2 - Método das Forças em Vigas

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Análise de Estruturas I
Método das Forças
Vigas Contínuas
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
Prof: Antônio Macário Cartaxo de Melo
Prof: Evandro Parente Junior
Vigas Contínuas
2
 Obter os diagramas de esforços internos da viga contínua (I1 ≠ I2)
abaixo pelo Método das Forças:
𝐺𝐻 = 5 − 3 = 2
50 kNm
5 m
20 kN/m
4 m
I1 I2
30 kN/m
Vigas Contínuas
3
 Escolha da Isostática Fundamental (Sistema Principal):
 Seleção de vínculos a serem liberados:
 Solução não única.
 Hiperestáticos em vigas contínuas:
 Reações verticais e momentos nos engastes.
 Momentos no apoios internos.
50 kNm
5 m
20 kN/m
4 m
I1 I2
30 kN/m
Vigas Contínuas
4
 Exemplos de Sistemas Principais:
𝑋1 𝑋2
𝑋1 𝑋2
𝑋2
𝑋1
5
 Sistema Principal com momentos nos engastes e apoios internos:
 Permite a sistematização do método (Equação dos 3 Momentos).
 Diagrama do carregamento: cada vão da viga é simplesmente apoiado.
 Diagramas dos hiperestáticos unitários: triângulos nos vãos vizinhos ao 
apoio.
 O sistema de equações de compatibilidade é tridiagonal.
 Os hiperestáticos já fornecem os valores finais dos momentos nos apoios 
para o diagrama de momento fletor.
Vigas Contínuas
𝑋1 𝑋2
Vigas Contínuas
6
 Diagramas para as combinações de ações:
 SP + ações externas => M0.
 SP + Hiperestático X1 = 1 => M1.
 SP + Hiperestático X2 = 1 => M2.
 Cálculo dos coeficientes:
 Termos de Carga: 10 e 20.
 Matriz de Flexibilidade: 11, 12= 21 e 22.
 Montagem das equações de compatibilidade.
 Solução do sistema: hiperestáticos.
 Esforços internos e reações de apoio:
 Condições de equilíbrio: estrutura + hiperestáticos avaliados.
 Superposição: E = E0 + E1X1 + E2X2 (E = esforço interno ou reação).
Vigas Contínuas
7
 Equações de compatibilidade:
20 kN/m 50 kNm
30 kN/m
(Carregamento)
δ20δ10 20 kN/m 50 kNm
30 kN/m
+ ∙ X2
(X2= 1)
1 δ22δ12 1
∙ X1+
(X1= 1)
δ11 δ211
Vigas Contínuas
8
 Equações de compatibilidade:
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = 0
𝛿11 𝛿12
𝛿21 𝛿22
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= ൜ ൠ
𝛿1
𝛿2
− ൜ ൠ
𝛿10
𝛿20
𝐹 ሼ ሽ𝑋 = −ሼ ሽ𝛿0
𝐹 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
ሼ ሽ𝑋 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
ሼ ሽ𝛿0 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
Matricialmente:
Nulo, neste caso, porque não 
existem deslocamentos na 
direção dos hiperestáticos.
