Circuitos de Corrente Alternada - Sala de Aula _ Estacio - 03-10-22 (LEAOUT DO SITE)

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DESCRIÇÃO
Explicação da corrente alternada. Fundamentos dos números complexos, suas representações senoidais no tempo e diagramas fasoriais.
PROPÓSITO
Definir os conceitos de corrente alternada a partir da álgebra dos números complexos e sua representação em funções senoidais no domínio do tempo e angular, além dos conceitos
de diagramas fasoriais e sua aplicação nas correntes alternadas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer a álgebra dos números complexos
MÓDULO 2
Calcular as funções senoidais no tempo
MÓDULO 3
Definir o conceito de diagramas fasoriais
Assista, a seguir, a um vídeo sobre os estudos dos Circuitos de Corrente Alternada.
MÓDULO 1
 Reconhecer a álgebra dos números complexos
Assista, a seguir, a um vídeo sobre a álgebra dos números complexos.
O QUE É NÚMERO COMPLEXO?
O número complexo é o instrumento matemático para a resolução de circuitos em corrente alternada. Ele pode ser definido como par ordenado (x, y) de números reais no plano
complexo, ou seja, os números reais x e y são conhecidos como as partes real e imaginária de z, respectivamente. O conceito do número complexo ou imaginário foi criado a fim de
podermos representar as raízes quadradas dos números negativos, cujos resultados não fazem parte do conjunto dos números reais.
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A unidade imaginária, definida pela letra i dos números complexos na engenharia elétrica, é trocada por j, para não ser confundida com a corrente elétrica. Ela é definida como:
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Portanto, podemos representar a raiz quadrada de um número negativo da seguinte maneira:
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 EXEMPLO
Simplifique o número
Solução
Um número complexo pode ser representado de três formas:
CARTESIANA
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sendo x e y números reais.
O plano cartesiano que representa o número complexo é formado pelo eixo real (abcissa) e o eixo imaginário (ordenada), conforme a figura a seguir.
√−2,  √−10, √−49 …
j = √−1  ou  j2 = −1
√−x = j√x
√−18
√−18 = √−9 ⋅ 2 = 3j√2
z = x + j ⋅ y,  ou, z = x + jy,
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 1: Forma trigonométrica do número complexo
FORMA POLAR
 SENDO Z O MÓDULO DO NÚMERO COMPLEXO Z E Φ O ÂNGULO DADO EM RADIANOS OU EM
GRAUS, TAMBÉM CHAMADO DE ARGUMENTO.
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Alguns autores preferem representar o número complexo pela forma
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Para transformar a forma cartesiana em polar, utilizamos as seguintes fórmulas:
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Agora, inversamente, de polar para cartesiana, utilizamos:
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FORMA TRIGONOMÉTRICA
A partir das fórmulas anteriores, podemos obter a forma trigonométrica:
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Podemos representar também o número complexo , como quando estamos trabalhando no conjunto de números complexos e para simplificar.
AGORA VAMOS VER UNS EXEMPLOS:
1. Transforme o número complexo z=4+j4 em forma polar e desenhe o plano cartesiano.
Solução:
Primeiro acharemos o valor do módulo do número complexo z, que é dado pela fórmula: 
Temos então:
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Agora, obtendo o valor do argumento, ângulo
, ENCONTRAMOS 
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z = Z∠ϕ,
Ż = Z∠ϕ.
Z = √(x2 + y2) e ϕ = arctg∣∣ ∣∣
y
x
x = Zcosϕ e y = Zsenϕ
z = Z ⋅ (cosϕ + jsenϕ).
z = x + jy z = (x, y),  
Z = √(x2 + y2).
Z = √42 + 42 = 4√2
ϕ = arctg∣∣ ∣∣
y
x ϕ = arctg = 45°
4
4
Assim, obtemos a forma polar do número complexo:
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e o plano cartesiano é dado por:
 
Fonte: EnsineMe
2. Transforme o número complexo
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para a forma cartesiana e desenhe o plano cartesiano.
Solução:
Primeiro vamos calcular os valores de x e y, que podem ser encontrados pela fórmula
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Temos então:
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Logo, 
 
