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PROJETO múLTIPLO RO PARA ANÁLISE LIV PROFESSOR DO DA PROIBIDA • • VEN - BRASILEIRA ASSOCTIAOÇRAEi DE LIVROS DE EDI Ensino Médio Luiz Roberto Dante • Parte editora ática • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • -• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Parte Capítulo 5 Geometria a na lítica: seccões côn icas ..... .. ... 155 ' Capítulo 6 Nú meros com plexos ..................................... 189 Capítulo 7 Polinômios e equações algébricas .............. 225 Capítulo 8 Princípio de Indução Finita e nocões intuitivas sobre derivada ............. 263 ' • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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' ' • Os planetas giram em torno do Sol em uma trajetória cuja forma é uma elipse. __________________ .,. ___ ------ .... - .. - , , ' ' -- --- Sol --- ----- --------- • O gráfico que relaciona pressão (P) e volume (V) de um gás à temperatura constante, como o da figura, é um ramo de hipérbole. ----·-------- ...... - -- - - ' ' ' ' ' • • • p - -- -- --- ' ' ' , V Vejamos mais algumas situações em que aparecem a parábola, a el ipse e a hipérbole. Tente associar cada figura a seguir a uma das cônicas citadas . Parábola* Origem .- ' ' ' . ' . ' ' ' ' ' ' .... --.... - ' , .......... _ .. _ ---_ ... _ .......... , ' . , ..... ___ _ Vamos considerar um cone circu lar reto seccionado por um plano paralelo à geratriz, como mostram as ilustrações seguintes: geratriz " plano paralelo à gerat riz " Nesse caso, dizemos que foi obtida uma secção cônica chamada parábola: • Vamos retomar e aprofundar o que você já estudou no capítulo 4 do volume 1- Função quadrática. 156 Capítulo 5 parábola Definição e elementos Inicia lmente consideremos, no plano do papel, uma reta d e um ponto F que não pertence a ela. Vamos marcar, agora, uma série de pontos que estão a uma mesma distância do ponto fixado Feda reta d. Na prática, isso pode ser feito com o auxílio de uma régua, um esquadro, lápis, alfinete e barbante. Veja: Constru indo o gráfico ponto a ponto teremos: -------------------------•$ ' R : -----•-----~-------- ~ I ' ' o ' ' ----------- ---- -- - ' i T ' ' P ' ' ' ' - . . . ' ,' N \ .1 ,' ---------- -- 1 I 1 \ ' ' i M \ l t f \ \ 1 , __ ..... \ \ ,, '' '. \ 1 , ' \ 1 ' , ', \ \ ,, ' ' \ t, d d o p ' ' - - - -1~ - - - - \ \ ' ' ' ' ' ' ' ' *, \ , ' ' ' e ", ,, F • V ' '"" ' '"" O . ------ - -------''I. F , ,,,. .. ; , , ,, ,, , ' \ \ . ,'-' O . ------ '- -------'.I F , ,,,. , , ' X" f t I , , ; I I I \ , ' A , ' \ \ ,' ,' 1 1 \ --------- • I / \ I I 1 1 \ B I ' \ \ I 1 1 • ---------- -- ! \ \ e/ \ \ -------------• ' \ ' ', E• ' , . ' . -----·-----~---- . ' ' G•. \ ----------- --- • \ ' H ', . . .. - ~ - . d d , ' ' , ' , ' ' ••-• f ,. I t • A , ' , , ' ' e A parábola é o conjunto de todos os pontos do plano que estão à mesma distância de F e d. Na figura devemos destacar: • o ponto F, f oco da parábola; • a reta d, diretriz da parábola; • o ponto V, vértice da parábola (ponto médio de FD, distância de F até d); • • F • • 2 '6 • • " .~ , f! :!! iii , o "' 'o E • o Fique atento! FD l VF= 2 =c Fique atento! Todo ponto da parábola tem essa propriedade e todo ponto do plano que ssui essa propriedade rtence à parábola. -- • a reta que passa por F, perpendicu lar à diretriz d, que se chama eixo de simetria da parábola; • a medida de FD, parâmetro (2c) da parábola. Assim, definimos que parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam igua lmente de uma reta f ixa d, chamada diretriz, e de um ponto f ixo F, não pertencente à diretriz, chamado foco. Geometr ia analítica: secções cônicas 157 Equação da parábola Equação da parábola com vértice na origem A partir do foco (F) e da diretriz (d), podemos chegar à equação da parábola formada por todos os pontos P(x,y) do plano tais que d(P, F) = d(P, d). 1~ caso: diretriz x = - e e foco F(c, O) x = -e y Q( - e, y) • - - i ~ - - - · , P(x, y) o d ' ' ' ..1... .,... • :F(c, O) X Fique atento! e indica a distância do foco ao vértice e é sempre positivo. Logo, - e indica um número negativo. d(P, F) = d(P, Q) • ✓(x - c)2 + (y - 0)2 = ✓(x + c)2 + (y - y)2 • (x - c)2 + y 2 = (x + c)2 • • ,,/-2cx+ / + y 2 =/ + 2cx+ / • y 2 = 4cx Nesse caso, o vértice está na origem e a parábola é simétrica em relação ao eixo Ox, que é o eixo da parábola. 2~ caso: diretriz y = -e e foco F(O, e) y f(O, e) • • • H • • • • • P( ) , x,y o ' T 1 ' X • -------;--~----Y =-e Q(x, - e) d d(P, F) = d(P, Q) • ✓(x - 0)2 + (y - c)2 = ✓(x - x)2 + (y + c)2 • x2 + (y - c)2 = (y + c)2 • • x 2 + / - 2c y + / = / + 2c y + / • x2 = 4cy Nesse caso, o vértice está na origem e a parábola é simétrica em relação ao eixo Oy, que é o eixo da parábola. 3~ caso: diretriz x = e e F(- c, O) y x=c F(-c, O) o X ' 1 1 ..1... .,... ' 1 1 P(x,y) ' lf • Q(c,y) d y 2 = - 4cx 158 Capítulo 5 4~ caso: diretriz y = e e F(O, -e) y d Q(x,c) --+.----1-------y=c ' ' ' ' P(x,y) • __________ _ o F(O, - e) x2 = -4cy X Fique atento! O valor do coeficiente e indica a distância do foco ao vértice e, consequentemente, a concavidade da parábola. Assim, parábolas com foco em um dos eixos, diretriz para lela ao outro eixo e vértice V(O, O) têm essas equações. Vale também a recíproca do que foi visto: as equações y2 = 4cx, x2 = 4cy,y2 = - 4cx e x2 = - 4cy, com e > O, representam parábolas com foco em um dos eixos, diretriz para lela ao outro eixo e vértice V(O, O). 1. Determine a equação da parábola de foco F(O, - 5) e diretrizy = 5. y d V(O, O X f(O, - 5) P(x,y) Resolução Usando a propriedade de todo ponto P(x,y) da parábola, temos: d(P, F} = .J(x - 0)2 + (y + 5)2 = .Jx 2 + (y + 5)2 A distância de P à reta y = 5 é igual à distância de P até (x, 5}, que é igual a .J(x - x) 2 + (y - 5)2 • Como as distâncias são iguais, temos: x2 + (y + 5)2 = 02 + (y - 5)2 • • x2 + / + 10 y + )5 = / - 10 y + )5 • x2 = -20y 2. Determine o foco e a diretriz da parábola de equação y 2 = 5x. Resolucão , 5 Podemos escrever y 2 = Sx como y 2 = 4 · 4 x. A distância do vértice (O, O) ao foco é e= ~- 4 Logo, F ( ! , o) e a d iretriz é x = - ! . 5 x= - - d 4 y V(O, O) (¼, o) X Geometr ia analít ica: secções cônicas 159 o o 3. Esboce os gráficos das parábolas de equação: a) y2 = X = 4 · -1 X b} y2 = 4x = 4 · lx 4 c) y2 = 8x = 4 · 2x Resolução a) X y y 2 o o 1 X 1 1 F 1 2 3 4 1 -1 - 1 - 2 4 2 4 - 2 F(!, o) b} y X y 4 3 o o 2 1 2 1 X F 2 3 4 1 -2 - 1 - 2 4 4 - 3 - 4 4 - 4 F(l. O) c) X y y 4 o o 3 1 - 2 2 2 1 X 1 1 F 1 - -2 2 -1 2 - 2 2 4 - 3 -4 2 -4 F(2, O) Observação: Como o valor do coeficiente e indica a distância do foco ao vértice e a concavidade da parábola, compare as parábolas do exercício resolvido 3: em y2 = 8x (e= 2), a concavidade é maior que em y2 = 4x (e= 1), pois 2 > 1. \ 1. Determine a equação da parábola de foco F e diretriz 2. Determine o foco, o vértice e a diretriz da parábola a d nos seguintes casos: a) F(9, O) e d: x = -9 b) F(O, - 6} e d:y = 6 160 Capítulo 5 c) F(O, 7) e d:y = -7 d} F(- 5, O} e d: x = 5 partir das equações: a) y2 = 28x c) x 2 = lOy b} x2 = - 4y d) y 2 = - 16x Equação da parábola com vértice em um ponto qualquerVamos determinar a equação da parábola que tem como diretriz a reta de equação x = - 4 e como foco o ponto F(6, 2): x = - 4 y Q(-4,y) •••••••••••• ~~x,y) - -- o(- 4,2} ··········· · v ·········-':F{i, 2i X d Nesse caso, o vértice é o ponto médio do segmento FD, no qual F(6, 2) e 0(- 4, 2): v( 6; 4 , 2; 2) • V(l, 2) Pela distância de V até F encontramos o valor de e: e= ✓(6-1)2 +(2-2)2 = 5 Os pontos P(x,y) da parábola são tais que d(P, F) = d(P, Q), em que Q(-4,y): d(P,F)=d(P,Q) • ✓(x - 6)2 + (y - 2)2 = ✓(x+4)2+ (y-y)2 • • (x - 6)2 + (y - 2)2 = (x + 4)2 • (y - 2)2 = (x + 4)2 - (x - 6)2 = = / + 8x + 16 - / + 12x - 36 = 20x - 20 • (y - 2)2 = 20(x - 1) Observemos que na equação obtida aparecem as coordenadas do vértice Xv = 1 e Yv = 2 e também o valor e = 5: (y - 2)2 = 20 (x - 1) Y v • I i 1 • Xv 4 · 5 t e Reciprocamente, a partir da equação da parábola, (y - 2)2 = 20(x - 1), podemos chegar ao vértice e ao valor de e (distância de Va F ou de Và diretriz d) e, daí, ao foco e à diretriz: (y - 2)2 = 20(x - 1) = 4 · 5(x - 1) em que V(l, 2) e e = 5. Esboçando o gráfico, vem: d V(l, 2) F(l + 5, 2) x x = l - 5 Logo, F(6, 2) e diretriz x = - 4. Generalizando, podemos dizer que, a partir do foco e da diretriz, é possível determinar o vértice V(xv,Yv) e o va lor de e e, daí, a equação da parábola e a posição correspondente. Geometr ia analít ica: secções cônicas 161 Veja os casos possíveis: 1º caso (y - Yv)2 = 4c(x - Xv) • -- -- -- •--------- d 3º caso F (x - xv) 2 = 4c(y - Yv) • • • F •• d 2º caso (y - yv) 2 = - 4c(x - xv) • --------+-- -- -- F d 4º caso (x - Xv)2 = - 4c(y - yv) d . ' • F Para refletir Quando estudamos a parábola como gráfico de uma função quadrática, não havia possibilidade de o eixo de simetria ser horizontal. J Porquê? _ Devemos lembrar que vale a recíproca: a partir da equação da parábola podemos chegar ao vértice e ao va lor de e e, daí, ao foco e à d iretriz. Observação: No volume 1 desta coleção, estudamos as f unções quadráticas y = ax2 + bx + e, cujos gráficos são parábolas. Neste capítul o, estudaremos parábolas como aquelas, pois, quando usamos a técnica de completa r quadra- dos, podemos t ransformar qualquer equação do tipo y = ax2 + bx + e, vista no volume 1, em uma do t ipo (x - xv) 2 = ::!:4c(y - Yv), como temos traba lhado neste volume. Fique atento! Cuidado! O e de y = ax2 + bx + e não é o mesmo e de y - Yv = :!:4c(x - Xv)2. 