Tensão e deformação

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DESCRIÇÃO
Entendimento dos conceitos de tensão e deformação, dimensionamento de pequenos projetos de
acoplamento simples.
PROPÓSITO
Compreender a importância do cálculo das tensões/deformações como princípio norteador do
dimensionamento da Engenharia e iniciar os primeiros passos para projetar pequenas estruturas, o que
ocorrerá durante a formação de um engenheiro.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou
use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOSProcessing math: 100%
MÓDULO 1
Calcular as tensões médias normal e de cisalhamento
MÓDULO 2
Empregar as tensões admissíveis nos projetos de acoplamento simples
MÓDULO 3
Calcular as deformações normal e de cisalhamento
MÓDULO 1
 Calcular as tensões médias normal e de cisalhamento
INTRODUÇÃO
Inicialmente, é preciso fazer uma diferenciação qualitativa entre uma grandeza pontual e sua forma
média. Quando se fala em tensão normal média, trata-se de um valor que representa a média dos
valores pontuais da grandeza.
Um exemplo, que é bastante conveniente para que essas ideias fiquem claras, está na média de uma
disciplina em que foram realizadas quatro provas. O fato de a média ser 8,0 não significa que
obrigatoriamente as quatro notas foram iguais a 8,0 (pode até acontecer).
Estatisticamente, é provável que algumas notas tenham sido superiores à média e outras inferiores. Da
mesma forma, ocorre para as grandezas que serão estudadas neste módulo. Todas referem-se a
valores médios. No decorrer do seu curso de Engenharia, cada caso será estudado de forma mais
Processing math: 100%
pontual. Por exemplo, será calculado o valor máximo dessas grandezas e o ponto, ou linha, de atuação
delas.
Observe o desenho esquemático da figura 1, em que os valores de uma dada grandeza, por exemplo,
tensão normal, são representados. No primeiro desenho da figura, os valores são pontuais ao longo de
uma linha da seção, e no segundo desenho da figura, é apresentado o valor médio da mesma grandeza,
nessa mesma linha.
Note que na figura 1, a tensão normal determinada pontualmente apresenta valores maiores e menores
que o valor médio, que é constante ao longo da região de estudo.
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 1: Tensão normal ao longo de um comprimento e tensão média normal.
TENSÕES NORMAL E DE CISALHAMENTO
Como foi visto, a resistência de uma peça não é uma função exclusiva do seu carregamento.
Duas barras do mesmo material (suponha o alumínio 7075 — T6) podem suportar cargas distintas antes
do rompimento. Dessa forma, é preciso associar a resistência do elemento à geometria deste. A partir
dessa ideia, surge o conceito de tensão.
 EXEMPLO
Processing math: 100%
O alumínio 7075 – T6 apresenta limite de resistência em torno de 500 MPa, o que não significa que qualquer
peça desse material resistirá a um mesmo carregamento (força ou momento).
É importante que você perceba que a geometria da peça é fundamental. Daí surge o primeiro passo
para o dimensionamento de uma peça, ou seja, dizer qual dimensões mínimas ela deve possuir para
resistir ao carregamento que está submetida. Ratificando, duas peças do mesmo material podem
suportar, por exemplo, valores máximos de uma carga concentrada de 100 kN e 120 kN, dependendo de
suas geometrias.
 RESUMINDO
Os esforços internos normal e cisalhante serão normalizados pela área em que atuam. São as tensões
normal e de cisalhamento.
Para iniciar o entendimento do conceito de tensão de maneira quantitativa, será suposto um elemento
infinitesimal volumétrico (dV) de uma peça submetida a um dado carregamento. Suponha, também, um
elemento infinitesimal de força (dF) atuando sobre uma face infinitesimal de área (dA), conforme a figura
2.
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 2: Elemento infinitesimal de um volume.
A partir de conhecimentos matemáticos, é possível escrever dF como suas projeções sobre os eixos
cartesianos x, y e z. Por exemplo, dFx, dFy e dFz. Assim, dF pode ser apresentada decomposta nasProcessing math: 100%
direções x, y e z, conforme a figura 3.
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 3: Decomposição de dF em suas componentes retangulares.
Note que na figura 3, duas das projeções de dF (dFx e dFz) são tangentes (cisalhantes) ao elemento
infinitesimal de área dA e a outra projeção, dFy, é perpendicular à dA. A partir das grandezas dF e dA,
define-se a grandeza tensão como sendo a relação entre as duas, isto é, a divisão entre os valores de
dF e dA.
Tensão normal
Quando a força é perpendicular à área, a grandeza é denominada de tensão normal.
A letra associada a essa tensão é: σ (sigma).

Tensão cisalhante
Quando a força é tangente à seção reta, a tensão associada é denominada de cisalhamento (ou
cisalhante).
A letra associada a essa tensão é: τ (tau).
A partir da descrição anterior, vemos que a tensão é dada pela equação 1:
Tensão =
Força
Área (Equação 1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 100%
Existe uma convenção para a nomenclatura das tensões. Para o caso das tensões normais, utiliza-se
um único índice à letra sigma que coincide com o eixo de aplicação da força. Na figura 3, a tensão
normal atua na direção do eixo y. Assim, a equação 2 determina o seu valor:
σy = lim
dA → 0
dFy
dA (Equação 2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso a tensão normal atuasse nas direções x ou z, escreveríamos, respectivamente, σx e σz para
denominá-las.
No caso da tensão cisalhante, dois índices são utilizados. O primeiro relaciona-se com a direção
perpendicular à área de atuação da tensão cisalhante e, o segundo, com a direção da tensão. Perceba
que na figura 3, tanto dFx como dFz atuam numa seção que é perpendicular a y. Uma das tensões atua
na direção x e a outra na direção z, mas ambas estão numa área cujo eixo y é perpendicular. Assim,
seus valores serão determinados pelas equações 3 e 4.
τyx = lim
dA → 0
dFx
dA (Equação 3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
τyz = lim
dA → 0
dFz
dA (Equação 4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A figura 4 mostra a atuação da tensão normal e das tensões cisalhantes em uma das faces do elemento
infinitesimal de estudo.
 
(Fonte: o Autor)
Processing math: 100%
 Figura 4: Tensão normal e tensões cisalhantes atuantes numa dada seção.
Perceba que as tensões determinadas foram calculadas a partir de um limite em que dA tende a zero.
Assim, são tensões pontuais e em uma área extremamente pequena. O que nos interessa, nesse
momento, é a tensão atuante numa dada área, ou seja, os valores médios para as tensões normal e
cisalhante.
TENSÕES MÉDIAS NORMAL E DE
CISALHAMENTO
O objetivo inicial da disciplina é apresentar situações em que os valores das tensões médias são
adequados para a resolução de problemas, inclusive para situações reais da Engenharia. O item anterior
apresentou as definições da tensão normal (σ) e tensão cisalhante (τ) pontualmente. Estendendo-se o
conceito, as tensões médias são apresentadas por relações matemáticas semelhantes. Observe as
equações 5 e 6.
σmédia =
Fnormal
Área (Equação 5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
τmédia =
Ftangente
Área (Equação 6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cabe ressaltar que a convenção dos índices apresentada no item anterior continua a ser utilizada no
caso das tensões médias. As equações 5 e 6 foram escritas sem os índices, apenas por simplicidade.
 RELEMBRANDO
Ratificando o que foi descrito na figura 1, o valor da tensão média é considerado constante ao longo da
seção analisada. É uma simplificação, mas com ampla utilização no dimensionamento de pequenas
estruturas naEngenharia.
A tensão normal pode atuar no sentido de alongar o corpo, ou seja, tracioná-lo. Nesse caso, diz-se que
a tensão normal é trativa. No sentido oposto, a tensão normal é denominada como compressiva. Como
convenção, adota-se o valor positivo para tensões normais trativas e o valor negativo para tensões
compressivas. Observe na figura 5, as duas situações possíveis para a tensão normal.Processing math: 100%
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 5: Tensões normais médias trativa e compressiva.
Em termos de unidades, a tensão é dada pela razão entre uma unidade de força e uma unidade de área.
Por exemplo, N/m2, kgf/mm2, N/mm2 etc. A razão N/m2 recebe o nome de pascal (Pa) e existem os
múltiplos kPa (103 vezes Pa), MPa (106 vezes Pa) e GPa (109 vezes Pa).
 DICA
Na Engenharia, normalmente, os valores para as tensões apresentam ordem de grandeza de 106. Por isso, é
comum a utilização de MPa para as tensões.
É bastante útil conhecer a relação abaixo:
1N
mm2
= 1MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
Processing math: 100%
1. (FGV ‒ 2014 ‒ SEDUC ‒ AM ‒ ENGENHARIA CIVIL) OS ESFORÇOS
MECÂNICOS OU AS SOLICITAÇÕES SIMPLES A QUE UMA ESTRUTURA PODE
ESTAR SUBMETIDA SÃO MUITO DIVERSIFICADOS. OBSERVE A VIGA A SEGUIR.
ELA ESTÁ SUBMETIDA A UM ESFORÇO DE:
A) Compressão
B) Tração
C) Flexão
D) Torção
E) Cisalhamento
2. (IBFC ‒ 2013 ‒ EBSERH ‒ ENGENHEIRO CIVIL) LEIA O ENUNCIADO E
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE PREENCHE CORRETAMENTE A LACUNA. 
 
