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 𝑀 = 
1
3
𝑥 2,5 𝑥 2,5 𝑥 2,5 = 5,21 
𝛿22 = 57,85 
 
7º Passo: Sistema 
Montar o sistemapara achar X1 e X2. 
10 + 11 X1 + 12 X2 = 0 
20 + 21 X1 + 22 X2 = 0 
-23172,44 + 240,84 X1 – 80,61X2 = 0 
 6415,13 – 80,61 X1 + 57,85 X2 = 0 
Resolvendo: 
X1 = 110,75 kN 
X2 = 43,42 kN 
Volto a estrutura hiperestática e coloco os valores de X1 e X2. 
Calculando as reações de apoios (Figura 42) e desenhando os diagramas solicitantes. 
 
 
45 
 
 
Figura 42 – Estrutura hiperestática com os valores das reações de apoios. 
 
Figura 43 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
46 
 
 
Figura 44 – Diagrama de Esforços Cortante (DEC) na estrutura original (hiperestática). 
 
Figura 45 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
 
 
47 
 
A tabela de Kurt Beyer, na Figura 46. 
 
Figura 46 - https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg 
 
 
 
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg
 
 
48 
 
Exercícios Proposto: 
 
1) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
2) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
 
 
49 
 
3) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. 
 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
4) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. 
 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
 
50 
 
 
5) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
6) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
 
51 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Será apresentado que a variação de temperatura (T) e/ou recalques de apoios (r) 
provocam deformações e esforços internos em estruturas hiperestáticas. Para isso será 
utilizado o Método das Forças para resolver essa estrutura hiperestática. 
 
Livros: 
✓ Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha – Capítulo 8; 
✓ Curso de análise estrutural – José Carlos Sussekind – Volume 2 – Capítulo 2; 
✓ Análise Estrutural – Jack C. Mc Cormac – Capítulo 15 a 16. 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
OBJETIVOS 
O objetivo é resolver estruturas hiperestáticas devido a variações de temperaturas 
(T) e/ou recalques de apoios (r), usando o Método das Forças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
4. VARIAÇÃO DE TEMPERATURA & RECALQUES DE APOIO 
 
No caso de querermos resolver uma estrutura hiperestática para uma variação de 
temperatura e/ou para recalques de apoios, teremos tão somente que substituir (ou somar) 
os 0 (deformações, no estado zero – só carga) por T e/ou r . 
 
Temperatura: 
A variação de temperatura provoca deformação e esforços internos em estrutura 
hiperestática. As solicitações térmicas são de grande importância para o dimensionamento 
de uma estrutura. 
A seguir a fórmula para calcular a variação de temperatura: 
𝛿𝑖𝑇 = 𝐸 𝐽𝐶 [
𝛼 ∆𝑇
ℎ
 𝐴𝑚𝑖 + 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] 
Onde: 
E ➔ Módulo de elasticidade longitudinal do material; 
Jc ➔ Momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro (uma 
inércia arbitrária, chamada inércia de comparação (que usualmente é arbritada à menor das 
inércias das barras)); 
 ➔ Coef. De dilatação térmica; 
h ➔ Altura da seção transversal; 
t ➔ ti – te 
 ti = temperatura nas fibras internas, 
 te = temperatura nas fibras externas. 
tg ➔ Variação de temperatura no centroide da seção transversal. 
 Tg = (te + ti) / 2 
Ami ➔ Área do diagrama do momento fletor (DMF); 
Ani ➔ Área do diagrama do esforço normal (DEN). 
 
Recalques de apoios: 
A solicitação de recalque de apoio é semelhante à de variação de temperatura. 
Cujo o apoio sofra um recalque conhecido, indicado na estrutura. Se quisermos calcular 
a estrutura, temos: 
 
 
 
54 
 
𝛿𝑖𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [ ∑ 𝑅𝑖𝜌𝑖 ] = −𝐸 𝐽𝐶 [ ∑(𝑀𝜌𝑀 + 𝑉𝜌𝑉 + 𝐻𝜌𝐻) ] 
 
Onde: 
E ➔ Módulo de elasticidade longitudinal do material; 
Jc ➔ Momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro (uma 
inércia arbitrária, chamada inércia de comparação (que usualmente é arbritada à menor das 
inércias das barras)); 
➔ recalques 
 
Será explicado detalhadamente pelos exercícios a seguirem. 
 
5. EXERCÍCIOS 
Nestes exercícios (exemplos) a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J. 
 
Exemplo 1: Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, 
conforme mostra a Figura 2. 
Dados: 
Seção da viga de 6m de comprimento (barra 1): 20 cm x 50 cm (b x h) 
Seção da viga de 8m de comprimento (barra 2): 40 cm x 80 cm (b x h) 
E = 8 x 106 kN/m2 
 = 10-5 /°C 
 
Figura 47 – Viga com temperatura externa de -16ºC e temperatura interna de 8ºC. 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R 
Ge = 5 – 3 – 0 = 2 ➔ estrutura duas vez hiperistática, que desejamos resolver (X1 e 
X2). 
 
