Circuitos de Corrente Alternada - Sala de Aula _ Estacio - 03-10-22

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DESCRIÇÃO
Explicação da corrente alternada. Fundamentos dos números complexos, suas representações senoidais no
tempo e diagramas fasoriais.
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
PROPÓSITO
De�nir os conceitos de corrente alternada a partir da álgebra dos números complexos e sua representação em
funções senoidais no domínio do tempo e angular, além dos conceitos de diagramas fasoriais e sua aplicação nas
correntes alternadas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a calculadora de
seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
Módulo 1
Reconhecer a álgebra dos
números complexos
Módulo 2
Calcular as funções senoidais
no tempo
Módulo 3
De�nir o conceito de diagramas
fasoriais
Assista, a seguir, a um vídeo sobre os estudos dos Circuitos de Corrente Alternada.
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
MÓDULO 1
 Reconhecer a álgebra dos números complexos
Assista, a seguir, a um vídeo sobre a álgebra dos números complexos.
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
O QUE É NÚMERO COMPLEXO?
O número complexo é o instrumento matemático para a resolução de circuitos em corrente alternada. Ele pode ser
de�nido como par ordenado (x, y) de números reais no plano complexo, ou seja, os números reais x e y são
conhecidos como as partes real e imaginária de z, respectivamente. O conceito do número complexo ou
imaginário foi criado a �m de podermos representar as raízes quadradas dos números negativos, cujos resultados
não fazem parte do conjunto dos números reais.
√−2,  √−10, √−49 …
A unidade imaginária, de�nida pela letra i dos números complexos na engenharia elétrica, é trocada por j, para não
ser confundida com a corrente elétrica. Ela é de�nida como:
j = √−1  ou  j2 = −1
Portanto, podemos representar a raiz quadrada de um número negativo da seguinte maneira:
√−x = j√x
Exemplo
   

Simpli�que o número
Solução
√−18
√−18 = √−9 ⋅ 2 = 3j√2
Um número complexo pode ser representado de três formas:
Clique nas barras para ver as informações.
CARTESIANA 
FORMA POLAR 
FORMA TRIGONOMÉTRICA 
Podemos representar também o número complexo , como quando
estamos trabalhando no conjunto de números complexos e para simpli�car.
Agora vamos ver uns exemplos:
1. Transforme o número complexo z=4+j4 em forma polar e desenhe o plano cartesiano.
Solução:
Primeiro acharemos o valor do módulo do número complexo z, que é dado pela fórmula: 
Temos então:
z = x + jy z = (x, y),  
Z = √(x2 + y2).
Z = √42 + 42 = 4√2
Agora, obtendo o valor do argumento, ângulo
   

Assim, obtemos a forma polar do número complexo:
e o plano cartesiano é dado por:
, encontramos ϕ = arctg yx∣ ∣ ϕ = arctg 44 = 45°z = 4√2∠45°,2. Transforme o número complexopara a forma cartesiana e desenhe o plano cartesiano.Solução:Primeiro vamos calcular os valores de x e y, que podem ser encontrados pela fórmulaz = 20∠ − 30°   
Temos então:
x = Zcosϕ e y = Zsenϕ.
x = 20 cos(−30) → x = 17,32
 y = 20 sen(−30) → y = −10
Logo, x = 17, 32  − j10
Módulo ou valor absoluto
O módulo ou valor absoluto de um número complexo, como já citamos, é representado pela fórmula:
Z = |z| = √x2 + y2
   

O módulo, portanto, é um número real, não negativo. Geometricamente, |z| é a distância entre o ponto (x,y) e a
origem, ou o comprimento do vetor radial que representa z.
As seguintes propriedades dos módulos são válidas para todos os complexos:
|z1z2| = |z1||z2|
z1
z2
=
|z1|
|z2|
,  z2 ≠ 0∣ ∣Conjugado de um número complexoO conjugado de um número complexo é de�nido pela fórmula:z* = x − jy   ou  z* = Z∠ − ϕ Figura 2: Conjugado de um número complexoAlguns autores apresentam    
Utilizaremos esse último de agora em diante. As seguintes relações são válidas para o complexo conjugado:
 como z* z̄
z = z̄̄
−
z = |z|∣ ∣z1 + z2 = (x1 + x2) − j(y1 + y2) = (x1 − jy1) + (x2 − j̄z1 − z2 = z1 − z 2̄̄̄( z1z2 ) = z1z2¯̄¯A soma de um número complexo com seu conjugado é o número real 2x, e a diferença, o número imaginário 2jy.Podemos veri�car isso usando as seguintes fórmulas:Re = (x + jy) + (x − jy) = 2xIm = (x + jy) − (x − jy) = 2jyA multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado resulta somente em número real, e como podemosveri�car no valor ao quadrado do módulo:z ⋅ z* = (x + jy) ⋅ (x − jy) = x2 + y2 = |z|2Na divisão de números complexos, utiliza-se o conjugado do denominador e multiplica-se pelo numerador edenominador para obter o resultado na forma cartesiana.   
Veja um exemplo:
Sendo z = -1+j e z = 2-j, obtenha o valor simpli�cado das seguintes equações:
a. 
b. 
c. 
d. 
Solução:
Temos o conjugado de z e z :
1 2
z1 + z2̄̄
z1 − z2̄̄
z1
z2
z1 ⋅ z2̄̄
1 2
z1 = −1 − j e z2 = 2 + j̄̄
a. 
b. 
c. 
d. 
z1 + z2 = −1 − j + 2 + j = 1̄̄
z1 − z2 = −1 − j − 2 − j = −3 − j2̄̄
z1
z2
= −1+j2−j =
(−1+j)(2+j)
(2−j)(2+j) =
−2−j+j2−1
22+12
= −3+j5
z1 ⋅ z2 = (−1 − j)(2 + j) = −2 − j − j2 + 1 =̄̄
   