4. Determine a equação e as coordenadas do vértice da parábola que tem foco no ponto F(l, 5) e a reta diretriz de equação y = -3. Resolução Os dados do problema permitem fazer um esboço do gráfico e, assim, identif icar o tipo da equação: • F(l, 5) v: - --~~=----y = -3 0(1, -3) (x - Xv)2 = 4c(y - Yv) O vértice é o ponto médio de FD. Então: V ( 1 ; 1 , 5 ; 3) • V{l, 1) Pela distância de Va F encont ramos o valor de e: e= ✓(1 - 1)2 + (5 - 1)2 = .Jo + 16 = 4 Podemos escrever agora a equação procurada: (x - xv)2 = 4c(y - Yv) • (x - 1)2 = 4 · 4(y - 1) • (x - 1)2 = 16(.Y - 1) Logo, a equação é (x - 1)2 = 16(.Y - 1) e V(l, 1). 162 Capítulo 5 o o 5. Se uma parábola tem como equação x2 - 4x - 12y - 8 = o.determine as coordenadas dovértice,ascoordenadas do foco, a equação da reta diretriz da parábola e a equação do eixo de simetria. Resolução Completando os quadrados perfeitos, temos: x2 - 4x - 12y - 8 = O• x2 - 4x = 12y + 8 • x2 - 4x + .. 4 ... = 12y + 8 + .. 4 ... • • (x - 2)2 = 4 · 3(y + 1) em que Xv = 2,yv = - 1 e e = 3 Fazendo um esboço do gráfico, vem: (2, - 1 + 3) • • ' • • 3 ' ' • • : (2, - 1) ' 3: • ' ------~'-------- y = - 4 (2, - 1 - 3) Logo, V(2, - 1), F(2, 2), a diretriz é y = -4 e o eixo de simetria é x = 2. x 2 - 4x + 4 = 12y + 12 ~-~ • (x - 2) 2 12(y + 1) 6. Determine a equação, o foco F e a diretriz d da parábola com vértice V(-2, - 3), sabendo que o foco está no quarto quadrante, d é paralela ao eixo y e o parâmetro, p (2c), é 8. Resolução p = 8 indica que e = 4, pois e = i . As informações do problema levam a um esboço do gráfico abaixo. d y X 0(-2 -4, -3) V( - 2, -3) ---------- . F( - 2 + 4, - 3) A posição da parábola indica que a equação é da forma (y - Yv)2 = 4c(x - xv). Daí, vem: V(-2, -3) c = 4 F(- 2 + 4, - 3) • F(2, - 3) 0(-2 - 4, -3) • 0(-6, -3) diretriz x = -6 Substituindo as informações na fórmula, temos: (y - Yv)2 = 4c(x - xv) • (y + 2)2 = 4 · 4(x + 3) • (y + 2)2 = 16(x + 3) Logo, a parábola t em equação (y + 2)2 = 16(x + 3), F(2, -3) e diretriz x = -6. Geometr ia analítica: secções cônicas 163 o o 7. Determine a equação da parábola com eixo de simetria perpendicular ao eixo Ox, vértice no ponto V(O, 4) e que passa pelo ponto P(2, 1). Resolucão • (x - xv)2 = - 4c(y - Yv) Substit uindo xv = O e Yv = 4 na equação, temos: (x - 0)2 = -4c(y - 4) => x2 = -4c(y - 4) Como a pa rábola passa por P(2, 1), vem: 1 22 = - 4c(l - 4) => 12c = 4 => e = - 3 Logo, a equação da parábola é x 2 = - : (y - 4 ). 3. Esboce os gráficos das parábolas de equação: a) (x - 1)2 = - 8y b) (x + 3)2 = 4(y - 1) c) y 2 = 2(x + 1) d) (y + 2)2 = -4(x + 2) 4. Dadas duas parábolas, de equações x2 = - 12y e x2 = - 2y, qual delas t em concavidade maior? Esboce seus gráficos. 5. Determine a equação da parábola que tem: a) foco no ponto F(3, O) e diretriz de equação x = - 3; b) diretriz de equação y = 3 e vért ice V(O, O); c) foco no pont o F(l , 2) e diretriz de equação x = -2; d) diretriz de equação x = 2 e vértice V(- 1, - 3). 6. A parábola de equação x2 - 6x + y + 8 = O intersec- ta o eixo x nos pontos A e B. Sendo V o vért ice da pa- rábola, det ermine a área do t riângulo VAB. 7. Uma parábola tem foco no ponto F(3, 1) e sua diretriz é a reta de equação x = - 1. Determine a equação da pa- rábola e os pontos em que a reta de equação x - y = O intersect a a pa rábola. 164 Capítulo 5 4 y V 1 --- -- -- o X \ 8. Determine as coordenadas do foco e a equação da reta diretriz das parábolas que têm por equação: ~ugestão: Lembre-se, por exemplo, de que 2 = 4( ~ ).) a) x2 = 4y b) y2 = 2x c)x = _J_ y 2 8 d)y2 = - 4x e) x2 = y 9. Encontre as coordenadas do vértice, as coordenadas do foco, a equação da ret a diretriz e a equação do eixo de simet ria das parábolas de equações: a) y 2 - 6y - 12x + 21 = O b) x2 - 2x - y + 4 = O 10. Determine a equação das parábolas: a) de vért ice V(-1, 4), eixo pa ralelo ao eixo y e que passa pelo ponto A(3, O); b) de vértice V{4, 2) e foco F(4, 5). 11. Verifique se os pontosA{3, 8), B(l, - 4), C(4, 2) e 0(- 8, - 10) pertencem ou não à parábola P de vértice V{4, 2) e foco F(1, 2). Elipse Origem Vamos considerar um cone circular reto. Utilizando um plano inclinado em relação ao eixo e que intersecte todas as geratrizes do cone, faremos um corte como mostram os desenhos seguintes: -- - - - ' Nesse caso, a secção cônica obtida é chamada elipse: elipse Definição e elementos Fique atento! Se o plano for paralelo ao plano da base, obteremos uma circunferência, que também é uma secção cônica. Você sabia? As órbitas dos planetas descrevem elipses. Consideremos, inicialmente, no plano do papel, dois pontos fixos, F1 e F2, tais que a distância entre eles seja 2c. 2c • F, Imagine que vamos marcar uma série de pontos tais que a soma de suas distâncias aos pontos fixos F1 e F2 seja sempre constante e maior do que 2c. Na prática, isso pode ser feito com o auxílio de um lápis, dois alfinetes e barbante. Veja: F, Constru indo o gráf ico ponto a ponto teremos: Fique atento! l No desenho ao lado, o barbante m comprimento 2a. AF, + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2 = ... = JF, + JF2 = ... = LF1 + LF2 = ... = 2a (constante), sendo 2a > 2c. C D E B • •.. .. • , .... ,, .. ,, r. e ._,. I >' ._ .; ; \ A ,, , .. ,:, \ ,, . ' ' ' , , .. (. >" ' \,,.. I H • ,,,,., ,...., r -.;; -.._ ' I I )'- '- '-' \ I ' - .. ,. ' >,. '• ' "t .. ,_ ;- .. )< .. ' 1 ',,. - - .. ,, ' 1 ,,,..,. ..... ._,,,, .... ',..,_.a. .... ,. .. '\, .,, ,. .. , .......... __ .. -<.,,, 1' .. " / .,, ...... - ........... ,, ' ,.'}. ~ - .. .. -~~... . ºp ]= '' ,-, ,. .. .. .. .. - .. ,. ✓.~ , í '', -- .. • .. - -- ,. , r ., ,, ·'- ._ .. -- .... ,,",' l , ,. .... ,, '"<.'' -:: .. , .... , ' ;"' -.(. I ' . \ .. ,, ; .. ,. ' N ,,,. 1'---' j 1 , .. , , .. , 1 ,, .. ,, .... . ,v' ' •' , .. \ .. ' ,,, ' ,." ', I ~ ' ,. .. ' M .- • L K Geometr ia analítica: secções cônicas 165 A elipse é o conjunto de todos os pontos do plano que satisfazem essa propriedade. 8, ~ ,•, ~ I ._ I \ , ,. f 'I \ , l ' .. ,.. , \ 1 .... I .... ,,'\ \ _,,-( 1 I '(. _,Y \ ),. .- _. / ,,,.., ' .. ., -. ._ I f / ,-.:: , \ ; \ 1 ' -.,1 I I ; ' ).,.'"\ \ I ,. ', ,---;-• ," .. --.. ', ', \ ,_,. .. -,, , ,,, .. ::,._ __ ,, .. ,,,., .. r-f ,," ' 11,',-' .,.- -.::_,..----,::-._\ l / ," ',11,,. ,. .. _.,._.,.., ...... ,,\1 I, ~::- - .. .:::\'·'" 'F .. I\'":_--.... _ .. ---"',.-.. ,, ,, ,,, ...... - .. ,. ~, , 2 .,..,. .. , r _, / 1\'\,.-- .... ,, ',' _.,.,.