Vigas Contínuas
9
 Termos de Carga:
20 kN/m
50 kNm
δ10 δ20
30 kN/m
20 ∙ 52
8
= 62.5
−50
+
+
M0
−
30 ∙ 42
8
= 60
Vigas Contínuas
10
 Termos de Carga:
Sistema virtual para δ10:
M1 +
1
1
1/5 1/5
δ10 → 1 ∙ δ10 = න
𝐿
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
20 kN/m
50 kNm
δ10 δ20
30 kN/m
Real
Tabelas de Integração
11
ഥ𝑀𝐵 = 0
1
3
𝐿 ∙ 𝑀𝑚 ∙ ഥ𝑀𝐴
Vigas Contínuas
12
 Termos de Carga:
Sistema virtual para δ10:
M1 +
1
1
1/5 1/5
20 kN/m
50 kNm
δ10 δ20
30 kN/m
δ10 → 1 ∙ δ10 = න
𝐿
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
5 ∙ 62.5 ∙ 1
3𝐸𝐼1
δ10 =
625
6𝐸𝐼1
Real
Vigas Contínuas
13
 Termos de Carga:
Sistema virtual para δ20:
1 1
δ20 → 1 ∙ δ20 = න
𝑙
𝑀2𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
M2 + +
1 1
20 kN/m
50 kNm
δ10 δ20
30 kN/m
Real
1/5 1/5 1/4 1/4
Tabelas de Integração
14
ഥ𝑀𝐵 = 0
1
3
𝐿 ∙ 𝑀𝑚 ∙ ഥ𝑀𝐵
1
6
𝐿 ∙ 𝑀𝐵 ∙ ഥ𝑀𝐴
1
3
𝐿 ∙ 𝑀𝑚 ∙ ഥ𝑀𝐴
Vigas Contínuas
15
 Termos de Carga:
Sistema virtual para δ20:
1 1
M2 + +
1 1
20 kN/m
50 kNm
δ10 δ20
30 kN/m
δ20
1 ∙ δ20 = න
𝑙
𝑀2𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
5 ∙ 62.5 ∙ 1
3𝐸𝐼1
+
4 ∙ 60 ∙ 1
3𝐸𝐼2
+
4 ∙ −50 ∙ 1
6𝐸𝐼2
δ20 =
625
6𝐸𝐼1
+
140
3𝐸𝐼2
Real
Vigas Contínuas
16
 Matriz de flexibilidade:
𝛿11 = Efeito de X1 = 1 na direção de X1 no SP
δ11 → 1 ∙ δ11 = න
𝑙
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Real
M1 +
1
δ11 1
Virtual
M1 +
1
1
Tabelas de Integração
17
ഥ𝑀𝐵 = 0
1
6
𝐿 ∙ 𝑀𝐴 ∙ 2 ഥ𝑀𝐴
1
3
𝐿 ∙ 𝑀𝐴 ∙ ഥ𝑀𝐴
Vigas Contínuas
18
 Matriz de flexibilidade:
𝛿11 = Efeito de X1 = 1 na direção de X1 no SP
δ11 → 1 ∙ δ11 = න
𝑙
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
5 ∙ 1 ∙ 1
3𝐸𝐼1
δ11 =
5
3𝐸𝐼1
Real
M1 +
1
δ11 1
Virtual
M1 +
1
1
Vigas Contínuas
19
 Matriz de flexibilidade:
𝛿12 = Efeito de X2 = 1 na direção de X1 no SP
δ12 → 1 ∙ δ12 = න
𝑙
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Virtual
M1 +
1
1
Real
M2 + +
1 1
1δ12
1
Tabelas de Integração
20
1
6
𝐿 ∙ 𝑀𝐴 ∙ ഥ𝑀𝐵
Vigas Contínuas
21
 Matriz de flexibilidade:
𝛿12 = Efeito de X2 = 1 na direção de X1 no SP
δ12 → 1 ∙ δ12 = න
𝑙
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
5 ∙ 1 ∙ 1
6𝐸𝐼1
δ12 =
5
6𝐸𝐼1
Virtual
M1 +
1
1
Real
M2 + +
1 1
1δ12
1
Vigas Contínuas
22
 Matriz de flexibilidade:
𝛿21 = Efeito de X1 = 1 na direção de X2 no SP
δ21 → 1 ∙ δ21 = න
𝑙
𝑀2𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
5 ∙ 1 ∙ 1
6𝐸𝐼1
δ21 =
5
6𝐸𝐼1
Real
M1 +
1
1 δ21
Virtual
M2 + +
1 1
1 1
Vigas Contínuas
23
 Matriz de flexibilidade:
𝛿22 = Efeito de X2 = 1 na direção de X2 no SP
δ22 → 1 ∙ δ22 = න
𝑙
𝑀2𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
5 ∙ 1 ∙ 1
3𝐸𝐼1
+
4 ∙ 1 ∙ 1
3𝐸𝐼2
δ22 =
5
3𝐸𝐼1
+
4
3𝐸𝐼2
Virtual
M2 + +
1 1
1 1
Real
M2 + +
1 1
1 δ20 1
Hiperestáticos
24
𝛿11 𝛿12
𝛿21 𝛿22
൜ ൠ
𝑋1
𝑋1
= ൜ ൠ
𝛿1
𝛿2
− ൜ ൠ
𝛿10
𝛿20
1
𝐸
5
3𝐼1
5
6𝐼1
5
6𝐼1
5
3𝐼1
+
4
3𝐼2
൜ ൠ
𝑋1
𝑋1
= −
1
𝐸
625
6𝐼1
625
6𝐼1
+
140
3𝐼2
Hiperestáticos
δ𝑖𝑗 = න
𝐿
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = δ𝑗𝑖
Simetria da matriz de flexibilidade
Termos de carga
δ𝑖0 = න
𝐿
𝑀𝑖𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
𝑋1 𝑋2
𝑋1 =
−625𝐼2 − 720𝐼1
15𝐼2 + 16𝐼1
𝑋2 =
−625𝐼2 − 560𝐼1
15𝐼2 + 16𝐼1
I1 I2
Efeito da inércia
25
 Problema com inércia variável por vão:
 Os hiperestáticos dependem da rigidez (EI) da viga.