Operações algébricas
A seguir, de�niremos algumas operações com números complexos:
Clique nas barras para ver as informações.
IGUALDADE 
ADIÇÃO 
SUBTRAÇÃO 
MULTIPLICAÇÃO 
DIVISÃO 
Exemplo:
Considere os seguintes números complexos:
Obtenha:
a. 
b. 
z1 = 5 + j4 e z2 = −10 + j2
z1 + z2
z1 − z2
   

c. 
d. 
Solução:
z1 ⋅ z2
z1
z2
a) 
b) 
c) 
ou na forma polar 
d) 
 ou na forma polar
z1 + z2 = 5 + j4 − 10 + j2 = (5 − 10) + j(4 + 2) = −5 + j6
z1 − z2 = 5 + j4 − (−10 + j2) = (5 + 10) + j(4 − 2) = 15 + j2
z1 ⋅ z2 = (5 + j4) ⋅ (−10 + j2) = −50 + j10 − j40 − 8 = −58 − j30
z1 ⋅ z2 = √41∠38 ,66°⋅2√26∠ − 191 ,31°= 2√1066∠ − 152 ,65°
z1
z2
=
(5+j4)
(−10+j2) =
(5+j4)⋅(−10−j2)
(−102+42)
=
=
(−50−j10−j40+8)
104 =
(−42−j50)
104 =
(−21−j25)
52
z1
z2
=
√41∠38,66°
2√26∠−191,31°
=
√1066
52 ∠229,97°
Os números complexos também seguem algumas dos números reais:
Comutatividade
z1 + z2 = z2 + z1
z1 ⋅ z2 = z2 ⋅ z1   


Associatividade
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(z1 ⋅ z2) ⋅ z3 = z1 ⋅ (z2 ⋅ z3)

Distributividade
z ⋅ (z1 + z2) = zz1 + zz2
Uma fórmula que pode ser bem útil, e que é válida para os números reais e para os complexos, é a do binômio:
Em que
(z1 + z2)
n = ∑nk=0( )zk1z
n−k
2  (n = 1,2, …)
n
k
( ) = n!
k!(n−k)!
 (k = 0,1, 2, … ,n)n
k
MÃO NA MASSA
   

1. Determine o valor de (2-j3) + j(4+j5).
Comentário
A alternativa "A" está correta.
Usando as propriedades dos números complexos:
(2 − j3) + j(4 + j5) = 2 − j3 + j4 − 5 = −3 + j
2. Determine o valor de .(2 − j) ⋅ (1 + j7)
−3 + jA)
6 − j2B)
3 − jC)
2 + 9jD)
1 − j2E)
2 + j6A)
7B)
C)
   

Comentário
A alternativa "C" está correta.
Usando as propriedades dos números complexos:
(2 − j) ⋅ (1 + j7) = 2 + j14 − j + 7 = 9 + j13
3. Determine o valor de (1 − j) ⋅ (3 + j3).̄̄
Comentário
A alternativa "B" está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos e as propriedades algébricas:
9 + j13C)
13 + j5D)
1 − j7E)
−3jA)
6B)
6jC)
0D)
−6E)
   

(1 − j) ⋅ (3 + j3) = (1 + j) ⋅ (3 − j3) = 3 − j3 + j3 + 3̄̄
4. Determine o valor de na forma polar.
(3+j4)
(1+j)
Comentário
A alternativa "B" está correta.
Assista, a seguir, a um vídeo sobre números complexos na forma polar.
√2
2 ∠45°
A)
5√2
2 ∠8°
B)
5√2
2 ∠98°
C)
5∠8°D)
5∠98°E)
   

02:50
5. Determine o valor de na forma polar.(3 + 4j) ⋅ (5 + j4)
Comentário
A alternativa "E" está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos na forma polar e as
propriedades algébricas:
Passando para a forma polar:
Logo,
(3 + 4j) = 5∠53°
(5 + j4) = √41∠38, 66°
(3 + 4j) ⋅ (5 + j4) =  
5∠15,66°A)
√41∠15,66° B)
5√41∠53°C)
5∠91,66°D)
5√41∠91, 66°E)
   

=  5∠53°⋅√41∠38 ,66°=
=  5√41∠(53°+38 ,66°) =
=  5√41∠91 ,66°
6. Se z=1+j2 é um número complexo e , seu conjugado, então é igual
a:
−
z w = z2 + 2 
−
z
Comentário
A alternativa "A" está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos e as propriedades algébricas:
w = z2 + 2 
−
z = (1 + j2)2 + 2 
−
(1 + j2) = (1 + j4 − 4) + (2 − j
-1A)
j4B)
-1 + 8jC)
1D)
7E)   

TEORIA NA PRÁTICA
Em um circuito eletrônico, temos que a impedância equivalente do circuito é dado por
Determine a corrente do circuito.
z = 1 + j2Ω,  sua tensão U = 10V
Clique no botão para ver a resolução.
RESOLUÇÃO
Assista, a seguir, um vídeo sobre números complexos em um circuito elétrico.
Solução
Pela Lei de Ohm temos que
U = z ⋅ i
   

, temos então que a corrente do circuito é igual a:
i = 10(1+j2) =
10⋅(1−j2)
(1+j2)⋅(1−j2) =
10−j20
12+22
= 2 − j4
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Determine o valor de (1 − j) ⋅ j ⋅ (3 + j2).̄
Comentário
Parabéns! A alternativa "B" está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos e as propriedades algébricas:
(1 − j) ⋅ j ⋅ (3 + j2)  =  (1 + j) ⋅ (j3 + j2) = j3 + j2 − 3 − 2 =̄
2. Determine o valor de na forma polar.
(3+j4)
(1−j)
¯
-jA)
-5+j5B)
3C)
0D)
3j+2E)
   

