Livro Estatistica para Concurso Prof. Anselmo Alves

Prévia do material em texto

Top 10 Assuntos de
Estatística
para Concurso
Anselmo Alves
Conteúdo
Conteúdo 2
I Estatística Descritiva 8
1 Coe�ciente de Assimetria de Pearson 9
2 Medidas de Posição e Dispersão 16
3 Boxplot 22
2 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
II Probabilidade 26
4 Probabilidade Condicional e Indepen-
dência 27
5 Função de Densidade e Função de Dis-
tribuição 33
6 Distribuições Especiais 38
III Estimação 44
7 Intervalo de Con�ança 45
IV Teste de Hipóteses 50
8 Fundamentos de Teste de Hipóteses 51
3 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
V Análise de Regressão 57
9 Correlação e Regressão 58
VI Amostragem 69
10 Técnicas de Amostragem 70
VII Dicas de Estudos 79
11 Bibliogra�a Indicada 80
12 Aulas Grátis de Estatística 84
4 88
Quem Sou Eu
“Essencialy all models are wrong, but some are
usefull”. (George E.P. Box)
Olá tudo bem? Meu nome é Anselmo Alves1, sou
servidor público e estou aqui para ajudar você a se
preparar para concursos nas áreas de probabilidade
e estatística.
Parabéns por chegar aqui! Demonstra que você
realmente está comprometido com sua aprovação.
1 Estatístico (ENCE/IBGE)
5 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Abaixo você verá uma coletânea das Top Ques-
tões de Estatística para Concurso.
Trata-se dos assuntos mais quentes em concurso
público no que diz respeito a probabilidade e esta-
tística. Tudo resolvido na íntegra e passo a passo
pra você.
Vou mostrar que com um pouquinho de técnica
em provas de probabilidade e estatística você já pode
ir bem longe.
E poque vou fazer isso? Porque eu relamente
quero que você perceba que sua aprovação não de-
pende de sorte.
Estou aqui para pegar na sua mão e lhe conduzir
à aprovação.
Eu con�o em você! Se você con�a em si pode me
convidar para trilhar juntos esse caminho.
Bons estudos!
6 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
estatisticaparaconcurso.com
7 88
https://estatisticaparaconcurso.com
estatisticaparaconcurso.com
Parte I
Estatística Descritiva
8 88
Capítulo 1
Coe�ciente de
Assimetria de Pearson
Esse conhecimento aparece dentro de estatística
descritiva. Envolve reconhecer e avaliar a simetria
de distribuições de frequência ou formato das curvas
de modelos de distribuição de probabilidade.
O referencial é a distribuição normal de probabi-
lidade que é simétrica em torno da média, moda e
9 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
mediana.
Normalmente o concurseiro costuma decorar o
formato das curvas: simétrica, assimétrica à direita
ou assimétrica à esquerda. Veja uma questão envol-
vendo esses conhecimentos.
UFG/CS TAE-UFG/2018 Técnico em Estatística
1. Considere X uma variável aleatória contínua
e assimétrica à esquerda (também conhecida
como assimétrica negativa). Da relação entre
os parâmetros Média (Me), Mediana (Md) e
Moda (Mo) encontra-se:
(A) Me = Md = Mo
(B) Me > Md > Mo
(C) Me < Md < Mo
(D) Me = Md > Mo
10 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Sejam σ o desvio padrão, Me, Md e Mo: média,
mediana e moda.
AP1 =
Me−Mo
σ
AP2 =
3(Me−Md)
σ
Assimetria é negativa:
AP1 < 0 ⇒
Me−Mo
σ
< 0
Como σ > 0 devemos ter
Me−Mo < 0 ⇒ Me < Mo
Segundo Coe�ciente, 3/σ > 0:
AP2 < 0 ⇒
3(Me−Md)
σ
< 0
Me−Md < 0 ⇒ Md > Me
11 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Agora podemos considerar
Me < Mo
Me < Md
Somando-se as desigualdades podemos escrever
2Me < Mo + Md⇒
Mo > 2Me︸︷︷︸
<2Md
−Md
︸ ︷︷ ︸
<Md
Mo > Md
Resumo: Assimetria Negativa: Me < Md < Mo.
A resolução acima, embora bem detalhada não
leva mais que um minuto e meio. Basta saber as
fórmulas dos coe�cientes de assimetria de Pearson.
12 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Você pode dizer que terá de decorar a fórmula,
mas aí não tem jeito. Terá mesmo que decorar, mas
de tanto usar isso se torna natural. Assim como a
fórmula de Bhaskara. Lembra dela?
Pelo mesmo raciocínio, podemos resumir:
i) Simetria: Me = Mo = Md.
ii) Assimetria negativa: Me < Md < Mo.
iii) Assimetria positiva: Mo < Md < Me.
O gabarito da questão 1 é C.
Veja abaixo duas variações da mesma questão:
13 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Analista Legislativo do Senado (FGV/2008)
2. A �gura a seguir ilustra o histograma de uma
distribuição de freqüências. Entre os ternos
de valores a seguir, o único que representa
uma con�guração plausível para os valores
da média, moda e mediana dessa distribuição,
respectivamente, é:
(A) 20, 16 e 17.
(B) 16, 16 e 16.
(C) 20, 17 e 16.
(D) 17, 20 e 16.