Fonte: EnsineMe
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO
O módulo ou valor absoluto de um número complexo, como já citamos, é representado pela fórmula:
z = 4√2∠45°,
z = 20∠ − 30°
x = Zcosϕ e y = Zsenϕ.
x = 20 cos(−30)→ x = 17,32
 y = 20 sen(−30)→ y = −10
x = 17, 32  − j10
Z =|z|= √x2 + y2
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O módulo, portanto, é um número real, não negativo. Geometricamente, |z| é a distância entre o ponto (x,y) e a origem, ou o comprimento do vetor radial que representa z.
As seguintes propriedades dos módulos são válidas para todos os complexos:
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
O conjugado de um número complexo é definido pela fórmula:
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Fonte: EnsineMe
 Figura 2: Conjugado de um número complexo
Alguns autores apresentam
 COMO 
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Utilizaremos esse último de agora em diante. As seguintes relações são válidas para o complexo conjugado:
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A soma de um número complexo com seu conjugado é o número real 2x, e a diferença, o número imaginário 2jy. Podemos verificar isso usando as seguintes fórmulas:
|z1z2|=|z1||z2|
∣∣ ∣∣= ,  z2 ≠ 0
z1
z2
| z1 |
| z2 |
z∗ = x − jy   ou  z∗ = Z∠ − ϕ
z* z̄
¯̄z = z
∣
∣
−
z
∣
∣=|z|
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯z1 + z2 =(x1 + x2)−j(y1 + y2)=(x1 − jy1)+(x2 − jy2)= ¯̄¯z1 + ¯̄¯z2
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯z1 − z2 = ¯̄¯z1 − ¯̄¯z2
¯̄¯̄¯̄¯̄
( ) =z1
z2
¯̄¯z1
¯̄¯z2
Re =(x + jy)+(x − jy)= 2x
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A multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado resulta somente em número real, e como podemos verificar no valor ao quadrado do módulo:
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Na divisão de números complexos, utiliza-se o conjugado do denominador e multiplica-se pelo numerador e denominador para obter o resultado na forma cartesiana.
VEJA UM EXEMPLO:
Sendo z1= -1+j e z2= 2-j, obtenha o valor simplificado das seguintes equações:
Solução:
Temos o conjugado de z1 e z2:
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Im =(x + jy)−(x − jy)= 2jy
z ⋅ z* =(x + jy)⋅(x − jy)= x2 + y2 = |z|2
¯̄¯z1 + ¯̄¯z2
¯̄¯z1 − ¯̄¯z2
z1
z2
¯̄¯z1 ⋅ ¯̄¯z2
¯̄¯z1 = −1 − j e ̄ ¯̄z2 = 2 + j
¯̄¯z1 + ¯̄¯z2 = −1 − j + 2 + j = 1
¯̄¯z1 − ¯̄¯z2 = −1 − j − 2 − j = −3 − j2
= = = =z1
z2
−1+j
2−j
(−1+j)(2+j)
(2−j)(2+j)
−2−j+j2−1
22+12
−3+j
5
¯̄¯z1 ⋅ ¯̄¯z2 =(−1 − j)(2 + j)= −2 − j − j2 + 1 = −1 − j3
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS
A seguir, definiremos algumas operações com números complexos:
IGUALDADE
Dois números complexos,
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são considerados iguais se as partes reais e imaginárias forem as mesmas:
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ADIÇÃO
A soma de dois números complexos nada mais é que somar suas partes reais e imaginárias separadamente.
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Fonte: EnsineMe
SUBTRAÇÃO
A subtração de dois números complexos significa subtrair suas partes reais e imaginárias separadamente.
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Fonte: EnsineMe
MULTIPLICAÇÃO
A multiplicação é feita multiplicando item a item, podendo ser realizada de forma cartesiana ou polar.
z1 =(x1, y1),  z2 =(x2, y2)
z1 = z2 ⟹ x1 = x2 e y1 = y2;
z1 + z2  →(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1 + y2)= (x1+x2) + j(y1 + y2);
z1 − z2  →(x1, y1)−(x2, y2)=(x1 − x2, y1 − y2)= (x1 − x2) + j(y1 − y2);
z1 ⋅ z2  →(x1, y1)⋅(x2, y2)=(x1⋅x2 − y1 ⋅ y2,  x1 ⋅ y2 + y1 ⋅ x2)=
= (x1⋅x2 − y1 ⋅ y2) + j(x1 ⋅ y2 + y1 ⋅ x2),  ou,  z1 ⋅ z2 = Z1 ⋅ Z2∠(ϕ1 + ϕ2);
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DIVISÃO
A divisão, como já vimos, é feita utilizando o conjugado do denominador e multiplicando pelo numerador e denominador. Para a forma cartesiana ou para a polar, deve-se dividir os
módulos dos números e subtrair seus argumentos.
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EXEMPLO:
Considere os seguintes números complexos:
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Obtenha:
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Solução:
A) 
B) 
C) OU NA FORMA POLAR 
D) OU NA FORMA POLAR
= z1 ⋅ z2−1 → ( , ),z1z2
x1⋅x2+y1⋅y2
x22+y
2
2
y1⋅x2−x1⋅y2
x22+y
2
2
ou, = ∠(ϕ1 − ϕ2),  z2 ≠ 0.z1z2
Z1
Z2
z1 = 5 + j4 e z2 = −10 + j2
z1 + z2
z1 − z2
z1 ⋅ z2
z1
z2
z1 + z2 = 5 + j4 − 10 + j2 =(5 − 10)+j(4 + 2)= −5 + j6
z1 − z2 = 5 + j4 −(−10 + j2)=(5 + 10)+j(4 − 2)= 15 + j2
z1 ⋅ z2 =(5 + j4)⋅(−10 + j2)= −50 + j10 − j40 − 8 = −58 − j30
z1 ⋅ z2 = √41∠38 ,66 ° ⋅ 2√26∠ − 191 ,31 ° = 2√1066∠ − 152 ,65 °
= = =z1z2
(5+j4)
(−10+j2)
(5+j4)⋅(−10−j2)
(−102+42)
= = =
(−50−j10−j40+8)
104
(−42−j50)
104
(−21−j25)
52
= = ∠229,97°z1z2
√41∠38,66°
2√26∠−191,31°
√1066
52
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Os números complexos também seguem algumas dos números reais:
COMUTATIVIDADE
 
ASSOCIATIVIDADE
 
DISTRIBUTIVIDADE
Uma fórmula que pode ser bem útil, e que é válida para os números reais e para os complexos, é a do binômio:
Em que
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MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O VALOR DE (2-J3) + J(4+J5).
A)
A) 
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A)
B)
B) 
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B)
C)
C) 
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z1 + z2 = z2 + z1
z1 ⋅ z2 = z2 ⋅ z1
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(z1 ⋅ z2) ⋅ z3 = z1 ⋅ (z2 ⋅ z3)
z ⋅ (z1 + z2) = zz1 + zz2
(z1 + z2)
n
= ∑n
k=0(
n
k
)zk1z
n−k
2  (n = 1,2, …)
( n
k
)=  (k = 0,1, 2, … ,n)n!
k! (n−k ) !
−3 + j
6 − j2
3 − j
C)
D)
D) 
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D)
E)
E) 
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E)
2. DETERMINE O VALOR DE .
A)
A) 
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A)
B)
B) 
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B)
C)
C) 
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C)
D)
D) 
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D)
E)
E) 
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E)
3. DETERMINE O VALOR DE 
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4. DETERMINE O VALOR DE NA FORMA POLAR.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. DETERMINE O VALOR DE NA FORMA POLAR.
A) 
B) 
C) 
D) 
2 + 9j
1 − j2
(2 − j) · (1 + j7)
2 + j6
7
9 + j13
13 + j5
1 − j7
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(1 − j) · ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(3 + j3).
−3j
6
6j
0
−6
(3+j4)
(1+j)
∠45°√22
∠8°5√22
∠98°5√22
5∠8°
5∠98°
(3 + 4j) · (5 + j4)
5∠15,66°
√41∠15,66° 
5√41∠53°
5∠91,66°
E) 
6. SE Z=1+J2 É UM NÚMERO COMPLEXO E , SEU CONJUGADO, ENTÃO É IGUAL A:
A) -1
B) j4
C) -1 + 8j
D) 1
E) 7
GABARITO
1. Determine o valor de (2-j3) + j(4+j5).
A alternativa "A " está correta.
Usando as propriedades dos números complexos:
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2. Determine o valor de .
A alternativa "C " está correta.
Usando as propriedades dos números complexos:
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3. Determine o valor de 
A alternativa "B " está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos e as propriedades algébricas:
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4. Determine o valor de na forma polar.
A alternativa "B " está correta.
Assista, a seguir, a um vídeo sobre números complexos na forma polar.
02:50
5. Determine o valor de na forma polar.
A alternativa "E " está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos na forma polar e as propriedades algébricas:
Passando para a forma polar:
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Logo,
5√41∠91, 66°
−
z w = z2 + 2 
−
z
(2 − j3)+j(4 + j5)= 2 − j3 + j4 − 5 = −3 + j
(2 − j) · (1 + j7)
(2 − j)·(1 + j7)= 2 + j14 − j + 7 = 9 + j13
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(1 − j) · ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(3 + j3).
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(1 − j) · ¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(3 + j3) =(1 + j)·(3 − j3)= 3 − j3 + j3 + 3 = 6
(3+j4)
(1+j)
(3 + 4j) · (5 + j4)
(3 + 4j)= 5∠53°
(5 + j4)= √41∠38, 66°
(3 + 4j) ⋅ (5 + j4) =  
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6. Se z=1+j2 é um número complexo e , seu conjugado, então é igual a:
A alternativa "A " está correta.
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos e as propriedades algébricas:
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GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Em um circuito eletrônico, temos que a impedância equivalente do circuito é dado por
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Determine a corrente do circuito.
RESOLUÇÃO
Assista, a seguir, um vídeo sobre números complexos em um circuito elétrico.
Solução
Pela Lei de Ohm temos que
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, temos então que a corrente do circuito é igual a:
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE O VALOR DE 
A) -j
=  5∠53° ⋅ √41∠38 ,66 ° =
=  5√41∠(53° + 38 ,66 °) =
=  5√41∠91 ,66 °
−
z w = z2 + 2 
−
z
w = z2 + 2 
−
z = (1 + j2)2 + 2 
−
(1 + j2) =(1 + j4 − 4)+(2 − j4)= −1
z = 1 + j2Ω,  sua tensão U = 10V
U = z ⋅ i
i = = = = 2 − j410
(1+j2)
10⋅(1−j2)
(1+j2)⋅(1−j2)
10−j20
12+2
2
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(1 − j) · j ·(3 + j2).
B) -5+j5
C) 3
D) 0
E) 3j+2
2. DETERMINE O VALOR DE NA FORMA POLAR.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Determine o valor de 
A alternativa "B " está correta.
 