(1 j)
Comentário
Parabéns! A alternativa "E" está correta.
Usando a propriedade dos números complexos na forma polar e as propriedades algébricas:
Colocando na forma polar:
3 + j4 = 3 − j4 = 5∠ − 53°̄
1 − j = √2∠ − 45°
(3−j4)
(1−j) =
5∠−53°
√2∠−45°
=
5√2
2 ∠(−53°+45°) =
5√2
2 ∠ −
Avalie este módulo: 
MÓDULO 2
√2
2 ∠45°
A)
5√2
2 ∠ − 98°
B)
5∠8°C)
5∠98°D)
5√2
2 ∠ − 8°
E)
   

 Calcular as funções senoidais no tempo
Assista, a seguir, a um vídeo sobre funções senoidais no tempo.
O QUE SÃO CORRENTES ALTERNADAS?
Os circuitos elétricos podem ser encontrados com correntes contínuas ou alternadas. As correntes alternadas,
que são o interesse deste tema, variam a polaridade e o valor ao longo do tempo, e essa variação pode ocorrer de
diversas formas (senoidal, quadrada, triangular etc.). Porém, a forma de onda mais importante e que será
apresentada neste módulo é a senoidal.
   

Uma corrente alternada com esse tipo de forma de onda é chamada de corrente alternada senoidal.
Uma onda senoidal (ou sinal senoidal) é uma onda periódica que repete seu comportamento ao longo do eixo x.
Em um circuito elétrico, podemos representar, por exemplo, a tensão senoidal nos domínios temporal e angular.
 Figura 3: Domínio temporal.
 Figura 4: Domínio angular
Podemos veri�car pelas �guras que a senoide é sempre nula nos múltiplos inteiros positivos de π, ou seja, pra 0π,
1π, 2π, ..., ∀n ε ℤ, isso ocorre porque o valor da função seno é nula para esses valores.
A onda senoidal
A onda senoidal é produzida quando um condutor é girado em campo magnético, com velocidade constante e
densidade de �uxo uniforme.
   

 Figura 7: Geração de uma onda senoidal pela rotação de um condutor em campo magnético
O condutor na posição 1 move paralelamente ao �uxo e não há tensão induzida nele. Quando o condutor gira da
posição 1 para a 2, começa a cortar o �uxo em um pequeno ângulo; portanto, uma pequena tensão é induzida ao
condutor. A corrente produzida por essa tensão é indicada pelo ponto , que signi�ca que a corrente está na
direção para fora da página.
Assim que o condutor vai girando, o ângulo no qual ele corta o �uxo vai aumentando, até que o condutor se mova
perpendicularmente às linhas de �uxo (posição 4). À medida que o condutor se movimenta, menos �uxo é
cortado. Quando atinge a posição 7, não há mais tensão induzida, e o primeiro semiciclo positivo da onda senoidal
foi produzido.
Quando o condutor deixa a posição 7, o sentido do �uxo é invertido; assim sendo, a polaridade da tensão induzida
é invertida e o semiciclo negativo se inicia. Na posição 10, temos o máximo de tensão negativa induzida no
condutor. E, quando o condutor retorna à posição original (1), a tensão induzida vai para zero. Assim, o primeiro
ciclo é completado e a onda senoidal produzida.
(∙)
Cada nova rotação do condutor produzirá um novo ciclo da onda senoidal.
Valor de pico e valor de pico a pico
A tensão de pico V é a amplitude máxima que a tensão senoidal pode atingir. A amplitude total, por sua vez, é
denominada tensão de pico a pico (V ), encontrada entre os valores máximos positivo e negativo, ou seja, é um
sinal que se alterna entre dois valores. Temos então que V =2V .
p
pp
pp p
   

É preciso tomar cuidado, pois algumas formas de onda em circuitos eletrônicos não são simétricas. Isso quer
dizer que os valores de pico positivo e negativo são distintos, portanto, para os casos em que o valor de pico for
especi�cado, deve-se sempre indicar se ele se refere ao pico positivo ou negativo.
Período e frequência
Período é o tempo necessário para a
fonte ou função completar um ciclo, ou
seja, produzir uma onda completa.
Assim sendo, o ciclo é a parte de uma
forma de onda que não se repete ou não
se duplica. O período é representado
pela letra T.

Frequência é o número de vezes que
esse ciclo completo se repete no tempo
de um segundo. Sua unidade é o hertz
(Hz), representado pela letra f. A relação
entre período e frequência é
representada pela fórmula: f = 1T
Você sabia
A distribuição de energia elétrica no Brasil é feita em corrente
alternada e na frequência de 60 Hz. Em alguns países da Europa e da
América Latina, a frequência utilizada na distribuição da energia
elétrica é de 50 Hz.
Representação matemática da onda senoidal
A tensão senoidal pode ser representada matematicamente pelas seguintes fórmulas:
Domínio temporal:
v(t) = Vpsenωt
Domínio angular:
v(θ) = Vpsenθ
Sendo:
valor da tensão em volts (V) no instante t ou para o ângulo Θ.v(t) = v(θ) →    

