Aula 02 - Falhas em elementos mecânicos

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Falhas em elementos mecânicos
Prof. Carlos Frederico de Matos Chagas
Descrição
Conceitos de tensão devido ao carregamento sobre um elemento mecânico, a relação entre o carregamento externo atuante e a tensão gerada no
material. Conceitos de falha em virtude de carregamento estático e falha por fadiga devido a carregamento dinâmico.
Propósito
Apresentar a relação entre o carregamento externo e a tensão induzida no material, bem como a relação entre a tensão e a deflexão correspondente,
aplicando essas relações para o cálculo de tensões e deformações devido aos diferentes carregamentos é fundamental para evitar falhas e
acidentes.
Objetivos
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Introdução
Assista ao vídeo e identifique os principais conceitos que serão trabalhados ao longo deste material.
1 - Análise de cargas e tensões

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Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os tipos de carregamento e a relação com as tensões causadas no
material.
Vamos começar!
Relação entre o carregamento externo e a tensão em um elemento mecânico
Conheça melhor a relação existente entre o carregamento externo e a tensão em um elemento mecânico.
Diferentes tipos de cargas
Análise de cargas e tensões
Todos os elementos de uma máquina ou sistema mecânico estão sujeitos a diferentes tipos de carregamentos que podem estar atuando devido à
transmissão de energia, torque ou de potência, por seu próprio peso, por forças de atrito, inércia, forças centrífugas ou devido ao gradiente de
temperatura. Esses carregamentos externos, de acordo com a geometria do sistema, com o movimento realizado pelas peças e pelo tipo de junção
entre os elementos de máquinas poderão originar diferentes formas de tensão no material:

Tensões normais
Tração ou compressão devido ao carregamento nessas direções ou devido à flexão.

Tensões de crisalhamento
Essas tensões estão diretamente relacionadas aos esforços cortantes ou de torção.


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Além disso, de acordo com o comportamento do carregamento ou como consequência do movimento do sistema mecânico, o carregamento
poderá ser estático ou dinâmico.
Carga estática
Este tipo de carga não muda em magnitude ou direção e aumenta gradualmente para um valor estável, por exemplo, pelo próprio peso dos
elementos da máquina.
Carga dinâmica
Muda em magnitude e/ou direção em relação ao tempo. Um exemplo é a carga atuando na biela de um motor de combustão interna que varia
conforme a posição do pistão e do tempo do motor.
As cargas de impacto (carga aplicada com certa velocidade) e as cargas de choque (carga aplicada repentinamente) também são tipos de cargas
dinâmicas, mas recebem essa denominação diferenciada porque são aplicadas em elevadas taxas, ou seja, atingem rapidamente o valor máximo e
descarregam o material também rapidamente.
A determinação precisa das cargas atuando em um elemento de máquina é uma tarefa crítica e desafiadora. Inicialmente, deve-se calcular
adequadamente os carregamentos externos a que o elemento de máquina ou peça estará submetido, pois todas as análises de tensões e deflexões,
para serem satisfatórias, dependem do cálculo adequado desses carregamentos.
Há casos em que as cargas sob as condições de operação são facilmente determináveis, como, por exemplo, a carga em um eixo funcionando a
uma velocidade conhecida e transmitindo um valor conhecido de torque. No entanto, muitas vezes as cargas são difíceis de se determinar, como é o
caso da carga sobre o chassi de um veículo, que depende das condições da estrada e das práticas de direção. As cargas atuando em uma peça ou
elemento de máquina podem ser conhecidas diretamente ou podem demandar a realização de cálculos usando conceitos básicos de engenharia
mecânica.
Exemplo de chassis de veículo.
Há casos em que é necessário utilizar métodos experimentais para se obter uma definição estatística da carga. Além disso, as cargas de serviço
podem ser estimadas com a ajuda de registro de falhas de serviço e análise de resistência. Após a determinação ou estimativa da carga externa
aplicada, as cargas que atuam sobre os diferentes membros da máquina são determinadas com o auxílio de diagramas de corpo livre e equações
básicas de equilíbrio de forças e momentos.
Uma vez conhecidos os esforços aplicados sobre os elementos de máquinas ou peças, bem como o ponto de aplicação, podemos calcular as
tensões internas no material. Assim sendo, podemos concluir que as tensões provocadas no material estão intimamente ligadas ao carregamento
aplicado sobre ele. Além disso, de acordo com o material do elemento de máquina e suas respectivas propriedades, poderemos determinar as
deflexões do material.
Análise de cargas
A fim de se iniciar o projeto da estrutura de um sistema mecânico é preciso determinar os carregamentos atuando sobre cada elemento que o
compõe, para, em seguida, calcular as tensões no material. Para isso, conforme a mecânica clássica, é necessário entender as cargas aplicadas, os
pontos de aplicação dos esforços e as restrições aos movimentos impostas pelas juntas entre as peças do sistema.
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Podemos simplificar bastante a análise de uma estrutura ou máquina muito complexa isolando sucessivamente
cada elemento e analisando-o pelo uso de diagrama de corpo livre (DCL).
Após a análise de todas as peças dessa maneira, o conhecimento obtido sobre cada uma pode ser superposto para produzir informações sobre o
comportamento do sistema como um todo. Assim, o diagrama de corpo livre é essencialmente um meio de dividir um problema complexo em
problemas menores segmentados e gerenciáveis.
Cada peça analisada configura um problema mais simples cuja solução servirá como entrada para outro problema simples, de maneira que, ao final
do procedimento, seja possível reunir todas as soluções, como se estivéssemos remontando o sistema que foi dividido e juntando as informações
obtidas.
O uso de diagramas de corpo livre para determinação de esforços ou carregamentos serve aos seguintes propósitos (BUDYNAS; NISBETT, 2015):
1. Inicialmente, no diagrama se estabelecem as direções dos eixos de referência (referencial), proporcionando ainda um meio para esquematizar o
sistema e suas peças, registrando as dimensões dos elementos e as magnitudes e direções dos carregamentos conhecidos, além de auxiliar o
projetista ou sua equipe a arbitrar as direções e sentidos dosesforços desconhecidos.
2. O diagrama de corpo livre proporciona uma ferramenta de comunicação visual importante para a sistematização da solução de problemas de
projeto, sendo de grande valia para a organização do projetista e para a comunicação clara inequívoca dos cálculos realizados para outros
interessados no projeto.
3. A construção cuidadosa e completa do diagrama de corpo livre evidencia pontos que nem sempre são aparentes na definição do problema ou na
geometria do sistema como um todo. Assim, o diagrama ajuda a compreender todas as faces do problema.
4. O diagrama de corpo livre, ao fornecer uma ferramenta de comunicação visual, auxilia na obtenção do equacionamento do problema e,
consequentemente, na sua solução.
5. O diagrama de corpo livre permite que outros sigam o raciocínio do projetista ou sua equipe, ilustrando todos os esforços considerados, suas
direções, sentidos e pontos de aplicação.
A seguir, ilustraremos a utilização de um diagrama de corpo livre para análise dos esforções sobre uma estrutura.Considere o sistema da imagem
seguinte:
Considere que o sistema apresentado foi projetado para suportar uma carga de 30kN. O sistema é composto por uma lança AB com seção reta
retangular de 30mm x 50mm e de uma barra com seção reta circular BC com diâmetro de 20mm. A lança e a barra são conectadas por um pino em
 e são suportadas por pinos e suportes em e , respectivamente.
Inicialmente, desenharemos um diagrama de corpo livre da estrutura, destacando-a de seus apoios em e , e substituindo os apoios pelos
esforços que exercem sobre a estrutura (reações) conforme a figura a seguir.
Observe que o esboço da estrutura foi simplificado omitindo todos os detalhes desnecessários. Vamos prosseguir a análise, assumindo que as
direções das reações em e são desconhecidas. Cada uma dessas reações, portanto, será representada por suas componentes nas
B A C
A C
A C
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direções e componentes, e em , e e em . Assim, considerando que a estrutura está em equilíbrio,
teremos:
Ainda resta determinar os valores de duas das quatro reações: e , o que não pode ser feito a partir da última equação. Como temos
duas incógnitas, precisamos de mais uma equação. Para determiná-la, "desmontaremos" a estrutura, em outras palavras, vamos analisar a lança
 isoladamente. Substituindo as forças nos pinos pelos respectivos esforços, o diagrama de corpo livre considerado é o seguinte:
Aplicando as equações de equilíbrio e fazendo o somatório dos momentos em torno de igual a zero:
Mas,
Portanto, as forças externas agindo sobre a lança AB e a barra BC podem ser determinadas pois conhecemos os carregamentos em , e
.
 e , logo 
, assim 
 e , portanto 
Para a lança AB, a reação em induz a compressão da lança, pois tem a mesma intensidade, mas o sentido oposto da componente horizontal
da reação em , conforme a imagem.
Onde , ou seja, 
Já a reação em e a força de aplicada em , submetem a haste a um esforço de tração, conforme ilustrado a seguir.
x y Ax Ay A Cx Cy C
Ay Cy
AB
B
∑MB = 0 → Ay ⋅ 0, 8 = 0 → Ay = 0
Ay + Cy − 30 = 0 → Cy = 30kN
A B
C
Ax = 40kN → Ay = 0 A = 50kN →
Bx = −40kN ← eBy = 30kN ↑ B = 50kN
Cx = −40kN ← Cy = 30kN ↑ C = 50kN
A
B
FAB = 40kN FAB = Ax = A
C 30kN B BC
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Onde , ou seja, .