EM UMA ESTRUTURA DE UM EDIFÍCIO, SE A BARRA ESTÁ EM TRAÇÃO, A
DEFORMAÇÃO É CHAMADA DE DEFORMAÇÃO DE TRAÇÃO, REPRESENTANDO
UM __________. SE A BARRA ESTÁ EM COMPRESSÃO É CHAMADA DE
DEFORMAÇÃO DE COMPRESSÃO E A __________.
A) Alongamento do material / barra encurta
B) Encurtamento do material / barra se alonga
C) Cisalhamento do material / barra se alonga
D) Rompimento do material / barra vira mola
E) Encurtamento do material / barra encurta.
3. (MS CONCURSOS ‒ 2014 ‒ UFAC ‒ ENGENHEIRO CIVIL) MARQUE A
ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR APROXIMADO DA TENSÃO DE
TRAÇÃO DENTRO DE UMA BARRA DE AÇO DE DIÂMETRO DE 25 MM,Processing math: 100%
CONSIDERANDO QUE A BARRA ENCONTRA-SE PUXADA POR UM ESFORÇO DE
50,0 KN.
A) 10,19 kN/cm2
B) 12,34 kN/cm2
C) 14,25 kN/cm2
D) 16,76 kN/cm2
E) 18,23 kN/cm2
4. (INSTITUTO AOCP ‒ 2015 ‒ EBSERH ‒ ENGENHEIRO CIVIL (HE-UFPEL)) A
RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA DE ESCOAMENTO DO AÇO CATEGORIA CA-60
É DE 600 MPA QUE EQUIVALE EM KGF/MM2 A:
A) 60
B) 6
C) 0,60
D) 6.000
E) 0,06
5. (UPENET/IAUPE ‒ 2017 ‒ UPE ‒ ENGENHEIRO) UMA CHAPA É FIXADA A UMA
LAJE DE CONCRETO POR MEIO DE DOIS PARAFUSOS DE DIÂMETRO 20 MM,
CONFORME MOSTRA A FIGURA. A TENSÃO MÉDIA DE CISALHAMENTO NOS
PARAFUSOS PARA UMA CARGA DE P = 100 KN VALE, APROXIMADAMENTE:
Processing math: 100%
A) 159,2 MPa
B) 318,5 MPa
C) 478,5 MPa
D) 79,6 MPa
E) 39,8 MPa
6. (FUNIVERSA ‒ 2012 ‒ PC ‒ DF ‒ PERITO CRIMINAL ‒ ENGENHARIA)
UMA BARRA PRISMÁTICA DE AÇO DE SEÇÃO TRANSVERSAL DE ÁREA IGUAL
A 200 MM2 ESTÁ SUBMETIDA A UMA CARGA AXIAL, COMO REPRESENTADO
NA FIGURA. O MÓDULO DE ELASTICIDADE DO AÇO É IGUAL A 200 GPA, O
COMPRIMENTO DA BARRA L É IGUAL A 40 CM, E A SOLICITAÇÃO P É IGUAL A
200 KN. COM BASE NO TEXTO, ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O
VALOR DA TENSÃO NORMAL AO LONGO DA BARRA.
Processing math: 100%
A) 1 MPa
B) 10 MPa
C) 1 GPa
D) 10 GPa
E) 100 GPa
GABARITO
1. (FGV ‒ 2014 ‒ SEDUC ‒ AM ‒ Engenharia Civil) Os esforços mecânicos ou as solicitações
simples a que uma estrutura pode estar submetida são muito diversificados. Observe a viga a
seguir.
Ela está submetida a um esforço de:
A alternativa "B " está correta.
A partir do desenho indicado na figura, é possível perceber que as forças agem perpendicularmente à
seção reta da barra. Ademais, agem no sentido de aumentar seu comprimento. Dessa forma, a tensão
associada é normal trativa.
2. (IBFC ‒ 2013 ‒ EBSERH ‒ Engenheiro Civil) Leia o enunciado e assinale a alternativa que
preenche corretamente a lacuna. 
 
Em uma estrutura de um edifício, se a barra está em tração, a deformação é chamada de
deformação de tração, representando um __________. Se a barra está em compressão é chamada
de deformação de compressão e a __________.
A alternativa "A " está correta.
A força que atua perpendicularmente a uma área associa-se à tensão normal. Quando essa tensão
normal atua no sentido de alongar o corpo, diz-se que é uma tensão trativa (tração). No sentido oposto,
isto é, quando a força perpendicular à área age no sentido de diminuir o comprimento do corpo, a tensão
normal é denominada compressiva.
3. (MS CONCURSOS ‒ 2014 ‒ UFAC ‒ Engenheiro Civil) Marque a alternativa que apresenta o
valor aproximado da tensão de tração dentro de uma barra de aço de diâmetro de 25 mm,
considerando que a barra encontra-se puxada por um esforço de 50,0 kN.
Processing math: 100%
A alternativa "A " está correta.
O valor apresentado para o diâmetro (D) da barra é de 25mm, que equivale a 2,5cm. Logo, o raio (R =
D/2) vale 1,25cm. A área do círculo é dada por π.R2. Substituindo o valor de R, a área é
aproximadamente de 4,90625cm2. A força aplicada na barra tem intensidade de 50kN. Assim, a tensão
média normal será dada por:
σmédia =
Fnormal
Área =
50
4,90625 = 10,19 kN /cm
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. (INSTITUTO AOCP ‒ 2015 ‒ EBSERH ‒ Engenheiro Civil (HE-UFPEL)) A resistência
característica de escoamento do aço categoria CA-60 é de 600 MPa que equivale em Kgf/mm2 a:
A alternativa "A " está correta.
A questão tem como objetivo a conversão de unidades utilizadas para tensão. Considerando a
aceleração da gravidade como 10 m/s2, é fato que 1 kgf = 10 N (0,1 kgf = 1 N). Ademais, 1 m2 = (103
mm)2 = 106 mm2. 1 MPa equivale a 106 Pa (N/m2), ou ainda, 1 MPa = 106 N/m2. Dessa forma:
600 MPa = 600.106 Pa = 600.106 
N
m2
= 600.106
0,1 kgf
106 mm2
= 60 
kgf
mm2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outra maneira de resolver esse exercício é conhecer a relação 1 MPa = 1 N/mm2. Assim:
600 MPa = 600 
N
mm2
= 600 
0,1 kgf
mm2
= 60 
kgf
mm2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. (UPENET/IAUPE ‒ 2017 ‒ UPE ‒ Engenheiro) Uma chapa é fixada a uma laje de concreto por
meio de dois parafusos de diâmetro 20 mm, conforme mostra a figura. A tensão média de
cisalhamento nos parafusos para uma carga de P = 100 kN vale, aproximadamente:
Processing math: 100%
A alternativa "A " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
DETERMINAÇÃO DA TENSÃO MÉDIA CISALHANTE
Erro HTTP 404.0 - Not Found
O recurso que você está
procurando foi removido, teve o
seu nome alterado ou está
temporariamente indisponível.
6. (FUNIVERSA ‒ 2012 ‒ PC ‒ DF ‒ Perito Criminal ‒ Engenharia)
Uma barra prismática de aço de seção transversal de área igual a 200 mm2 está submetida a uma
carga axial, como representado na figura. O módulo de elasticidade do aço é igual a 200 GPa, o
comprimento da barra L é igual a 40 cm, e a solicitação P é igual a 200 kN. Com base no texto,
assinale a alternativa que apresenta o valor da tensão normal ao longo da barra.Processing math: 100%
A alternativa "C " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
DETERMINAÇÃO DA TENSÃO MÉDIA NORMAL
HTTP Error 404.0 - Not
Found
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has been removed, had its name
changed, or is temporarily
TEORIA NA PRÁTICA
Um aluno, estagiário de uma empresa de Engenharia, foi designado para fazer o dimensionamento de
uma barra que fará parte de uma estrutura maior. A situação problema é a apresentada na questão do
concurso FGV ‒ 2014 ‒ Câmara Municipal do Recife ‒ PE ‒ Engenheiro Civil: Uma barra de aço com
seção retangular, em equilíbrio, está sujeita a um esforço axial de tração de 40 kN. A resistência ao
escoamento e o coeficiente de segurança do aço são, respectivamente, 250 MPa e 1,25. Sabendo quea
relação entre as dimensões da seção transversal da barra é igual a 2, o objetivo do aluno é determinar
as dimensões da seção reta em milímetros.
Inicialmente, ele fez um croqui da situação, gerando um modelo físico. Observe a figura a seguir.
 
