Medidas Diretas e Indiretas

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PRÁTICA I - MEDIDAS DIRETAS E INDIRETAS - RELATÓRIOS DE FISI03- LABORATÓRIO
DE FÍSICA A
Beatriz Coelho Pereira
RA: 2022010992, T09, ICT, Universidade Federal de Itajubá, Rua Irmã Ivone Drumond, 200 - Distrito
Industrial II, Itabira - MG
d2022010992@unifei.edu.br
Wendy Anara Cristina Souza Gonçalves
RA: 2020027749, T09, IEI, Universidade Federal de Itajubá, Rua Irmã Ivone Drumond, 200 - Distrito
Industrial II, Itabira - MG
wendyanara@unifei.edu.br
1. INTRODUÇÃO
Desde os primórdios da humanidade o homem necessita das medidas para transmitir mais conhecimento
sobre determinadas atividades. Com o passar do tempo e com o avanço tecnológico significativo,
tornou-se cada vez mais necessário obter medições cada vez mais precisas e, assim, novos instrumentos
de medição foram criados.
Atualmente as medidas são divididas em dois tipos: as diretas e as indiretas. A medida direta é aquela
em que os valores são obtidos por simples comparação com instrumentos de medição calibrados para
este fim. Neste tipo de medição, dois casos devem ser distinguidos: a medição é feita por uma única
determinação onde o valor numérico ou é lido em uma escala (régua, paquímetro, cronômetro). Já a
medição indireta consistem naquelas relacionadas com as medidas diretas por meio de definições, leis e
suas consequências. Neste tipo de medidas o valor numérico assim como a dimensão e a unidade
correspondentes, são encontradas através de expressões matemáticas que as ligam às medidas diretas
envolvidas.
No presente relatório foram usados paras as medições os seguintes instrumentos:
1. Balança comum
2. Balança analítica
3. Paquímetro universal
4. Duas réguas sendo uma graduada e m metros (m), outra em milímetros (mm) que também
contém graduação em centímetros (cm).
Para realização da medição do comprimento é necessário colocar o ponto 0 do instrumento de
medição em uma das extremidades e o módulo do comprimento será o valor que coincidir com a
outra extremidade. Logo após obtermos o valor, devemos adicionar a incerteza, que iremos simbolizar
por 𝜎. Ademais, um comprimento C qualquer deve ser descrito da forma: C = c ± 𝜎 , em que c é o
valor obtido na medição e a sua incerteza.
Essa incerteza também chamada de erro instrumental não é uma constante, portanto houve variação de
acordo com cada peça e esta variação estará descrita no procedimento das respectivas peças.
Usando o princípio da incerteza e a teoria da aproximação, executamos a medição de cada peça cinco
vezes em seguida fez-se o cálculo da média que pode ser expresso pela seguinte equação
mailto:d2022010992@unifei.edu.br
mailto:wendyanara@unifei.edu.br
M+ (1)
∑𝑋𝑖
𝑛
Onde são respectivamente:
M a média
elementos somados∑ 𝑋𝑖 
N número de elementos somados
além disso também efetuamos o cálculo da incerteza da média expresso pela equação
IM = 1𝑛(𝑛−1) *
𝑖=1
𝑛
∑ { 𝑥𝑖 − 𝑚é𝑑𝑖𝑎( )}²
2. OBJETIVOS
Realizar medidas diretas e indiretas; expressar os resultados com suas respectivas incertezas.
3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
3.1 Peça triangular de madeira
Para a execução do presente experimento foram utilizados os seguintes equipamentos:
● Peça triangular de madeira.
● Régua graduada em milímetros;
● Régua graduada em centímetros;
● Balança de precisão
posteriormente a medição foi feita da seguinte forma:
● Usamos as duas réguas para obter as medidas dos três lados da peça em centímetros (cm) e
considerando o erro instrumental da régua igual a 0,05cm.
● Pesamos a peça de madeira para obtermos o peso em gramas (g) considerando o erro
instrumental da Balança = 0,001g.