 Os esforços e reações dependem da rigidez (isso não ocorre em 
estruturas isostáticas).
 Análise em função da relação n = I1/I2.
50 kNm
5 m
20 kN/m
4 m
I1 I2
30 kN/m
-45
-44
-43
-42
-41
-40
-39
-38
-37
-36
-35
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
𝑛=𝐼1/𝐼2 
X1 X2
Efeito da inércia
26
 Comportamento dos momentos 𝑋1 e 𝑋2 em função da relação 𝑛 = 𝐼1/𝐼2:
Qdo 𝑛 =
𝐼1
𝐼2
→ 0
5𝑚
𝑞𝐿2
24
= 20.83
− −
−41.67−
𝑞𝐿2
12
= −41.67
+
41,67 50
4𝑚
−41,67
−50
− −
+
60
-48
-46
-44
-42
-40
-38
-36
-34
-32
0 50 100 150 200 250 300
𝑛=𝐼1/𝐼2 
X1 X2
Efeito da inércia
27
 Comportamento dos momentos 𝑋1 e 𝑋2 em função da relação 𝑛 = 𝐼1/𝐼2:
Quando 𝑛 =
𝐼1
𝐼2
→ ∞
35
5𝑚
20 50
4𝑚
62,5
−
−35
−45
+
−
−35
−5060
+
− −
Esforços e reações
28
SP com cargas e hiperestáticos
𝑀𝐴 = 𝑋1
𝑀𝐵 = 𝑋2
𝑀𝐶 = −50 𝑘𝑁𝑚
𝑉𝐴 =
20 ∙ 5
2
−
1
5
𝑋1 +
1
5
𝑋2
20 kN/m 50 kNm𝑋1 𝑋2
𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑉𝐶4 m5 m
𝑉𝐵 =
20 ∙ 5
2
+
30 ∙ 4
2
−
50
4
+
1
5
𝑋1 −
1
5
+
1
4
𝑋2
𝑉𝐶 =
30 ∙ 4
2
+
50
4
+
1
4
𝑋2
30 kN/m
Esforços e reações
29
Considerando inércia constante (I1 = I2)
𝑋1 = −43.4 kNm
𝑋2 = −38.2 kNm 𝑄 (kN)
𝑀 (kNm)
𝑉𝐴 = 51 kN
𝑉𝐵 = 106 kN
𝑉𝐶 = 62.9 kN
Cálculo dos deslocamentos
30
Cálculo de flechas (PFV):
𝑀 = 𝑀0 +𝑀1 𝑋1 +𝑀2 𝑋2
1 ∙ ∆ = න
𝐿
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
∆ = න
𝐿
𝑀0 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 + න
𝐿
𝑀1 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 𝑋1 + න
𝐿
𝑀2 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 𝑋2
⟹ 𝑀(𝑥) = 𝑀0(𝑥) + 𝑀1 𝑥 𝑋1 +𝑀2 𝑥 𝑋2
∆ = ∆0 + ∆1𝑋1 + ∆2𝑋2 ∆𝑖= න
𝐿
𝑀𝑖 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥⟹
Usar carga unitária correspondente ao
deslocamento a ser calculado.
Superposição
Cálculo dos deslocamentos
31
Flecha no centro do 1o vão
𝑣𝐷 = න
𝐿
𝑀 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Importante: o sistema virtual tem que estar em equilíbrio, mas 
não precisa ser compatível.
Pode ser obtido aplicando a carga unitária no SP (isostática).
2.5 m
1 kN
2.5 m
0.5 kN 0.5 kN
1.25
Virtual 𝑣𝐷 = 𝑣𝐷0 + 𝑣𝐷1𝑋1 + 𝑣𝐷2𝑋2
Menores que os de uma
viga biapoiada, pois os
hiperestáticos são negativos.