--\ ', -....,..: ,' I ._ ! ' ' ,, ., .. ,. .. .. , .... ;-'' ' \ ~-- / 1 ...... ' ' \ ,." ', ,, ' .... , ' " .. , ' ',, .. , ,-L, , 1 ,. ,. \ / .. ' \ , ,, .... , ' ' ' ' ' ' , a b ' ' ' ' ' ' ' A, • ' A2 F, o F2 e Assim, definimos que elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano ta is que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, F, e F2 , denominados focos, seja constante, igual a 2a e maior que a d istância entre os focos (2a > 2c). Na figura acima, temos: • F, e F2 são os focos da elipse e a d istância ent re eles é a d ist ância foca l (2c); • A,A2 é o eixo maior da elipse e sua medida é a soma que consta da definição (2a); • B1B2 é o eixo menor da elipse cuja medida é 2b; • O é o centro da elipse (intersecção dos eixos da elipse e ponto médio de F,F2 , A,A2 e B1B2 ); • o número e = ~ chama-se excentricidade da elipse (O < e < 1). a Observacões: • 1~) B,F2 ~ OA2, pois ambos têm medida a. 2~) No 6 810F2 podemos notar que b 2 + c2 = a2• Essa relação é funda- mental na determinação dos elementos da elipse. Equação da elipse Fique atento! A excentricidade indica quanto a elipse se aproxima de um segmento ou de uma circunferência, conforme seu valor se 1 aproxima de 1 ou de O, respectivament~ Vamos inicialmente considerar a elipse com as ext rem idades do eixo maior nos pontos A,(-a, O) e A2(a, O), do eixo menor em B1(0, b) e B2(0, -b) e, consequentemente, o centro em 0(0, O). ,, , ,,' ,, A,(-a, O) F,(-c, O) O Consideremos um ponto P(x,y) qualquer da curva. Pela def inição observamos que: 166 Capítulo 5 y 8,(0, b) , , , , X F/ c, O) / a. O) 8/ 0, - b) Daí, temos: PF2 + PF, = 2a • ,J(x - e)2 + (y - 0)2 = ,J(x + e)2 + (y - 0)2 = 2a • • .J(x-e)2 +y2 +,J(x + c)2 + y 2 = 2a • ,J(x + e)2 + y 2 = 2a - ,J(x - e)2 + y 2 • • (x + e)2 + y 2 = 4a2 - 4a.j(x-e)2 + y 2 + (x- e)2 + y 2• • 4a,J(x - e)2 + y 2 = 4a2 + (x - e)2 + ,/ - (x + e)2 - ,/ • • 4a,J(x-e)2 + y 2 = 4a2 + / - 2ex + /-/ - 2ex- / • • Ja,J(x-e)2 + y 2 = ;(a2 -;(ex • a,J(x - e)2 + y 2 = a2 - ex • • a2[(x - c)2 + y 2] = (a2 - ex)2 • a2 [x2 - 2cx + e2 + y 2] = a4 - 2a2ex + e2x2 • • (02 - e2)x2 + a2y2 = a2(a2 - e2) Na elipse, temos: ai = bi + e2 • ai - e2 = b2 Substitu indo na equação, obtemos: Uma vez que ab ~ O, vem: x 2 y2 02 + b2 = 1 Í Fique atento! A recíproca é verdadeira: 2 2 equações da forma : 2 + ; 2 = 1, com a ~ b, representam elipses, ou seja, apenas os pontos de uma elipse satisfazem essa equação. em que a= OA, = OA2, e= OF, = OF2 e b ta l que b2 = a2 - e2. Essa equação é denominada equação reduzida da elipse de focos no eixo Ox e centro na origem. Vejamos agora: B,(-b, O) y A,(O,a) F,(O,c) -,, -- - --. P(x,y) o ' , ' ' , ' , ' , ' ' X B/b, O) Se os focos da el ipse estão sobre o eixo Oy e o centro na origem, conforme a figura, a equação reduzida da el ipse é dada por: x 2 y2 --+-'--- = 1 b2 02 Geometr ia analít ica: secções cônicas 167 Analogamente, chegamos às equações da elipse com centro qualquer. Assim, temos as seguintes equações, considerando o centro um ponto qualquer, O(x0,y0), e os eixos para lelos aos eixos x e y: 1~) F1F2 é paralelo ao eixo x, a = OA,, b = 081 e a > b. y B, X (O, O) 2~) F1F2 é paralelo ao eixo y, a = OA,, b = 081 e a > b. y A, F, B, (xO'yo) 82 F2 Az X (0, 0) 8. Determine a equação da elipse de focos F1{3, O) e F2(- 3, O) e vértices, que são as extremidades do eixo maior, A1{5, O) e A2(-5, O). Resolução Pelos dados do problema, os focos estão no eixo Ox e temos a = 5 e e = 3. y b (- 5, O (5, O) x (-3, O} (3, O) a2 = b2 + c2 • 25 = b2 + 9 • b2 = 16 2 2 Nesse caso, a equação reduzida é: x 2 + y 2 = 1 • i i a b X y • 25+½=1. x i y2 Logo, a equação procurada é 25 + ~ = 1. 168 Capítulo 5 (x - x0 ) 2 + ai (y - Yo)2 b2 =1 (x - x o)2 b2 (y - Yo)2 + = 1 ª2 li passo a passo: exercício 11 9. Uma elipse tem os focos nos pontos F1{0, 3) e F2(0, -3). Se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, determine a equação dessa elipse. ( O, 3) ....,,.,.,Y 3 X (-1, O) O l (1, 0) Resolucão , Pelos dados do problema, temos: C{O, O); e = 3; 2b = 2 • b = 1· a2 = b2 + c2 • a2 = 1 + 9 = 10 ' Como os focos estão localizados no eixo y e C{O, O): x 2 y 2 x 2 y 2 - + - = 1 • - + ..c...._ = 1• 10x2+y2 = 10 b2 a2 1 10 2 Logo, a equação procurada é x 2 + ; 0 = 1 ou 10x2 + y2 = 10. o O 10. Determine os focos e as extremidades do eixo maior da elipse de equação 4x2 + 25y2 = 100. Resolução 4x 2 25y2 4x2 + 25y2 = 100 • -- + -- 100 100 x i y 2 • -+- = 1 25 4 100 -- • 100 Como 25 > 4, e C(O,O), o eixo maior está no eixo Ox. Então: a2 = 25 • a = 5 b2 = 4 • b = 2 a2 = b2 + c2 • 25 = 4 + c2 • c2 = 21 • e = ✓-21 Logo, os focos são os pontos F1 ( ✓-21, O) e F2 (- 51, O) e as extremidades do eixo maior sãoA1(5, O) eA2(-5, O). Para refletir Quais são as extremidades do eixo menor? J IJ Resolvido passo a passo 11. (UEL-PR) Em uma praça dispõe-se de uma região retangular de 20 m de comprimento por 16 m de largura para construir um jardim. A exemplo de ou- tros canteiros, este deverá ter a forma elíptica e est ar inscrito nessa região retangular. Para aguá-lo, serão colocados dois aspersores nos pontos que correspondem aos focos da elipse. Qual será a dis- tância entre os aspersores? a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m 1. Lendo e compreendendo a) O que se pede? A distância entre os dois aspersores de água do cant eiro descrito no enunciado. b) O que é dado no problema? São dadas as dimensões de um retângulo (20 m X 16 m) no qua l será inscrito um canteiro de forma elíptica. É dito que os aspersores ocu- pam o lugar dos focos da eli pse. 2. Planejando a solução Com as dimensões do retângulo, vamos obter os elementos da elipse que permitirão calcular a distân- cia entre os focos. 3. Executando o que foi planejado Se a elipse está inscrita em um retângulo de dimen- sões 20 m x 16 m, então o eixo maior da elipse mede 20 m e o eixo menor mede 16 m. Assim, 2a = 20 e 2b = 16, ou seja, a = 10 e b = 8. ' b ' ' --------------------~-------------------- ª 20 m Nas elipses, a distância focal é dada por 2c. De a2 = b2 + c2, obtemos o va lor de e. Assim: 16 m 102 = 82 + c2 • 100 = 64 + c2 • c2 = 36 • c = 6 Ent ão a distância foca l é 2c = 12; 12 m. 4. Emitindo a resposta A resposta é a alternat iva e. 5. Ampliando o problema a) A área de uma elipse é dada pela fórmu la A = -rr • a · b, em que a e b são os semieixos maior e menor. Estime a área tot al desse canteiro em m2• b) Discussão em equipe Qual é a importância de uma cidade ter parques, ruas arborizadas, praças bem cu idadas e cantei- ros de flores? 12. Calcule a excentricidade e = ..E.._ e faça o esboço do a gráficode cada elipse: x i a) - + 25 x2 b) - + 25 Resolução 2 y = 1 4 y 2 - 1 9 a) a2 = 25 • a = 5 b2 = 4 • b = 2 c2 = a2 - b2 = 25 - 4 = 21 • e = ✓-21 ✓-21 4,58 e = -- -'--- = 0,91 5 5 Geometr ia analítica: secções cônicas 169 o o X y o 2 o -2 5 o - 5 o 1 -s 2 1,8 2 - 18 , b) a2 = 25 • a = 5 b2 = 9 • b = 3 y 2 o -2 c2 = 25 - 9 = 16 • e = 4 4 e = - = 08 5 ' X y y o 3 3 o - 3 5 o -5 o - 5 o 2 2,7 2 - 2,7 -3 X 5 X 5 Observacão: Ouanto maior o valor de e= ..E_, mais . - a próxima de um segmento é a elipse correspondente. Para refletir O que acontece com a elipse à medida que o valor de e tende a zero? - 13. Conhecendo os focos F, (o, ✓3) e F2 (o, -✓3} e a excentricidade e= +, determine a equação da elipse. Resolução De acordo com os dados do problema, temos: e = ✓3 e = ..E_ = J_ • a = 2c = 2✓3 a 2 ª 2 = b2 + c2 • (2✓3) 2 = b2 + (✓3) 2 • • 12 = b2 + 3 • b2 = 9 Segundo os dados do problema, os focos estão localizados no eixo Oy. Assim, vem: x i y2 x i y2 - + - = l • - + -=l:::::>4x2+3y2=36 b2 a2 9 12 2 2 Logo, a equacão procurada é .!._ + L = 1 ou ' 9 12 4x2 + 3y2 = 36. 170 Capítulo 5 14. Numa elipse, as extremidades do eixo maior são os pontos A,(6, O) e A2 (- 6, O). Sabendo que a elipse passa pelo ponto P(3, 2), determine sua equação. Resolucão , Pelos dados do problema temos a = 6. Como o eixo ma ior está sobre o eixo Ox, temos: x2 y 2 x2 y 2 - + -= l • - +-=---= l a2 b2 36 b2 Como a elipse passa pelo ponto P(3, 2), temos: 9 4 1 4 4 1 - + - = l• - + - =1 • - = 1- - • 36 b2 4 b2 b2 4 4 3 2 16 • -=- • b=- b2 4 3 Substituindo na equação original, vem: x2 y2 x 2 3y2 = 1 • -+ = 1 • - + 36 16 36 16 - 3 • 4x2 + 27y 2 = 144 2 3y2 L - d , X = 1 ou ogo, a equaçao procura a e 36 + 16 4x2 + 27y2 = 144. 15. A equação 5x2 + 9y2 - 20x - 18y - 16 = O repre- senta uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo Ox. Determine o cent ro e os focos dessa elipse. Resolucão , Desenvolvendo a equação dada, temos: 5x2 + 9y2 - 2ox - 78y - 16 = o • • 5x2 - 20x + 9y2 - 18y = 16 • • 5(x2 - 4x) + 9(y2 - 2y) = 16 • • 5(x2 - 4x + 4) + 9(y2 - 2y + 1) = 16 + 20 + 9 • • 5(x - 2)2 + 9(y - 1)2 = 45 • (x - 2)2 (y - 1)2 :::::>-'----'--+~--- = 1 9 5 Da equação, concluímos que: A, F, centro: 0(2, 1) a2 = 9 • a = 3 b2 = 5• b = ✓5 0(2, 1 Ent ão c2 = 9 - 5 = 4 • e = 2 , Daí, t emos: F1(2 - 2, 1) • F1(0, 1) e F2(2 + 2, 1) • F2 (4, 1) Logo, essa elipse t em cent ro 0(2, 1) e focos F1(0, 1) e F2(4, 1). 12. Determine a equação da elipse conhecendo: a) os focos F1(3, O) e F2(-3, O) e o comprimento do eixo maior, 8; b) os focos F1(0, 4) e F2(0, -4) e as extremidades do eixo maior A1(0, 6) e A2(0, -6); c) os focos F1(0, 4) e F2(0, - 4) e a excentricidade ✓3 e = . 