(Fonte: o Autor)
 Croqui da barra sob tração.
Feito isso, o aluno seccionou a peça e fez o diagrama do corpo livre (DCL) mostrando os esforços
internos. Observe a figura do DCL na forma bidimensional.
Processing math: 100%
 
(Fonte: o Autor)
 DCL de parte da barra sob tração.
A partir do equilíbrio translacional em x: F – N1 = 0, logo N1 = 40 kN = 40.000 N.
A seção reta tem a forma de um retângulo, com altura h e base b. Supondo que a base tenha um valor
desconhecido x, isto é, b = x e que a altura tenha valor h = 2x (o enunciado afirma que a relação entre
as dimensões é 2). Assim, a área da seção reta em que atua o esforço normal N1 é dada pelo produto
base pela altura, ou seja, x.2x = 2x2.
A tensão admissível do material é de 250 MPa. O fator de segurança (FS), a ser estudado
detalhadamente no módulo seguinte, é a relação entre as tensões admissível e de trabalho, ou seja:
FS =
σlimite
σtrabalho
→ σtrabalho = 200 MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a tensão máxima que pode atuar durante o “trabalho” da peça é de 200 MPa. O aluno ainda
utilizou o fato de que 1 MPa = 1 N/mm2.
A tensão normal média atuante pode ser calculada pela seguinte relação:
σmédia =
Fnormal
Área
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores, tem-se:
200 =
40.000N
2x2
→ 400. x2 = 40.000 → x2 =
40.000
400 → x
2 = 100 → x = 10 mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as dimensões mínimas são: altura 20 mm e base 10 mm.
Assista ao vídeo para entender melhor.
Processing math: 100%
DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO RETA DE UMA
BARRA SOB CARREGAMENTO AXIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IMA ‒ 2019 ‒ PREFEITURA DE FORTALEZA DOS NOGUEIRAS ‒ MA ‒
ENGENHEIRO CIVIL ‒ADAPTADA) ANALISE A FRASE ABAIXO: 
 
“NOS PROJETOS ESTRUTURAIS, O ELEMENTO SUJEITO BASICAMENTE A
ESFORÇOS AXIAIS DE COMPRESSÃO É DENOMINADO DE __________.”
ASSINALE A ALTERNATIVA QUE COMPLETA CORRETAMENTE A FRASE ACIMA:
A) Barra de ferro
B) Laje
C) Pilar
D) Andaime
E) Treliças
2. UM PEQUENO PROJETO PARA A GARAGEM DE UMA CASA É BASICAMENTE
COMPOSTO POR 4 COLUNAS METÁLICAS E UM TELHADO DE PESO P.
SUPONHA QUE UMA DESSAS COLUNAS TENHA COMPRIMENTO L E
DIÂMETROS EXTERNO E INTERNO, RESPECTIVAMENTE, IGUAIS A D E D. O
COMPRIMENTO DA COLUNA É L E A CARGA ATUANTE EM CADA COLUNA,
Processing math: 100%
DEVIDO AO PESO DO TELHADO, TEM INTENSIDADE F. SUPONDO TODAS AS
VARIÁVEIS APRESENTADAS EM UNIDADES DO S.I., DETERMINE A TENSÃO
MÉDIA NA COLUNA DESCRITA:
A) 
F
π . ( D2 - d2
B) 
F
π . ( D2 + d2
C) 
4 . F
π . ( D2 + d2
D) 
4 . F
π . ( D2 - d2
E) 
2 . F
π . ( D2 - d2
GABARITO
1. (IMA ‒ 2019 ‒ Prefeitura de Fortaleza dos Nogueiras ‒ MA ‒ Engenheiro Civil ‒adaptada)
Analise a frase abaixo: 
 
“Nos projetos estruturais, o elemento sujeito basicamente a esforços axiais de compressão é
denominado de __________.” Assinale a alternativa que completa corretamente a frase acima:
A alternativa "C " está correta.
 
Várias são as estruturas que compõem um edifício e podem estar sob vários efeitos. Algumas são
prioritariamente para serem submetidas a um tipo de esforço. Os pilares, por exemplo, estão na base de
um edifício e sustentam a carga de forma a serem comprimidos. As treliças são compostas por barras
que podem estar sujeitas a esforços trativos e compressivos.
2. Um pequeno projeto para a garagem de uma casa é basicamente composto por 4 colunas
metálicas e um telhado de peso P. Suponha que uma dessas colunas tenha comprimento L e
diâmetros externo e interno, respectivamente, iguais a D e d. O comprimento da coluna é L e a
carga atuante em cada coluna, devido ao peso do telhado, tem intensidade F. Supondo todas as
variáveis apresentadas em unidades do S.I., determine a tensão média na coluna descrita:
A alternativa "D " está correta.
 
