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Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 4 
CÁLCULO INTEGRAL ........................................................................................................... 6 
INTEGRAL INDEFINIDA ....................................................................................................... 6 
Propriedades da integral indefinida ........................................................................................... 8 
Integração directa ...................................................................................................................... 8 
Exemplos: ............................................................................................................................... 10 
Regra de substituição ou mudança de variável ......................................................................... 13 
Substituições trigonométricas .................................................................................................. 16 
Alguns exemplos de aplicação de substituições trigonométricas .............................................. 18 
Integração por partes ............................................................................................................... 21 
Integrais elementares que contém trinómio quadrado............................................................... 24 
Integração fracções racionais impróprias ou irregular .............................................................. 35 
Integração de funções racionais pelo método de Ostrogradisk .................................................. 37 
Determinação dos coeficientes de Taylor ................................................................................ 40 
1° Método- coeficientes de Taylor ........................................................................................... 40 
Integração de funções racionais de seno e cosseno ................................................................... 44 
Integração por substituições de Euler ...................................................................................... 45 
Integrais dos binômios diferenciais ......................................................................................... 54 
Integração de funções trigonométricas ..................................................................................... 57 
Aplicação de integrais indefinidas na economia ....................................................................... 65 
Exercícios resolvidos .............................................................................................................. 69 
Exercícios propostos da unidade 1 ......................................................................................... 103 
2. INTEGRAIS DEFINIDAS A RIEMAN ...................................................................................... 113 
2.1. Definição e significado geométrico dos integrais definidos ............................................. 113 
Valor médio .......................................................................................................................... 116 
Teorema fundamental do cálculo: ......................................................................................... 118 
Métodos de integração para integrais definidas .................................................................... 120 
Definição ou Teorema de Substituição na integral definida ................................................... 120 
Integração por partes na integral definida............................................................................. 121 
Áreas de figuras planas ......................................................................................................... 122 
Área entre duas curvas ......................................................................................................... 126 
Volume de um sólido de revolução ....................................................................................... 132 
Volume por anéis cilíndricos ................................................................................................. 134 
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Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Outras particularidades a ter em conta no cálculo de volumes de sólidos de revolução......... 136 
COMPRIMENTO DE UMA CURVA PLANA ............................................................................... 137 
Curva em coordenada cartesiana .......................................................................................... 137 
Área duma superfície de revolução ....................................................................................... 140 
O Trabalho ............................................................................................................................ 144 
Coordenadas do centro de gravidade .................................................................................... 148 
A integral definida para cálculo do Centróide ........................................................................ 148 
Integrais impróprios .............................................................................................................. 155 
Integração imprópria com limites infinitos de integração ...................................................... 156 
Integração imprópria com limites finitos mas com pontos de descontinuidade ..................... 156 
Aplicação de integrais impróprias na economia ..................................................................... 159 
Integral imprópria e suas aplicações...................................................................................... 159 
Integrais impróprias - exercícios resolvidos ........................................................................... 161 
Exercícios resolvidos de integrais definidos ........................................................................... 162 
Exercícios propostos da unidade 2 ........................................................................................ 173 
Aplicação de integrais definidas na economia ....................................................................... 183 
Fluxo de Renda contínuo ....................................................................................................... 183 
Valor Presente de um Fluxo de Renda Contínuo .................................................................... 184 
Valor Futuro de um Fluxo de Renda Contínuo ....................................................................... 184 
Excedente do Consumidor e do Produtor .............................................................................. 190 
Excedente do consumidor ..................................................................................................... 191 
Excedente do Produtor ......................................................................................................... 193 
Exercícios resolvidos ............................................................................................................. 194 
Aplicação do Valor Médio de uma função na economia........................................................ 197 
Séries Geométricas ............................................................................................................... 200 
Séries Aritméticas ................................................................................................................. 201 
Séries de Mengoli ................................................................................................................. 202 
Critério Geral de Convergência de uma Série ........................................................................ 204 
Séries-p ou séries de Dirichlet ..............................................................................................205 
Critério de comparação ......................................................................................................... 205 
Comparação com uma Integral ............................................................................................. 206 
Séries alternadas................................................................................................................... 209 
Séries de potências ............................................................................................................... 211 
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Raio de Convergência............................................................................................................ 217 
Exercícios resolvidos sobre séries numéricas ......................................................................... 218 
Problemas resolvidos ............................................................................................................ 229 
Exercícios propostos da unidade 3 ........................................................................................ 231 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................................................................. 236 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
Esta sebenta é resultado de alguns anos de experiência, na leccionação da cadeira de 
Cálculo Integral na universidade pedagógica. 
Como é do conhecimento de todos, através dos séculos a Matemática tem sido a mais 
poderosa e efectiva ferramenta para a compreensão das leis que regem a Natureza e o 
Universo. 
Os tópicos que apresentamos nesta sebenta originaram-se, inicialmente, dos problemas 
práticos que surgiram no dia-a-dia e que continuaram impulsionados pela curiosidade 
humana de entender e explicar os fenómenos que regem a Natureza. 
Historicamente, o Cálculo Integral em R estuda basicamente os problemas de 
integração, antigamente chamados de quadraturas. Como exemplos de problemas 
relacionados à integração destacam-se o cálculo de áreas de regiões delimitadas por 
curvas, do volume de sólidos e do trabalho realizado por uma partícula. 
Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvido no século XVIII por 
Isaac Newton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproximadamente na 
mesma época, Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente de Newton, também 
desenvolveu considerável parte do assunto Portanto, o cálculo diferencial e integral foi 
criado como uma só teoria de forma independente por Newton e Leibniz por existe uma 
total correspondência entre a derivada e a integral. O processo de derivação permite a 
partir de uma função encontrar outras novas funções e o cálculo integral permite, a 
partir da derivada de uma função encontrar todas as funções que tem esta derivada. 
Devemos a Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entre derivada e 
integral por meio de um teorema fundamental. O principal objectivo desta sebenta é 
apresentar os primeiros passos do Cálculo Integral em R com simplicidade, através de 
exemplos, exercícios resolvidos e exercícios propostos com respectivas soluções, sem 
no entanto, descuidar o aspecto formal da cadeira de cálculo integral, dando ênfase `a 
interpretação geométrica e intuitiva dos conteúdos. 
Esta sebenta inclui quase todos os conteúdos leccionados na cadeira de cálculo integral, 
assim como exemplos aplicados, problemas ligados à economia, e outros aspectos 
práticos da vida. 
 Nós acreditamos que desta maneira poderemos estar contribuindo de alguma forma 
para a compreensão de conteúdos básicos que tem sido leccionados nesta cadeira, 
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qualquer recomendação ou advertência será humildemente acolhida pelos autores desta 
sebenta, pois, tudo o que se pretende, é unirmo –nos para “o bem da ciência”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
CÁLCULO INTEGRAL 
INTEGRAL INDEFINIDA 
Até agora, tratamos do “problema das tangentes”. Isto é, Dada uma curva, achar o 
coeficiente angular de sua tangente ou, de modo equivalente, dada uma função, achar 
sua derivada. 
Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e física dependem 
do processo contrário à derivação ou “antiderivação”. Este é, às vezes, chamado 
problema inverso das tangentes: dada a derivada de uma função, achar a própria função. 
Pois, Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida e o objectivo é 
encontrar a própria função. Por exemplo, se a taxa de crescimento de uma determinada 
população é conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da população em algum 
instante futuro; conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se querer 
calcular a sua posição em um momento qualquer; conhecendo o índice de inflação, 
deseja-se estimar os preços, e assim por diante. O processo de obter uma função a partir 
de sua derivada é chamado de antiderivação ou integração indefinida. 
Primitiva ou Antiderivada: Uma função F para a qual F ’(x) = f(x) para qualquer x no 
domínio de f é chamada de primitiva ou antiderivada de f. 
 
 Por exemplo, se a derivada de uma função é 2x, sabemos que a função poderia ser 
( ) 2xxf = porque ( ) xxf 2=′ . Mas a função também poderia ser ( ) 42 += xxf , 
pois ( ) xxf 2=′ . 
É claro que qualquer função da forma ( ) Cxxf += 2 , onde C é uma constante 
arbitrária, terá ( ) xxf 2=′ como sua derivada. Assim, dizemos que a primitiva geral de 
( ) xxf 2=′ é ( ) Cxxf += 2 , onde C é uma constante arbitrária. 
Das primitivas de uma mesma função em um intervalo diferem de uma constante. 
Teorema: Se F(x) é uma primitiva de f(x) em um intervalo ℜ⊂I , então qualquer 
outra primitiva G(x) de f(x) em ℜ⊂I é da forma CxFxG += )()( , onde C é uma 
constante arbitraria. 
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Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Definição: Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + c é chamada integral 
indefinida da função f(x) e é denotada por: 
 ( ) ( ) CxFdxxf +=∫ 
 O símbolo ∫ é chamado sinal de integração, f(x) função integrando e f(x)dx 
integrando. O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é 
chamado integração. O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a 
variável de integração. 
Portanto no caso anterior, podemos escrever dxx∫ 2 para indicar a primitiva geral da 
função 2x. A expressão é lida como “ a integral de 2x em relação a x”. Nesse caso, 2x é 
chamado de integrando. O sinal, ∫ , indica o processo de integração e o dx indica que a 
integral é tomada em relação a x. Como a primitiva de 2x é Cx +2 , podemos escrever: 
Cxxdx +=∫ 22 
 Duma forma geral, da definição da integral indefinida, decorre que: 
(i) ( ) ( ) ( ) ( )xfxFCxFdxxf =′⇔+=∫ 
(ii) ( )∫ dxxf representa uma família de funções (a família de todas as primitivas da 
função integrando.) 
Geometricamente, pode-se considerar a integral indefinida como um conjunto de curvas 
que passa de uma a outra efectuando uma translação no sentido positivo ou negativo do 
eixo oy. 
 
Exemplo: Cxdxxexdxx +== ∫∫ 3232 3
1
3
1 
Estão ambas correctas, mas a primeira dá uma função enquanto a segunda dá todas as 
possíveis funções ou família de funções. A constante C na segunda fórmula chama-se 
constante de integração e é frequentemente referida como uma constante arbitrária. 
 
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Ex 1: Se ( ) 23xxf =′ , qualé ( )xf ? 
Cxdxx +=∫ 323 
Ex 2: Se ( ) 3xxf =′ , qual é ( )xf ? 
Cxdxx +=∫ 4
4
3 
Propriedades da integral indefinida 
i. ( )( ) ( )xfdxxfd =∫ 
ii. ( ) ( )∫ ∫ ∈= IRkdxxfkdxxkf ; 
iii. ( ) ( )∫ += CxFxdF 
iv. ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf 
 
Integração directa 
São também conhecidas como integrais imediatas, Baseiam-se na aplicação imediata da 
tabela de integrais, consiste fundamentalmente em imaginar a função derivada que 
resulte no integrando. E a tabela abaixo nos ajuda a fazer estes procedimentos. 
Tabela de Integrais: 
1;
1
1
−≠+
+
=
+
∫ ncomCn
xdxx
n
n 
 
 
Cxdx +=∫ 
∫ += Cedxe xx ∫ += cxx
dx ln
 
( )∫ ≠+=+
0122 aca
xarctg
a
dx
ax
 ∫ ++
−
=
−
c
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
1
22 
∫ +−
+
=
−
c
xa
xa
a
dx
xa
ln
2
1
22 ∫ +++
+
cxdx ax
ax
22
22
ln 
∫ +=
−
c
a
xarcsendx
xa 22
 ∫ += cadx
aa
x
x
ln
 
∫ +−= cxdxsenx cos ∫ += csenxxdxcos 
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∫ += ctgxx
dx
cos2
 ∫ +−= Cgx
dx
senx
cot2 
∫ += cxsenhxdx cosh CxecxCxtg
senx
dx
+−=+=∫ coscosln2ln 
∫ += Csenhxxdxcosh ∫ += Cechxx
dx
senh
cos2 
∫ += Ctghxx
dx
cosh2
 CxtgxCxtg
x
dx
++=+