V = valor de pico ou amplitude máxima em volts (V).
ω= frequência angular em rd/s.
Θ= ângulo em rd.
p
Frequência angular (ou velocidade angular)
A frequência angular corresponde à variação do ângulo Θ do sinal em função do tempo.
É representada pela letra ω e pode ser encontrada pela relação Θ=ωt. Quando Θ=2π e t=T, a frequência angular é
dada por ω = 2πT ou ω = 2πf.
Segue o exemplo:
Analise o sinal senoidal da �gura, indicando a tensão de pico, a tensão pico a pico, o período e a frequência do
ciclo, a frequência angular e, por �m, v(t).
Solução:
Pelo grá�co, podemos extrair os seguintes dados:
Tensão de pico: 4V
Tensão de pico a pico: V =8V
Período: T=0,2s
Pelas relações matemáticas, temos:
Frequência:
pp
   

javascript:void(0)
Frequência angular:
Tensão no domínio do tempo:
f = 1T =
1
0,2 = 5Hz
ω = 2πf = 10π rd/s
v(t) = Vpsenωt = 5sen10πt
Valor e�caz ou valor RMS
O valor e�caz (ou RMS) de uma onda está relacionado com o calor dissipado em uma resistência, representando,
portanto, o valor de uma tensão (ou corrente) contínua que produz a mesma dissipação de potência que a tensão
(ou corrente) periódica. É representado pelas seguintes fórmulas:
Irms = √ 1T ∫
T
0 i
2(t)dt
Vrms = √ 1T ∫
T
0 v
2(t)dt
Quando a forma de onda é senoidal, podemos escrever:
Portanto, a potência dissipada em um resistor é dada pela fórmula
Irms =
Ip
√2
 e Vrms =
Vp
√2
=
Vpp
2√2
.
P = Vrms ⋅ Irms =
Vp
√2
⋅
Ip
√2
=
Vp⋅Ip
2   

ou, como podemos veri�car, também é a potência média.
Você sabia
A tensão e a corrente alternada exibidas em multímetros são dadas
em valores e�cazes.
FASE INICIAL
Quando um circuito elétrico não inicia o seu ciclo em t=0s, temos que considerar uma fase inicial θ .
Assim, temos que reescrever a fórmula do domínio do tempo incluindo essa fase, obtendo então
Deve-se considerar θ positivo quando o ciclo é adiantado e negativo quando é atrasado.
0
v(t) = Vpsen(ωt + θ0).
0
 Figura 5: Fase inicial com sinal adiantado
   

 Figura 6: fase inicial com sinal atrasado
Acompanhe no exemplo abaixo:
Represente gra�camente os sinais senoidais:
a. 
b. 
v(t) = 20sen(10kπt − 30°)V
v(t) = 5sen(2kπt + π/3)V
Solução:
a)
Podemos ver que o sinal está atrasado -30° e, considerando t=0s, encontramos
f = ω2π =
10kπ
2π = 5kHz
T = 1
f
= 15k = 0,2ms = 200μs
v(0) = 20sen(−30°) = −10V .
   

b)
Podemos ver que o sinal está adiantado
 e, considerando t =0s, encontramos 
f = ω2π =
2kπ
2π = 1kHz
T = 1
f
= 11k = 1ms
π
3 = 60° v(0) = 5sen60°=4, 33V .
Defasagem
   

Em circuitos elétricos, às vezes temos mais de um sinal senoidal, portanto, utilizamos a defasagem, ou seja, a
diferença de fase ∆ϕ entre dois sinais de mesma frequência.
A �gura a seguir representa essa defasagem entre duas senoides e também são representadas pelas equações
Podemos veri�car que a soma (ω t+Φ) indica que o sinal v está adiantado de Φ em relação v , ou seja, o sinal v
se inicia antes. Caso seja uma subtração (ω t-Φ), o comportamento é invertido, ou seja, v estaria atrasado em
relação a v , portanto, se iniciaria depois.
v1 = Vpsenωt e v2 = Vpsen(ωt + ϕ).
2 1 2
2
1
Exemplo
Seja
qual a defasagem entre os sinais?
Solução:
v1(t) = 10sen(ωt + π/3) e v2(t) = 5
   

Portanto, v está atrasado de
em relação a v .
Δθ = − π2 −
π
3 = −
5π
6 rd
2
5π
6 rd
1
Senoides com seno e cosseno
As senoides podem ser escritas com funções matemáticas cosseno e seno; porém, ao fazermos a análise das
funções (sinais), temos que escolher uma única função.
A seguir, são apresentadas as relações trigonométricas entre as duas funções.
A partir dessas relações, podemos comparar os sinais elétricos.
sen(ωt ± 180°) = −sen(ωt)
sen(ωt ± 90°) = ±cos(ωt)
cos(ωt ± 180°) = −cos(ωt)
cos(ωt ± 90°) = ∓sen(ωt)
Exemplo
Transforme o sinal
em uma função cosseno.
Solução:
Temos pelas relações trigonométricas que
v(t) = 10sen(ωt + π/3)
v(t) = 10sen(ωt + π/3) = 10cos(ωt + π/3 − π/
   

MÃO NA MASSA
1. Determine a defasagem entre os sinais ev1(t) = 10 sen(ωt + π/2)
v2(t) = 5 sen(ωt − π/4).
Comentário
−3π
4   rd
A)
−π
4   rd
B)
−3π
2   rd
C)
π
2   rd
D)
π
2   rd
E)
   

A alternativa "A" está correta.
Usando a propriedade de onda senoidal e da defasagem entre sinais:
Δθ = −π/4 − π/2 =
−3π
4   rd
2. Considere o sinal Determine sua amplitude, fase,
período e frequência.
v = 25  sen(10t + 15°).
Comentário
A alternativa "D" está correta.
Assista, a seguir, a um vídeo sobre a análise de um sinal senoidal.
Vp = 5, ϕ = 20°,  T =
5
π s e f =
π
5   Hz
A)
Vp = 20, ϕ = 90°,  T =
π
5 s e f =  
5
π Hz
B)
Vp = 25, ϕ = 15°,  T =
10
π s e f =
π
10   Hz
C)
Vp = 25, ϕ = 15°,  T =
π
5 s e f =
5
π   Hz
D)
Vp = 20, ϕ = 90°,  T =
1
10 s e f = 10  Hz
E)
   