● cada medida foi feita 5 vezes
● em seguida fizemos os cálculos e obtivemos os resultados expressos no item 4.1
3.2 cilindro de aço
Para a execução deste experimento foram utilizados os seguintes equipamentos:
● Um cilindro de aço liso
● Paquímetro de precisão
● Balança de precisão
● Balança analitica
logo após a medição foi feita da seguinte forma
● com o paquímetro de precisão medimos o comprimento , o raio externo e o interno da peça
● também com o paquímetro medimos a espessura da peça (ja que ela é um cilindro oco)
● pesamos a peça na balança comum e também na balaça analitica
● cada medida foi feita 5 vezes
● em seguida fizemos os cálculos e obtivemos os resultados expressos no item 4.2
3.3 cilindro de metal duro
Para a execução deste experimento foram utilizados os seguintes aparatos:
● Um cilindro de metal duro
● Paquímetro de precisão
● Régua granulada em centímetros
● Balança de precisão
● Balança analitica
A medição foi executada da seguinte forma
● com a régua em centímetros medimos o comprimento da peça
● com o paquímetro de precisão medimos o raio da peça
● pesamos a peça na balança comum e também na balaça analitica
● cada medida foi feita 5 vezes
● em seguida fizemos os cálculos e obtivemos os resultados expressos no item 4.3
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
Os valores encontrados nas medições diretas e indiretas estão descritos na tabela abaixo juntamente com
suas respectivas incertezas
4.1 triângulo de madeira
Na tabela abaixo estão inseridos os valores das medições
Tabela 1: medidas do triângulo de madeira
Base(cm) Altura(cm) Espessura(cm)
24,48 (+/- 0,05) 27,98 (+/- 0,05) 1,48 (+/- 0,05)
24,50 (+/- 0,05) 27,99 (+/- 0,05) 1,49 (+/- 0,05)
24,51 (+/- 0,05) 28,01 (+/- 0,05) 1,50 (+/- 0,05)
24,52 (+/- 0,05) 27,96 (+/- 0,05) 1,45 (+/- 0,05)
24,58 (+/- 0,05) 28,00 (+/- 0,05) 1,51 (+/- 0,05)
Tabela 2: peso do triângulo de madeira
Peso(g)
360,266 +/- 0,001
em seguida executamos o cálculo da média da base obtivemos os seguintes resultados:
Média da base: = 24,51 cm(24,48+24,50+24,51+24,52+24,58)5
Incerteza da média da base:
1 
5(5−1) * 
𝑖=1
5
∑ { 24, 48 − 24, 51( ) + 24, 50 − 24, 51( ) + 24, 51 − 24, 51( ) + 24, 52 − 24, 51( ) + 24, 58 − 24, 51( ) }²
= 0,00008 cm
∆𝐵 = 0, 05 + 0, 00008( ) ~ 0, 05𝑐𝑚
Média Total da Base: (24,51 +/- 0,05) cm.
Logo após fizemos os cálculos da altura e obtivemos:
Média da Altura: = 27,98 cm(27,98+27,99+27,01+27,96+28,00)5
Incerteza da média da altura:
1 
5(5−1) * 
𝑖=1
5
∑ { (27, 98 − 27, 98) + (27, 99 − 27, 98) + (27, 01 − 27, 98) + (27, 96 − 27, 98) + (28, 00 − 27, 98) }²
= 0,00008 cm
∆ℎ = 0, 05 + 0, 00008( ) ~ 0, 05𝑐𝑚
Média Total da Altura: (27,98 +/- 0,05) cm.
em seguida medimos a espessura da peça, obtendo:
Média da Espessura: = 1,48 cm(1,48+1,49+1,50+1,45+1,51)5
Incerteza da média da espessura:
1
5(5−1) * 
𝑖=1
5
∑ { (1, 48 − 1, 48) + (1, 49 − 1, 48) + (1, 50 − 1, 48) + (1, 45 − 1, 48) + (1, 51 − 1, 48) }²
= 0,000045 cm
∆𝐸 = 0, 05 + 0, 000045( ) ~ 0, 05𝑐𝑚 
Média Total da Espessura: (1,48 +/- 0,05) cm.
Peso Total (360,266 +/- 0,001) g.