 −=∫ secln42lncos
π 
∫ += Ctgxxdx2sec ∫ +−= Cgxxdxec cotcos 2 
∫ += Cxtgxdxx sec.sec ∫ +−= Cecxgxdxecx coscot.cos 
Ctghxxdxh +=∫ 2sec ∫ +−= Cxxdxech cothcos 2 
∫ +−= Cechxghxdxechx coscot.cos ∫ +−= Chxtghxdxhx sec.sec 
 
Fórmulas de recorrência 
∫ ∫ −−
−+−= xdxsen
n
nxxsen
n
xdxsen nnn 21 1cos.1 
∫ ∫ −−
−+= xdx
n
nxsenx
n
xdx nnn 21 cos1cos1cos 
∫ ∫ −− −−= xdxtgxtgnxdxtg
nnn 21
1
1 
∫ ∫ −− −−−= xdxgxgnxdxg
nnn 21 cotcot
1
1cot 
∫ ∫ −− −
−+
−
= xdx
n
nxtgx
n
xdx nnn 22 sec
1
2sec
1
1sec 
∫ ∫ −− −
−+
−
−= xdxec
n
ngxxec
n
xdxec nnn 22 cos
1
2cotcos
1
1cos 
( )
( )
( ) ( ) ( )∫ ∫ −
−
+−
−
+
−
+
=
+
12222
122
22 12
32
12 n
n
n au
dx
na
n
na
axx
ax
dx 
 
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Exemplos: 
 
 
1. Achar as integrais 
a) CxCxdxx +=+
+
=
+
∫ 514
514
4 
b) CxCxdxx +=+
+
=
+
∫ 514
514
5 
c) ∫∫ +=+=+== CxCxC
xdxxdxx 3 44
33
4
3
1
3
4
3
4
3
3
4
 
d) ∫ ∫ +−=+−== −− CxCxdxxdxx
11 12
2
 
e) ( )∫ =++ dxxx 13 ∫ ∫ ∫ ∫ +++=++=++ cxxxdxxdxdxxdxxx 2433 2
1
4
11)1( 
f) ∫ ∫ ∫ ++=+=+ cxedxxdxedxxe
xxx ln1)1(
 
g) ∫ ∫ +=+== cxc
xdxxdxx 3
3
22
3
2
3
222 
h) ∫ ∫ ∫ ∫ +++=+−=+− −− cxxedxxdxxdxedxxxe
xxx ln315135)35( 22 
 i) ( )∫ − dxx
22 4 
( ) ( )∫∫ ++−=+−=− Cx
xxdxxxdxx 16
3
8
5
1684
35
2422 
 
11 
 
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j) CxCxCxdxxdxx +=+=+== ∫∫ 32
32
3
2
1
3
2
3
2
2
3
 
 
k) =+∫ dxxx )63( 24 dxxdxx ∫∫ + 24 63 = cxx ++ 35 25
3
 
 
 
2.Calcule a seguinte integral ∫
+ 42x
dx
 
 
∫ +++=
+
Cauu
au
du 22
22
ln
 
Então teremos: 
 
Cxx
x
dx
+++=
+
∫ 4ln4
2
2
 
3. Calcule ∫ + xx
dx
22
 
 
∫ ++=+ Cbau
u
bbauu
du ln1
)(
 
C
x
x
xx
dx
xx
dx
+
+
=
+
=
+ ∫∫ 2ln2
1
)2(22
 
 
4. Calcule ∫ − 29 x
dx
 
 
C
ua
ua
aua
du
+
−
+
=
−∫ ln2
1
22 
C
x
x
x
dx
x
dx
+
−
+
⋅
=
−
=
−∫ ∫ 3
3ln
32
1
39 222
 
5. Calcule ∫ + dxx )12ln( 
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∫ +−= Cuuudu )1(lnln 
6. Calcule dxx∫ + 49 2 
 
Cauuaauuduau +



 ++++=+∫ 2222222 ln2
1
 
Cxxxxxdxx +



 ++++=+=+ ∫∫ 493ln44932
12)3(49 22222 
 
 
7. Calcule ∫
− 294
5
xx
dx 
C
u
uaa
auau
du
+
−+
=
−
∫
22
22
ln1 
( )
C
x
x
xx
dx
xx
dx
+
−+
−=
−
=
−
∫ ∫ 3
342ln
2
5
32
5
94
5 2
222
 
 
Outros exemplos integração usando tabela 
a) ∫ ∫ +== cxsenxdxxdx 55
15cos5
5
15cos 
b) ∫ += cdx ee xx 33 3
1 
c) ( ) cxdx xx ++=+∫ 399
3
2 
d) ∫ ∫ +== cdxxdxx x 2
5
3
1
3
5
2 
e) ∫ += cxtgx 33
13sec2 
f) ∫ ∫ +=+=+ c
xarctg
x
dx
x
dx
33
1
39 222
 
13 
 
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g) ∫ ++=+ cxdxx 3ln3
1 
h) ∫ ∫ +−== cxxdxsenxdxsen 3cos3
133
3
13 
i) ( ) Cxxdxxdxdxx ++=+=+ ∫ ∫∫ 2
3
3
2999 
 
j) ∫ +−= cxgxec 4cot4
14cos 2 
 
k) ∫ ++=+ Cxdxx 32ln2
1
32
1 
 
l) ∫ ∫ ∫ +





=






−
=






−
=
−
Cxarcsen
x
dx
x
dx
x
dx
22
22
1
8
1
22
1.8
8 22
 
 
m) ∫∫ +++=




+
+=
+
+ Cxxdx
x
dx
x
x 12ln
12
21
12
32 
 
 Regra de substituição ou mudança de variável 
O método de substituição é uma das técnicas de integração usada para a resolução de 
algumas integrais que não apresentam funções elementares, tornando-se inviável a 
utilização directa das três propriedades e das fórmulas apresentadas na tabela; por isso 
procura-se um artifício de modo a coduzirmo – nos em algumas das primitivas 
imediatas, as quais devem ser do nosso total domínio. 
A técnica apresentada é muito simples chamada de integração por substituição que leva 
a uma expressão que lembra a regra da cadeia do cálculo das derivadas. O importante é 
verificar, se a integral pode ser colocada em função de certa expressão multiplicada pela 
derivada da mesma, eventualmente a menos de um factor multiplicativo constante. 
Substitui-se, então, a expressão em questão por uma nova variável. Seja ( )xf escrita na 
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forma ( ) '.uug , em que ( )xuu = , logo uma primitiva de ( )xf será obtida tomando-se 
uma primitiva de ( )ug e substituindo u por ( )xu . 
 Se f é uma função que se apresenta na forma ( ) )()()( ' xuxugxf = , ou seja, se na 
expressão de f aparecer uma função e sua derivada, então a sua integral em relação a x 
pode ser calculada do seguinte modo: ( )∫ ∫ ∫== duugdxxuxugdxxf )()()()( ' , onde 
dxxudu )('= . 
Nota: A escolha da variável a ser substituída deve ser adequada a cada caso, de 
maneiras a facilitar a Integração. 
Exemplos: 
Exemplos: 
1. Calcule ( )∫ ⋅+ xdxx 24
52 
 
Seja 
duxdx
xdxdu
xu
=
=
+=
2
2
42
 ( ) ( )∫∫ +
+
=+==⋅+ CxCuduuxdxx
6
4
6
24
626
552 
 
2. Calcule dxxx 23 5.4∫ − 
Seja: 
dxxdu
dxxdu
xu
2
2
3
3
3
4
=
=
−=
 
( ) CxCuduuduudxxxdxxx +−=+===−=− ∫∫ ∫∫
33
2
3
2
1
2323 4
9
10
2
33
5
3
5
3
5.455.4
 
3. Calcule ( ) ( )∫ −− dxxxx 142
22 
15 
 
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Seja: ( ) ( ) ( )dxxdudxxdudxxduxxu 1
4
144442 2 −=⇒−=⇔−=⇔−= 
teremos: 
( ) ( ) ( ) CxxCuCuduudxxxx +−=+=+
+
==−−
+
∫∫
323
12
222 42
12
1
12
1
12
.
4
1
4
1142 
 
4. Calcule 
( )∫ −
− dx
xx
x
33
2
3
1 
Seja: ( ) ( ) ( )dxxdudxxdudxxduxxu 1
3
13333 2223 −=⇒−=⇔−=⇔−= 
( ) ( )∫ ∫ ∫
+
−
−=+
−
=+
+−
===
−
− −+−− C
xx
CuCuduu
u
dudx
xx
x
23
213
3
333
2
36
1
2
.
3
1
13
.
3
1
3
1
3
1
3
1 
5. Calcule ( )∫ dxx
x 2ln 
Seja: 
dx
x
du
xu
1
ln
=
=
 Então teremos: ( ) ( ) CxCuduudx
x
x
+=+==∫ ∫ 3
3
2
2
ln
3
1
3
ln 
6. Calcule ( )∫ + dxxx
932 26 
 Seja: 
dxxdudxxdu
xu
22
3
3
3
2
=⇒=
+=
 
( ) ( ) ( ) CxCuduudxxxdxxx ++=+==+=+ ∫∫∫ 5
2
10
2
3
62626
10310
9932932 
 
7. Calcule ∫ + dxe x 328 
 
∫ ∫ ∫ +=+==⋅=
=⇒=
+=
++ cecedueduedxe
dudx
dx
du
xu
xuuux 3232 444
2
88
2
2
32
 
 
16 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
8. ( )∫ =⇔=⇒=++ 331:1
2231532 dtdxxdtdxxtxsejadxxx 
 
 
9. ( ) ( ) ( ) dtdxxtxxsejadxxxsenx =+⇒=+++∫ 31035:35620 22 
( ) ( ) ( )∫∫ ++−=+−==++ cxxctdtsentdxxxsenx 35cos2cos22353102 22 
10. ∫ ∫ +++
++
=
+++
++ dx
xxx
xxdx
xxx
xx
10105
243
10105
6123
45
34
45
34
 
Seja 
1020510105 3445 ++=⇒+++= xxduxxxu
( ) dudxxxdudxxx
5
1)24(245 3434 =++⇔=++ voltando ao integral tem: 
∫ ∫ +== Cuu
du
u
du
ln
5
3
5
35
1
3Voltando a exprimir o resultado em termos de x teremos: 
( ) cxxx ++++= 10105ln
5
3 45
 
 
 
Substituições trigonométricas 
Este método é usado quando a função a integrar envolve alguns dos seguinte 
tipos de radicais: 222222 ;; axaxxa +−− ou a elas redutíveis. Para calcular 
a integral tem de se recorrer a substituições trigonométricas recomendadas para cada 
caso: 
• Se a integral tem o radical redutível a forma 22 xa − , geralmente se faz 
θθθθθ coslog;cos 22222 asenaaxaodadxsenax =−=−=⇒= 
Esta substituição tem fundamentos no triângulo rectângulo, se 22 xa − é um dos 
lados do triângulo rectângulo, logicamente tem que ser um cateto, pois a é a hipotenusa 
e x é outro cateto. Observe o triângulo abaixo: 
 
( )
cxcdtdt ttt ++=+==∫ ∫ 48
1
16.33
1
3
16316
1515
 
17 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
 
 
 
 
 Do triângulo é fácil ver que θθ asenx
a
xsen =⇔= donde 
a
xarcsen=θ 
 
• Se a integral tem o radical redutível a forma 22 ax − , geralmente se faz: 
( ) θθθθθθθ tgaaaaaxodtgadxax =−=−=−=⇒= 1secseclog;secsec 2222222
 
Assim como o referimos anteriormente, esta substituição tem fundamentos no triângulo 
rectângulo, se 22 ax − é um dos lados do triângulo rectângulo, logicamente tem que 
ser um cateto, pois x é a hipotenusa e a é outro cateto. Observe o triângulo abaixo: 
 
 
 
 
 
Do triângulo é fácil ver que θθ secsec ax
a
x
=⇔= donde 
a
xarcsec=θ 
 
• Se a integral tem o radical redutível a forma 22 ax + , geralmente se faz: 
( ) θθθθθθ tgatgaatgaaxodadxtgax =+=+=+=⇒= 1log;sec 22222222 
Assim como os dois casos anteriores, esta substituição tem fundamentos no triângulo 
rectângulo, se 22 ax + é um dos lados do triângulo rectângulo, logicamente tem 
que ser a hipotesusa , pois x é catecto e a é outro catecto. Observe o triângulo abaixo: 
 
