Cap 1- Sistema de Unidades e Análise Dimensional

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FUNDAÇÃO DE ENSINO E PESQUISA DE ITAJUBÁ 
 
 
 
 
 
 
 
FISICA 1 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 
 
 
 
 
A N ÁL I S E D I M E N S I O N A L 
 
Professor: Mario Vitor Pinheiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capitulo 1 – Análise Dimensional 
 
1. - Sistemas de Unidades: 
1.1. Introdução: As ciências em geral, que se baseiam em métodos científicos, utilizam-
se de medidas para descrever um fenômeno de interesse. Na Física, em primeiro é 
necessário determinar, dentro do fenômeno o qual se quer observar, qual é a variável 
factível de ser medida, em segundo é achar um nome para esta variável, devemos, 
também, achar uma unidade na qual possamos medir esta variável e posteriormente será 
possível medir esta variável. 
 
1.2. Definições: 
a. Medida - Apesar de apresentarmos medida como sendo o último passo descrito acima é 
este conceito que nos leva a definir os conceitos que apresentaremos a seguir. Medida 
nada mais é do que comparar, quando realizamos uma medida nós estamos fazendo uma 
comparação. Portanto para medirmos é necessário um padrão para podermos realizar a 
comparação (unidade). E outro fato que está embutido no conceito de medida é o que 
vamos medir, ou seja, temos que estar ciente da variável que queremos medir. 
 
b. Variável - Na verdade quando a variável, de alguma forma inferir dados relevantes sobre 
o fenômeno que se está estudando, está variável se denominará de Grandeza Física. 
Algumas Grandezas Físicas são apresentadas na tabela 1. 
 
c. Unidade - É o padrão que iremos escolher para efetuar nossas medidas. Na tabela 1 
apresentamos algumas unidades de grandezas Físicas. 
 
1.3. Grandezas fundamentais e unidades. 
Existe uma instituição, denominado de Bureau Internacional de Pesos e Medidas e por um 
acordo internacional se instituiu um Sistema Internacional de Medidas (SI). Neste acordo 
foram instituídas sete Grandezas Físicas Fundamentais. Essas grandezas físicas 
fundamentais e suas respectivas unidades são apresentadas abaixo: 
Grandeza Fundamental Nome (Símbolo) 
Comprimento metro (m) 
Massa quilograma (kg) 
Tempo segundo (s) 
Temperatura kelvin (K) 
Corrente Elétrica ampére (A) 
Quantidade de Matéria mol (mol) 
Intensidade Luminosa candela (cd) 
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O sistema internacional admite ainda a unidade de ângulo plano cuja unidade é o radiano e 
seu símbolo rad. 
A partir das grandezas físicas fundamentais obtêm-se as unidades de grandezas, 
denominadas Grandezas Físicas Derivadas. Algumas delas são apresentadas na tabela 
abaixo. 
Grandeza Derivada Unidade (Símbolo) 
velocidade m/s 
aceleração m/s² 
Força newton (N) 
Carga elétrica coulomb (C) 
Energia joule (J) 
Potência watt (W) 
Potencial elétrico volts (V) 
Pressão N/m² = pascal (Pa) 
Massa Específica () kg/m³ 
Peso Específico () N/m³ 
 
1.4. Prefixos das unidades SI 
Para a composição das unidades das grandezas físicas, podem ser usados os seguintes 
prefixos: 
Nome Símbolo Fator de multiplicação 
da unidade 
yotta Y 1024 
zetta Z 1021 
Exa E 1018 
Peta P 1015 
Terá T 1012 
Giga G 109 
Mega M 106 
Quilo k 10³ 
hecto h 10² 
Deca da 101 
Deci d 10-1 
centi c 10-2 
Mili m 10-3 
Micro µ 10-6 
Nano n 10-9 
Pico p 10-12 
femto f 10-15 
Atto a 10-18 
zepto z 10-21 
yocto y 10-24 
 
 A - Para formar o múltiplo ou submúltiplo de uma unidade, basta colocar o nome do 
prefixo desejado na frente do nome desta unidade. O mesmo se dá com o símbolo. 
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Exemplo: 
Para multiplicar e dividir a unidade volt por mil 
quilo + volt = quilovolt ; k + V = kV 
mili + volt = milivolt ; m + V = mV 
 
B - Os prefixos SI também podem ser empregados com unidades fora do SI. 
Exemplo: 
milibar; quilocaloria; megatonelada; hectolitro. 
 
C - Por motivos históricos, o nome da unidade SI de massa contém um prefixo: 
quilograma. Por isso, os múltiplos e submúltiplos dessa unidade são formados a partir do 
grama. 
 