3. Marque a correta relação entre os sinais
v1 = 16 sen(ωt + 20°) e v2 = 28 sen(ωt + 40°).
Comentário
A alternativa "D" está correta.
v está adiantado em relação a v .1 2A)
v está atrasado em relação a v .2 1B)
v e v estão em fase.1 2C)
v está atrasado em relação a v .1 2D)
v está adiantado em 10° em relação a v .2 1E)
   

Como os ângulos de fase dos dois sinais são diferentes, 
 , temos que 𝑣 está adiantado em relação a 𝑣 ,
ou 𝑣 está atrasado em relação a 𝑣 .
ϕ1 = 20°e ϕ2 = 40°,  e ϕ2 > ϕ1 2 1
1 2
4. Converta o sinal senoidal v = 10sen(ωt+20°) para uma função cosseno.
Comentário
A alternativa "C" está correta.
A relação trigonométrica entre as funções seno e cosseno pode ser dada pela fórmula 
Portanto,
sen(ωt ± 90°) = ± cos(ωt).  
v = 10 sen(ωt + 20°) = 10 cos(ωt + 20°−90°) = 10 cos (ωt −
10 cos(ωt − 90°) A)
10 cos(ωt + 70°)B)
10 cos(ωt − 70°)C)
−10 cos(ωt − 70°) D)
10 cos(ωt) E)
   

5. Determine o ângulo de defasagem entre os sinais ev1 = 35 sen(ωt + 10°)
v2 = 65 cos(ωt − 50°).
Comentário
A alternativa "B" está correta.
A relação trigonométrica entre as funções seno e cosseno pode ser dada pela fórmula
 Portanto, colocando os dois sinais na mesma função
matemática cosseno:
O ângulo de defasagem entre os dois sinais é:
senωt ± 90°= ± cos(ωt).  
v1 = 35 sen(ωt + 10°) = 35 cos(ωt + 10°−90°) = 65 cos(ωt −
Δϕ = −50°+80°= 30°
6. Determine a fórmula no domínio do tempo do sinal senoidal representado abaixo:
40°A)
30°B)
90°C)
0°D)
60°E)
   

Comentário
A alternativa "A" está correta.
Pelo grá�co, obtemos que:
Vp = 5V
T = 200μs ⇒ f = 1T =
1
200μ   Hz
ω = 2πf =
2π
200μ = 10kπ  rd /s
TEORIA NA PRÁTICA
Um estudante de engenharia está estudando os circuitos de corrente alternada no laboratório de eletrônica básica,
por meio de um osciloscópio, e pôde veri�car duas ondas senoidais de tensão
5 sen(10kπt − 20°)A)
−5 sen(10kπt − 20°)B)
5 sen(10kπt − 20°)C)
10 sen(200t)D)
10 sen(200t − 20°)E)
   

Apresente o desenho dessas duas ondas vista pelo estudante e o valor da defasagem entre as duas.
v1 = 5sen(ωt + 10°) e v2 = 10sen(ωt − 30°).
Clique no botão para ver a resolução.
RESOLUÇÃO
Assista, a seguir, a um vídeo sobre defasagem entre tensões senoidais.
Solução:
A defasagem encontrada pelo estudante foi:
O desenho no osciloscópio visto pelo estudante foi:
Δϕ = −30°−10°= −40°
   

 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Considere o sinal v=10sen (200t). Determine sua amplitude, fase, período e frequência.
Vp = 5,ϕ = 0°,T =
10
π
sef =
π
10  HzA)
Vp = 10,ϕ = 90°,T =
π
200 sef =  
200
π
HzB)
Vp = 25,ϕ = 180°,T =
10
π
sef =
π
10  HzC)
   

Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Sabe-se que o sinal de onda é dado pela fórmula:
Comparando a fórmula com o sinal da questão v=10 sen (10t), temos que:
Como
v = Vp  sen(ωt + ϕ)
Vp = 10 V ,  ω = 200  rd /s e ϕ = 0° 
ω = 2πf = 200  ⇒ f = 2002π =
100
π Hz  e f =
1
T   ⇒  T =
π
100  
2. Determine a fórmula no domínio do tempo do sinal senoidal representado abaixo:
Vp = 10,ϕ = 0°,T =
π
100 sef =
100
π
 HzD)
Vp = 20,ϕ = 90°,T =
1
200 sef = 200 HzE)
   

Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Pelo grá�co, obtemos que:
Vp = 2V
T = 100μs ⇒ f = 1T =
1
100μ   Hz
ω = 2πf =
2π
100μ = 20kπ  rd /s
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MÓDULO 3
 De�nir o conceito de diagramas fasoriais
2 sen(20kπt + 10°)A)
−2 sen(10kπt − 10°)B)
4 sen(20kπt + 10°)C)
4 sen(100t)D)
2 sen(100t − 10°)E)
   

Assista, a seguir, um vídeo sobre conceito de diagramas fasoriais.
CONCEITO DE DIAGRAMA FASORIAL
Uma forma de representar o sinal senoidal é por meio de fasores ou vetores girantes de amplitude igual ao valor
de pico (V ) do sinal e velocidade angular ω. Essa forma de representação é denominada diagrama fasorial.p
   

 Figura 8: Diagrama fasorial
Pela �gura, podemos escrever a tensão senoidal como:
, ou seja, uma função senoidal.
v(t) = Vpsenωt  ou  v(θ) = Vpsenθ
Diagrama fasorial e valores instantâneos
A partir do diagrama fasorial, podemos calcular os valores instantâneos de tensão para qualquer valor de θ ou ωt.
   