 
55 
 
Logo o sistema será: 
1t + 11 X1 + 12 X2 = 0 
2t + 21 X1 + 22 X2 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para 
facilitar os cálculos e indicar X1 e X2. Conforme a Figura 10. 
 
 
Figura 48 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1 e X2. 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras. 
O comprimento elástico das barras: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra em estudo. 
Calculando o momento de inércia das barras: 
Jviga barra1 = bh3/12 = 0,2 x 0,53/12 = 0,002083 m4. 
Jviga barra2 = bh3/12 = 0,4 x 0,83/12 = 0,017067 m4 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1 ➔ L’1 = 6 x 0,002083/0,002083 = 6 m 
Barra 2 ➔ L’2 = 8 x 0,002083/0,017067 = 0,9764 m 
 
4º Passo: Estado 1 (só X1): 
 
 
56 
 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X1 (no hiperestático), Figura 11. 
 
Figura 49 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1. 
 
5º Passo: Estado 2 (só X2) 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X2 (no hiperestático), Figura 12. 
 
Figura 50 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2. 
 
6º Passo: Calcular as E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela de 
Kurt Beyer. 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1: L’ de 6 m com triangulo (6 kNm) x triangulo (6 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑋 6 𝑋 6 𝑋 6 = 72 
Barra 2: L’ de 0,9764 m com trapézio (6 kNm a 14 kNm) x trapézio (6 kNm a 14 kNm). 
1
6
 𝑥 𝐿′ [ 𝑀𝐴̅̅ ̅̅̅ (2 𝑥 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵) + 𝑀𝐵̅̅ ̅̅ ̅ (2 𝑥 𝑀𝐵 + 𝑀𝐴)] 
1
6
 𝑥 0,9764 [ 6̅ (2 𝑥 6 + 14) + 14̅̅̅̅ (2 𝑥 14 + 6) ] = 102,85 
 
𝛿11 = 174,85 
 
 
57 
 
 
12 = 21 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿12 = 𝛿21 = 𝑀1 𝑥 𝑀2 
Barra 1 = 0 
 
Barra 2: L’ de 0,9764 m com trapézio (6 kNm a 14 kNm) x triangulo (8 kNm). 
= 
1
6
𝑥 𝐿′𝑥 𝑀 𝑥 ( 𝑀𝐴 + 2 𝑀𝐵) 
= 
1
6
𝑥 0,9764 𝑥 8 𝑥 (6 + 2 𝑥 14) = 44,26 
 
𝛿12 = 𝛿21 = 44,26 
 
22 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿22 = 𝑀2 𝑥 𝑀2 
Barra 1= 0 
 
Barra 2: L’ de 0,9764 m com triangulo (8 kNm) x triangulo (8 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑋 0,9764 𝑋 8 𝑋 8 = 20,83 
 
𝛿22 = 20,83 
 
1t 
Temperatura para o estado 1. 
𝛿1𝑇 = 𝐸 𝐽𝐶 [
𝛼 ∆𝑇
ℎ
 𝐴𝑚𝑖+ 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] 
Δt = 8 – (-16) = 24ºC 
Am = 18 m2 (barra1) + 80 m2 (barra2) 
[ 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] = 0 ➔ esse trecho é igual a 0, porque não tem esforço normal. 
h barra1 = 0,5 m 
 
 
58 
 
h barra2 = 0,8 m 
 
Barra 1: 
𝛿1𝑇 = 8𝑥10
6 𝑥 0,002083 𝑥 [
10−5 𝑥 24
0,5
𝑥 18] = 143,98 
 
Barra 2: 
𝛿1𝑇 = 8𝑥10
6 𝑥 0,002083 𝑥 [
10−5 𝑥 24
0,8
 𝑥 80] = 399,94 
 
𝛿1𝑇 = 543,92 
 
2t 
Temperatura para o estado 2. 
𝛿2𝑇 = 𝐸 𝐽𝐶 [
𝛼 ∆𝑇
ℎ
 𝐴𝑚𝑖 + 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] 
Δt = 8 – (-16) = 24ºC 
Am = 0 m2 (barra1)+ 32 m2 (barra2) 
[ 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] = 0 ➔ esse trecho é igual a 0, porque não tem esforço normal. 
h barra1 = 0,5 m 
h barra2 = 0,8 m 
 
Barra 1= 0 
 
Barra 2: 
𝛿2𝑇 = 8𝑥10
6 𝑥 0,002083 𝑥 [
10−5 𝑥 24
0,8
 𝑥 32] = 159,97 
 
𝛿2𝑇 = 159,97 
 
7º Passo: Sistema 
Montar o sistema para acha r X1 e X2. 
1t + 11 X1 + 12 X2 = 0 
 
 
59 
 
2t + 21 X1 + 22 X2 = 0 
 
543,92 + 174,85 X1 + 44,26 X2 = 0 
159,97 – 44,26 X1 + 20,83 X2 = 0 
Resolvendo: 
X1 = -2,53 kN 
X2 = -2,31 kN 
 
Se deu negativo, significa que o sentido de X1 e X2 está contrário (é para baixo). 
Voltar a estrutura hiperestática e colocar os valores de X1 e X2. Conforme a Figura 14. 
 