(E) 17, 17 e 20.
14 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
TJPA - Analista Judiciário (Vunesp/2015)
3. A �gura abaixo representa o grá�co relativo
a uma distribuição de frequência F para uma
amostra de dados. Seja Me o valor da mé-
dia, Md o valor da mediana e Mo o valor da
moda, então:
(A) Me < Md < Mo
(B) Md < Mo < Me
(C) Mo < Md < Me
(D) Me < Mo < Md
(E) Md < Me < Mo
Gabaritos: 2. A, 3. C
15 88
Capítulo 2
Medidas de Posição e
Dispersão
Esse tipo de questão aparece frequentemente no
contexto da estatística descritiva.
Muito embora exista uma forma elegante e pro-
�ssional de mostrar as propriedades da média e da
variância manipulando somatórios, a maneira mais
rápida de se resolver essas questões é por meio das
16 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
propriedades de valor esperado e de variância no
contexto de probabilidade.
Seja X uma variável aleatória constante e k uma
constante
i. E(X + k) = E(X) + k;
ii. E(kX) = k · E(X);
iii. Var(X + k) = Var(X);
iv. Var(kX) = k2 · Var(X);
v. Dp(kX) = k ·Dp(X);
vi. Cv(kX) = kDp(X)
kE(X) = Cv(X);
vii. VarRel.(k ·X) = k
2·Var(X)
k2·E(X)2 = VarRel.(X)
17 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
TRT 12ª Região - Analista Judiciário (FCC/2013)
4. Uma população é formada por n números
estritamente positivos X1, X2, X3, . . . , Xn.
Com relação à atipicidade e assimetria em um
conjunto de dados e às de�nições e proprie-
dades das medidas de posição e de dispersão,
(A) somando ou subtraindo uma constante
k (k > 0) de todos os elementos da po-
pulação, a nova média aritmética e o
novo desvio padrão não se alteram.
(B) multiplicando por k (k > 0) todos os
elementos da população, a nova média
aritmética �ca multiplicada por k e o
novo desvio padrão também �ca multi-
plicado por k.
(C) multiplicando todos os elementos da po-
pulação por uma mesma constante k
(k > 0), o novo coe�ciente de variação
�ca multiplicado por k.
18 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
(D) somando ou subtraindo uma constante
k (k > 0) de todos os elementos da po-
pulação, tem-se que a nova variância
�ca somada ou subtraída de k2.
(E) considerando que a população é unimo-
dal e veri�cando que o valor da moda
é inferior ao valor da mediana e ainda
que o valor da média aritmética é supe-
rior ao valor da mediana, então a dis-
tribuição da população é assimétrica à
esquerda.
19 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Resolução – Comentários.
(A) E – Embora o desvio padrão não se altere a
média �ca somada da constante k.
(B) C – Veja o item i). Para o desvio padrão
observa-se a variância.
Var(kX) = k2 · Var(X)
Dp(kX) =
√
k2 · Var(X)
Dp(kX) = k ·
√
Var(X) = k · Dp(X)
(C) E – Não se altera:
Cv(kX) = Dp(kX)E(Xk) =
k · Dp(X)
k · E(X) = Cv(X)
(D) E – A variância não se altera.
(E) E – Temos assimetria à direita ou assimetria
positiva.
20 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
lp.estatisticaparaconcurso/probabilidade
Curso: Probabilidade para Concurso
O conteúdo mais completo para a sua base
em probabilidade e estatística. Acesse Agora!
21 88
http://lp.estatisticaparaconcurso.com
lp.estatisticaparaconcurso/probabilidade
Capítulo 3
Boxplot
O boxplot traz informações contidas no resumo de
cinco números: mínimo, 1º,2º e 3º quartis e máximo.
xmin, Q1, Q2, Q3, xmax.
Também é chamado de “caixa de bigodes”. De�ne-se
dois limites para concentração dos dados:
LI = Q1 − 1, 5∆Q e LS = Q3 + 1, 5∆Q,
onde ∆Q = Q3 −Q1, a amplitude interquartílica.
22 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Valores compreendidos entre esseslimites são
conhecidos como valores adjacentes. Valores supe-
riores aos limites são os pontos exteriores. Neste
caso indicados por um asterisco (*).
Os pontos exteriores são associados ao que se
convencionou chamar de valores atípcos ou outliers.
São valores extremos no conjunto de dados.
O boxplot nos dá uma ideia da posição, dispersão,
assimetria, caudas e valores discrepantes. A linha
central representa o segundo quartil (ou mediana).
• Distância ou amplitude interquartílica
∆Q = Q3 −Q1
• LI = Q1 − 1, 5∆Q e LS = Q1 + 1, 5∆Q
23 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
TJPA - Analista Judiciário (Cebraspe/2019)
5. Considerando que o desenho esquemático
(boxplot) antecedente se refere a uma variável
quantitativa X , assinale a opção correta.
A) Metade da distribuição da variável X se
encontra entre os valores 20 e 40.
B) Os valores da variável X que se encon-
tram no intervalo [5; 10] representam
5% da distribuição de X .
C) A mediana de X é igual a 25.
D) O primeiro quartil da distribuição de X
é igual a 10.
E) O intervalo interquartil é igual a 65.