 Figura 9: Diagrama fasorial e sinal senoidal
Pelo diagrama fasorial, podemos calcular (obter) os seguintes valores instantâneos:
E assim para quaisquer valores de θ.
θ = 0°⟹ v(θ) = Vp  sen  0°= 0;
θ = 30°⟹ v(θ) = Vp  sen  30°= 0, 5 Vp;
θ = 60°⟹ v(θ) = Vp  sen  60°= 0, 866 Vp;
θ = 90°⟹ v(θ) = Vp  sen  90°= Vp;
Fase inicial
O sinal tem uma fase inicial quando um ângulo é formado entre o vetor e a parte positiva do eixo horizontal,
no instante inicial t=0.
0P̄
Consequentemente, o valor instantâneo da tensão é dado agora por:
v (t) = Vpsen(𝛚t + 𝛉0)   

Se o ciclo iniciar adiantado θ é positivo, se o ciclo iniciar atrasado θ é negativo.0 0
 Figura 11: Sinal adiantado
 Figura 10: Sinal atrasado
Representação com números complexos
   

Relembrando
Como vimos no módulo 1, um número complexo pode ser escrito na
forma polar, com módulo e fase, da mesma maneira que a
representação fasorial.
Ou seja:
Podemos representar o sinal senoidal por um número complexo, sendo a amplitude o módulo e a fase inicial o
ângulo do número complexo. Podemos, então, escrever a expressão no
formato de números complexos .
v(t) = Vp sen(ωt + θ0)
v = Vp∠θ0 = Vpcosθ0 + jVp senθ0
Exemplo
Escreva, na forma de números complexos, os seguintes sinais
senoidais:
a)
b)
Solução:
a)
b)
v(t) = 20senωt V
v(t) = 5 sen(ωt + 45°)V
v = 20∠0° V
v(t) = 5∠45°V
Operações com diagrama fasorial e números complexos
   

As operações matemáticas entre tensões, correntes e potências podem ser realizadas por meiode diagrama
fasorial ou números complexos, porém somente as operações básicas, como soma e subtração, são realizadas
pelo primeiro método, por causa de suas limitações; portanto, as operações como multiplicação, divisão, entre
outras, devem ser realizadas pelos números complexos.
Adição e subtração
   

O método de adição e subtração das tensões, corrente e potências em formato de números complexos é o
mesmo apresentado no módulo 1. Para diagrama fasorial, utiliza-se o método do paralelogramo.
Observe o exemplo abaixo:
Realize a soma dos vetores a seguir pelo diagrama fasorial e por números complexos.
Solução:
v1 = 10∠60°
v2 = 5∠ − 30°
v1 + v2 = 10∠60°+5∠ − 30°= 5 + j8,66 + 4,33 − j2,5
v1 + v2 = 9,33 + j6,16 = 11,18∠33,42°
   

Multiplicação e divisão entre fasores
No caso de operação de multiplicação e divisão, conforme mencionamos anteriormente, basta utilizar as
operações algébricas da forma polar dos números complexos.
Exemplo:
Realizar a multiplicação e a divisão dos vetores a seguir por números complexos.
Solução:
Temos, então, pela forma polar:
v1 = 10∠60°
v2 = 5∠ − 30°
v1 ⋅ v2 = 10∠60°⋅5∠ − 30°= 50∠30°
v1
v2
= 10∠60°5∠−30° = 2∠90°
CIRCUITOS RESISTIVOS EM CORRENTE ALTERNADA (CA)
Quando é aplicada uma tensão alternada em uma resistência elétrica, a corrente elétrica produzida possui a
mesma forma de onda, frequência e mesma fase de tensão, porém com amplitude que depende dos valores da
tensão e da resistência.
Podemos veri�car essa relação a seguir.
Sabe-se que
i(t) =
v(t)
R   

, e pela forma de onda senoidal, temos
Então,
sendo
o valor de pico da corrente.
v(t) = Vpsen(ωt + θ0).
i(t) =
Vpsen(ωt+θ0)
R ⇒ i(t) = Ipsen(ωt + θ0),
Ip =
Vp
R
 Figura 12: Circuito resistivo em corrente alternada
Podemos veri�car, pela representação da forma de onda da tensão e da corrente dos circuitos resistivos em CA,
que a resistência elétrica não provoca nenhuma defasagem entre tensão e corrente:
   

A potência dissipada pela resistência elétrica é obtida pelo produto entre tensão e corrente,
ou em função da resistência
A potência de pico é, portanto, dada por
p(t) = v(t) ⋅ i(t),
p(t) = R ⋅ i2(t) =
v2(t)
R .
Pp = Vp ⋅ Ip
   

Relembrando
Como apresentamos no módulo anterior, a potência de um circuito
resistivo em CA é dada pela fórmula 
P = Vrms ⋅ Irms =
Vp⋅Ip
2 .
Podemos, então, representar as tensões e correntes em valores e�cazes ou valores de pico.
Valores e�cazes:
vrms  =  Vrms∠θ0 e irms  =
Valores de pico:
v = Vp∠θ0 e i = Ip∠θ0
Indutor em corrente alternada (CA)
Se aplicarmos uma tensão senoidal em um indutor ideal, a corrente senoidal �cará atrasada 90° em relação à
tensão, ou seja,
A resistência de um indutor à passagem de corrente alternada é chamada de reatância indutiva, e é dada pela
fórmula:
v(t) = Vpsenωt  e  i(t) = Ipsen(ωt − 90°).
   