∆𝑝 = 0, 001𝑔
Volume: = 507,48 cm³(24,51*27,98)2 * (1, 48) 
Incerteza do Volume:
) ² =(∆𝑉 27,98( ) 2 * 1, 48( ){ }
2
* 0, 05( )2 + 24,51( )2 * 1, 48( ){ }
2
* 0, 05( )2 + 24,51*27,98( )2{ }
2
* 0, 05( )2 ~
1,40
Volume Total: (507,48 +/- 1,40) cm³.
Efetuamos a conversão dos valores e obtivemos:
Conversão peso: (366,266 +/- 0,001) g = (0,360270 +/- ) kg.10−6
Conversão Volume: (507,48 +/- 1,40) cm³ = +/- 1,4* ) m³0, 00050748 10−6
também foi feito o cálculo da densidade, obtendo-se os respectivos valores:
Densidade: = 709,92 kg/m³(0,360270 )(0,00050748 )
Incerteza da Densidade:
0,360270( }² *(1,4* ) 1,65∆𝐷( )2 = 10,00050748( )
2
* 10−6( )
2
+ { 1(0,00050748)² ) 10
−4 ~
Densidade Total: (709,92 +/- 1,65) kg/m 3.
Após todos os cálculos foi possível gerar uma tabela com os resultados finais
tabela 3: valores finais da peça triangular
Média Total da Base 24,51 ( +/- 0,05) cm.
Média Total da Altura 27,98 (+/- 0,05) cm.
peso 0,360270 (+/- ) kg.10−6
Volume Total 507,48 (+/- 1,40) cm³.
Densidade Total (709,92 +/- 1,65) kg/m³.
4.2 Cilindro liso oco
na tabela abaixo é possível observar os resultados que se deu devido a cada medição
considerando o erro instrumental do paquímetro= 0,025 mm e o erro instrumental da Balança= 0,0001g
tabela 4: medições do cilindro
Raio Externo(mm) Raio interno(mm) Altura(mm)
20,250 (+/- 0,025) 16,850(+/- 0,025) 75,000 (+/- 0,025)
20,260 (+/- 0,025) 16,840 (+/- 0,025) 75,100 (+/- 0,025)
20,240 (+/- 0,025) 16,830 (+/- 0,025) 75,050 (+/- 0,025)
20,280 (+/- 0,025) 16,880 (+/- 0,025) 75,990 (+/- 0,025)
20,230 (+/- 0,025) 16,870 (+/- 0,025) 74,980 (+/- 0,025)
tabela 5: peso do cilindro
Peso(g) 77,4484 (+/- 0,0001)
Calculamos a média e a incerteza do raio externo e do raio interno estimando os seguintes valores
Média do raio externo: = 20,252mm(20,250+20,260+20,240+20,280+20,230)5
Incerteza do raio externo
1
5(5−1) * 
𝑖=1
5
∑ { (20, 250 − 20, 252) + (20, 260 − 20, 252) + (20, 240 − 20, 252) + (20, 280 − 20, 252) + (20, 230
} ² = 0mm
∆𝑅 = 0, 025 + 0 ( ) = 0, 025 𝑚𝑚
Média Total do raio externo: (20,252 +/- 0,025) mm.
Média do raio interno: (16,850+16,840+16,830+16,880+16.870)5 = 16, 854𝑚𝑚
Incerteza do raio interno:
1
5(5−1) * 
𝑖=1
5
∑ { ( 16, 850 − 16, 854) + (16, 840 − 16, 854) + (16, 830 − 16, 854) + (16, 880 − 16, 854) + (16. 870
= 0mm
= 0,025mm∆𝑟 = (0, 025 + 0)
Média Total do raio interno: (16,854 +/- 0,025) mm.
O cálculo da altura, peso, volume e densidade foram calculados da seguinte forma:
Média da Altura: = 75,024mm(75,000+75,100+75,050+74,990+74,980)5
Incerteza da Altura:
1
5(5−1) * 
𝑖=1
5
∑ { (75, 000 − 75, 024) + (75, 100 − 75, 024) + (75, 050 − 75, 024) + (74, 990 − 75, 024) + (74, 980
}² 0,047045mm=
0,072mm∆ℎ = 0, 025 + 0, 047045( ) ~
Média Total da altura: ((75,024 +/- 0,072) mm.
