Cálculo Integral de uma variável I

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Autoras: Profa. Isabel C. O. Navarro Espinosa
 Profa. Valéria de Carvalho
Colaboradores: Profa. Márcia Vieira
 Profa. Mirtes Mariano
 Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Cálculo Integral 
de uma Variável
Professoras conteudistas: Isabel C. O. Navarro Espinosa / Valéria de Carvalho
Isabel Cristina de Oliveira Navarro Espinosa
Graduada em Matemática pela Faculdade Oswaldo Cruz e mestre em Educação Matemática pela Pontifícia 
Universidade Católica (PUC – SP), leciona no Ensino Superior desde 1981. É professora do curso de pós-graduação 
lato sensu em Educação Matemática das Faculdades Oswaldo Cruz e da Universidade Paulista (UNIP), nas modalidades 
Presencial e EaD – Educação a Distância. Coautora dos seguintes livros: Geometria analítica para computação, editora 
LTC; Álgebra linear para computação, editora LTC; Matemática: complementos e aplicações nas áreas de ciências 
contábeis, administração e economia, editora Ícone.
Valéria de Carvalho 
Especialista em Matemática pelo IMECC (Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica), mestre 
e doutora em Educação Matemática pela Faculdade de Educação – Unicamp, e professora do Ensino Superior desde 
1988. Trabalhou com temas que abrangem Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs) em projetos de 
Educação Continuada, envolvendo docentes de Matemática, no LEM (Laboratório de Ensino de Matemática – IMECC) 
e na Faculdade de Educação, ambos na Unicamp, sempre como professora colaboradora. Atuou como professora da 
UNIP e coordenadora do curso de Matemática na modalidade EaD. Possui publicações em anais de congressos fora do 
Brasil e capítulos de livros em nossa língua, pensando o trabalho docente, a educação matemática crítica e a sociedade. 
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
E77c Espinosa, Isabel Cristina de Oliveira Navarro
Cálculo Integral de uma Variável / Isabel Cristina de Oliveira 
Navarro Espinosa, Valéria de Carvalho. – São Paulo: Editora Sol, 2023.
160 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ISSN 1517-9230.
1. Conceito de derivada. 2. Cálculo de integrais. 3. Máxima. 
I. Carvalho, Valéria de. II. Título.
CDU 517
U517.15 – 23
Profa. Sandra Miessa
Reitora
Profa. Dra. Marilia Ancona Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Profa. Dra. Marina Ancona Lopez Soligo
Vice-Reitora de Pós-Graduação e Pesquisa
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UNIP EaD
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Profa. M. Isabel Cristina Satie Yoshida Tonetto
Prof. M. Ivan Daliberto Frugoli
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
 Material Didático
 Comissão editorial: 
 Profa. Dra. Christiane Mazur Doi
 Profa. Dra. Ronilda Ribeiro
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista
 Profa. M. Deise Alcantara Carreiro
 Profa. Ana Paula Tôrres de Novaes Menezes
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
Revisão:
 Elaine Fares
 Amanda Casale
Sumário
Cálculo Integral de uma Variável
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 CONCEITO DE DERIVADA .................................................................................................................................9
1.1 Notações de derivada ............................................................................................................................9
1.2 Regras de derivação ............................................................................................................................ 10
1.3 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 18
2 INTEGRAL – PRIMEIROS CONCEITOS ....................................................................................................... 20
2.1 Primitiva ou antiderivada ................................................................................................................. 21
2.2 Integral indefinida ............................................................................................................................... 22
2.3 Integral imediata .................................................................................................................................. 23
2.4 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 30
3 MÉTODOS PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS (NÃO IMEDIATAS) ................................................... 33
3.1 Integração por substituição ............................................................................................................. 33
3.2 Integração por partes ......................................................................................................................... 38
3.3 Integração de algumas funções trigonométricas ................................................................... 41
3.4 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 45
4 INTEGRAL DE RIEMANN ............................................................................................................................... 47
4.1 Partição ..................................................................................................................................................... 48
4.2 Soma de Riemann ................................................................................................................................ 49
4.3 Integral definida ou integral de Riemann .................................................................................. 49
4.4 Teorema Fundamental do Cálculo Integral (TFCI) ................................................................... 50
4.5 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 53
Unidade II
5 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA ..................................................................................................... 68
5.1 Cálculo de áreas .................................................................................................................................... 68
5.2 Comprimento de arco ......................................................................................................................... 74
5.35.3 Ampliando seu leque de exemplos ......................................................................................... 76
6 SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO ............................................................................................................................. 78
6.1 Área de sólidos de revolução (rotação) ....................................................................................... 79
6.2 Volume de sólidos de revolução (rotação) ................................................................................. 81
6.3 Ampliando seu leque de exemplos................................................................................................ 85
Unidade III
7 USANDO O MAXIMANO CÁLCULO INTEGRAL .................................................................................... 98
7.1 Maxima: o software, a instalação e os recursos básicos ...................................................... 98
8 TÓPICOS DE CÁLCULO .................................................................................................................................126
8.1 Recursos básicos do Maxima envolvendo conceitos de cálculo .....................................126
8.2 Maxima aplicado ao estudo de integrais indefinidas ..........................................................127
8.3 Maxima aplicado ao estudo de integrais definidas ..............................................................141
7
APRESENTAÇÃO
Caros alunos,
Iniciaremos nosso estudo apresentando o conceito de derivada, que é a operação inversa da integral. 
O estudo das integrais de funções de uma variável é o principal foco nesta disciplina.
Na unidade I, serão apresentados os conceitos de derivadas e de integral com antiderivada. Teremos 
também a apresentação das primeiras regras para o cálculo de integrais indefinidas, que são consideradas 
integrais imediatas.
Ainda nessa unidade, estudaremos a resolução de integrais por substituição e por partes. 
Abordaremos a noção de partição, a soma de Riemann, o Teorema Fundamental do Cálculo e as 
integrais definidas.
Na unidade II, apresentaremos algumas aplicações de integral definida para estudo, dentre elas, o 
cálculo de áreas de regiões e o cálculo de áreas e volumes de sólidos de revolução.
Por fim, na unidade III, você encontrará uma introdução ao software Maxima e algumas aplicações 
no cálculo integral.
Ao final de cada tópico há uma série de exemplos para fundamentar, facilitar e apoiar seus estudos 
presentes e futuros.
Esperamos que você seja capaz de identificar os conhecimentos e aplicações matemáticos, de forma 
bem embasada, relativos à temática “integração de funções de uma variável” e necessários para que se 
torne um bom profissional de Ensino Fundamental, Médio ou Superior.
Esteja sempre atento aos usos e ao papel social da matemática na função profissional que 
desempenhará. Em seu estudo, procure sempre identificar e superar suas dificuldades e limitações 
individuais, buscando maneiras de aprender a aprender que viabilizem seu desenvolvimento pessoal e 
profissional e possibilitem a você prosseguir os seus estudos de forma fundamentada.
Você deve se focar em ser um profissional capaz de trabalhar de forma integrada com os professores 
de sua área e de outras, de apoiar-se em pacotes computacionais livres para aprender, ensinar e fazer 
matemática. Procedendo assim, certamente irá contribuir de maneira efetiva com avanços na proposta 
pedagógica de seu futuro local de trabalho.
Esperamos ainda que se torne um professor que saiba reconhecer as dificuldades individuais de seus 
alunos e consiga sugerir e implementar caminhos alternativos de aprendizagem que permitam a eles 
desenvolver e prosseguir os estudos.
8
INTRODUÇÃO
Nesta disciplina, estudaremos as noções básicas de derivadas, mas não abordaremos neste 
momento a definição formal, apoiada em limites. Faremos nossos estudos e cálculos utilizando as 
regras de derivação.
Além disso, faremos o estudo de integrais indefinidas, imediatas, por substituição e por partes; outros 
métodos de integração não serão objeto desta disciplina.
O conceito de soma de Riemann, integrais definidas e o Teorema Fundamental do Cálculo também 
são foco de estudo e aprendizagem; somam-se ainda aos assuntos centrais de interesse da disciplina 
as aplicações de integral definida, bem como o cálculo de áreas, o comprimento de arco e as áreas e 
volumes de sólido de revolução.
Conforme já dissemos, apresentaremos, na última unidade, o software Maxima e algumas aplicações 
no estudo de integrais.
9
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Unidade I
O foco de nosso estudo são as integrais, mas para isso é necessário que você saiba trabalhar com derivadas.
Assim, iniciaremos esta unidade trabalhando com o conceito de derivadas. Faremos o cálculo de 
derivadas utilizando as regras de derivação.
1 CONCEITO DE DERIVADA
O conceito de derivada está ligado ao conceito de taxa de variação, de valor aproximado.
Neste texto não utilizaremos a definição para o cálculo de derivadas, faremos uso das propriedades 
e das regras de derivação.
 Saiba mais
Para saber mais sobre a definição de derivadas, acesse o site:
Disponível em: http://ecalculo.if.usp.br/. Acesso em: 8 jan. 2012.
Clique no botão “Derivadas” e selecione o tema “Derivada de uma função 
em um ponto do domínio”. Ainda na página “Derivadas”, recomendamos 
visitar e estudar os demais temas apresentados após terminar o estudo do 
conceito de derivada aqui apresentado.
1.1 Notações de derivada
Dada uma função y = f(x), podemos escrever a sua derivada em um ponto qualquer:
y ou f’ ’(x) ou 
dy
dx
 ou 
df(x)
dx
10
Unidade I
Quando queremos escrever a derivada da função em um ponto particular x0 escrevemos:
y x ou f x ou
dy
dx
x ou
df x
dx
’( ) ’( ) ( )
( )
0 0 0
0 
Veremos agora algumas regras para calcular a derivada de uma função, cada uma delas vem 
acompanhada de exemplos para que você entenda como utilizá-las.
1.2 Regras de derivação
1) y c y = ⇒ =’ 0 , c é constante
Exemplos:
a) y y = ⇒ =5 0 ’
b) f(x) = a + 4
Note que f é função de x, então (a+4) é constante e a derivada de f(x) = a + 4 deve ser calculada 
pela regra 1, f ’ (x) = 0.
2) y x y = ⇒ =’ 1
y k x y k = ⇒ =’
Exemplos:
a) y = 3 x
A função é formada por uma constante multiplicada pela variável, assim sua derivada será igual à 
constante, logo:
y’ = 3
b) y = - 2 x
Novamente a função é formada por uma constante multiplicada pela variável, assim sua derivada 
será igual à constante, logo:
y’ = - 2
11
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
c) y = 1,5 x
Outra função formada por uma constante multiplicada pela variável, assim sua derivada será igual 
à constante, logo:
y’ = 1,5
3) y c x y c n xn n = ⇒ = ’ . . -1, c é constante
Exemplos:
a) y x y x x = ⇒ = =2 2 12 2’ .-
b) y x y x x = ⇒ = = −- ’ - . . -2 2 4 84 4 1 3
c) y x y x x = ⇒ = =3 3 2 62 2 1 3- - - -’ . (- ) . -
d) f x a x( ) ( - ) = 1 5
Note que f é função de x, então o termo (a – 1) é constante e deverá ser considerado como o c da 
regra 3, assim a derivada de f(x) = (a – 1) x 5 será:
f‘(x) = (a -1) . 5 . x5 – 1 = 5 (a – 1) x4
 Observação
Esta regra muitas vezes é chamada de regra do tombo, pois 
“derrubamos o expoente”.
4) y e y ex x= ⇒ = ’
y c e y c ex x= ⇒ = ’ , c constante
y a a y a ax x= ≠ ⇒ =, ’ ln 0 
Exemplos:
a) y e
x= − 4
A função é formada por uma constante e pela exponencial, temos então que sua derivada 
será igual a
y e ex x’ ( )’= − = − 4 4
12
Unidade I
b) y x= 4 
Temos agora a derivada de uma função exponencial e, como a base não é igual a e, você deve utilizar 
a 2ª regra da exponencial, assim a derivada da função será igual a:
y Lnx’ .= 4 4 
c) y x= 2 5 .
Novamente a função é uma exponencial com base diferente de e, agora multiplicada por uma 
constante. Vamos utilizar a 2ª regra da exponencial, assim a derivada será a constante multiplicada pela 
derivada da exponencial, isto é,
y Lnx x’ . ’ .= ( )2 5 2 5 5 = 
5) y x y
x
= ⇒ =ln ’ 1
Exemplos:
a) y = 2 ln x
A função é formada por uma constante multiplicada pelo ln x, assim a derivada da função será a 
constante multiplicada pela derivada do ln x, isto é,
y Ln x
x
’ . ’ .= ( ) =2 2 1 
b) y = - 3 ln x
A função é formada por uma constante multiplicada pelo ln x, assim a derivada da função será a 
constante multiplicada pela derivada do ln x, isto é,
y Ln x
x x
’ - . ’ - .
-= ( ) = = 3 3 1 3
y x
x x
’ - . ( ln )’ - .= = = − 5 5 1 5
6) derivada da soma e da diferença
y f x g x y f x g x= + ⇒ = +( ) ( ) ’ ’( ) ’( ) 
y f x gx y f x g x= ⇒ =( ) - ( ) ’ ’( ) - ’( ) 
13
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
 Observação
Esta regra pode ser generalizada para um número qualquer de parcelas, 
bastando calcular a derivada de cada parcela e depois efetuar a soma ou 
subtração dos resultados.
Exemplos:
a) y x x= +3 2 
A função é formada pela soma de duas outras, f(x) = x3 e g(x) = 2 x. Você vai encontrar a derivada de 
y utilizando a regra apropriada para cada parcela, a regra 3 para f(x) e a regra 2 para g(x).
Assim teremos:
y x x x’ ’ ’= ( ) + ( ) = +3 22 3 2 
b) y x x ex= − + 2 34 2- -
A função é formada pela soma de três outras:
f(x) = - 2 x4, g(x) = 3 x –2 e h(x) = – ex.
Você vai encontrar a derivada de y utilizando a regra apropriada para cada parcela. Neste exemplo, 
usaremos a regra 3 para f(x) e g(x) e a regra 4 para h(x).
Assim teremos:
y x x ex’ ’ ’ ’-= −( ) + ( ) − ( ) 2 34 2
y x ex’ - -� � �� � �� . 4 . x + 3 . 2 24 1 2 1
y x ex’ = − −− x - 6 8 3 3
c) y x x= − + 3 53 1-
Novamente temos a função formada pela soma de outras duas, f(x) = -3 x3 e g(x) = 5 x -1. Utilizando 
a regra 3 para f e g, temos:
y x x’ ’ ’-= −( ) + ( ) 3 53 1
y x x’ . . . (- )- - -= − + 3 3 5 13 1 1 1
y x x’ - = − −9 52 2
14
Unidade I
7) derivada do produto
y f x g x y f x g x f x g x= ⇒ = +( ) . ( ) ’ ’( ) . ( ) ( ) . ’( ) 
ou
y u v y u v u v = ⇒ = +. ’ ’ . . ’
Exemplos:
a) y x x x= +( ) . ( - )2 2 3 
Queremos calcular a derivada do produto das funções u x x x e v x x ( ) ( ) ( ) . ( - )= + =2 2 3
Para isso calcularemos as derivadas separadamente e depois as substituiremos na regra 7.
Calculando a derivada das funções u e v, temos:
 u x x’( ) .= +1 2 
v x’( ) = − =2 0 2
Substituindo na regra, temos:
y u v u v u v x x x’ ( . )’ ’ . . ’ ( )’ . ( - )= = + = + 2 2 3 + +( ) . ( - )’x x x2 2 3
y x x x x’ ( ) . ( - ) ( ) . ( )= + + +1 2 2 3 22 
Utilizando a propriedade distributiva, temos:
y x x’ = − −6 2 32 
b) y x x x= + +( ) . ( )5 3 12 
Queremos calcular a derivada do produto das funções u x x x ( ) ( )= +5 3 2 e v x x ( ) . ( )= + 1 ,
Para isso calcularemos as derivadas separadamente e depois as substituiremos na regra 7.
Calculando a derivada das funções u e v, temos:
u x x’( ) .= +5 6 
v x’( ) =1
15
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Substituindo na regra, temos:
y u v u v u v x x x’ ( . )’ ’ . . ’ ( )’ . (= = + = + + 5 3 12 )) ( ) . ( )’ + + +5 3 12x x x
y x x x x’ ( ) . ( ) ( ) .� � � � �5 6 1 5 3 12 
Utilizando a propriedade distributiva, temos:
y x x’ � � �9 16 52 
8) derivada do quociente
y
f x
g x
y
f x g x f x g x
g x
= ⇒ = −
( )
( )
( )
’
’( ) . ( ) ( ) . ’( )
( )
 