18 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
 
Do triângulo é fácil ver que θθ atgx
a
xtg =⇔= donde 
a
xarctg=θ 
Alguns exemplos de aplicação de substituições trigonométricas 
1. Calcule por substituição trigonométrica as seguintes integrais: 
a) ∫
− 2
2
1 x
dxx 
b) ∫
+ dx
x
x 12 
c) ∫
− 42
2
x
dxx 
Solução: 
a) ∫
− 2
2
1 x
dxx 
Nota se que a=1, 
Montando o respectivo triângulo rectângulo temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a substituição: θθθθ cos1cos 2 =−=→= xeddxsenx então 
teremos: 
1 
x 
21 x− 
θ 
19 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
∫∫∫ ==
−
θθ
θ
θθθ dsendsen
x
dxx 22
2
2
cos
cos.
1
 Usando a identidade trigonométrica 
( )θθ 2cos1
2
12 −=sen teremos: 
 
( ) csenddsen +




 −=−= ∫∫ θθθθθθ 22
1
2
12cos1
2
12 da identidade 
θθθ cos22 sensen = vem que: 
( ) csencsenddsen +−=+




 −=−= ∫∫ θθ
θθθθθθθ cos
2
1
2
2
2
1
2
12cos1
2
12 , da 
substituição θsenx = vem : arcsenx=θ , por outro lado, do triângulo 
rectângulo usamos na substituição trigonométrica é fácil ver que: 
xxsen ==
1
θ e 2
2
1
1
1cos xx −=−=θ , donde a solução passará a ser: 
 
cxxarcsenxcsencsendx
x
x
+
−
−=+−=+




 −=
−
∫ 2
1
2
cos
2
1
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
θθθθθ
 
Ou seja: cxxarcsenx
x
dxx
+
−
−=
−
∫ 2
1
21
2
2
2
 
b) ∫
+ dx
x
x 12 
Nota-se que a=1, idealizando o triângulo rectângulo para a respectiva 
substituição temos: 
 
 
 
 
 
Fazendo a substituição: θθθθ sec1sec 22 =+=→= xeddxtgx então teremos. 
12 +x 
x 
1 
θ 
20 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
θ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θ
θθ d
sen
sen
sen
dd
sen
d
tg
dx
x
x
∫∫ ∫∫∫
+
====
+
2
22
23
22
cos
cos
coscos
cossecsec1
∫ ∫∫ ∫∫ +=+=
+ θ
θ
θ
θ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ d
sen
dsend
sen
d
sen
send
sen
sen 1
coscos
cos
coscos
cos
22
2
2
2
2
22
 
cgecdec +−+=+= ∫ θθθθθθ cotcoslnseccoscos
1 Substituindo as razões 
trigonométricas com respeito ao triângulo rectângulo acima temos: 
c
xx
xxcgecdec +−+++=+−+=+= ∫
11ln1cotcoslnseccos
cos
1 22θθθθθ
θ
 
E finalmente podemos concluir que: 
 
c
x
xxdx
x
x
+
−+
++=
+
∫
11ln11
2
2
2
 
c) ∫
− 42
2
x
dxx 
Solução: Precisamos idealizar o respectivo triângulo rectângulo, ou seja: 
 
Nota-se que a=2, idealizando o triângulo rectângulo para a respectiva 
substituição temos: 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a substituição: 
( ) θθθθθθθ tgxedtgdxx 21sec44sec44sec2sec2 222 =−=−=−=→= 
então teremos 
∫∫∫ ==
−
θθθ
θ
θθθ dd
tg
tg
x
dxx 32
2
2
sec4
2
secsec2.4
4
 Usando a fórmula de recorrência 
∫∫ −− −
−
+
−
= θθθθθθ d
n
ntg
n
d nnn 22 sec
1
2sec
1
1sec passaremos a ter: 
x 
42 −x 
2 
θ 
21 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
 
ctgtgdtgd +++=+= ∫∫ θθθθθθθθθθ secln2sec2)sec2
1sec
2
1(4sec4 3 , Voltando ao 
triângulo acima e substituir as razões trigonométricas por termos em x teremos: 
=+
−
++







 −
==+++ cxxxxctgtg
2
4
2
ln2
2
4.
2
22secln2sec2
22
θθθθ 
cxxxxcxxxx +−++−=+−−++−= 4ln24
2
12ln24ln24
2
1 2222 
Portanto: cxxxxdx
x
x
+−++−=
−
∫ 4ln242
1
4
22
2
2
 
 
Integração por partes 
A integração por partes é uma técnica de integração baseada na regra do produto para 
derivadas. Em particular, se )(xu e )(xv são funções deriváveis de x, temos: 
[ ]
dx
duxv
dx
dvxuxvxu
dx
d )()()()( += e, portanto [ ]
dx
duxvxvxu
dx
d
dx
dvxu )()()()( −= 
Integrando ambos os membros desta equação em relação a x, obtemos: 
[ ]∫ ∫ ∫∫ 


−=


−=


 dx
dx
duxvxvxudx
dx
duxvdxxvxu
dx
ddx
dx
dvxu )()()()()()()( já que 
)()( xvxu é uma antiderivada de [ ])()( xvxu
dx
d . Podemos escrever esta expressão na 
forma mais compacta ∫ ∫−= vduuvudv é chamada de fórmula de integração por partes. 
A grande vantagem desta fórmula é que se podemos encontrar funções u e v tais que 
uma dada integral ∫ dxxf )( pode ser expressa na forma ∫∫ = udvdxxf )( , temos: 
∫ ∫∫ −== vduuvudvdxxf )( e a integral dada pode ser substituída directamente pela 
integral ∫ vdu . Se a integral ∫ vdu é mais fácil de calcular que ∫udv , a substituição 
facilita o cálculo de ∫ dxxf )( . 
Exemplo: 
22 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
1. Determine ∫ xdxx ln2 
Solução 
Nossa estratégia consisterá em expressar ∫ xdxx ln2 como ∫udv escolhendo u e v de tal 
forma que ∫ vdu seja mais fácil de calcular que ∫udv . Neste caso, o melhor é fazer 
xu ln= e dxxdv 2= já que dx
x
du 1= é uma expressão mais simples que lnx, enquanto 
v pode ser obtida através da integração relativamente simples ∫ == 32 3
1 xdxxv . 
Usando estes valores de u e v na fórmula de integração por partes, obtemos: 
( )( )
Cxxx
Cxxxdxxxxdx
x
xxxdxxxxdxx
+−=
=+




−=−=










−




==∫ ∫ ∫ ∫
33
33233322
9
1ln
3
1
3
1
3
1ln
3
1
3
1ln
3
11
3
1
3
1)(lnlnln
 2. Determine ∫ dxxe x2 
Embora os dois factores, x e xe2 , sejam fáceis de integrar, apenas x se torna mais 
simples quando é derivado. Assim, fazendo xu = e dxedv x2= para obter 
x
x
evdxdu
dxedvxu
2
2
2
1
==
==
 
Substituindo na fórmula de integração por partes, temos: 
∫ ∫ +



 −=+




−=




−




= CexCexedxeexdxex xxxxxx 222222
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1)( 
 
3. Determine dxxx∫ + 5 
Neste caso, os dois factores, x e 5+x , são fáceis de derivar e de integrar, mas apenas 
x se torna mais simples ao ser derivado. Assim, é melhor escolher 
 
23 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
( )
( )2
3
2
1
5
3
2
55
+==
+=+==
xvdxdu
donde
dxxdxxdvxu
 
Substituindo na fórmula de integração por partes, obtemos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CxxxCxxxdxxxxdxxx ++−+=+




 +−+=




 +−




 +=+ ∫∫ 2
5
2
32
5
2
3
2
3
2
3
5
15
45
3
25
5
2
3
25
3
25
3
25
3
25
 
Às vezes, a integração por partes leva a uma nova integral que também precisa de ser 
calculada pelo método da integração por partes 
 
4. Determine ∫ dxex x22 
Como o factor xe2 é fácil de integrar e a derivada de 2x é mais simples que a função 
original, fazemos 
x
x
evxdxdu
topore
dxedvxu
2
22
2
12
,tan,
==
==
 
Integrando por partes, obtemos 
∫ ∫ ∫−=



−




= dxxeexxdxeexdxex xxxxx 22222222
2
1)2(
2
1
2
1)( 
A integrar ∫ dxxe x2 também pode ser calculada pelo método da integração por partes. 
Como vimos no exemplo anterior Cexdxxe xx +




 −=∫ 22 2
1
2
1 
Assim, 
( ) CexxCexexdxxeexdxex xxxxxx ++−=+










 −−=−= ∫∫ 2222222222 1224
1
2
1
2
1
2
1
2
1)(
 
 
 
24 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Integrais elementares que contém trinómio quadrado 
1º Caso: Integrais do tipo ∫ ++
+ dx
cbxax
nmx
2 ,cujo o procedimento principal de cálculo 
consiste em reduzir o trinómio do 2º grau à forma: ( ) lkxacbxax ++=++ 22 , onde 
k e l são constantes. Para efectuar a transformação, o mais cómodo é separar o 
quadrado exacto do trinómio do 2º grau. Pode-se também, empregar a substituição 
tbax =+2 se 0=m , reduzindo o trinómio do 2º grau à forma 
( ) lkxacbxax ++=++ 22 , obtemos os integrais imediatos: 
∫ +−
+
=
−
C
xa
xa
axa
dx ln
2
1
22
 ou ∫ +=+ Ca
xarctg
aax
dx 1
22 da tabela de integrais. 
 
Exemplo: ∫ ∫ ∫
+




−




+−
=
+−
=
+−
2
7
4
5
4
5
2
52
1
2
7
2
52
1
752 2222
2
xx
dx
xx
dx
xx
dx 
∫ ∫ ∫ ∫






+




 −
=
+




 −
=
+−
+




 −
=
+−




 −
= 22222
4
31
4
52
1
16
31
4
52
1
16
5625
4
52
1
2
7
16
25
4
52
1
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
 
C
x
arctgC
x
arctg +





 −
=+
−
=
4
31
4
5
2
31
1
4
31
4
5
4
31
1.
2
1 se 0≠m , do numerador separa-se a 
derivada bax +2 do trinómio do 2º grau. 
( )
∫ ∫ ∫ ++



 −+++=
++





 −++
=
++
+
cbxax
dx
a
mbncbxax
a
mdx
cbxax
a
mbnbax
a
m
cbxax
nmx
2
2
22 2
ln
2
2
2
2
 
E desta forma chegamos à integral acima analisada. 
Exemplo: 
( ) ( )
∫ ∫ ∫ −−



 −−
=
−−





 +−+−
=
−−
− dx
xx
x
dx
xx
x
xx
x
1
2
112
2
1
1
2
1112
2
1
1
1
222 
∫ ∫
−




+




−−
−−−=
−−
−−−=
1
2
1
2
12
1
1ln
2
1
12
1
1ln
2
1
22
2
2
2
2
xx
dxxx
xx
dxxx 
25 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
∫ ∫
−




 −
−−−=
−−




 −
−−−=
4
5
2
12
1
1ln
2
1
1
4
1
2
12
1
1ln
2
1
2
2
2
2
x
dxxx
x
dxxx 
∫ +−
−−
−−−=
−





−




 −
−−−=
512
512ln
2
52
1.
2
11ln
2
1
1
2
5
2
12
11ln
2
1 2
22
2
x
xxx
x
dxxx 
 
C
x
xxx +
+−
−−
−−−=
512
512ln
52
11ln
2
1 2 
 
 
Outros exemplos: 
( )
∫ ∫ ∫ +−
−+−=
+−





 +++
=
+−
+
84
384ln
2
1
84
2
4142
2
1
84
1
2
2
22 x
dxxdx
x
x
dx
x
x
xxxx
 
( )∫ −
+
−
−+−=
+
−+−= Cxarctgxdxx xxx 2
2
2
384ln
2
1
4
384ln
2
1 2
2
2
2
 
 
2º Caso: Integrais do tipo ∫
++
+ dx
cbxax
nmx
2
 os métodos de cálculo são análogos aos 
acima examinados, e o integral reduz-se à: ∫ +++=
+
Caxx
ax
dx 2
2
ln ou 
∫ +=
−
C
a
xarcsen
xa
dx
22
 