Usando a propriedade do conjugado dos números complexos e as propriedades algébricas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor de na forma polar.
A alternativa "E " está correta.
 
Usando a propriedade dos números complexos na forma polar e as propriedades algébricas:
Colocando na forma polar:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalMÓDULO 2
 Calcular as funções senoidais no tempo
Assista, a seguir, a um vídeo sobre funções senoidais no tempo.
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯( 3+j4 )
( 1−j )
∠45°√22
∠ − 98°5√22
5∠8°
5∠98°
∠ − 8°5√22
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(1 − j) · j ·(3 + j2).
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯(1 − j) · j ·(3 + j2) = (1 + j)·(j3 + j2)= j3 + j2 − 3 − 2 = −5 + j5
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄¯( 3+j4 )
( 1−j )
¯̄¯̄¯̄¯̄¯̄3 + j4 = 3 − j4 = 5∠ − 53°
1 − j = √2∠ − 45°
= = ∠(−53° + 45°)= ∠ − 8°
( 3−j4 )
( 1−j )
5∠−53°
√2∠−45°
5√2
2
5√2
2
O QUE SÃO CORRENTES ALTERNADAS?
Os circuitos elétricos podem ser encontrados com correntes contínuas ou alternadas. As correntes alternadas, que são o interesse deste tema, variam a polaridade e o valor ao
longo do tempo, e essa variação pode ocorrer de diversas formas (senoidal, quadrada, triangular etc.). Porém, a forma de onda mais importante e que será apresentada neste
módulo é a senoidal.
Uma corrente alternada com esse tipo de forma de onda é chamada de corrente alternada senoidal.
Uma onda senoidal (ou sinal senoidal) é uma onda periódica que repete seu comportamento ao longo do eixo x. Em um circuito elétrico, podemos representar, por exemplo, a
tensão senoidal nos domínios temporal e angular.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 3: Domínio temporal.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 4: Domínio angular
Podemos verificar pelas figuras que a senoide é sempre nula nos múltiplos inteiros positivos de π, ou seja, pra 0π, 1π, 2π, ..., ∀n ε ℤ, isso ocorre porque o valor da função seno é nula
para esses valores.
A ONDA SENOIDAL
A onda senoidal é produzida quando um condutor é girado em campo magnético, com velocidade constante e densidade de fluxo uniforme.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 7: Geração de uma onda senoidal pela rotação de um condutor em campo magnético
O condutor na posição 1 move paralelamente ao fluxo e não há tensão induzida nele. Quando o condutor gira da posição 1 para a 2, começa a cortar o fluxo em um pequeno ângulo;
portanto, uma pequena tensão é induzida ao condutor. A corrente produzida por essa tensão é indicada pelo ponto , que significa que a corrente está na direção para fora da
página.
Assim que o condutor vai girando, o ângulo no qual ele corta o fluxo vai aumentando, até que o condutor se mova perpendicularmente às linhas de fluxo (posição 4). À medida que o
condutor se movimenta, menos fluxo é cortado. Quando atinge a posição 7, não há mais tensão induzida, e o primeiro semiciclo positivo da onda senoidal foi produzido.
Quando o condutor deixa a posição 7, o sentido do fluxo é invertido; assim sendo, a polaridade da tensão induzida é invertida e o semiciclo negativo se inicia. Na posição 10, temos o
máximo de tensão negativa induzida no condutor. E, quando o condutor retorna à posição original (1), a tensão induzida vai para zero. Assim, o primeiro ciclo é completado e a onda
(∙)
senoidal produzida.
Cada nova rotação do condutor produzirá um novo ciclo da onda senoidal.
VALOR DE PICO E VALOR DE PICO A PICO
A tensão de pico Vp é a amplitude máxima que a tensão senoidal pode atingir. A amplitude total, por sua vez, é denominada tensão de pico a pico (Vpp), encontrada entre os valores
máximos positivo e negativo, ou seja, é um sinal que se alterna entre dois valores. Temos então que Vpp=2Vp.
É preciso tomar cuidado, pois algumas formas de onda em circuitos eletrônicos não são simétricas. Isso quer dizer que os valores de pico positivo e negativo são distintos, portanto,
para os casos em que o valor de pico for especificado, deve-se sempre indicar se ele se refere ao pico positivo ou negativo.
PERÍODO E FREQUÊNCIA
Período é o tempo necessário para a fonte ou função completar um ciclo, ou seja, produzir uma onda completa. Assim sendo, o ciclo é a parte de uma forma de onda que não se
repete ou não se duplica. O período é representado pela letra T.