3 ' d) os vértices A1(5, O) e A2(-5, O) e a excentricidade ✓5 e= -- 5 13. Determine as coordenadas dos focos, as coordenadas das extremidades do eixo maior e a excentricidade das elipses de equação: x i y 2 a) -- + - 1 c) 2x2 + y 2 = 2 144 81 - x 2 y 2 b) 25 + 9 = 1 d) 4x2 + 9y2 = 36 14. Qua l é a medida do eixo maior de uma elipse de equa- - x i y 2 çao- + - = l? 36 25 15. O eixo maior de uma elipse está contido no eixo Ox. Sa- bendo que o centro é (O, O), o comprimento do eixo menor é 6 e a distância focal é 10, determine a equação da elipse. 16. Dois dos vértices de um quadri látero são os focos da elipse de equação x2 + Sy2 = 20. Os outros dois vérti- ces são as extremidades do eixo menor da elipse. Cal- cule a área do quadrilátero. x2 y 2 17. Dadas as elipses (1) - + - = 1 e 9 4 (li) (x + 3l 2 + (y - l) 2 = 1, qual delas tem maior 8 3 excent ricidade? 18. Em uma elipse, o centro é (- 2, 4), um dos focos é (- 2, 7) e uma das extremidades do eixo menor é {- 3, 4). De- t ermine a equação dessa elipse. 19. Quais são as extremidades do eixo menor da elipse de equaçãox2 + 4y2 - 4x - 8y + 4 = O? 20. A equação da elipse que passa pelos pontos (2, O), (-2, O) e {O, 1) é: a) x 2 + 4y2 = 4. d) x 2 - 4y2 = 4. 2 b) x2 + L = 1 e) x2 + y2 = 4. 4 . c) 2x2 - 4y2 = 1. \ 21. A reta y = ax + 1 intersecta a elipse x 2 + 4y2 = 1 somente em um ponto. Calcule 8a2. 22. Encontre a equação da elipse abaixo: y 8 (6, 10) F1(2. 7) Fi{lO, 7) X 23. (UPM-SP) Se A{lO, O) e B(-5, 3✓3 ) são pontos de uma elipse cujos focos são F1(8, O) e F2{- 8, O), calcule a área do triângulo BF1F2. 24. (FGV-SP) Dada a elipse de equação 9x2 + 16y2 - 144 = O, quais são as coordenadas de seus focos? 25. Física A tabela abaixo mostra a excentricidade da órbita elípt i- ca ao redor do Sol dos oito planetas do Sistema Solar. Qual dos planetas tem a órbita mais parecida com uma circun- ferência? Para esse planet a, calcule a diferença percen- tual entre o tamanho do semieixo menor e do maior. Planeta Excentricidade da órbita Mercú rio 0,206 Vên us 0,007 Terra 0,017 Marte 0,093 Júpiter 0,048 Saturno 0,056 Urano 0,046 Netuno 0,009 26. Física Sabendo que a órbita de Mercúrio em torno do Sol tem excentricidade 0,206; que o Sol é sempre um dos focos da elipse das órbitas planetárias; que a unidade ast ronômica (u.a.) vale 1 para a distância média entre o Sol e a Terra; que o ponto da órbi ta em que o plane- ta está mais afastado do Sol chama-se afélio e, no afélio, Mercúrio está a 0,47 u.a. do Sol; e que o ponto da órbi ta em que o planeta está mais próximo do Sol chama-se periélio, obtenha, em unidades astronômi- cas, a distância de Mercúrio ao Sol no periélio. Use calculadora se deseja r. Geometr ia analítica: secções cônicas 171 Matemática e tecnologia Construção de gráficos de parábolas e elipses no computador Agora, vamos aprender, ou relembrar, como construir gráficos de parábolas e elipses usando o software livre Geogebra. Trata-se de um software matemático, criado por Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geometria. Ele pode ser utilizado em todos os ní- veis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Europa e nos Estados Unidos. A instalação desse software é simples: • Acesse o site <www.geogebra.org/cms/pt_ BR> e clique em "Download"; ..... , .......... ' ·· • IJtu • --.--..-.-. ...... --..--........ •-•e e . ....... w 1 '71 11 '--t : -.-._=:::':;:,_::;::.,,e::e •=•=-:-- • - • • --• • • Clique na opção do sistema operacional que preferir, faça o download e siga os passos au- tomáticos de instalação do programa. Depois disso, você já pode usá-lo. Ao abrir o programa, você verá a seguinte tela: ~ ~ BARRA DE MENU 1 !..~º'""º"'"'" • ZONA GRÁFICA ZONA I i I ALGÉBRICA • • i ~li iliiiVllftl 7 F R $ 1 ENTRADA OE COMANDO Depois de ter o programa instalado, faça os , . exerc1c1os a seguir. 172 Capítulo 5 1. Clique com o botão direito do mouse sobre a zona gráfica do Geogebra e escolha a opção "Eixos". 1- i- Com isso, os eixos coordenados deixarão de ser vistos na construção. 1º passo: Utilizando o botão que indica "Reta definida por dois pontos'' 121, construa uma reta horizontal com dois pontos quaisquer, que automaticamente serão nomeados como A e B. 2º passo: Na opção "Novo ponto" •· , crie dois novos pontos: o ponto e sobre a reta criada e o ponto D acima dela. 3º passo: Utilizando o botão que indica "Seg- mento definido por dois pontos" 121, que está dentro da opção "Reta definida por dois pontos" H, crie o segmento de reta CD. Para isso, clique no ponto C e, em seguida, no ponto D. 4º passo: Utilizando o botão de "Mediatriz" .,. , que fica dentro da opção "Reta perpendicular" !Jl, cli- que sobre o segmento de reta CD. Com isso, a reta mediatriz do segmento CD será criada. Veja uma construção possível: f!m:. i = ., ... . -·-&-- -.... -- ·" - 5º passo: Clique com o botão direito do mouse sobre a mediatriz e escolha a opção "Habilitar rastro". , J,l!IN4PCll!l'llo • " . 6º passo: Clique na opção "Mover" ri e, em seguida, movimente o pontoe, assim você ob- terá u m a parábola. Com a opção "Habilita r rastro", uma parábola foi obt ida com os rastros da mediatriz ao mo- v imentar o ponto C. Agora, responda: a) Qual é a relação do ponto D e da reta AB com a parábola? b} Qual é a posição relat iva das mediatrizes em relação à parábola? c) O que se pode concluir sobre a concavidade da parábola se o ponto D est iver abaixo da reta AB? 2. Clique com o botão direito do mouse sobre a zona gráfica do Geogebra e escolha a opção "Malha". g ~Üi! 12 passo: Na barra de ferramentas, clique com o bot ão esquerdo do mouse, in icialmente na opção "Cont role deslizante" ~ e, em seguida, clique em qualquer ponto da janela de visua- lização (zona gráfica) e tecle "Enter". Nesse instante aparecerá o parâmet ro a (com valor ... inicial igual a 1) -- Repit a a operação e insira novos parâmet ros (b, e e d}. 22 passo: Com o botão direito do mouse, clique sobre o parâmetro a e selecione a opção "Pro- priedades" e, em segu ida, coloque O (zero) pa- ra a opção "min" (mínimo) dent ro da janela "Intervalo". Faça o mesmo procedimento com os parâmetros b, e e d. ltllt•* IIIIIL ..... • __ _,) nw:. ... ls __ _.l v ,--. [!,, 7 3º passo: No campo "Ent rada" (situado na parte inferior da tela) insira: (x - c}"2 / a"2 + (y - d}"2 / b"2 = 1 e tecle "Enter''. Observe que "A" significa a ope- ração de potenciação. -- 42 passo: Para melhorar a visualização, clique com o botão direito do mouse na elipse. Na aba que será apresentada, clique em "Propriedades". Clique na aba "cor" e escolha uma nova cor para o seu gráfico. Em seguida, clique na aba "est ilo" e coloque a espessura da linha igual a 5. Feche a janela e observe que o gráfico ficou destacado. 5º passo: Observe sign ificados importantes para os parâm etros a, b, e e d. Para isso, clique na bolinha do controle deslizante de a , .. , e altere lentamente o seu valor (basta arrastar a bolinha para um dos lados). Observe o que acontece com o gráfico da elipse. Repita a ope- ração para os controles deslizantes de b, e e d (ut ilize um controle deslizante por vez). 62 passo: Digite "Excentricidade[e]" no ca mpo "Entrada". Note que aparecerá a letra f na zona a lgébrica. O número que está à direita do f re- presenta a excent ricidade da elipse. Agora, responda às perguntas tendo como base a elipse: (x - c)2 + (y - d)2 = l a2 b2 a) Qual é o efeito dos parâmetros a e b no gráfico da elipse? b) Qual é o efeito dos parâmetros e e d no gráfico da função? c) Ao movimentar os parâmetros a e b, o que se pode concluir sobre o gráfico da elipse quando o valor da excentricidade está próximo de zero? E quando o valor da excent ricidade está próxi- mo de 1? Fique atento! l Salve sua atividade em um local I escolhido do seu computador.__j Geometr ia analít ica: secções cônicas 173 Hipérbole Origem Vamos considerar um cone duplo e um plano qualquer que seccione as duas folhas do cone conforme mostram as figuras: • ' eixo -,;<--- • Nesse caso, a secção cônica obtida é denominada hipérbole. hipérbole Definição e elementos Consideremos, inicialmente, dois pontos fixos, F1 e F2, de um plano cuja distãncia d(F1, F2) = 2c. 2c F, Imagine que vamos marcar no plano uma série de pontos tais que a diferença (em módulo) de suas distâncias aos pontos fixos F1 e F2 seja sempre constante e menor que 2c. Na prática, isso pode ser feito com o auxílio de régua, lápis, alfinetes e barbante. Construindo o gráfico ponto a ponto, teremos: IAF, - AF21 = IBF, - BF21 = ICF, - CF21 = ... = ITF1 - TF21 = 2a (constante), com 2a < 2c T 174 Capítulo 5 M _ _,A • ... .,,," 1 : ........ .,"_,_. 8 ,' N ... '- • r r ·1 . - ,,,,'., .. " , ' , • .... .. .,, e . . T' .. .. .. , ..... _ ... ,,,. .. ,, -... ..... .,.--,,.. .... ' ' - - ,. .. .,.,, , ... .... ,, .. ,,,, ., \ ' ' , ....... ::.~,, ...... \ , 1 • p .,.,:.( .. ,. ... D \ \ I ' ' .,. ~,. ........ .... .. , ' ( ... ....... ~ .. .,. ......... __ .... _ ... , \ '' j I ' .. ~ -- -;.,::-._ .,..-.-.-.. ,.., ' \ I 1 1 t ,.,, $1'-,..,.,., ;; ... -,.- '•."•._, ', \ l J .. -o.,' .,.~-- ..... ,._ ........... \ \ ,, --.. ~~-- __ .. .. .... _ ....... __ .. ,,, ,, ... ,.......... - .......... ,,, F • - - - --- F ~ .. .. -✓,. 2 1 n'.. ....... .Q .. -:,...-,, ' ' • ' 1' ~ .. •._ C: .,, .,., I 11 • .. ... ,,. .C" ,,,, ,.. , ' ' ' .. ;::. ... .. .. .. - .. ,. ,, ,,,:-,, ,, 1 ' ' .. .. .. ...... .. .. _,J',,.. .. '1 1 \ \ ' .:·.. ..~~: .... ,,,, 1 1 .. .. ,'... .,... :: .. ,,...... ,, • 1 1 1 ' .__....-._ _, ; ._ ; 1 l . ' , _ ____ .. ,. .............. , .. --.. ' , ' ::..:--.,.: G •' , , R .... .,-< .. , \ ,, .. .,,.. ........ , 1 ',, .. "',," ............ , 1 1 .,.. ,.. .... ., f \ . , .,"" '.._ '., I \ .. .. ... ' 1 ... .. .. .. t 1 ' , ........... • H 11 ., -- - ' '' ' ' - ' ' • I O conjunto de todos os pontos do plano com essa propriedade chama-se hipérbole. , , ' ,- ' .... " , ,, .. ,.'1' , , ' ...... ,,.-,. .... ,, ' .. " ,, .. . ,. ,. .,. .. ' .... .. ,,., ,' ' , .. .. .. ,. ' t ,, , .,. ' ' 1 I -. ,, ~::.,._,., ,..-' \ 1 1 1, ;,,...,,. .. ,.,. \li 1 ' ............ ,......... ' ' . ' ... _.., .. __ ,, ,."' .......... _.. \ '. ; .,,;_ '-.,-.: _ .. .._ .. ~.. ' l 1, 1; ,. .. .. - .. ,.,:;,- ......... ', \ ,, t 1 ," ~':. .... ____ ,,. ... - ...... _ ....... ._ ,,, 1, ,. ~'!.-- .... - .... .. ,, ,." ~ .. - .. .. .. - -... ~ ~ ' ,., F ,.,t_ _. .. - ----~ ..... , F (, ..... . 1 11' ........ _,,;-4',.' 2 ,1' ""~ .. ---.. .. ...... ,,:. , ,, ' ' .. .. .. .. _ ... ..~.. ,. '' ' \ .. .. .,.,.. .. ,. ' ' ' \ .. .. .... .... ..-:, , ' , ' ' --.:· , :-,:, ... ...... ,.,, ,' '' ' ' ' --;;>:..... .. ..... _.">::.. ,. ,' ' (\ .......... '> .... ,,.. ,' .. .. .. ,, ' ' • ' ' ' ' ' ' , ' ' ' -' , ' ' , , ' - ,, .. .... ' ,,- ._.. ' l ,, .. .. .. ' ,. .... ..... ..... ' ' ' , , -..... ... ... ---' ' ' , - ' ' - ' ' • • ' ' ' - ' ' ' ' a a F, e o e 2c Assim, definimos que hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P(x, y) de um plano ta is que a diferença (em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos, F, e F2, é constante (2a < 2c), com F1F2 = 2c. Na figura anterior, temos: • F, e F2 são os focos da hipérbole, sendo F1F2 = 2c a distância focal; • A, e A2 são os vértices da hipérbole, sendo A,A2 = A,F2 - A,F, = 2a (cons- tante da definição); • O é o centro da hipérbole (ponto médio de F1F2 e de A1A2 ); • o número e = ~, que é a excentricidade da hipérbole (note que e > 1, a pois e> a). Fique atento! Quanto mais próximo de 1 for a excentricidade, mais a hipérbole se aproxima de duas retas paralelas (perpendiculares ao eixo x real). E se a excentricidade for cada vez maior, tendendo ao infinito, a hipérbole se aproxima de duas semirretas opostas (com origem em A1 e A2)- Observação: Considerando uma hipérbole de focos F1 e F2 e vértices A1 e A2, vimos que F1F2 = 2c e A1A2 = 2a. Então, OF2 = e e OA2 = a. B, b eixo real r F, B,) l eixo imaginário Seja 81 um ponto da mediatriz de A,A2 tal que o triângulo B10A2 seja re- tângulo em O, com o cateto OA2 medindo a e a hipotenusa B,A2 medindo e. Assim, chamando de b a medida do cateto 081, temos a2 + b2 = c2 ou b2 = c2 - a2. Fique atento! • Nas mesmas condições de B1 existe B2, sobre a mediatriz de A,A2 , tal que B1B2 = 2b. • A,A2 é chamado eixo real e B,B2 , eixo imaginário da hipérbole. Geometr ia analítica: secções cônicas 175 Equação da hipérbole Consideremos inicialmente a hipérbole da f igura, na qual os focos pertencem ao eixo Ox e o centro é a origem 0(0, O). y ' ' ' ' ' ' -,v - ' ' -- b ------ -- e ' ' ' ' ' ' ' ' ' - ' ' ' ' ' ' ' ' ' ~ A,(a, O) ' ' ' ' ' F,(c, O) X Um ponto P(x,y) qualquer da curva deve satisfazer, de acordo com a definição, a seguinte condição: IPF2 - PF1I = 2a Como PF2 = ,J(x + c)2 + (y - 0)2 e PF1 = ,J(x - c) 2 + (y - 0)2 , temos: ,J(x + c)2+ y 2 - ,J(x - c)2 + y 2 = 2a • ,J(x + c)2 + y 2 - ,J(x - c)2 + y 2 = + 2a • • ,J(x + c)2 + y 2 = ,J(x-c)2 + y 2 + 2a Elevando ambos os membros ao quadrado, vem: (x + c)2 + y 2 = (x - c)2 + y 2 ± 4a,J(x - c)2 + y 2 + 4a2 • • (x + c)2 + y 2 - (x - c)2 -y2 - 4a2 = +4a,J(x - c)2 + y 2 • • / + 2cx + / + ,/ - / + 2cx - / - ,/ - 4a2 = ±4a,J(x - c)2 + y 2 • • 4cx - 4a2 = + 4a,J(x - c)2 + y 2 • ex - a2 = +a,J(x - c)2 + y 2 Elevando novamente os dois membros ao quadrado, obtemos: c2 x2 - 2a2cx + a4 = a2[(x - c)2 + y 2] • c2 x2 - 2a2cx + a4 = a2[x2 - 2cx + c2 + y 2] • • c2x2 -~ + 04 = 02x2 -.-kl2r:x + 02c2 + 02y2 • c2x2 _ 02x2 _ 02y2 = 02c2 _ 04 • • (c2 - a2)x2 - a2y2 = a2(c2 - a2) Mas: c2 = ª 2 + b2 • c2 - ª 2 = b2 Substituindo (c2 - a2) na equação anterior, temos b2x2 - a2y 2 = a2b2. Como ab #- O, vem: x2 ª2 em que a = OA1 = OA2, e= OF, = OF2 e b é tal que b2 = c2 - a2. y 2 -- = 1 b2 Fique atento! A recíproca é verdadeira: equações dessa forma representam hipérboles, ou seja, apenas pontos de uma hipérbole satisfazem essa equaçao. Essa fórmu la é denominada equação reduzida da hipérbole, quando os focos estão sobre o eixo x e são equidistantes da origem. 176 Capítulo 5 Veja agora: y ___ F,(c, O) ' A,(O, a) ' ' ' ' X ' ' o ' ' A 2 (0, - a) ' ' ' ' ' ' ' ' F,(O, -e) Caso os focos estejam sobre o eixo y e também equidistantes da origem, a equação reduzida da hipér- bole será: y2 ª2 x2 -= 1 b2 Analogamente, podemos genera lizar essa equação para um centro qualquer. Considerando o centro da hipérbole O(x0,y0) e os eixos (rea l e imaginário) paralelos aos eixos x e y, temos: 12) Eixo real paralelo ao eixo x: y 22) Eixo real paralelo ao eixo y: y F, A, o O(x ,y) o o X X (x - Xo)2 ª2 (y - Yo)2 ª2 (y - Yo)2 b2 (x - xo)2 b2 = 1 = 1 Geometr ia analít ica: secções cônicas 177 Assíntotas da hipérbole Consideremos a f igura abaixo. y ------ B, ___ _ X F, ® Obtendo as secções cônicas Podemos construir o retângulo MNPQ, de dimensões 2a e 2b. Observe que suas diagonais estão contidas nas retas .e, e .f2, as quais são denominadas assíntotas da hipérbole. Logo, as equações das retas assíntotas são bx - ay = O ou y = .É_x a e bx + ay = O ou b y=--x a 16. Determine a equação da hipérbole de focos F1(5, O) e Fi{-5, O) e de vért ices A1(3, O) e Ai{-3, O). Resolucão • Pelos dados do problema, temos: c = S a = 3 c2 = a 2 + b2 • 25 = 9 + b2 • b2 = 16 Como os focos estão sobre o eixo x, vem: x i y2 x i y2 --- = 1 • --- =1• a 2 b2 9 16 • 16x2 - 9y = 144 2 2 Logo, a equacão da hipérbole é .!___ - L = 1 ou ' 9 16 16x2 - 9y2 = 144. 17. Determine a equação da hipérbole de focos F1(6, O) e F2(- 6, O) e de excentricidade igual a 1-. 2 (- 6, O) (O.O) Resolução Pelos dados do problema, temos: e= 6 178 Capítulo 5 (6,0) e = l_ • ..E__ = l_ • a = 2c = 2 · 6 = 4 2 a 2 3 3 c2 = a 2 + b2 • 36 = 16 + b2 • b2 = 20 Como os focos est ão sobre o eixo Ox e 0(0, O), vem: x2 y 2 x2 y2 a2 - b2 = 1 • ""i6 - 20 = 1 • 5x2 - 4/ = 80 2 2 Logo, a equacão da hipérbole é .!___ - L = 1 ou ' 16 20 5x2 - 4y 2 = 80. 18. Determine o centro, os focos e os vértices da hipér- bole de equação 3x2 - y2 + 18x + 8y + 38 = O. Resolucão • Transformando inicialmente a equação, temos: 3x2 - y 2 + 18x + 8y + 38 = O• • 3(x2 + 6x) - (y2 - 8y) = - 38 • • 3(x2 + 6x + 9) - (y2 - 8y + 16) = = -38 + 27 - 16 • 3(x + 3)2 - l(y - 4)2 = -27 • • l (y - 4)2 - 3(x + 3)2 = 27 • • (y - 4)2 - {x + 3)2 =1 27 9 Da equação obtida, vem: cent ro: 0(-3, 4) a 2 = 27 • a = Jfi = 3✓3 b2 = 9 • b = ✓9 = 3 c2 = a2 + b2 = 27 + 9 = 36 • e = 6 o o Esboçando o gráfico, temos: (-3,4 + 6) l ~ a (-3,4 + 3""3) (-3, 4) a ___.-,..~ 3,4 - 3.J3) (- 3, 4 - 6) Logo, a hipérbole t em centro 0(- 3, 4), vértices (- 3,4 + 3✓3) e ( - 3,4 - 3✓3) e focos (-3, 10) e (- 3, - 2). 19. Em uma hipérbole de centro 0(5, 5), a distância foca l é 2c = 6 e o eixo rea l 2a = 2 é para lelo ao eixo Ox. Det ermine a equação dessa hipérbole. Resolução Do enunciado, vem: centro: 0(5, 5) 2c = 6 => e= 3 2a = 2 =>a= 1 b2 = c2 - ª 2 = 32 - 12 = 8 Se o eixo real é paralelo ao eixo Ox, a equação é do tipo: (x - Xo)2 _ (y - Yo)2 = 1 a2 b2 L _ , (x - 5)2 (y - 5)2 ogo, a equaçao e 1 - 8 = 1. 