Exemplo: 
∫ ∫ ∫








−




−




+−−
=





 −−−
=
−+
1
4
3
4
3
2
3212
32232
22
22
2
xx
dx
xx
dx
xx
dx 
∫ ∫ ∫





 −−−
=








−




 −−
=








−−




 −−
=
222
4
3
16
252
1
16
25
4
32
1
1
16
9
4
32 x
dx
x
dx
x
dx 
26 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
∫ +
−
=+
−
=





 −−





= CxarcsenC
x
arcsen
x
dx
5
34
2
1
4
5
4
3
2
1
4
3
4
52
1
22
 
Exemplo 2: 
( ) ( )
∫ ∫∫
++
++
=
++





 −++
=
++
+ dx
xx
x
dx
xx
x
dx
xx
x
22
222
2
1
22
2
2332
2
1
22
3
222
 
( )∫∫ ++
+++=
++
+++=
11
222
2
1
22
222
2
1
2
22
x
dxxx
xx
dxxx 
( ) Cxxxxx ++++++++= 221ln222
2
1 22 
3º Caso: Integrais do tipo 
( )∫ +++ cbxaxnmx
dx
2
 utilizando a substituição da fracção 
linear: t
nmx
=
+
1 , esses integrais reduzem-se ao 2º tipo, visto anteriormente. 
Exemplo: 
( )∫ ++ 11 2xx
dx seja: dt
t
dx
t
x
t
x 2
1;1111 −=−=⇔=+ teremos: 
∫ ∫
++−





−=
+




 −
−
11211111
1
222
2
ttt
t
dtdt
tt
t 
∫∫∫∫
+−
−=
+−
−=
+−
−=
+−
−=
2
12
1
122221.221 2
22
2
2
tt
dt
tt
dt
tt
t
t
dt
t
ttt
td 
∫ ∫∫
+




 −
−=
+−




 −
−=
+




−




+−
−=
4
1
2
12
1
2
1
4
1
2
12
1
2
1
2
1
2
12
1
2222
2 t
dt
t
dt
tt
dt
 
cttt
t
dt
++−+−−=





+




 −
−= ∫ 2
1
2
1ln.
2
1
2
1
2
12
1 2
22
 
 
27 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Exprimido a solução em termos de x tem-se:
1
11
+
=⇔
+
=
x
t
nmx
t 
c
xxx
t
dt
++
+
−





+
+−
+
−=





+




 −
−= ∫ 2
1
1
1
1
1
2
1
1
1ln.
2
1
2
1
2
12
1 2
22
 
( ) ( )
c
x
x
x
xc
x
xxx
x
+
+
+
+
+
−−
−=+
+
+++−−
+−
+
−=
1
2
1
12
12ln
2
1
12
12222
2
1
1
1ln
2
1
2
2
2
 
( )
c
x
xx
+
+
++−
−=
1
121
ln
2
1 2 
4º Caso: Integrais do tipo dxcbxax .2∫ ++ , separado o quadrado exacto do trinómio 
do 2º grau, esta integral se reduz a uma das duas integrais principais: 
1. cxarcsenaxaxdxxa ++−=−
222
2
2222 
2. cAxxAAxxdxAx +++++=+ 222 ln
22
. 
 
Exemplo: 
( ) ( )∫ ∫∫ −−++−=−+−=−− dxxxdxxxxx .1112.1221 22222 
( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ +−=+−=−+− dxxdxxdxx 2222 121221 
cxarcsenxxxcxarcsenxxx +++−−+=+++−−+=
2
121
2
1
2
1
2
221
2
1 22 
Integração de funções racionais por fracções parciais 
Uma função racional )(xf é definida como o quociente de duas funções polinomiais, 
ou seja 
)(
)(
)(
xq
xp
xf = , onde )(xp e )(xq são polinómios. 
As funções Racionais podem ser uma fracção racional própria ou regular (se o grau do 
polinómio do numerador for inferior ao grau do polinómio do denominador), ou fracção 
28 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
racional imprópria ou irregular (se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do 
denominador). 
Integração de funções racionais Próprias ou regulares 
As integrais de algumas funções racionais simples, como por exemplo: 
136
1;
1
2;
1
1,1
2222 ++++ xxx
x
xx
 
 As diversas situações serão ilustradas em 3 casos com seus respectivos exemplos, 
nomeadamente: 
1º Caso. Os factores de )(xq são lineares e distintos. 
Neste caso, podemos escrever )(xq na forma ( )( ) ( )naxaxaxxq −−−= K21)( , onde os 
,;,1, niai K= são distintos dois a dois. 
A decomposição da função racional 
)(
)()(
xq
xpxf = em fracções mais simples é dada por: 
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xf
−
++
−
+
−
= K
2
2
1
)( onde nAAA K;; 21 são constantes que devem ser 
determinadas. 
Exemplo: Calcular: dx
xxx
xI ∫ +−−
−
=
33
2
23
 Solução: 
( )( )( ) 311311
2
33
2 321
23 −
+
+
+
−
=
−+−
−
=
+−−
−
x
A
x
A
x
A
xxx
x
xxx
x
 
Reduzindo novamente ao mesmo denominador, 
vem:
( )( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )311
3342
311
13432
311
213131
311
2
32121
2
3213
2
2
2
1
2
321
−+−
−+−+−−+++
=
−+−
−++−+−−
=
−+−
+−+−−+−+
=
−+−
−
xxx
AAAxAAxAAA
xxx
AxAxxAxx
xxx
AxxAxxAxx
xxx
x
 
Eliminando os dominadores, obtemos: 
( ) ( ) ( )321212321 33422 AAAxAAxAAAx −+−+−−+++=− igualando os 
29 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
coeficientes das mesmas potencias de x , segue que:





−=−+−
=−−
=++
233
142
0
321
21
321
AAA
AA
AAA
 Resolvendo 
o sistema de equações, obtemos: 
8
1
8
3;
4
1
321=
−
== AeAA 
Portanto, a decomposição em fracções parciais é dada por 
 ( )( )( ) 3
1
1
1.
8
3
1
1.
4
1
3
8
1
1
2
3
1
4
1
311
2
−
+
+
−
−
=
−
+
+
−
+
−
=
−+−
−
xxxxxxxxx
x e então 
∫ ∫ ∫ +−++−−=−++−−= cxxxx
dx
x
dx
x
dxI 3ln
8
11ln
8
31ln
4
1
38
1
18
3
14
1
 
2º Caso: Os factores de )(xq são lineares sendo que alguns deles se repetem. Se um 
factor linear iax − de )(xq tem multiplicidade r , a esse factor correspondera uma 
soma de fracções parciais da forma. 
( ) ( ) ( )i
r
r
i
r
i ax
B
ax
B
ax
B
−
++
−
+
− −
K
1
21 onde 1B , 
2B ,K rB são constantes que devem ser determinadas. Exemplo:Calcular 
dx
xx
xx
∫ −
−+
24
3
4
13 Eliminando os denominadores, obtemos. 
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 2122123 22222213 xBxxBxxAxxAxxxx +−++−+−++=−+ atribuindo a x 
valores 02,2 =−== xexx , vem 
4
12.210
16
154.4152
16
13,4.4132
11
22
11
=−=−→=
=−=−→−=
==→=
BBx
AAx
AAx
 
Por esse procedimento não conseguimos determinar o valor de 2B . Para determiná-lo, 
tomamos uma equação conveniente do sistema obtido igualando os coeficiente das 
mesmas potencias de x . Usando a igualdade dos coeficientes de 3x , obtemos: 
4
3
16
15
16
1311 22221 −=++=⇒++= BBBAA Q
 
Portanto: 
xxxxxx
xx 1.
4
31.
4
1
2
1.
16
15
2
1.
16
13
4
13
224
3
−+
+
+
−
=
−
−+ 
30 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Então 
cx
x
xx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dxdx
xx
xx
+−−++−=−+
+
+
−
=
−
−+
∫ ∫∫∫∫ ln4
3
4
12ln
16
152ln
16
13
4
3
4
1
216
15
216
13
4
13
224
3
 
3º Caso: Os factores de )(xq são lineares e quadráticos irredutíveis sendo que os 
factores quadráticos não se repetem. A cada factor quadrático cbxx ++
2
 de )(xq , 
correspondera uma fracção parcial da forma: 
cbxx
DCx
++
+
2 
Calcular ∫ −++
++
= dx
xxx
xxI
3
452
23
2
 
O polinómio 3)( 23 −++= xxxxq tem apenas uma raiz real, 1=x . Sua decomposição 
em factores lineares e quadráticos é dada por ( )( )321)( 2 ++−= xxxxq 
Podemos, então, expressar o integrando na forma 
3213
452
223
2
++
+
+
−
=
−++
++
xx
DCx
x
A
xxx
xx 
Eliminando os denominadores, vem 
( ) ( )( )
( ) ( ) DAxDCAxCA
xDCxxxAxx
−++−++=
−++++=++
32
132452
2
22
 
Então:





=−
=+−
=+
43
52
2
DA
DCA
CA
 
Resolvemos o sistema, obtemos 
6
9
6
1;
6
11
=== DeCA Portanto 
32
9.
6
1
1
1.
6
11
3
452
223
2
++
+
+
−
=
−++
++
xx
x
xxxx
xx e dessa 
31 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Forma, CIxdx
xx
x
x
dxI ++−=
++
+
+
−
= ∫ ∫ 12 6
11ln
6
11
32
9
6
1
16
11 
( )∫ ∫∫ ++
+
+−=
++
+
− 21
9
6
11ln
6
11
32
9
6
1
16
11
22 x
xxdx
xx
x
x
dx seja ,1 ux =+ termos 
1−= ux ; dudx = 






+
+
+
+−=
+
+
+− ∫ ∫∫ 226
11ln
6
11
24
84
6
11ln
6
1
222 u
dudu
u
uxdxx 
carctgux +





+++−=
2
4
2
82ln
2
1
6
11ln
6
11 2 
Exprimindo o resultado em termo de x temos: 
cxarctgxxx +




 +
++++−=
2
1
2
832ln
2
1
6
11ln
6
11 2 
32 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
 
4º Caso: Os factores de Q(x) são lineares e quadráticos irredutíveis ou com raízes 
complexas e alguns desses factores são repetidos 
Se cbxax ++2 for um factor quadrático de Q(x) na integral ( )( )∫ dxxQ
xP que se repete p 
vezes correspondendo ao factor ( )
pcbxax ++2 teremos a soma das p fracções parciais, 
ou seja: 
( )
( ) ( ) ( ) ( ) cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP pp
pppp ++
+
++
++
+
+
++
+
+
++
+
=
++
−− 222
33
12
22
2
1
2
...
 
