Método da Derivada de uma variável

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agora podemos cortar as variáveis ficando:
lim (2x+h -2)/h
h 0
colocando o h em evidencia fica:
lim h. (2x+h)/h
cortando h com h do denominador fica:
lim (2x+h 2)
h 0
substituindo o zero onde tem a variável h, que é a qual estamos tendendo, ob-
servamos que fica:
lim 2x (0) 2
h 0
ficando como resultado: 2x 2 (derivada)
Ou seja, o valor 2x 2 é a derivada da função f(x) = x2 -2x +1
3. Método da Derivada de uma variável
Realizamos o nosso primeiro exercício da função f(x) x2 -2x +1, e observamos uma
certa complexidade para se fazer a atividade, havendo necessidade de aplicar vá-
rios métodos algébricos como produto, colocar em evidencia, substituição ten-
dendo a 0. Mas tenho uma excelente notícia, para derivar não precisamos deste
método, temos um método mais simples e prático, mesmo havendo necessidade
de realizar algumas partes algébricas ele demonstra ser muito mais simples que o
anterior.
1.1Método da Potência de uma variável
Este método é simplesmente quando temos uma variável (x), sendo elevado por uma
potência por exemplo 2 ficando:
X2
Pegaremos esta potência e vamos subtrai-la por -1 ficando:
X2-1
E a potência que estava acima que era 2 passamos para frente da variável ficando:
2x1
Observamos que o número 2 fica multiplicando o x que é a variável e ela está sendo
elevado a 1 pois foi o valor que sobrou após a subtração que levou da regra da
potência, ou seja, sabemos que quando a potência é elevada ao número 1 normal-
mente não se escreve na formula final, ficando a derivada de x2, pela regra da po-
tência 2x.
1.1.1 Provando o Método da Potência de uma variável
Após a explicação anterior podemos tirar a prova do método da potência em relação
a função f(x) x2 -2x +1, que sua reposta chegou a 2x, e abaixo aplicaremos estes
métodos para tentar chegar na mesma resposta sem utilizar o método do limite.
Primeiramente como sabemos, devemos retirar -1 subtraindo assim a potência e co-
locando o valor que estava antes a frente da variável, e assim multiplicando a mesma,
ficando:
F 2-1 -2x1-1 +0
Podemos observar que acima temos a primeira parte que é o primeiro lado da igual-
ou seja vamos chama-
mas como só tem uma linha, quer dizer que derivamos uma vez apenas. E do outro
lado da igualdade temos primeiramente a potência de 2 que será subtraída por 1 e
depois do sinal negativo temos o 2x que ele é elevado a 1 e também vai ser subtraído
por 1, e em seguida depois do sinal positivo temos uma constante sem nenhuma va-
riável x, neste caso ela é zerada automaticamente, e assim ficando:
1 -2x0 +0
Sabemos que qualquer valor elevado a potência de zero (0), como está acima o valor
automaticamente é 1, então se atentem sempre a este detalhe, pois pode fazer dife-
rença em contas futuras, e então fica:
-1
Podemos concluir que o método da potência resolveu o problema de uma maneira
muito mais simples que a do limite, e gerando uma agilidade na resolução, e também
deixando a conta menos sujeita a erros, devido a menor complexidade das regras
algébricas impostas, agora vamos exercitar com alguns exercícios aplicando mais a
regra, e veremos o máximo de situações possíveis neste estudo.