Frequência é o número de vezes que esse ciclo completo se repete no tempo de um segundo. Sua unidade é o hertz (Hz), representado pela letra f. A relação entre período e
frequência é representada pela fórmula: 
 VOCÊ SABIA
A distribuição de energia elétrica no Brasil é feita em corrente alternada e na frequência de 60 Hz. Em alguns países da Europa e da América Latina, a frequência utilizada na
distribuição da energia elétrica é de 50 Hz.
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DA ONDA SENOIDAL
A tensão senoidal pode ser representada matematicamente pelas seguintes fórmulas:
DOMÍNIO TEMPORAL:
DOMÍNIO ANGULAR:
Sendo:
VALOR DA TENSÃO EM VOLTS (V) NO INSTANTE T OU PARA O ÂNGULO Θ.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vp= valor de pico ou amplitude máxima em volts (V).
ω= frequência angular em rd/s.
Θ= ângulo em rd.
FREQUÊNCIA ANGULAR (OU VELOCIDADE ANGULAR)
A frequência angular corresponde à variação do ângulo Θ do sinal em função do tempo.
É representada pela letra ω e pode ser encontrada pela relação Θ=ωt. Quando Θ=2π e t=T, a frequência angular é dada por 
A FREQUÊNCIA ANGULAR
(ou velocidade angular)
SEGUE O EXEMPLO:
f = 1
T
v(t)= Vpsenωt
v(θ)= Vpsenθ
v(t)= v(θ)→
ω = ou ω = 2πf.2π
T
javascript:void(0)
Analise o sinal senoidal da figura, indicando a tensão de pico, a tensão pico a pico, o período e a frequência do ciclo, a frequência angular e, por fim, v(t).
 
Fonte: EnsineMe
SOLUÇÃO:
Pelo gráfico, podemos extrair os seguintes dados:
Tensão de pico: 4V
Tensão de pico a pico: Vpp=8V
Período: T=0,2s
Pelas relações matemáticas, temos:
Frequência:
Frequência angular:
Tensão no domínio do tempo:
VALOR EFICAZ OU VALOR RMS
O valor eficaz (ou RMS) de uma onda está relacionado com o calor dissipado em uma resistência, representando, portanto, o valor de uma tensão (ou corrente) contínua que produz a
mesma dissipação de potência que a tensão (ou corrente) periódica. É representado pelas seguintes fórmulas:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando a forma de onda é senoidal, podemos escrever:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a potência dissipada em um resistor é dada pela fórmula
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
f = = = 5Hz1
T
1
0,2
ω = 2πf = 10π rd/s
v(t)= Vpsenωt = 5sen10πt
Irms = √ ∫ T0 i2(t)dt
Vrms = √ ∫ T0 v2(t)dt
1
T
1
T
Irms =  e Vrms = = .
Ip
√2
Vp
√2
Vpp
2√2
P = Vrms ⋅ Irms = ⋅ =
Vp
√2
Ip
√2
Vp⋅Ip
2
ou, como podemos verificar, também é a potência média.
 VOCÊ SABIA
A tensão e a corrente alternada exibidas em multímetros são dadas em valores eficazes.
FASE INICIAL
Quando um circuito elétrico não inicia o seu ciclo em t=0s, temos que considerar uma fase inicial θ0.
Assim, temos que reescrever a fórmula do domínio do tempo incluindo essa fase, obtendo então
Deve-se considerar θ0 positivo quando o ciclo é adiantado e negativo quando é atrasado.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 5: Fase inicial com sinal adiantado
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 6: fase inicial com sinal atrasado
ACOMPANHE NO EXEMPLO ABAIXO:
Represente graficamente os sinais senoidais:
Solução:
a)
Podemos ver que o sinal está atrasado -30° e, considerando t=0s, encontramos
v(t)= Vpsen(ωt + θ0).
v(t)= 20sen(10kπt − 30°)V
v(t)= 5sen(2kπt + π/3)V
f = = = 5kHzω2π
10kπ
2π
T = = = 0,2ms = 200μs1
f
1
5k
 
Fonte: EnsineMe
b)
Podemos ver que o sinal está adiantado
 E, CONSIDERANDO T =0S, ENCONTRAMOS 
 
Fonte: EnsineMe
DEFASAGEM
Em circuitos elétricos, às vezes temos mais de um sinal senoidal, portanto, utilizamos a defasagem, ou seja, a diferença de fase ∆ϕ entre dois sinais de mesma frequência.
A figura a seguir representa essa defasagem entre duas senoides e também são representadas pelas equações
Podemos verificar que a soma (ω t+Φ) indica que o sinal v2 está adiantado de Φ em relação v1, ou seja, o sinal v2 se inicia antes. Caso seja uma subtração (ω t-Φ), o comportamento
é invertido, ou seja, v2 estaria atrasado em relação a v1, portanto, se iniciaria depois.
 