Figura 51 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1 e X2. 
 
Agora calcular as reações de apoio (Figura 52 e Figura 53) e desenhar os diagramas 
solicitantes. 
 
Figura 52 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática). 
 
Figura 53 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
60 
 
Exemplo 2: Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, 
conforme mostra a Figura 54. 
Dados: 
Temperatura externa (Te) = 35ºC 
Temperatura interna (Ti) = 10ºC 
Seção da viga: 20 cm x 40 cm (b x h) 
Seção dos pilares: 20 cm x 30 cm (b x h) 
E = 3000 MPa 
 = 10-5 /°C 
 
Figura 54 – Pórtico com temperatura externa de 35ºC e temperatura interna de 10ºC. 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R 
Ge = 4 – 3 – 0 = 1 ➔ estrutura uma vez hiperistática, que desejamos resolver (X1). 
Logo o sistema será: 
1t + 11 X1 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para 
facilitar os cálculos e indicar X1. Conforme a Figura 55. 
 
 
 
61 
 
 
Figura 55 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1. 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras. 
O comprimento elástico das barras: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra em estudo. 
Calculando o momento de inércia das barras: 
JPILAR = bh3/12 = 0,2 x 0,33/12 = 0,00045 m4. 
JVIGA = bh3/12 = 0,2 x 0,43/12 = 0,001067 m4 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1➔ L’1 = 3 x 0,00045/0,00045 = 3 m 
Barra 2 ➔ L’2 = 6 x 0,00045/0,001067 = 2,53 m 
Barra 3 ➔ L’3 = 3 x 0,00045/0,00045 = 3 m 
 
4º Passo: Estado 1 (só X1): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor e diagrama de 
esforço normal com a carga de 1 kN no X1 (no hiperestático), Figura 56 e Figura 57. 
 
 
62 
 
 
Figura 56 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1. 
A área do diagrama de momento fletor é de: (4,5 m2 ; 18 m2 ; 4,5 m2). 
 
 
 
Figura 57 – Diagrama de esforço normal (DEN), com a carga de 1kN no X1. 
A área do diagrama de esforço normal é de 6m2. 
 
 
5º Passo: Calcular as E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela de 
Kurt Beyer. 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1: L’ de 3 m com triangulo (3 kNm) x triangulo (3 kNm). 
 
 
63 
 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 = 9 
 
Barra 2: L’ de 2,53 m com retângulo (3 kNm) x retângulo (3 kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 2,53 𝑥 3 𝑥 3 = 22,77 
 
Barra 3: L’ de 3 m com triangulo (3 kNm) x triangulo (3 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 3 𝑥 3 = 9 
𝛿11 = 40,77 
 
1t 
Temperatura para o estado 1. 
𝛿1𝑇 = 𝐸 𝐽𝐶 [
𝛼 ∆𝑇
ℎ
 𝐴𝑚𝑖 + 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] 
Δt = 10 – 35 = -25ºC 
Tg = (te +ti) / 2 = (35 + 10) / 2 = 22,5 ºC 
h pilar = 0,3 m 
h viga = 0,4 m 
𝛿1𝑇 = 3𝑥10
7 𝑥 0,00045 [10−5 𝑥 (−25) 𝑥 (
−18
0,4
+ 
−4,5
0,3
+ 
−4,5
0,3
)] + 10−5 𝑥 22,5 𝑥 (−6) 
𝛿1𝑇 = 234,90 
 
6º Passo: Sistema 
Montar o sistema para acha r X1 e X2. 
1t + 11 X1 = 0 
234,90 + 40,77 X1 = 0 
Resolvendo: 
X1 = -5,76 kN 
 
Se deu negativo, significa que o sentido de X1 está no sentido contrário (é para outro 
lado). 
Voltar a estrutura hiperestática e colocando o valor de X1. Conforme a Figura 58. 
 
 
64 
 
 
Figura 58 – Estrutura original (hiperestática) com o valor de X1. 
 
Após colocar o valor de X1, calcular as reações de apoio, colocar a estrutura em 
equilíbrio. A estrutura e equilíbrio, desenhar os diagramas solicitantes: DEN; DEC e DMF. 
Conforme as figuras a seguir. 
 
 
Figura 59 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
65 
 
 
Figura 60 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
Figura 61 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
Exemplo 3: Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, 
conforme mostra a Figura 62. 
Dados: 
Temperatura externa (Te) = -20ºC 
Temperatura interna (Ti) = 10ºC 
Seção da viga: 200 mm x 500 mm (b x h) 
Carga distribuída em toda a viga = 20 kN/m 
E = 8 x 106 kN/m2 
 = 10-5 /°C 
 
Figura 62 – Viga com temperatura externa de -20ºC e temperatura interna de 10ºC. E uma carga 
distribuída de 20kN/m, em toda a viga. 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R 
Ge = 4 – 3 – 0 = 1 ➔ estrutura uma vez hiperistática, que desejamos resolver (X1). 
Logo o sistema será: 
(10 + 1t) + 11 X1 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para 
facilitar os cálculos e indicar X1. Conforme a Figura 63. 
 