20. Uma hipérbole t em equação 9x2 - 16y2 = 144. Dete rmine as coorde nadas dos focos, as coor- denadas dos vértices e a excent ric idade da hipérbo le. Resolução 9x2 - 16y2 = 144 => x2 yi => --- = 1 16 9 9x2 144 16y2 144 144 144 A equação indica que os focos estão sobre o eixo Ox com cent ro (O, O}, daí: a2 = 16 => a = 4 b2 = 9 => b = 3 c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25 => e = 5 e 5 e= - = - a 4 (O - 4, O) r (O - 5, O) (O, O) (O + 5, O) Logo: F,(5, O} e F2(- 5, O), A,(4, O} e A2(- 4, O) e a . 'd d 5 excentnc1 a e e= 4 . 21. Uma hipérbole tem focos nos pont os F1(3, O) e Fi(-3, O) e passa pelo ponto P{✓S, 2). Qual é a equa- ção dessa hipérbole? (- 3, O) (O, O) (3, O) Resolução Como os focos estão sobre o eixo x e o cent ro em (O, O}, temos: x2 y2 - - -= 1 ai b2 Como a hipérbole passa pelo ponto P(✓S, 2) vem: (✓5l 2 - (2)2 = 1 => .2... - ..!. = 1 CD ª2 bi ai b2 Como c2 = a 2 + b2 e e = 3, obtemos: 9 = a2 + b2 => a2 = 9 - b2 ® Substit uindo CD em®· temos: 5 - _!. = 1 => 5b2 - 36 + 4b2 = 9b2 - b4 => 9 - b2 b2 => b4 + 5tfÍ + jW'Í - ,91fl - 36 = O => => b4 - 36 = O=> b4 = 36 => b2 = 6 Mas: a2 = 9 - b2 = 9 - 6 = 3 Substituindo esse valor na equação reduzida da hipérbole, vem: xi y2 x2 y2 - - - = 1 => - - - = 1 => 2x 2 - y2 = 6 a 2 b 2 3 6 2 2 Logo, a equação da hipérbole é ~ - ~ = 1 ou 2x2 - y2 = 6. Geometr ia analítica: secções cônicas 179 Hipérbole equilátera Observemos a f igura: X Quando b = a, o retângulo M NPQ tem a forma de um quadrado. Nesse caso, as assíntotas são perpen- diculares e a hipérbole é denominada hipérbole equilátera. A equação dessa hipérbole equilátera de centro O(x0,y 0) é: Fique atento! (X - Xo)2 ª2 (y - Yol2 ª2 Se o centro dessa hipérbole for O{O, O), sua equação será: ® Equações das cônicas = 1 xi y 2 - 2 --2 =l oux2 - y2 = a 2. a a Você sabia? Uma das hipérboles equiláteras mais famosas é a que descreve a relação entre a pressão e o volume de um gás perfeito a temperatura constante, conhecida como lei de Boyle, segundo a qual o produto da pressão pelo volume é sempre constante em condições isotérmicas: PV = k. Entretanto, a equação xy = k não se parece nada com as hipérboles estudadas até aqui. O detalhe é que todas as hipérboles estudadas têm os eixos real e imaginário paralelos aos eixos x e y . Se os eixos real e imaginário não forem paralelos aos eixos x e y, aparecerá o termo xy na equação da hipérbole e, mais particularmente, se as assíntotas de uma hipérbole equilátera forem os eixos x e y (e portanto os eixos real e imaginário estão sobre as retas y = x e y = - x), então a equação da hipérbole se reduz 2 à forma xy = ~ . y x ·y = k / F, y = x X Dessa forma, o gráfico da lei de Boyle é realmente uma hipérbole equilátera tal como as estudadas neste capítulo, com a diferença de ter um sistema de coordenadas rotacionado de 45º em relação ao sistema de coordenadas mais adequado, que é o paralelo aos eixos real e imaginário e adotado neste capitulo. 22. Os focos de uma hipérbole equilát era são F1{1, 8) e F2(1, O). Determine a equação dessa hipérbole. F1(1, 8) 0(1, 4) F 2 {1, O) 180 Capítulo 5 Resolução Pelos dados do problema, deduzimos: • centro: 0(1, 4), o ponto médio de F,F2 • posição da hipérbole: o eixo real é pa ralelo ao eixoy • valor da dist ância focal: 2c = 8 => e = 4 (y - y )2 (X - X )2 • t ipo de equação: 0 2 ° 0 2 ° = 1 Como a hipérbole é equi látera, temos: c2 = a2 + a2 => 2a2 = 16 => a2 = 8 Logo, a equação é (y - 4 )2 8 (x - 1)2 8 = 1. 27. Determine a equação da hipérbole,dados: a) os focos F1(8, O) e F2(- 8, O) e os vért ices A1(5, O) e A2(- 5, O}; b) os vértices A1(3, O) e A2(- 3, O) e a distância entre os focos igual a 8; c) os vértices A1(3, O) e A2(-3, O) e a excentricidade igual a 2; d) os focos F1(0, 5) e F2(0, -5) e a excentricidade igua 1 5 a-. 3 28. Determine a equação da hipérbole que passa pelo ponto P(4✓2 , 3) e tem os focos nos pontos F1(5, O) e Fi (-5, O). 29. Determine as coordenadas dos focos, as coordenadas dos vértices e a excent ricidade das hipérboles de equações: a) 4x2 - 25y2 = 100 c) 3x2 - 4y2 = 36 x2 yi b} - - - = l 16 25 30. Ca lcule o comprimento do segmento A1A2 (os pontos A1 e A2 são os vértices) em uma hipérbole de equação 4x2 - 2y2 = 100. 31. Ca lcule o valor de m para que a hipérbole de equação x i y 2 m2 - 4 = 1 passe pelo ponto P(fis, 4). 32. Em uma hipérbole de excentricidade igual a ✓5, os vértices são os pontos A1(2, O} e A2(- 2, O}. Det ermine as coordenadas de seus focos. 33. Consideremos a hipérbole de equação 4y2 - x2 = 16. Qual é a equação de uma circunferência cujo centro coincide com o centro da hipérbole e que passa pelos focos da hipérbole? 34. Ca lcule a excentricidade e = ~, esboce o gráfico de a cada uma das hipérboles e relacione o valor de e com a respectiva figura: x2 yi a) --- = 1 1 8 xi y2 b} - - - = 1 1 5 x2 y i c) - - - = 1 1 3 35. Determine a equação da hipérbole cujos focos são F1(3, 6) e F2(3, -6) e o eixo imaginário é 2b = 6. 36.0 cent ro de uma hipérbole é o ponto (4, - 3), seu eixo real é 2a = 6 e o eixo imaginário é 2b = 4. Determine a equação dessa hipérbole e seus focos F1 e F2, sabendo \__ ainda que F,Fi é paralelo ao eixo x. \ 37. Qual é a distância focal na hipérbole cuja equação é 4x2 - 25y2 - 32x - l OOy - 136 = O? 38. Determine as equações das assíntotas da hipérbole de equação: a) 9x2 - 76y2 = 144 xi y i b} - - - = 1 25 4 c) (x - 3)2 - (y - 2)2 = 1 16 9 39. As equações das assíntotas de uma hipérbole são y = 2x e y = -2x. Se a hipérbole tem vértices A1(3, O) e Ai(- 3, O}, determine a equação da hipérbole. 40.Determ ine a equação da hipérbole equilátera: a) de focos F1(6, O) e F2(-6, O); b) de cent ro (2, 4) e um dos vértices em (2, 2). 41. Determine as coordenadas dos focos e as coordenadas dos vértices da hipérbole equilátera de equação x2 - y2 = 25. 42. Em uma hipérbole equilátera com centro em (O, O), adis- tância entre os vértices é 8. Sabendo que os focos est ão sobre o eixo y, determine a equação dessa hipérbole. 43.Considere uma hipérbole equilátera, com centro em (O, O}, cujos focos F1 e F2 estão no eixo x e que passa pelo ponto P(13, - 12). Nessas condições, ca lcule a área do triângulo PF1F2. 44. Considere que uma praça foi construída de forma que os gramados são separados do caminho de passeio por dois ramos de uma hipérbole, conforme o esquema abaixo: ----,,-----------~ passeio 2 'g ~ g ·s 2" gramado 1 ~ " E êi i # Considere ainda que, de acordo com a origem do sistema de coordenadas adotado pelo arquiteto res- ponsável pela obra, a equação dessa hipérbole seja (x - 50}2 (y - 30)2 ~-~-- --'-=---- = 1. Amenorlarguradopas- 400 225 seio dessa praça, em met ros, é: a) 20. c) 30. e) 40. b) 25. d) 35. o ~o Rali das côn icas Geometr ia analít ica: secções cônicas 181 182 Capítulo 5 .Kepler, a elipse -e as proporçoes Muitos cálculos e descobert as astronômicas não seriam possíveis sem o auxílio da Matemática, que em d iversas ocasiões foi impulsionada pelas necessidades dos astrôno- mos. Isto é, Matemática e Astronomia sempre andaram juntas. Johannes Kepler (1571-1630), astrônomo alemão, passou 17 anos est udando e pesquisando dados precisos acumulados em 20 anos de observações pelo então matemático imperial dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), cargo que Kepler as- sumiu após a morte de Brahe. Desses est udos surgiram as leis de Kepler, que explicam o movimento planet ário. Na 1ª lei, Kepler refuta as ideias de que as órbitas plane- t árias seriam circulares conforme diziam Nicolau Copérnico {1473-1543) e seus ant ecessores, ao provar que elas são na verdade elípticas, e o Sol ocupa um de seus focos (e não o centro de uma circunferência). Ele percebeu também que essas elipses eram quase circunferências, ou seja, suas ex- Johannes Kepler centricidades eram próximas de zero. A excent ricidade orbital terrestre é e = 0,017, muito perto à de uma circunferência. O planeta com maior excentricidade é Mercúrio, com e = 0,206. Veja a seguir a tabela com a excent ricidade dos planetas do Sistema Solar: Planeta Excentricidade Mercúrio 0,206 Vênus 0,007 Terra 0,017 Marte 0,093 Júpiter 0,048 Saturno 0,056 Urano 0,046 Netuno 0,010 planeta ~ ~ •o ~ ~= ~i li .. -- O ·---·-· ~···---- .. -- ... -· .... , ' €: ., 1: lei de Kepler: todo planeta descreve uma elipse em torno do Sol, que ocupa um de seus focos. Fique atento! Lembre-se de que a excentricidade varia entre O e 1 e que