 
2
Exemplos:
a) y
x x
x
= +
+
2 4 5
3
-
( )
 
 
A nossa função é o quociente de duas funções: u x x x ( ) = − +2 4 5 e v (x) . (x 3) .= +
Podemos calcular as derivadas de u e v separadamente e depois substituir na regra do quociente, assim:
u x x’( ) . -= 2 4
v x’( ) =1
Substituindo na regra, temos:
y
u v u v
v
x x x x
’
’ . . ’ ( )’ . ( ) - (= −
( )
= − + + − 
2
2 24 5 3 44 5 3
3 2
x x
x
+ +
+
) . ( )’
( )
 
 
Utilizando a propriedade distributiva, vem:
y
x x x x
x
’
( ) . ( ) - ( ) .
( )
= − + − +
+
2 4 3 4 5 1
3
2
2
 
 
y
x x
x
’
( )
= + −
+
2
2
6 17
3
 
 
16
Unidade I
b) y
x x
x
=
−
3 4
2 1
-
( )
 
 
A nossa função é o quociente de duas funções: u x x x ( ) = −3 4 e v x x ( ) ( ) .= −2 1
Calcularemos as derivadas de u e v separadamente e depois substituiremos na regra do quociente, assim:
u x x’( ) . -= 3 42
v x’( ) = 2
Substituindo na regra, temos:
y
u v u v
v
x x x x
’
’ . . ’ ( )’ . ( ) - (= −
( )
= − − − 
2
3 34 2 1 44 2 1
2 12
x x
x
) . ( )’
( )
 
 
−
−
Utilizando a propriedade distributiva, vem:
y
x x x x
x
’
( ) . ( ) - ( ) .
( )
�
� � �
�
3 4 2 1 4 2
2 1
2 3
2
 
 
y
x x
x
’
( )
�
� �
�
4 3 4
2 1
3 2
2
 
 
9) derivada da função composta (ou regra da cadeia)
h f y y g x e h f g x h f g x= = = ⇒ =( ), ( ) ( ( )) ’ ’( ( )) . g x’( )
 Lembrete
Ao derivar uma função composta, você deve derivar a função de fora, 
isto é, f(y) e depois a função de dentro, isto é, g(x).
Vejamos alguns exemplos para você entender melhor como aplicar a “regra da cadeia”.
Exemplos:
a) y x = +( )5 2 4
Temos uma regra para derivar a função y = x4, mas no nosso exemplo a função a ser derivada é 
f(u) = u4, em que u indica uma função.
Assim a nossa função é composta, você tem a função g(x) = 5 x + 2 e f(u) = u4.
17
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Utilizando a regra 9 (regra da cadeia), temos:
y x’ ( ) ’= +

 5 2
4
y x x’ ( ) . ( )’� � �� 4 5 2 5 24 1
y x’ ( ) .= + 4 5 2 53
y x’ ( )= +20 5 2 3 
b) y = e3x
Sabemos derivar a função y = ex, mas a função que queremos derivar não tem o expoente igual a x, 
isto é, a função é do tipo y = eu.
Devemos então utilizar a regra da cadeia, daí temos:
y e x’ ’ = 


3
y e x’ . = 3 3
y e x’ . = 3 3
c) y x x ou y x x = =2 2
1
2- ( - )
Sabemos derivar a função y x=
1
2 , mas a função que queremos derivar é do tipo y u= 
1
2 . Assim 
devemos utilizar a regra da cadeia. Daí temos:
y x x’ ( ) ’= −








 2
1
2
y x x x x’ ( ) . ( ) ’= − −
−
 
 1
2
2
1
2
1 2
y x x x’ ( ) . ( )= − −
−
 
 1
2
2 12
1
2
Podemos ainda deixar a função de modo mais usual, isto é, colocar a expressão no denominador 
para que o expoente fique positivo:
y
x
x x
ou y
x
x
’
( )
( )
’
( )= −
−
= − 
 
 
 
 
2 1
2
2 1
22
1
2
22 
 
− x
18
Unidade I
Vamos agora reescrever a nossa tabela de derivadas, utilizando a notação de função composta. Para 
facilitar o estudo da derivada destas funções, usaremos a notação u para indicar a função composta.
Regras de derivação – função composta
1) y k u y k n u un n = ⇒ =. ’ . . . ’- 1
2) y e y u eu u= ⇒ = ’ ’ .
y c e y c u eu u= ⇒ = ’ . ’ . , c constante
3) y u y
u
u
= ⇒ =ln ’ ’ 
4) y sen u y u u= ⇒ = ’ ’ .cos
5) y u y u sen u= ⇒ = −cos ’ ’ . 
1.3 Ampliando seu leque de exemplos
1) Calcular a derivada da função y x x= − −3 4 1 
Resolução:
Para calcular a derivada da função, devemos observar que temos a soma de duas funções, devemos 
separá-las e determinar qual regra é a conveniente para cada caso.
Assim:
y x x’ . ’ ’= ( ) − ( )−3 4 1 
y x x’ . . (- )-= − − − 3 4 14 1 1 1
Logo:
y x x’ = + −12 3 2 
2) Calcular a derivada da função y
x
x
= −
+
3 2
3 1
2
 