 
 
Figura 63 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1. 
 
 
 
67 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras. 
O comprimento elástico das barras: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra em estudo. 
Calculando o momento de inércia das barras (barra 1 = barra 2): 
JVIGA = bh3/12 = 0,2 x 0,53/12 = 0,002083 m4 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1➔ L’1 = 2,50 x 0,002083/0,002083 = 2,50 m 
Barra 2 ➔ L’2 = 5,50 x 0,002083/0,002083 = 5,50 m 
Obs.: Como toda a viga tem o mesmo momento de inércia, L = L’. 
 
4º Passo: Estado 0 (só carga): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor, não tem 
diagrama de esforço normal, Figura 64. 
 
Figura 64 – Diagrama de momento fletor (M0), com a carga distribuída. 
 
5º Passo: Estado 1 (só X1): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X1 (no hiperestático), Figura 65. 
 
 
68 
 
 
Figura 65 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1. 
A área do diagrama de momento fletor é de: (15,125 m2). 
 
 
6º Passo: Calcular as E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela de 
Kurt Beyer. 
 
10 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 0: 
𝛿10 = 𝑀1 𝑥 𝑀0 
Barra 1 = 0 
 
Barra 2: L’ de 5,50 m com trapézio(-62,5kNm até -640 kNm) – parábola do 2º grau 
(75,625 kNm) x triangulo (5,50 kNm). 
1
6
𝐿′𝑀(𝑀𝐴 + 2𝑀𝐵) +
1
3
 𝐿′ 𝑀𝑀 =
1
6
𝑥5,5𝑥5,5 (−62,5 − 2𝑥640) +
1
3
5,5𝑥5,5𝑥75,625= −6005,89 
 
𝛿10 = −6005,89 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1 = 0 
 
Barra 2: L’ de 5,50 m com triangulo (5,50 kNm) x triangulo (5,50 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 5,50 𝑥 5,50 𝑥 5,50 = 55,46 
 
 
 
69 
 
𝛿11 = 55,46 
 
1t 
Temperatura para o estado 1. 
𝛿1𝑇 = 𝐸 𝐽𝐶 [
𝛼 ∆𝑇
ℎ
 𝐴𝑚𝑖 + 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] 
Δt = 10 – (-20) = 30ºC 
h viga = 0,5 m 
𝛿1𝑇 = 8𝑥10
6 𝑥 0,002083 [10−5 𝑥 
30
0,5
 𝑥 15,125] = 151,01 
𝛿1𝑇 = 151,01 
 
7º Passo: Sistema 
Montar o sistema para acha r X1. 
(10 + 1t ) + 11 X1 = 0 
(-6005,89 + 151,01) + 55,46 X1 = 0 
Resolvendo: 
X1 = 105,57 kN 
 
Se deu positivo, significa que o sentido de X1 está certo (é para cima). 
Voltar a estrutura hiperestática e colocando o valor de X1 e resolvendo as reações de 
apoio (colocando em equilíbrio da viga). Conforme a Figura 66. 
 
 
Figura 66 – Estrutura original (hiperestática) com o valor de X1 e com as reações de apoio. 
 
Determinar os diagramas de esforços internos (DEC e DMF), Figura 21 e 22. 
 
 
 
70 
 
 
Figura 67 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
Figura 68 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
 
 
71 
 
Exemplo 4: Determinar os diagramas de esforços internos e as reações de apoio da 
viga abaixo, devido ao recalque nos apoios indicados. Conforme mostra a Figura 69. 
Dados: 
Seção da viga: 0,40 m x 1,0 m (b x h) 
E = 3 x 107 kN/m2 
Recalque no apoio B ➔ V = 0,015 m (para baixo) 
Recalque no apoio C ➔ V = 0,008 m (para baixo) 
 
 
Figura 69 – Viga com recalques nos apoios B e C. 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R 
Ge = 4 – 3 – 0 = 1 ➔ estrutura uma vez hiperistática, que desejamos resolver (X1). 
Logo o sistema será: 
1r + 11 X1 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para 
facilitar os cálculos e indicar X1. Conforme a Figura 70. 
 
 
 
Figura 70 – Sistema Principal. Estrutura isostática com X1. 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras. 
 
 
72 
 
O comprimento elástico das barras: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra em estudo. 
Calculando o momento de inércia das barras (barra 1 = barra 2): 
JVIGA = bh3/12 = 0,4 x 13/12 = 0,0333333 m4 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1➔ L’1 = 12 x 0,033333/0,0033333 = 12 m 
Barra 2 ➔ L’2 = 15 x 0,0333333/0,033333 = 15 m 
Obs.: Como toda a viga tem o mesmo momento de inércia, L = L’. 
 
4º Passo: Estado 1 (só X1): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X1 (no hiperestático), Figura 71. 
 
Figura 71 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1. 
 