uma circunferência tem excentricidade nula (e = O}. Fique atento! l Nesta figura a excentricidade está exagerada para melhor J visualização. o A,~~- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -~ ' De acordo com a 2ª lei de Kepler, a linha imaginária que une o centro do Sol ao do planeta varre áreas iguais no mesmo intervalo de tempo, consequentemente o planeta se move mais rapidamente quando está mais próximo do Sol do que quando está afastado. , -- -- -- - --------- 2 ,' -.... .. _ e 8 Já a 3ª lei de Kepler diz que o quadrado do período da órbita de um planeta é proporcional ao cubo do semieixo maior da elipse orbital desse pla- neta. Em outras palavras, se a é o semieixo maior da elipse orbital e T é o período da órbita planetária, então r: é constante para todos os planetas que orbitam a estrela. A Terra leva a um ano para dar uma volta ao redor do Sol, e o semieixo maior de sua órbita é igual a 1 UA (unidade astronômica). O semieixo maior da órbita de Netuno é 30 UA (é o planeta mais afastado do Sol) e leva 165 anos para completar uma volta em torno do Sol. Utilizando a 3ª lei de Kepler para os dois planetas obteremos, aproximadamente, o mesmo resultado. r 2 12 r 2 1652 Terra: - = - = 1 Netuno: - = -- =1 a3 13 a3 303 As leis de Kepler são apenas um exemplo da frutífera parceria entre a Matemática e a Astronomia ao longo dos séculos. Trabalhando com o texto 2~ lei de Kepler: as áreasA,eA, - . . sao 1gua1s. 1. De acordo com a 2~ lei de Kepler, a reta que une um planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais, ou seja, os planetas se movem mais rapidamente quando próximos ao Sol. Segundo a figura abaixo, em qual ponto a velocidade do planeta é menor? a) A d) O 8 o e.--------~ b) B e) E c) e ' E --- ------- 0 ------- • --- A Sol : 2. Sabendo que as distâncias entre o Sol e o periélio (ponto da órbita mais próximo do Sol) e entre o Sol e o afélio (ponto da órbita mais afastado do Sol) no movimento de translação da Terra são, respectivamente, 147 X 106 km e 152 X 106 km, calcule a medida da distância focal da traj etória elíptica sabendo que a excen- tricidade da curva é - 1-. 50 3. Com as seguintes informações a respeito da t rajetória elíptica de dois planet as em determinado sist ema solar, qual planeta tem a trajetória mais próxima de um movimento circular? Por quê? a) Planeta A de excentricidade 0,205. b) Planet a 8 de excentricidade 0,018. Pesquisando e discutindo 4. Compare a excentricidade das órbitas da Lua, do cometa Lexell e da Terra e indique qual delas possu i um formato mais próximo de uma circunferência e qual é mais alongada. Veja mais sobre o assunto 1 Procure mais informações em jornais, revistas e nos sites: • Astronomia e Astrofísica: <http://astro.if.ufrgs.br>; • Instituto de Astronomia e Pesquisas Espaciais (lnape): <www.inape.org.br/ast ronomia-ast rofisica>; • Sociedade Brasileira dos Amigos da Astronomia: <www.sbaa.com.br>. Acessosem: 13 mar. 2014. Geometria analít ica: secções cônicas 183 \ 1. Determine a equação da parábola que tem: 9. Encontre as equações das parábolas: a) foco no ponto F(O, 4) e vértice V{O, O); a) y b) foco no ponto F{3, 5) e diretriz de equação y = -1; c) foco no ponto F{2, - 2) e vértice V{2, - 4). 2. Determine as coordenadas do foco e a equação da 3 - - - - - - - - - ... - - - - - - - - -F (2, 3) reta diretriz das parábolas que têm por equação: ~ugestào: Lembre-se, por exemplo, de que 2 = 4( f ).) a) y 2 = - 6x b) x 2 = -8y X o c) y 2 = 20x 4 1 d)y = -x2 b) y 12 3. Encontre as coordenadas do vértice, as coordenadas F 8 do foco, a equação da reta diretriz e a equação do eixo de simetria das parábolas de equações: a) x2 + 4x + 8y + 12 = O; b) y 2 + 2y - 5x + 11 = O. y = 2 4. Os valores de b para os quais a parábola y = x2 + bx X tem um único ponto em comum com a reta y = x - 1 o 5 são: a) - l e3. c) b) -1e2. d y c) - 3 e - 1. d) O e -1. e) O e 2. 5. Os gráficos de J(x) = x - 1 e g(x) = 2x2 - 3x + m se X interceptam em um ponto apenas. O gráfico de g(x) V F(2. o) corta o eixo y no ponto de ordenada: a) 1,5. b) 0,5. c) O. d) -1,0. e) 1,0. X= - 2 6. Seja V(h, k) o vértice da parábola de equação d) x2 - 4x - 4y + 12 = O. A reta de equação y = 3 inter- y cepta a parábola nos pontos A e 8. Determine a área do triângulo VAB. d 7. Dada a função quadrática y = x2 + 6x + 5, obtenha as coordenadas do foco da parábola que representa o X gráfico dessa função. V(3, - 1) 2 2 8. Sejam F, e F, os focos da elipse ; 5 + ~ = 1. Quais as equações das circunferências que passam pela ori- F(3, - 3) gem e têm centros F, e F2? 184 Capítulo 5 10. Um arquiteto projetou no salão central de um espaço cu ltural duas paredes parabólicas, opostas uma à ou- tra, de forma que duas pessoas, com suas cabeças posicionadas cada uma no respectivo foco da pa rábo- la de sua parede, poderiam conversar normalmente, sem precisar gritar. Sua obra virou um sucesso, com todos os visitantes do espaço cultural querendo expe- rimentar o tal "telefone de parede". Entretanto, alguns visitantes t êm dificuldade de encontrar o ponto cor- reto onde a conversação é perfeita (no foco da pará- bola) e ficam mexendo a cabeça até conseguir. 3,2 m ' ,{ 64cm --.. ' ' ' ' O pé direito do salão (distância entre o chão e o teto) tem 3,2 m. Considerando uma linha vertical pelos pon- tos no chão e no teto onde a parede parabólica come- ça e acaba, o ponto da parede mais afastado dessa vertical está a 64 cm. Além disso, as duas paredes parabólicas são iguais e têm eixo de simetria horizon- ta l passando a 1,60 m do chão. Qual é o melhor lugar para se posicionar a cabeça para uma conversação perfeita, em relação à vertical citada? 11. Antenas parabólicas são usadas na recepção de si- nais de UHF e micro-ondas, pois possuem a capaci- dade de concentrar num único ponto (foco) o sina l recebido, melhorando a qualidade da recepção. Geo- metricamente, a antena parabólica é uma superfície tridimensional chamada pa raboloide de revolução. Quando se secciona uma paraboloide pelo plano que contém seu eixo de simetria (on de fica o foco da antena parabólica), obtém -se uma parábola cuja rotação em torno desse eixo dá origem à paraboloi- de. Considere que uma antena parabólica seja sec- cionada pelo plano que contém seu eixo, conforme ilustração abaixo, e que a equação de sua parábola seja dada por x 2 - 4x - 4y + 8 = O, de acordo com um sistema de coordenadas devida - mente escolh ido. Analise as afirmações seguintes e diga qual é a verda- deira, considerando o mesmo sistema de coordenadas. a) O receptor de ondas (foco) dessa antena deve estar nascoordenadas(-2,2). b) O eixo de simetria dessa antena possui como equa- ção a reta x = 1. c) A equação da reta diretriz da parábola que repre- senta essa antena é x = O. d) A soma das coordenadas do vértice dessa parábola é 3. e) A equação reduzida da parábola cuja equação foi apresentada no enunciado é (x + 2)2 = 4(y - 1). 12. Determine a equação das elipses abaixo: a) 81(4, 4) 0(4, 1) b) 82(3, O) A2(0, -5) 13. Determine as coordenadas dos focos, as coordenadas das extremidades do eixo maior e a excent ricidade das elipses de equação: a) 25(x - 3)2 + 16y2 = 400 b) x2 + 2y2 = 50 x2 y 2 c) - + - = l 3 6 14. O centro da hipérbole de equação 3x2 - 2y2 - 18x + 15 = O é o ponto Ctal que: a) C(O, 3). b) C(3, O). c) C(O, -3). d) C(- 3, O). e) C(- 3, 3). Geometr ia analít ica: secções cônicas 185 15. A figura a segu ir representa as órbitas ao redor do Sol dos planetas telúricos ou sólidos (Mercúrio, Vê- nus, Terra e Marte) e do planeta anão Ceres. Todas essas órbitas têm excentricidade mais próxima de O que de 1, visto que suas órbitas são bem arredon- dadas. Para referência, a distância média entre a Terra e o Sol é de 150 milhões de km ou 1 UA (un ida- de astronômica). As órbitas na figura acima estão em escala. Os planetas e o Sol não estão em escala. Suponhamos que um dos planetas do Sistema Solar tivesse como órbita uma elipse cuja equação fosse da- da por (x - 2) 2 + (y - 4) 2 = 1 e que o Sol estivesse 25 9 sobre um dos focos. O centro dessa elipse e as coor- denadas do ponto onde o planeta está mais próximo do Sol seriam, respectivamente: a) (-2, -4) e (7, 4). b) (O, O) e (-4, 2). c) (2, 4) e (7, 4). d) (2, 4) e (5, 3). e) (-2, -4) e (5, 3). 