2. Determine as Derivadas de uma variável pela regra da potência
2.1Y = 3x2
Neste exercício podemos observar que a função é de apenas uma variável de po-
tência de 2ºgrau, derivando ficamos:
2-1
Passando a potência de 2º grau para frente e extraindo ficamos:
1
Realizando a multiplicação dos mesmos ficamos:
Ou seja, a derivada da função Y = 3x2
2.2Y = 2x3/5
Entendemos que está função é de 3º Grau e ela está sendo dividida pela constante
5, e sua derivada fica:
3-1/5
Observamos que o 5 continuou como está, devido estar sendo um denominador uma
variável, fazendo com que não o deixamos ser zero, e mantendo o seu valor que é
5, e o próximo passo fica:
2/5
Multiplicando o 3.2 ficamos com o valor 6, havendo a resposta:
2/5
Ou seja, a função Y = 2x3/5, tem a derivada 6x2/5
2.3F(x) = -3 -7x2
Neste caso podemos observar que é uma função de grau 2 e está com sinal de
subtração, e ainda temos uma constante -3, e sua derivada fica:
-7x2-1
Observamos que a constante 3 não está sendo acompanhada de nenhuma variável
e ela está do outro lado da subtração, sendo assim podemos zera-la, e o próximo
passo fica:
-7x1
Nesta analise temos que ter cuidado com os sinais, pois a potência era positiva e
desceu positiva, mas o valor que ela vai multiplicar é o -7, ou seja, positivo com
negativo é igual a negativo, ficando:
F(x)´ = -14x
Neste caso a função de -3 -7x2, tem a derivada -14x
2.4F(x) = 2
Neste exercício podemos observar que a função é uma raiz quadrada de x, pois ela
está sendo elevada a 2, e ainda o x tem potência de 1 dentro da raiz, podendo ser
escrito:
F(x) = 2 1
Sabemos que toda variável que não é escrita a sua potência ela é 1, mas o que
temos de nos atentar neste exercício é que não conseguimos derivar do jeito que
está, precisamos transforma-lo em potência, pegando a potência de dentro da raiz
que é 1 e a quadrática de fora, ficando ½, uma fração, mas ainda uma potência e
racional, ficando a transformação de raiz para potência:
F(x) = (x)1/2
Agora que preparamos a função para receber a regra da potência, a derivada fica:
1/2-1
Sabemos que ½-1 = -1/2 ou seja gerando uma potência negativa, ficando:
-1/2
Observamos que a potência é negativa, e por regra não podemos entregar uma res-
posta desta, devemos acertar esta função derivada, fazendo com que fique positiva,
e o melhor caminho é simples, apenas vamos pegar o x elevado a potência negativa
que está no denominador e envia-lo para o denominador, ficando assim a potência
positiva, pois quando alteramos a potência do denominador para o numerador ou
vice e versa a potência altera de sinal, o que era positivo fica negativo ou o que era
negativo fica negativo, e ficando:
1/2
Agora podemos voltar a potência que está no valor positivo para Raiz novamente e
ficando:
2 1
Ou seja, a derivada da função 2 1 2 1
2.5 g(x) = 815 + 4x5/5 200x3
Podemos observar que temos uma função de grau 5, e nela ainda temos uma variá-
vel com o grau 3 e uma constante, e já sabemos que fica:
5-1/5 -200x3-1
Sabemos que novamente temos uma constante sem variável e ela é zerada e em
seguida o grau 5 é subtraído em 1 e o grau 3 também ficando:
4/5 - 3.200x3
Multiplicando as constantes ficamos:
4/5 -600x3
Para ter uma resposta mais simplificada, podemos sempre observar o que podemos
fazer para ter uma resposta mais precisa, e neste caso podemos dividir o valor 20
que foi gerado na multiplicação pelo valor 5 que está no denominador, ficando:
4/5 -600x3
Ou seja, a função 5/5 -200x3 4/5 -600x3
2.6 f(t) = 3at2 +bt -4c
Podemos observar que esta função é de 2º grau, e vamos transformá-la em 1º grau,
e uma informação importante que deve observar é que a função está em (t), não em
a,b ou c, mas em t, e a função que determina quem é variável e quem é constante,
então vamos acreditar que t é variável e o restante é tudo constante, sendo um valor
aleatório como o 3 e o -4 que já existem nela, e a regra é a mesma, os valores que
estão separados de variáveis são descartados, virando zero, e o restante que é
acompanhado pela variável indicada na função que neste é a letra t, são subtraídos
por -1, e ficando:
2-1 +bt1-1 0
Neste caso o grau 2 e 1 receberam -1 e a constante -4c virou zero, e o próximo passo
fica:
1 +1.bt0
Podemos observar que um lado é apenas multiplicar o valor 2x3, e no outro temos
que ter atenção, devido o t que é a variável estar sendo elevada por 0, e toda variável
elevado a zero é igual a 1, ficando:
Ou seja, foi transformado uma função de 2º grau em 1º grau, e a função f(t) = 3at2
+bt -
2.7g(t) = 1/t3 + t4/2 4/t2
Neste exercício vamos ter muita atenção, pois temos variáveis de t, no denominador
e no numerador, e precisamos aplicar a regra de passar os que estão no denomina-