Resolução:
Neste caso, temos que utilizar a regra do quociente para encontrar a derivada da função, isto é,
y
f x
g x
y
f x g x f x g x
g x
= ⇒ = −
( )
( )
( )
’
’( ) . ( ) ( ) . ’( )
( )
 
 
2
19
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
ou utilizando uma noção mais simples:
y
u
v
y
u v u v
v
= ⇒ = − ’ ’ . . ’
2
Vamos calcular a derivada de u e de v e depois substituir na regra, assim:
u x u x x= − ⇒ = − =3 2 0 2 2 42 2 1 ’ . --
e
v x v = + ⇒ = + =3 1 3 0 3’
Substituindo na regra, temos:
y
u v u v
v
’
’ . . ’= − 
 2
y
x x x
x
’
. ( ) . ( )
( )
=
−( ) + − −( )
+
4 3 1 3 2 3
3 1
2
2
 
 
Simplificando, temos:
y
x x
x
’
( )
= − − −
+
6 4 9
3 1
2
2
 
 
3) Calcular a derivada da função y e sen xx= + 
2
5
Resolução:
Temos agora a soma de duas funções, uma exponencial e outra trigonométrica, devemos então 
utilizar as regras apropriadas. Note que ambas são funções compostas.
Assim:
y e sen xx’ ’ ’= 



+ ( ) 
2
5
y e x x xx’ ’ cos ( ) . ’= ( ) + ( ) 2 2 5 5
y e x xx’ .cos ( ) .= + 
2
2 5 5
Note que é conveniente escrever 5 cos (5x) no lugar de cos (5x) . 5. É comum que se cometa o erro 
de multiplicar 5x por 5, obtendo, de forma errada, a expressão cos (25 x).
20
Unidade I
Assim a resposta mais conveniente é:
y e x xx’ . cos ( )= + 
2
2 5 5
4) Calcular a derivada da função y Ln x= +( )2 52 
Resolução:
Temos novamente uma função composta, devemos utilizar a regra para Ln u, assim:
y Ln x’ ( ) ’= +

 2 5
2
y
x
x
’
( ) ’
( )
= +
+
2 5
2 5
2
2
 
 
y
x
x
’ =
+
4
2 52
 
 
5) Sabendo que a velocidade é uma taxa de variação, determine a velocidade de um móvel no 
instante t, sendo S t t t( ) = − + 2 8
Resolução:
Como a velocidade é uma taxa de variação, utilizaremos a derivada de S(t) para determinar a 
velocidade do móvel.
Calculando a derivada de S(t), temos:
V t S t t t( ) ’( ) ’= = − +( ) 2 8
V t t( ) -= + 2 8
2 INTEGRAL – PRIMEIROS CONCEITOS
Por vezes, conhecemos a derivada de uma função, mas precisamos determinar a função.
Por exemplo, a equação da velocidade de um móvel é dada pela derivada da equação do espaço. Se 
você conhece a função velocidade e precisa determinar a posição do móvel em um instante t, vai utilizar 
a noção de antiderivação.
Mas, afinal, o que é uma primitiva?
21
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
2.1 Primitiva ou antiderivada
Tomemos f como uma função real contínua em um intervalo I. Chamamos de primitiva de f no 
intervalo I à função F, derivável em I, tal que F’(x) = f(x), ∀ ∈x l .
Assim, para determinar a integral de uma função f, você deve pensar em qual é a expressão que 
quando calculamos a sua derivada o resultado é f.
Vejamos agora alguns exemplos para compreender melhor essa definição.
Exemplos:
Determinar as primitivas das funções:
a) f(x) = 2x
Para determinar a primitiva da função f(x) = 2x, você deve procurar a função que quando derivamos 
temos como resposta 2x.
A função F(x) = x2 é primitiva de f(x) = 2x, pois F ’ (x) = (x2)’ = 2x.
Note que:
F(x) = x2 + 1 também é primitiva de f (x) = 2x, pois F’(x) = (x2 + 1)’ = 2x
F(x) = x2 + 3 também é primitiva de f (x) = 2x, pois F’(x) = (x2 + 3)’ = 2x
F(x) = x2 - 10 também é primitiva de f (x) = 2x, pois F’(x) = (x2 – 10)’ = 2x
b) f(x) = 10
Agora você está procurando uma função que tem derivada igual a 10.
A função F(x) = 10 x é primitiva de f(x) = 10, pois F’ (x) = (10 x)’ = 10.
Note que:
F(x) = 10 x + 1 também é primitiva de f (x) = 10, pois F’ (x) = (10x + 1)’ = 10
F(x) = 10 x – 5 também é primitiva de f (x) = 10, pois F’ (x) = (10x - 5)’ = 10
F x x( ) = +10 2 também é primitiva de f (x) = 10, pois F x x’( ) ’= +( ) =10 2 10
22
Unidade I
 Lembrete
Uma vez determinada a primitiva de uma função f, temos uma família 
de funções que também são primitivas de f, diferem apenas por constantes.
Assim temos:
No exemplo a, a primitiva de f(x) = 2x é qualquer função do tipo F(x) = x2 + c, em que c é uma constante.
No exemplo b, a primitiva de f(x) = 10 é toda função do tipo F(x) = 10 x + c, em que c é uma constante.
c) f(x) = - 3
As primitivas de f(x) são do tipo F(x) = - 3 x + c.
2.2 Integral indefinida
Chamamos de integral indefinida de uma função f ao conjunto das primitivas de f.
Para indicar a integral indefinida da função f(x), usaremos a notação de Leibniz (mais utilizada), em 
que F(x) indica a primitiva de f(x), dx indica a variável em relação a qual devemos fazer a antiderivada, 
c é a constante de integração. O símbolo de integração será utilizado enquanto não determinamos a 
primitiva de f.
f x dx F x c( ) ( ) = +∫
A função f(x) é chamada de integrando ou função integrada.
 Observação
Lê-se: integral de f(x) dx.
Nem sempre é fácil determinar a primitiva de uma função.
Temos vários métodos para facilitar o cálculo de integrais; neste texto, estudaremos o cálculo de 
integrais imediatas, integrais por substituição e integrais por partes.
Inicialmente vamos estudar as integrais que podem ser resolvidas diretamente por meio de regras de 
integração, integrais imediatas.
23
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
2.3 Integral imediata
Para as integrais imediatas, fazemos uso de uma tabela de integrais que tem como base as 
propriedades e regras de derivadas. Pode-se demonstrar cada uma das regras por meio das derivadas.
Vejamos algumas delas:
a) integral de uma constante, y = K
k dx k x c = +∫
Exemplos
1) 2 dx∫
O integrando é uma constante, assim, segundo a regra, teremos como resultado 2 x + c.
Podemos escrever então:
2 2 dx x c= +∫
Note que derivando F(x) = 2x + c (primitiva), temos F’(x) = (2x + c) ’ = 2 = f(x), desta forma é possível 
verificar se efetuamos corretamente.
 Lembrete
Ao resolvermos a integral, isto é, ao colocarmos a expressão da primitiva, 
não utilizaremos mais a notação de integral nem o símbolo nem dx.
2) −∫ 3 dx
O integrando é uma constante, logo, segundo a regra, teremos como resultado
-3 x + c.
Podemos então escrever:
− = +∫ 3 3 dx x c-
Se derivarmos F(x) = - 3x + c (primitiva), teremos F’(x) = (- 3x + c) ’ = - 3 = f(x).
24
Unidade I
3) dx∫
Observe que neste caso a constante K é igual a 1, assim, segundo a regra, temos dx x c= +∫ 1. , 
isto é, dx x c= +∫ .
b) integral da potência y = x n, ( - )n ≠ 1
x dx
x
n
c nn
n
 
 
=
+
+ ≠
+
∫
1
1
1, ( - )
Exemplos
1) x dx3 ∫
O integrando é uma potência, assim você deve utilizar a regra de integral da potência para determinar 
o valor da integral da função.
Assim teremos:
x dx
x
c
x
c3
3 1 4
3 1 4
 
 
=
+
+ = +
+
∫
Note que se derivarmos a função F x
x
c( ) = +
4
4
, teremos:
F x
x
c
x
x f x’( ) ( )
’
= +




=




= =
4 3
3
4
4
4
 , isto é, F x
x
c( ) = +
4
4
 é a primitiva de f(x).
2) x dx−∫ 2
Novamente temos a integral de uma potência, assim:
x dx
x
c
x
c−
+
=
+
+ = +∫ 2
2 1 1
2 1 1
- -
- -
 
 
 
Pelas propriedades de potência, temos:
x =
1
x
 - 1
Logo podemos escrever:
x dx
x
c− = +∫ 2
1-
25
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
3) ∫ x dx3 
Pelas propriedades de potência, temos:
a amn
m
n= , assim, x x3
1
3=
Reescrevendo a integral, encontramos:
∫ ∫= =
+
+ = + = +
+
x dx x dx
x
c
x
c x c3
1
3
1
3
1
4
3 4
3
1
3
1
4
3
3
4
 
 Lembrete
Você usará a propriedade de potência sempre que a função tiver uma raiz.
c) Integral da potência, quando n = -1, y = x -1
∫ ∫= = +x dx x dx Ln x c
- | | 1 1
d) Integral da função exponencial de base a (a > 0, a ≠ 1)
∫ ∫= 


+ =





 +a dx Ln a
a c ou a dx
a
Ln a
x x x
x
 1
 
 
 
. c
Exemplos:
1) 2x dx ∫
Queremos calcular a integral de uma função exponencial com base 2, assim, segundo a regra, temos:
2
1
2
2x xdx
Ln
c ∫ = 


+ 
 
 .
Ou
2
2
2
x
x
dx
Ln
c ∫ = + 
2) 5 x dx∫
Agora queremos calcular a integral de uma função exponencial com base 5. Segundo a regra, temos:
5
1
5
5x xdx
Ln
c ∫ = 


+
 
 .
26
Unidade I
Ou
5
5
5
x
x
dx
Ln
c ∫ = + 
e) Integral de algumas funções trigonométricas:
sen x dx x c = +∫ - cos
cos x dx sen x c= +∫
Resumindo, temos:
k dx k x c = +∫
x dx
x
n
c nn
n
 