 
5º Passo: Calcular as E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela de 
Kurt Beyer. 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
 
 
73 
 
Barra 1 = L’ de 12 m com triangulo (12 kNm) x triangulo (12 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 12 𝑥 12 𝑥 12 = 576 
 
Barra 2: L’ de 15 m com triangulo (12 kNm) x triangulo (12 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 15 𝑥 12 𝑥 12 = 720 
 
𝛿11 = 1296 
 
1r 
Recalque nos apoios para o estado 1. 
𝛿1𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [𝑀𝜌 𝑀 + 𝑉𝜌 𝑉 + 𝐻𝜌 𝐻 ] 
𝑀𝜌 𝑀 = 0 
𝐻𝜌 𝐻 = 0 
𝛿1𝑟 = −3𝑥10
7 𝑥 0,033333[1,8 𝑥 0,015 − 0,8 𝑥 0,008 ] = −20600 
𝛿1𝑇 = −20600 
Obs.: o negativo (-0,8 é porque o recalque desse apoio (C) está no sentido (para baixo) 
e a reação de apoio da mesma está no sentido oposto (para cima), logo fica negativo). Já no 
apoio B, os dois estão no mesmo sentido, logo fica positivo. 
 
6º Passo: Sistema 
Montar o sistema para acha r X1. 
1r + 11 X1 = 0 
-20600 + 1296 X1 = 0 
Resolvendo: 
X1 = 15,90 kN 
 
Se deu positivo, significa que o sentido de X1 está certo (é para cima). 
Voltar a estrutura hiperestática e colocando o valor de X1. Conforme a Figura 72. 
 
 
 
74 
 
 
Figura 72 – Estrutura original (hiperestática) com o valor de X1. Com as reações de apoio. 
 
Determinar os diagramas de esforços internos (DEC e DMF), conforme as Figuras 27 
e 28. 
 
 
Figura 73 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
Figura 74 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
 
 
75 
 
Exemplo 5: Determinar os diagramas de esforços internos e as reações de apoio do 
pórtico abaixo, devido ao recalque no apoio A indicado na Figura 75. 
Dados: 
E I = 2,50 x 104 kNm2 
Recalque no apoio A: 
M = 3 x 10-3 rad (anti-horário) 
V = 2,0 x 10-2 m (para baixo) 
H = 1,5 x 10-2 m (para esquerda) 
 
 
Figura 75 – Pórtico com recalques no apoio A. 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R 
Ge = 6 – 3 – 0 = 3 ➔ estrutura três vezes hiperistática, que desejamos resolver (X1; 
X2 e X3). 
Logo o sistema será: 
1r + 11 X1 + 12 X2 + 13 X3 = 0 
2r + 21 X1 + 22 X2 + 23 X3 = 0 
3r + 31 X1 + 32 X2 + 33 X3 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
 
 
76 
 
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para 
facilitar os cálculos e indicar X1, X2 e X3. Conforme a Figura 76. 
 
 
Figura 76 – Sistema Principal. Estrutura isostática com X1, X2 e X3. 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras. 
O comprimento elástico das barras: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
Como o momento de inércia é igual em todas as barras, logo, L’ = L. 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1➔ L’1 = 3 m 
Barra 2 ➔ L’2 = 6 m 
Barra 3 ➔ L’3 = 3 m 
 
4º Passo: Estado 1 (só X1): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kNm no X1 (no hiperestático), Figura 77. 
 
 
77 
 
 
Figura 77 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kNm no X1. 
 
5º Passo: Estado 2 (só X2): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X2 (no hiperestático), Figura 78. 
 
Figura 78 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2. 
 
6º Passo: Estado 3 (só X3): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
de 1 kN no X3 (no hiperestático), Figura 79. 
 
Figura 79 – Diagrama de momento fletor (M3), com a carga de 1kN no X3. 
 
 
78 
 
 
7º Passo: Calcular as E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela de 
Kurt Beyer. 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1 = L’ de 3 m com retângulo (1 kNm) x retângulo (1 kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 3 𝑥 1 𝑥 1 = 3 
 
Barra 2: L’ de 6 m com retângulo (1 kNm) x retângulo (1 kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 6 𝑥 1 𝑥 1 = 6 
 
Barra 3: L’ de 3 m com retângulo (1 kNm) x retângulo (1 kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 3 𝑥 1 𝑥 1 = 3 
𝛿11 = 12 
 
12 = 21 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 2 
(multiplicar 1x2 = multiplicar 2x1): 
𝛿12 = 𝛿21 = 𝑀1 𝑥 𝑀2 
Barra 1 = L’ de 3 m com retângulo (1 kNm) x triangulo (3 kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 3 𝑥 (−3)𝑥 1 = −4,5 
 
Barra 2: L’ de 6 m com retângulo (1 kNm) x retângulo (3 kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 6 𝑥 1 𝑥 (−3) = −18 
 
Barra 3: L’ de 3 m com retângulo (1 kNm) x triangulo (3 kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 3 𝑥 (−3)𝑥 1 = −4,5 
𝛿12 = 𝛿21 = −27 
 