24 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
5. D – Pelo box-plot temos
(A) E – 1/4 dos dados estão entre 20 e 40
que são a mediana e terceiro quartil, res-
pectivamente.
(B) E – 25% dos dados estão entre 5 e 10
que são o mínimo e primeiro quartil, res-
pectivamente.
(C) E – A mediama de X é 20.
(D) C – Q1 = 10 é oprimeiro quartil.
(E) E – O intervalo ou amplitude interquar-
tílica é ∆Q = Q3−Q1 = 40−10 = 30.
25 88
Parte II
Probabilidade
26 88
Capítulo 4
Probabilidade
Condicional e
Independência
A teoria das probabilidades é a base matemática
para as aplicações estatísticas.
Com um papel central dentro do pensamento e
da prática estatística, durante muito tempo a inde-
27 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
pendência foi o princípio dominante e, até hoje, tem
papel relevante nas principais aplicações estatísti-
cas.
Os principais concurso exploram frequentemente
o conceito de independência. Nesse sentido é impor-
tante conhecer o espaço de probabilidades, formado
pelo espaço amostral, uma coleção de eventos e uma
medida de probabilidade associada.
Importante também conhecer operações entre
eventos:
i. A é o complementar de A e indica que o
evento A não ocorre;
ii. (A∩B) indica que os eventosA eB ocorrem
simultaneamente;
iii. (A ∪B) indica que ocorre A ou ocorre B ou
ocorre A ∩B.
28 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
TJAM – Analista Judiciário (Cebraspe/2019)
Em um espaço de probabilidades, as probabilida-
des de ocorrerem os eventos independentes A e B
são, respectivamente, P (A) = 0, 3 e P (B) = 0, 5.
Nesse caso,
6. P (A ∩B) = 0, 15.
7. P (A ∪B) é superior a 0, 7.
8. P (B|A) = 0, 2.
29 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Resolução
6. E – Pela independência temos o resultado:
P (A∩B) = P (A)P (B) = 0, 3·0, 5 = 0, 15.
7. E – Para a reunião de eventos temos:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
= 0, 30 + 0, 50− 0, 15 = 0, 65
8. E – Probabilidade condicionada
P (B|A) = P (B ∩A)
P (A)
=
0, 15
0, 30
= 0, 50
30 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
MJ–DEPEN – Ag. Penitenciário (Cebraspe/2015)
Considerando que, entre a população carcerária
de um presídio, a probabilidade de um detento con-
trair tuberculose seja igual a 0, 01; que dois detentos
sejam selecionados aleatoriamente dessa população
carcerária; e que as ocorrências de tuberculose entre
esses detentos sejam eventos independentes, julgue
os próximos itens.
9. A probabilidade de pelo menos um detento
na amostra contrair tuberculose será superior
a 0, 01 e inferior a 0, 03.
10. A probabilidade de os dois detentos na amos-
tra contraírem tuberculose será igual a 0, 02.
31 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
9. C – Seja Ai = preso i tem tuberculose. Ai in-
dica o preso sadio. Temos o espaço amostral:
Ω = {(A1, A2), (A1, A2), (A1, A2), (A1, A2)}
Temos três pontos smostrais de interesse:
(A1, A2), (A1, A2), (A1, A2). Estamos inte-
ressados no evento:
– (A1 ∩A2) = pelo menos um doente.
– P
(
A1 ∩A2
)
= 1 − P (A1 ∩ A2) = 1 −
0, 99× 0, 99 = 0, 0199
10. E – Pelo teorema da multiplicação:
P (A1 ∩A2) = P (A1) · P (A2|A1)
= P (A1)P (A2) (indep.)
= 0, 01 · 0, 01
= 0, 0001
32 88
Capítulo 5
Função de Densidade e
Função de Distribuição
O conceito fundamental no estudo dos modelos de
probabilidade é o de função de distribuição.
A partir dessa função obtemos as funções de den-
sidade e também as de probabilidade.
33 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
A função de densidade é relacionada às variáveis
contínuas, enquanto às variáveis discretas estão as-
sociadas as funções de probabilidade.
A função de distribuição é a identidade, o RG
mesmo, de cada modelo de probabilidade
Vejamos exemplos de questões de concursos.
34 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
TJAM– Analista Judiciário (Cebraspe/2019)
Em determinado tribunal, a data em que cada
processo é protocolado marca a data inicial deste, a
partir da qual é contada a quantidade de meses que
se passam até que o juiz apresente a decisão �nal
sobre ele. Essa quantidade de meses é uma variável
aleatória X cuja função densidade de probabilidade
é dada por f(x) = x2108 , para 0 < x ≤ 6, e f(x) =
1
3e
−(x−6), para x > 6, em que e é o número de Euler,
base dos logaritmos neperianos.
A partir dessas informações, julgue os itens a
seguir.
11. Na situação apresentada, a área da região en-
tre o grá�co da função f(x) e o eixo das abs-
cissas, para x > 0, é igual a 1.
12. A probabilidade de que o juiz leve três meses
para apresentar sua decisão �nal a respeito
de determinado processo é inferior a 10%.
35 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
13. Conforme a situação apresentada,
P (X = 6) > P (X = 5).
14. A probabilidade de que o juiz responsável por
certo processo leve mais de seis meses para
apresentar sua decisão �nal é inferior a 30%.