20 kN/m 50 kNm
𝑋1 𝑋2
𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑉𝐶4 m5 m
Real
30 kN/m
ഥ𝑀
+
Cálculo dos deslocamentos
32
 Calcular a flecha no centro do maior vão (EI = 37500 kNm2):
50 kNm
5 m
20 kN/m
4 m
30 kN/m
2.5 m
1 kN
2.5 m
0.5 kN 0.5 kN
1.25
Virtual
ഥ𝑀
Real
+
Vigas Contínuas
 Efeito do carregamento na direção de 𝑣𝐷 no SP:
𝑣𝐷
0
= න
𝐿𝑀0 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
1.25
ഥ𝑀
33
20 ∙ 52
8
= 62.5
−50
+
+
M0
−
30 ∙ 42
8
= 60
+
Tabelas de Integração
34
1
3
𝐿 ∙ 1 +
𝑎 ∙ 𝑏
𝐿2
∙ 𝑀𝑚 ∙ ഥ𝑀
Vigas Contínuas
35
 Efeito do carregamento na direção de 𝑣𝐷 no SP:
𝑣𝐷
0
= න
𝐿
𝑀0 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
5 ∙ 1 +
2.5 ∙ 2.5
52
∙ 62.5 ∙ 1.25
3𝐸𝐼
𝑣𝐷
0
=
162.76
𝐸𝐼
20 ∙ 52
8
= 62.5
−50
+
+
M0
−
30 ∙ 42
8
= 60
1.25
ഥ𝑀
⟹
+
Vigas Contínuas
36
𝑣𝐷
1
= Efeito de X1 = 1 na direção de 𝑣𝐷 no SP
M1
+
1
1
𝑣𝐷
1
= න
𝐿
𝑀1 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
1.25
ഥ𝑀
+
Tabelas de Integração
37
1
6
𝐿 ∙ 1 +
𝑏
𝐿
∙ 𝑀𝐴 ∙ ഥ𝑀
Vigas Contínuas
38
𝑣𝐷
1
= Efeito de X1 = 1 na direção de 𝑣𝐷 no SP
𝑣𝐷
1
= න
𝐿
𝑀1 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
5 ∙ 1 +
2.5
5
∙ 1 ∙ 1.25
6𝐸𝐼
𝑣𝐷
1
=
1.5625
𝐸𝐼
M1
+
1
1
1.25
ഥ𝑀
+
Vigas Contínuas
39
𝑣𝐷
2
= Efeito de X2 = 1 na direção de 𝑣𝐷 no SP
𝑣𝐷
2
= න
𝐿
𝑀2 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥
M2
+ +
1 1
1 1
1.25
ഥ𝑀
+
Tabelas de Integração
40
1
6
𝐿 ∙ 1 +
𝑎
𝐿
∙ 𝑀𝐵 ∙ ഥ𝑀
Vigas Contínuas
41
𝑣𝐷
1
= Efeito de X1 = 1 na direção de 𝑣𝐷 no SP
𝑣𝐷
2
= න
𝐿
𝑀2 ഥ𝑀
𝐸𝐼
𝑑𝑥 =
5 ∙ 1 +
2.5
5
∙ 1 ∙ 1.25
6𝐸𝐼
𝑣𝐷
2
=
1.5625
𝐸𝐼
M2
+ +
1 1
1 1
1.25
ഥ𝑀
+
Cálculo dos deslocamentos
42
Flecha no centro do 1o vão (EI = 37500 kNm2)
𝑣𝐷 = 𝑣𝐷
0
+ 𝑣𝐷
1
𝑋1 + 𝑣𝐷
2
𝑋2
𝑋1 = −43.39 kNm
𝑋2 = −38.23 kNm
𝑣𝐷 =
162.76
𝐸𝐼
+
1.5625
𝐸𝐼
−43.39 +
1.5625
𝐸𝐼
−38.23 =
35.2287
𝐸𝐼
𝑣𝐷 = 9.394 × 10
−3 m = 0.9394 mm
−0.9396
𝐹𝑙𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝐹𝑡𝑜𝑜𝑙 (mm)
Recalque e variação de temperatura
43
 Obter os diagramas de esforços internos da viga abaixo
(EI = 3.75104 kNm2 e a = 10-5 /oC) devido a:
a) Recalque em A para baixo rA = 5 mm
b) Recalque em B para baixo rB = 5 mm
c) Rotação em A no sentido horário θA = 0.1º
d) Gradiente de temperatura gT = -60
oC/m na viga
5 m 4 m
I I
𝐴 𝐵 𝐶
Recalque de apoio
44
