av 2 CÁLCULO VETORIAL nota 10

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Pergunta 1 0,1 / 0,1
As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem inúmeros jeitos de se mensurar 
numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança de coordenadas, podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana. 
Tenha como base a seguinte integral tripla:
V = ∫
0
2n∫
0
3∫
r 2
9
rdzdrd0.
Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas, analise as afirmativas a seguir e assinale 
V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) rdzdrd0 refere-se ao diferencial de volume dV.
II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a r e por último com relação a 0.
III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas.
IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
F, V, F, V.
Resposta corretaV, V, F, F.
V, F, F, V.
F, V, V, F.
V, F, V, F.
Pergunta 2 0,1 / 0,1
Sabendo como cada coordenada se relaciona entre cada sistema, basta fazer a substituição na função. Por exemplo, 
f ( )x ,y =x + y em coordenadas polares é f ( )r , θ = rcosθ + rsinθ .
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De acordo com essas informações e com os seus conhecimentos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A função f ( )x ,y , z = x 2+ y 2+ z 2 em coordenadas cilíndricas é f ( )r , θ , z = r 2 .
II. ( ) A função f ( )x ,y = 1− x 2− y 2 em coordenadas polares é f ( )r , θ = 1 − r 2 .
III. ( ) A função f ( )x ,y = 4x + 3y 2 em coordenadas polares é f ( )r , θ = 4rsinθ + 3r 2sin2θ .
IV. ( ) A função f ( )x ,y =
exp x 2+ y 2+ z 2 em coordenadas esféricas é f ( )r , θ , φ =expr 2 .
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, F, F.
V, F, V, F.
V, F, F, V.
F, F, V, V.
Resposta corretaF, V, V, F.
Pergunta 3 0,1 / 0,1
Quando se mensuram volumes por integrais triplas existem inúmeras manipulações algébricas que deixam os cálculos mais 
palatáveis. A mudança de coordenadas é uma manipulação algébrica que consegue, muitas vezes, transformar limites integrativos 
complexos em limites mais simples. As principais mudanças de coordenadas são para as polares, cilíndricas e esféricas.
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Figura – Representação de um sólido.
Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus conhecimentos acerca de integrais triplas e 
mudança de coordenadas, pode se afirmar que o volume do sólido em questão pode ser mensurado por coordenadas cilíndricas, 
porque:
Resposta corretahá simetria do sólido com relação ao eixo z.
há simetria do sólido com relação ao eixo x.
o sólido é limitado por funções circulares.
há simetria do sólido com relação ao eixo y.
os parâmetros utilizados são r , 0 e ᵠ.
Pergunta 4 0,1 / 0,1
O resultado de uma derivada ou integral deve independer da escolha de coordenadas para representar o espaço. Isso faz sentido 
pois, dado um problema, resolvê-lo por um método ou outro não o altera.
Acerca dos seus conhecimentos de coordenadas espaciais, pode-se afirmar que é conveniente utilizar coordenadas cilíndricas ou 
esféricas em alguns problemas porque:
permite integrar em qualquer ordem as coordenadas.
reduz uma integral tripla em um produto de três integrais.
só é possível resolver algumas integrais em uma coordenada específica.
reduz o número de coordenadas e integrais.
Resposta correta
a simetria do problema, sendo cilíndrica ou esférica, torna a resolução da integral mais simples 
nessas coordenadas.
Pergunta 5 0,1 / 0,1
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Existem métodos integrativos para diferentes regiões abaixo de superfícies. O método mais simples envolve o cálculo de algumas 
integrais a partir de regiões retangulares. Existem, porém, outros métodos, que envolvem o cálculo de algumas integrais a partir de 
regiões limitadas por funções. Essas regiões são separadas em Tipo I (limitadas no eixo y) e Tipo II (limitadas no eixo x) e são 
escritas algebricamente como ∫
a
b∫
g
1
g
2ℱ ( )x ,y dydx e ∫
c
d∫
h
1
h
2ℱ ( )x ,y dxdy .
Figura – Representação de uma região.
Considerando essas informações, o esboço da região na figura supracitada e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se 
que a região supracitada representa a região de Tipo I, porque:
tem seu contradomínio nos reais R.
é limitada por funções em relação ao eixo z.
Resposta corretaé limitada por funções em relação ao eixo y.
pode ser representada em coordenadas cilíndricas.
é limitada por funções em relação ao eixo x.
Pergunta 6 0,1 / 0,1
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Comumente, trabalha-se com as coordenadas cartesianas para resoluções de integrais, porém, nem todas as integrais têm seus 
limites de integração facilmente identificados nesse sistema de coordenadas. Existem outros sistemas de coordenadas que auxiliam 
no processo integrativo, tais como as coordenadas cilíndricas e esféricas, que se pautam em outros parâmetros diferentes das 
coordenadas cartesianas.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das integrais triplas nesses sistemas de coordenadas, analise as 
afirmativas a seguir:
I. As coordenadas cilíndricas são comumente utilizadas quando há certa simetria do sólido em relação ao eixo z.
II. As coordenadas esféricas utilizam 𝓁 ,0er como parâmetros.
III. As coordenadas cilíndricas utilizam 0 e r como parâmetros. O z se mantém o mesmo.
IV. As coordenadas cartesianas utilizam r e 𝓁 , como parâmetros. O z se mantém o mesmo.
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
I, II e IV.
I e II.
 I e IV.
Resposta correta I, II e III.
Pergunta 7 0,1 / 0,1
Integrais em uma ou mais variáveis são essencialmente somas que se faz em uma função de interesse. A soma possui certas 
propriedades, como, por exemplo, ( )a + b * c = a * c + b * c .
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca das propriedades das integrais de várias variáveis, analise as 
afirmativas a seguir:
I. Dada as funções ℱ ( )x ,y e g ( )x ,y , temos que ∫ ∫ ⎡⎢⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
ℱ ( )x ,y + g ( )x ,y dxdy = ∫ ∫ ℱ ( )x ,y dxdy + ∫ ∫ g ( )x ,y dxdy 
.
II. Sendo c uma constante, ∫ ∫ cf ( )x ,y dxdy = c ∫ ∫ ℱ ( )x ,y dxdy .
III. Se ℱ ( )x ,y ≥ g ( )x ,y , então ∬ g ( )x ,y dxdy ≥ ∬ ℱ ( )x ,y dxdy .
IV. Dada as funções ℱ ( )x ,y e g ( )x ,y , temos que ∬ ℱ ( )x ,y g ( )x ,y dxdy = ∬ ℱ ( )x ,y dxdy∬ g ( )x ,y dxdy .
Está correto apenas o que se afirma em:
II e IV.
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II e III.
I, III e IV.
I, II e IV.
Resposta corretaI e II.
Pergunta 8 0,1 / 0,1
As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se mensurar áreas, comprimentos e volumes com elas de 
maneira extremamente distinta. A seguinte integral dupla de uma função de duas variáveis efetua a mensuração de uma dessas 
medidas:
∫ ∫
R
ℱ ( )x ,y dxdy
Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a integral supracitada mensura o volume 
de uma superfície, porque:
a função que compõe o integrando é uma função par.
o diferencial de volume dv = dxdy.
Resposta corretaa região integrativa é uma região R retangular.
o integrando dessa integral é uma função de duas variáveis.
o contradomínio dessa função faz parte dos reais R.
Pergunta 9 0,1 / 0,1
A soma de Riemann em uma variável consiste de dividir uma curva em n retângulos de largura delta ∆ x , sendo a área da curva 
aproximadamente a soma da área dos retângulos. Em duas variáveis, a soma de Riemann é: 
n∑
i =1
m∑
j = 1
ℱ ( )xi ,yi ∆ x ∆ y , 
onde x e y são pontos amostrais.
Tendo em vista a definição apresentada, analise os procedimentos e ordene as etapas a seguir, de acordo com a sequência na qual 
devem ser efetuados os passos para a utilização da soma de Riemann:
I. ( ) Definir o númerode retângulos n e m e suas respectivas larguras ∆ x e ∆ y .
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II. ( ) Fazer o produto dos termos do somatório.
III. ( ) Avaliar a função usando os pontos amostrais escolhido pela regra do ponto médio por exemplo.
IV. ( ) Fazer a soma de todos os termos do somatório.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
1, 2, 4, 3.
2, 1, 3, 4.
3, 4, 1, 2.
Resposta correta1, 3, 2, 4.
4, 3, 2, 1.
Pergunta 10 0,1 / 0,1
As coordenadas cilíndricas auxiliam na resolução de certos tipos de integrais triplas e seu uso é recomendado quando se observa 
uma certa simetria na figura em um eixo específico. 
Figura – Representação de um sólido entre um plano e um paraboloide.
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Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus conhecimentos de integrais em coordenadas 
cilíndricas, é correto afirmar que o sólido pode ter seu volume calculado em integrais com coordenadas cilíndricas porque:
há uma simetria da figura com relação ao eixo y.
Resposta corretahá uma simetria da figura com relação ao eixo z.
o eixo z varia de 0 a 10.
o sólido é limitado por duas superfícies.
há uma simetria da figura com relação ao eixo x.