Resolução
11. C–A área sob a curva da função de densidade
é a probabilidade de uma variável aleatória
X se menor ou igual a x.
Conceito de função de distribição: FX(x) =
P (X ≤ x). Toda a área sob a curva abrange
toda reta real. Representa a probabilidade do
evento certo que é 1.
36 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
12. C – A probabilidade de um variável aleatória
contínua assumir um valor particular é nula,
P (X = 3) = 0 < 0, 10.
13. E – Pegadinha. A probabilidade de um va-
riável aleatória contínua assumir um valor
particular é nula.
14. E – Veja que P (X ≤ 6) é dada por
F (X) =
∫ x
0
t2
108
dt
=
t3
3 · 108
∣∣∣∣∣
x
0
, 0 ≤ x ≤ 6
Portanto
FX(6) = P (X ≤ 6) =
63
3 · 108
P (X ≤ 6) = 2
3
= 66, 67%
P (X > 6) = 33, 33%
37 88
Capítulo 6
Distribuições Especiais
São importantes modelos de distribuição de proba-
bilidade. Destaco a binomial dentre as variáveis
discretas.
Nas contínuas a normal é a mais importante.
Existe ainda uma relação entre probabilidades bino-
miais que podem ser aproximadas pela normal.
38 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
MDA – Estatístico (COSEA – UFF/2009)
15. Um candidato a um concurso público sabe que
o tempo necessário para que ele viaje de sua
residência para o local de prova é distribuído
de forma aproximadamente normal, com mé-
dia de 1 hora e 15 minutos e desvio-padrão
de 5 min. Ele deve sair de casa, na parte da
manhã, de maneira que ele esteja 95% seguro
de chegar ao local de prova às 8 horas da ma-
nhã às:
(considere Z = 1, 96).
A) 6 h
B) 6 h 35 min
C) 6 h 45 min
D) 6 h 55 min
E) 7 h
39 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
15. B – O candidato precisa fazer um tempo X
tal que a distância entre X e a média µ = 75
min garanta com uma probabilidade de 95%
que chegará as 8h. O tempo gasto é tal que:
P (|X − µ| < q) = 0, 95
Consequentemente: P (−q < X − µ < q) =
P (− q5 <
X−µ
5 <
q
5) = 0, 95
Onde Z = X−µ5 ∼ N(0, 1). Logo
q
5 =
1, 96 ⇒ q = 9, 8 min. Concluímos que o
candidato deve sair com 85 minutos de ante-
cedência. Isso corresponde a 6h e 35 min.
40 88
Anselmo Alves Estatísticapara Concurso
EsFCEx – Exército – Estatístico (IDIB/2018)
16. Suponha que a v.a. Y tenha distribuição bi-
nomial com parâmetros n = 10 e p = 0, 5. A
probabilidade de P (Y ≤ 5) é de:
(A) 0, 500
(B) 0, 250
(C) 0, 321
(D) 0, 623
(E) 0, 125
41 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Resolução
16. D – Seja Y ∼ B(10, 1/2). Aproximação da
binomial pela distribuição normal:
E(X) = np = 10 · 1/2 = 5
Var(X) = np(1−p) = 10 ·1/2 ·1/2 = 10/4
Sn − np√
np(1− p)
∼ N(0, 1)
Queremos calcular
P (Y ≤ 5) = P
(
Sn − np√
np(1− p)
≤ 5 + 0, 5− 5√
10/4
)
= P
(
Z ≤ 0, 5
0, 5
√
10
)
= P
(
Z ≤
√
10
10
)
Note que a probabilidade é maior que 0, 50,
já que
√
10/10 > 0, portanto apenas D pode
ser correta.
42 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Veja que estamos aproximando probabilida-
des binomiais (discretas) pela distribuição
normal (contínua). Nesse procedimento deve-
mos somar 0, 5 a �m de compensar a área da
barra central veri�cada no histograma anaixo:
Segundo a literatura essa aproximação é vá-
lida quando temos np ≥ 5 e npq ≥ 5. Na
prática comete-se um pequeno erro quando
np = 5.
43 88
Parte III
Estimação
44 88
Capítulo 7
Intervalo de Con�ança
Um dos procedimentos mais usados em estatística
é a estimação de parâmetros.
Na estimação começa-se a usar probabilidade,
amostragem e a teoria estatística em conjunto.
A base para aplicação dos intervalos de con�-
45 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
anças que mais aparecem em prova é a estatística
frequentista.
A estimação intervalar comumente usa o que se
conhece por método pivotal para a obtenção do
intervalo de con�ança associado à estimação de um
parêmetro populacional.
Tecnicamente um pivô é uma estatística cuja dis-
tribuição não depende do parâmetro que se quer
estimar. Por exemplo: se X é uma população com
distribuição normal com média µ e desvio padrão
σ, dada uma amostra X1, X2, . . . , Xn, isto é, uma
amostra aleatória de tamanho n, a variável aleatória
média amostral é tal que
X ∼ N
(
µ;
σ√
n
)
de sorte que X−µ
σ/
√
n
∼ N(0, 1) é um pivô para esti-
mar a média populacional µ.
46 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
MJ/Polícia Federal – Agente da PF (Cebraspe/2018)
O tempo gasto (em dias) na preparação para de-
terminada operação policial é uma variável alea-
tória X que segue distribuição normal com média
M, desconhecida, e desvio padrão igual a 3 dias.