 
=
+
+ ≠
+
∫
1
1
1, ( - )
∫ ∫= = +x dx x dx Ln x c
- | | 1 1
∫ =




+a dx a
Ln a
cx
x
 
 
sen x dx x c = +∫ - cos
cos x dx sen x c= +∫
Outras regras podem ser encontradas nos livros indicados nas referências textuais.
 Saiba mais
Na internet, você encontrará mais regras em:
Disponível em: https://bit.ly/3OvSniN. Acesso em: 8 jan. 2012.
Além das integrais imediatas que vimos anteriormente, veremos também algumas propriedades.
P1. A integral da soma ou da diferença de duas funções é a soma ou diferença das integrais:
( ) ( ) ( ) ( )f g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 
27
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Exemplo
1) ( )2 +∫ x dx 
Observando a função, temos que ela é formada por f(x) = 2 e g(x) = x, pela propriedade P1, temos:( )2 2+ +∫ ∫ ∫x dx dx x dx =
As duas integrais são imediatas, logo, utilizando a tabela de integrais, temos:
2 2 1 dx x c= +∫
x dx
x
c = +∫
2
22
Assim:
( )2 2 2
2
2
21
2
2
2
+ = + = + + + = + +∫ ∫ ∫x dx dx x dx x c
x
c x
x
c 
Note que escrevemos a constante c apenas uma vez para representar as constantes das primitivas 
de f e de g.
2) ( )x sen x dx2 +∫
Observando a função, temos que ela é formada por f x x e g x sen x( ) ( )= =2 . Pela 
propriedade P1, temos:
( )x sen x dx x dx sen x dx2 2+ = +∫ ∫ ∫ 
As duas integrais são imediatas, logo, utilizando a tabela de integrais, temos:
x dx
x
c2
3
13
 = +∫
sen x dx x c = − +∫ cos 2
Assim:
( ) ( cos )x sen x dx x dx sen x dx
x
c x c2 2
3
13
+ = + = + + − +∫ ∫ 22
3
3
= − +∫ 
x
x ccos
3) ( )e x dxx −∫ 4
Temos as funções f x e e g x xx( ) ( )= = 4 . Pela propriedade P1, temos:
28
Unidade I
( ) -e x dx e dx x dxx x− =∫ ∫ ∫ 4 4
Utilizando a tabela de integrais (integrais imediatas), temos:
e dx e cx x = +∫ 1
x dx
x
c4
5
25
 = +∫
Assim:
( ) - -e x dx e dx x dx e
x
cx x x− = = +∫ ∫ ∫ 4 4
5
5
P2. A integral do produto de uma constante por uma função é o produto da constante pela 
integral da função:
( . ) ( ) . ( )k f x dx k f x dx =∫ ∫
Exemplo:
1) 3 . x dx∫
Observando a função, temos k = 3 e f(x) = x, assim:
3 3 . .x dx x dx= ∫∫
A integral a ser calculada é imediata, logo, pela tabela de integrais:
3 3 3
2
2
 . . .x dx x dx
x
c= = +∫∫
2) 5 . e dxx∫
Observando a função, temos k = 5 e f(x) = eX, assim:
5 5 5 . e dx e dx e cx x x= = +∫∫
29
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
3) −∫
1
2
3 x dx
Neste caso, temos:
k = − 1
2
 e f(x) = x3
Assim:
− = −∫ ∫
1
2
1
2
3 3 x dx x dx
Pela tabela de integrais:
− = − = − + = − +∫ ∫
1
2
1
2
1
2 4 8
3 3
4 4
 x dx x dx x c x c.
P3. Propriedade da linearidade (é uma junção das propriedades P1 e P2)
( ) ( ) ( ) ( ) k f k g x dx k f x dx k g x dx1 2 1 2+ = +∫ ∫ ∫
 Observação
Essas propriedades podem ser estendidas a um número qualquer 
de funções.
Veremos a seguir alguns exemplos, nos quais aplicaremos as regras e as propriedades vistas até agora.
Exemplos:
1) ( )x x dx−∫ 3 2 
Pela propriedade P3, temos:
( )x x dx x dx x dx− = −∫ ∫ ∫3 32 2 
Calculando as integrais imediatas:
( )x x dx x dx x dx
x x
c− = − = − +∫ ∫ ∫3 3 2 3 3
2 2
2 3
 
30
Unidade I
Simplificando, vem:
( )x x dx
x
x c− = − +∫ 3 2
2
2
3 
2) ( . cos )5 3 1 x x dx− −∫
Pela propriedade P3, temos:
( . cos ) cos5 3 1 5 3 x x dx x dx x dx dx+ − = + −∫ ∫ ∫∫
Calculando as integrais imediatas, temos:
( . cos )5 3 1 5 3
2
2
 x x dx sen x x x c+ − = + − +∫
Vejamos agora mais alguns exemplos. Neles, você utilizará os conceitos estudados. Refaça todos, 
pois isso facilitará seu estudo.
2.4 Ampliando seu leque de exemplos
Calcular as integrais indefinidas (imediatas).
1) −∫ 3 dx
Devemos utilizar a propriedade P2 para determinar a integral desta função, assim:
− =∫ ∫3 3 dx dx-
Utilizando agora a tabela de integrais, temos:
− = = +∫ ∫3 3 3 dx dx x c- -
2) 1
2
 dx∫
Novamente vamos utilizar a propriedade P2:
1
2
1
2
 dx dx=∫ ∫
Pela tabela de integrais, temos:
1
2
1
2
1
2
 dx dx x c= = +∫ ∫
31
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
3) 5
1
3
2 x x dx−∫
Nesta função, deveremos utilizar as propriedades P1 e P2, pois temos a soma de duas funções e elas 
estão multiplicadas por um número, assim:
Pela propriedade P1:
5
1
3
5
1
3
2 2 x x dx x dx x dx− = −∫ ∫ ∫
Pela propriedade P2:
5
1
3
5
1
3
5
1
3
2 2 2 x x dx x dx x dx x dx x dx− = − = −∫ ∫ ∫ ∫∫
Você percebe agora que as integrais a serem calculadas são imediatas, e pela tabela de integrais temos:
5
1
3
5
3
1
3 2
2
3 2
 x x dx
x x
c− = − +∫
5
1
3
5
3
1
6
2 3 2 x x dx x x c− = − +∫
4) 5
x
dx ∫
Vamos inicialmente reescrever a integral dada de forma mais conveniente, isto é:
5
5
1
x
dx
x
dx = ∫∫ .
Agora você consegue identificar a propriedade a ser utilizada e a regra conveniente para essa função. 
Assim, pela propriedade P2:
5
5
1
5
1
x
dx
x
dx
x
dx = =∫∫ ∫.
Pela tabela de integrais, temos:
5
5
1
5
1
5
x
dx
x
dx
x
dx Ln x c = = = +∫∫ ∫. . | |
32
Unidade I
5) 
e
sen x dx
x
2
3-∫
Novamente temos a soma de duas funções. Assim, pela propriedade P3, temos:
 e sen x dx e dx sen x dx
x
x
2
3
1
2
3- = −∫ ∫ ∫
Utilizando a tabela de integrais:
 c e sen x dx e x
x
x
2
3
1
2
3- (-cos )� � ��
Utilizando a regra de sinais, podemos escrever:
 e sen x dx e x c
x
x
2
3
1
2
3- cos= + +∫
6) Sabendo que a velocidade é uma taxa de variação, V t
dS
dt
( ) = , determine a equação do espaço de 
um móvel no instante t, sendo conhecida a equação da velocidade S t t t( ) = − + 2 8
Resolução:
Como a velocidade é uma taxa de variação, utilizaremos a derivada de S(t) para determinar a 
velocidade do móvel.
Calculando a derivada de S(t), temos:
V t S t t t( ) ’( ) ’= = − +( ) 2 8
V t t( ) -= + 2 8
 Saiba mais
Para saber mais sobre a historia do cálculo e das integrais, acesse:
Disponível em: https://bit.ly/3XpAQNn. Acesso em: 8 jan. 2012.
Na sequência, estudaremos a integral de funções que não podem ser determinadas diretamente 
pelas regras da tabela. Embora existam vários métodos para a resolução de integrais, em nosso texto 
veremos apenas os métodos de substituição e partes.
33
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
 Saiba mais
Saiba mais sobre esses e outros métodos de integração em:
Disponível em: https://bit.ly/3i4TGch. Acesso em: 8 jan. 2012.
3 MÉTODOS PARA O CÁLCULO DE INTEGRAIS (NÃO IMEDIATAS)
3.1 Integração por substituição
Quando temos a integral de uma função que não é elementar (isto é, tabelada), precisamos modificar 
a função para recair numa integral imediata.
Para podermos utilizar o método de substituição, é necessário que a função a ser integrada possa ser 
dividida em uma função u(x) e sua derivada u’(x). Usaremos a notação u
du
dx
’ = para indicar a derivada de u.
Para decidir qual será a expressão de u, devemos verificar se 
du
dx
 está na expressão a ser integrada.
Você deve estar curioso para saber como decidir se devemos resolver a integral por substituição ou 
se ela é imediata.
Para saber isso, você deve primeiro verificar se alguma das regras se aplica à função a ser integrada, 
isto é, se ela é imediata.
Caso não seja imediata, devemos verificar se é possível transformar a expressão em uma integral 
imediata, substituindo parte dela por uma letra auxiliar, geralmente u.
Vejamos a seguir alguns exemplos em que as funções a serem integradas são parecidas com as que 
encontramos na tabela com as regras de derivação, porém são funções compostas.
Exemplos:
1) ∫ 2 .e 2 x dx
Note que na tabela temos ∫ ex dx (função elementar), mas no nosso exemplo o expoente é 2x.
Devemos então resolver a integral por substituição, chamemos o expoente de u, isto é, u = 2x.
34
Unidade I
Calculando a derivada de u:
u = 2x.
du
dx
= 2 , isto é, du = 2 dx.
Substituindo no enunciado, temos:
∫ 2 .e 2 x dx
u
du
Figura 1 
Assim:
∫ 2 .e 2 x dx = ∫ e u du
Essa integral é imediata (está na tabela). Temos então:
∫ 2 .e 2 x dx = ∫ e u du = e u + c
Voltando à variável original (do enunciado), temos:
∫ 2 .e 2 x dx = e 2 x + c
2) ( ) .x x dx 2 53 2+∫
Note que conhecemos x dx5 ∫
Devemos, então, fazer a substituição de modo a chegar numa função deste tipo.
Tomemos
u = x 2 + 3, 
du
dx
 = 2x, isto é, du = 2 x dx.
Substituindo no enunciado, temos:
( ) .x x dx u du
u
c 
 2 5 5
6
3 2
6
+ = = +∫∫
35
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Voltando à variável do enunciado, temos:
( ) .
( )
x x dx
x
c 
 2 5
2 6
3 2
3
6
+ = + +∫
3) x xdx . cos ( )2∫
Conhecemos cos x dx∫ , assim a substituição a ser feita é u = x2. Encontramos, então, 
du
dx
= 2 x, 
isto é, du = 2 x dx.
Como o número 2 não está na função a ser integrada, devemos escrever du x dx
2
= e substituir no enunciado.
u = x 2
du
dx
= 2 x, isto é, du x dx
2
= 
Assim:
x x dx u
du
u du cos( ) cos cos2
2
1
2
= =∫ ∫ ∫
Resolvendo a integral imediata:
x x dx sen u c cos( )2
1
2
= +∫
Voltando para a variável do enunciado: x x dx sen x c cos( )2 2
1
2
= +∫
4) ∫ +
1
3 1x
dx
Da tabela de integrais sabemos calcular ∫ 1x dx no nosso exemplo, porém, o denominador agora é 
igual a 3 x + 1. Chamaremos esse denominador de u, isto é, u = 3 x + 1.
Calculando a derivada de u:
u = 3 x + 1
du
dx
= 3 , isto é, du dx
3
=
Como 3 não está na função a ser integrada novamente, devemos isolar dx, assim dx
du=
3
.
36
Unidade I
Substituindo na integral, temos:
1
3 1
1
3
1
3
1
x
dx
u
du
u
du
+
= =∫ ∫ ∫ 
Resolvendo a integral imediata:
1
3 1
1
3x
dx Ln u c
+
= +∫ | |
Voltando para a variável do enunciado:
1
3 1
1
3
3 1
x
dx Ln x c
+
= + +∫ | |
5) ∫ −
3
12
x
x
dx
Tomemos u = x 2 – 1
Assim
du
dx
x= 2 
Então:
u = x2 – 1
du
dx
x= 2 , isto é, du
x
dx
2
= 
Substituindo dx na integral, temos:
3
1
3
1
3
22 2
x
x
dx
x
x
dx
x
u
du
x−
=
−
=∫ ∫ ∫ 
Simplificando:
3
1
3
1
2
3
2
1
2
x
x
dx
u
du
u
du
−
= =∫ ∫ ∫ 
Resolvendo a integral imediata em u:
3
1
3
22
x
x
dx Ln u c
−
= +∫ | |
37
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Voltando para a variável original:
3
1
3
2
12
2x
x
dx Ln x c
−
= − +∫ | |
6) 5 2x dx+∫
Pela propriedade de potência, temos:
 5 2 5 2
1
2x x+ = +( )
’
Assim:
 5 2 5 2
1
2x dx x dx+ = +∫∫ ( )
Como a função a ser integrada é uma potência, tomaremos a base como u, isto é, u = 5 x + 2.
Então: 
du
dx
= 5
Novamente vamos isolar dx, assim du dx
5
= 
u = 5 x + 2.
du
dx
= 5 , isto é, du dx
5
= 
Substituindo no enunciado, temos:
 5 2 5 2
5
1
5
1
2
1
2x dx x dx u
du
u+ = + = =∫∫ ∫ ( )
11
2 du ∫
Calculando a integral imediata:
 