Fonte: EnsineMe
 EXEMPLO
v(0)= 20sen(−30°)= −10V .f = = = 1kHzω2π
2kπ
2π
T = = = 1ms1
f
1
1k
= 60°π3 v(0)= 5sen60° = 4, 33V .
v1 = Vpsenωt e v2 = Vpsen(ωt + ϕ).
Seja
qual a defasagem entre os sinais?
Solução:
Portanto, v2 está atrasado de
em relação a v1.
SENOIDES COM SENO E COSSENO
As senoides podem ser escritas com funções matemáticas cosseno e seno; porém, ao fazermos a análise das funções (sinais), temos que escolher uma única função.
A seguir, são apresentadas as relações trigonométricas entre as duas funções.
A partir dessas relações, podemos comparar os sinais elétricos.
 EXEMPLO
Transforme o sinal
em uma função cosseno.
Solução:
Temos pelas relações trigonométricas que
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS E 
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
v1(t)= 10sen(ωt + π/3 ) e v2(t)= 5sen(ωt − π/2 )
Δθ = − − = − rdπ2
π
3
5π
6
rd5π6
sen(ωt ± 180°)= −sen(ωt)
sen(ωt ± 90°)= ±cos(ωt)
cos(ωt ± 180°)= −cos(ωt)
cos(ωt ± 90°)= ∓sen(ωt)
v(t)= 10sen(ωt + π/3)
v(t)= 10sen(ωt + π/3 )= 10cos(ωt + π/3 − π/2 )= 10 cos(ωt − π/6 ).
v1(t)= 10 sen(ωt + π/2) v2(t)= 5 sen(ωt − π/4 ).
  rd−3π4
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. CONSIDERE O SINAL DETERMINE SUA AMPLITUDE, FASE, PERÍODO E FREQUÊNCIA.
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. MARQUE A CORRETA RELAÇÃO ENTRE OS SINAIS
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) v1 está adiantado em relação a v2.
B) v2 está atrasado em relação a v1.
C) v1 e v2 estão em fase.
D) v1 está atrasado em relação a v2.
E) v2 está adiantado em 10° em relação a v1.
4. CONVERTA O SINAL SENOIDAL V = 10SEN(ΩT+20°) PARA UMA FUNÇÃO COSSENO.
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. DETERMINE O ÂNGULO DE DEFASAGEM ENTRE OS SINAIS E 
A) 
B) 
C) 
  rd−π4
  rd−3π2
  rdπ2
  rdπ2
v = 25 sen(10t + 15°).
Vp = 5,ϕ = 20°, T = s e f = Hz
5
π
π
5
Vp = 20,ϕ = 90°, T = s e f = Hzπ5
5
π
Vp = 25,ϕ = 15°, T = s e f = Hz
10
π
π
10
Vp = 25,ϕ = 15°, T = s e f = Hzπ5
5
π
Vp = 20,ϕ = 90°, T = s e f = 10 Hz
1
10
v1 = 16 sen(ωt + 20°) e v2 = 28 sen(ωt + 40°).
10 cos(ωt − 90°) 
10 cos(ωt + 70°)
10 cos(ωt − 70°)
−10 cos(ωt − 70°) 
10 cos(ωt) 
v1 = 35 sen(ωt + 10°) v2 = 65 cos(ωt − 50°).
40°
30°
90°
D) 
E) 
6. DETERMINE A FÓRMULA NO DOMÍNIO DO TEMPO DO SINAL SENOIDAL REPRESENTADO ABAIXO:
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
E) 
GABARITO
1. Determine a defasagem entre os sinais e 
A alternativa "A " está correta.
Usando a propriedade de onda senoidal e da defasagem entre sinais:
2. Considere o sinal Determine sua amplitude, fase, período e frequência.
A alternativa "D " está correta.
Assista, a seguir, a um vídeo sobre a análise de um sinal senoidal.
3. Marque a correta relação entre os sinais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Como os ângulos de fase dos dois sinais são diferentes, , temos que 𝑣2 está adiantado em relação a 𝑣1, ou 𝑣1 está atrasado em
relação a 𝑣2.
4. Converta o sinal senoidal v = 10sen(ωt+20°) para uma função cosseno.
A alternativa "C " está correta.
A relação trigonométrica entre as funções seno e cosseno pode ser dada pela fórmula 
Portanto,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o ângulo de defasagem entre os sinais e 
A alternativa "B " está correta.
A relação trigonométrica entre as funções seno e cosseno pode ser dada pela fórmula Portanto, colocando os dois sinais na mesma função
matemática cosseno:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O ângulo de defasagem entre os dois sinais é:
0°
60°
5 sen(10kπt − 20°)
−5 sen(10kπt − 20°)
5 sen(10kπt − 20°)
10 sen(200t)
10 sen(200t − 20°)
v1(t)= 10 sen(ωt + π/2) v2(t)= 5 sen(ωt − π/4 ).
∆θ = −π/4 − π/2 =   rd−3π4
v = 25 sen(10t + 15°).
v1 = 16 sen(ωt + 20°) e v2 = 28 sen(ωt + 40°).
ϕ1 = 20°e ϕ2 = 40°, e ϕ2 > ϕ1
sen(ωt ± 90°)= ± cos(ωt). 
v = 10 sen(ωt + 20°)= 10 cos(ωt + 20° − 90°)= 10 cos (ωt − 70°)
v1 = 35 sen(ωt + 10°) v2 = 65 cos(ωt − 50°).
senωt ± 90° = ± cos(ωt). 
v1 = 35 sen(ωt + 10°)= 35 cos(ωt + 10° − 90°) = 65 cos(ωt − 80°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine a fórmula no domínio do tempo do sinal senoidal representado abaixo:
A alternativa "A " está correta.
Pelo gráfico, obtemos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um estudante de engenharia está estudando os circuitos de corrente alternada no laboratório de eletrônica básica, por meio de um osciloscópio, e pôde verificar duas ondas senoidais
de tensão
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Apresente o desenho dessas duas ondas vista pelo estudante e o valor da defasagem entre as duas.
RESOLUÇÃO
Assista, a seguir, a um vídeo sobre defasagem entre tensões senoidais.
Solução:
A defasagem encontrada pelo estudante foi:
O desenho no osciloscópio visto pelo estudante foi:
 
Fonte: EnsineMe
∆ϕ = −50° + 80° = 30°
Vp = 5V
T = 200μs ⇒ f = =   Hz1
T
1
200μ
ω = 2πf = = 10kπ  rd /s2π200μ
v1 = 5sen(ωt + 10°) e v2 = 10sen(ωt − 30°).
Δϕ = −30° − 10° = −40°
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE O SINAL V=10SEN (200T). DETERMINE SUA AMPLITUDE, FASE, PERÍODO E FREQUÊNCIA.
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. DETERMINE A FÓRMULA NO DOMÍNIO DO TEMPO DO SINAL SENOIDAL REPRESENTADO ABAIXO:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Considere o sinal v=10sen (200t). Determine sua amplitude, fase, período e frequência.
A alternativa "D " está correta.
 
Sabe-se que o sinal de onda é dado pela fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando a fórmula com o sinal da questão v=10 sen (10t), temos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a fórmula no domínio do tempo do sinal senoidal representado abaixo:
Vp = 5, ϕ = 0°, T = sef = Hz
10
π
π
10
Vp =10, ϕ = 90°, T = sef = Hz
π
200
200
π
Vp = 25, ϕ = 180°, T = sef = Hz
10
π
π
10
Vp = 10, ϕ = 0°, T = sef = Hz
π
100
100
π
Vp = 20, ϕ = 90°, T = sef = 200 Hz
1
200
2 sen(20kπt + 10°)
−2 sen(10kπt − 10°)
4 sen(20kπt + 10°)
4 sen(100t)
2 sen(100t − 10°)
v = Vp  sen(ωt + ϕ)
Vp = 10 V, ω = 200  rd /s e ϕ = 0° 
ω = 2πf = 200 ⇒ f = = Hz e f = ⇒ T = s2002π
100
π
1
T
π
100
A alternativa "A " está correta.
 