A tensão normal média é determinada pela seguinte equação:
)
)
)
)
)
Processing math: 100%
σmédia =
Fnormal
Área
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A seção reta da coluna apresenta o aspecto da figura a seguir:
 Seção reta da coluna.
A área “útil” para aplicação da carga F é dada pela região da figura na cor cinza e corresponde à figura
geométrica denominada coroa circular, cuja área A é dada pela diferença das áreas dos círculos
concêntricos. A área do círculo, em função do seu diâmetro, é dada por A =
π . D2
4 . Dessa forma, a área
em cinza da figura será dada por:
A =
π . D2
4 -
π . d2
4 =
π . ( D2 - d2
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na expressão para a determinação da tensão normal média, substituindo a força e a área, tem-se:
σmédia =
Fnormal
Área =
F
π . ( D2 - d2
4
=
4 . F
π . ( D2 - d2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a força é parte do peso do telhado, sua atuação é no sentido de comprimir a coluna, logo a tensão
é compressiva.
MÓDULO 2
 Empregar as tensões admissíveis nos projetos de acoplamento simples
)
) )
Processing math: 100%
INTRODUÇÃO
A partir das premissas adotadas aqui, é possível estudar projetos de acoplamentos simples, ou seja,
dimensionar pequenas peças que se acoplem a estruturas maiores. Neste módulo, essas peças estarão
sujeitas ao esforço normal ou ao esforço cortante, o que remete imediatamente às tensões normal e as
de cisalhamento. No caso do cisalhamento, duas possibilidades serão abordadas: o cisalhamento
simples e o cisalhamento duplo. Ademais, será introduzido um conceito, o de fator (ou coeficiente) de
segurança (FS ou CS).
CISALHAMENTOS SIMPLES E DUPLO
Relembrando o conceito de cisalhar, esse fenômeno decorre de o ato de uma seção tender a escorregar
sobre outra adjacente. A força cortante associada dividida pela área em questão calcula a tensão média
de cisalhamento (τmédia). Em termos didáticos, serão apresentadas duas possibilidades de
cisalhamento.
CISALHAMENTO SIMPLES
Uma maneira bastante didática para que o aluno consiga perceber, na prática, o cisalhamento simples, é
imaginar uma junta entre duas chapas que pode ocorrer por qualquer meio que una “firmemente” as
chapas (cola, solda, parafusos, rebites etc.). Na figura 6, há duas chapas retangulares planas unidas por
meio de uma cola. Atente que existe uma seção comum a essas chapas, uma área sobreposta A.
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 6 - Junta formada por duas placas sobrepostas.
Considerando que o equilíbrio estático, F1 e F2 são iguais em módulo. Separando uma das placas e
desenhando seu diagrama do corpo livre (DCL), a força agindo na união (Ftangencial) será, em módulo,Processing math: 100%
igual a F1 e F2. Observe o DCL de uma das placas da junta, na figura.
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 7 - DCL de parte da junta.
Do exposto, anteriormente, as forças F1 e F2 apresentam mesmo módulo. Supondo que as intensidades
das forças sigam a seguinte relação F1 = F2 = F, a tensão de cisalhamento (simples) será calculada pela
equação 7.
τmédia =
Ftangente
Área =
F
A (Equação 7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CISALHAMENTO DUPLO
Utilizando a mesma ideia, ou seja, juntas entre placas planas utilizada no entendimento do cisalhamento
simples, é possível entender o cisalhamento duplo. O que muda é o fato de no último caso haver três
placas unidas por meio de parafusos, cola, solda etc. Observe, na figura 8, uma junta com as três placas
unidas e uma área comum (sobreposta).
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 8 - Junta formada por três placas sobrepostas.
A fim de se garantir o equilíbrio estático na direção horizontal, é necessárioque F1 e 2.F2 tenham o
mesmo módulo. Suponha que a força F1 tenha intensidade F, ou seja, F1 = F. Como 
Processing math: 100%
F1 = 2. F2 → F = 2. F2, logo F2 = F/2. Separando a placa em destaque e desenhando seu DCL, a força
agindo na união (Ftangencial) será, em módulo, igual a F/2. Observe o DCL, na figura 9.
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 9 - DCL de parte da junta.
No caso do cisalhamento duplo, a tensão será determinada pela expressão da equação 8.
τmédia =
Ftangente
Área =
F
2
A =
F
2 . A (Equação 8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FATOR DE SEGURANÇA (FS) OU COEFICIENTE
DE SEGURANÇA (CS)
Muitos alunos já têm a oportunidade de trabalhar nas diversas áreas da Engenharia ou suas afetas; em
indústrias, na construção civil, em escritórios de projetos de Engenharia ou Arquitetura etc. Certamente,
esses alunos já ouviram a respeito do fator de segurança (ou coeficiente de segurança). Em nosso
estudo, muitas vezes foi apresentado um modelo físico simplificado da situação real, a qual não levará,
portanto, em consideração, no dimensionamento de uma estrutura, todos os aspectos físicos envolvidos;
muitos são desprezados. Outra questão bastante presente é tratar os materiais envolvidos como
homogêneos, sem defeitos etc. E neste tema, em particular, as tensões calculadas foram tomadas como
um valor médio. Sendo assim, em algumas regiões da peça/estrutura existirão valores maiores e em
outras valores menores que o valor médio.
 RESUMINDO
Dessa forma, o fator de segurança é utilizado para garantir que essas premissas não tornem o
dimensionamento de uma peça, por exemplo, incorreto.Processing math: 100%
O fator de segurança (FS) é uma grandeza adimensional, ou seja, sem unidade associada, sendo
determinado pela razão entre o limite de resistência do material e a resistência adotada para o trabalho.
Observe na equação 9, a expressão do FS para as duas situações de tensão (normal e de
cisalhamento).
F. S. =
σadmissível
σtrabalho
=
τadmissível
τtrabalho
 (Equação 9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que o fator de segurança é para que o projeto seja conservador, a tensão de trabalho é sempre
menor que a tensão admissível para o material. Sendo assim, a razão determinada pela equação 9 será
um número sempre maior que 1. Confirmando, esse número encontrado é adimensional.
 ATENÇÃO
Em muitos problemas o FS não é citado. Nesse caso, será tratado como 1. Portanto, a partir da equação 9,
conclui-se que a tensão de trabalho será a tensão admissível (de escoamento) do material.
PROJETOS DE ACOPLAMENTO SIMPLES
Muitas situações em Engenharia apresentam pequenas estruturas que podem ser dimensionadas a
partir de modelos simplificados, dentre os quais o objeto de estudo desse tema: tensões médias. Alguns
exemplos simples, mas pertinentes e que ocorrem na Engenharia podem ser elencados.
Suponha uma barra que está vinculada a um apoio que possui um pino e deseja-se saber a dimensão
(diâmetro mínimo desse pino) para suportar determinada carga. Calcular o diâmetro mínimo de um cabo
de aço que será utilizado em um pequeno guincho para suspender peças com determinado peso e
muitos outros. A ideia geral é que se conheça o material e o carregamento da peça que se deseja
dimensionar. Utilizando as expressões para a determinação das tensões médias normal (σmédia) e
cisalhante (τmédia) mostradas nas equações 5 e 6, determina-se a área da seção. Conhecendo-se a
forma da área e relações geométricas, as dimensões são determinadas. As equações 10 e 11 mostram
o descrito anteriormente.
σmédia =
Fnormal
Área → Área = 
Fnormal
σmédia
 (Equação 10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalProcessing math: 100%
τmédia =
Ftangente
Área → Área = 
Ftangente
τmédia
 (Equação 11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SUPONHA QUE A TENSÃO NORMAL ADMISSÍVEL DE UM MATERIAL SEJA 300
MPA. O PROJETO É TAL QUE O FATOR DE SEGURANÇA A SER UTILIZADO É
IGUAL A 1,5. QUAL O VALOR DE TENSÃO NORMAL DE TRABALHO?
A) 100 MPa
B) 150 MPa
C) 200 MPa
D) 450 MPa
E) 500 MPa
2. SEJA UMA ESTRUTURA EM QUE PARTE DELA É FORMADA POR UMA JUNTA
ENTRE DUAS PLACAS METÁLICAS DE AÇO SOLDADAS, CONFORME A FIGURA
A SEGUIR.
SUPONHA QUE A SOLDA QUE UNE AS DUAS PLACAS RESISTA A UMA TENSÃO
CISALHANTE MÁXIMA DE 150 MPA. CONSIDERE QUE A ÁREA COMUM TEM 300
MM2. QUAL A FORÇA MÁXIMA F QUE PODE SER APLICADA À JUNTA?
A) 0,2 kN
B) 20 kNProcessing math: 100%
C) 4,5 kN
D) 45 kN
E) 50 kN
3. CONSIDERE UMA BARRA DE SEÇÃO RETA QUADRADA QUE FAÇA PARTE DE
UMA ESTRUTURA E ESTEJA SUJEITA A UMA FORÇA AXIAL, EM MÓDULO, DE
200 KN. CONSIDERE QUE A TENSÃO NORMAL ADMISSÍVEL SEJA DE 200 MPA E
O FATOR DE SEGURANÇA UTILIZADO SEJA 2. DETERMINE O MENOR LADO DA
SEÇÃO RETA.
A) 38,5 mm
B) 44,7 mm
C) 48,6 mm
D) 56,4 mm
E) 62,8 mm
4. (IBFC ‒ 2013 ‒ PC-RJ ‒ PERITO CRIMINAL ‒ ENGENHARIA CIVIL) FOI
VERIFICADO QUE A SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR DE UMA VIGA NÃO
RESISTE À TENSÃO DE CISALHAMENTO ESPERADA. SABE-SE QUE A TENSÃO
DE RUPTURA DO MATERIAL AO CISALHAMENTO É IGUAL A 80 MPA E O FATOR
DE SEGURANÇA FS = 2. SEM ALTERAR A ALTURA DA VIGA (H = 50
CENTÍMETROS) E UTILIZANDO-SE SOMENTE OS CONHECIMENTOS DE
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS, É POSSÍVEL CALCULAR A LARGURA MÍNIMA
ADMISSÍVEL (B) DE MODO QUE A VIGA RESISTA A UMA FORÇA DE
CISALHAMENTO DE V = 5.000 KN. ESSE VALOR, EM CENTÍMETROS, É:
A) b = 0,25
B) b = 2,50
C) b = 6,25
D) b = 25,00
E) b = 62,50
Processing math: 100%
5. (FCC ‒ 2016 ‒ COPERGÁS ‒ PE ‒ TÉCNICO OPERACIONAL MECÂNICO)
CONSIDERE A FIGURA ABAIXO.
A JUNTA COM UM PINO FOI SUBMETIDA A UMA FORÇA EXTERNA (Q) DE 49 KN.
CONSIDERANDO A TENSÃO ADMISSÍVEL DE 50 MPA E ADMITINDO-SE A
DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NAS SEÇÕES, O
VALOR MÍNIMO DO DIÂMETRO (D) DO PINO SOLICITADO AO CISALHAMENTO
DEVE SER:
A) 25 mm
B) 12,5 mm
C) 52,0 mm
D) 50,0 mm
E) 8,0 mm
6. (PAQTCPB ‒ 2010 ‒ PREFEITURA DE PATOS ‒ PB ‒ ENGENHEIRO CIVIL) NUM
TESTE DE ADERÊNCIA, UMA BARRA DE AÇO DE 12,5 MM DE DIÂMETRO (D) É
MERGULHADA 30 CM (L) NUM BLOCO DE CONCRETO E SUBMETIDA, APÓS A
CURA, A UMA FORÇA DE TRAÇÃO (P) DE 18 KN EM SUA EXTREMIDADE,
CONFORME A FIGURA ABAIXO. ASSUMIR QUE A TENSÃO DE CISALHAMENTO
ENTRE O AÇO E O CONCRETO ESTÁ UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA AO
LONGO DO COMPRIMENTO L. NESTAS CONDIÇÕES, A TENSÃO DE
CISALHAMENTO ENTRE O AÇO E O CONCRETO SERÁ DE
APROXIMADAMENTE:
Processing math: 100%
A) 1,15 MPa
B) 1,53 MPa
C) 2,29 MPa
D) 3,27 MPa
E) 4,19 MPa
GABARITO
1. Suponha que a tensão normal admissível de um material seja 300 MPa. O projeto é tal que o
fator de segurança a ser utilizado é igual a 1,5. Qual o valor de tensão normal de trabalho?
A alternativa "C " está correta.
O fator de segurança é dado pela equação 9, ou seja, F. S. =
σadmissível
σtrabalho
. O enunciado do problema
apresenta os valores da tensão admissível e do fator de segurança. Assim, substituindo esses valores
na expressão do F.S., tem-se:
1, 5 =
300
σtrabalho
→ σtrabalho = 200 MPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Seja uma estrutura em que parte dela é formada por uma junta entre duas placas metálicas de
aço soldadas, conforme a figura a seguir.
Processing math: 100%
Suponha que a solda que une as duas placas resista a uma tensão cisalhante máxima de 150
MPa. Considere que a área comum tem 300 mm2. Qual a força máxima F que pode ser aplicada à
junta?
A alternativa "D " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
DETERMINAÇÃO DE FORÇA MÁXIMA A SER
APLICADA EM UMA JUNTA EM CISALHAMENTO
SIMPLES
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Found
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3. Considere uma barra de seção reta quadrada que faça parte de uma estrutura e estejasujeita a
uma força axial, em módulo, de 200 kN. Considere que a tensão normal admissível seja de 200
MPa e o fator de segurança utilizado seja 2. Determine o menor lado da seção reta.
A alternativa "B " está correta.
Inicialmente, como a força F = 200 kN, seu módulo será igual a 200.000 N. O fator de segurança é dado
pela equação 9, ou seja, F. S. =
σadmissível
σtrabalho
. Como o fator de segurança é 2, a tensão de trabalho será
igual a 
100 MPa. A seção reta é um quadrado de lado l, logo a área será dada por A = l2. Sendo a força axial, a
tensão é normal, cuja expressão é dada por 
Fnormal
Área . Substituindo os valores para a tensão de trabalho, a
força normal F, a expressão da área do quadrado e lembrando que 1 MPa equivale a 1 N/mm2, tem-se:
Processing math: 100%
σmédia =
Fnormal
Área → 100 = 
200.000
l2
→ l2 = 2000 → l = 44,7 mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. (IBFC ‒ 2013 ‒ PC-RJ ‒ Perito Criminal ‒ Engenharia Civil) Foi verificado que a seção
transversal retangular de uma viga não resiste à tensão de cisalhamento esperada. Sabe-se que a
tensão de ruptura do material ao cisalhamento é igual a 80 MPa e o fator de segurança FS = 2.
Sem alterar a altura da viga (h = 50 centímetros) e utilizando-se somente os conhecimentos de
resistência dos materiais, é possível calcular a largura mínima admissível (b) de modo que a viga
resista a uma força de cisalhamento de V = 5.000 kN. Esse valor, em centímetros, é:
A alternativa "D " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO RETA DE UMA
BARRA SUJEITA A CISALHAMENTO SIMPLES
Erro HTTP 404.0 - Not Found
O recurso que você está
procurando foi removido, teve o
seu nome alterado ou está
temporariamente indisponível.
5. (FCC ‒ 2016 ‒ Copergás ‒ PE ‒ Técnico Operacional Mecânico) Considere a figura abaixo.
A junta com um pino foi submetida a uma força externa (Q) de 49 kN. Considerando a tensão
admissível de 50 MPa e admitindo-se a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento nas
seções, o valor mínimo do diâmetro (d) do pino solicitado ao cisalhamento deve ser:
A alternativa "A " está correta.
Processing math: 100%
O acoplamento mostrado na figura do exercício, trata-se de um caso típico de cisalhamento duplo.
Assim, na expressão para a determinação da tensão média utiliza-se a metade do valor da força
atuante. Nesse caso, 24,5 kN ou ainda 24.500 N. Substituindo os valores apresentados e lembrando que
1 MPa = 1 N/mm2, tem-se:
τmédia =
Ftangente
Área → Área =
24.500
50 = 490 mm
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o pino apresenta seção circular, sua área é dada por π. R2. Igualando-se o valor encontrado para
a área, tem-se:
π. R2 = 490 → R2 =
490
π → R =
490
π = 12,5 mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, o diâmetro (2R) vale 25 mm.
6. (PaqTcPB ‒ 2010 ‒ Prefeitura de Patos ‒ PB ‒ Engenheiro Civil) Num teste de aderência, uma
barra de aço de 12,5 mm de diâmetro (d) é mergulhada 30 cm (L) num bloco de concreto e
submetida, após a cura, a uma força de tração (P) de 18 kN em sua extremidade, conforme a
figura abaixo. Assumir que a tensão de cisalhamento entre o aço e o concreto está
uniformemente distribuída ao longo do comprimento L. Nestas condições, a tensão de
cisalhamento entre o aço e o concreto será de aproximadamente:
A alternativa "B " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
√
Processing math: 100%
TESTE DE ADERÊNCIA ENTRE O AÇO E O
CONCRETO
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Found
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TEORIA NA PRÁTICA
Um estagiário de uma empresa de projetos mecânicos irá ajudar a equipe de um novo projeto. O
sistema possui uma série de acoplamentos com cisalhamentos duplos que são presos por rebites e que
estão carregados de formas distintas. Sua função é dimensionar os diâmetros mínimos para os rebites.
O engenheiro, sabendo que é o primeiro dia do aluno estagiário, pede que ele faça uma questão teórica
para avaliar seus conhecimentos a respeito do assunto que necessitará dominar para dimensionar os
rebites. A questão escolhida é a seguinte:
(FGV ‒ 2016 ‒ SEE-PE ‒ Professor de Mecatrônica – adaptada): a figura a seguir apresenta um
conjunto de placas unidas por um rebite, sujeitas a uma força F de 22,5 kN.
 