Conhecendo as forças externas nas barras, podemos calcular a tensão resultante no material.
Análise de tensões
Tensão no material
Uma vez que podemos calcular os esforços sobre um sistema mecânico e suas peças ou elementos, podemos calcular a tensão no material. Essa
tensão é uma consequência direta do tipo de carregamento e das restrições aos movimentos do sistema ou peça. A tensão pode ser normal,
representada pela letra grega ou tensão de cisalhamento (ou cisalhantes), representadas pela letra .
Os dois tipos de tensão podem ocorrer isoladamente (tração ou compressão pura, no caso da tensão normal, ou
cisalhamento puro) ou de forma combinada, ou seja, tensões normais e de cisalhamento atuando ao mesmo
tempo.
As unidades de tensão mais comuns são libras por polegada quadrada (PSI), caso se utilize o sistema inglês. Para unidades Sistema Internacional
(SI), a unidade de medida das tensões é newtons por metro quadrado ou diferentes tipos de tensão que podemos encontrar em um
sistema ou estrutura. A seguir, estudaremos os diferentes tipos de tensão que podemos encontrar em um sistema ou estrutura.
Tensão de tração
Tensão normal
Como já indicamos, a haste do exemplo analisado na seção anterior está sujeita à ação das forças força e agindo em suas
extremidades e na direção a ao longo do eixo da haste, que, conforme já dito, caracteriza que a haste está sendo tracionada por uma
carga axial. Um exemplo real de elementos estruturais sob carregamento axial são os elementos da treliça da ponte mostrada na imagem a seguir.
Ponte levadiça em Antuérpia, Bélgica.
Um elemento submetido a um carregamento axial pode estar sob tração (tendência de aumentar a dimensão na direção do carregamento) ou sob
compressão (tendência de reduzir a dimensão na direção do carregamento), conforme observado na imagem seguinte.
FBC = 50kN FBC = C
σ τ
(N/m2 Pa)
BC FBC F
′
BC
B C
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O valor da tensão devido à tração e a tensão devido à compressão podem ser calculadas pela expressão:
Onde:
 - tensão tratativa ou compressiva, conforme o caso;
 - carregamento externo sobre o elemento;
 - área da seção reta do elemento (seção normal à direção do carregamento externo, daí o nome tensão normal).
A tensão tratativa tem valor positivo e, a compressiva, valor negativo. Há ainda a tensão normal induzida pela flexão de um elemento mecânico. Na
imagem a seguir, um elemento mecânico é submetido a um momento fletor que provoca a sua flexão.
Em tal condição, a porção do elemento acima do eixo neutro está submetida à compressão e, a porção abaixo do eixo neutro, submetida à tração. O
valor absoluto da tensão varia linearmente de 0, sobre o eixo neutro, até o valor máximo a uma distância c do eixo neutro, conforme ilustrado a
seguir:
O valor máximo da tensão devido à flexão pode ser calculado por meio da equação a seguir:
Onde:
 - tensão normal devido à flexão;
 - maior distância até o eixo neutro da seção reta;
 - momento de inércia de área da seção reta em relação ao eixo neutro.
(σt)
σ
P
A
M
σ
c
I
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Para compreendermos como calcular a tensão normal em diferentes condições de carregamento apresentaremos alguns exemplos de cálculo na
sequência. Primeiramente, considere a imagem a seguir. A barra da imagem tem seção reta circular com diâmetro de 2,5cm.
Como a tensão normal nesse caso é calculada pela fórmula e , calculamos , onde
.
Assim,
O segundo exemplo trata de uma barra com seção reta retangular e submetida à flexão 
pura conforme a imagem seguinte:
No caso de tensão normal devido à flexão, , onde c é a distância do eixo neutro à extremidade da barra. Nesse caso, como a seção
reta é simétrica, , . Além disso, dado que o elemento estrutural considerado tem seção reta retangular:
Finalmente, vamos analisar o último exemplo, que é mais completo e complexo. É importante salientar que calcularemos somente a tensão normal
devido à flexão e não consideraremos outras tensões envolvidas. A imagem a seguir ilustra a situação que analisaremos. A viga AB da figura tem
seção reta circular com 2,5cm de diâmetro.
Utilizaremos o diagrama de corpo livre (DCL) para determinar os esforços nos apoios. A próxima imagem ilustra o DCL em questão.
σ =
P
A
P = 250 N A =
πd2
4
d = 2, 5cm(0, 025m)
σ =
250
π(0,025)2
4
σ = 509, 3MPa
(b = 3, 5cm h = 4cm) (M = 300 Nm)
σ = −
Mc
I
c =
h
2
, log c = 2cm
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Com base nas informações sobre o carregamento e a geometria da estrutura, temos:
Agora, construiremos um diagrama de momento fletores para a situação. Para isso, consideramos o apoio como referência e calculamos o
momento fletor em função da distância da seção considerada em relação ao ponto .
Ao analisarmos o diagrama de momento fletor, observamos que a seção em que o momento possui o maior valor absoluto é a seção central da
viga. Como a seção reta da viga é circular com diâmetro de , dado que , e :
Tensão tangencial
Tensão de cisalhamento
Quando forças transversais V e V’ são aplicadas a um elemento estrutural AB, como na figura a seguir, ao contrário do que ocorre com a tensão
normal (quando há tendência de alteração docomprimento do elemento sob carregamento), ocorre, em vez disso, a tendência de distorcer o
elemento. Passando uma seção em entre os pontos de aplicação das duas forças (b), obtemos o diagrama da porção AC mostrada na figura
em c. Logo, a resultante das forças internas na face da seção em deve ser igual a V.
A
A
d 2, 5cm σ = −
Mc
I
I =
πd4
64
c = 1, 25cm
σ = 81, 5MPa
C
C
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Essas forças internas elementares são chamadas de tensão de cisalhamento ou cisalhantes e são representadas pela letra . Dividindo o
esforço cortante pela área da seção transversal, obtemos o valor médio da tensão cisalhante.
Deve-se ressaltar que o valor obtido por essa equação é um valor médio da tensão de cisalhamento em toda a seção. Ao contrário das tensões
normais, a distribuição da tensão de cisalhamento ao longo da seção não pode ser considerada uniforme. O valor real da tensão de cisalhamento
varia de zero na superfície externa do elemento até um valor máximo , que pode ser muito maior do que o valor médio .
Cisalhamento transversal devido à �exão
Quando uma viga, eixo ou barra sofre um carregamento transversal, além do momento fletor, há uma força cortante que causa uma tensão de
cisalhamento no elemento estrutural. A imagem seguinte, baseada na que foi utilizada no último exemplo que estudamos sobre a tensão normal em
um elemento sob flexão, mostra o diagrama de esforço cortante para aquele tipo de carregamento.
Carregamento
Diagrama de esforço cortante
O cisalhamento devido a um carregamento transversal ou cortante não é fácil de se visualizar. Considere uma viga em balanço composta por três
pranchas de madeira. Se não estiverem unidas por algum meio, a aplicação de uma carga na extremidade livre das pranchas fará com que se
dobrem (flexionem) e deslizem uma sobre a outra, conforme mostrado na imagem a seguir. Se, ao invés disso, as pranchas forem coladas, por
exemplo, a cola impedirá que as pranchas deslizem em relação às outras. Essa resistência ao deslizamento, ou resistência a forças paralelas à
superfície da viga, gera uma tensão de cisalhamento no material.
Considere o carregamento representado na imagem a seguir:
τ
V A
τmax τav 
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A fórmula para cálculo da tensão cisalhante (ou de cisalhamento), simbolizada pela letra grega τ gerada por um esforço cortante (carregamento
transversal) V é a seguinte:
Onde:
 - tensão de cisalhamento;
 - esforço cortante;
 - primeiro momento de área ou momento estático;
 - primeiro momento de inércia de área;
 - espessura da viga.
Cisalhamento devido à torção
Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Se a aplicação desse torque gera uma torção pequena, ou
seja, o ângulo de rotação resultante da aplicação desse torque é reduzido, o comprimento do elemento e as dimensões de sua seção reta
permanecem inalterados. Observe a imagem seguinte:
Se fizermos o mesmo tipo de análise que fizemos quando apresentamos o conceito de cisalhamento, temos a condição da imagem seguinte:
O conjunto das tensões de cisalhamento internas resulta em um torque interno, igual e oposto ao torque aplicado. A tensão de cisalhamento
máxima é calculada pela expressão:
τ
V
Q
I
b
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Onde:
 – torque aplicado sobre o elemento;
 – raio da seção reta;
 – momento polar de inércia da seção reta.
Na continuação, apresentaremos alguns exemplos para esclarecer os cálculos da tensão cisalhante em diferentes condições de carregamentos.