A observação de uma amostra aleatória de 100 ou-
tras operações policiais semelhantes a essa produziu
uma média amostral igual a 10 dias.
Com referência a essas informações, julgue os
itens que se seguem, sabendo que P (Z > 2) =
0, 025, em que Z denota uma variável aleatória nor-
mal padrão.
17. A expressão 10 dias ±6 dias corresponde a
um intervalo de 95% de con�ança para a mé-
dia populacional M .
18. O erro padrão da média amostral foi inferior
a 0, 5 dias.
47 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
17. E –A estatística X−M
3/
√
n
é um pivô para a média
M . Pela simetria:
Para obter o intervalo de con�ança (1− γ)×
100% para M escrevemos:
Pr
(
zγ/2 <
X −M
3/
√
n
< zγ/2
)
= 1− γ
Com isso podemos isolar M na desigualdade:
IC(M)(1− γ)× 100% = X ± zγ/2 × 3√n .
Para um coe�ciente de con�ança de 95%, te-
mos z2,5% = 2.
IC(M)(1−γ)×100% = 10±2× 3
10
≡ 10±0, 6
48 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
18. C – O erro padrão é a estimativa da vari-
ância para a média amostral. Temos que
X ∼ N(M ; 2/
√
n). Portanto
ÊP(X) = 3/
√
100 = 0, 3.
49 88
Parte IV
Teste de Hipóteses
50 88
Capítulo 8
Fundamentos de Teste
de Hipóteses
Teste de hipóteses é a principal ferramenta da esta-
tística inferencial e nos ajuda na tomada de decisão.
Ao realizar um teste de hipóteses estamos sujeitos
a cometer erros. Esses erros abaixo e associamos
algumas probabilidades a certos eventos:
51 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Teste de Hipóteses: regra estatística.
H0 : θ ∈ Θ0 versus H1 : θ ∈ Θ1
Decisão Realidade
H0 Verdadeira H0 Falsa
Não Rejeitar H0 Sem erro Erro Tipo II
Rejeitar H0 Erro Tipo I Sem erro
Aos erros associamos algumas probabildiades.
i. Erro do Tipo I:
α = Pr (Rejeitar H0|H0 Verdadeira)
ii. Erro do Tipo II:
β = Pr (Não Rejeitar H0|H0 Falsa)
iii. Note queα e β não são erros complementares.
À probabilidade complementar ao erro do tipo
II chamamos poder do teste:
1− β = Pr (Rejeitar H0|H0 Falsa)
52 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Note que a situação ideal é construir um teste
com α pequeno e alto poder, ou seja, proba-
bailidade pequena de cometer o erro do tipo I
e alta probabilidade de rejeitar uma hipótese
nula falsa.
Importante dizer que sempre ocorrerá o risco
de se incorrer nesses tipos de erros. Normalmente
α é arbitrado num valor pequeno pelo estatístico:
0, 1%,1%, 2% e 5%. Pela sua importancia α é cha-
mado de nível de signi�cância do teste.
A construção de testes de hipóteses é tarefa do
estatístico e envolve outras facetas. Aqueles testes
mais comuns em provas de concurso são as aplica-
ções mais simples dessa importante teoria estatís-
tica. Vejamos exemplos.
Abaixo temos um teste que apareceu em conjunto
com as questões 17 e 18.
53 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
MJ/Polícia Federal – Agente da PF (Cebraspe/2018)
18. Considerando-se o teste da hipótese nula
H0 : M ≤ 9, 5 dias contra a hipótese al-
ternativa H1 : M > 9, 5 dias, adotando-se o
nível de signi�cância igual a 1%, não haveria
evidências estatísticas contra a hipótese H0.
Resolução
i. H0 : M ≤ 9, 5 contra H1 : M > 9, 5.
ii. Estatística de teste: X−M
3/
√
n
∼ N(0, 1). Onde
X é a média amostral.
iii. Regra de decisão: rejeito H0 se, e somente se,
X−M
3/
√
n
> z99%, ao nível de 1% de signi�cân-
cia.
54 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Veja que
X −M
3/
√
n
=
10− 9, 5
3/10
= 1, 667
Note que
P (Z < −z1%) = P (Z > z99%)
P (Z > z99%) < P (Z > 2) = 2, 5%
Agora podemos a�rmar ser z99% > 2, por-
tanto a estatística de teste é menor que z99%.
Conclusão: não rejeitamos H0, a�rmamos
não haver evidências contra H0 ao nível de
signi�cãncia de 1%.
– O item está correto.
55 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Manaus–AM – Fiscal de Tributos (FCC/2019)
19. De um estudo, obtiveram-se informações de
uma amostra aleatória extraída de uma po-
pulação. Em um teste de hipóteses, foram
formuladas as hipóteses H0 (hipótese nula) e
H1 (hipótese alternativa) para analisar um pa-
râmetro da população com base nos dados da
amostra. O nível de signi�cância deste teste
corresponde à probabilidade de
(A) não rejeitar H0, dado que H0 é falsa.
(B) rejeitar H0, dado que H0 é falsa.
(C) rejeitar H0, dado que H0 é verdadeira.
(D) não rejeitar H0, independente de H0 ser
falsa ou verdadeira.