Peso Total: (77,4484 +/- 0,0001) g
.∆𝑝 = 0, 0001𝑔
= 3,14π
Volume do cilindro de Raio externo: 3,14 *(20,252) ²*(75,024) = 96,620mm³
Incerteza do Volume do cilindro de Raio externo:
∆𝑉𝑅( )2 = 2 * 3, 14 * 20, 252 * 75, 024( ){ }2 * 0, 025( )2 + 3, 14 * 20, 252( )2{ }
2
* 0, 072( )2~ 238, 827𝑚𝑚 
Volume total do raio externo do cilindro : (96,620 +/- 238,827) mm³
Volume do cilindro de raio interno 3,14*(16,854) ²*(75,024) = 66,917mm³
∆𝑉𝑟( )2 = 2 * 3, 14 * 16, 854 * 75, 024( ){ }2 * 0, 025( )2 + 3, 14 * 16, 854( )2{ }
2
 * (0 * 0, 072( )2~ 198, 716𝑚𝑚 
Volume do de raio interno do cilindro: (66,917 +/- 198,716) mm³.
Volume total da peça (96,620 – 66,716) +/- 238,827) ²+( 198,716) ² = (29,703 +/- 310,690)mm³2 (
Conversão peso: (77,4484 +/- 0,0001) g = (0,744484 +/- 1 * 10−7)𝑘𝑔
Conversão volume: (29,703 +/- 310,690) mm³ = (0,000000002 +/- 3,1069*10−4)𝑚³
Densidade = (0,744484 )(0,000000002) = 3, 725 𝑘𝑔/𝑚³
Incerteza da densidade:
(3,1069*∆𝐷( )2 = 10,000000002( )
2
* 1 * 10−7( )
2
+ 0, 744484 * 1
0,000000002( )2( )( )
2
* 10−4)²~ 18, 613
Densidade Total (3,725 +/- 18,613) kg/m³.
Após todos os cálculos os resultados finais foram expressos na tabela 6
tabela 6: resultados finais da medição do cilindro
Média Total do raio externo 20,252 (+/- 0,025) mm.
Média Total do raio interno: 16,854 (+/- 0,025) mm.
Média Total da altura 75,024 (+/- 0,072) mm.
Peso Total 77,4484 ( +/- 0,0001) g
Volume total do raio externo 96,620( +/- 238,827) mm³
Volume total do de raio interno 66,917 (+/- 198,716) mm³.
Volume total da peça 29,703( +/- 310,690)mm³
Densidade Total 3,725 ( +/- 18,613) kg/m³.
4.3 Cilindro de metal duro
A peça a seguir possui um "desnível" então calculamos cada parte separadamente
imagem 1: cilindro usado neste experimento
Na tabela abaixo estão expressos os valores encontrados
Tabela 7: medições da peça de metal duro
Raio Maior(mm) Raio Menor(mm) Altura(mm)
17,500 (+/- 0,05) 15,800 (+/- 0,05) 45,510 (+/- 0,05)
17,490 (+/- 0,05) 15,810 (+/- 0,05) 45,520 (+/- 0,05)
17,520 (+/- 0,05) 15,830 (+/- 0,05) 45,500(+/- 0,05)
17,510 (+/- 0,05) 15,790 (+/- 0,05) 45,590 (+/- 0,05)
17,480 (+/- 0,05) 15,820 (+/- 0,05) 45,480 (+/- 0,05)
Tabela 8: peso da peça de metal duro
Peso(g)
87,3056 (+/- 0,05)
Em seguida executaremos o cálculo da média e a incerteza do Raio Maior e do Raio Menor e obtivemos
os seguintes resultados:
Média do Raio Maior = 17,500mm(17,500+17,490+17,520+17,510+17,480)5 = 
Incerteza da média do Raio Maior
1
5(5−1) * 
𝑖=1
5
∑ { (17, 500 − 17, 500) + (17, 490 − 17, 500) + (17, 520 − 17, 500) + (17, 510 − 17, 500) + (17, 480
0mm
= 0,05mm∆𝑅 = ( 0, 05 + 0 )
Média Total do Raio Maior: ( 17,500 +/- 0,05) mm.