Recalque para baixo rA
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = 0
Rotações i0 devido ao recalque (PFV)
1 ∙ 𝛿10 +
1
5
∙ 𝜌𝐴 = 0 ⟹ 𝛿10 = −
𝜌𝐴
5
1 ∙ 𝛿20 −
1
5
∙ 𝜌𝐴 = 0 ⟹ 𝛿20 =
𝜌𝐴
5
1
𝐸𝐼
5
3
5
6
5
6
3
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= ൞ ൢ
𝜌𝐴
5
−
𝜌𝐴
5
𝑋1 =
138
775
𝐸𝐼𝜌𝐴
𝑋2 = −
18
155
𝐸𝐼𝜌𝐴
⟹
1
1/5 1/5
1 1
1/5 1/4
1
5
+
1
4
Hiperestáticos
δ20
0 00r𝐴
δ10
II
Recalque de apoio
45
Considerando EI = 37500 kNm2 e recalque de 5mm:
𝑋1 = 33.39 kNm
𝑋2 = −21.77 kNm
𝑀𝐴 = 𝑋1 = 33.39 kNm 𝑀𝐵 = 𝑋2 = −21.77 kNm 𝑀𝐶 = 0
𝑉𝐴 = −
1
5
∙ 𝑋1 +
1
5
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐴= −11.03 kN
𝑉𝐵 =
1
5
∙ 𝑋1 −
1
5
+
1
4
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐵= 16.48 kN
𝑉𝐶 =
1
4
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐶= −5.44 kN
1
1/5 1/5
1 1
1/5 1/4
1
5
+
1
4
δ20
0 00r𝐴
δ10
II
Recalque de apoio
46
M
Q
Recalque de apoio
47
Recalque para baixo rB
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = 0
Rotações i0 devido ao recalque (PFV)
1 ∙ 𝛿10 −
1
5
∙ 𝜌𝐵 = 0 ⟹ 𝛿10 =
𝜌𝐵
5
1 ∙ 𝛿20 +
1
5
+
1
4
∙ 𝜌𝐵 = 0 ⟹ 𝛿20 = −
9𝜌𝐵
20
1
𝐸𝐼
5
3
5
6
5
6
3
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= ൞ ൢ
−
𝜌𝐵
5
9𝜌𝐵
20
𝑋1 = −
351
1550
𝐸𝐼𝜌𝐵
𝑋2 =
33
155
𝐸𝐼𝜌𝐵
⟹
Hiperestáticos
1
1/5 1/5
1 1
1/5 1/4
1
5
+
1
4
δ20
0 00 r𝐵
δ10
II
Recalque de apoio
48
Considerando EI = 37500 kNm2 e recalque de 5mm:
𝑋1 = −42.46 kNm
𝑋2 = 39.92 kNm
𝑀𝐴 = 𝑋1 = −42.46 kNm 𝑀𝐵 = 𝑋2 = 39.92 kNm 𝑀𝐶 = 0
𝑉𝐴 = −
1
5
∙ 𝑋1 +
1
5
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐴= 16.48 kN
𝑉𝐵 =
1
5
∙ 𝑋1 −
1
5
+
1
4
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐵= −26.46 kN
𝑉𝐶 =
1
4
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐶= 9.98 kN
1
1/5 1/5
1 1
1/5 1/4
1
5
+
1
4
δ20
0 00 r𝐵
δ10
II
Recalque de apoio
49
M
Q
Recalque de apoio
50
Rotação em A no sentido horário de A
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 𝜃𝐴
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = 0
Hiperestáticos
1
𝐸𝐼
5
3
5
6
5
6
3
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= ൜ ൠ
𝜃𝐴
0
𝑋1 =
108
155
𝐸𝐼𝜃𝐴
𝑋2 = −
6
31
𝐸𝐼𝜃𝐴
⟹
𝜃𝐴
Recalque de apoio
51
Considerando EI = 37500 kNm2 e rotação de 0.1º = 0.001745 rad:
𝑋1 = 45.60 kNm 𝑋2 = −12.67 kNm
𝑀𝐴 = 𝑋1 = 45.60 kNm