X = reatância indutiva em ohm (Ω)
L= indutância da bobina em henry (H)
f= frequência da corrente em hertz (Hz)
ω= frequência angular da corrente em radianos/segundo (rd/s)
XL = 2πfL = ωL
L
Podemos, então, escrever na forma fasorial
Perceba, portanto, que o indutor ideal tem fase 90°, ou seja, tem somente a parte imaginária positiva.
XL = ωL∠90°= jωL.
Circuito RL série
O circuito RL série nada mais é que uma indutância em série com um resistor.
A corrente que passa é a mesma para o indutor e o resistor, porém a tensão do indutor, como já vimos, v é
defasada de 90° em relação à corrente, e a do resistor v está no mesmo eixo, conforme apresentado na �gura a
seguir.
Podemos, então, veri�car que a tensão do gerador v é a soma vetorial de v e v , defasado de um ângulo ϕ.
L
R
L R
   

Um termo importante no circuito RL é a impedância indutiva Z , que nada mais é que a combinação entre R e X .
Como
e
então, podemos escrever a impedância indutiva como
L L
XL =
vL
i =
VL∠90°
I∠0° = jXL
R = vRi =
VL∠0°
I∠0° = R
ZL = R + jXL    ou   ZL = R + jωL
Escrevendo sua forma polar:
   

Circuito RL paralelo
|ZL| = √R2 + X 2L e ϕ = arctg
XL
R .
Neste circuito, temos a impedância equivalente dada pela fórmula:
1
ZL
= 1
R
+ 1
jXL
 e ϕ = arctg R
XL
.
Capacitor em corrente alternada
Quando uma tensão senoidal é aplicada a um capacitor, ao contrário do indutor, a corrente �ca adiantada de 90°
em relação à tensão, ou seja,
v(t) = Vpsenωt   e  i(t) = Ip sen(ωt + 90°)
   

A resistência que o capacitor oferece à variação de corrente é chamada de reatância capacitiva e é dada pela
fórmula:
X = reatância capacitiva em ohm (Ω)
C= capacitância do capacitor em farad (F)
f= frequência da corrente em hertz (Hz)
ω= frequência angular da corrente em radianos/segundo (rd/s)
XC =
1
2πfC =
1
ωC
c
Podemos escrever na forma fasorial
Perceba, portanto, que o capacitor tem fase -90°, ou seja, tem somente a parte imaginária negativa.
Xc =
1
ωC ∠ − 90°= −j
1
ωC =
1
jωC
Circuito RC série
O circuito RC série nada mais é que um capacitor em série com um resistor.   

A corrente que passa é a mesma para o capacitor e o resistor; porém, a tensão do capacitor, como vimos, v é
defasado de 90° em relação à corrente, e a do resistor v está no mesmo eixo, conforme apresentado na �gura a
seguir.
Podemos veri�car que a tensão do gerador v é a soma vetorial de v e v , defasado de um ângulo ϕ.
C
R
C R
Atenção
Um termo importante no circuito RC é a impedância capacitiva Z ,
que nada mais é que a combinação entre R e X .
Como
C
C
e
então podemos escrever a impedância indutiva como
XC =
vC
i =
VC∠0°
I∠90° = − jXC
R = vRi =
VR∠0°
I∠0° = R
ZC = R − jXC   ou  Zc = R − j
1
ωC
Escrevendo sua forma polar:    

|ZC| = √R2 + X2C e ϕ = arctg
−XC
R .
Circuito RC paralelo
Neste circuito, temos a impedância equivalente dada pela fórmula:
1
ZC
= 1R +
1
− jXC
  e  ϕ = −arctgωCR.
Circuito RLC série
O circuito RLC série é composto por um resistor, um indutor e um capacitor, todos ligados em série. Como já
vimos, podemos veri�car no diagrama fasorial que a tensão no resistor está em fase com a corrente, a tensão do
indutor está adiantada 90° e a tensão do capacitor, atrasada em 90° em relação à corrente.
   

A impedância equivalente do circuito RLC é obtida pela fórmula
Escrevendo sua forma polar:
Podemos classi�car esse circuito em três:
Z = R + j(XL − XC)  ou  Z = R + j(ωL − 1ωC )
|ZC| = √R2 + (XL − XC)2 e ϕ = arctg
(XL−XC)
R
Indutivo:
XL > XC ⇒ ϕ > 
Capacitivo:
XL < XC ⇒ ϕ < 
Resistivo:
XL = XC ⇒ ϕ =
Circuito RLC paralelo
   

Como vimos, podemos veri�car no diagrama fasorial que a corrente no resistor está em fase com a tensão, a
corrente do indutor está atrasada 90° e a corrente do capacitor adiantada em 90° em relação à tensão.
Neste circuito, temos que a impedância equivalente dada pela fórmula:
1
Z =
1
R +
1
jXL
+ 1− jXC    e   ϕ = − arctg
R(XL−XC)
XLXC
.
Capacitivo:
XL > XC ⇒ ϕ < 
Indutivo:
XL < XC ⇒ ϕ > 
Resistivo:
XL = XC ⇒ ϕ =
MÃO NA MASSA
1. Qual é o valor da reatância de um capacitor de na frequência de 60Hz?5μF
530,5ΩA)
   

Comentário
A alternativa "A" está correta.
A reatância de um capacitor é dado pela fórmula 
Logo,
Xc =
1
ωC .
Xc =
1
ωC =
1
2π60⋅5⋅10−6
= 530,5Ω
2. Os valores da multiplicação e da divisão dos fasores
 são respectivamente:v1 = 5∠10°V e v2 = 2∠30°V
1061,03ΩB)
333ΩC)
500ΩD)
200ΩE)
10∠20°e 2, 5∠40°A)
2, 5∠40°e 10∠20°B)
10∠300°e 0, 1∠10°C)
2, 5∠300°e 10∠ − 20°D)
10∠40° e 2, 5∠ − 20°E)
   

Comentário
A alternativa "E" está correta.
Usando as propriedades dos números complexos na forma de fasores:
Logo,
v1⋅v2 = V1⋅V2∠(ϕ1 + ϕ2)
v1
v2
=
V1
V2
∠(ϕ1 − ϕ2)
v1⋅v2 = 5 ⋅ 2∠10°+30°= 10∠40°
v1
v2
=
5
2 ∠10°−30°= 2, 5∠ − 20°
3. Dado o circuito a seguir, determine o valor da corrente e tensão no resistor e
capacitor.
7∠36,87° Arms,  40∠36,87° Vrms e 30∠ − 53,13° VrmsA)
   