 
79 
 
 
13 = 31 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 3: 
𝛿13 = 𝛿31 = 𝑀1 𝑥 𝑀3 
Barra 1 = L’ de 3 m com retângulo (1 kNm) x retângulo (6 kNm). 
 𝐿′𝑀 �̅� = 3 𝑥 6 𝑥 1 = 18 
 
Barra 2: L’ de 6 m com retângulo (1 kNm) x triangulo (6 kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 6 𝑥 6 𝑥 1 = 18 
 
Barra 3 = 0 
𝛿13 = 𝛿31 = 36 
 
22 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿22 = 𝑀2 𝑥 𝑀2 
Barra 1 = L’ de 3 m com triangulo (3 kNm) x triangulo (3 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 (−3) 𝑥 (−3) = 9 
 
Barra 2: L’ de 6 m com retângulo (3 kNm) x retângulo (3 kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 6 𝑥 (−3) 𝑥 (−3) = 54 
 
Barra 3: L’ de 3 m com triangulo (3 kNm) x triangulo (3 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 (−3) 𝑥 (−3) = 9 
𝛿22 = 72 
 
23 = 32 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 3: 
𝛿23 = 𝛿32 = 𝑀2 𝑥 𝑀3 
Barra 1 = L’ de 3 m com triangulo (3 kNm) x retangulo (6 kNm). 
 
 
80 
 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 3 𝑥 (−3) 𝑥 6 = −27 
 
Barra 2: L’ de 6 m com retângulo (3 kNm) x triangulo (6 kNm). 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
2
𝑥 6 𝑥 (−3) 𝑥 6 = −54 
 
Barra 3 = 0 
𝛿23 = −81 
 
33 
Multiplicar o momento fletor do Estado 3 com o momento fletor do Estado 3: 
𝛿33 = 𝑀3 𝑥 𝑀3 
Barra 1 = L’ de 3 m com retângulo (6 kNm) x retângulo (6 kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 3 𝑥 6 𝑥 6 = 108 
 
Barra 2: L’ de 6 m com triangulo (6 kNm) x triangulo (6 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 6 𝑥 6 𝑥 6 = 72 
 
Barra 3 = 0 
𝛿33 = 180 
 
1r 
Recalque no apoio A para o estado 1. 
𝛿1𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [𝑀𝜌 𝑀 + 𝑉𝜌 𝑉 + 𝐻𝜌 𝐻 ] 
𝛿1𝑟 = −2,5𝑥10
4 [−1 𝑥 0,003 + 0 𝑥 0,020 + 0 𝑥 0,015 ] = 75 
𝛿1𝑟 = 75 
 
2r 
Recalque no apoio A para o estado 2. 
𝛿2𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [𝑀𝜌 𝑀 + 𝑉𝜌 𝑉 + 𝐻𝜌 𝐻 ] 
𝛿2𝑟 = −2,5𝑥10
4 [0 𝑥 0,003 + 0 𝑥 0,020 + (−1) 𝑥 0,015 ] = 375 
 
 
81 
 
𝛿2𝑟 = 375 
 
3r 
Recalque no apoio A para o estado 3. 
𝛿3𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [𝑀𝜌 𝑀 + 𝑉𝜌 𝑉 + 𝐻𝜌 𝐻 ] 
𝛿3𝑟 = −2,5𝑥10
4 [−6 𝑥 0,003 + 1 𝑥 0,020 + 0 𝑥 0,015 ] = −50 
𝛿3𝑟 = −50 
 
8º Passo: Sistema 
Montar o sistema para acha r X1. 
1r + 11 X1 + 12 X2 + 13 X3 = 0 
2r + 21 X1 + 22 X2 + 23 X3 = 0 
3r + 31 X1 + 32 X2 + 33 X3 = 0 
 +  X1 −  X2 + X3 = 0 
 −  X1 +  X2 −  X3 = 0 
− +  X1 − 81 X2 +  X3 = 0 
X1 = -126 kNm 
X2 = -48 kN 
X3 = 3,8 kN 
 
Voltar a estrutura hiperestática e colocando os valores de X1, X2 e X3. Conforme a 
Figura 80. 
 
Figura 80 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1, X2 e X3. 
 
 
82 
 
Determinar os diagramas de esforços internos (DEC e DMF), conforme as Figuras 35, 
36 e 37. 
 
Figura 81 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
Figura 82 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
Figura 83 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
83 
 
Exemplo 6: Determinar os diagramas de esforços internos e as reações de apoio do 
pórtico abaixo, devidos a cada um dos agentes discriminados a seguir (Figura 84): 
a) Carregamento indicado; 
b) Temperatura indicado e 
c) Recalque no apoio A indicado. 
 
Dados: 
E = 2, 0 x 107 kN/m2 
Carga distribuída em toda a viga = 20 kN/m 
Seção transversal pilar = 200mm x 400mm (b x h) 
Seção transversal viga = 150mm x 300mm (b x h) 
Ti = 15 ºC 
Te = 30 º C 
 = 10-5 /ºC 
Recalque no apoio A: 
M = 0,003 rad (anti-horário) 
V = 2 cm (para baixo) 
H = 1 cm (para esquerda) 
 
 
Figura 84 – Pórtico com a carga distribuída de 20kN/m, temperatura e recalques no apoio A. 
 