𝑀𝐵 = 𝑋2 = −12.67 kNm
𝑀𝐶 = 0
𝑉𝐴 = −
1
5
∙ 𝑋1 +
1
5
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐴= −11.65 kN
𝑉𝐵 =
1
5
∙ 𝑋1 −
1
5
+
1
4
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐵= 14.82 kN
𝑉𝐶 =
1
4
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐶= −3.17 kN
Recalque de apoio
52
M
Q
Variação de temperatura
53
Gradiente de temperatura gT na viga
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = 0
Rotações i0 devido à gT (PFV)
1 ∙ 𝛿10 = න
𝐿
𝑀1 𝛼𝑔𝑇𝑑𝑥 ⟹ 𝛿10 =
5
2
𝛼𝑔𝑇
1 ∙ 𝛿20 = න
𝐿
𝑀2 𝛼𝑔𝑇𝑑𝑥 ⟹ 𝛿20 =
9
2
𝛼𝑔𝑇
1
𝐸𝐼
5
3
5
6
5
6
3
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
= −𝛼𝑔𝑇
5
2
9
2
𝑋1 = −
27
31
𝐸𝐼𝛼𝑔𝑇
𝑋2 = −
39
31
𝐸𝐼𝛼𝑔𝑇
⟹
1
1/5
1/5
1
M1
+
1 1
1/5 1/4
1
5
+
1
4
M2
1 1
+ +
Hiperestáticos
δ20
0 00
g𝑇
δ10 g𝑇
II
Variação de temperatura
54
𝑋1 = 19.60 kNm 𝑋2 = 28.31 kNm
Para E = 24 GPa, seção 15 cm x 50 cm a =10-5/ oC, TI = -15
oC e TS = +15
oC :
𝑀𝐴 = 𝑋1 = 19.60 kNm
𝑀𝐵 = 𝑋2 = 28.31 kNm
𝑀𝐶 = 0
𝑉𝐴 = −
1
5
∙ 𝑋1 +
1
5
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐴= 1.74 kN
𝑉𝐵 =
1
5
∙ 𝑋1 −
1
5
+
1
4
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐵= 8.82 kN
𝑉𝐶 =
1
4
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐶= 7.08 kN
𝑔𝑇 =
𝑇𝐼 − 𝑇𝑆
ℎ
=
−15 − 15
0.5
= −60
°C
𝑚
1
1/5
1/5
1
M1
+
1 1
1/5 1/4
1
5
+
1
4
M2
1 1
+ +
δ20
0 00
g𝑇
δ10 g𝑇
II
Variação de temperatura
55
M
Q
Apoio elástico
56
 Obter os diagramas de esforços internos da viga abaixo 
(EI = 3.75104 kNm2 e k = 40000 kN/m) devido ao
carregamento indicado:
50 kNm
5 m
20 kN/m
4 m
I I
𝐴 𝐵 𝐶
k
30 kN/m
Apoio elástico
57
 Termos de Carga:
20 ∙ 52
8
= 62.5
97.5
50 72.5
−50
+
+
M0
−
30 ∙ 42
8
= 60
20 kN/m
50 kNm
δ10 δ20
30 kN/m
58
 Termos de Carga:
Sistema virtual para δ10:
1 ∙ δ10 = න
𝐿
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 +
𝐹1𝐹0
𝑘
=
5 ∙ 62.5 ∙ 1
3𝐸𝐼
+
97.5
5 ∙ 𝑘
δ10 =
625
6𝐸𝐼
+
19.5
𝑘
M1 +
1
1
1/5
1/5
Apoio elástico
20 kN/m
50 kNm
δ10 δ20
30 kN/m
97.5
59
 Termos de Carga:
Sistema virtual para δ20:
1 ∙ δ20 = න
𝑙
𝑀2𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥 +
𝐹2𝐹0
𝑘
=
5 ∙ 62.5 ∙ 1
3𝐸𝐼
+
4 ∙ 60 ∙ 1
3𝐸𝐼
+
4 ∙ −50 ∙ 1
6𝐸𝐼
+
97.5 ∙ (−0.45)
𝑘
δ20 =
905
6𝐸𝐼
−
43.875
𝑘
M2 + +
1 1
1 1
0.45
0.2 0.25
Apoio elástico
20 kN/m
50 kNm
δ10 δ20
30 kN/m
97.5
60