(Fonte: o Autor)
Considerando que o rebite a ser empregado deva ser capaz de suportar uma tensão de cisalhamento de
100 MPa, e adotando um fator de segurança igual a 2, determine o menor diâmetro possível do rebite,
em mm.
O aluno leu a questão e percebeu vários aspectos que já havia aprendido em sua faculdade: fator de
segurança, cisalhamento duplo, acoplamentos simples etc. Inicialmente, ele percebendo ser um
cisalhamento duplo, lembrou que o esforço cortante nas seções internas do rebite será dado por F/2, ou
seja, 22,5/2 = 11,25 kN (11.250 N). Depois, pensou em como utilizar o fator de segurança FS (ou
Processing math: 100%
coeficiente de segurança). A partir da definição de F.S., dada pela expressão F. S. =
τadmissível
τtrabalho
,
determinou a tensão de trabalho, ou seja, 50 MPa.
Como os rebites são comprados a partir dos seus diâmetros, em milímetros, resolveu utilizar uma
expressão matemática que apresentasse o valor desses em milímetros, sem necessidade de conversão.
Dessa forma, relembrou de suas aulas de Mecânica dos Sólidos, que é verdadeira a relação de que 1
MPa = 1 N/mm2. Por fim, escreveu a expressão que determina a área de um círculo em função de seu
diâmetro D, isto é, A =
π . D2
4 . Com todas as informações que necessitava e nas unidades adequadas,
substituiu os valores na expressão a seguir e determinou a área mínima de cada rebite:
τmédia =
Ftangente
Área → Área =
11.250
50 = 225 mm
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando-se o valor encontrado para a área dos rebites à expressão da área do círculo em função do
diâmetro D, tem-se:
225 =
π . D2
4 → 4 . 225 = π . D
2 →
4 . 225
π = D
2 → D = 
900
π = 17 mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (CESGRANRIO ‒ 2014 ‒ PETROBRAS ‒ TÉCNICO(A) DE MANUTENÇÃO
JÚNIOR ‒ MECÂNICA) UMA BARRA DE AÇO DEVE SER PROJETADA PARA
SUPORTAR UMA CARGA DE TRAÇÃO COM UM FATOR DE SEGURANÇA FS. O
VALOR DA TENSÃO DE PROJETO DA BARRA SERÁ DETERMINADO:
A) Multiplicando-se a tensão de escoamento do material por FS.
B) Multiplicando-se a tensão de ruptura do material por FS.
C) Dividindo-se a deformação referente ao limite de resistência do material por FS.
D) Dividindo-se a deformação de ruptura do material por FS.
E) Dividindo-se a tensão de escoamento do material por FS.
√
Processing math: 100%
2. (CESGRANRIO ‒ 2011 ‒ PETROBRAS ‒ TÉCNICO DE PROJETOS,
CONSTRUÇÃO E MONTAGEM JÚNIOR ‒ ESTRUTURAS NAVAIS ‒ 2011)
CONSIDERE A JUNTA REBITADA SUBMETIDA A UMA CARGA F APLICADA,
CONFORME A FIGURA ABAIXO.
SE OS REBITES POSSUEM SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR DE DIÂMETRO
IGUAL A D, O VALOR DA TENSÃO DE CISALHAMENTO VALE:
A) 
F
4 . π . D2
B) 
F
2 . π . D2
C) 
F
π . D2
D) 
2 . F
π . D2
E) 
4 . F
π . D2
GABARITO
1. (CESGRANRIO ‒ 2014 ‒ Petrobras ‒ Técnico(a) de Manutenção Júnior ‒ Mecânica) Uma barra
de aço deve ser projetada para suportar uma carga de tração com um fator de segurança FS. O
valor da tensão de projeto da barra será determinado:
A alternativa "E " está correta.
 