Inicialmente, retornaremos a uma viga sob flexão, conforme as condições em seguida:
A viga AB da figura tem seção reta circular com 2,5cm de diâmetro. Inicialmente, utilizamos o DCL a seguir para cálculo das reações nos apoios:
Com base nas informações sobre o carregamento e a geometria da estrutura, temos:
Agora, construiremos um diagrama de esforço cortante:
O maior valor do esforço cortante ocorre no centro da viga (valor absoluto ). Assim, a tensão de cisalhamento máxima será:
Mas,
T
r
J
= 100 N
τmax =
100Q
Ib
I =
π0, 0254
64
 e Q =
π0, 0258
8
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Logo,
Cabe ressaltar que o valor máximo da tensão cisalhante é bem inferior ao valor máximo da tensão normal devido à flexão anteriormente calculado
 e . Finalmente, analisaremos o caso de um eixo submetido à torção, conforme a seguinte
imagem:
O torque aplicado é kN.m e o diâmetro do eixo é de . Nessas condições, a tensão de cisalhamento máxima será:
τmax = 1, 3MPa
(τmax = 1, 3MPa σmax = 81, 5MPa)
T = 10 10cm
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
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2 - Tensão, de�exão e rigidez do material
Ao �nal deste módulo, você será capaz de identi�car a relação entre a tensão, a de�exão correspondente e a rigidez do material.
Vamos começar!

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A relação entre rigidez e deformação
Assista ao vídeo a seguir e compreenda melhor a relação existente entre rigidez e deformação.
Tensão X deformação
Rigidez e deformação
Todos os elementos mecânicos reais se deformam plástica ou elasticamente, quando submetidos a um carregamento. Um corpo pode ser
considerado rígido se é suficientemente insensível ao carregamento, ou seja, quando carregado, apresenta uma deformação que pode ser
desprezada.
Exemplo
Um cabo de aço é flexível, mas, quando tracionado, pode ser considerado rígido. Por outro lado, o mesmo cabo de aço submetido à compressão,
distorce enormemente. Logo, o mesmo elemento mecânico pode ser considerado rígido ou não rígido (flexível) dependendo das condições de
carregamento impostas (BUDYNAS; NISBETT, 2015).
A análise de deflexão sofrida por um elemento mecânico deve ser considerada no projeto de várias maneiras. Por exemplo, em uma transmissão, as
engrenagens devem ser apoiadas por um eixo rígido. Se o eixo se flexiona demais, ou seja, se o eixo for muito flexível, os dentes não se encaixarão
corretamente, o que resultará em impacto excessivo, alto ruído, desgaste acelerado e falha prematura (BUDYNAS; NISBETT, 2015).
Às vezes, os elementos mecânicos devem ser projetados para terem uma característica particular de força-deformação. Por exemplo, o sistema de
suspensão de um automóvel deve ser projetado dentro de certos limites, a fim de garantir que as frequências de vibração alcançadas para todas as
condições de carregamento do veículo sejam confortáveis para os passageiros e motorista, pois o corpo humano se sente confortável apenas
dentro de uma faixa limitada de frequências (BUDYNAS; NISBETT, 2015).
Exemplo de suspensão de um automóvel.
Ao projetar um elemento mecânico de um sistema, muitas vezes a deflexão sofrida por esse elemento nas condições de carregamento pode ser o
fator limitador em lugar do nível de tensão no elemento. O diagrama a seguir representa um gráfico tensão x deformação de um material dúctil
submetido a ensaio de tração.
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Na região elástica, a equação que relaciona a tensão e a deformação é a seguinte:
Onde, é o módulo de elasticidade ou módulo de Young do material. Neste módulo, estudaremos a deformaçãodos corpos devido à sua
geometria (forma) e ao carregamento a que o elemento está submetido.
Coe�ciente de elasticidade
A elasticidade é a propriedade de um material que permite que ele recupere sua configuração original após ter sido deformado. Uma mola é um
elemento mecânico que exerce uma força quando deformado. A imagem a seguir mostra uma viga reta de comprimento simplesmente apoiada
nas extremidades e carregada pela força transversal . A deflexão está linearmente relacionada com a força , desde que o limite
elástico do material não seja ultrapassado, conforme indicado pelo gráfico na imagem, caracterizando uma mola linear.
Na próxima imagem, uma viga reta é apoiada em dois cilindros de modo que o comprimento entre os apoios diminui à medida que a viga é defletida
pela força , devido à mudança do ponto de apoio sobre o cilindro em função da deformação da viga. Quanto menor o comprimento entre
apoios de uma viga, maior será a força necessária para provocar o mesmo deslocamento .
Portanto, quanto maior a deformação da viga, menor a distância entre os apoios e maior a força requerida para deformá-la, caracterizando uma viga
que se torna mais rígida conforme é deformada. Além disso, a força não está linearmente relacionada à deflexão e, portanto, essa viga pode ser
descrita como uma mola que se torna mais rígida de forma não linear.
A imagem seguinte é uma vista lateral de uma calota circular. A força necessária para achatar a calota aumenta no início e depois diminui à medida
que a calota se aproxima de uma configuração plana, conforme mostrado pelo gráfico. Qualquer elemento mecânico com essa característica se
torna mais macio (menos rígido) de forma não linear.
σ ε
E
l
F y F
F
y
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Se designarmos que a força exercida sobre um elemento mecânico elástico é função do deslocamento causado pela força, de outra forma:
O coeficiente de elasticidade ou coeficiente elástico é dado por (BUDYNAS; NISBETT, 2015):
Onde:
 – deslocamento;
 – Força que causa o deslocamento.
Importante salientar que deve ser medido na direção de e a partir do ponto de aplicação de . Além disso, a equação tem um caráter
geral e pode ser igualmente aplicada para torques e momentos (entrando em lugar de ) e os respectivos deslocamentos angulares (em lugar de
). Para problemas em que a relação entre o carregamento e o deslocamento é linear, é denominado constante de mola ou constante de
elasticidade e pode ser obtido por (BUDYNAS; NISBETT, 2015):
As unidades mais comuns da constante de elasticidade são libra por polegada ou newtons por metro e, para deslocamentos angulares, libra-
polegada por radiano ou newton-metro por radiano.
A seguir, estudaremos a relação entre o carregamento aplicado sobre um elemento mecânico, suas propriedades mecânicas e geometria e o
deslocamento resultante.
Elemento axialmente carregado
Para um elemento axialmente carregado, isto é, sob tração ou compressão, podemos relacionar tensão no material , com seu módulo de
Young (módulo de elasticidade ) e a deformação pela equação:
Mas a deformação é a razão entre a variação do comprimento do elemento do elemento cuja área da seção reta é e seu comprimento
inicial (l). Assim:
Importante notar que é o deslocamento provocado pelo carregamento, isto é, equivale à deflexão . Além disso:
y
F
y F F
F
y k
k
(σ)
E (ε)
(Δl) A
Δl y
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Assim:
Se, como vimos, 
Elemento sob torção
Para um elemento sob torção, a equação que relaciona o torque ou o momento aplicado , o módulo de torção ou cisalhamento , o
comprimento do elemento mecânico , seu momento polar de inércia e o deslocamento angular resultante é a seguinte:
Assim, fazendo a razão entre o carregamento e o deslocamento , temos:
De�exão de materiais carregados
Cálculo das de�exões
O cálculo das deflexões pode ser feito de maneira direta para elementos mecânicos elasticamente carregados, ou seja, que não tenham sofrido
deformação plástica, e considerando que o material apresente relação entre tensão e deformação linear, tal como em
, como veremos para o caso de vigas axialmente carregadas (tração ou compressão puras) ou submetidas a torques ou momentos que
provoquem torção (cisalhamento puro).
Para vigas sob flexão, o cálculo da deflexão é um pouco mais complexo e envolve algumas etapas, desde a determinação da função que representa
o esforço cortante, seguida pela função que representa o momento fletor, a inclinação da viga e, finalmente, a deflexão, em um processo que se
inicia com o desenho do diagrama de corpo livre, passando pela determinação das reações nos apoios e alguns passos de integração para
determinação das funções mencionadas segundo as condições de contorno.
Finalmente, estudaremos casos mais complexos de carregamento onde utilizaremos o método da superposição (de maneira simples, soma dos
efeitos) para a determinação das deflexões. Convém ressaltar que existem outros métodos, como o das funções de singularidade, ou o método de
energia ou de Castigliano, que não serão aprofundados aqui, mas podem ser encontrados na bibliografia sobre o assunto.
Elemento sob tração ou compressão
Para elementos mecânicos sob tensão axial, o cálculo da deformação e da deflexão pode ser realizado por meio da equação:
k = F/y = F/Δl′
(T ) (G)
(l) (J) (θ)
k T θ
σ ε(Δl/1)
σ = Eε
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Assim:
Onde:
 – carregamento axial;
 – comprimento da viga;
 – módulo de elasticidade;
 – área da seção reta da viga.
Elemento sob torção
Como visto para a determinação do coeficiente de elasticidade , tal que , para um elemento sob torção, o deslocamento angular
resultante pode ser calculado pela equação a seguir:
Onde:
 – torque ou o momento aplicado;
 – comprimento do elemento mecânico;
 – módulo de torção ou cisalhamento;
 – momento polar de inércia.
Elemento sob �exão
Estudaremos agora o caso de elementos mecânicos submetidos à flexão. A flexão de um elemento mecânico ocorre quando ele é submetido a um
carregamento transversal, como o carregamento uniformemente distribuído na imagem seguinte:
O diagrama de corpo livre correspondente a esse carregamento é o apresentado na imagem a seguir:
F
l
E
A
(k T = kθ)
θ
T
l
G
J
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Note que pela simetria do problema as reações em cada um dos apoios e devem ser iguais e, somadas, devem possuir o mesmo
valor da força resultante da aplicação da carga distribuída:
Logo:
Neste ponto é importante recordarmos algumas equações relativas à flexão. Inicialmente, a equação que fornece o raio de curvatura de uma
viga submetida a um momento é:
Onde:
 – módulo de elasticidade do material da viga;
 – momento de inércia da viga.