Exemplos: 
1. Calcule a integral: 
( )
dx
xx
xx
∫
+
++
22
3
1
2 
Solução: 1º , é visível que o grau do numerados é menor que o grau do denominador, 
portanto, trata-se duma fracção racional própria. Por outro lado, o denominador contém 
um factor quadrático irredutível de multiplicidade 2, assim temos que determinar os 
coeficientes do integrando em fracções parciais na forma: 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )EDxxxxCBxxAxx
x
EDx
x
CBx
x
A
xx
xx
++++++=++⇔
+
+
+
+
+
+=
+
++ ..1.12
111
2 2223
22222
3
 
( ) ( )( )EDxxxCxBxxxAxx +++++++=++⇔ 32243 122 
ExDxExDxCxBxAAxAxxx ++++++++=++⇔ 2342243 22 
( ) ( ) ( ) AxCExDBAExxDAxx ++++++++=++⇔ 2343 22 donde teremos o 
sistema de equações: 
33 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 








=
−=
=
−=
=
⇒








=
=+
=++
=
=+
1
2
0
2
2
2
1
02
1
0
E
D
C
B
A
A
EC
DBA
E
DA
 
Portanto o integrando na forma de fracções parciais pode ser escrito na forma: 
( ) ( ) 1
12
1
22
1
2
22222
3
+
+−
+
+
−
+=
+
++
x
x
x
x
xxx
xx desta forma, voltando a integral teremos: 
( ) ( )
cartgxx
x
xdx
x
x
x
x
x
dx
xx
xx
+++−
+
+=








+
−
−
+
−=
+
++
∫∫ 1ln1
1ln2
1
12
1
22
1
2 2
222222
3
 
carctgx
xx
x
++
+
+
+
=
1
1
1
ln 22
2
 
2. Calcule a integral: 
 
 
Solução: preparando o integrando, ou seja, procurando os coeficientes das fracções 
parciais teremos: 
( ) ( ) 545454
2
2222 +−
+
+
+−
+
+=
+−
−
xx
EDx
xx
CBx
x
A
xxx
x , Igualando denominadores e 
eliminando –os teremos: 
( ) ( ) ( )( )EDxxxxCBxxxxAx ++−++++−=− 54542 222 
( ) ( )( )EDxxxxCxBxxxxxAx ++−++++−+−=−⇔ 5425402682 232234 
ExExExDxDxDxCxBxAAxAxAxAxx 545425402682 232342234 +−++−++++−+−=−
 
( ) ( ) ( ) ( ) AxECAxEDBAxEDAxDAx 255404526482 234 +++−+−++++−−++=−⇔ 
Donde teremos o seguinte sistema de equações: 
( )
dx
xxx
x
∫
+−
−
22 54
2
34 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 















−=
=
−=
=
−=
⇔








−=
=++−
=−++
=+−−
=+
25
8
25
2
5
3
5
2
25
2
225
1540
04526
048
0
E
D
C
B
A
A
ECA
EDBA
EDA
DA
 
Voltando ao integral teremos: 
( ) ( ) ( )
dx
xx
xdx
xx
x
x
dxdx
xxx
x
∫∫∫∫ +−
−−
+







+−
−
+−=
+−
−
54
442
25
1
54
32
5
1
25
2
54
2
22222
 
 
( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫ +−
−
+−
−
+
+−
+
+−
−
+−
5425
4
54
42
25
1
545
1
54
42
5
1ln
25
2
222222 xx
dxdx
xx
x
xx
dxdx
xx
xx
 
( )[ ] ( )∫∫ +−−+−++−+++−−= 1225
4
125
154ln
25
1
54
1ln
25
2
222
2
2 x
dx
x
dxxx
xx
x
 
( )
( )[ ]∫ +−+−−+−+++−−= 22
2
2
125
12
25
454ln
25
1
54
1ln
25
2
x
dxxarctgxx
xx
x
 
Par determinar a integral 
( )[ ]∫ +− 22 125
1
x
dx temos que recorrer a substituição 
trigonométrica, para tal considerando o triângulo abaixo, ( ) 12 ex − como catetos e 
( ) 22 12 +−x como hipotenusa teremos: 
 
 
 
 
( ) 12 2 +−x 
2−x 
1 
θ 
35 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
 
Fazendo: ( ) θθθθ sec12sec2 22 =+−=⇔−= xedxdxtg , substituindo teremos: 
 
( )[ ] ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫ ∫∫ +====+=+− θθθθθ
θ
θ
θθ
θ
θθ dddd
tg
d
x
dx 2cos1
2
1.
5
1cos
5
1
sec5
1
sec
sec
5
1
1
sec
5
1
125
1 2
222
2
22
2
22
 
csencsen ++=++=
10
cos
1020
2
10
θθθθθ do triângulo rectângulo acima podemos 
exprimir em termos de x as razões trigonométricas: 
( )
( ) cxx
xxarctgcsen +
+−
−
+
−
=++=
5410
2
10
2
10
cos
10 2
θθθ 
Já sabemos que: 
 
( )
( )
( )[ ]∫∫ +−+−−+−+++−−=+−
−
22
2
222 125
12
25
454ln
25
1
54
1ln
25
2
54
2
x
dxxarctgxx
xx
xdx
xxx
x
e 
( )[ ]
( )
( ) cxx
xxarctg
x
dx
+
+−
−
+
−
=
+−
∫ 5410
2
10
2
225
1
222
 
 Finalmente, a integral 
( ) dxxxx
x
∫
+−
−
22 54
2 terá como solução: 
( )
( ) ( )
( )
( ) cxx
xxarctgxarctgxx
xx
x
xxx
dxx
+
+−
−
+
−
+−−+−+
++
−−=
+−
−
∫ 54.10
2
10
22
25
454ln
25
1
54
1ln
25
2
54
2
2
2
222
 
 
Integração fracções racionais impróprias ou irregular 
Para a integração de fracções racionais imprópria ( ) ( )( )xq
xpxf = , efectua-se a divisão de 
( )xp por ( )xq transformando ( )xf para a forma: ( ) ( ) ( )( )xq
xrxvxf += 
36 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & NelsonTomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Exemplo: 
( )∫ ∫ ∫ −++++=



−+
++=
−+
−+−+ +
212
3
2
113
2
1533
2
12
2
2
2
234
xx
dxxxdx
xx
xdx
xx
xxxx
 
( )( )∫ +−++= 21
3
xx
dxxx
 Exprimindo o integrando em forma de funções parciais 
teremos: 
( )( ) ( ) ( )1221
1 21
−
+
+
=
+− x
A
x
A
xx 
( ) ( )
3
131
:1
3
131:2211
22
1121
=⇔=
=−=⇔−=−=++−=
AA
temosxparaeAAtemosxparaxAxA
 
Voltando ao integral temos: 
 
 
cxxxxdx
xx
xx +−++−+=












−
+
+
−
++ ∫ 13
12ln
3
1
1
3
1
2
3
1
33 
c
x
xxxc
x
xxx +
+
−
++=+
+
−
++= 333
2
1ln
2
1ln
3
1 
 
Outros Exemplos: 
i. ∫ ∫ ∫ ∫−=
+
−=








+
−=
+
,2
1
2111
2
222
3
t
dtxdxxdxdxxxdx x
xxx
x 
2
2
,12
dtxdxxdxdt
tcom x
=⇔=
+=
 ctx
t
dtx
+−=− ∫ ln2
1
22
1
2
22
 
Reescrevendo o resultado em termos de x temos: 
Cxx ++− 1ln
2
1
2
2
2
 
37 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
 
ii. ∫ ∫ +−+−=







+
−
++−
+
−
Carctgxxdxdx xx
xxxx
x 2
351
21
1
1 35
2
24
2
6
 
iii. ∫ ∫ 







+−
+−
+=
++
+
x
xxdx
x
x
xxxx 4
220255
4
25
55 23
2
23
3
, 
( )( )41
22025
45
22025 2
23
2
−−
+−
=
+−
+−
xxx
xx
xxx
xx 
4145
22025
23
2
−
+
−
+=
+−
+−
x
C
x
B
x
A
xxx
xx são várias regras que podemos aplicar para 
determinar os coeficientes A, B e C, para este caso vamos aplicar a regra dos tapas: 
 
( ) 2
1,0
41
22025 2 −=−=








−−
+−
= AseTemxpara
xx
x
A x 
Para a função 1,
1
=
−
x
x
B anula o denominador, então temos: 
( ) 3
7
4
220
1
225 −=⇒








−
+−
=
=
B
xx
x
B
x
x 
Para a função ( ) 4,1 =− xxx
C anula o denominador, então temos: 
( ) 6
161
1
220
4
225 =⇒








−
+−
=
=
C
xx
x
C
x
x
 
Continuando com a resolução do integral, teremos: 
dx
xxx
xdx
xxx
xx
∫ ∫












−
+
−
−
+−+=





+−
+−
+
4
6
161
1
3
7
2
1
5
45
220255
23
2
 
Cxxxx +−+−−− 4ln
6
1611ln
3
7ln
2
15
 
Integração de funções racionais pelo método de Ostrogradisk 
Para a integral 
( )
( )∫ dxxQ
xP , se Q(x) tem raízes múltiplas, então: 
38 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
( )
( )
( )
( )
( )
( )∫∫ += dxxQ
xY
xQ
xXdx
xQ
xP
21
, onde: 
• ( )xQ1 é o máximo divisor comum do polinómio ( ) ( )xQexQ ′ , isto é, máximo 
divisor comum de Q(x) e sua derivada; 
• ( )xQ2 é o quociente resultante da divisão de ( )xQ por ( )xQ1 ou seja: 
( ) ( )( )xQ
xQxQ
1
2 = 
( ) ( )xYexX são polinómios com coeficientes indeterminados, cujos graus são 
menores em uma unidade que os de ( ) ( )xQexQ 21 respectivamente. 
Finalmente, os coeficientes de ( ) ( )xYexX são calculados derivando a identidade: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )∫∫ += dxxQ
xY
xQ
xXdx
xQ
xP
21
 
Exemplo: 
a) Calcular a integral 
( )∫ − 23 1. x
dx pelo método de Ostrogradsk 
Solução: 
Sabe se que a solução da integral racional pelo método de Ostrogradsk é da 
forma: ( )( )
( )
( )
( )
( )∫∫ += dxxQ
xY
xQ
xXdx
xQ
xP
21
 , por precisamos determinar xQ1 . 
Derivando Q(x) temos: 
( ) ( )[ ] ( )161 3223 −=′−=′ xxxxQ , Portanto o maior divisor comum entre 
( ) ( )xQexQ ′ , ou seja, m.d.c. ( ) ( )161 3223 −− xxex é 13 −x , portanto 
( ) 131 −= xxQ e como ( )
( )
( )xQ
xQxQ
1
2 = então ( )
( ) 1
1
1 3
3
23
2 −=−
−
= x
x
xxQ 
Por outro lado, ( ) ( )xYexX tem um grau amenos de ( ) ( )xQexQ 21 
respectivamente, então ( ) ( )xYexX são da forma: 
( ) ( ) FExDxxYeCBxAxxX ++=++= 22 , Assim teremos: 
( ) ∫∫ −
++
+
−
++
=
−
dx
x
FExDx
x
CBxAxdx
x
dx
111
3
2
3
2
23
 
39 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Para determinarmos os coeficientes temos que derivar a identidade: 
( ) ∫∫ −
++
+
−
++
=
−
dx
x
FExDx
x
CBxAxdx
x
dx
111
3
2
3
2
23
 
 
( ) ∫∫ −
++
+
−
++
=
−
dx
x
FExDx
x
CBxAxdx
x
dx
111 3
2
3
2
23
 
Ou seja: 
( )
( )( ) ( )
( ) 11
312
1
1
3
2
23
223
23 −
++
+
−
++−−+
=
− x
FExDx
x
CBxAxxxBAx
x
 
FExDxFxExDxCxBxAxBBxAxAx −−−+++−−−−+−= 234523434 333221
 
FBExAxDxCxFxBxExAxDx −−−−−−+−+−= 2321 2233445 
Donde teremos o Sistema de equações: 












−=
−=
=
=
=
=
⇒










=−−
=−−
=−−
=+−
=+−
=
3
2
3
1
0
0
0
0
1
02
03
02
0
0
F
B
E
A
C
D
FB
EA
DC
FB
EA
D
 
Portanto substituindo na identidade 
( ) ∫∫ −
++
+
−
++
=
−
dx
x
FExDx
x
CBxAxdx
x
dx
111 3
2
3
2
23
 
teremos: 
( ) ( ) ( ) ( )( )∫∫∫ ++−
−
−
−=
−
+
−
−=
− 113
2
13
1
1
1
3
2
131 233323 xxx
dx
x
dx
xx
xdx
x
dx 
Resolvendo separadamente a integral ( )( )∫ ++−− 113
2
2 xxx
dx teremos: 
( )( ) CBxCxBxAAxAxxx
CBx
x
A
xxx
−−++++=⇔
++
+
+
−
=
++−
22
22 11111
1 
Donde podemos compor o sistema: 
40 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 