O fator de segurança (FS) é uma grandeza adimensional calculada pela razão entre o limite de
resistência do material e a resistência adotada para o trabalho. Adotando-se como limite a região
elástica, a tensão admissível é a tensão de escoamento. Observe a equação a seguir:
Processing math: 100%
F. S =
σadmissível
σtrabalho
=
σescoamento
σtrabalho
→ σtrabalho =
σescoamento
F . S
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
2. (CESGRANRIO ‒ 2011 ‒ Petrobras ‒ Técnico de Projetos, Construção e Montagem Júnior ‒
Estruturas Navais ‒ 2011) Considere a junta rebitada submetida a uma carga F aplicada,
conforme a figura abaixo.
Se os rebites possuem seção transversal circular de diâmetro igual a D, o valor da tensão de
cisalhamento vale:
A alternativa "C " está correta.
 
A situação apresentada na questão equivale a um cisalhamento simples com 4 rebites. Considerando a
simetria do arranjo geométrico, cada rebite suportará uma força cortante igual a F/4. A área do círculo
em função do seu diâmetro D é dada por π.D2/4. Substituindo na expressão da tensão média de
cisalhamento, tem-se:
τmédia =
Ftangente
Área =
F
4
π . D2
4
=
F
π . D2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Calcular as deformações normal e de cisalhamento
Processing math: 100%
INTRODUÇÃO
Neste momento, refletiremos sobre a deformação de um corpo sob ação de carregamentos particulares.
A primeira diferença que surge é que os corpos não são mais considerados sem deformação (rígidos).
Ainda que pequenas, as deformações na engenharia ocorrem.
Inicialmente, é importante fazer uma introdução aos tipos de deformações a que um corpo pode ficar
sujeito.
 EXEMPLO
Considere uma mola (corpo elástico). Suponhamos que a mola tenha comprimento normal (sem ação de
carga) dado por L0. Ao se aplicar uma força F, a mola tem seu comprimento aumentado em ΔL. Cessada a
causa da deformação (a força), a mola retorna ao seu comprimento original.
Essa deformação temporária é denominada de elástica. Caso tivesse sido cessada a ação da força e a
mola não retornasse ao seu comprimento inicial L0, haveria ocorrido uma deformação permanente,
também denominada plástica.
Dependendo do campo da Engenharia, o interesse é que a estrutura se mantenha apenas na região
elástica.
Laje
Quando várias pessoas ocupam uma laje, há uma deformação, mas que deixa de existir na ausência
delas.

Porta de automóvel
A estampagem de uma porta de um automóvel é feita a partir de uma fina chapa plana de aço. Após a
prensa atuar, a porta toma a forma desejada pelas deformações impostas.
Não é desejável que essas deformações sejam temporárias, e sim permanentes. Portanto, nesse caso,
a Engenharia atua no campo plástico.
Macroscopicamente, o efeito da deformação é, por exemplo, um aumento no comprimento em dada
direção. Microscopicamente, o arranjo cristalino é formado por átomos que estão separados a uma
distância natural (menor nível de energia do sistema).
Processing math: 100%
Quando externamente ocorre um carregamento, cada par de átomos tem essa distância natural
alterada. A soma desses deslocamentos microscópicos leva ao resultado macroscópico, à variação nas
dimensões do corpo.
DEFORMAÇÃO MÉDIA NORMAL
Suponha uma barra homogênea de aço com seção reta A0 constante e comprimento L0. Um par de
forças axiais (F) perpendiculares à seção reta A0 é aplicado à barra, mantendo-a em equilíbrio. Como foi
visto nos módulos anteriores, associa-se uma tensão média normal. Em termos microscópicos, os
átomos são retirados de suas posições de equilíbrio no arranjo cristalino, afastando-se ou aproximando-
se, dependendo de a tensão ser trativa ou compressiva. Macroscopicamente, percebe-se uma variação
no comprimento da barra (ΔL). A figura 10 apresenta o que foi descrito para a situação de um aumento
no comprimento.
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 10 - Alongamento de uma barra carregada com uma força uniaxial.
A razão entre a variação do comprimento (ΔL) e o comprimento inicial da barra (L0), é definido como a
deformação normal média (εm). A equação 12 mostra a expressão matemática da deformação normal
média descrita anteriormente.
εmédia =
∆ L
L0
 (Equação 12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da equação 12, é possível inferir que a deformação normal é um número adimensional (sem
unidade), uma vez que é a razão entre duas grandezas com a mesma unidade. Em termos de
apresentação, a deformação normal média também pode ser apresentada percentualmente.
Processing math: 100%
 EXEMPLO
εm = 0,001 ou, multiplicando por 100%, εm = 0,1%. Outra possibilidade é utilizar as unidades da variação de
comprimento e do comprimento inicial. No exemplo anterior, εm = 0,001 m/m.
Tão importante quanto saber determinar a deformação normal média, é saber interpretar o seu
resultado. Utilizando o último exemplo, isto é, εm = 0,001 m/m, qual o significado prático desse número?
O que essa medida representa?
A partir da figura 10 e do valor de εm pode-se concluir que, em média, nas condições de carregamento
apresentadas, cada um metro da barra tem uma variação em seu comprimento de 0,001 m, ou ainda 1
mm. A interpretação quando a deformação normal média é apresentada percentualmente é análoga.
Para εm = 0,1%, significa que a variação no comprimento é, em média, 0,1% do valor inicial. Supondo
um metro o valor inicial, 0,1% de 1 m equivale a 0,001 m. Neste ponto do estudo, cabe ressaltar que,
geralmente, os valores de deformação normal na Engenharia são pequenos. Dessa forma, é comum
utilizar o submúltiplo do m, o μm, que equivale a 
10-6 m. Por exemplo, εm = 0,00002 m/m equivale a εm = 20 μm/m.
 ATENÇÃO
Deformações normais positivas indicam que houve um aumento nas dimensões do corpo na direção de
estudo. Para valores negativos da deformação normal, a interpretação é uma contração na direção de
estudo.
DEFORMAÇÃO MÉDIA CISALHANTE
De maneira análoga à deformação normal, existe a deformação cisalhante. No primeiro caso, como foi
visto no item anterior, a deformação normal acarreta numa variação na dimensão de um corpo. Na
deformação cisalhante, a variação é angular, portanto, na forma dos corpos. Para o perfeito
entendimento dessa deformação, suponha um volume infinitesimal de estudo do corpo (um
paralelepípedo, por exemplo, de dimensões infinitesimais dx, dy e dz). Sejam duas dessas arestas
Processing math: 100%
perpendiculares quaisquer do paralelepípedo infinitesimal de estudo, conforme a figura 11 e os eixos x, y
e z.
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 11 - Elemento infinitesimal de estudo da deformação angular.
Sob a ação de um par de tensões cisalhantes nas faces superior e inferior do elemento de estudo, a
tendência é que as arestas, inicialmente perpendiculares (900 =
π
2 rad) passarão a formar um ângulo,
em radianos, θ. A figura 12 mostra a descrição apresentada. Perceba a mudança na forma do volume
infinitesimal de estudo.
 