(E) rejeitar H0, independente de H0 ser
falsa ou verdadeira.
Item C: Ao nível de signi�cância corresponde
a probabilidade do erro do tipo I.
56 88
Parte V
Análise de Regressão
57 88
Capítulo 9
Correlação e Regressão
Correlação e regressão são assuntos presentes em
praticamente a totalidade de concursos que cobram
probabilidade e estatística.
Essa disciplina é um primeiro passo dentro da
modelagem estatística.
58 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
A ideia principal é tomar uma variável aleatória e
tentar explicar a variabilidade (aleatória!) por meio
de uma ou mais variáveis explicativas.
Normalmente o estatístico consegue explicar a
variabilidade em média. Portanto em vez de se ter
Y ∼ N(µ, σ2)
teremos Y |X = x ∼ N(µ′, σ2′). Agora temos a
distribuição do valor médio de Y condicionado à
variável X = x, que em princípio é considerada
não aleatória.
A principal abordagem será obter uma amostra de
pares (x1, y1), . . . , (xn, yn), isto é, uma amostra de
pares (x, y) para estimar os parêmetros do modelo
de regressão linear. O modelo mais simples supões
y explicado por uma variável explicativa x.
y = β0 + β1xi + εi
59 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
A estimação desse modelo parte de alguns pres-
supostos matemáticos ou estatísticos para a otimi-
zaçãode uma função de perda.
O método mais conhecido é aquele que minimiza
a função do erro que se comete ao estimar os pa-
râmetros β0 e β1 pela combinação linear dos valo-
res amostrais. É o método dos mínimos quadrados.
Podemos ainda usar método da máxima verossimi-
lhança e o método dos momentos.
Vamos trazer algumas questões de concursos. Pri-
meiro vamos aprender sobre correlação.
60 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
TJPA– Analista Judiciário (Cebraspe/2019)
20. Em um grá�co de dispersão, por meio de
transformações convenientes, a origem foi
colocada no centro da nuvem de dispersão e
as variáveis foram reduzidas a uma mesma
escala. Se, nesse grá�co, for observado que a
grande maioria dos pontos está situada no se-
gundo e no quarto quadrantes, e que aqueles
que não estão nessa posição situam-se pró-
ximos da origem, então a correlação linear
entre as variáveis
(A) será necessariamente nula.
(B) poderá ser fracamente negativa.
(C) será necessariamente fortemente nega-
tiva.
(D) será necessariamente fortemente posi-
tiva.
(E) poderá ser fracamente positiva.
61 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Resolução
20. B – Trata-se de fraca correlação negativa en-
tre os dados. Em estatística uma associação
ou correlação entre variáveis indica simples-
mente que essas variáveis variam juntos. A
medida de correlação indica a força e a dire-
ção dessa associação;
Nesse caso a medida que osdados aumentam
no eixo x a variável y diminui no eixo dos y.
62 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Marinha do Brasil –Estatístico (CP-T/2019)
21. Considerando os modelos de regressão linear,
coloque F (falso) ou V (verdadeiro) nas a�r-
mativas abaixo e assinale a opção correta.
( ) Se duas variáveis são correlacionadas,
pode-se concluir que há uma relação de
causalidade entre elas.
( ) Ao veri�car que uma variável depen-
dente e uma independente estão estri-
tamente relacionadas, pode- se concluir
que o ajuste do modelo de regressão é
bom.
( ) Os valores de y são preditos com base
em valores dados ou conhecidos de x.
A variável y é chamada variável inde-
pendente, e a variável x variável depen-
dente.
63 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
(A) (V) (V) (F)
(B) (V) (F) (V)
(C) (F) (F) (F)
(D) (F) (V) (F)
(E) (V) (V) (V)
21. C – Veja que:
(F) Correlação não implica em causalidade. Em
estatística uma associação ou correlação entre
variáveis indica simplesmente que essas va-
riáveis variam juntos. A medida de correlação
indica a força e a direção dessa associação;
(F) Não necessariamente. Pode-se tratar de re-
gressão não linear ou ainda pode ser um mo-
delo determinístico;
(F) A variável y é a variável resposta ou variável
dependente enquanto a variável x é explica-
tiva ou independente.
64 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
http://bit.ly/regressao2020
Análise de Regresão Linear
O curso para a sua aprovação em estatística.
Acesse Agora!
65 88
http://bit.ly/regressao2020
http://bit.ly/regressao2020
Anselmo Alves Estatística para Concurso
ABIN – O�cial de Inteligência (Cebraspe/2018)
Ao avaliar o efeito das variações de uma gran-
deza X sobre outra grandeza Y por meio de uma
regressão linear da forma Ŷ = α̂+β̂X , um analista,
usando o método dos mínimos quadrados, encon-
trou, a partir de 20 amostras, os seguintes soma-
tórios (calculados sobre os vinte valores de cada
variável):∑
X = 300,
∑
Y = 400;
∑
X2 = 6.000,∑
Y 2 = 12.800 e
∑
(XY ) = 8.400
A partir desses resultados julgue os itens a seguir.
22. Se, nesse modelo,a soma dos quadrados dos
resíduos for SQR = 960, então o coe�ciente
de determinação será R2 = 0, 8.
23. β̂ < 0.
