[Cálculo] Derivadas Parciais e Integral Dupla (Resumo)

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Obs.: Define-se de modo análogo as 
funções de mais variáveis. 
 
DERIVADAS PARCIAIS e INTEGRAL DUPLA 
 
1. Derivadas Parciais 
 
Def1.: Seja 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) uma função de duas variáveis e (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷𝑓. Fixado 𝑦0, tal que, 
 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦0), as derivadas parciais de 𝑓 ficam assim definidas: 
 
i. Em relação a 𝒙: 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑔′(𝑥0) =
𝑔(𝑥)−𝑔(𝑥0)
𝑥−𝑥0
, ou ainda, 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥,𝑦0) − 𝑓(𝑥0,𝑦0)
𝑥−𝑥0
. 
ii. Em relação a 𝒚: 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑙𝑖𝑚
𝑦→𝑦0
𝑓(𝑥0,𝑦) − 𝑓(𝑥0,𝑦)
𝑦−𝑦0
. 
 
Def2.: A diferencial de 𝑓, em (𝑥, 𝑦), relativa aos acréscimos 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦, indicada por 𝑑𝑧 ou 𝑑𝑓, é tal 
que, 𝒅𝒛 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 +
𝝏𝒇
𝝏𝒚
(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚. 
 
 Derivada Parcial de Ordens Superior 
 
Para uma função 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) temos quatro (4) derivadas parciais de 2ª ordem: 
 
i. 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
) 
ii. 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(
𝜕𝑓
𝜕𝑥
) 
iii. 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) 
iv. 
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
(𝑥, 𝑦) =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(
𝜕𝑓
𝜕𝑦
) 
 
• Teorema de Schwarz: 
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦) =
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦) 
 
2. Integral dupla 
 
• Teorema de Fubini: 
Dado 𝑓(𝑥, 𝑦) integrável no retângulo 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑}, tal que 
existam ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, ∀𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] e ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
, ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então, 
 
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
] 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
= ∫ [∫ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
] 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
• Teorema: 
∬ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = [∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
] ∙ [∫ 𝑔(𝑦) 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
]