Da definição matemática de curvatura e considerando que a deformação da viga é pequena, obtemosa equação:
Consequentemente:
Onde:
 – carregamento transversal (esforço cortante);
 – carregamento transversal distribuído.
A partir dessas equações e com base no carregamento uniformemente distribuído , o diagrama de esforço cortante (DEC) e o diagrama de
momento fletor (DMF) são os ilustrados a seguir:
(R1 R2)
(F)
(ρ)
M
E
I
V
q
w
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Os diagramas de inclinação da viga e de deflexão são, respectivamente, os seguintes:
A nomenclatura e as convenções são ilustradas nas imagens. O eixo é positivo para a direita e o eixo positivo para cima. Todas as
quantidades – carregamento, cisalhamento, momento, inclinaçãoe deflexão – têm o mesmo sinal que ; eles são positivos para cima e
negativos para baixo.
As reações e e os carregamentos transversais em e são respectivamente e
. O momento fletor em e são nulos porque a viga é simplesmente apoiada. Para uma viga simplesmente
apoiada, as deflexões também são nulas em cada extremidade (BUDYNAS e NISBETT, 2015).
Podemos calcular a deflexão no centro da viga, isto é, para o problema proposto, a maior deflexão provocada pelo carregamento. Utilizando a
equação:
Para o carregamento em questão:
Então:
(θ = dy/dx) (y)
x y
y
R1 R2 = 7, 5kN x = 0 x = l V0 = 7, 5kN
V1 = −7, 5kN x = 0 x = l
y
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Ao analisarmos a imagem a seguir, observamos que a viga é simplesmente apoiada em e , isto é, o deslocamento da viga é nulo
nessas posições.
Assim sendo, para 
E, para 
Pela simetria do problema, esperamos que as inclinações nas extremidades sejam idênticas, porém, com sinais opostos:
Para .
Para .
Ainda pela simetria do problema, observa-se que a deflexão máxima ocorre para l/2. Assim:
x = 0 x = l
y = 0 x = 0
 EIy  = C2,C2 = 0
y = 0 x = l
EIy =
wl4
12
−
wl4
24
+ C1l
0 =
wl4
24
+ C1l
C1 = −
wl3
24
x = 0
x = l
x =
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Esse valor pode ser calculado caso conheçamos o material e a geometria da viga, visto que os valores de e já são conhecidos. É
importante destacar que para muitos casos de carregamento os livros de resistência dos materiais apresentam tabelas com as fórmulas para os
cálculos do momento fletor, esforço cortante, deflexão e inclinação da viga. Confira a seguir alguns exemplos de carregamentos e condições de
contorno, bem como suas respectivas equações:
Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
w l
R1 = R2 = F/2
 V AB = R1eVBC = −R2
MAB = Fx/2eMBC =
F
2
(l − x)
yAB =
Fx
48EI
(4x2 − 3l2)
ymax = −
Fl3
48EI
R1 =
Fb
l
;R2 =
Fa
l
VAB = R1eVBC = −R2
MAB =
Fbx
l
eMBC =
Fa
l
(l − x)
yAB =
Fbx
6EIl
(x2 + b2 − l2)
yBC =
Fa(l − x)
6EIl
(x2 + a2 − 2 lx)
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Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
Carregamento e condição de contorno.
R1 =
11 F
16
;R2 =
5 F
16
;M1 =
3Fl
16
 V AB = R1eVBC = −R2
MAB =
F
16
(11x − 3l)eMBC =
5 F
16
(l − x)
yAB =
Fx
96EI
(11x − 9l)
yBC =
F(l − x)
96EI
(5x2 + 2l2 − 1 − 10x)
R1 = R2 =
wl
2
V =
wl
2
− wx
M =
wx
2
(l − x)
y =
wx
24EI
(2l2 − x3 − l3)
ymax = −
5wl4
384EI
R1 =
Fb
2l3
(3l2 − b2);R2 =
Fa2
2l3
(3l − a)
M1 =
Fb
2l2
(l2 − b2)
VAB = R1eVBC = −R2
MAB =
Fb
2l3
[b2l − l3 + x (3l2 − b2)]eMBC =
Fa2
2l3
(3l2 − 3lx − al + ax)
yAB =
Fbx2
12EIl3
[3l (b2 − l2) + x (3l2 − b2)]
yBC = yAB −
F(x − a)3
6EI
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Carregamento e condição de contorno.
De�exão por superposição
A deflexão resultante de carregamento combinado em uma estrutura pode ser calculada utilizando-se a superposição. Nesse método, o efeito de
cada carga é calculado como se aquele carregamento atuasse isoladamente. O efeito combinado será, então, a soma dos efeitos de cada
carregamento. O método da superposição pode ser aplicado desde que as seguintes condições sejam atendidas (BUDYNAS; NISBETT, 2015):
Condição I
A primeira condição para a aplicação da superposição é que cada deslocamento seja linearmente relacionado à carga que a produz.
Condição II
O segundo ponto é que o carregamento não cria uma condição que afeta o resultado da aplicação do outro carregamento.
Condição III
As deformações resultantes de qualquer carga específica não são grandes o suficiente para alterar as relações geométricas do sistema estrutural.
Utilizaremos um exemplo da aplicação do método da superposição para melhor compreendê-lo. Confira a seguir.
Exemplo
Considere a viga carregada simultaneamente com o carregamento uniformemente e com uma força concentrada como mostrado na figura a seguir.
Usando o método da superposição, determine as reações nos apoios e a deflexão da viga em função de (BUDYNAS; NISBETT, 2015).
R1 =
5wl
8
;R2 =
3wl
8
;M1 =
wl2
8
 V =
5wl
8
− wx
M = −
w
8
(4x2 − 5 lx + l2)
y =
wx
48EI
(l − x)(2x − 3l)
R1 =
Fa
l
;R2 =
F
l
(l + a)
VAB = R1 e VBC = F
MAB = −
Fax
l
;MBC = F(x − l − a)
yAB =
Fax
6EIl
(l2 − x2)
yBC =
F(x − l)
6EI
[(x − l)2 − a(3x − l)]
yc = −
Fa2
3EI
(l + a)
x
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Inicialmente, consideraremos apenas o carregamento distribuído .
Da tabela:
Para a carga concentrada .
Da tabela:
Pelo método da superposição, somamos os efeitos dos carregamentos:
Os métodos de integração e da superposição fornecem mecanismos eficazes para determinar a inclinação e a deflexão em qualquer ponto de uma
viga prismática, desde que o momento fletor possa ser representado por uma única função analítica. No entanto, quando devido à presença
de diversos carregamentos ao longo de um elemento mecânico várias funções são necessárias para representar sobre o comprimento da
w
F
M
M
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viga, esse método pode se tornar bastante trabalhoso, uma vez que requer a compatibilização de inclinações e deflexões correspondentes em cada
ponto de aplicação de carga ou de mudança de geometria.
O uso de funções de singularidade simplifica consideravelmente a determinação das inclinações e deflexões em
qualquer ponto do elemento.
Confira a seguir as funções de singularidade mais utilizadas e os respectivos carregamentos que representa.
Momento concentrado
Força concentrada
Carga uniformemente distribuída
⟨x − a⟩−2 = 0 x ≠ a
⟨x − a⟩−2 = ±∞ x = a
∫ ⟨x − a⟩−2dx = ⟨x − a⟩−1
⟨x − a⟩−1 = 0 x ≠ a
⟨x − a⟩−1 = +∞ x = a
∫ ⟨x − a⟩−1dx = ⟨x − a⟩0
⟨x − a⟩0 = {
∫ ⟨x − a⟩0dx = ⟨x − a⟩1
0 x < a
1 x ≥ a
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Carga distribuída linearmente variável
Podemos resolver o problema que solucionamos por suposição utilizando as funções de singularidade como ilustração. A situação analisada é a da
imagem a seguir:
Considerando o diagrama de corpo livre, o carregamento pode ser representado pela função:
Então, a função que representa o esforço cortante será dada por:
Para o momento fletor, teremos:
Integrando mais duas vezes para a inclinação e deflexão:
 e podem ser determinados utilizando as condições de contorno em e em que resulta em:
Assim:
⟨x − a⟩1 = {
∫ ⟨x − a⟩1dx =
⟨x − a⟩2
2
0 x < a
x − a x ≥ a
C1 C1 (y = 0 x = 0 x = 1), 0
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Observamos que quando usamos funções de singularidade para representar o carregamento, aquelas com expoente maior ou igual a zero
começando em podem ser substituídas por funções polinomiais normais. Além disso, uma vez que as reações são determinadas,
funções de singularidade representando reações na extremidade direita do feixe podem ser omitidas da função de carregamento (BUDYNAS;
NISBETT, 2015).
Outra observação que devemos ressaltar é que o termo que multiplica a deflexão é chamado de rigidez estrutural, em uma analogia com
a constante elástica ou rigidez de uma mola. Portanto, quanto maior o produto , maior a rigidez de um elemento mecânico. A rigidez de uma
estrutura pode ser alterada por meio do materialou por meio da geometria .
Falta pouco para atingir seus objetivos.
x = 0
EI y
EI
(E) (I)
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Vamos praticar alguns conceitos?