 
5 2
1
5
1
5 1
2
1
1
5
1
2
1
2
1 3
x dx u du
u
c
u+ = =
+
+ =∫ ∫
+
 
22
3
2
 + c
Retornando à variável original:
 5 2
1
5
2
3
5 2
2
15
5
3
2x dx x c+ = + + =∫ . . ( ) . ( xx c + +2
3
2)
38
Unidade I
3.2 Integração por partes
Nem sempre é possível utilizar o método da substituição para o cálculo da integral de uma função.
Se tivermos a integral de um produto de funções em que uma das parcelas não é a derivada da 
outra, deveremos utilizar a integração por partes.
A fórmula da integração por partes é:
f x g x dx u dv u v v du( ) . ( ) . . - . = = ∫∫∫
Este método consiste em separar o produto f por g em duas partes: uma chamaremos de u e 
outra de dv:
• u é a parte que será derivada.
• dv é a parte que será integrada.
Veremos a seguir algumas funções cujas integrais não são imediatas e também não podem ser 
resolvidas por substituição.
Exemplos:
1) x e dxx .∫
Temos duas funções f(x) = x e g(x) = e x.
Observe que não é uma integral imediata e não é possível resolver por substituição.
Vamos resolver então por partes. Inicialmente devemos escolher quem chamaremos de u e quem 
chamaremos de dv.
Geralmente verificamos de qual função conhecemos a integral e a chamamos de dv.
Neste caso, conhecemos a integral das duas funções. Quando isso acontece, o mais conveniente é 
chamarmos de u a função f(x) = x.
Tomemos u = x e dv = e x dx. Devemos agora derivar a função u e integral dv, isto é,
u = x dv = ex dx
du
dx
= 1 ∫ dv = ∫ ex dx
du = dx v = ex
39
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Substituindo na fórmula
u dv u v v du . . - .= ∫∫
temos:
 x e dx x e e
u
x
dv u
x
v
x
v
� ��� � � �. . -=∫ ∫ ddx I
du
 � ( )
Calculando a integral imediata, temos:
e dx e cx x = +∫
Substituindo na expressão (I), vem:
x e dx x e e cx x x . . - = +∫
Colocando a expressão ex em evidência, temos:
x e dx e x cx x . ( - ) = +∫ 1
Caso tivéssemos escolhido u = ex e dv = x dx, o que aconteceria com a nossa integral? Será que é 
indiferente a ordem de escolha?
Para podermos responder a esta questão, vamos refazer o exemplo, agora utilizando u = e x e dv = x 
dx e ver o que acontece com a integral.
Refazendo o exemplo, temos:
u = ex dv = x dx
du
dx
ex= ∫ dv = ∫ x dx
du = ex dx v = x
2
2
Substituindo na fórmula
u dv u v v du . . - .= ∫∫
temos:
 e x dx e x xx
u dv
x
u
v
� ��� �� �
�
. . -=∫ ∫
2 2
2 22
 
v
x
du
e dx
�
��� ��
Note que a integral 
x
e dxx
2
2
 ∫ a ser calculada agora não é imediata e é mais complicada 
que a original.
40
Unidade I
Não fizemos uma boa escolha. Devemos então recomeçar, fazendo outra escolha para u e dv.
2) x x dx cos∫
Novamente devemos decidir quem é u e quem é dv.
Tomemos u = x e dv = cos x dx.
u = x dv = cos x dx
du
dx
= 1 ∫ dv = ∫ cos x dx
du = dx v = sen x
Substituindo na fórmula
u dv u v v du . . - .= ∫∫
temos:
 x x dx x sen x
u dv u v
� � �� �� � ���. cos .= -∫ ∫ sen x dx
v du
��� � ( I )
Calculando a integral imediata, temos:
sen x dx x c = +∫ - cos
Substituindo na expressão (I), vem:
 x x dx x sen x
u dv
� � �� ��. cos . - (- cos= x c) +∫
x x dx x sen x x c . cos . cos= + +∫ 
3) Ln x dx ∫
Note que não conhecemos a integral de Ln x, isto é, ela não é imediata.
Assim, só temos uma opção a escolher: u = Ln x e dv = dx
u = Ln x dv = dx
du
dx x
= 1 ∫ dv = ∫ dx
41
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
du = 1
x
 dx v = x
Substituindo na fórmula
u dv u v v du . . - .= ∫∫
temos:
∫ ∫= Ln x dx Ln x x
u dv u v
� � ��� �. . - xx x
dx
v
d u
 
 
�
��� ��
 
1
( I )
Calculando a integral imediata, temos:
∫ ∫= = + x x dx dx x c
1
 
Substituindo na expressão (I), vem:
∫ = + Ln x dx Ln x x x c
u dv
� �. . - 
Colocando x em evidência, temos:
∫ = +Ln x dx x Ln x c . ( - ) 1
3.3 Integração de algumas funções trigonométricas
Inicialmente vamos listar algumas identidades trigonométricas que serão úteis em nossos exercícios:
1) sen2 x + cos2 x = 1
2) sen2 x = 1 - cos2 x
3) cos2 x = 1 - sen2 x
4) cos2 x = 1 2
2
+ cos( )x
5) sen2 x = 1 2
2
− cos( )x
6) tg2 x = sec2 x – 1 
7) cotg2 x = cossec2 x – 1
Nos próximos exemplos, teremos integrais de funções trigonométricas que só poderão ser resolvidas 
se utilizarmos as identidades citadas para transformar a expressão em uma integral imediata ou que 
possam ser resolvidas por substituição ou por partes.
42
Unidade I
Exemplos:
1) Vamos utilizar um artifício que será usado sempre que o expoente for par. Utilizaremos a identidade 
trigonométrica 4.
cos2 x = 
1 2
2
+ cos( )x
Vamos então reescrever nossa integral:
cos
cos( )2 1 2
2∫ ∫=
+
x dx
x
dx 
Para resolver essa integral, você vai separar a fração em duas partes:
cos
cos( )
cos( )2
1
2
2
2
1
2
1
2
2∫ ∫ ∫= + = +x dx
x
dx x dx 
 
Pelas propriedades de integral, podemos separar a função em duas integrais, uma imediata e outra 
que deve ser resolvida por substituição:
cos cos( ) cos( )2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2∫ ∫ ∫ ∫= + = +x dx x dx dx x dx 
 (a)
Resolvendo a integral trigonométrica por substituição, temos:
u = 2x
du
dx
= 2
 
du
dx
2
=
cos cos ( ) cos cos2
1
2
2
1
2 2
1
4
x 
 
 dx x dx u du u du= = =∫ ∫ ∫ ∫
Calculando a integral imediata:
1
2
1
4
cos u du sen u c� ��
Voltando para a variável do enunciado:
1
2
2
1
4
2 cos ( ) ( )x dx sen x c= +∫
Calculando a integral imediata e substituindo o resultado anterior em (a):
cos ()2
1
2
1
4
2 x dx x sen x c= + +∫
43
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
2) ∫ tgx dx 
Sabemos que tg x
sen x
x
 
 
 
=
cos
, então podemos reescrever a função do enunciado
∫ ∫=tgx dx sen xx dx 
 
 
 
cos
A nova integral deve ser resolvida por substituição.
u = cos x
du
dx
sen x= - du = - sen x dx
Temos então:
∫ ∫ ∫= =tgx dx sen xx dx u du 
 
 
 
cos
-1
Calculando a integral imediata:
∫ ∫ ∫= = = − +tgx dx sen xx dx u du Ln u c 
 