Média do Raio Menor = = 15,810mm(15,800+15,810+15,830+15,790+15,820)5 
Incerteza do Raio Menor:
1
5(5−1) * 
𝑖=1
5
∑ { ( 15, 800 − 15, 810) + (15, 810 − 15, 810) + (15, 830 − 15, 810) + (15, 790 − 15, 810) + (15, 820
= 0mm
= 0,05mm∆𝑟 = ( 0, 05 + 0 ) 
Média Total do raio menor: ( 15,810 +/- 0,05) mm.
Média da altura: 45,500mm(45,510+45,520+45,500+45,590+45,480)5 = 
Incerteza da altura:
1
5(5−1) *
𝑖=1
5
∑ { (45, 510 − 45, 500) + (45, 520 − 45, 500) + (45, 500 − 45, 500) + (45, 590 − 45, 500) + (45, 480 − 45, 500
= 0mm
= 0,05mm∆ℎ = ( 0, 05 + 0)
Média Total da altura: ( 45,500 +/- 0,05 )mm
O cálculo do peso, volume e densidade foram calculados da seguinte forma:
Peso = (87,3056 +/- 0,05)
g∆𝑝 = 0, 05 
π = 3, 14
Volume do cilindro menor: 3,14𝑥 (15,810) ²𝑥17,200 = 13,500mm³
Incerteza do volume de cilindro menor:
) ² = {(2𝑥3,14𝑥(15,810𝑥17,200)} ²𝑥(0,05)² + (3,14𝑥15,81)²𝑥(0,05)² = 7,297(∆𝑉𝑟
Volume Total do cilindro do raio menor: (13,500 +/- 7,297) mm³
Volume do cilindro maior: 3,14𝑥(17,500) ²𝑥(45,500) = 43,754mm³
Incerteza do volume do cilindro maior:
∆𝑉𝑅( )2 = {(2𝑥3, 14 17, 500𝑥45, 500( )2𝑥 0, 05( )2 + 17, 500𝑥3, 14( )2 0, 05( )2 = 62, 519
Volume Total do cilindro do raio maior: (43,754 +/- 62,519) mm³
Volume total da peça: (47,754 – 13,500) +/- = (30,254 +/- 62,519) mm³(7, 297)² + 62, 519( )2 
densidade = = 2,886 kg/m³(87,3056) 30,254
Incerteza da densidade:
((∆𝐷)² = 1 30,254 )² * 0, 05( )
2 + (87, 3056 * 1
30,254( )2( )² * (62, 519)2 = 35. 675
Densidade total: ( 2,886 +/- 35,675 )kg/m³
tabela 9: resultados finais da medição do cilindro de metal duro
Média Total do Raio Maior 17,500( +/- 0,05)mm
Média Total do Raio Menor 15,810( +/- 0,05)mm
Média Total da Altura 45,590 ( +/- 0,05)mm
Volume cilindro Maior 43,754 (+/- 62,519)mm³
Volume cilindro Menor 13,500 (+/- 7,297)mm³
Volume Total da Peça 30,254 (+/- 62,519)mm³
Densidade Total 2,886 (+/- 35,675)kg/m³
5. CONCLUSÕES
O objetivo desta prática foi alcançado com louvor, os resultados foram satisfatórios apresentando uma
variação muito pequena entre as medições, ressaltando que o objetivo de ensinar o uso correto dos
equipamentos para as medições foi atingido. Também foram atingidos os objetivos que dizem
respeito aos cálculos com algarismos significativos e a determinação de incertezas e seus cálculos
de propagação.
6. REFERÊNCIAS
“Teoria dos erros” Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física da Terra e
do Meio Ambiente, 2013. Consultado em 12\09\2022 as 10:13 disponivel na internet em
http://www2.fis.ufba.br/dftma/TeoriaDeErros2013v3.pdf
"Média aritmética simples" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022.
Consultado em 11/09/2022 às 21:34. Disponível na Internet em
https://www.somatematica.com.br/fundam/medias.php
http://www2.fis.ufba.br/dftma/TeoriaDeErros2013v3.pdf
https://www.somatematica.com.br/fundam/medias.php