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3 - Carregamento estático, tensão e deformação
Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar as relações entre carregamento estático, tensão e deformação para análise de
falha devido a carregamento estático.
Vamos começar!
Falhas resultantes de carregamento estático

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Assista ao vídeo e compreenda melhor as falhas resultantes de carregamento estático.
Por que as peças falham?
Falhas em elementos mecânicos
Por que as peças falham? Inicialmente e de maneira superficial, responderíamos que “peças falham porque as tensões desenvolvidas sob as
condições de carregamento excederam sua resistência”. Essa resposta não está errada, mas não esgota completamente a questão. A fim de
aperfeiçoar e particularizar a explicação devemos ainda responder as seguintes perguntas:
Que tipo de tensão causa a falha? Tração? Compressão? Cisalhamento?
A partir de então temos que analisar mais profundamente a questão, pois a resposta dependerá do material, da sua resistência à compressão, à
tração e ao cisalhamento. Além disso, o tipo de carregamento (estático ou dinâmico, axial ou transversal), as condições de contorno (apoio
simples, rótula, engastamento) e a presença ou não de trincas no material devem ser considerados para uma análise completa.
Em geral, materiais dúcteis e isotrópicos submetidos a carregamentos estáticos falham devido às tensões de cisalhamento, enquanto materiais
frágeis são limitados pela tensão normal (embora existam exceções a essa regra quando materiais dúcteis se comportam como frágeis). Essa
situação requer que tenhamos diferentes teorias de falha para as duas classes de materiais. Sendo assim, é importante diferenciar objetivamente os
materiais dúcteis dos frágeis.
Materiais dúcteis
Aqueles cujo percentual de elongação até a ruptura seja > 5%. A maioria dos metais dúcteis tem elongação até a ruptura > 10%.
Materiais frágeis
Aqueles materiais cuja ruptura ocorre em valores iguais ou inferiores a 5% de elongação são considerados materiais frágeis.
Entretanto, como podemos definir falha sob o ponto de vista do projeto mecânico? De maneira clara, podemos considerar que há falha de uma peça
se ela sofre ruptura. Além disso, caso um elemento mecânico apresente deformações e distorções suficientemente grandes para impedir o
funcionamento adequado do sistema, também consideramos que houve falha. Materiais dúcteis apresentam deformação significativa antes de
romperem.
Por sua vez, os materiais frágeis rompem sem que haja deformação significativa, isto é, rompem com a sua forma relativamente conservada. O tipo
de carregamento – estático ou dinâmico – é outro importante fator para análise da falha e determina a utilização de diferentes critérios. Logo,
assim como diferenciamos os materiais dúcteis dos frágeis, devemos fazê-lo para carregamento estático ou dinâmico.
Atenção!

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Em linhas gerais, cargas estáticas são aplicadas lentamente e permanecem essencialmente constantes no tempo. Cargas dinâmicas podem ser
tanto aplicadas subitamente (carga de impacto) como variadas repetidamente ao longo do tempo (carga de fadiga), ou podem ser aplicadas
simultaneamente.
Os mecanismos de falha são totalmente diferentes em cada caso. Por exemplo, para carregamento dinâmico, materiais dúcteis e frágeis
apresentam comportamento similar, e os materiais dúcteis falham de maneira “frágil”. Neste módulo apresentaremos os diferentes critérios de
falha para materiais dúcteis e frágeis sob carregamento estático.
Falhas e deformação plástica
Falha estática em materiais dúcteis
Uma carga estática é uma força, torque ou momento aplicado a um elemento mecânico sem que haja mudança em sua intensidade, ponto ou
pontos de aplicação, direção e sentido. Logo, para ser considerada estática, a carga não pode mudar de nenhuma maneira. Como consequência da
aplicação de um carregamento estático o material pode responder produzindo tensão axial – tração ou compressão –, tensão de cisalhamento,
tensão de flexão, ou qualquer combinação dessas tensões.
Normalmente, considera-se como a resistência desses materiais o limite de escoamento, ou seja, o maior valor de tensão a que um material pode
ser submetido sem sofrer deformação plástica. Nos materiais dúcteis o limite de resistência ao escoamento , na maioria das vezes, é o
mesmo em tração e em compressão .
As teorias geralmente aceitas para critério de falha de materiais dúcteis são as seguintes:
Máxima tensão de cisalhamento (MSS);
Energia de distorção (DE);
Coulomb-Mohr para materiais dúcteis (DCM).
Critério da máxima tensão de cisalhamento
O critério da máxima tensão de cisalhamento (MSS), também conhecido como critério de Tresca, afirma que qualquer componente mecânico sujeito
a uma carga ou a uma combinação de cargas falhará sempre que a tensão de cisalhamento máxima exceder a resistência de cisalhamento do
material (isto é, a tensão de cisalhamento no momento do escoamento na amostra padrão de ensaio de tração). A imagem seguinte mostra o
Círculo de Mohr para um estado de tensão triaxial com e como tensões principais tais que .
As três tensões de cisalhamento principais são dadas por:
Observando a imagem e considerando que , fica evidente que a maior tensão de cisalhamento é . Assim:
(σy)
(σyt) (σyc)
σ1,σ2 σ3 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 τ13
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Considerando um ensaio de tração, e , resultando em:
Além disso, o escoamento no ensaio de tração começa quando a tensão de tração é igual ao limite de escoamento do material .
Portanto, a tensão de cisalhamento máxima no momento do escoamento no ensaio de tração é:
Assim, a equação de projeto baseada na teoria da tensão de cisalhamento máxima, para um fator de projeto pode ser escrita como:
Observe que, para estado plano de tensão, e . A representação gráfica da teoria da máxima tensão de
cisalhamento, fornecendo o envelope de falha para o estado plano de tensão , é mostrada a seguir:
De acordo com essa teoria, para o estado de tensão plana, o escoamento começa quando . Mas no primeiro e terceiro
quadrantes do gráfico e são da mesma natureza (tensões tratativas no primeiro quadrante e compressivas no terceiro).
Nesses quadrantes, o escoamento pode começar quando atinge qualquer das tensões ou atinge o limite de escoamento, .
Portanto, no primeiro e no terceiro quadrantes, a área de segurança é limitada pelas linhas e No segundo e quarto
quadrantes, a área é limitada por linhas, que representam a condição em que a tensão de cisalhamento máxima atinge a resistência ao
cisalhamento do material , ou seja, .
Essa teoria serve para a previsão de falhas de materiais dúcteis, mas é um pouco conservadora como veremos mais à frente.
Falha e energia
Critério da energia de distorção
A teoria da energia de distorção prevê que o escoamento ocorre quando a energia de distorção por unidade de volume atinge ou excede a energia
de distorção por unidade de volume para escoamento do material sob tração ou compressão simples. A teoria da energia de distorção (DE) originou-
se da observação de que materiais dúcteis submetidos a estados de tensão hidrostáticos apresentaram escoamento para
valores de tensão muito acima dos valores dados do previsto no ensaio de tração simples.
σ1 = σx σ2 = σ3 =0
(σ1) (Sy)
nd
σ3 = 0 τmax =
σ1 − σ2
2
(σ3 = 0)
σ1 − σ2 = Sy
(σ1 × σ2),σ1 σ2
(σ1) (σ2) Sy
σ1 = ±Sy σ2 = ±Sy.
(SSy) τmax = SSy = Sy/2
(σ1 = σ2 = σ3)
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A partir dessa observação, postulou-se que o escoamento não é um fenômeno simples de tração ou compressão,
mas que, na verdade, está de alguma forma relacionado à distorção angular do material sob carregamento.
Para desenvolver a teoria, observaremos um elemento de volume unitário submetido a qualquer estado de tensão tridimensional designado pelas
tensões e (figura a). Esse estado pode ser representado como o resultado da soma de dois componentes: um componente
hidrostático (figura b), que causa variações apenas no volume do elemento, mas sem alterar sua forma; e um componente de distorção (figura c)
que contribui para alterar os ângulos do elemento, resultando em sua distorção com mudança de forma.
A tensão média é assim calculada:
Considerando que a energia de deformação por unidade de volume para o estado de tensão triaxial é dada por:
Que também pode ser escrita como:
A energia de deformação provocada pela componente hidrostática da tensão pode ser calculada usando:
Se considerarmos que a energia de deformação (u) é o resultado da soma da componente hidrostática com a componente de energia de
distorção , teremos para a energia de distorção:
Observe que a energia de distorção é nula quando . Para o ensaio de tração simples, no escoamento, e
, a energia de distorção é:
Portanto, para o estado de tensão triaxial, por analogia, o escoamento ocorrerá se:
σ1,σ2 σ3
(uav)
(uav)
(ud)
σ1 = σ2 = σ3 σ1 = Sy
σ2 = σ3 = 0
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Se tivéssemos um caso de tração simples, o escoamento ocorreria quando . Por isso, o termo à esquerda pode ser considerado como
uma tensão equivalente correspondente ao estado triaxial de tensão. Essa tensão equivalente é conhecida como tensão de Von Mises ,
onde:
Caso, em lugar das tensões principais, conheçamos as componentes , e das tensões, podemos usar:
Finalmente, se considerarmos um caso de cisalhamento puro onde apenas a tensão cisalhante , temos:
Para que haja escoamento,
Ou seja,
Esse resultado mostra que o critério da máxima tensão de cisalhamento é mais conservativo que o critério da energia de distorção, já que, para o
primeiro critério, , enquanto, para o segundo, . Em outras palavras, o projetista aceita um nível de tensão
maior no material ao utilizar o critério da energia de distorção quando comparado ao nível de tensão que aceitaria se utilizasse o critério de Tresca
para um mesmo material.