 
 
cos
-
| |
1
Voltando para a variável original:
∫ = − +tgx dx Ln x c | cos |
Utilizando as propriedades de logaritmos, podemos escrever:
∫ = − + = +−tgx dx Ln x c Ln x c | cos | | (cos ) |1
Podemos escrever também:
∫ = +tgx dx Ln x c | sec |
3) ∫ sen3 x dx
Vamos utilizar um artifício que será usado sempre que o expoente for ímpar. Devemos fatorar o 
integrando e aplicar a identidade 2.
sen2 x = 1 - cos2 x
44
Unidade I
Fatorando o integrando:
sen3 x = sen2 x . sen x
Agora você deve aplicar a identidade 2 e depois a distributiva:
sen3 x = (1 - cos2 x) . sen x
sen3 x = sen x - cos2 x . sen x
Substituindo na integral do enunciado:
∫ sen3 x dx = ∫ (sen x - cos2 x . sen x) dx
Pela propriedade de integral, podemos separar a função e calcular duas integrais, assim:
∫ sen3 x dx = ∫ sen x dx - ∫ cos2 x . sen x dx (1)
A primeira integral é imediata e a segunda deve ser resolvida por substituição.
Vamos inicialmente resolver a segunda integral, utilizando o que já sabemos do método de 
substituição:
∫ cos2 x . sen x dx = - ∫ u 2 . du = - u
3
3
 + c = - cos
3
3
x + c
u = cos x
du
dx
sen x= - du = - sen x dx
Substituindo em (1), vem:
∫ sen3 x dx = ∫ sen x dx - ∫ cos2 x . sen x dx = - cos x + cos
3
3
x
 + c
 Saiba mais
Para saber mais sobre métodos de integração, acesse o site a seguir, clique 
em “Integrais” e depois em “Técnicas de Primitivação”. Lá você encontrará 
exemplos e exercícios de Integração (ou Primitivação) por substituição, por 
partes e por frações parciais. Bons estudos e boa navegação!
Disponível em: http://ecalculo.if.usp.br. Acesso em: 8 jan. 2012.
Porém, primeiro você deve estudar os exemplos a seguir.
45
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
3.4 Ampliando seu leque de exemplos
Veremos agora uma nova leva de integrais para que você possa estudar e esclarecer suas dúvidas. 
Nesses exemplos teremos integrais imediatas, por substituição e por partes.
 Lembrete
É importante que você estude os exemplos e depois tente refazê-los, 
isso o auxiliará em seus estudos.
Calcule as integrais:
a) ∫ +2 cos x dx 
Pelas propriedades de integral, podemos dividir a função em duas partes e calcular a integral de 
cada uma delas.
∫ ∫∫+ = +2 2 cos cosx dx dx x dx
Resolvendo cada uma das integrais pela regra de integração conveniente, temos:
∫ ∫∫+ = + = + +2 2 2cos cos x dx dx x dx x sen x c
b) ∫ +3 2x dx 
Novamente você vai dividir a função em duas e calcular a integral de cada uma:
∫ ∫∫+ = +3 32 2 x dx dx x dx
Agora você tem duas integrais imediatas:
∫ + = + +3 3 3
3
 x dx 2 x
x
c
c) ∫ x x dx ( - )2 65
Essa integral deve ser resolvida por substituição, vamos então chamar x2 – 5 de u:
u = x2 - 5 du = 2 x dx
Logo, dx
du
x
=
2
46
Unidade I
Substituindo no enunciado:
∫ ∫=x x dx x u dux ( - ) ( )
2 6 65
2
Simplificando:
∫ ∫=x x dx u du ( - ) ( )2 6 65 12
Calculando a integral imediata:
� �� � �x x dx u du
u
c ( - ) .2 6 6
7
5
1
2
1
2 7
Retornando ao enunciado original:
∫ = +x x dx
x
c 
 
 ( - )
( - )2 6
2 7
5
5
14
d) ∫ +




x
x
dx
2
3 210( )
 
Vamos resolver a integral novamente por substituição, sendo u = (x3 + 10),
u = x3 + 10 du = 3 x2 dx
Logo, dx
du
x
=
3 2
Substituindo no enunciado, temos:
∫ ∫
+( )
=x
x
dx
x
u
du
x
2
3 2
2
2 2
10 3
 
Simplificando:
∫ ∫ ∫∫
+( )
= = = −x
x
dx
x
u
du
x
du
u
u du
2
3 2
2
2 2 2
2
10 3
1
3
1
3
 
Calculando a integral imediata:
∫
+( )
=
+
=
−
+
+ −x
x
dx
u u
c
2
3 2
2 1 1
10
1
3 2 1
1
3 1
 
 
 
 -
-
.
47
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Voltando para a variável do enunciado:
∫
+( )
= −
+
+x
x
dx
x
c
2
3 2 310
1
3 10
 
.( )
e) (por partes) ∫ 2 x e dxx
Neste caso, devemos resolver a integral por partes e teremos
u = 2 x e dv = e x dx. Assim:
u = 2x dv = ex dx
 ∫ dv = ∫ ex dx
du = 2 dx v = ex
 Substituindo na integral, temos:
∫ ∫= −2 2 2 x e dx x e e dx
u
x
dv u
x
v
x
v du
� � � � � �.
∫ ∫=2 2 2 x e dx x e e dx
u
x
dv
x x
� � . -
Resolvendo a integral imediata:
∫ = +2 2 2 x e dx x e e c
u
x
dv
x x
� � . -
4 INTEGRAL DE RIEMANN
No cálculo de áreas de figuras planas não convencionais é comum utilizarmos o método da exaustão, 
isto é, utilizar aproximação por meio de outras figuras cujas áreas são conhecidas. A soma destas áreas 
fornece um valor aproximado da área que se deseja calcular.
Consideremos uma função contínua e f(x) ≥ 0, num intervalo fechado [a,b]. Queremos determinar a 
área A da região plana formada pelo gráfico da função, pelo eixo x e as retas x = a e x = b.
Conforme a figura a seguir:
48
Unidade I
y
f(x)
A
a b x
Figura 2
A área da região não é conhecida da geometria elementar, vamos então dividir esta região em outras 
figuras conhecidas, por exemplo, em retângulos.
Para isso faremos uma partição no intervalo [a,b].
O que vem a ser uma partição em um intervalo?
Vamos então definir partição para podermos entender o que é uma integral definida.
4.1 Partição
Chamamos de partição de um intervalo ao conjunto de pontos {x0, x1, . . ., xn} que dividem o 
intervalo em n intervalos menores, com a = x0 e b = xn . Estes subintervalos não são necessariamente do 
mesmo tamanho.
Em nosso exemplo, veremos o que acontece quando n = 3 e quando n = 12. Para facilitar, tomaremos 
as divisões com mesmo tamanho (∆x).
y
f(x)
a b x
y
f(x)
a ∆x b x
Figura 3 Figura 4 
49
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Note que a área sob o gráfico de f(x) é aproximadamente igual à soma das áreas dos retângulos. 
Neste caso, os retângulos foram formados com altura igual ao valor de f(xi), extremidade direita do 
subintervalo. O mesmo pode ser feito com a extremidade direita, com o ponto médio ou com qualquer 
ponto do intervalo, em todos os casos teremos resultados semelhantes.
Observe que, no caso de n = 3, a diferença entre a região marcada, a área real e a soma das áreas dos 
retângulos é maior do que no caso de n = 12. Em alguns casos, a área do retângulo é maior que a região 
correspondente marcada e em outros é menor.
 Lembrete
Quanto maior o número de divisões do intervalo [a,b], menor o 
valor de ∆x e menor o erro cometido com a aproximação pela soma das 
áreas dos retângulos.
Cada retângulo tem base igual a ∆x e altura igual a f(x i). Neste caso, xi é a extremidade direita do intervalo 
correspondente. A área de cada um deles é dada por (∆x . f(xi) ) e a soma destas áreas é S x f xn
i
n
i=
=
∑ ∆
1
. ( ) .
4.2 Soma de Riemann
A soma S x f xn i
i
n
i=
=
∑ ∆
1
. ( ) é chamada de soma de Riemann da função f(x).
Note que agora estamos utilizando ∆xi para indicar a base dos retângulos, isto é, as bases não 
precisam ser necessariamente do mesmo tamanho, como ocorreu no nosso exemplo.
Queremos o valor mais próximo da área A. Para isso, devemos colocar a menor base possível, isto é, 
∆xi tendendo a zero (∆xi → 0), o que ocorre quando n tende a infinito.
4.3 Integral definida ou integral de Riemann
Seja f uma função definida em [a,b] e L um número real tal que L x f x
xi
i i
i
n
Lim=
→ =
∑
∆
∆
0 1
. ( ) .
Chamamos de integral definida de f de a até b ao número L e indicamos f x
a
b
dx( ) 
 
 
∫ . Assim temos 
por definição:
f x x f x
a
b
xi
i i
i
n
dx Lim( ) . ( ) 
 
∫ =
→ =
∑
∆
∆
0 1
50
Unidade I
 Observação
Lê-se: integral de a até b de f(x) dx.
Se este limite existe, dizemos que a função é integrável no intervalo [a,b].
Na notaçãode integral definida, os números a e b são chamados de limites de integração, a é o 
limite inferior e b o superior.
Quando a função f for contínua e f(x) ≥ 0 no intervalo [a,b], temos que a integral definida é a área 
da região sob o gráfico de f de a até b.
Não faremos cálculos de integrais definidas utilizando limites. Utilizaremos o Teorema Fundamental 
do Cálculo Integral para resolver essas integrais por meio de primitivas.
4.4 Teorema Fundamental do Cálculo Integral (TFCI)
Se f é contínua em um intervalo fechado I e F é uma primitiva de f neste intervalo, isto é, F’(x) = f (x), 
então para quaisquer a, b de I temos:
f x F b F a
a
b
dx( ) ( ) - ( ) 
 
 
∫ = 
Podemos também escrever f x F x F b F a
a
b
a
bdx( ) ( ) ( ) - ( ) 
 
 
∫ = [ ] = 
ou ainda f x F x F b F a
a
b
a
b
dx( ) ( ) ( ) - ( ) 
 
 
∫ = = 
Assim, para o cálculo das integrais definidas vamos utilizar as regras e métodos das integrais 
indefinidas para encontrar as primitivas.
Exemplos:
1) Calcular as integrais definidas (utilizando o TFCI)
a) x dx 
 
1
2
∫
Inicialmente determinamos a primitiva de f(x) = x. Pelas regras, sabemos que F(x) = 
x
c
2
2
+ .
Assim, calculando a integral, temos:
x
x
cdx 
 