(Fonte: o Autor)
 Figura 12 - Volume infinitesimal deformado pela ação de tensões cisalhantes.
Observe que as arestas que eram perpendiculares, sob a ação da tensão de cisalhamento, passam a
fazer um ângulo θ ≠
π
2 . Também é possível observar na figura 12 o ângulo γyx. A deformação média de
cisalhamento é dada pela equação 13.
γyx = 
π
2 - θ (Equação 13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que os índices utilizados para a deformação média dependem da orientação das retas iniciais,
antes da deformação. A partir da equação 13 é possível inferir que: para valores de θ maiores que 
π
2
Processing math: 100%
rad, a deformação cisalhante γij será negativa. Ao contrário, para valores de θ menores que 
π
2 rad, a
deformação cisalhante γij será positiva.
MÃO NA MASSA
1. (FGV ‒ 2010 ‒ BADESC ‒ ENGENHEIRO) A DEFORMAÇÃO PERMANENTE DE
UM MATERIAL É DENOMINADA:
A) Deformação elástica
B) Deformação plástica
C) Deformação resiliente
D) Deformação transiente
E) Deformação uniaxial.
2. (FCC ‒ 2010 ‒TRT ‒ 8ª REGIÃO (PA E AP) - ANALISTA JUDICIÁRIO ‒
ENGENHARIA CIVIL) PARA UMA BARRA DE SEÇÃO CIRCULAR, COM 3 METROS
DE COMPRIMENTO, TRACIONADA AXIALMENTE, FOI MEDIDA A DEFORMAÇÃO
AXIAL DE 0,003 MM/MM, POR UM EXTENSÔMETRO COLADO NA BARRA. O
ALONGAMENTO TOTAL DA BARRA ESPERADO,EM MM, É:
A) 9,0
B) 7,5
C) 6,0
D) 3,0
E) 1,5
3. (CESGRANRIO ‒ 2011 ‒ PETROBRÁS ‒ ENGENHEIRO CIVIL JÚNIOR) EM
ENSAIOS DE TRAÇÃO REALIZADOS COM TRÊS MATERIAIS, FORAM
ENCONTRADOS OS SEGUINTES VALORES DE DEFORMAÇÃO
Processing math: 100%
CORRESPONDENTES AOS RESPECTIVOS COMPRIMENTOS INICIAIS (L): 
 
MATERIAL L (M) ∂ (M)
M1 0, 500 100 × 10 - 6
M2 0, 400 120 × 10 - 6
M3 0, 300 105 × 10 - 6
AO SE ANALISAR A DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL (E) DE CADA
MATERIAL, TEM-SE:
A) ε1 > ε2 > ε3
B) ε1 > ε3 > ε2
C) ε2 > ε1 > ε3
D) ε2 > ε3 > ε1
E) ε3 > ε2 > ε1
4. CONSIDERE A SEÇÃO ABAIXO EM QUE O QUADRADO TEM LADO DE 100
MM. SOB AÇÃO DE UM PAR DE TENSÕES DE CISALHAMENTO, A SEÇÃO
QUADRADA TRANSFORMA-SE EM UM PARALELOGRAMO. AS MEDIDAS DA
DEFORMAÇÃO SÃO MOSTRADAS NA FIGURA, TAMBÉM EM MILÍMETROS. EM
MÓDULO, A DEFORMAÇÃO MÉDIA CISALHANTE ΓYX TEM VALOR, EM
RADIANOS, IGUAL A:
Processing math: 100%
A) 0,051
B) 0,065
C) 0,070
D) 0,082
E) 0,100
5. CONSIDERE UMA CHAPA RETANGULAR ABCD DE BASE IGUAL A 20 MM E
ALTURA 30 MM. ANTES DE SER CARREGADA, AS ARESTAS AB E AD FORMAM
UM ÂNGULO RETO, CONFORME A FIGURA. APÓS O CARREGAMENTO, ESSAS
MESMAS ARESTAS PASSAM A FORMAR UM ÂNGULO DE 920. DETERMINE A
DEFORMAÇÃO MÉDIA CISALHANTE, EM RADIANOS, SOFRIDA POR ESSA
CHAPA NO VÉRTICE A. OBSERVE A FIGURA QUE DESCREVE A SITUAÇÃO.
A) 0,002/positiva
B) 0,002/negativa
Processing math: 100%
C) 0,035/positiva
D) 0,035/negativa
E) 0,070/negativa
6. CONSIDERE UMA VIGA RÍGIDA COM PERFIL I E DE COMPRIMENTO 5M. ELA
ESTÁ PRESA A UMA PAREDE POR UM APOIO DE SEGUNDO GÊNERO E, NA
EXTREMIDADE LIVRE, POR UM CABO DE AÇO DE 1,2M DE COMPRIMENTO.
SEM NENHUM CARREGAMENTO, A VIGA ENCONTRA-SE NA HORIZONTAL E O
CABO DE AÇO NA VERTICAL. A SER CARREGADA, ELA GIRA NO SENTIDO
HORÁRIO O EQUIVALENTE A 0,20. DETERMINE A DEFORMAÇÃO NORMAL
MÉDIA NO CABO DE AÇO EM TERMOS PERCENTUAIS.
A) 2,45
B) 1,86
C) 1,45
D) 0,97
E) 0,53
GABARITO
1. (FGV ‒ 2010 ‒ BADESC ‒ Engenheiro) A deformação permanente de um material é
denominada:Processing math: 100%
A alternativa "B " está correta.
Quando um corpo é submetido à ação de uma força, ele sofre uma variação em suas dimensões. Duas
possibilidades são possíveis para essa deformação: quando ocorre uma deformação temporária, esta
receberá o nome de elástica e para deformações permanentes, a deformação é plástica.
2. (FCC ‒ 2010 ‒TRT ‒ 8ª Região (PA e AP) - Analista Judiciário ‒ Engenharia Civil) Para uma
barra de seção circular, com 3 metros de comprimento, tracionada axialmente, foi medida a
deformação axial de 0,003 mm/mm, por um extensômetro colado na barra. O alongamento total
da barra esperado, em mm, é:
A alternativa "A " está correta.
A partir da definição deformação normal média, tem-se: εmédia =
 ∆ L
L0
. Para os valores apresentados (ε =
0,003 e L = 3 m = 3.000 mm), substituindo na expressão da deformação média, tem-se:
0,003 =
 ∆ L
3.000 → ∆ L = 9 mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. (CESGRANRIO ‒ 2011 ‒ Petrobrás ‒ Engenheiro Civil Júnior) Em ensaios de tração realizados
com três materiais, foram encontrados os seguintes valores de deformação correspondentes aos
respectivos comprimentos iniciais (L): 
 
Material L (m) ∂ (m)
M1 0, 500 100 × 10 - 6
M2 0, 400 120 × 10 - 6
M3 0, 300 105 × 10 - 6
Ao se analisar a deformação específica normal (e) de cada material, tem-se:
A alternativa "E " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
DETERMINAÇÃO DA DEFORMAÇÃO MÉDIA NORMAL
Processing math: 100%
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4. Considere a seção abaixo em que o quadrado tem lado de 100 mm. Sob ação de um par de
tensões de cisalhamento, a seção quadrada transforma-se em um paralelogramo. As medidas da
deformação são mostradas na figura, também em milímetros. Em módulo, a deformação média
cisalhante γyx tem valor, em radianos, igual a:
A alternativa "A " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
DETERMINAÇÃO DA DEFORMAÇÃO MÉDIA
CISALHANTE
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O recurso que você está
procurando foi removido, teve o
seu nome alterado ou está
temporariamente indisponível.
5. Considere uma chapa retangular ABCD de base igual a 20 mm e altura 30 mm. Antes de ser
carregada, as arestas AB e AD formam um ângulo reto, conforme a figura. Após o carregamento,
essas mesmas arestas passam a formar um ângulo de 920. Determine a deformação média
Processing math: 100%
cisalhante, em radianos, sofrida por essa chapa no vértice A. Observe a figura que descreve a
situação.
A alternativa "D " está correta.
A definição de deformação média cisalhante é dada, em radianos, pela expressão a seguir:
γyx =
π
2 - θ (*)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando está em graus, a relação para determinação da deformação média cisalhante é análoga, ou
seja:
γyx =
π
2 - θ' (**)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nas expressões (*) e (**) θ e θ' são os novos ângulos formados pelas arestas que eram perpendiculares,
antes da deformação que são apresentadas em radianos ou graus dependendo da relação matemática
utilizada. No exercício, os ângulos estão em graus, então será utilizada a equação (**). Substituindo o
ângulo após a atuação das tensões cisalhantes na expressão (**), tem-se: γyx = 90
0 - 920 = - 20. Dessa
forma, a deformação média cisalhante é negativa. Utilizando uma regra de três simples e direta a partir
da igualdade 1800 = π rad, tem-se:
1800 .............. π rad 
 
-20 .............. γyx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
180. γyx = - 2 · π → γyx =
- 2 · π
180 = - 0, 035 rad
Processing math: 100%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere uma viga rígida com perfil I e de comprimento 5m. Ela está presa a uma parede por
um apoio de segundo gênero e, na extremidade livre, por um cabo de aço de 1,2m de
comprimento. Sem nenhum carregamento, a viga encontra-se na horizontal e o cabo de aço na
vertical. A ser carregada, ela gira no sentido horário o equivalente a 0,20. Determine a deformação
normal média no cabo de aço em termos percentuais.
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, será desenhada a situação final da barra após o carregamento.
No triângulo retângulo ABB’, o ângulo  é igual a 0,20. Em radianos, tem-se:
1800 .............. π rad 
 