−=
−=
=
⇒





=−
=−+
=+
⇒





=−
=−+
=+
3
2
3
1
3
1
1
0
0
1
0
0
C
B
A
CA
BCA
CA
CA
BCA
BA
 então : 
( )( )
( )
dx
x
x
xdx
xx
x
xxxx
dx
∫∫∫






+




 +





 −++
+−−=












++
−−
+
−
−=
++−
− 2222
2
3
2
1
2
122
2
1
9
21ln
9
2
1
3
2
3
1
1
3
1
3
2
113
2
=






+




 +
++++−− ∫ 22
2
2
3
2
12
3.
9
21ln
2
1
9
21ln
9
2
x
dxxxx
( ) ( )
cxarctg
x
xxcxartgxx
x
+




 +
+
+
++
=+




 +
++++
+
=
3
12
33
2
1
1ln
9
1
3
12
33
21ln
9
1
1
1ln
9
1
2
2
2
2
 
Finalmente, a solução da integral 
( )∫ −
dx
x
dx
23 1
 é: 
( ) ( ) ( )
cxarctg
x
xx
x
x
x
dx
+




 +
+
+
++
+
−
−=
−
∫ 3
12
33
2
1
1ln
9
1
131 2
2
323
 
 
 
Determinação dos coeficientes de Taylor 
1° Método- coeficientes de Taylor 
Suponhamos que: ( )( )xd
xr uma fracção irredutível, isto é ( ) ( )( ) 1=xdexrMdc , e 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4321 .. xxxxxxxxxd cba −−−−= 
Então, ( )( )xd
xr pode ser ser escrita na forma: 
41 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
−
++
−
+
−
=
−−−−
=
−
1
1
1
2
1
1
4321
....
xx
A
xx
A
xx
A
xxxxxxxx
xr
xd
xr a
aacba
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4313
2
3
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1 ......
xx
D
xx
C
xx
C
xx
C
xx
B
xx
B
xx
B
xx
B c
cc
bb
bb −
+
−
++
−
+
−
+
−
+
−
++
−
+
−
+
−
−
−
 
Fazendo: ( ) ( ) ( )xdxxxd xa 11−= com
 ( ) ( ) ( ) ( )432 ..1 xxxxxxxd
cb
x −−−= , a identidade 
anterior ( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )4321 xxxxxxxx
xr
xd
xr
cba −−−−
= pode ser rescrita na forma: 
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )xd
xh
xx
A
xx
A
xx
A
xdxx
xr
xd
xr
x
xa
aa
x
a
1
1
1 1
1
1
2
1
1
1
... +
−
++
−
+
−
=
−
=
−
 
Desta forma temos: 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
1
1
1
11
1
2
13121 ...)1
x
a
xa
a
x d
xxxh
xxAxxAxxAA
xd
xr −
+−++−+−+= −
 
 
( )
( ) ( ) ( )( ) ...1...2)2
2
1132
1
+−−++−+=
′







 −a
a
x
xxaAxxAA
xd
xr
 
( )
( ) ( ) ( )( )( ) ...21....2.3.!2)3
3
1143
1
+−−−++−+=
″







 −a
a
x
xxaaAxxAA
xd
xr
 
( )
( ) ( ) ( )( )( )( ) ...321...2.3.4!.3)4
4
1154
1
+−−−−++−+=
′″







 −a
a
x
xxaaaAxxAA
xd
xr 
Portanto para 1xx = , de 1), 2), 3) e 4) teremos: 
( )
( )
1
1
1
xxx
xd
xrA
=







= 
( )
( ) 1
1
2 xx
x xd
xrA =
′








= 
( )
( ) 1
1
!2
1
3 xx
x xd
xrA =
″








= 
( )
( )
///
4
1
1
!3
1
xxx
xd
xrA
=







= … 
42 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Procede se de forma similar para a obtensão dos coeficientes: 
...,...;...,;; ;2;12121 DDCCBB 
Exemplo: 
Use o método dos coeficientes de Taylor para calcular aintegral:
( )∫ + 21xx
dx 
Solução: 
O primeiro passo é decompor a função integrando em fracções parciais, desta maneira 
teremos: 
( ) ( ) 111
1 2
2
1
2 +
+
+
+=
+ x
B
x
B
x
A
xx
 
Para calcularmos o coeficiente A, temos que suprimir o termo x na fracção 
( )21
1
+xx
 e 
tomarmos para x o valor zero, portanto o valor que anula o denominador de A. 
Assim teremos 
( ) ( )
1
10
1
1
1
2
0
2 =+
=





+
=
=xx
A 
Para determinarmos o valor de 1B suprimimos o termo ( )21+x na fracção ( )21
1
+xx
 e 
tomamos 1−=x que é a raiz do termo ( )21+x , portanto 1
1
11
1
1 −=−
=




=
−=xx
B 
Finalmente =−=




−=
′





=
−=
−= 1.
11
1
212
x
x
xx
B 
Já determinamos os coeficientes, isto significa que a fracção 
( )21
1
+xx
 pode ser rescrita 
na forma: 
( ) ( ) ( )1
1
1
11
1
1
22 +
−
+
−=
+ xxxxx
 Portanto, voltando a integral 
( )∫ + 21xx
dx teremos: 
43 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫∫ ++−++=+−+−=






+
−
+
−=
+
cx
x
x
x
dx
x
dxdx
x
dx
xxxxx
dx 1ln
1
1ln
12
1
1
1
12
1
1
11
1 222
 
c
x
x
x
+
+
+
+
=
1
ln
1
1 
Logo a solução da integral 
( )
c
x
x
xxx
dx
+
+
+
+
=
+∫ 1ln1
1
1 2
 
Exemplo 2: Pelo método dos coeficientes de Taylor, calcular a 
integral:
( ) ( )
dx
xx
xx
∫ +−
++
22
2
13
965 
Solução: 
Escrevendo o integrando em Fracções parciais temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) 113313
965 2
2
12
2
1
22
2
+
+
+
+
−
+
−
=
+−
++
x
B
x
B
x
A
x
A
xx
xx 
Para determinarmos 1A temos que ignorar o termo ( )23−x e tomarmos a respectiva raíz 
3=x : 
( ) ( ) 2
9
16
72
16
91845
13
93.63.5
1
965
2
2
3
2
2
1 ==
++
=
+
++
=





+
++
=
=xx
xxA 
Para determinarmos 2A , achamos a 1ª derivada de ( )2
2
1
965
+
++
x
xx e tomamos o resultado 
para 3=x isto é: 
( )
( )( ) ( )( )
( )
=





+
+++−+++
=
′






+
++
=
=
=
3
4
22
32
2
2 1
9652212610
1
965
x
x
x
xxxxxx
x
xxA 
( )
=





+
−−−−−−+++++
=
=3
4
223223
1
1812101812106126102010
xx
xxxxxxxxxx
 
44 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
( )
0
4
122436
1
1284
4
3
4
2
=
−−
=





+
−−
=
=xx
xx
 
( ) ( ) 2
1
16
8
4
965
3
965
2
1
2
2
1 ==
−
+−
=





−
++
=
−=xx
xxB
 
( )
( )( ) ( )( )
( )
=





−
++−−+−+
=
′






−
++
=
−=
−=
1
4
22
12
2
2 3
9656296610
3
965
x
x
x
xxxxxx
x
xxB
 
( )
=





−
+++−−−+−++−
=
−= 1
4
223223
3
54363018121054366906010
xx
xxxxxxxxxx
 
( ) ( )
0
4
1087236
3
1087236
4
1
4
2
=
−
+−−
=





−
++−
=
−=xx
xx
 
( ) ( ) ( ) ( )2222
2
12
1
32
9
13
965
+
+
−
=
+−
++
xxxx
xx Voltando a integral temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ =++−=






+
+
−
=
+−
++
222222
2
12
1
32
9
12
1
32
9
13
965
x
dx
x
dxdx
xx
dx
xx
xx
( ) ( ) cxx ++−−−= 12
1
32
9 
Finalmente: 
( ) ( ) ( ) ( )
c
xx
dx
xx
xx
+
+
−
−
−=
+−
++
∫ 12
1
32
9
13
965
22
2
 
Integração de funções racionais de seno e cosseno 
Quando temos o integral da forma ( )∫ dxsenxxR ,cos , isto é, o integrando é uma 
função racional de xcos e senx , a integral dada pode ser reduzida a uma integral 
de uma função racional, de uma nova variável t , para isso fazemos a 
substituição: 
ππ <<−= xxtgt ;
2
 
Para exprimir uma função integrando em termo de nova variável t , precisamos 
encontrar xcos , senx e dx em função de t . Temos: 
45 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
2
cos
2
2
cos
2
2
1
2
cos
2
2
22 xxsen
xxsenxxsen
senx
+
== , Dividindo o numerador por 
2
cos2 x , temos: 
2
1
2
2
2 xtg
xtg
senx
+
= Fazendo txtg =
2
 temos: 
2
1
2
2 xtg
tsenx
+
= 
2
cos
2
22
cos
cos
2
2
22
xxsen
xsenx
x
+
−
= , 
fazendo mesmos procedimentos termos: 2
2
1
1cos
t
tx
+
−
= 
Exemplo: ( )∫ +=+==⇔=⇔=+ 22 1
2
1
12;2
22
;
cos53 tt
tgtarctgx
tarctg
xxtgt
x
dx 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ −−=−=−
+
+
=
+
−+−
+=
+
−
+
+
4428
1
1
2
1
5533
1
2
1
153
1
2
222
2
2
2
22
2
2
2
2
t
dt
t
dtdt
t
t
t
dt
t
tt
tdt
t
t
t 
( )( )∫ −+−= 22 tt
dt Resolvendo pelo método de fracções parciais temos: 
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 122122
2
2
2
2
22
=++−⇔=++−



−
+
+
+
−
−=
−+
−= ∫ ∫∫ BBtAAttBtAt
tB
t
tA
tt
dt
( )






=
−=
⇔



=+
−=
⇔



=+−
=+
4
1
4
1
122122
0
B
A
BB
BA
BA
BA
 Continuando teremos: 
ctt
t
dt
t
dt
+−−+=





−
+
+
−− ∫ ∫ 2ln4
12ln
4
1
24
1
24
1 Em ternos de x teremos: 
cxtgxtg +−−+= 2
2
ln
4
12
2
ln
4
1 
 
Integração por substituições de Euler 
As integrais do tipo ( )dxcdxaxxR ++∫ 2, , podem ser reduzidas a integral de uma 
forma racional pelas substituições de variáveis de Euler. Destacam se três casos: 
a) 1ª Substituição de Euler: Se a>0 faz se a substituição: 
46 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
txacbxax +±=++2 , para fixar ideias tomemos o sinal positivo antes de a 
então: 222 2 txtaaxcbxax ++=++ donde: 
tab
ctx
−
−
=
2
 
b) 2ª Substituição de Euler: se c>0 fazemos: cxtcbxax ±=++2 , tomando o 
sinal mais antes c teremos: 
cxtctxcbxax ++=++ 2222 donde x pode ser definida como uma função 
racional de t, isto é: 
2
2
ta
btcx
−
−
= logicamente que dx terá que ser exprimida em 
função de t. 
 
c) 3ª Substituição de Euler: sejam βα e as raízes reais do trinómio 
cbxax ++2 , a substituição que tem ser feita é do tipo: 
( )txcbxax α−=++2 . 
Naturalmente, se o trinómio cbxax ++2 tem como raízes reais βα e , isto 
significa que: ( )( )βα −−=++ xxacbxax2 e substituição passará a ser: 
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 222 taxxatxxxatxxxa −=−⇔−=−−⇔−=−− βαβααβα 
exprimindo t em função de x temos: 
2
2
ta
atax
−
−
=
β . 
A troca de variável indicada na terceira substituição de Euler, também é válida não 
somente quando a<0 mas também quando a>0 se o trinómio cbxax ++2 tiver raízes 
reais. 
Exemplos de cálculo de integrais por substituições de Euler: 
1. Calcule as integrais usando a substituição de Euler: 
a) ∫
−+ 34 2 xxx
dx 
 Neste caso, o trinómio apresenta a > 0 e tem raizes reais. Portanto, podemos 
escolher entre a 1ª e a 3ª substituição de Euler. Escollhendo a 1ª temos: 
 
t
txtxtxtxtxxxtxxx
41
3434434234
2
22222
−
+
=⇔+=−⇔++=−+⇔+=−+
 
47 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
( ) ( )
dt
t
ttdt
t
tttdx
t
tx 2
2
2
222
41
1224
41
12482
41
3
−
++−
=
−
++−
=∴
−
+
= Substituindo temos: 
 