dor para cima no numerador, mas não podemos esquecer também que os seus va-
lores serão alterados,fiando automaticamente com a potência negativa, então antes
de tudo, devemos realizar a organização da função ficando:
g(t) = 1.t-3 + t4/2 4.t-2
As variáveis que estavam no denominador, agora estão no numerador, mas com os
seus sinais negativos, e multiplicando as constantes e não mais dividindo, e agora
podemos aplicar a regra da potência, ficando:
-3-1 + t4-1/2 4.t-2-1
Podemos observar que as variáveis foram extraídas -1, mas os valores são negati-
vos, então tenha atenção neste ponto, as vezes deles diminuírem, eles aumentaram,
mas para o lado negativo, ficando:
-3.1.t-4 + 4.t3/2 -2.4.t-3
Após a realização da derivação, temos que ter muito cuidado com os sinais na hora
da multiplicação pois o primeiro é negativo com positivo, ficando negativo e o se-
gundo é positivo com positivo, ficando positivo e o terceiro é negativo com negativo,
ficando positivo, observe:
-3t-4 +4t3/2 +8t-3
Neste passo é apenas passar as variáveis que estão no numerador com sinal nega-
tivo para baixo no denominador, ficando:
-3/t4 +4t3/2 +8/t3
Mas ainda podemos simplificar o 4 pelo 2, ficando:
-3/t4 +2t3 +8/t3
Ou seja, a função g(t) = 1/t3 + t4/2 4/t2 -3/t4 +2t3 +8/t3
2.8 Y = 15 1/x2
Podemos observar que nesta questão, temos todas as regras algébricas em ques-
tões anteriores, e sabemos que a primeira constante vai ser igual a 0 e a segunda
parte depois da subtração é apenas passar a variável do numerador para o denomi-
nador, ficando:
Y = 15 1.x-2
Agora que preparamos a função e está de acordo com as normas, podemos aplicar
a regra da potência, ficando:
- -2.1x-3
Novamente, neste passo devemos ter muito cuidado com os sinais, pois sabemos
que negativo com negativo é igual positivo, observe:
-3
Agora devemos apenas passar a variável que está no numerador para o denomina-
dor e deixa-la positivo, ficando:
3
Ou seja, a função Y = 15 1/x2 3
2.9 F(t) = -5/t3 + 1/t
Primeiramente não podemos derivar neste exemplo, devemos antes trazer do deno-
minador para o numerador as variáveis, e não esquecer os seus sinais irão mudar,
observe:
F(t) = -5.t-3 + 1.t-1
Agora que resolvemos a parte algébrica, podemos derivar, e ficando:
-5.t-3-1 + 1.t-1-1
Próximo passo é realizar a multiplicação e ter muito cuidado com os sinais pois lem-
brando que negativo com negativo da positivo e negativo com positivo da negativo,
observe:
-3.-5.t 4 + -1.1.t-2
Realizando a multiplicando, atentando aos sinais, fica:
-4 -1t-2
Agora devemos passar as variáveis para o denominador, para possam ficar positi-
vos e assim finalizando a derivada, observe:
4 -1/t2
Ou seja, a função F(t) = -5/t3 + 1/t 4 -1/t2
2.10 g(x) = 7x3/3 - 2/5x2
Primeiramente sabemos que a função é em x, então temos a nossa derivada, e com
isso a estratégia é a mesma das anteriores, devemos passar as variáveis que estão
no denominador e passar para o numerador, ficando:
G(x) = 7x3/ 3 -2.x-2/5
Observamos que na função acima, passamos apenas as variáveis, e o denominador
ainda continuo com sua constante de número 5. Agora podemos continuar e derivar
ficando:
3-1/ 3 -2.x-2-1/5
Agora é apenas multiplicar as potencias que desceram para o numerador, e verifi-
car:
2/ 3 2.-2.x-3/5
Após a multiplicação podemos avaliar os resultados,
que são:
2/ 3 +4x-3/5
Se prestarmos a atenção, analisamos que temos uma variável negativa e devemos
desce-la antes de qualquer coisa, ficando:
2/ 3 +4/5x3
Mas ainda podemos simplificar a função derivada,
ficando:
2/ 3 +4/5x3
Ou seja, a função g(x) = 7x3/3 - 2/5x2,
tem a derivada
2/ 3 +4/5x3
3. Derivada de Produto de uma variável
Realizamos várias analises da regra da potência, entendendo o seu passo a passo
em todos os detalhes possíveis, através de exercícios, mas e se caso tivermos
uma variável sendo multiplicada por outra variável?
A resposta é muito simples, devemos aplicar a regra do produto, está regra tem
uma regra básica que devemos seguir, sendo a derivada da primeira, sendo mul-
tiplicada pela segunda, e somando a primeira mais a multiplicação da segunda,
podendo ser escrita de tal forma:
Ou seja, se temos uma variável na função aplicamos a regra da potência, mas se
temos mais de uma, e ela está sendo multiplicada por outra função, então deve-
mos aplicar está regra, como por exemplo:
Y = (x2+3) . (3x-2)
Seguir próximo material 2, para ter uma base sobre a regra do produto, e onde
entraremos nas várias variáveis.
4. Referencias
Cálculo B, Funções de Várias Variáveis Integrais Duplas e Triplas, Mírian Buss Golçalves e Diva
Marília Flemming.
Cálculo Diferencial e Integral, Vol. 1, Paulo Boulos.
Um Curso de Cálculo vol 4, Hamilton Luiz Guidorizzi 5a Edição.