Pelo gráfico, obtemos que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Definir o conceito de diagramas fasoriais
Assista, a seguir, um vídeo sobre conceito de diagramas fasoriais.
CONCEITO DE DIAGRAMA FASORIAL
Uma forma de representar o sinal senoidal é por meio de fasores ou vetores girantes de amplitude igual ao valor de pico (Vp) do sinal e velocidade angular ω. Essa forma de
representação é denominada diagrama fasorial.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 8: Diagrama fasorial
Pela figura, podemos escrever a tensão senoidal como:
Vp = 2V
T = 100μs ⇒ f = =   Hz1
T
1
100μ
ω = 2πf = = 20kπ  rd /s2π100μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, ou seja, uma função senoidal.
DIAGRAMA FASORIAL E VALORES INSTANTÂNEOS
A partir do diagrama fasorial, podemos calcular os valores instantâneos de tensão para qualquer valor de θ ou ωt.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 9: Diagrama fasorial e sinal senoidal
Pelo diagrama fasorial, podemos calcular (obter) os seguintes valores instantâneos:
E assim para quaisquer valores de θ.
FASE INICIAL
O sinal tem uma fase inicial quando um ângulo é formado entre o vetor e a parte positiva do eixo horizontal, no instante inicial t=0.
CONSEQUENTEMENTE, O VALOR INSTANTÂNEO DA TENSÃO É DADO AGORA POR:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se o ciclo iniciar adiantado θ0 é positivo, se o ciclo iniciar atrasado θ0 é negativo.
v(t) = Vpsenωt  ou  v(θ) = Vpsenθ
θ = 0°⟹ v(θ)= Vp  sen  0° = 0;
θ = 30°⟹ v(θ)= Vp  sen  30° = 0, 5 Vp;
θ = 60°⟹ v(θ)= Vp  sen  60° = 0, 866 Vp;
θ = 90°⟹ v(θ)= Vp  sen  90° = Vp;
¯̄̄ ¯̄0P
v (t) = Vp sen(ωt + θ0)
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 11: Sinal adiantado
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 10: Sinal atrasado
REPRESENTAÇÃO COM NÚMEROS COMPLEXOS
 RELEMBRANDO
Como vimos no módulo 1, um número complexo pode ser escrito na forma polar, com módulo e fase, da mesma maneira que a representação fasorial.
OU SEJA:
Podemos representar o sinal senoidal por um número complexo, sendo a amplitude o módulo e a fase inicial o ângulo do número complexo. Podemos, então, escrever a expressão 
 no formato de números complexos .
 EXEMPLO
Escreva, na forma de números complexos, os seguintes sinais senoidais:
a)
b)
Solução:
a)
b)
v(t)= Vp sen(ωt + θ0) v = Vp∠θ0 = Vpcosθ0 + jVp senθ0
v(t)= 20senωt V
v(t)= 5 sen(ωt + 45°)V
v = 20∠0° V
v(t)= 5∠45°V
OPERAÇÕES COM DIAGRAMA FASORIAL E NÚMEROS COMPLEXOS
As operações matemáticas entre tensões, correntes e potências podem ser realizadas por meio de diagrama fasorial ou números complexos, porém somente as operações básicas,
como soma e subtração, são realizadas pelo primeiro método, por causa de suas limitações; portanto, as operações como multiplicação, divisão, entre outras, devem ser realizadas
pelos números complexos.
 
Fonte: Shutterstock.com
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
 
Fonte: Shutterstock.com
O método de adição e subtração das tensões, corrente e potências em formato de números complexos é o mesmo apresentado no módulo 1. Para diagrama fasorial, utiliza-se o
método do paralelogramo.
OBSERVE O EXEMPLO ABAIXO:
Realize a soma dos vetores a seguir pelo diagrama fasorial e por números complexos.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
v1 = 10∠60°
v2 = 5∠ − 30°
v1 + v2 = 10∠60° + 5∠ − 30° = 5 + j8,66 + 4,33 − j2,5
v1 + v2 = 9,33 + j6,16 = 11,18∠33,42°
Fonte: EnsineMe
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO ENTRE FASORES
No caso de operação de multiplicação e divisão, conforme mencionamos anteriormente, basta utilizar as operações algébricas da forma polar dos números complexos.
EXEMPLO:
Realizar a multiplicação e a divisão dos vetores a seguir por números complexos.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solução:
Temos, então, pela forma polar:
CIRCUITOS RESISTIVOS EM CORRENTE ALTERNADA (CA)
Quando é aplicada uma tensão alternada em uma resistência elétrica, a corrente elétrica produzida possui a mesma forma de onda, frequência e mesma fase de tensão, porém com
amplitude que depende dos valores da tensão e da resistência.
Podemos verificar essa relação a seguir.
Sabe-se que
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, e pela forma de onda senoidal, temos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo
v1 = 10∠60°
v2 = 5∠ − 30°
v1 ⋅ v2 = 10∠60° ⋅ 5∠ − 30° = 50∠30°
= = 2∠90°v1
v2
10∠60°
5∠−30°
i(t)=
v ( t )
R
v(t)= Vpsen(ωt + θ0).
i(t)= ⇒ i(t)= Ipsen(ωt + θ0),
Vpsen (ωt+θ0 )
R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
o valor de pico da corrente.
 
Fonte: EnsineMe
 Figura 12: Circuito resistivo em corrente alternada
Podemos verificar, pela representação da forma de onda da tensão e da corrente dos circuitos resistivos em CA, que a resistência elétrica não provoca nenhuma defasagem entre
tensão e corrente:
 
Fonte: EnsineMe
A potência dissipada pela resistência elétrica é obtida pelo produto entre tensão e corrente,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ou em função da resistência
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência de pico é, portanto, dada por
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 RELEMBRANDO
Como apresentamos no módulo anterior, a potência de um circuito resistivo em CA é dada pela fórmula 
Podemos, então, representar as tensões e correntes em valores eficazes ou valores de pico.
VALORES EFICAZES:
VALORES DE PICO:
Ip =
Vp
R
p(t)= v(t)⋅i(t),
p(t)= R ⋅ i2(t)= .
v2 ( t )
R
Pp = Vp ⋅ Ip
P = Vrms ⋅ Irms = .
Vp⋅Ip
2
vrms  =  Vrms∠θ0 e irms  =  Irms∠θ0
v = Vp∠θ0 e i = Ip∠θ0
INDUTOR EM CORRENTE ALTERNADA (CA)
 
Fonte: EnsineMe
Se aplicarmos uma tensão senoidal em um indutor ideal, a corrente senoidal ficará atrasada 90° em relação à tensão, ou seja,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A resistência de um indutor à passagem de corrente alternada é chamada de reatância indutiva, e é dada pela fórmula:
XL= reatância indutiva em ohm (Ω)
L= indutância da bobina em henry (H)
f= frequência da corrente em hertz (Hz)
ω= frequência angular da corrente em radianos/segundo (rd/s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, então, escrever na forma fasorial
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba, portanto, que o indutor ideal tem fase 90°, ou seja, tem somente a parte imaginária positiva.
CIRCUITO RL SÉRIE
O circuito RL série nada mais é que uma indutância em série com um resistor.
A corrente que passa é a mesma para o indutor e o resistor, porém a tensão do indutor, como já vimos, vL é defasada de 90° em relação à corrente, e a do resistor vR está no mesmo
eixo, conforme apresentado na figura a seguir.
Podemos, então, verificar que a tensão do gerador v é a soma vetorial de vL e vR, defasado de um ângulo ϕ.
 