Processing math: 100%
0,20 .............. θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
180. θ = 0, 2. π → θ =
0,2 . π
180 = 0,003489rad
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para ângulo com pequenos valores, em radianos, é verdade que tg θ ≈ θ. Dessa forma:
θ = tgθ = 0,003489 =
BB'
AB → 0,003489 =
BB'
5000 mm → BB
' = 17,44mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o cabo de aço, a partir da definição de deformação normal média, é possível escrever que:
εmédia =
 ∆ L
L0
→ εmédia =
17,44mm
1200mm → εmédia = 0,0145 = 1,45%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Suponha que um estagiário tenha ficado incumbido de determinada atividade no projeto de uma
estrutura metálica. A situação que foi apresentada para ele é a seguinte: uma barra de aço AB de
comprimento 5 m e seção em forma de I tem peso desprezível. Ela apresenta-se vinculada em um apoio
de segundo gênero A e a um cabo de aço de comprimento 2 m preso de maneira que ele fique na
vertical. Na situação sem carregamento, a viga permanece em equilíbrio na horizontal. Contudo, uma
carga concentrada de 
20 kN será aplicada na extremidade livre B da viga, o que fará com que ela se desloque verticalmente.
Deve-se evitar que tal deslocamentoseja superior a 5 mm para que a viga AB não apoie em outra viga
da estrutura e transfira parte da carga que suporta. O desenho abaixo apresenta um croqui da descrição
quando a viga está descarregada. O objetivo é que o aluno determine a deformação normal média do
cabo de aço.
Processing math: 100%
 
(Fonte: o Autor)
Quando a força F de 20 kN é aplicada na extremidade da viga I, B sofre um deslocamento ΔB = 5 mm,
sem tocar a viga que se encontra abaixo. A figura a seguir mostra esta situação.
 
(Fonte: o Autor)
Para que o aluno determine a deformação média normal do cabo de aço, ele utilizou como premissa o
fato de os deslocamentos da extremidade B e do cabo de aço serem pequenos e, portanto, poderem ser
aproximados a segmentos de retas. Ademais, utilizará a expressão para a determinação da deformação
normal média, isto é, εmédia =
∆ L
L0
. Ele percebeu que Lo é conhecido, pois se trata do comprimento inicial
do cabo de aço (2 m). No entanto, não conhece ainda ΔL. Relembrando suas aulas de Geometria
(semelhança de triângulos), propôs o seguinte modelo matemático:
Processing math: 100%
 
(Fonte: o Autor)
Os triângulos ACC’ e ABB’ são semelhantes. Assim, foi possível que o aluno escrevesse:
CC'
BB' =
AC
AB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores, o aluno determinou o deslocamento do ponto C (ΔC).
∆ C
5 mm =
3 m
5 m → ∆ C = 3mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse ponto da solução, o aluno pode determinar a deformação normal média sofrida pelo cabo de aço
quando a carga concentrada está atuando.
εmédia =
∆ L
L0
=
3 mm
2 .000 mm = 1, 5.10
- 3 = 0, 15%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assista ao vídeo para entender melhor.
APLICAÇÃO DE UM CASO CONCRETO DE CÁLCULO
DA DEFORMAÇÃO NORMAL MÁXIMA
Processing math: 100%
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. NO ESTUDO DAS DEFORMAÇÕES DE UM CORPO, DOIS TIPOS SÃO
APRESENTADOS: A DEFORMAÇÃO NORMAL E A DEFORMAÇÃO CISALHANTE.
A RESPEITO DA DEFORMAÇÃO MÉDIA CISALHANTE SÃO FEITAS AS
SEGUINTES AFIRMATIVAS: 
 
I – QUANDO UM CORPO ESTÁ SUJEITO À TENSÃO POR CISALHAMENTO, A
DEFORMAÇÃO CORRESPONDENTE É A DE CISALHAMENTO QUE PROVOCA
UMA VARIAÇÃO ANGULAR; 
 
II – AS DEFORMAÇÕES MÉDIAS CISALHANTES SEMPRE APRESENTAM
VALORES POSITIVOS; 
 
III – A EXPRESSÃO QUE DETERMINA A DEFORMAÇÃO MÉDIA CISALHANTE NO
PLANO XY É DADA POR ΓYX =
Π
2 - Θ, SENDO O ÂNGULO Θ EM RADIANOS. 
 
DAS AFIRMATIVAS ACIMA, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) Apenas a afirmativa I é verdadeira.
B) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
C) Apenas as afirmativas I e III são verdadeiras.
D) Apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
E) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Processing math: 100%
2. (CESGRANRIO - 2018 ‒ TRANSPETRO ‒ ENGENHEIRO JÚNIOR ‒ CIVIL)
CONSIDERE UM CORPO DE PROVA PRISMÁTICO SUBMETIDO A UMA FORÇA
DE TRAÇÃO NO SEU EIXO LONGITUDINAL. TENDO O COMPRIMENTO INICIAL
DE 
0,45 M, ESSE CORPO DE PROVA APRESENTA UMA DEFORMAÇÃO AXIAL IGUAL
A 8 X 10-4 MM/MM. QUAL FOI, EM MM, O ALONGAMENTO AXIAL DESSE
CORPO?
A) 0, 18 × 10 - 1
B) 0, 26 × 10 - 2
C) 36, 0 × 10 - 2
D) 5, 63 × 10 - 3
E) 8, 45 × 10 - 4
GABARITO
1. No estudo das deformações de um corpo, dois tipos são apresentados: a deformação normal e
a deformação cisalhante. A respeito da deformação média cisalhante são feitas as seguintes
afirmativas: 
 
I – Quando um corpo está sujeito à tensão por cisalhamento, a deformação correspondente é a
de cisalhamento que provoca uma variação angular; 
 
II – As deformações médias cisalhantes sempre apresentam valores positivos; 
 
III – A expressão que determina a deformação média cisalhante no plano xy é dada por γyx =
π
2 - θ
, sendo o ângulo θ em radianos. 
 
Das afirmativas acima, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
A deformação cisalhante está associada à deformação angular. Por exemplo, uma seção com a forma
de quadrado transforma-se em uma seção com a forma de um paralelogramo. O ângulo θ pode ser
menor ou maior que 
π
2 radianos. Sendo assim, a deformação média cisalhante pode assumir valores
Processing math: 100%
positivos e negativos, uma vez que a relação matemática para a determinação da deformação cisalhante
é dada por γyx =
π
2 - θ.
2. (CESGRANRIO - 2018 ‒ Transpetro ‒ Engenheiro Júnior ‒ Civil) Considere um corpo de prova
prismático submetido a uma força de tração no seu eixo longitudinal. Tendo o comprimento
inicial de 
0,45 m, esse corpo de prova apresenta uma deformação axial igual a 8 x 10-4 mm/mm. Qual foi,
em mm, o alongamento axial desse corpo?
A alternativa "C " está correta.
 
Considerando a definição de deformação normal média, ou seja, εmédia =
 ∆ L
L0
. Para os valores
apresentados (ε = 8 x 10-4 mm/mm e L = 0,45 m = 450 mm), substituindo na expressão da deformação
média tem-se:
εmédia =
∆ L
L0
→ 8 × 10 - 4 =
∆ L
450 → ∆ L = 450 × 8 × 10
- 4 → ∆ L = 0,36 mm = 36.10 - 2 mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, foram abordados os conceitos de tensão e de deformação. Em ambos, houve a divisão em
normal e cisalhante. Inicialmente, foi apresentada a definição de tensão normal média, valor associado a
uma carga concentrada atuando perpendicularmente à seção.
De maneira análoga, analisamos o conceito de tensão de cisalhamento, que é a razão entre a força
tangencial à área (esforço cortante) e esta. Dois cisalhamentos foram apresentados: o simples e o
duplo. Pequenas estruturas foram dimensionadas, a partir dos conceitos anteriores e da introdução do
conceito de fator de segurança (FS).
No último módulo, apresentamos as deformações ocorridas em estruturas devido às tensões. Dessa
forma, Foram apresentadas a diferença conceitual entre as deformações normais e cisalhantes e,
também, as expressões matemáticas para determiná-las.
Processing math: 100%
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. J. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo, SP: Pearson, 1995.
CALLISTER, W. D.; RETHWISCH, D. G. Ciência e Engenharia de Materiais ‒ Uma Introdução. 8. ed.
Rio de Janeiro, RJ: LTC, 2016.
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo, SP: Pearson, 2010.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
Sobre tensões e projetos de acoplamento simples (capítulo 1), Resistência dos Materiais, de R. C.
Hibbeler;
Sobre deformações (capítulo 2), Resistência dos Materiais, de R. C. Hibbeler.
CONTEUDISTA
Julio Cesar José Rodrigues JuniorProcessing math: 100%
 CURRÍCULO LATTES
Processing math: 100%
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