16. Ache o centro, os focos, os vértices e as equações das assíntotas da hipérbole 9x2 - 16y2 - 36x- 32y-124 = O. 17. Os pontos A,. A2, 8, e 82 são, respectiva mente, as ex- tremidades do eixo real e imaginário da hipérbole de (y + 2)2 (x - 1)2 equação 36 - 64 = 1. Nesse caso a área do quadrilátero A,, A2, 8, e 82 é: a) 96. b) 48. c) 24. d) 64. e) 192. 186 Capítulo 5 18. Determine as coordenadas dos focos, as coordenadas dos vértices e a excentricidade das hipérboles de equações: 2 a) x2 - L = 1 4 b) 4x2 - 9y2 = 36 y i x2 c) --- = 1 9 4 19. Encontre as equações das hipérboles: a) Y o 6 b) y 8 _______ ..,,_ _ ___.... 6 - - ------- e = 3 4 - - ---- -._,...- --.._ o 5 c) o X X --•- - -1-- ,., _ _ ___ _ F,(- 7, - 2) (- 4, - 2) A2(- 3, - 2) 20. A cônica representada pela equação 3x2 - 4y2 + 8y - 16 = O é: a) uma parábola. b) uma hipérbole. c) uma elipse. d) uma circunferência. e) duas retas. 21. Entre as cinco equações abaixo, há uma circunferência, uma elipse, uma parábola e uma hipérbole. Identifique cada uma delas. a) x2 + y 2 = 16 b) x2 - y = O c) x2 - y 2 = O d) 4x2 + y2 = 16 e) x2 - y 2 = 16 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Vestibulares de ~ orteta Sul 1. N (Ufam) Uma parábola tem foco no ponto F(3, 5) e sua diretriz é a reta de equação y = - 3. Então a sua equação é igual a: a) (x - 3)2 = 8(y - 1). b) (x - 3)2 = - 16(y - 1). c) (x - 3)2 = 16(y - 1). d) (x - 3)2 = - 8(y - 1). e) (x - 3)2 = 8(y + 1). 2. N (Ufam) Uma parábola com foco F(o, - ;) e vér- tice V{O, O), então a equação da parábola é igual a: a) y = 14x2 b) y = - 14x2 x i c) y = -14 x i d)y = 14 e) y = x2 - 14 3. N (UFPA) Determine a distância entre os focos da elipse 5x2 + 9y2 - 10x - 31 = O. 4. NE (UFC-CE) O número de pontos de intersecção das x2 y 2 curvas x2 + y 2 = 4 e - + - = 1 é igua l a: 15 2 a) O. c) 4. e) 6. b) 3. d) 5. 5. NE (Unifor-CE)Na figura abaixo tem-se uma elipse. A o y B D C X Se 08 = 2 cm e OC = 4 cm, a equação dessa elipse é: x2 y2 a) - + - = 1. 12 4 x2 y2 b) -+- = 1. 4 2 x2 y i c) -+- = 1. 16 4 x2 y 2 d) -+- = 1. 2 4 x2 y2 e) -+- =1. 4 16 6. CO (UFG-GO) A região do plano cartesiano, destaca- da na figu ra abaixo, é determinada por uma parábola, com vértice na origem, e duas retas. y ------ -- 2 -------- -------- 1 X -2 - 1 O 1 2 Esta região pode ser descrita como o conjunto dos pares ordenados (x,y) E IR X IR, satisfazendo: x2 X 3 a) - 2 ,;;; x ,;;; 2 e - ,;;; y ,;;; -- + -. 4 4 2 x2 X 3 b) - 2 ,;;; X ,;;; 2 e -- ,;;; Y ,;;; - + -. 4 4 2 X 3 c) - 2 ,;;; x ,;;; 2 e 4x2 ,;;; y ,;;; - 4 + 2 . X 3 d) - 2 ,;;; x ,;;; 2 e - 4x2 ,;;; y ,;;; - - + -. 4 2 x2 X 3 e) - 2 ,;;; x ,;;; 2 e - ,;;; y ,;;; - + -. 4 4 2 7. NE (U FRN) O gráfico que melhor representa a equa- ção ax2 + by2 = ab, com a e b positivos e a > b, é: a) Y ~ Y X X b) y d) y X X 8. NE (UEPB) Se P(O, - 7) e Q(x, y) são pontos de uma elipse de focos F1(0, - 5), F2(0, 5), o perímetro do triân- gulo QF1F2, em cm, é: a) 20. c) 26. e) 24. b) 22. d) 28. Geometria analítica: secções cônicas 187 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 9. S (Udesc) A equação que descreve acu rva que pas- sa pelos pontos A(O, 3) e 8(2, O) é: x 2 y ª) 4 + 9 = 1. b) x 2 y2 -+- = 1. 9 4 c) x i y 2 - + - = 1. 4 9 d) x2 y i --- = 1. 4 9 e) x2 y 2 --- = 1. 9 4 10. SE (Vunesp) A f igura representa uma elipse. y ..,....-.._,------ 11 ---- -- 7 --......,_✓,;_ - - - - - 3 ' ' ' -8 -s - 2 O X A partir dos dados disponíveis, a equação dessa elipse é: x2 y 2 a) - + - = l. 5 7 b) (x + 5)2 + (y - 7)2 9 16 = 1. c) (x - 5)2 + (y - 7)2 = 1. d) (x - 5)2 9 + ~(y_+_7)_2 = 1. 16 e) (x + 3)2 + (y - 4 )2 5 7 = 1. y 2 9 11. SE (Fuvest-SP) A elipse x2 + - = - e a reta 2 4 y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e 8. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento A8 é: a) (-2 .2). 3 ' 3 b)(~ .~7)· c) (J.- -5 ). 3 ' 3 d) (.2 _l ). 3 ' 3 e) ( ~ 1 , ; ). 188 Capítulo 5 12. SE (ITA-SP) A distância entre o vértice e o foco da parábola de equação 2x2 - 4x - 4y + 3 = O é igual a: a) 2. c) 1. b) i.__ d) i__ 2 4 e) 1 2 13. S (UPF-RS) Sejam P e Q os pontos de intersecção das funções definidas por y = - 2x + 1 e y = x2 + 4x - 6. Nestas cond ições, a distância entre os pontos P e Q vale: a) 8✓5. b) 10. c) 10✓2. e) 13. d) 8✓3. 14. NE (UFMA) No plano cart esiano, como se vê na figu - ra abaixo, uma parábola intersecta a circunferência x2 + y 2 = 1 nos pontos A e 8 e passa pela origem do sistema de coordenadas. Além disso, o eixo de simetria da parábola é perpendicular ao eixo x. y ' ' ' ' ' ' ' 1 X Se o segmento A8 é o lado de um triângulo equiláte- ro inscrito na circunfêrencia, qual é a equação da pa- rábola? 2 '3 a) ~ ""-;)(x2 + x). 3 b) 2./f (x2 - x). 3 c) Jf (x 2 + x). 3 d) Jf (x 2 - x). 3 e) 2./f 2 3 X . 15. SE (FGV-SP) No plano cartesiano, a curva de equações paramétricas x = 2 cos t ey = 5 sen t com t E IR é: a) uma senoide. b) uma cossenoide. c) uma hipérbole. d) uma circunferência. e) uma elipse. Números COJfül_Rlexos •. ·( ' • • • .., , • -· ... . ' ., . ...... .,. .. . .,._ , . ·, ..... ,. . .. . ·• -. '. . ._,,,-_ '· . ~- . ,,.... . ·, . . . . . ' ...... --~ . ,,, ,: •.. , , • r· . , • .-• .•• :..i•• . "' • ! ,· .. .• . . .. -•· ~ ... · .. ··• ' . . ·•j· --~' .. • •··· • . ' '.;>f• .' : .... !'> ' •• • - . ··- • .... - ; .• 'i . • • --· fl ,_ .•• .• ~ · . .. ' . • • •. _• .. • ..:..;:,. .1~•· --• ,... ... . •·-·· • ~ ·r- -. .. • ..• .. . . . . . . -. _, ~~ la. • ':_··:•~~.J~" .. tâ il~:~ · .... E" ... '~---• ......... : ···-- .-- -. ~J , _, _. :; .J ',, . • _,. .. !: ·11: ' . t ·• ~--; : Jf-•1Í· l • __ ti . . .. .... ·· - ·•-.' -~l@!,1·1~ -·-· • ••• • . _.. ~ J. ' . .. . . ..... .. . -:•. __ •. -.... . -"''••· • ·•. • • -~•-' • • • • • • •• , • • • 'l ,;J4 ·_~-~ i ~ -~ ,. ....... ' :' ·I -·. ---~Ili··••·· •• -, 1. •• '•. . . . .• ·= • . • • • • • .... -. ,__ . ,, . . ., . . . -. .. . -•. . ... .. ·, . 1• .. • • ••••• -•. ' -. . ' .... -•.. • ,l'!' ·- . .. .... '•· .. .... . ..... . • • . 16 , 1 - • · ' .. 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' ... • • ""'' : -.-• • . .• • ••••• . ·. :• ·...._ .. . ;. .,.. . ' , - .. . -· -;.,,• ,• . • ' 189 Retomando: conjuntos numéricos Neste capítu lo, estudaremos mais um conjunto numérico: o conjunto dos números complexos (<C). Para entender alguns aspectos relevantes da necessidade desse novo conjunto, reúna-se com um colega e resolvam as equações abaixo, respeitando os conjuntos indicados em cada item. Por exemplo, ao resolver uma equação em IN, não é possível obter resultados negativos nem fracioná rios, pois esses números não existem no conjunto IN. a) Em IN: x2 - 25 = O; h) em Q: x2 - 7 = O; b)em ~:x2 - 25 = O; c) em IN: 4x2 - 25 = O; d) em ~ : 4x2 - 25 = O; e) em Q: 4x2 - 25 = O; f) em IN: x2 - 7 = O; g) em ~ : x2 - 7 = O; i) em IR: x2 - 7 = O; j) em IN: x2 + 1 = O; k) em ~: x2 + 1 = O; 1) em Q: x2 + 1 = O; m) em IR: x2 + 1 = O. Entre os conjuntos numéricos já conhecidos tínhamos inicia lmente o conjunto dos números naturais: IN = {O, 1, 2, 3, ... , n, ... } Para que a subtração fosse sempre possível, ele foi estend ido e obtivemos o conj unto dos números inteiros: ~ = { ... , - n, ... , - 2, - 1, O, 1, 2, ... , n, ... } Para que também a divisão fosse possível, estendemos este último e obtivemos o conjunto dos números racionais, que podem ser escritos na forma de fração, com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero. Q = {x = f. comae~,be~eb =t= o} Fique atento! Em <Q, a única divisão impossível é a divisão por O. Em Q, a equação x2 = 2 não pode ser resolvida, ou seja, as soluções x = ✓2 ex = -✓2 não podem ser representadas por uma fração : , com b ?"= O e a e b pertencentes a ~ -✓2 e - ✓2 são exemplos dos núme- ros chamados de irracionais (!Ir). Da união dos racionais com os irracionais surgem os números reais (IR}: IR = Q U llr Portanto, podemos identificar IN como uma parte de ~ . ~ como uma parte de Q e Q como uma parte de IR e escrever: INC~CQCIR Sabemos que, se x E IR, então x2 ;;,, O. Assim, a equação x2 + 1 = O não tem solução em IR, pois: x2 + 1 = O• x2 = - 1 • x = +~ e não existe um número real x que elevado ao quadrado resulte - 1. Por isso, temos de estender o conj unto dos números reais para obter um novo conjunto chamado de conj unto dos números complexos. 190 Capítulo 6 Conjunto dos números complexos (<C) ® ~ªn~:~:i: O conjunto <C é um conjunto cujos elementos - os números complexos - devem ser tais que possam ser adicionados e multiplicados, e também possibilitem a extração da raiz quadrada de um número negati- vo.
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