( ) ( )
( )( )∫ ∫ ∫∫ ++−+
++−
=
−
−++
−
+
−
++−
=






+
−
+
−
+
−
++−
=
−+
dt
ttt
ttdt
t
ttt
t
t
t
tt
dt
t
t
t
t
t
t
tt
xxx
dx
623
622
41
462.
41
3
41
1224
41
32.
41
3
41
1224
34
22
2
222
2
2
22
2
2
2
∫ +=+= c
tarctg
t
dt
33
2
3
2 2 voltando a substituir em termos de x teremos: 
 
cxxxarctg +−−+=
3
234
3
2 2 
b) ∫
−+ 322 xx
dx 
Solução: Podemos usar a 1ª ou 3ª substituição de Euler. usando a 3ª substituição 
temos ( )( ) ( )txxx 131 −=+− , pois o trinómio tem raízes reais, continuando 
teremos: 
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )txxtxxxtxxx 13131131 22 −=+⇔−=+−⇔−=+− 
( )
1
33133
−
+
=⇔−−=−⇔−−=−⇔−=+⇔
t
txttxtxtxtxtx 
( ) ( )22 1
4
1
31
1
3
−
−
=⇔
−
−−−
=⇒
−
+
=
t
dtdxdt
t
ttdx
t
tx 
Substituindo teremos: 
( ) ( )
( )
( ) cttdttttt
dtdt
t
t
t
t
t
t
dt
t
xx
dx
+−+=




 +
+
−
−=
−
−=
−
−
−
=





 −
−
+
−
−
=
−+
∫∫∫∫ ∫ ln1ln
1
1
1
1
1
4
1
4
1
1
3
1
4
32
22
2
c
x
xxc
x
x
x
xx
c
x
x
x
x
c
t
t
+
−
++−
=+
−
+
−
++−
=+
−
+
−
+
+
=+
+
=
1
31ln
1
3
1
31
ln
1
3
1
31
ln1ln 
 
 
48 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013c) ( ) dx
xxx
xx
∫
++
++−
22
2
2
1
11 
Resolução: Portanto, t>0 e podemos usar a segunda substituição de Euler. 
Façamos 
xttxxxxttxxxxtxx 212111 2222222 +=+⇔++=++⇔+=++ 
já se pode 
exprimir a x em função a t, assim passos a ter: 
( ) ( )( )
( ) ( )
dt
t
ttdt
t
tttdx
t
tx 22
2
22
2
2 1
222
1
12.212;
1
12
−
+−
=
−
−−−−
=
−
−
= 
Substituindo teremos: 
( )
( )
( )
( )
( )
∫∫∫






−
+−






−
−
−
+−






−
−
=





 +
−
−






−
−
−
+−











 +
−
−
−
=
++
++− dt
t
tt
t
t
t
ttt
t
t
dt
t
t
t
t
t
t
ttt
t
t
dx
xxx
xx
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
22
2
2
1
1.
1
12
1
12.
1
12
1.
1
12.
1
12
1
12.1
1
121
1
11
 
c
t
ttc
t
ttdt
t
dt
t
t
+
−
+
+−=+
−
+
+−=





−
+−=
−
= ∫∫ 1
1ln2
1
1ln
2
1.22
1
22
1
2
22
2
 , 
finalmente exprimindo a variável t em função de x temos: 
Da substituição feita 11 2 +=++ xtxx vem: 
x
xxt 11
2 −++
= e a 
solução da integral passa a ser: 
 
( ) c
x
xx
x
xxx
x
xxc
t
ttdx
xxx
xx
+
−++
−
−+++
+
−++
−=+
−
+
+−=
++
++−
∫
111
11
ln11.2
1
1ln2
1
11
2
2
2
22
2
2
 
( )
=+
+++−
−+++
+
−++
−= c
x
xxx
x
xxx
x
xx
11
11
ln
112
2
2
2
( ) c
xxx
xxx
x
xx
+
+++−
−+++
+
−++
−=
11
11ln112
2
22
 
( ) 1211221 222 −=−⇔−=−⇔+=+⇔ ttxtxtxtxtx
49 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
 
 
1.8. Integração de funções irracionais 
 
As funções Irracionais do tipo .,,,
111
Npenmcomxxx pnm ∈




 Determina-se o menor 
múltiplo comum dos índices e usa-se o método de substituição, essas substituições 
também poderão transformar as funções irracionais em Trigonométricas. 
1º Caso: integrais do tipo: 
....,,, 2
2
1
1
dx
dcx
bax
dcx
baxxR
q
p
q
p
∫ 













+
+






+
+ 
Onde R é uma função racional e ,...,,, 2211 qpqp são números inteiros. 
 
 
As integrais deste tipo são achadas através de uma substituição de: 
.nz
dcx
bax
=
+
+ onde n é o menor múltiplo comum dos números ,...,,, 2211 qpqp 
Exemplo: 
( ) 4
4
12:,44;2
1212
)1 zxfazemosmmcsendo
xx
dx
=−=
−−−∫ 
Reduz se a integral da forma: 
( )∫ ∫ ∫ ∫ +−++=




−
++=
−
=
−
=
−−−
Czzdz
z
z
z
dzz
zz
dzz
xx
dx 1ln21
1
112
1
22
1212
2
2
2
3
4
 
 Substituindo temos: ( ) ( ) Cxx +−−+−+ 112ln121 424 
 
 
2º Caso: Integrais do tipo 
( )
∫
++
dx
cbxax
xPn
2
 onde ( )xPn é um polinómio de grau n. 
Para determinar a integral deste tipo supõe se que: 
50 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
( ) ( ) ∫∫
++
+++=
++
−
cbxax
dxcbxaxxQdx
cbxax
xP
n
n
2
2
12
λ onde ( )xQn 1− é um 
polinómio de grau (n-1) com coeficiente indeterminado e λ é um número. 
Os coeficientes do polinómio ( )xQn 1− e o número λ são encontrados através da 
derivação da identidade ( ) ( ) ∫∫
++
+++=
++
−
cbxax
dxcbxaxxQdx
cbxax
xP
n
n
2
2
12
λ . 
 
Exemplo: 
a) ∫ + dxxx 422 
Solução: 
Esta integral pode ser escrita na forma: 
( )
∫∫∫
+
+
=
+
+
=+ dx
x
xxdx
x
xxdxxx
4
4
4
44
2
24
2
22
22 , portanto o numerador é um 
polinómio de grau 4 , assim n-1=3 e teremos: 
 
( ) ∫∫
+
+++++=
+
+
4
4
4
4
2
223
2
24
x
dxxDCxBxAxdx
x
xx λ 
Derivado ambos membros teremos: 
( ) ( )
44
.423
4
4
22
2322
2
24
+
+
+
+++++++=
+
+
xx
xDCxBxAxxCBxAx
x
xx λ 
Igualando os denominadores e eliminando os teremos: 
( )( ) ( ) λ++++++++=+ xDCxBxAxxCBxAxxx .4234 232224 
λ++++++++++=+⇔ DxCxBxAxCBxAxCxBxAxxx 234223424 4612234 
λ+++++++=+⇔ DxCBxAxCxBxAxxx 46122344 223424 








=+
=+
=+
=
=
⇔
04
06
4122
03
41
λC
DB
AC
B
A
 Donde 












−=
=
=
=
=
2
0
2
1
0
4
1
λ
D
C
B
A
 
51 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Portanto da integral ( ) ∫∫
+
+++++=
+
+
4
4
4
4
2
223
2
24
x
dxxDCxBxAxdx
x
xx λ vem: 
cxxxxx
x
dxxxxdx
x
xx
+++−+




 +
=
+
−+




 +=
+
+
∫∫ 4ln244
2
4
24
2
1
4
1
4
4 223
2
23
2
24
 
 
b) ∫
+− 12
2
xx
dxx 
Solução: 
( ) ∫∫
+−
++−+=
+− 1
1
1 2
2
2
2
xx
dxxxBAxdx
xx
x λ 
Para determinar os coeficientes temos que derivar a identidade acima, assim 
teremos: 
( )( )
112
121.
1 22
2
2
2
+−
+
+−
−+
++−=
+− xxxx
xBAxxxA
xx
x λ Igualando os 
denominadores e eliminando os teremos: 
( ) λ222122 222 +−+−++−= BBxAxAxxxAx 
λ2222222 222 +−+−++−=⇔ BBxAxAxAAxAxx 
( ) λ222342 22 +−++−+=⇔ BAxBAAxx , Donde segue-se o sistema: 





+−=
+−=
=
λ220
230
42
BA
BA
A
 Donde teremos como solução 









−=
=
=
8
1
4
3
2
1
λ
B
A
 
Voltando a identidade ( ) ∫∫
+−
++−+=
+− 1
1
1 2
2
2
2
xx
dxxxBAxdx
xx
x λ 
teremos: 
∫∫
+−
−+−




 +=
+− 18
11
4
3
2
1
1 2
2
2
2
xx
dxxxxdx
xx
x 
 
52 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
cxxxxxx
x
dxxxx ++−+−−+−+=
+




 −
−+−




 += ∫ 12
1ln
8
11
4
32
4
3
2
18
11
4
32 22
2
2
 
 
cxxxxxxcxxxxxx ++−+−−+−+=++−+−−+−+= 1212ln
8
11
4
32
2
1212ln
8
11
4
32 2222
 
 
 
 
 
3º Caso :Integrais do tipo: 
( )∫ ++− cbxaxx
dx
n 2α
 
Estas integrais reduzem se ao caso anterior bastando usar a substituição ( ) tx =−α
1 
Exemplo: 
Achar a integral: 
( )∫ ++ xxx
dx
21 23
 
Solução: 
Seja: 11
1
1
−=⇔=
+ t
xt
x
 e dt
t
dx 2
1
−= assim teremos: 
 
( ) ∫ ∫ ∫∫ −
−=
−++−
−=





 −+




 −





−
=
++
2
2
2
23
2
23 122121112111
1
21
t
t
dtt
ttt
dttdt
ttt
t
xxx
dx
 
∫
−
−=
2
2
1 t
dtt 
Portanto, é uma integral da forma 
( )
∫
++
dx
cbxax
xPn
2
 , assim, a sua solução é da forma 
53 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
( ) ( ) ∫∫
++
+++=
++
−
cbxax
dxcbxaxxQdx
cbxax
xP
n
n
2
2
12
λ , desta maneira teremos: 
( ) ∫∫
−
+−+=
−
−
2
2
2
2
1
1
1 t
dttBAt
t
dtt λ Derivando a identidade acima teremos, 
( )
22
2
2
2
11
1
1 tt
BAtttA
t
t
−
+
−
+
−−=
−
−
λ Igualando os denominadores, e eliminando-
os teremos: ( ) ( ) λλ +−−−=⇔++−−=− BtAtAtAtBAtttAt 22222 1 Donde 
teremos o sistema de equações: 







−=
=
=
⇒





=+
=
−=−
2
1
0
2
1
0
0
12
λλ
B
A
A
B
A
 Substituindo esses coeficientes na identidade 
( ) ∫∫
−
+−+=
−
−
2
2
2
2
1
1
1 t
dttBAt
t
dtt λ teremos: 
( ) ctarcsentt
t
dttt
t
dtt
+−−=
−
−−=
−
− ∫∫ 2
11
212
11
21
2
2
2
2
2
 
Exprimindo o resultado em termos de x, sabendo que 
1
1
+
=
x
t teremos: 
( ) ( ) ( )
c
x
arcsen
xxt
dtt
xxx
dx
+
+
−
+
−
+
=
−
−=
++
∫∫ 1
1
2
1
1
11
12
1
121
22
2
23
 
 
( ) ( )
c
x
arcsenxx
xxxx
dx
+
+
−+
+
=
++
∫ 1
1
2
12
12
1
21
2
223
 
 
54 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Integrais dos binômios diferenciais 
 São integrais do tipo: ( )∫ + dxbxax
pnm . onde m, n e p são números racionais. 
Condições de Tchebichev: 
A integral ( )∫ + dxbxax
pnm . pode ser expressa por meio de uma combinação finita de 
funções elementares somente nos seguintes três casos: 
• Quando p e são números inteiros , então a sbstituição a ser feita depende de 
cada exercício, nalguns pode se empregar a substituição zxzbxa nn =∨=+ 
• Quando 
n
m 1+ é um número inteiro. Aqui, emprega-se a substituição 
sn zbxa =+ , onde s é o denominador da fracção p; 
• Quando p
n
m
+
+1 é um número inteiro. Neste caso, emprega-se a substituição 
sn zbax =+− . 
 