 
1
2
2
2
1
2
∫ = +




 
51
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Substituindo os extremos de integração:
x
x
c F F c cdx 
 
 
1
2
2 2 2
2
2 1
2
2
1
2
1
2
∫ = +




= = +




− +

 ( ) - ( )



= − =4
2
1
2
3
2
 Observação
Na integral definida, a constante c será cancelada após a distribuição do 
sinal de menos, sempre. Por esse motivo, vamos utilizar a primitiva sempre 
sem a constante, para integrais definidas.
b) 2 10
3 x dx- 
 
 
∫
Inicialmente determinamos a primitiva de f(x) = 2 x – 1. Pelas regras, temos:
∫ 2 x – 1 dx = 2
2
2
.
x
x− = x 2 – x
Note que não escrevemos a constante c.
Assim:
2 1 3 0 3 3 0 0 9 3
0
3 2
0
3
2 2 x x x F Fdx- ( ) - ( ) ( ) ( ) 
 
 
∫ = −( ) = = − − − = − == 6
c) x x dx2
1
0
3 
 
-
-∫
Determinando a primitiva de f(x) = x 2 - 3 x pelas regras, temos:
∫ x 2 - 3 x dx = x x x x
2 1 2 3 2
2 1
3
2 3
3
2
+
+
− = −. 
Portanto:
 x x
x x
F Fdx2
1
0
3 2
1
0
3
3
3
2
0 1 
 
- ( ) - (- )
-
-
∫ = −




= (a)
Determinando os valores de F(0) e F(-1), temos:
F(0) = 0
3
3 0
2
0 0 0
3 2
− = − = .
F(-1) = ( ) . (- ) .− − = − − = − − = − − = −1
3
3 1
2
1
3
3 1
2
1
3
3
2
2 9
6
11
6
3 2 
52
Unidade I
Substituindo em (a), temos:
x x
x x
F Fdx2
1
0
3 2
1
0
3
3
3
2
0 1 0
11 
 
- ( ) - (- ) -
-
-
∫ = −




= = − 
66
11
6




=
Observe que nos exemplos a) e b), os cálculos de F(a) e F(b) foram feitos diretamente na integral, já 
no exemplo c) os cálculos foram feitos separadamente e só depois colocados na integral.
O modo mais conveniente depende da função com que se está trabalhando, para funções com 
expressões mais simples é indiferente um ou outro modo, porém, para expressões mais longas ou 
complicadas, o cálculo separado facilita o processo.
d) sen x dx 
 
0
2
π
∫
Já sabemos que ∫ sen x dx = - cos x, logo
sen x x F Fdx 
 
 
 
0
2
0
2
2
0
�
�
�� � �� � �cos ( ) - ( ) (a)
Determinando os valores de F( π 2 ) e F(0), temos:
F( π 2 ) = - cos (
π
2 ) = - 0 = 0
F(0) = - cos 0 = - 1
Substituindo em (a), vem:
sen x x F Fdx - 
 
 
 
0
2
0
2
2
0 0 1 1
�
�
�� � �� � � � �cos ( ) - ( ) - ( ) 
e) 
x
x
dx
20
2
2��
 
 
Note que esta integral não é imediata, deve ser resolvida por substituição.
Resolvendo a integral indefinida, temos:
∫ x
x
dx
2 2+
 = ∫ 1
2u
du
 = 
1
2
 ∫ 1
u
du = 
1
2
 . Ln |u| = 1
2
 . Ln | x2 + 2 | + c
u = x2 + 2
du
dx
x= 2 , isto é, du x dx
2
= 
53
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Pelo TFCI, temos:
x
x
Ln x Lndx
20
2 2
0
2
2
2
1
2
2
1
2
2 2
1
+
= + +∫ = 
 
 . | | . | | -
22
0 22 . | |Ln + =
= = =1
2
6
1
2
2
1
2
1792
1
2
0 693 0 . | | - . | | . , - . ,Ln Ln ,,550
f) ( )2 3 21
2 x dx+∫
 
Esta integral não é imediata, deve ser resolvida por substituição.
Resolvendo a integral indefinida, temos:
∫ (2x + 3)2 dx = ∫ u2 du
2
 = 
1
2
 ∫ u2 du = 1
2
 . u du
3
3
 = 
1
6
 . (2 x + 3)3
u = 2 x + 3
du
dx
= 2 , isto é, 
du
dx
2
= 
Pelo TFCI, temos:
( )2 3 2
1
2 x dx+∫
 
 = 
1
6
 . (2 x + 3)3 
1
2
 = 
1
6
 . (2 . 2+ 3)3 - 
1
6
 . (2 . 1 + 3)3 =
= 
1
6
 . (2 . 2+ 3)3 - 
1
6
 . (2 . 1 + 3)3 = 
1
6
 . 73 - 
1
6
 . 53 = 36,33
 Saiba mais
Para saber mais sobre soma de Riemann, acesse o site a seguir, clique 
em ”Integrais” e, em seguida, em “Soma de Riemann”.
Disponível em: http://ecalculo.if.usp.br. Acesso em: 8 jan. 2012.
4.5 Ampliando seu leque de exemplos
Veremos a seguir mais exemplos de integrais, alguns resolvidos utilizando o método de substituição 
outros utilizando partes e, ainda, algumas integrais definidas utilizando o TFCI.
Para definir qual dos métodos será usado, você deverá analisar a função antes de começar a resolver, 
isso agiliza o processo, evitando enganos.
54
Unidade I
Exemplos:
1) Resolva as integrais
a) ∫ Ln xx dx
 
 2 temos:
Devemos calcular a integral por partes; como a integral de Ln x não é imediata, devemos escolher 
u = Ln x e dv
x
dx= 12 .
u Ln x= dv
x
dx= 12 
du
x
dx= 1 dv x dx∫ ∫= −2 
 
v
x
v
x
=
+
⇒ =
+
 
-
-
-2 1
2 1
1
Substituindo na integral, temos:
∫ ∫= 










Ln x
x
dx Ln x
x x x
 
 2
1 1 1
.
-
-
-
. dx
Arrumando a expressão:
∫ ∫=
− + −Ln x
x
dx
Ln x
x
x dx
 
 
 
 
2
2
Resolvendo a integral imediata e substituindo na expressão:
∫ = − + − + + =
− +
−
+
− + −Ln x
x
dx
Ln x
x
x
c
Ln x
x
x
c
 
 
 
2
2 1 1
2 1 1
Você pode ainda deixar a expressão de forma mais usual, não é comum deixar o sinal negativo no 
denominador:
∫ = − − +Ln xx dx
Ln x
x x
c
 
 
 
2
1
b) ∫ Ln x dx 2
Devemos calcular a integral por parte, assim u = Ln x2 e dv = dx
u Ln x= 2 dv = dx
55
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
du
x
x dx= 1 22 dv dx
v x
∫ ∫=
=
 
 
du
x
dx = 2
Substituindo na integral, temos:
∫ ∫= 


Ln x dx x Ln x x
x
dx 2 2
2
. - .
Simplificando a função:
∫ ∫= −Ln x dx x Ln x d x 2 2 2.
Calculando a integral e substituindo na expressão:
∫ = − +L dx x Ln xn x . x c2 2 2
c) sen x x dx2 . cos∫
Devemos calcular a integral por substituição. Seja u = sen x, temos:
u = sen x
du = cos x dx
Substituindo no enunciado, temos:
∫ ∫=sen x x dx u du
du
2 2 . cos��� ��
Calculando a integral imediata:
∫ = + + = +
+
sen x x dx
u
c
u
c
du
2
2 1 3
2 1 3
 . cos��� ��
Voltando para a variável original:
∫ = +sen x x dx
sen x
c
du
2
3
3
 . cos��� ��
d) cos5 x dx∫
Inicialmente devemos escrever cos5 x = cos2x . cos2x . cos x, depois vamos substituir cos2x por 
1 – sen2 x, temos então:
cos cos cos cos5 2 2 x dx x x x dx=∫ ∫
56
Unidade I
∫ ∫=cos ( - ) . ( - ) . cos5 2 21 1 x dx sen x sen x x dx
Calculando a integral por substituição, fazendo u = sen x, temos:
u = sen x
du = cos x dx
Substituindo no enunciado, temos:
∫ ∫∫ ∫= − − = − − + = − +cos ( ).( ).5 2 2 2 2 4 2 41 1 1 1 2 x dx u u du u u u du u u ddu 
Calculando a integral:
∫ = + +cos -5
3 5
2
3 5
 
 
x dx u
u u
c
Voltando para a variável do enunciado:
∫ = + +cos -5
3 5
2
3 5
 x dx sen x
sen x sen x
c
2) Resolva as integrais definidas
a) 3 2
0
3
x dx-∫
Inicialmente determinamos a primitiva de f(x) = 3 x – 2. Pelas regras, temos:
3 2 3
2
2
2
 x dx
x
x- .= −∫
Note que não escrevemos a constante c.
Assim:
 3 2 3
2
2
0
3
2
0
3
x
x
xdx- 
 
 
∫ = −




Substituindo os extremos de integração:
 3 2 3 0 3 3
2
2 3
0
3
2
x F Fdx- ( ) - ( ) . 
 