 
 
 
84 
 
1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga: 
Ge = I – E – R 
Ge = 5 – 3 – 0 = 2 ➔ estrutura duas vezes hiperistática, que desejamos resolver (X1; 
e X2). 
Logo o sistema será: 
(10 + 1t + 1r) + 11 X1 + 12 X2 = 0 
(20 + 2t + 2r) + 21 X1 + 22 X2 = 0 
 
2º Passo: Sistema Principal (S.P.): 
Escolher uma estrutura isostática. Colocar os nomes nas barras e nos apoios, para 
facilitar os cálculos e indicar X1 e X2. Conforme a Figura 85. 
 
 
Figura 85 – Sistema Principal. Estrutura isostática com X1 e X2 indicado. 
 
3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras. 
O comprimento elástico das barras: 
𝐿′ = 𝐿 
 𝐽𝑐
𝐽
 
Onde: 
L’ = comprimento elástico; 
L = comprimento da barra; 
Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; 
J = momento de inércia da barra em estudo. 
 
 
85 
 
Calculando o momento de inércia das barras: 
JVIGA = bh3/12 = 0,15 x 0,303/12 = 0,0003375 m4 
JPILAR = bh3/12 = 0,2 x 0,403/12 = 0,0010667 m4 
 
Calculando o L’ das barras: 
Barra 1➔ L’1 = 3 x 0,0003375 /00,0010667 = 0,95 m 
Barra 2 ➔ L’2 = 6 x 0,0003375 /0,0003375 = 6 m 
Barra 3 ➔ L’3 = 3 x 0,0003375 /0,0010667 = 0,95 m 
 
4º Passo: Estado 0 (só carga): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga 
distribuída de 20 kN/m, Figura 86. 
 
Figura 86 – Diagrama de momento fletor (M0), 
com a carga distribuída de 20 kN/m em toda a viga. 
 
5º Passo: Estado 1 (só X1): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor e diagrama de 
esforços normais com a carga de 1 kNm no X1 (no hiperestático), Figura 87 e Figura 88. 
 
 
86 
 
 
Figura 87 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kNm no X1. 
Área dos pilares (+1,5 m2 -1,5 m2) e área da viga (-3 m2) 
 
 
Figura 88 – Diagrama de esforços normais (N1), com a carga de 1kNm no X1. 
Área dos pilares (+0,17 m2 -0,17 m2) e área da viga (2,04 m2) 
 
6º Passo: Estado 2 (só X2): 
Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor e o diagrama 
de esforços normais com a carga de 1 kNm no X2 (no hiperestático), Figura 89 e Figura 90. 
 
 
87 
 
 
Figura 89 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kNm no X2. 
Área dos pilares (-1,5 m2 -1,5 m2) e área da viga (-6 m2) 
 
 
Figura 90 – Diagrama de esforços normais (N2), com a carga de 1kNm no X2. 
Área dos pilares (0 m2 + 0 m2) e área da viga (-1,98 m2) 
 
 
7º Passo: Calcular as E Jc  : 
Fazendo a multiplicação dos momentos fletores, de cada barra. Usando a tabela de 
Kurt Beyer. 
10 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 0: 
𝛿10 = 𝑀1 𝑥 𝑀0 
Barra 1 = 0 
 
 
 
 
88 
 
Barra 2: L’ de 6 m com parábola de 2º grau (90 kNm) x triangulo (-1 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 3 𝑥 (−1) 𝑥 90 = −180 
Barra 3 = 0 
 
𝛿10 = −180 
 
11 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1: 
𝛿11 = 𝑀1 𝑥 𝑀1 
Barra 1 = Barra 3 = L’ de 0,95 m com triangulo (1 kNm) x triangulo (1 kNm). 
2 𝑥 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 2 𝑥 
1
3
𝑥 0,95 𝑥 (−1) 𝑥 (−1) = 0,63 
 
Barra 2: L’ de 6 m com triangulo (-1 kNm) x triangulo (-1 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 6 𝑥 (−1) 𝑥 (−1) = 2 
 
𝛿11 = 2,63 
 
12 = 21 
Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿12 = 𝑀1 𝑥 𝑀2 
Barra 1 = L’ de 0,95 m com triangulo (1 kNm) x triangulo (-1 kNm). 
1
6
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
6
𝑥 0,95 𝑥 (−1)𝑥 1 = −0,16 
 
Barra 2: L’ de 6 m com retângulo (-1 kNm) x triangulo (-1 kNm). 
 