24. Para X = 10, a estimativa de Y é Ŷ = 12.
66 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Resolução
22. E – Temos
SQT =
∑
Y 2 − nY 2
= 12.800− 20 · 202
= 12.800− 8.000 = 4.800
Temos SQT = SQReg + SQRes Logo
SQReg = SQT − SQRes = 4.800− 960
SQReg = 3.840, logo
R2 =
SQReg
SQT
= 80%
67 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
23. E – Temos
β̂ =
∑
(XY )− nX · Y∑
X2 − nX2
β̂ =
8.400− 20 · 30 · 20
6.000− 20 · 302
β̂ =
8.400− 12.000
6.000− 18.000
=
−3.600
−12.000
= 0, 3
Portando β̂ > 0.
24. E – Temos para α̂ = Y − β̂X :
α̂ = 20− 0, 3 · 30 = 11
O modelo é dado por Ŷ = 11+0, 3 ·X . Logo
para X = 10
Ŷ = 11− 0, 3 · 10 = 11
68 88
Parte VI
Amostragem
69 88
Capítulo 10
Técnicas de
Amostragem
A amostragem é uma das mais úteis aplicações em
estatística. Temos dois tipos básicos de técnicas de
amostragem:
i. Amostragem probabilística;
ii. Amostragem não-probabilística.
70 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
No primeiro tipo temos um controle da precisão
estatística das estimativas, o que traz certa con�abi-
lidade à metodologia, sendo passível de validação
por outros pesquisadores e seguindo um protocolo
rígido de execução dos trabalhos de pesquisa.
Destacmos os principais métodos:
• Amostragem Aleatória Simples;
• Amostragem Aleatória Estrati�cada;
• Amostragem Aleatória Sistemática;
• Amostragem Aleatória por Conglomerados
Outros métodos procuram melhorar as estimati-
vas: estimadores tipo razão, regressão e amostras
com probabilidades desiguais.
71 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Tipos de procedimentos cientí�cos e suas carac-
terísticas:
1. Levantamentos Amostrais (População bem
De�nida)
• Probabilísticos: Controle de precisão;
Seleção aleatóra, P (s) probabilidade de
inclusão conhecida a priori;
• Não Probabilísticos;
2. Planejamento de Experimentos (Variável
Resposta)
• Interferência Pesquisador;
• Controle fatores externos;
• Causa e efeito.
72 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
STM – Analista Judiciário (Cebraspe/2018)
Um estudo acerca do tempo (x, em anos) de guarda
de autos �ndos em determinada seção judiciária con-
siderou uma amostragem aleatória estrati�cada. A
população consiste de uma listagem de autos �ndos,
que foi segmentada em quatro estratos, segundo
a classe de cada processo (as classes foram estabe-
lecidas por resolução de autoridade judiciária). A
tabela a seguir mostra os tamanhos populacionais
(N ) e amostrais (n), a média amostral e a variância
amostral dos tempos (s2) correspondentes a cada
estrato. Considerando que o objetivo do estudo seja
estimar o tempo médio populacional (em anos) de
guarda dos autos �ndos, julgue os itens a seguir.
73 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
25. No estudo em questão foi aplicada uma amos-
tragem aleatória estrati�cada com alocação
proporcional ao tamanho dos estratos.
26. A fração amostral utilizada no estudo em tela
foi igual ou superior a 10%.
27. A estimativa do tempo médio populacional
da guarda dos autos �ndos é maior ou igual a
12 anos.
28. O erro padrão referente à estimação do tempo
médio x no estrato D foi menor ou igual a 0, 1.
29. No desenho amostral em tela há duas unida-
des amostrais: a primeira (unidade primária)
corresponde à classe de cada processo, e a se-
gunda (unidade secundária) refere-se a auto
�ndo presente na listagem.
30. Combinando-se todos os estratos envolvidos,
a estimativa da variância do tempo médio
74 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
amostral da guarda dos autos �ndos é inferior
a 0, 005 ano2.
Resolução
25. C – Seja n o tamanho da amostra. Note que
os pesos amostrais são
- WA = NAN =
30.000
200.000 =
3
20
- WB = NBN =
40.000
200.000 =
4
20
- WC = NCN =
50.000
200.000 =
5
20
- WD = NDN =
80.000
200.000 =
8
20
- Para uma amostra de tamanho n = 2.000
nA = WA × 2.000 = 300.
nB = WB × 2.000 = 400.
nC = WC × 2.000 = 500.
nD = WA × 2.000 = 800.
75 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
26. E – A fração amostral é dada por
f =
n
N
=
2.000
200.000
=
1
100
= 1%
117. E – Seja h = {A,B,C,D}, temos que
x̂es =
∑
h
Whxh
=
3
20
· 20 + 4
20
· 15 + 5
20
· 10 + 8
20
· 5
= 3 + 3 + 2, 5 + 2 = 10, 5
118. C – Vamos calcular o erro padrão para xD:
v̂ar (xD) = v̂ar (WDxD)
= W 2Dv̂ar(xD)
= W 2D ×
s2D
nD
=
4
25
· 8
800
76 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
ŝd (xD) =
√
425
· 1
100
=
2
4
· 1
10
= 0, 05
119. E – A estrati�cacão procura explorar a ideia
de que quanto mais homogênea for a popula-
çao, mais preciso sao os resultados amostrais.