 
∫ = = −



− 33 0
2
2 0
15
2
 −



= .
57
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
b) x x dx
3
1
0 
 
-
-∫
Determinando a primitiva de f(x) = x 3 - x pelas regras, temos:
x x dx
x x x x
 3
3 1 2 4 2
3 1 2 4 2
− =
+
− = −∫
+
Portanto:
 
 
 
x x
x x
F Fdx3
1
0
4 2
1
0
4 2
0 1- ( ) - (- )
-
-
∫ = −




= (a)
Determinando os valores de F(0) e F(-1), temos:
F( )0
0
4
0
2
0
4 2
= − = 
F( )
( ) (- )
� �
�
� � � � �1
1
4
1
2
1
4
1
2
1
4
4 2
 
 
Substituindo em (a), temos:
 
 
x x
x x
F Fdx3
1
0
4 2
1
0
4 2
0 1- ( ) - (- )
-
-
∫ = −




= 
 
 
x x dx3
1
0
4 2 4 20
4
0
2
1
4
1
2
-
( ) (- )
-∫ = −




− − −




  = −




= 0 1
4
1
2
1
4
-
x x dx3
1
0 1
4
 
 
-
-� �
c) O valor da integral definida é: 
0
2
π
∫ x senx dx.
Devemos resolver a integral indefinida e depois substituir os extremos de integração.
A integral indefinida deve ser resolvida por partes, tomemos:
u = x e dv = sen x dx
58
Unidade I
Assim, derivando u e integrando dv:
 u = x dv = sen x dx
du = dx ∫dv = ∫sen x dx
 v = - cos x
Substituindo na integral, temos:
∫ = − − x sen x dx x x
u dv u v
� � �� �� � ��� ��. (- cos ) cos xx dx x x x dx
v du
��� �� �∫ ∫= + - . cos cos
Calculando a integral e substituindo na expressão:
∫ = + + x sen x dx x x sen x c
u dv
� � �� �� - . cos
Agora devemos substituir os extremos de integração:
0
2
2
0
π
π
∫ = +( ) x senx dx x x sen x. - . cos
0
2
2 2 2
�
� � �
� � ���
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
 x senx dx sen. - . cos��
�
�
� � �� � - . cos0 0 0sen
0
2
2
0 1 0 1 0
π
π∫ = +


− +( ) = x senx dx. - . - . 1
59
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
 Resumo
Nesta unidade, vimos os conceitos de derivadas, de antiderivação e o 
cálculo de integrais utilizando as regras. Vejamos a seguir um resumo dos 
itens estudados, iniciando pelas derivadas.
Notações de derivada
y ou f x ou
dy
dx
ou
df x
dx
’ ’( )
( )
 
Tabela de derivadas
1) y c y’ 0= ⇒ = , c é o constante
2) y x y = ⇒ =’ 1
y k x y k = ⇒ =’
3) y c x y c n xn n = ⇒ = ’ . . -1 , c é constante
4) y e y ex x= ⇒ = ’
y c e y c ex x= ⇒ = ’ , c é constante
y a a y a ax x= ≠ ⇒ =, ’ ln 0 
5) y x y
x
= ⇒ =ln ’ 1
6) derivada da soma e da diferença
y f x g x y f x g x= + ⇒ = +( ) ( ) ’ ’( ) ’( ) 
y f x g x y f x g x= ⇒ =( ) - ( ) ’ ’( ) - ’( ) 
7) derivada do produto
y f x g x y f x g x f x g x= ⇒ = +( ) . ( ) ’ ’( ) . ( ) ( ) . ’( ) 
ou
y u v y u v u v = ⇒ = +. ’ ’ . . ’
8) derivada do quociente
y
f x
g x
y
f x g x f x g x
g x
= ⇒ = −
( )
( )
( )
’
’( ) . ( ) ( ) . ’( )
( )
 
 
2
9)derivada da função composta (ou regra de cadeia)
h f y y g x e h f g x h f g x g= = = ⇒ =( ), ( ) ( ( )) ’ ’( ( )) . ’( xx)
60
Unidade I
Tabela de derivação para funções compostas - “regra da cadeia”.
1) y k u y k n u un n = ⇒ =. ’ . . . ’- 1
2) y e y u eu u= ⇒ = ’ ’ . 
y c e y c u eu u= ⇒ = ’ . ’ . , c é constante
3) y u y
u
u
= ⇒ =ln ’ ’ 
4) y sen u y u u= ⇒ = ’ ’ .cos
5) y u y u sen u� � � �cos ’ ’ . 
Vejamos agora um resumo dos itens estudados em integrais.
Antiderivada ou Primitiva de f
Função F, derivável em I, tal que F’(x) = f(x), ∀ ∈ x I .
Integral indefinida: f x dx F x c( ) ( ) = +∫
Algumas regras de integração:
k dx k x c = +∫
x dx
x
n
c nn
n
 
 
=
+
+ ≠
+
∫
1
1
1, ( - )
 x dx
x
dx Ln x c∫ ∫= = +
-
| |
 
 
1 1
∫ =




+a dx a
Ln a
cx
x
 
 
 
sen x dx x c = +∫ - cos
cos x dx sen x c= +∫
61
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
Propriedades da integração:
P1 ( ) ( ) ( ) ( )f g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 
P2 ( . ) ( ) . ( )k f x dx k f x dx =∫ ∫
P3 ( ) ( ) ( ) ( ) k f k g x dx k f x dx k g x dx1 2 1 2+ = +∫ ∫ ∫
Estudamos também dois métodos para calcular a integral de funções 
não imediatas: substituição e partes.
Integração por substituição – é utilizada quando a função a ser 
integrada pode ser dividida em uma função u(x) e sua derivada u’(x), 
fazemos a substituição e transformamos a integral numa imediata.
Integração por partes – é utilizada quando a função a ser integrada é formada 
pelo produto de funções em que uma das parcelas não é a derivada da outra.
Este método consiste em separar o produto f . g em duas partes, uma 
chamaremos de u e outra de dv. A parte que chamamos de u será derivada 
e a que chamamos de dv será integrada.
Para o cálculo de integrais por partes utilizamos a fórmula:
∫ f(x) . g(x) dx = ∫u dv = u . v - ∫ v du
Algumas relações trigonométricas
1) sen2 x + cos2 x = 1
2) sen2 x = 1 - cos2 x 
3) cos2 x = 1 - sen2 x
4) cos2 x = 1 2
2
+ cos( )x
5) sen2 x = 
1 2
2
− cos( )x
6) tg2 x = sec2 x – 1 
7) cotg2 x = cossec2 x – 1
62
Unidade I
Integral de Riemann
Partição - divisão de um intervalo em subintervalos.
Integral de Riemann e soma de Riemann
f x x f x
a
b
xi
i i
i
n
dx Lim( ) . ( ) 
 
∫ =
→ =
∑ 
 ∆
∆
0 1
TFCI - Teorema Fundamental do Cálculo Integral
f x F b F a
a
b
dx( ) ( ) - ( ) 
 
 
∫ = 
63
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2008) A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua 
administração, é dada pela fórmula: y t
t
t
t( )
( )
,=
+
≥10
1
02 . Em qual intervalo essa função é crescente?
A) t ≥ 0
B) t > 10
C) t > 1
D) 0 ≤ t < 1
E) 1
2
10< <t
Resposta correta: alternativa D.
Análise da questão
Para estudarmos o intervalo em que a função y t
t
t
t( )
( )
,=
+
≥10
1
02 é crescente, usamos o conceito 
de derivada. Ou seja, devemos estudar o sinal da primeira derivada de y(t). Sejam f e g duas funções e y a 
função definida por y t
f t
g t
( )
( )
( )
= , sendo g(t) ≠ 0. Se f´(t) e g´(t) existem, então y t
g t f t f t g t
g t
’( )
( ). ’( ) ( ). ’( )
[ ( )]
= − 2 . 
Derivando y(t):
y t
t t t
t
y t
t t
’( )
( ) . . .( )
[( ) ]
’( )
( . . ).= + − +
+
⇒ = + +1 10 10 2 1
1
2 1 1 12
2 2
2 2 00 10 2 1
12 2
− +
+
⇒t t
t
. .( )
[( ) ]
⇒ = + + − +
+
⇒ = + + −y t t t t t
t
y t
t t
’( )
( ). ( )
[( ) ]
’( )
2
2 2
22 1 10 20 1
1
10 20 10 20tt t
t
2
4
20
1
−
+
⇒
( )
⇒ = − +
+
y t
t
t
’( )
( )
10 10
1
2
4
Vamos estudar o sinal da função y t
t
t
a t
b t
’( )
( )
( )
( )
= − +
+
=10 10
1
2
4 .
64
Unidade I
As raízes de a t t( ) = − +10 102 são:
a t t a t t t t( ) ( )= − + ⇒ = ⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ⇒10 10 0 10 10 0 10 10 10
10
2 2 2 2
⇒ = ⇒ = ±t t2 1 1
As raízes de b t t( ) ( )= +1 4 são:
b t t b t t t t t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + ⇒ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ = −1 0 1 0 1 0 1 0 14 4 4
Como a restrição é b t( ) ≠ 0 , então ( )t t+ ≠ ⇒ ≠ −1 0 14 . Assim, a função d(t) não apresenta raiz real.
Sendo MA “mesmo sinal de a” e CA “sinal contrário de a”, considerando as funções do primeiro e 
segundo graus dadas por y = ax + b e y = ax2 + bx + c, estudamos o sinal do quociente pelo “varal 
real” (figura 5).
(–)
– 1
– 1
– 1 0 1
 1
MA
MA
(+)
(–)
(+)
CA
MA
(+)
(+) (+)
(–)
MA
a(t)I
b(t)II
a(t)/b(t)Avaliação: I/II
MA
(+)
(–)
Figura 5 – Estudo do sinal da função y t
t
t
a t
b t
’( )
( )
( )
( )
= − +
+
=10 10
1
2
4
Assim, temos valores positivos para a função y’ (t) em 0 1≤ <t . Não podemos considerar o intervalo 
-1 < t < 1,pois temos a condição t ≥ 0 . Também não podemos considerar o valor t=1, pois, caso você 
venha a substituir t=1 na função y t
t
t
’( )
( )
= − +
+
10 10
1
2
4
, obterá 0
24
 = 0. 
Para a função ser crescente, a derivada no ponto teria que ser maior que zero, ou seja, positiva. Como 
a derivada resultou em zero, a bolinha na “linha do varal avaliação” da figura 5 está aberta em t=1. Logo, 
t=1 não indica o crescimento da função; consequentemente,para darmos o intervalo onde a função é 
crescente, temos que usar o símbolo estritamente menor (<), isto é, t<1 e não t < 1.
Resposta correta: alternativa D.
65
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
D) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
Questão 2. (Enade 2008) Considere f R: ,0 ∞[ ] → uma função cujo gráfico está representado na 
figura a seguir:
y
1
0
-1
1 2 x
Figura 6
Assinale a opção que melhor representa o gráfico da função f x f t dt
x
( ) ( )= ∫
0
. 
66
Unidade I
A)
0 2
x
y
0 1 2
x
E)
y
0 1 2
x
D)
y
B)
0 1 2
x
y
0 2
x
C)
Resposta correta: alternativa D.
Análise da questão
O gráfico do enunciado, no intervalo de 0 a 1, é dado pela função f(x) = 1. Logo, nesse 
intervalo, temos f x dx dx x C( ) = = +∫∫ 1 , que é uma reta inclinada para a direita (de coeficiente 
angular igual a 1).
O gráfico do enunciado, no intervalo de 1 a 2, é dado pela função f(x) = -1. Logo, nesse intervalo, 
temos f x dx dx x C( ) = − = − +∫∫ 1 , que é uma reta inclinada para a esquerda (de coeficiente angular 
igual a -1).
O gráfico do enunciado, no intervalo de 2 ao infinito, é dado pela função f(x) = ax + b, com a>0. Logo, 
nesse intervalo, temos f x dx ax b dx
a
x bx C( ) ( )= + = + +∫∫
2
2
, que é uma função quadrática (parábola) 
de concavidade voltada para cima.
Assim, a resposta correta é a alternativa D.
67
CÁLCULO INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL
A) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
D) Alternativa correta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: de acordo com os cálculos.