O exemplo a seguir (BUDYNAS; NISBETT, 2015) ajudará na compreensão da utilização dos critérios de falhas.
Exemplo
Um aço laminado a quente tem um limite de escoamento de e apresenta deformação real na fratura de .
Estimar o fator de segurança para os seguintes estados de estresse principais:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Como , o material é dúctil e podemos aplicar as teorias da energia de distorção (DE) e da máxima tensão de cisalhamento (MSS).
Utilizaremos as duas abordagens para comparação. Observe que os casos 1 e 4 retratam estados planos de tensão. Veja adiante o desdobramento
σ ≥ Sy
(σ′)
x y z
τxy ≠ 0
τmax = 0, 5 Sy τmax = 0, 577 Sy
Sy = 700MPa εf = 0, 55
σx = 500MPa,σy = 500MPa, τxy = 0
σx = 420MPa,σy = 280MPa, τxy = −105MPa
σx = 0MPa,σy = 280MPa, τxy = 315MPa
σx = −280MPa,σy = −420MPa, τxy = 105MPa
σ1 = 150MPa,σ2 = 150MPa,σ3 = 150MPa
εf > 0, 05
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dos casos expostos, respectivamente, na lista anterior.
Caso 1
Uma vez que não há tensão de cisalhamento, as tensões normais são iguais às tensões principais. As tensões principais são
 e . Utilizando inicialmente o critério DE:
O fator segurança é:
Utilizando o critério MSS:
Nesse caso, ambos os critérios apresentam o mesmo nível de segurança.
Caso 2
Pelo critério DE:
Pelo critério MSS, utilizando o círculo de Mohr para cálculo das tensões principais:
Como 
E o fator de segurança será:
Caso 3
σ1 = σx = 500MPa,σ2 = σy = 500MPa σ3 = 0
σ3 = 0
τmax =
476, 19 − 0
2
= 238, 10
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Pelo critério DE:
Pelo critério MSS, como uma das tensões, no caso , pelo círculo de Mohr obtemos:
O fator de segurança será:
Caso 4
Pelo método DE:
E o fator de segurança será:
Pelo critério MSS, inicialmente obtemos as tensões principais:
E o fator de segurança será:
Caso 5
Pelo critério DE:
σx = 0
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Para esse caso:
Para o critério MSS:
Assim, também para esse critério, . Uma vez que a teoria MSS coincide ou está dentro dos limites da teoria DE, ela sempre prevê um
fator de segurança igual ou menor que a teoria DE. Para cada caso, exceto o caso 5 que não retrata um estado plano de tensões, as linhas de carga
são mostradas na imagem a seguir. Observe que o caso 1 é o único em que as duas teorias concordam, dando assim o mesmo fator de segurança.
Para melhor compreensão da imagem: caso 1 (a), caso 2 (b), caso 3 (c), caso 4 (d), caso 5 (e).
O que são materiais frágeis?
Materiais frágeis são aqueles cuja deformação na fratura não supera . Esses materiais não apresentam escoamento, em outras
palavras, apresentam pouca ou nenhuma deformação plástica na ruptura. Devido a essa característica, o critério de falha desses materiais está
ligado ao limite de resistência à tração ou o limite de resistência à compressão , dependendo do carregamento.
As teorias mais aceitas para análise de falha de materiais frágeis (critérios de falha) são:
Máxima tensão normal máxima (MNS);
Coulomb-Mohr para materiais frágeis (CMB);
Mohr modificado (MM).
Máxima tensão normal (MNS)
Pela teoria da máxima tensão normal (MNS), a falha ocorre sempre que uma das três tensões principais igualam ou excedem o limite de resistência
à tração ou o limite de resistência à compressão . Assim como procedemos para os materiais dúcteis, organizamos as tensões
principais para um estado de tensão triaxial em ordem decrescente . Essa teoria então prevê que a falha ocorre sempre que
 ou , pois (tensão compressiva).
As equações do critério de falha podem ser escritas como equações de projeto:
A teoria da máxima tensão normal não é adequada para previsão de falhas no quarto quadrante e .
ns → ∞
5%(ε ≤ 0, 05)
(Sut) (Suc)
(Sut) (Sut)
(σ1 ≥ σ2 ≥ σ3)
σ1 ≥ Sut σ3 ≤ Suc Suc < 0
(σ1 > 0 σ2 < 0)
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Coulomb-Mohr para materiais frágeis
O critério de Mohr estabelece um envelope de segurança baseado no limite de resistência à tração, no limite de resistência à compressão e no limite
de resistência ao cisalhamento obtidos experimentalmente para um dado material, considerando que o material apresenta limite de resistência à
tração e à compressão diferentes.
Portanto, esse critério pode ser usado para materiais dúcteis que possuam resistência ao escoamento sob tração diferente da resistência ao
escoamento sob compressão ( . O envelope está mostrado na imagem a seguir:
Uma variação da teoria de Mohr, chamada de teoria de Coulomb-Mohr ou teoria do atrito interno, assume que o limite BCD da figura é uma linha reta
(tangente comum externa aos círculos representando compressão pura e tração pura). Com isso, apenas as resistências à tração e à
compressão são necessárias para o equacionamento.
As equações da teoria de Coulomb-Mohr são as equações de projeto para estado plano de tensõesa seguir:
Mohr modi�cada
As equações do critério de Mohr modificado para análise de falhas, também na forma de equações de projeto considerando estado plano de
tensões são:
O exemplo a seguir (BUDYNAS; NISBETT, 2015) nos ajudará a compreender a utilização dos critérios.
Exemplo
Consideremos que o material utilizado na estrutura da imagem é um ferro fundido cujos limites de resistência à tração e à compressão são
respectivamente e . Determine a força utilizando (a) o critério de Coulomb-Mohr; (b) O critério de
Mohr modificado.
Syt ≠ Syc)
(Sut)
(Suc)
Sut  = 31kpsi Suc = −109kpsi F
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Assumimos que a alavanca DC é suficientemente robusta e não faz parte do problema. O elemento em A no topo da superfície será submetido a
uma tensão de flexão de tração e uma tensão de torção. Esse local, na região de 1 polegada de diâmetro, é o local mais sensível ao carregamento e
limita o valor da força. A tensão normal e a tensão de cisalhamento em são dadas por (considerando os fatores de
concentração de tensão ):
Calculamos as tensões principais:
Expressão A
Considerando que , usaremos a equação considerando 
Expressão B
Pelo critério de Mohr modificado, com e 
Observamos que a força admissível para o critério de Coulomb-Mohr é menor do que a prevista para o critério de Mohr modificado, o que era
esperado, pois o primeiro critério é mais conservativo que o segundo.
σx (τxy) A
= 1
σ1 ≥ 0 ≥ σ2 nd = 1
σ1 ≥ 0 ≥ σ2
σ2
σ1
=
33, 2
175, 8
< 1∣ ∣
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
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4 - Falha por fadiga em carregamento dinâmico
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Ao �nal deste módulo, você será capaz de aplicar a relação entre o carregamento dinâmico e as tensões induzidas no material
para analisar a ocorrência ou não de falha por fadiga devido ao carregamento dinâmico.
Vamos começar!
Carregamento dinâmico e a falha por fadiga
Assista ao vídeo e compreenda melhor os conceitos que estão relacionados ao carregamento dinâmico e à falha por fadiga.
Fadiga
Carregamento dinâmico e a falha por fadiga
A carga que muda de magnitude, direção ou sentido em relação ao tempo é conhecida como carga dinâmica. A carga cíclica e a carga devido a um
impacto são tipos de cargas dinâmicas. Para vários sistemas mecânicos, particularmente os que possuem peças em movimento, pode haver um ou
mais elementos da máquina sujeitos a cargas cíclicas, resultando em tensões variáveis que flutuam entre diferentes valores de acordo com a
variação do carregamento.
Exemplo
Um elemento na superfície de um eixo rotativo e sujeito a carga de flexão sofre tanto tração como compressão para cada rotação do eixo.
Os elementos de máquinas sujeitos a tensões cíclicas ou flutuantes frequentemente falham sob um valor máximo de tensão induzida muito abaixo
do limite de escoamento ou de resistência à tração ou compressão . Tal falha verificada em materiais sujeitos a
carregamentos dinâmicos é conhecida como falha por fadiga, uma vez que ocorre após um mgrande número de ciclos de tensão.
Ao contrário da falha estática, uma falha por fadiga não dá nenhum aviso! Ela é repentina e total, portanto, muito perigosa.
Uma falha por fadiga tem uma aparência semelhante a uma fratura frágil. As superfícies são planas e perpendiculares ao eixo de tensão com a
ausência de empescoçamento (deformação plástica). O processo que leva a uma falha por fadiga, no entanto, é bastante diferente daquele da
fratura frágil estática e resulta de três estágios de desenvolvimento, que podem ser vistos detalhadamente a seguir.
Estágio I

(Sy) (Sut) (Suc)
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O estágio I é o início de uma ou mais microtrincas devido à deformação plástica cíclica, que é seguida da propagação segundo o plano
cristalográfico até encontrar o contorno de grão, por onde que se estende por dois a cinco grãos. As trincas do estágio I geralmente não são
detectáveis a olho nu.
Estágio II
No estágio II, a trinca progride, passando do tamanho micro para o macro e formando superfícies de fratura em forma de platô, paralelas e
separadas por sulcos. Esses platôs costumam ser lisos e normais à direção da máxima tensão de tração. Essas superfícies podem ser onduladas
com bandas escuras e claras denominadas marcas de praia, conforme as observadas na imagem a seguir.
Marcas de praia.
Durante o carregamento cíclico, essas trincas abrem e fecham conforme a variação do carregamento. O aspecto das marcas da praia depende de
como o carregamento varia em magnitude ou frequência além da natureza corrosiva do ambiente.
Estágio III
O estágio III ocorre durante o ciclo de tensão final, quando o material que ainda não foi atingido pela trinca não pode suportar os esforços,
resultando numa fratura súbita e rápida. Essa fratura de fase III pode ser frágil ou dúctil, ou, até mesmo, uma combinação de ambos os modos.
Frequentemente, quando as marcas de praia estão presentes, os padrões das marcas da fase III apontam para a das trincas iniciais. A imagem a
seguir traz representações de superfícies de falha por fadiga sob diferentes condições de carga e níveis de concentração de tensão.
A falha por fadiga é devida à formação e propagação de trincas. Uma trinca por fadiga se inicia, geralmente, em uma descontinuidade no material
onde a tensão cíclica é máxima. Essas descontinuidades podem ter diferentes origens:
mudanças rápidas na secção transversal, rasgos de chaveta, orifícios de lubrificação etc. onde ocorrem concentrações de tensão;
elementos que rolam e/ou deslizam uns contra os outros (rolamentos, engrenagens etc.) sob alta pressão de contato;
locais de marcação de peças, marcas de ferramentas, arranhões e rebarbas; projeto inadequado de juntas; montagem incorreta; e outras falhas de
fabricação;
processamento do material (laminação, forjamento, fundição, extrusão, estampagem, tratamento térmico) que pode gerar descontinuidades, tais
como inclusões de material, segregação de elementos de liga, vazios, precipitação de partículas endurecidas e descontinuidades cristalinas.
Uma vez iniciada uma trinca, sua propagação pode ser acelerada por tensões residuais, temperaturas elevadas, ciclo de temperatura, ambiente
corrosivo, e pela frequência.
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Movimentos cíclicos e projetos
Análise e projeto considerando a falha por fadiga
Tal como fizemos para o estudo e projeto considerando a falha estática, tentaremos apresentar critérios para análise e projeto de sistemas sob
carregamento dinâmico que podem falhar devido a fadiga.
Curva de fadiga (Curva S-N) e limite de fadiga
As propriedades de fadiga dos materiais são obtidas com a ajuda do teste padrão de eixo rotativo, no qual uma amostra de seção circular altamente
polida é submetida a cargas cíclicas. A amostra é sujeita a um momento de flexão constante e gira em torno de seu eixo a uma velocidade muito
elevada. Em consequência, pontos do corpo de provas fora do eixo neutro sofrem repetidas inversões de tensão (tração e compressão). O gráfico
tensão-vida para um aço UNS G41 300 normalizado com limite de resistência à tração de 810MPa é apresentado na imagem seguinte:
O teste é repetido para diversas amostras, sujeitando-as a diferentes valores de tensão. O número de ciclos (um ciclo corresponde a uma volta
completa do eixo, istoé, um ponto do material fora do eixo neutro será submetido a um ciclo de tração e compressão) que o corpo de provas resiste
antes da fratura é chamado vida em fadiga do material. O primeiro teste é realizado submetendo a amostra a uma tensão ligeiramente abaixo da
resistência à tração do material, e os testes subsequentes são realizados com níveis de tensão menores.
A ordenada da curva é denominada resistência à fadiga , e pode ser definida como a tensão máxima que o material pode
suportar para um número específico de ciclos (inversões de tensão). Para os metais ferrosos e suas ligas, a curva S-N torna-se horizontal após
 a ciclos, o que significa que o material pode resistir a um número infinito de ciclos se a tensão induzida for inferior a esse nível.
A tensão correspondente a essa linha horizontal é chamada limite de fadiga.
O limite de fadiga pode ser definido como a amplitude máxima de tensão completamente invertida que o espécime padrão pode suportar
durante um número ilimitado de ciclos sem falha por fadiga. estudo da fadiga em que a falha ocorre antes de 1000 ciclos chama-se fadiga de
baixo ciclo. Já a fadiga de alto ciclo diz respeito à falha que ocorre após os 1000 ciclos.
Na ausência de dados experimentais de fadiga sobre um material, podemos utilizar as seguintes relações:
Para aços, 
Para ferro fundido, 
Fatores modi�cadores do limite de resistência à fadiga
O corpo de provas utilizado nos testes para a determinação da resistência à fadiga é preparado cuidadosamente e testado em condições
controladas. O limite de resistência de qualquer elemento de máquina pode não corresponder exatamente aos valores obtidos nos testes devido à
S − N (Sf)
106 107
(S ′e)
O
S ′e = 0, 5Sut
S ′e = 0, 4Sut
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variação do material, qualidade da fabricação, condições ambientais e geometria. Portanto, o limite de resistência obtido experimentalmente deve
ser modificado utilizando alguns fatores (fatores de Marin) para obter resultados mais próximos da realidade.
O limite de resistência de uma determinada peça pode então ser estimado utilizando a seguinte relação:
Onde:
 - limite de resistência à fadiga obtido experimentalmente;
 - fator de acabamento superficial;
 - fator de tamanho;
 - fator de carga;
 - fator de temperatura;
 - fator de confiabilidade; e
 - fatores diversos.
Fator de acabamento super�cial ( 
A superfície do corpo de provas do teste tensão-vida é altamente polida, mas a maioria dos elementos de máquinas não tem o mesmo acabamento
superficial, demandando uma modificação no limite de resistência obtido experimentalmente. O fator de acabamento superficial depende do
processo de fabricação utilizado e da resistência à tração do material . O seu valor pode ser obtido por meio da fórmula a seguir
(BUDYNAS; NISBETT, 2015):
Onde, a e b podem ser obtidos na tabela seguinte:
Acabamento superficial
Coeficiente  (Para Sut em
Mpa)
Coeficiente
b
Retificado 1,58 -0,085
Usinado ou laminado a frio 4,51 -0,265
Laminado a quente 57,7 -0,718
Forjado 272 -0,995
Fator de tamanho 
S ′e
ka
kb
kc
kd
ke
kf
ka)
(Sut )
(kb)
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O corpo de provas padrão tem um diâmetro de e o fator de tamanho deve ser aplicado para elementos de máquinas de tamanhos
diferentes. O seu valor pode ser obtido a partir das seguintes relações:
Onde é a dimensão efetiva para elementos não rotativos e pode ser obtido para eixos com diferentes geometrias (não necessariamente
circular). A seguir, nas imagens, veja a seção reta dos eixos.
Imagem A.
Imagem B.
Sendo:
Dimensão efeitiva da imagem A: 
Dimensão efetiva da imagem B: 
Fator de carregamento 
No ensaio de resistência à fadiga, o corpo de prova é sujeito à carga de flexão e ciclos de tensão completamente invertidos, mas muitos elementos
de máquinas são sujeitos a diferentes tipos de cargas e ciclos de tensão. Assim, o limite de resistência é modificado utilizando o fator de
carregamento , e o seu valor pode ser:
Fator de temperatura 
Um aumento na temperatura acelera a falha por fadiga. Assim, o fator de temperatura é utilizado para modificar o limite de resistência obtido
experimentalmente. Esse fator pode ser obtido a partir da equação:
7, 62mm kb
de
de = 0, 370d
de = 0, 808√hb
(kc)
(kc)
(kd)
(kd)
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Onde:
 - resistência à tração na temperatura de operação;
 - resistência à tração na temperatura ambiente.
A tabela a seguir apresenta a relação em função da temperatura de operação para um aço:
Temperatura
20 1,000
50 1,010
100 1,020
150 1,025
200 1,020
250 1,000
300 0,975
350 0,943
400 0,900
450 0,843
500 0,768
550 0,672
600 0,549
Fator de con�abilidade 
O limite de resistência obtido experimentalmente é o valor médio e varia para o mesmo material e mesmas condições. O fator de confiabilidade para
modificar o limite de resistência à fadiga será:
Confiabilidade (%)
Fator de
confiabilidade (Ke)
50 1,000
90 0,897
95 0,868
ST
SRT
ST
SRT
∘C
ST/SRT
(ke)
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Confiabilidade (%)
Fator de
confiabilidade (Ke)
99 0,814
99,9 0,753
99,99 0,702
99,999 0,659
Fatores diversos 
O fator se destina a explicar a redução do limite de fadiga devido a todos os outros efeitos. A presença na fórmula para o cálculo de 
pretende reforçar que esses outros efeitos devem ser contabilizados, sempre que possível. As tensões residuais, por exemplo, podem aumentar ou
reduzir o limite de resistência.
Geralmente, se a tensão residual na superfície da peça for de compressão ocorre um aumento da resistência, pois qualquer fator que contribua para
a redução da tensão de tração irá também reduzir a possibilidade de uma falha por fadiga. Os limites de resistência das peças podem ser afetados
pela direção da operação de fabricação. As peças laminadas ou repuxadas, por exemplo, têm um limite de resistência na direção transversal de 10%
a 20% inferior ao limite no sentido longitudinal.
Quando não conhecermos quaisquer dos fatores modi�cadores devemos considerá-los iguais a um.
O exemplo a seguir (adaptado de BUDYNAS; NISBETT, 2011) ilustra como utilizamos os fatores modificadores a fim de obter o valor completamente
corrigido do limite de resistência à fadiga.
Exemplo
Uma barra de aço com limite de resistência à tração a foi usinada com diâmetro de e opera em um
ambiente a sob carregamento axial reverso. Determine o limite de fadiga para uma vida de ciclos e confiabilidade de
. Inicialmente, para temperatura de :
O fator de confiabilidade para 99%:
O fator de tamanho para carregamento axial. Para superfície usinada,
O fator de carga , pois o carregamento é axial. Assim, podemos calcular a resistência à fadiga considerando , visto que o
efeito da temperatura foi considerado ao modificarmos . Além disso, consideraremos , pois não há informações sobre
concentração de tensões ou outros fatores que possam alterar a resistência à fadiga. Desse modo:
(kf)
kf Se
Sut = 340MPa 20
∘C 25mm
300∘C Se 70.000
99% 300∘C
kb = 1
ka = 4, 51 ⋅ 331, 5
−0,265 = 0, 969
kc = 0, 85 kd = 1
Sut kf = 1
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Estresse provocado por fadiga
Fator de concentração do estresse de fadiga 
Em um elemento mecânico, as tensões teóricas aumentam nas proximidades imediatas de irregularidades ou descontinuidades, tais como furos,
ranhuras ou entalhes. O fator de concentração ( para tensão normal ou para tensão de cisalhamento), é multiplicado pela tensão
nominal para seobter a tensão máxima devido à descontinuidade.
Alguns materiais não são muito sensíveis à presença de entalhes e, portanto, um valor reduzido de ou pode ser utilizado, sendo esse
fator reduzido denominado fator de concentração de tensão sob fadiga, representados por e । respectivamente.
Para esses materiais, a tensão máxima efetiva em fadiga é dada por:
Assim, é conveniente pensar em como um fator de concentração de tensão reduzido de devido à menor sensibilidade aos entalhes. O
fator resultante é definido pela equação (BUDYNAS e NISBETT, 2015):
A sensitividade ao entalhe é definida pela equação:
Assim, podemos calcular o valor de :
Os valores da sensitividade ao entalhe e para alguns materiais podem ser obtidos a partir das figuras seguintes:
(Kf)
Kt Kts
Kt Kts
Kf Kfs
Kf Kt
q
Kf
(q qs)
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Cargas e ciclos
Tipos de carregamentos cíclicos
Uma série de diferentes padrões são seguidos por tensões cíclicas nos sistemas mecânicos. Geralmente, esses ciclos seguem padrões senoidais
devido à natureza de algumas máquinas rotativas. Para efeitos de cálculo, apenas os valores máximo e mínimo da tensão são importantes e não a
forma da onda.
Portanto, a onda senoidal pode ser convenientemente utilizada para representar qualquer tipo de variação de tensão entre os valores mínimo e
máximo de tensão. Seguem-se alguns tipos importantes de tensões cíclicas, dependendo do nível de tensão mínimo e máximo entre os quais a
tensão flutua:
Tensão completamente reversa
Valores extremos de tensão são de igual magnitude e natureza oposta com média igual a zero.
Tensão repetida
Especificamente neste caso, a tensão varia de zero a determinado valor máximo.
Tensão �utuante
Neste caso, a tensão varia entre um valor mínimo e máximo não nulos e de mesmo sinal.
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Tensão alternante
A tensão varia de tal forma que muda de trativa para compressiva com diferentes intensidades.
Todas as tensões variáveis podem ser consideradas como sendo constituídas por dois componentes - componente estático denominado tensão
média e um componente variável denominado amplitude de tensão calculados conforme as equações a seguir.
Além disso, a razão de tensão e a razão de amplitude também podem ser calculadas:
 e são os componentes de tensão no local em análise. Isso significa que, na ausência de um entalhe, e são iguais às
tensões nominais e induzidas por cargas e , respectivamente. Na presença de um entalhe, e são
 e , respectivamente, ou seja, o fator de concentração de tensão de fadiga é aplicado a ambos os componentes.
Projeto para carga dinâmica
Projeto para tensões completamente reversas
Em caso de ciclos de tensão completamente invertidos, os valores extremos de tensão são de igual magnitude e natureza oposta, com média igual
a zero. Os problemas de projeto para tensões completamente reversas podem ser divididos em dois grupos: vida infinita e vida finita.
Vida in�nita
Se a tensão desenvolvida num componente for mantida abaixo do limite de resistência, o elemento poderá resistir a um número infinito de ciclos, ou
seja, pode ter uma vida infinita. O limite de fadiga é o critério de projeto neste caso e a equação de projeto que o relaciona à componente
alternante e ao fator de projeto será:
(σm) (σa)
R A
σa σm σa σm
σao σmo  Fa Fm σa σm
Kfσao Kfσmo, 
(Se)
(σa) (nd)
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Vida �nita
Quando os componentes são concebidos para sobreviver entre 103 a 106 ciclos, chama-se design para vida finita. Para a curva S-N de aço
mostrada na imagem, a linha AB representa esta região. Para projeto de vida finita, a resistência à fadiga é tomada como critério de projeto.
A equação a seguir relaciona , o limite de fadiga completamente modificado , o número de ciclos e o limite de resistência à tração
:
Onde:
Onde é a fração do limite de resistência à tração para ciclos e pode ser obtida na figura seguinte para
.
Para fazer 
Projeto para tensões �utuantes
Neste caso, o valor médio da tensão tem um valor não nulo e tanto o componente estático como o componente variável da tensão
contribuem para a falha.
Soderberg, Goodman e Gerber propuseram três teorias diferentes, definindo a região ou banda em que a probabilidade de falha por fadiga é
reduzida. As equações de Soderberg, Goodman e a parábola de Gerber estão descritas na tabela seguinte.
Critério Soderberg Goodman Gerber
Descrição
Linha de 
(ordenada) a 
(abcissa)
Linha de 
(ordenada) a 
(abcissa)
Parábola de (ordenada) a (abcissa)
Equação de projeto
Fator de segurança
(Sf)
Sf Se N
Sut 
f Sut  N
490MPa ≤ Sut ≤ 1400MPa
Sut < 490MPa f = 0, 9
(σm) (σa)
Se
Syt
Se
Sut Se Sut
σm
Syt
+
σa
Se
=
1
nd
σm
Sut
+
σa
Se
=
1
nd
( ndσm
Sut
)
2
+
ndσa
Se
= 1
ns =
1
σm
Syt
+ σa
Se
ns =
1
σm
Sut
+ σa
Se
ns =
1
2
( Sut
σm
)
2
σa
Se
−1 +√1 + ( 2σmSe
σaSut
)
2⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦
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A imagem a seguir apresenta graficamente a representação dos três critérios:
Na imagem, a linha de Langer delimita a região de escoamento no primeiro ciclo.
A fim de melhor compreendermos a aplicação desses critérios, apresentaremos o exemplo a seguir adaptado de (BUDYNAS; NISBETT, 2015).
Exemplo
Uma barra de aço usinada com limite de escoamento e limite de resistência à tração é submetida a uma
carga de tração flutuante variando de 0 a . Devido à geometria da barra o fator de concentração de tensão para vida
superior a ciclos.
Considerando a barra circular com diâmetro de , calcule o fator de segurança contra a fadiga pelos critérios de Soderberg, Goodman e
Gerber, bem como o fator de segurança contra escoamento de primeiro ciclo.
Qual o modo de falha dominante no projeto, fadiga ou escoamento?
Primeiramente devemos determinar o limite de fadiga completamente modificado 
Fator de acabamento superficial 
Fator de tamanho (carregamento axial)
Fator de carga (carregamento axial)
Como nada foi dito a respeito dos demais fatores, :
Pelos dados do problema:
Considerando o fator de concentração:
Podemos calcular os fatores de segurança:
Soderberg
Sy = 580MPa Sut = 690MPa
70kN Kf = 1, 85
106
40mm
Se
−ka = 4, 51.690
−0,265 = 0, 798
−kb = 1
−kc = 0, 85
kd = ke = kf = 1
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Goodman
Gerber
Escoameto de primeiro ciclo
Como percebemos, pelos três critérios de fadiga utilizados o fator de segurança calculado é menor que o fator de segurança de escoamento de
primeiro ciclo. Portanto, devemos dar maior atenção à falha por fadiga.
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Vamos praticar alguns conceitos?
11/03/2023, 09:54 Falhas em elementos mecânicos
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Considerações �nais
Como vimos ao longo do tema, o estudo da falha de um elemento mecânico requer que conheçamos detalhadamente as condições de
carregamento, as propriedades do material e os processos de fabricação a que o elemento mecânico foi submetido, a geometria da peça, os
movimentos prescritos para o elemento, como esse elemento está ligado ao sistema e de que maneira seu movimento está sendo restringido.
Para subsidiar a análise de falha ou o projeto de um elemento mecânico a fim de evitá-la, aprendemos a determinar as reações ao carregamento
externo impostas pelo tipo de junta utilizada;