1
2
 𝐿′ 𝑀 �̅� =
1
2
 6 𝑥 (−1) 𝑥 (−1) = 3 
 
Barra 3: L’ de 0,95 m com triangulo (-1 kNm) x triangulo (-1 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 0,95 𝑥 (−1) 𝑥 (−1) = 0,32 
𝛿12 = 𝛿21 = 3,16 
 
 
89 
 
 
20 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 0: 
𝛿20 = 𝑀2 𝑥 𝑀0 
Barra 1 = 0 
 
Barra 2: L’ de 6 m com retângulo (-1 kNm) x parábola do 2º grau (90 kNm). 
2
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
2
3
𝑥 6 𝑥 90 𝑥 (−1) = −360 
 
Barra 3 = 0 
𝛿20 = −360 
 
22 
Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 2: 
𝛿22 = 𝑀2 𝑥 𝑀2 
Barra 1 = L’ de 0,95 m com triangulo (-1 kNm) x triangulo (-1 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 0,95 𝑥 (−1) 𝑥 (−1) = 0,3167 
 
Barra 2: L’ de 6 m com retângulo (-1 kNm) x retângulo (-1 kNm). 
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 6 𝑥 (−1)𝑥 (−1) = 6 
 
Barra 3: L’ de 0,95 m com triangulo (-1 kNm) x triangulo (-1 kNm). 
1
3
 𝐿′ 𝑀 �̅� = 
1
3
𝑥 0,95 𝑥 (−1) 𝑥 (−1) = 0,3167 
𝛿22 = 6,63 
 
1t 
Temperatura para o estado 1. 
𝛿1𝑇 = 𝐸 𝐽𝐶 [
𝛼 ∆𝑇
ℎ
 𝐴𝑚𝑖 + 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] 
Δt = 15 – 30 = -15ºC 
Tg = (te +ti) / 2 = (30 + 15) / 2 = 22,5 ºC 
 
 
90 
 
h pilar = 0,4 m 
h viga = 0,3 m 
𝛿1𝑇 = 2𝑥10
7 𝑥 0,0003375 [10−5 𝑥 (−15) 𝑥 (
−3
0,3
+ 
1,5
0,4
+ 
−1,5
0,4
)]
+ 10−5 𝑥 22,5 𝑥 (−2,04) 
𝛿1𝑇 = 7,03 
 
2t 
Temperatura para o estado 2. 
𝛿2𝑇 = 𝐸 𝐽𝐶 [
𝛼 ∆𝑇
ℎ
 𝐴𝑚𝑖 + 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖] 
𝛿2𝑇 = 2𝑥10
7 𝑥 0,0003375 [10−5 𝑥 (−15) 𝑥 (
−6
0,3
+ 
−1,5
0,4
+ 
−1,5
0,4
)]
+ 10−5 𝑥 22,5 𝑥 (−1,98) 
𝛿2𝑇 = 24,84 
 
1r 
Recalque no apoio A para o estado 1. 
𝛿1𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [𝑀𝜌 𝑀 + 𝑉𝜌 𝑉 + 𝐻𝜌 𝐻 ] 
𝛿1𝑟 = −2,0𝑥10
7 𝑥 0,0003375 𝑥 [−1 𝑥 0,003 + 0,17 𝑥 0,020 − 0,34 𝑥 0,01 ] = 20,25 
𝛿1𝑟 = 20,25 
 
2r 
Recalque no apoio A para o estado 2. 
𝛿2𝑟 = −𝐸 𝐽𝐶 [𝑀𝜌 𝑀 + 𝑉𝜌 𝑉 + 𝐻𝜌 𝐻 ] 
𝛿2𝑟 = −2,0𝑥10
7 𝑥 0,0003375 𝑥 [0 𝑥 0,003 + 0 𝑥 0,020 − 0,33 𝑥 0,01 ] = 22,275 
 
𝛿2𝑟 = 22,275 
 
8º Passo: Sistema 
Montar o sistema para acha r X1. 
(− + 7,03 + 20,25) +  X1 + 3,16 X2 = 0 
 
 
91 
 
(− + 24,84 + 22,28) +  X1 + 6,63 X2 = 0 
X1 = 3,2 kNm 
X2 = 45,6 kNm 
 
Voltar a estrutura hiperestática e colocando os valores de X1 e X2. Conforme a Figura 
91. 
 
Figura 91 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1 e X2. 
 
Determinar os diagramas de esforços internos (DEN, DEC e DMF), Figuras 46 a 48. 
 
Figura 92 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
92 
 
 
Figura 93 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
Figura 94 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática). 
 
 
 
 
93 
 
Exercícios Proposto: 
 
7) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. Te = 25ºC e Ti = 10ºC.  = 10-5/ºC. 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
8) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. Recalque nos apoios A e B de V = 2 cm 
(para baixo). 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
 
94 
 
9) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. Te = 35ºC e Ti = 15ºC.  = 10-5/ºC. 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
10) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. Recalque no apoio A V = 3 cm (para baixo). 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
 
 
95 
 
11) Calcular pelo Método das Forças a estrutura hiperestática, desenhar os diagramas 
de esforços internos. EI = 100000MPa. Te = 25ºC e Ti = 10ºC.  = 10-5/ºC. 
 
Resposta: Usar o Ftool 
 
 
 
 
96 
 
 
 
A tabela de Kurt Beyer, na Figura 46. 
 
Figura 95 - https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg 
 
 
https://engcivil20142.files.wordpress.com/2017/03/tabela-kurt-beyer.jpg