Exemplos : 
a) ∫
+ dx
x
x3 41 
Solução: 
Esta integral pode ser escrita na forma: 
∫∫ 






+=
+ − dxxxdx
x
x 3
1
4
1
2
13 4
11 , donde facilmente podemos extrair facilmente m , n 
e p. 
Ou seja 
3
1
4
1;
2
1
==−= penm , já évisível que p não é inteiro, portanto não se 
trata da 1ª condição de Tchebichevi , temos que verificar se trata se do 2ª condição, isto 
é: verificar se 
55 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Z
n
m
∈
+1 então temos: Z∈==
+−
2
4
1
2
1
4
1
1
2
1
 , assim a substituição a ser feita é do tipo 
sn zbxa =+ como, s representa o denominador de P, ou seja s=4 então: 
34
1
1 zx =+ donde: 
( ) ( ) ( ) dzzzdzzzdxzx 33233243 11213.4;1 −=−=−= substituindo temos: 
( )[ ] ( ) ( )∫ ∫∫ −−=






+=
+ −− dzzzzzdxxxdx
x
x 3323
1
32
1
43
3
1
4
1
2
13 4
112..111
, 
( )
( )
( ) ( ) czzdzzzdxzzdz
z
zz
+





−=−=−=
−
−
= ∫∫∫ 4712121121
112 473633
23
333
 
czz +−= 4
7
3
7
12 , já que 
34
1
1 zx =+ vem que 3 41 xz += exprimindo a solução em 
função de x temos. 
( ) ( ) cxxdx
x
x
++−+=
+
∫ 3
443 74
3 4
131
7
121
 
b) ∫ 






+ dxxx
4
1
3
2
3
1
2 
Solução: 
Portanto não se trata do 1º caso das condições de Tchebichev pois, 
4
1
=p não é inteiro. 
Temos que verificar se: 2
3
2
3
4
3
2
1
3
1
1
==
+
=
+
n
m é um número inteiro então a substituição 
do tipo ( ) ( ) dzzzdxzxzxzbxa sn 2
1
432
3
443
2
2622 −=→−=⇔=+→=+ portanto 
substituindo teremos: 
56 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫ −=−=−





−=







+ dzzzdzzzdzzzzzdxxx 48442
1
434
1
4
3
1
2
3
4
4
1
3
2
3
1
1266.226..12
 
czzczz +−=+−= 5
4
59
15
3610
5
12
3
2 da substituição feita inicialmente teremos: 
4 3
2
2 






+= xz donde teremos como solução: 
 
 
 
 
 
c) 
( )
∫
+ 2
3
22 1 xx
dx 
Solução: 
 
( )
( )∫∫
−− +=
+
dxxx
xx
dx
2
3
22
2
3
22
1
1
 Nota se que 
2
3;2;2 −==−= pnm 
Portanto, 
2
1
2
121
−=
+−
=
+
n
m não é número inteiro, portanto não se trata da 2ª 
condição de Tchebichev, temos que verificar se obedece a 3ª condição: 
2
2
3
2
1
2
3
2
121
−=−−=−
+−
=+
+ p
n
m é um número inteiro, pelo que a substituição será 
do tipo: 
sn zbax =+− , concretamente: 
22 1 zx =+− donde: ( ) 2
1
222 11 −− −=⇔−= zxzx ; 
( ) 2
3
2 1.
−
−−= zzdx 
cxxcx
x
dxxx +






+
−
=+







+
−







+
=







+∫
4
5
3
23
2
4
5
3
2
3
2
4
1
3
2
3
1
2
15
16102.
15
36210
2
57 
 
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Substituindo teremos: 
( )
( ) ( )[ ] ( )∫∫∫∫ −−−−−−−− +=+=+=
+
dxxxdxxxxdxxx
xx
dx
2
3
252
3
2222
3
22
2
3
22
111
1 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫ −−
−−−−− −−=−−=−−−=+= dzzdzzzdzzzzzdxxx 2222
3
23.2
5
22
3
25 1.11..11
 
c
x
xc
x
xc
x
xc
z
z +
+
+
−=+
+
+
−=+







+
++−=+




 +−
−
−
−
−
11
21
1
2
1
111
2
2
2
2
2
2
 
( ) c
x
xxc
x
x
x
xc
x
x
x
x
+




 ++−=+
+
+
−=+
+





 +
−=
− 121
1
.
.
21
1
21
2
1
2
22
2
2
2
2
2
 
 
 
 Integração de funções trigonométricas 
 
As identidades trigonométricas são frequentemente utilizadas quando calculamos 
integrais envolvendo funções trigonométricas. As identidades a seguir são cruciais: 
 
1. 
)(
1)sec(cos
xsen
x = 
2. 
)cos(
1)sec(
x
x = 
3. 
)(
1)(cot
xtg
xg = 
4. 
)cos(
)()(
x
xsenxtg = 
5. 
)(
)cos()(cot
xsen
xxg = 
6. sen2(x) + cos2(x) = 1 
7. tg2(x) + 1 = sec2(x) 
8. cotg2(x) + 1 = cosec2(x) 
9. ( )xxsen 2cos1
2
12 −= 
10. ( )xx 2cos1
2
1cos2 += 
11. ( ) ( )[ ]yxyxsenysenx ++−= coscos
2
1. 
12. ( ) ( )[ ]yxsenyxsenysenx −++=
2
1cos 
58 
 
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13. ( ) ( )[ ]yxyxyx ++−= coscos
2
1coscos
59 
 
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Sabemos que a fórmula 6, é a fórmula fundamental da trigonometria, e dela pode obter-
se outras fórmulas que nos facilitem no processo de integração de funções 
trigonométricas. 
Existem vários casos de integrais de funções trigonométricas: 
 
1º Caso: Integrai do tipo: ∫ ∫ duueudusen nn cos 
Para esse casos, usamos as identidades que servirão nos de artifícios para facilitar a 
integração. 
As identidades frequentemente utilizadas para a integração são: 
 
a) 1cos22 =+ xxsen 
b) ( )xxsen 2cos1
2
12 −= 
c) ( )xx 2cos1
2
1cos2 += 
 Para casos em que o expoente n é ímpar usa se a identidade 1cos22 =+ xxsen , e para 
casos em o expoente n é par usa se a identidade ( )xxsen 2cos1
2
12 −= para 
∫ udusenn e a identidade ( )xx 2cos12
1cos2 += para ∫ uduncos 
Exemplo 1: 
Ache a integral ∫ xdx5cos 
Solução: n é ímpar então usaremos a identidade 1cos22 =+ xxsen donde 
xsenx 22 1cos −= então teremos: 
 
( ) ( )∫∫ ∫∫ −=== xdxxsenxdxxxdxxxdx cos1coscoscos.coscos
222245 
( ) ( )∫ ∫ +−=+− dxxxsenxxsenxdxxxsenxsen coscos2coscos21 4242 
cxsenxsensenxdxxxsenxdxxsenxdx ++−=+− ∫ ∫∫ 53
2coscos2cos
5
342 
 
60 
 
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Exemplo 2:
 
 Calcule a integral ∫ xdxsen3 
O expoente n é ímpar por isso, vale a identidade 1cos22 =+ xxsen , donde 
xxsen 22 cos1−= , assim teremos: 
( ) ( )∫ ∫ −=− dxxsenxsenxdxsenxx 22 cos..cos1 
∫ ∫ ++−=− C
xxxsenxsenxdx
3
coscoscos
3
2 
 
Exemplo 3: Calcule a integral ∫ dxxsen 2 
Solução: O expoente n é par, então usamos a identidade ( )xxsen 2cos1
2
12 −= , 
assim teremos: 
( )∫ ∫ ∫ +−=−=
−= Cxsenxdxxdxxdxxsen
4
2
2
12cos1
2
1
2
2cos1.2 
 
Exemplo 4: Calcular a integral ∫ xdx4cos 
Solução: O expoente n é par , então usamos a identidade: ( )xx 2cos1
2
1cos2 += 
( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫∫ ++=


 +== dxxxdxxdxxxdx 2cos2cos21
4
12cos1
2
1coscos 2
2
224 
( )dxxxsenxdxxdxxdx ∫∫∫∫ +++=++ 4cos18
12
4
1
4
2cos
4
12cos
2
1
4
1 2 
cxsenxsenxcxsenxxsenxcxsenxxsenx +++=++++=+




 +++=
32
42
4
1
8
3
32
4
8
2
4
1
44
4
8
12
4
1
4
 
Portanto cxsenxsenxxdx +++=∫ 32
4
4
2
8
3cos4 
 
2º Caso: Integrais do tipo ∫ duuusen nm cos 
61 
 
Sebenta de Cálculo Integral – Álvaro Zacarias & Nelson Tomás Domingos – UP – Manica - 2013 
 
Quando pelo menos um dos expoentes é ímpar usamos a identidade 
1cos22 =+ xxsen e quando os dois expoentes são pares usamos geralmente as 
identidades ( )xxsen 2cos1
2
12 −= ou ( )xx 2cos1
2
1cos2 += e durante o 
processo de resolução pode haver necessidade de usar a identidade 
1cos22 =+ xxsen . 
Exemplo 1: 
Calcular a integral ∫ xdxxsen cos5 
Portanto um dos expoentes é ímpar, pelo que vale a identidade 
1cos22 =+ xxsen 
Assim teremos: 
( ) ( )∫ ∫∫ +−=−= dxxsenxxxdxxsenxxxdxxsen 2422
2225 coscoscos21coscos1cos
 
( ) cxxxdxxsenxxsenxxsenx +−+−=+−∫ 7
cos
5
cos2
3
coscoscos2cos
753
642 
Portanto: 
cxxxxdxxsen +−+−=∫ 7
cos
5
cos2
3
coscos
753
25 
Exemplo 2: 
Calcular a integral: ∫ xdxxsen 42 cos 
Solução: Os expoentes m e n são pares, pelo que usamos as identidades: 
( )xxsen 2cos1
2
12 −= ou ( )xx 2cos1
2
1cos2 += e teremos: 
( ) ( ) =


 +−= ∫∫ dxxxxdxxsen
2
42 2cos1
2
12cos1
2
1cos
( )( ) ( )dxxxxxxdxxxx ∫∫ −−−++=++−= 2cos2cos22cos2cos2cos218
12cos2cos212cos1
8
1 3222
 
( ) ( )=−−+=−−+ ∫ ∫∫∫∫ xdxdxxdxxdxdxxxx 2cos2cos2cos8
12cos2cos2cos1
8
1 3232 
( ) ( )∫ ∫ =−−+−+ xdxxsendxx
xsenx 2cos21
8
14cos1
16
1
16
2
8
2 
62 
 
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( )∫ −−−−+= dxxxsenx
xsenxxsenx 2cos22cos
8
1
64
4
1616
2
8
2 
cxsenxsenxcxsenxsenxsenxsenx ++−=++−−+=
48
2
64
4
1648
22
16
1
64
4
16
2
16
33
 
Portanto: 
cxsenxsenxxdxxsen ++−=∫ 48
2
64
4
16
cos
3
42 
 
3º Caso: Integrais trigonométricas da forma ∫∫ duugeduutg nn cot com 
m e n números inteiros positivos 
Como nos casos anteriores, usamos os artifícios: 
1sec22 −= uutg e 1cos 22 −= uecuctg 
 
Exemplos: 
1. Calcular