Não se trata de uma amostrafem múltiplos es-
tágios, portanto a unidade primária de amos-
tragem corresponde au auto presente na lista-
gem. A estrati�cação garante que subpopula-
ções mais homogêneas estejam representadas
na amostra, uma vez que de cada estrato será
retirada uma AAS.
120. C – Abaixo calculamos a variância:
v̂ar (xes) = v̂ar
(∑
h
Whxh
)
77 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
=
H∑
h
v̂ar (Whxh)
=
∑
h
W 2h v̂ar(x)
=
∑
h
W 2h
σ2h
nh
v̂ar (xes) =
9
400
· 3
300
+
16
400
· 16
400
+
+
25
400
· 5
500
+
64
400
· 8
800
v̂ar (xes) =
9
40.000
+
64
40.000
+
25
40.000
+
+
64
40.000
=
162
40.000
= 0, 00405
78 88
Parte VII
Dicas de Estudos
79 88
Capítulo 11
Bibliogra�a Indicada
Abaixo indico alguns livros que me ajudaram na
trajetória de estudar estatística para concurso.
Sempre reforço a necessidade de se começar es-
tudando probabilidade num nível elevado. A�nla
probabilidade é a base matemática para as aplica-
ções de estatística para concurso. Abaixo apresento
um dos livros mais completos em estatística e que
atende bem na área de probabilidade.
80 88
Anselmo Alves Estatística para Concurso
1. Estatística Básica dos professores Wilton
Bussab e Pedro Morettin:
https://amzn.to/3aVs5mb
Esse livro pode atender em:
• Estatística Descritiva.
• Probabildiade.
• Estatística Inferencial: estimação e teste
de hipóteses
• Introdução à análise de correlação e re-
gressão.
81 88
https://amzn.to/3aVs5mb
https://amzn.to/3aVs5mb
Anselmo Alves Estatística para Concurso
2. Para Começar estatística abaixo de zero,
muito básico e tranquilo, a indicação é o livro
Estatística Fácil:
https://amzn.to/3lm0L5z
Clique no link acima para ver por dentro do
livro.
3. Se você quer aprender sobre amostragem e
técnicas de amostragem o melhor livro que
já estudei foi o livro Professor Heleno Bol-
farine e do Professor Bussab: Elementos de
Amostragem.
82 88
https://amzn.to/3lm0L5z
https://amzn.to/3lm0L5z
Anselmo Alves Estatística para Concurso
https://amzn.to/2FuhKlN
4. Para estudar regressão o livro mais completo
e mais prático para sua preparação é
https://amzn.to/2FtagQ9
83 88
https://amzn.to/2FuhKlN
https://amzn.to/2FuhKlN
https://amzn.to/2FtagQ9 
https://amzn.to/2FtagQ9 
Capítulo 12
Aulas Grátis de
Estatística
No momento da produção de ebook temos alguns
sites oferecendo cursos on line de graça:
• Probabilidade: https://estatisticaparaconcurso.
com/probabilidade-curso
• Inferência: https://estatisticaparaconcurso.
84 88
https://estatisticaparaconcurso.com/probabilidade-curso
https://estatisticaparaconcurso.com/probabilidade-curso
https://estatisticaparaconcurso.com/inferencia-curso
https://estatisticaparaconcurso.com/inferencia-curso
https://estatisticaparaconcurso.com/inferencia-curso
Anselmo Alves Estatística para Concurso
com/inferencia-curso
• Canal de Estatística para Concurso https://
www.youtube.com/c/concurseiroestatistico
• Blog https://estatisticaparaconcurso.com
• Mais materiais em http:\estatisticaparaconcurso/
instagram
85 88
https://estatisticaparaconcurso.com/inferencia-curso
https://estatisticaparaconcurso.com/inferencia-curso
https://estatisticaparaconcurso.com/inferencia-curso
https://www.youtube.com/c/concurseiroestatistico
https://www.youtube.com/c/concurseiroestatistico
https://estatisticaparaconcurso.com
http:\estatisticaparaconcurso/instagram
http:\estatisticaparaconcurso/instagram
Anselmo Alves Estatística para Concurso
Quer ir direto ao ponto e já entrar na disputa
por vagas de probabildiade e estatística conheça os
cursos:
lp.estatisticaparaconcurso/probabilidade
86 88
http://lp.estatisticaparaconcurso.com
lp.estatisticaparaconcurso/probabilidade
Anselmo Alves Estatística para Concurso
http://bit.ly/regressao2020
O curso para a sua aprovação em estatística.
Acesse Agora!
87 88
http://bit.ly/regressao2020
http://bit.ly/regressao2020
h�ps://estatisticaparaconcurso.com
Estatística para Concurso™2020
	Conteúdo
	Estatística Descritiva
	Coeficiente de Assimetria de Pearson
	Medidas de Posição e Dispersão
	Boxplot
	Probabilidade
	Probabilidade Condicional e Independência
	Função de Densidade e Função de Distribuição
	Distribuições Especiais
	Estimação
	Intervalo de Confiança
	Teste de Hipóteses
	Fundamentos de Teste de Hipóteses
	Análise de Regressão
	Correlação e Regressão
	Amostragem
	Técnicas de Amostragem
	 Dicas de Estudos
	Bibliografia Indicada
	Aulas Grátis de Estatística