2. Análise Dimensional 
2.1. Dimensão das grandezas físicas: 
a) Equação Dimensional: 
A equação ou fórmula dimensional é definida pela expressão da grandeza física em função 
das grandezas fundamentais. Uma equação dimensional de uma grandeza física derivada é 
uma relação ou expressão matemática composta com os símbolos dimensionais das 
grandezas fundamentais que a compõem. Assim para escrevermos a equação dimensional 
das grandezas físicas básicas necessitamos dos símbolos dimensionais das grandezas fiscas 
fundamentais. São elas: 
[Comprimento] = L * 
[Massa] = M 
[Tempo] = T 
[Temperatura] =  
[Corrente Elétrica] = I 
[Quantidade de Matéria] = N 
[Intensidade Luminosa] = Io 
Lê-se: a dimensão de comprimento é igual a L. 
 
Para podermos identificar uma equação dimensional, devemos colocar a grandeza entre 
colchetes. 
Exemplos: Escrever a equação dimensional das grandezas físicas relacionadas abaixo: 
a) Velocidade = espaço/tempo → [v] = L/T = L T-1 
b) Aceleração = velocidade/tempo → [a] = L/T/T = L T-2 
c) Força = massa  aceleração → [F] = [m] [a] = M L T-2 
d) Pressão = força/área → [P] = [F]/[A] = M L T-2/L2 = M L-1 T-2 
Observação: O símbolo dimensional de número puro e de ângulo plano tem símbolos 
dimensionais iguais a 1, ou seja são adimensionais. 
e) Trabalho = F  d cos  → [T] = [F] [d] [cos ] = M L T-2 L 1 = M L2 T-2 
f) C = 2  R → [C] = [2] [] [R] = 1 1  L = L 
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b) Principio da homogeneidade 
A análise dimensional das grandezas físicas é conseqüência do seguinte principio da 
homogeneidade: “Toda equação física correta é dimensionalmente homogênea”. 
É importante sabermos que uma equação física, só será verdadeira se ela for 
dimensionalmente homogênea. Todas as dimensões do membro de uma equação devem 
ser as mesmas que a do outro membro. Com relação ao princípio da homogeneidade 
dimensional, podemos dizer que ela proporciona uma condição necessária, porém não 
suficiente para que uma equação física seja verdadeira. 
Porém a equação só será verdadeira se ela for dimensionalmente homogênea. 
Equação física verdadeira  Equação dimensionalmente homogênea. 
[1º membro] = [2º membro] 
Exemplos: 
Verificar se as equações abaixo são dimensionalmente homogêneas. 
a) x = a  b t + c t3 onde x e a são distâncias, b é velocidade, t é tempo e c é 
comprimento/(tempo)2. 
Pelo princípio da homogeneidade a [1º membro] = [2º membro] 
[x] = [a] [b][t] +[c][t3] 
[x] = L  L T-1 T + L T-2 T3 
[x] = L  L T-1 T = L T-2 T3 
[x] = L2 + L T 
Podemos observar que [1ºMembro]  [2ºMembro], portanto a equação não é 
dimensionalmente homogênea. 
b) 
2
21
d
Q Q
 F = , onde Q1 e Q2 são cargas elétricas (corrente elétrica  tempo), F é força, d é 
distância e [K] = L3. 
Pelo princípio da homogeneidade a [1º membro] = [2º membro] 
][d
][Q ][Q
 [K] [F]
2
21=  
2
2-4-32
L
I T I T
 I T L M LT M

= 
-22 LT M LT M = 
Portanto a equação é dimensionalmente homogênea. 
 
2.2. Previsão de fórmulas: 
Quando falamos em previsão de fórmulas, devemos saber que a análise dimensional é 
considerada um instrumento que auxilia nessas previsões. 
Existe uma fórmula que foi descoberta por um cientista, que observou o tempo (t) de uma 
oscilação de certo pêndulo simples. Com isso ele pode observar que o tempo de oscilação é 
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totalmente dependente tanto do comprimento do fio (l), como do módulo da aceleração da 
gravidade (g). 
Portanto a fórmula é a seguinte: 
yx glK t = 
Onde K é considerada uma constante adimensional e x e y representam os números. 
Com relação ao princípio da homogeneidade dimensional temos: 
 
Observação: 
A constante K não pode ser determinada de maneira teórica, em analise dimensional. Ela é 
determinada em laboratório, reproduzindo o experimento varias vezes até que se chegue a 
um valor médio de K. 
Nesse experimento, em particular a constante K tem valor de 2. Se ela não for informada 
no problema, ela ficará como “K”.