 Matriz de flexibilidade:
𝛿11 = Efeito de X1 = 1 na direção de X1 no SP
1 ∙ δ11 = න
𝑙
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥 +
𝐹1𝐹1
𝑘
=
5 ∙ 1 ∙ 1
3𝐸𝐼
+
0.2 ∙ 0.2
𝑘
δ11 =
5
3𝐸𝐼
+
0.04
𝑘
Real
M1 +
1
δ11 1
0.20.2
Virtual
M1 +
1
1
0.20.2
Apoio elástico
61
 Matriz de flexibilidade:
𝛿12 = Efeito de X2 = 1 na direção de X1 no SP
1 ∙ δ12 = න
𝑙
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 +
𝐹1𝐹2
𝑘
=
5 ∙ 1 ∙ 1
6𝐸𝐼
+
(−0.45) ∙ 0.2
𝑘
δ12 = δ21 =
5
6𝐸𝐼
−
0.09
𝑘
Virtual
M1 +
1
1
0.20.2
Real
M2 + +
1 1
1δ12
1
0.45
0.2 0.25
Apoio elástico
62
 Matriz de flexibilidade:
𝛿22 = Efeito de X2 = 1 na direção de X2 no SP
1 ∙ δ22 = න
𝑙
𝑀2𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 +
𝐹2𝐹2
𝑘
=
9 ∙ 1 ∙ 1
3𝐸𝐼
+
(−0.45) ∙ (−0.45)
𝑘
δ22 =
3
𝐸𝐼
+
0.2025
𝑘
Real
M2 + +
1 1
1 δ20 1
0.45
0.2 0.25
Virtual
M2 + +
1 1
1 1
0.45
0.2 0.25
Apoio elástico
Apoio elástico
63
𝛿11 𝛿12
𝛿21 𝛿22
൜ ൠ
𝑋1
𝑋1
= ൜ ൠ
𝛿1
𝛿2
− ൜ ൠ
𝛿10
𝛿20
5
3𝐸𝐼
+
0.04
𝑘
5
6𝐸𝐼
−
0.09
𝑘
5
6𝐸𝐼
−
0.09
𝑘
3
𝐸𝐼
+
0.2025
𝑘
൜ ൠ
𝑋1
𝑋1
= −
625
6𝐸𝐼
+
19.5
𝑘
905
6𝐸𝐼
−
43.875
𝑘
Hiperestáticos
𝑋1 =
−2988.89𝑘 − 2075.7𝐸𝐼
68.89𝑘 + 9.72𝐸𝐼
𝑋2 =
−822.92𝑘 + 369.83𝐸𝐼
21.53𝑘 + 3.04𝐸𝐼
𝑋1 𝑋2
Apoio elástico
64
Considerando EI = 37500 kNm2 e k = 40000 kN/m:
𝑋1 = −63.27 kNm 𝑋2 = −19.54 kNm
𝑀𝐴 = 𝑋1 = −63.27 kNm 𝑀𝐵 = 𝑋2 = −19.54 kNm 𝑀𝐶 = 0
𝑉𝐴 = 50 −
1
5
∙ 𝑋1 +
1
5
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐴= 58.75 kN
𝑉𝐵 = 97.5 +
1
5
∙ 𝑋1 −
1
5
+
1
4
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐵= 93.64 kN
𝑉𝐶 = 72.5 +
1
4
∙ 𝑋2 ⟹ 𝑉𝐶= 67.62 kN
1
1/5
1/51 1
1/5 1/41
5
+
1
4
20 kN/m 50 kNm
97.5
50 72.5
30 kN/m
Apoio elástico
65
Q
M
Efeito da rigidez da mola
66
 Análise em função da relação n = k/EI:
50 kNm
5 m
20 kN/m
4 m
I I
30 kN/m
k
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,21,4
n = k/EI
X1 X2
Efeito da rigidez da mola
67
 Comportamento dos momentos 𝑋1 e 𝑋2 em função da relação n = k/EI:
Qdo 𝑛 =
𝑘
𝐸𝐼
→ 0
Efeito da rigidez da mola
68
 Comportamento dos momentos 𝑋1 e 𝑋2 em função da relação n= k/EI:
Quando 𝑛 =
𝑘
𝐸𝐼
→ ∞
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
n = k/EI
X1 X2
Viga contínua com vários vãos
69
 Geometria, carregamento, apoios e propriedades (EI):
 Sistema Principal:
𝑞1
𝑞2
𝑞3 𝑞3
𝑞4
𝑞5
𝐿1
𝐿3
2
𝐿3
2