Fonte: EnsineMe
Um termo importante no circuito RL é a impedância indutiva ZL, que nada mais é que a combinação entre R e XL.
Como
 Atenção! Para visualização completa daequação utilize a rolagem horizontal
e
v(t)= Vpsenωt  e  i(t)= Ipsen(ωt − 90°).
XL = 2πfL = ωL
XL = ωL∠90° = jωL.
XL = = = jXL
vL
i
VL∠90°
I∠0°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
então, podemos escrever a impedância indutiva como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Escrevendo sua forma polar:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CIRCUITO RL PARALELO
 
Fonte: EnsineMe
Neste circuito, temos a impedância equivalente dada pela fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CAPACITOR EM CORRENTE ALTERNADA
Quando uma tensão senoidal é aplicada a um capacitor, ao contrário do indutor, a corrente fica adiantada de 90° em relação à tensão, ou seja,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: EnsineMe
A resistência que o capacitor oferece à variação de corrente é chamada de reatância capacitiva e é dada pela fórmula:
Xc= reatância capacitiva em ohm (Ω)
C= capacitância do capacitor em farad (F)
f= frequência da corrente em hertz (Hz)
ω= frequência angular da corrente em radianos/segundo (rd/s)
R = = = RvR
i
VL∠0°
I∠0°
ZL = R + jXL    ou   ZL = R + jωL
|ZL|= √R2 + X2L e ϕ = arctg .
XL
R
= +  e ϕ = arctg .1
ZL
1
R
1
jXL
R
XL
v(t)= Vpsenωt   e  i(t)= Ip sen(ωt + 90°)
XC = =
1
2πfC
1
ωC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos escrever na forma fasorial
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba, portanto, que o capacitor tem fase -90°, ou seja, tem somente a parte imaginária negativa.
CIRCUITO RC SÉRIE
O circuito RC série nada mais é que um capacitor em série com um resistor.
A corrente que passa é a mesma para o capacitor e o resistor; porém, a tensão do capacitor, como vimos, vC é defasado de 90° em relação à corrente, e a do resistor vR está no
mesmo eixo, conforme apresentado na figura a seguir.
Podemos verificar que a tensão do gerador v é a soma vetorial de vC e vR, defasado de um ângulo ϕ.
 
Fonte: EnsineMe
 ATENÇÃO
Um termo importante no circuito RC é a impedância capacitiva ZC, que nada mais é que a combinação entre R e XC.
Como
e
então podemos escrever a impedância indutiva como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Escrevendo sua forma polar:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CIRCUITO RC PARALELO
 
Fonte: EnsineMe
Xc = ∠ − 90° = −j =
1
ωC
1
ωC
1
jωC
XC = = = − jXC
vC
i
VC∠0°
I∠90°
R = = = R
vR
i
VR∠0°
I∠0°
ZC = R − jXC   ou  Zc = R − j .
1
ωC
|ZC|= √R2 + X2C e ϕ = arctg .
−XC
R
Neste circuito, temos a impedância equivalente dada pela fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CIRCUITO RLC SÉRIE
O circuito RLC série é composto por um resistor, um indutor e um capacitor, todos ligados em série. Como já vimos, podemos verificar no diagrama fasorial que a tensão no
resistor está em fase com a corrente, a tensão do indutor está adiantada 90° e a tensão do capacitor, atrasada em 90° em relação à corrente.
 
Fonte: EnsineMe
A impedância equivalente do circuito RLC é obtida pela fórmula
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Escrevendo sua forma polar:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos classificar esse circuito em três:
INDUTIVO:

CAPACITIVO:

RESISTIVO:
CIRCUITO RLC PARALELO
= +   e  ϕ = −arctgωCR.1
ZC
1
R
1
− jXC
Z = R + j(XL − XC)  ou  Z = R + j(ωL − )1ωC
|ZC|= √R2 + (XL − XC)2 e ϕ = arctg
(XL−XC)
R
XL > XC ⇒ ϕ > 0°
XL < XC ⇒ ϕ < 0°
XL = XC ⇒ ϕ = 0°
 
Fonte: EnsineMe
Como vimos, podemos verificar no diagrama fasorial que a corrente no resistor está em fase com a tensão, a corrente do indutor está atrasada 90° e a corrente do capacitor adiantada
em 90° em relação à tensão.
Neste circuito, temos que a impedância equivalente dada pela fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CAPACITIVO:

INDUTIVO:

RESISTIVO:
MÃO NA MASSA
1. QUAL É O VALOR DA REATÂNCIA DE UM CAPACITOR DE NA FREQUÊNCIA DE 60HZ?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. OS VALORES DA MULTIPLICAÇÃO E DA DIVISÃO DOS FASORES
 SÃO RESPECTIVAMENTE:
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
= + +    e   ϕ = − arctg .1Z
1
R
1
jXL
1
− jXC
R(XL−XC)
XLXC
XL > XC ⇒ ϕ < 0°;
XL < XC ⇒ ϕ > 0°;
XL = XC ⇒ ϕ = 0°.
5μF
530,5Ω
1061,03Ω
333Ω
500Ω
200Ω
v1 = 5∠10°V e v2 = 2∠30°V
10∠20°e 2, 5∠40°
2, 5∠40°e 10∠20°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. DADO O CIRCUITO A SEGUIR, DETERMINE O VALOR DA CORRENTE E TENSÃO NO RESISTOR E CAPACITOR.
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. DETERMINE A CORRENTE DO CIRCUITO RLC APRESENTADO ABAIXO, COM FREQUÊNCIA F=50KHZ.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. DETERMINE A CORRENTE I DO CIRCUITO RLC PARALELO, DADO 
10∠300°e 0, 1∠10°
2, 5∠300°e 10∠ − 20°
10∠40° e 2, 5∠ − 20°
7∠36,87° Arms,  40∠36,87° Vrms e 30∠ − 53,13° Vrms
20∠0° Arms,  80∠90° Vrms e 60∠ − 45° Vrms
20∠ − 36,87° Arms,  20∠ − 36,87° Vrms e 30∠53,13° Vrms
7∠0° Arms,  20∠0° Vrms e 30∠ − 45° Vrms
20∠36,87° Arms,  80∠36,87° Vrms e 60∠ − 53,13° Vrms
1∠90° A
0,1∠ − 70,47° A
0,1∠0° A
30∠70,47° A
1∠ − 90° A
XL = 20Ω, XC = 50Ω e R = 100Ω.
A) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. UM CIRCUITO RLC EM SÉRIE COM É CONSIDERADO:
A) Resistivo
B) Indutivo
C) Capacitivo
D) Reativo
E) Eficaz
GABARITO
1. Qual é o valor da reatância de um capacitor de na frequência de 60Hz?
A alternativa "A " está correta.
A reatância de um capacitor é dado pela fórmula 
Logo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Os valores da multiplicação e da divisão dos fasores
 são respectivamente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Usando as propriedades dos números complexos na forma de fasores:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Dado o circuito a seguir, determine o valor da corrente e tensão no resistor e capacitor.
A alternativa "E " está correta.
Temos a forma complexa da impedância do circuito em série:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O módulo de Zc:
0,2∠0° A
0,3∠90° A
0,1∠53° A
0,32∠71,6° A
0, 32∠ − 71, 6°A
XL < XC
5μF
Xc = .
1
ωC
Xc = = = 530,5Ω
1
ωC
1
2π60·5·10−6
v1 = 5∠10°V e v2 = 2∠30°V
v1·v2 = V1·V2∠(ϕ1 + ϕ2)
= ∠(ϕ1 − ϕ2)
v1
v2
V1
V2
v1·v2 = 5 · 2∠10° + 30° = 10∠40°
= ∠10° − 30° = 2, 5∠ −20°v1v2
5
2
Zc = R − jXc = 4 − j3Ω
|Zc|= √4
2 + 32 = √25 = 5Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E o ângulo fasorial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, então, rescrever na forma fasorial a impedância do circuito como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, temos a corrente do circuito:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E as tensões no resistor e no capacitor:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine a corrente do circuito RLC apresentado abaixo, com frequência f=50kHz.
A alternativa "B " está correta.
Assista, a seguir, a um vídeo sobre exemplo de um circuito RLC.
5. Determine a corrente i do circuito RLC paralelo, dado 
A alternativa "E " está correta.
A corrente em cada componente do circuito é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente total i do circuito é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Um circuito RLC em série com é considerado:
A alternativa "C " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
ϕ = arctg = −36,87°−34
Zc = 5∠ − 36,87°Ω
i = = = 20∠36,87° Arms
V
Zc
100∠0°
5∠−36,87°
VR = Ri = 4∠0° · 20∠36,87° = 80∠36,87° Vrms
VC = Xci = 3∠ − 90° · 20∠36,87° = 60∠ − 53,13° Vrms
XL = 20Ω, XC = 50Ω e R = 100Ω.
iR = = = 0,1∠0°A = 0,1 AvR
10∠0°
100
iC = = = 0,2∠90°A = j0,2AvXC
10∠0°
50∠−90°
iL = = = 0,5∠ − 90°A = −j0,5AvXL
10∠0°
20∠90°
i = iR + iR + iL = 0,1 + j0,2 − j0,5 = 0,1 − j0,3 A = 0,32∠ − 71,6° A
XL < XC
Uma fábrica de tecidos tem um gerador que gera uma tensão de 120V e 60Hz, um banco de capacitores de 1mF e cargas resistivas ligadas em paralelo de 10Ω. Qual é o valor da
corrente em cada um desses componentes?
RESOLUÇÃO
Assista, a seguir, a um vídeo sobre exemplo de um circuito RC paralelo.
Solução:
Para a resistência, temos a corrente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Fonte: EnsineMe
Para o banco de capacitores, a corrente é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Precisamos encontrar primeiro o valor de XC. Sabe-se que
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, então, a corrente igual:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A CORRENTE I DO CIRCUITO RL PARALELO, DADO
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. OS VALORES DA MULTIPLICAÇÃO E DA DIVISÃO DOS FASORES 
 E SÃO RESPECTIVAMENTE:
iR = = = 12∠0°A = 12 A
v
R
120∠0°
10
iC =
v
XC
XC = = = 2,65Ω
1
2πfC
1
2π60⋅1⋅10−3
iC = = = 45,3∠90°A = j45,3A
v
XC
120∠0°
2,65∠−90°
Vp = 20V, XL = 20Ω e R = 100Ω.
0,2∠0° A
0,3∠90° A
0,1∠11,31° A 
0,3∠10° A
0,2∠ − 11,31° A
v1 = 30∠45°V v2 = 5∠15° V
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Determine a corrente i do circuito RL paralelo, dado
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
 
A corrente em cada componente do circuito é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Os valores da multiplicação e da divisão dos fasores 
 e são respectivamente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
 
Usando as propriedades dos números complexos na forma de fasores:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Aprendemos inicialmente os números complexos e suas propriedades, apresentando as operações algébricas, o módulo ou valor absoluto, além do conjugado de um número
complexo.
No segundo módulo, vimos as ondas senoidais e suas características como valor de pico e valor pico a pico, período e frequência, entre outros. Abordamos as representações
matemáticas das senoides, assim como os conceitos de fase inicial e defasagem entre sinais.
Por fim, apresentamos os diagramas fasoriais e pudemos demonstrar sua relação com os números complexos. Além disso, compreendemos a utilização dos resistores, indutores e
capacitores nos circuitos em corrente alternada, demonstrando-as também em circuitos RC, RL e RLC em série e paralelo.
35∠60° e 25∠30°
24∠20° e 6∠20°
150∠60° e 6∠30°
25∠40° e 35∠80°
150∠90° e 6∠0°
Vp = 20V, XL = 20Ω e R = 100Ω.
ZL = R + jXL = 100 + j20 = 102∠11,31°
i = = = 0,2∠ − 11,31° AV
Z
20∠0°
102∠11,31°
v1 = 30∠45°V v2 = 5∠15° V
v1·v2 = V1·V2∠(ϕ1 + ϕ2)
= ∠(ϕ1 − ϕ2)
v1
v2
V1
V2
v1·v2 = 30 · 5∠(45° + 15°)= 150∠60°
= ∠(45° − 15°)= 6∠30°v1v2
30
5
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALBUQUERQUE, R. O. Análise de circuitos em corrente alternada. São Paulo: Érica, 2012.
BROWN, J.; CHURCHILL, R. Variáveis complexas e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
CRUZ, E. C. A. Circuitos elétricos: análise em corrente contínua e alternada. 1. ed. São Paulo: Érica, 2014.
FOWLER, R. Fundamentos de eletricidade: corrente alternada e instrumentos de medição. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
NAHVI, M.; EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
SEIXAS, J. L., et al. Circuitos elétricos. Porto Alegre: Sagah Educação S.A., 2018.
EXPLORE+
Pesquise sobre números complexos e funções senoides no site Khan Academy.
CONTEUDISTA
Ana Catarina Almeida Filizola de Abreu
 CURRÍCULO LATTES
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