Comentário
A alternativa "E" está correta.
Temos a forma complexa da impedância do circuito em série:
O módulo de Z :E o ângulo fasorial:
Podemos, então, rescrever na forma fasorial a impedância do circuito como
Logo, temos a corrente do circuito:
E as tensões no resistor e no capacitor:
Zc = R − jXc = 4 − j3Ω
c
|Zc| = √42 + 32 = √25 = 5Ω
ϕ = arctg −34 = −36,87°
Zc = 5∠ − 36,87°Ω
i =
V
Zc
=
100∠0°
5∠−36,87° = 20∠36,87° Arms
VR = Ri = 4∠0°⋅20∠36,87°= 80∠36,87° Vrms
20∠0° Arms,  80∠90° Vrms e 60∠ − 45° VrmsB)
20∠ − 36,87° Arms,  20∠ − 36,87° Vrms e 30∠53,13° VrmsC)
7∠0° Arms,  20∠0° Vrms e 30∠ − 45° VrmsD)
20∠36,87° Arms,  80∠36,87° Vrms e 60∠ − 53,13° VrmsE)
   

VC = Xci = 3∠ − 90°⋅20∠36,87°= 60∠ − 53,13° Vrms
4. Determine a corrente do circuito RLC apresentado abaixo, com frequência f=50kHz.
Comentário
A alternativa "B" está correta.
Assista, a seguir, a um vídeo sobre exemplo de um circuito RLC.
1∠90° AA)
0,1∠ − 70,47° AB)
0,1∠0° AC)
30∠70,47° AD)
1∠ − 90° AE)
   

5. Determine a corrente i do circuito RLC paralelo, dado 
XL = 20Ω,  XC = 50Ω e R = 100Ω.
0,2∠0° AA)
0,3∠90° AB)
0,1∠53° AC)
0,32∠71,6° AD)
0, 32∠ − 71, 6°AE)
   

Comentário
A alternativa "E" está correta.
A corrente em cada componente do circuito é:
A corrente total i do circuito é:
iR =
v
R =
10∠0°
100 = 0,1∠0°A = 0,1 A
iC =
v
XC
=
10∠0°
50∠−90° = 0,2∠90°A = j0,2A
iL =
v
XL
=
10∠0°
20∠90° = 0,5∠ − 90°A = −j0,5A
i = iR + iR + iL = 0,1 + j0,2 − j0,5 = 0,1 − j0,3 A = 0,32∠ −
6. Um circuito RLC em série com é considerado:
Responder
XL < XC
TEORIA NA PRÁTICA
ResistivoA)
IndutivoB)
CapacitivoC)
ReativoD)
E�cazE)
   

Uma fábrica de tecidos tem um gerador que gera uma tensão de 120V e 60Hz, um banco de capacitores de 1mF e
cargas resistivas ligadas em paralelo de 10Ω. Qual é o valor da corrente em cada um desses componentes?
Clique no botão para ver a resolução.
RESOLUÇÃO
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. Determine a corrente i do circuito RL paralelo, dado
Vp = 20V,  XL = 20Ω e R = 100Ω.
Comentário
Parabéns! A alternativa "E" está correta.
0,2∠0° AA)
0,3∠90° AB)
0,1∠11,31° A C)
0,3∠10° AD)
0,2∠ − 11,31° AE)
   

A corrente em cada componente do circuito é:
ZL = R + jXL = 100 + j20 = 102∠11,31°
i =
V
Z =
20∠0°
102∠11,31° = 0,2∠ − 11,31° A
2. Os valores da multiplicação e da divisão dos fasores 
 e são respectivamente:v1 = 30∠45°V v2 = 5∠15° V
Comentário
Parabéns! A alternativa "C" está correta.
Usando as propriedades dos números complexos na forma de fasores:
Logo:
v1⋅v2 = V1⋅V2∠(ϕ1 + ϕ2)
v1
v2
=
V1
V2
∠(ϕ1 − ϕ2)
v1⋅v2 = 30 ⋅ 5∠(45°+15°) = 150∠60°
v1
v2
=
30
5 ∠(45°−15°) = 6∠30°
35∠60° e 25∠30°A)
24∠20° e 6∠20°B)
150∠60° e 6∠30°C)
25∠40° e 35∠80°D)
150∠90° e 6∠0°E)
   

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CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aprendemos inicialmente os números complexos e suas propriedades, apresentando as operações algébricas, o
módulo ou valor absoluto, além do conjugado de um número complexo.
No segundo módulo, vimos as ondas senoidais e suas características como valor de pico e valor pico a pico,
período e frequência, entre outros. Abordamos as representações matemáticas das senoides, assim como os
conceitos de fase inicial e defasagem entre sinais.
Por �m, apresentamos os diagramas fasoriais e pudemos demonstrar sua relação com os números complexos.
Além disso, compreendemos a utilização dos resistores, indutores e capacitores nos circuitos em corrente
alternada, demonstrando-as também em circuitos RC, RL e RLC em série e paralelo.
PODCAST
0:00 3:19
   

https://stecine.azureedge.net/repositorio/circuitos_de_corrente_alternada/index.html
REFERÊNCIAS
ALBUQUERQUE, R. O. Análise de circuitos em corrente alternada. São Paulo: Érica, 2012.
BROWN, J.; CHURCHILL, R. Variáveis complexas e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
CRUZ, E. C. A. Circuitos elétricos: análise em corrente contínua e alternada. 1. ed. São Paulo: Érica, 2014.
FOWLER, R. Fundamentos de eletricidade: corrente alternada e instrumentos de medição. 7. ed. Porto Alegre:
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NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
SEIXAS, J. L., et al. Circuitos elétricos. Porto Alegre: Sagah Educação S.A., 2018.
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CONTEUDISTA
Ana Catarina Almeida Filizola de Abreu
 Currículo Lattes
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