𝐿5𝐿2 𝐿4
𝑃
Incógnitas: 7 reações
Eq. equilíbrio: 3
GH = 7 – 3 = 4
𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋4
δ1 = 0 δ2 = 0 δ3 = 0 δ4 = 0
Viga contínua com vários vãos
70
M0
𝑞1𝐿1
2
8
𝑞2𝐿2
2
8
𝑞4𝐿4
2
8
𝑞5𝐿5
2
8
𝑃𝐿3
4
+
𝑞3𝐿3
2
8
δ10 δ20 δ30 δ40
+ + +
+
M1
1 1
δ11 δ21 δ31 δ41
+ +
M2
1 1
++
δ12 δ22 δ32 δ42
M3
1 1
δ13 δ23 δ33 δ43
+ +
M4
1 1
+ +
δ14 δ24 δ34 δ44
Viga contínua com vários vãos
71
 Coeficientes de Flexibilidade:
δ11 = න
𝑙
𝑀1𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
δ21 = න
𝑙
𝑀2𝑀1
𝐸𝐼
𝑑𝑥
δ31 = 0
δ41 = δ42 = 0
δ12 = න
𝑙
𝑀1𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 δ13 = δ14 = 0
δ22 = න
𝑙
𝑀2𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 δ23 = න
𝑙
𝑀2𝑀3
𝐸𝐼
𝑑𝑥 δ24 = 0
δ32 = න
𝑙
𝑀3𝑀2
𝐸𝐼
𝑑𝑥 δ33 = න
𝑙
𝑀3𝑀3
𝐸𝐼
𝑑𝑥 δ34 = න
𝑙
𝑀3𝑀4
𝐸𝐼
𝑑𝑥
δ43 = න
𝑙
𝑀4𝑀3
𝐸𝐼
𝑑𝑥 δ44 = න
𝑙
𝑀4𝑀4
𝐸𝐼
𝑑𝑥
Viga contínua com vários vãos
72
 Matriz de Flexibilidade:
F =
𝛿11 𝛿12
𝛿21 𝛿22
0 0
𝛿23 0
0 𝛿32
0 0
𝛿33 𝛿34
𝛿43 𝛿44
Sistema Tridiagonal
 Termos de Carga:
δ10 = න
𝑙
𝑀1𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
δ20 = න
𝑙
𝑀2𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
δ30 = න
𝑙
𝑀3𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
δ40 = න
𝑙
𝑀4𝑀0
𝐸𝐼
𝑑𝑥
δ0 =
δ10
δ20
δ20
δ30
Máximo de 3 coeficientes por
linha (Equação dos 3 Momentos).
i-ésima linha 𝛿𝑖(𝑖−1) 𝛿𝑖𝑖 𝛿𝑖(𝑖+1)
Viga contínua com vários vãos
73
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 + 𝛿13. 𝑋3 + 𝛿14 . 𝑋4 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 + 𝛿23. 𝑋3 + 𝛿24. 𝑋4 = 0
𝛿11 𝛿12
𝛿21 𝛿22
0 0
𝛿23 0
0 𝛿32
0 0
𝛿33 𝛿34
𝛿43 𝛿44
൞ ൢ
𝑋1
𝑋2
𝑋3
𝑋4
= −
𝛿10
𝛿20
𝛿30
𝛿40𝐹 ሼ ሽ𝑋 = −ሼ ሽ𝛿0
𝐹 = 𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
ሼ ሽ𝑋 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑖𝑝𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
ሼ ሽ𝛿0 = 𝑉𝑒𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
Matricialmente:
Sempre nulo quando os 
hiperestáticos são os 
momentos fletores nos apoios.
𝛿3 = 𝛿30 + 𝛿31. 𝑋1 + 𝛿32. 𝑋2 + 𝛿33. 𝑋3 + 𝛿34. 𝑋4 = 0
𝛿4 = 𝛿40 + 𝛿41. 𝑋1 + 𝛿42. 𝑋2 + 𝛿43. 𝑋3 + 𝛿44. 𝑋4 = 0
Pode ser resolvido de forma eficiente
usando a Eliminação de Gauss
Equações de Compatibilidade:
FIM
Obrigado
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL