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1MATEMÁTICA
Módulos
17 – Fatorial e número binomial
18 – Propriedades dos números binomiais 
19 – Binômio de Newton – Desenvolvimento de (x + y)n
20 – Análise combinatória – Princípio da contagem e arranjos
21 – Permutações
22 – Combinações simples
ANÁLISE COMBINATÓRIA
17
Palavras-chave:
Fatorial e número binomial • Número natural 
 • Fatorial
1. Fatorial
O fatorial de um número natural n, representado
pelo símbolo n! (lê-se: n fatorial ou fatorial de n), é um
número definido por:
, ∀n ∈ �*
Observe que é uma definição por recorrência, ou
seja, cada fatorial é calculado com a utilização do fatorial
anterior. Assim: 
0! = 1
1! = 1 . 0! = 1 . 1 = 1
2! = 2 . 1! = 2 . 1
3! = 3 . 2! = 3 . 2 . 1! = 3 . 2 . 1
4! = 4 . 3! = 4 . 3 . 2! = 4 . 3 . 2 . 1
n! = n . (n – 1)! = n . (n – 1) . (n – 2)! = ...
De um modo geral, pois, temos:
Exemplos
1. Calcular 5!
Resolução
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
2. Calcular 
Resolução
= = 6 . 5 = 30
2. Número binomial
Sendo n e k dois números naturais, o número
binomial de ordem n e classe k, ou simplesmente o
0! = 1
n! = n . (n – 1)!
n! = n . (n – 1) . (n – 2) ... 3 . 2 . 1
6!
–––
4!
6 . 5 . 4!
–––––––––
4!
6!
–––
4!
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2 MATEMÁTICA
binomial n sobre k, representado pelo símbolo , é
um novo número natural definido por:
, se n � k
, se n < k
Exemplos
a) = = = = 10
b) = = = 35
3. Binomiais complementares
Os números binomiais e , chamados
complementares, são iguais.
Simbolicamente, supondo n � k:
Demonstração
⇒
⇒ 
Consequência da propriedade
Se os números naturais n, k e p forem tais que 
n � k e n � p, então:
Exemplo
Resolva a equação
= � 0
Resolução
= � 0 ⇔ 2x + 1 = 7 – x ou
2x + 1 + 7 – x = 17 ⇔ x = 2 ou x = 9
O número 9 não é raiz pois para x = 9 o número 
7 – x não é natural.
Resposta: V = {2}
n� �k
n n!� � = –––––––––––
k k! (n – k)!
n� � = 0k
5� �3
5!
––––––––
3!(5 – 3)!
5!––––––
3! 2!
5 . 4 . 3!/
––––––––
3!/ 2 . 1
7� �4
7!
–––––
4!3!
7 . 6 . 5 . 4!/
––––––––––––
4!/ . 3 . 2 . 1
n� �k
n� �n – k
n n� � = � �k n – k
n n!� � = ––––––––––––k k!(n – k)!
n n! n!� � = ––––––––––––––––––– = –––––––––n – k (n – k)![n – (n – k)]! (n – k)!k!
n n� � = � �k n – k
n n� � = � � , k = p ou k + p = nk p
17 � �2x + 1
17 � �7 – x
17 � �2x + 1
17 � �7 – x
� (ESPM) – A expressão 
equivale a
a) 4 . 13! b) 4! . 13! c) 15!
d) 16 . 13! e) 16!
Resolução
= =
= 2 . 1 . 2 . 2 . 2 . 7 . 6 . 5 . 13! = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 . 2 . 7 . 13! = 
= 16 . 15 . 14 . 13! = 16!
Resposta: E
� De uma reunião participam n pessoas (n ≥ 2). Se todas elas
se cumprimentam com um aperto de mãos, então o total de 
apertos de mãos é dado por = . 
Se em uma festa todos os presentes se comprimentarem com
um aperto de mãos e foram registrados 190 cumprimentos
desse tipo, quantas pessoas estavam presentes no local?
a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) 26
Resolução
= 190 ⇒ = 190 ⇒
⇒ = 190 ⇒ = 190 ⇒
⇒ n2 – n – 380 = 0 ⇒ n = 20, pois n ∈ �.
Resposta: C
� Calcule o valor de cada número binomial dado a seguir.
a) b) c) d) 
Resolução
a) = = = 792
b) = = = 792
c) = = 1
d) = = 1
�125�
2 . 1 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4! . 13!
–––––––––––––––––––––––––––
4!
2! . 8! . 13!
–––––––––––––
4!
2! . 8! .13!
–––––––––––
4!
� 127 � � 50 � � 55 �
� 125 �
12!
–––––––
5! 7!
12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7!
–––––––––––––––––––––
5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 7!
� 127 �
12!
–––––––
7! 5! �
12
5 �
� 50 �
5!
–––––––
0! 5!
� n2 �
n!
–––––––––
2! (n – 2)!
� n2 �
n!
–––––––––––
2! . (n – 2)!
n(n – 1)(n – 2)!
–––––––––––––––
2! . (n – 2)!
n2 – n
––––––––
2
5!
–––––––
5! 0!�55�
Exercícios Resolvidos
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 2
3MATEMÁTICA
� O valor de é:
a) 45 b) 60 c) 80 d) 90 e) 100
RESOLUÇÃO:
= = 90
Resposta: D
� O valor da expressão é:
a) 352 b) 362 c) 372 d) 382 e) 392
RESOLUÇÃO:
= = = 
= 36 . (37 – 1) = 362
Resposta: B
� Simplificando , com n ∈ �*, obte mos:
a) n + 1 b) n c) n – 1
d) n(n – 1) e) (n + 1) . n
RESOLUÇÃO:
(n + 1)! (n + 1) . n . (n – 1)!
–––––––––––––––– = –––––––––––––––––––– = n
(n + 1) . (n – 1)! (n + 1) . (n – 1)!
Resposta: B
Nas questões de � a �, calcular os números bino miais.
� = 
RESOLUÇÃO:
= = = 56
� =
RESOLUÇÃO:
= = 56
Obs.: = , pois são números binomiais complementares.
� =
RESOLUÇÃO:
= = 1, obs.: = 1, ∀n ∈ �
	 =
RESOLUÇÃO:
= = 1, obs.: = 1, ∀n ∈ �
 =
RESOLUÇÃO:
= = = 9, obs.: = n, ∀n ∈ �
� =
RESOLUÇÃO:
= 0, obs.: = 0, quando n ∈ �, k ∈ � e n < k 
� Resolver, em �, a equação = � 0.
RESOLUÇÃO:
2x – 5 = x ⇔ x = 5
ou
2x – 5 + x = 13 ⇔ x = 6
Resposta: V = {5; 6} 
10 !____
8!
10 . 9 . 8 !__________
8!
10 !____
8!
37 ! – 36 !__________
35!
35! (37 . 36 – 36)________________
35!
37 . 36 . 35! – 36. 35!_____________________
35!
37 ! – 36 !__________
35!
(n + 1)!
––––––––––––––
(n + 1) . (n – 1)!
8� �5
8 . 7 . 6 . 5!
–––––––––––––
5! . 3 . 2 . 1
8!
–––––––
5! 3!
8� �
5
8� �3
8!
–––––––
3! 5!
8� �3
8� �38� �5
9� �0
n� �
0
9!
–––––––
0! 9!
9� �
0
9� �9
n� �
n
9!
–––––––
0! 9!
9� �
9
9� �1
n� �
1
9 . 8!
–––––––
1 . 8!
9!
–––––––
1! 8!
9� �
1
5� �8
n� �
k
5� �
8
13� �x
13� �2x – 5
Exercícios Propostos
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4 MATEMÁTICA
1. Relação de STIFEL
Se n ∈ �*, k ∈ �* e n � k então:
Demonstração
Observação
2. Relação de FERMAT
Se n ∈ �, k ∈ � e n ≥ k, então:
Demonstração
a) . = . =
=
b) =
c) De (a) e (b), concluiu-se que: 
. =
Observação
3. Binomiais do tipo e
e , ∀n ∈ �
Demonstração
a) = = = 1
b) = = = 1
4. Triângulo de Pascal
Definição
É uma tabela formada por números binomiais, do
tipo , dispostos de tal forma que os binomiais de
mes mo n situam-se na mesma linha e os de mesmo k
na mesma coluna.
� �
…
n� �k + 1
n – k
–––––
k + 1
n� �k
n!
–––––––––––––––––
(k + 1)! (n – k – 1)!
n� �k + 1
n!
––––––––––––––––
(k + 1)!(n – k– 1)!
n – k
–––––
k + 1
n!
–––––––––
k!(n – k)!
n – k
––––––
k + 1
n� �k
n n – k n� � . –––––– = � �
k k + 1 k + 1
A principal aplicação da Relação de Stifel é na
construção do Triângulo de Pascal, como vere -
mos no item 5.
n – 1 n –1 (n – 1)! (n – 1)!� �+� �= ––––––––––– + –––––––––––– = k – 1 k (k –1)!(n–k)! k!(n – k – 1)!
k . (n – 1)! + (n – k) . (n – 1)! 
= –––––––––––––––––––––––––– = 
k!(n – k)!
[k + (n – k)] . (n – 1)!
= –––––––––––––––––––– =
k!(n – k)!
n . (n – 1)! n! n
= ––––––––––– = ––––––––– = � �k!(n – k)! k!(n – k)! k
n – 1 n – 1 n� � + � � = � �k – 1 k k
A Relação de Fermat permite calcular, de uma
maneira muito sim ples, os coeficientes do
desen vol vimento de (x + y) n. É o que veremos
no item 2.d do módulo 19. 
n� �n
n� �0
n� � = 1n
n� � = 10
n!
–––––
1 . n!
n!
–––––
0!n!
n� �0
n!
–––––
n! . 1
n!
–––––
n!0!
n� �k
�00�
�11��
1
0�
�22��
2
1��
2
0�
�33��
3
2��
3
1��
3
0�
�44��
4
3��
4
2��
4
1��
4
0�
�nn��
n
4��
n
3��
n
2��
n
1��
n
0�
n� �n
18
Palavras-chave:
Propriedades dos 
números binomiais
• Triângulo de Pascal 
• Linhas • Colunas 
• Diagonais
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5MATEMÁTICA
Construção do Triângulo de Pascal
Uma maneira de construir o Triângulo de Pascal é
calcular os números pela definição. Pode-se, en -
tretanto, construir sem calcular cada um dos bino miais. 
Basta notar que:
a) O primeiro e o último elemento de cada linha são
sempre iguais a 1, pois:
b) Os demais elementos de cada linha são obtidos
usando a Relação de Stifel.
Observe que os binomiais da relação 
+ = , dispostos no Triângulo de
Pascal, sugerem que
Somando-se dois números binomiais consecutivos
de uma mesma linha, o resultado encontra-se abaixo
do binomial da direita.
Observe a sequência da cons tru ção do triângulo:
etc.
5. Propriedades do 
triângulo de Pascal
a) Em qualquer linha, a partir da segunda, dois bi -
no miais equidistantes dos extremos são iguais, pois
são binomiais complementares.Exemplo
A linha do triângulo correspondente a n = 5 é:
b) A soma de todos os binomiais da linha n é 2n:
Exemplo
+ + + + + = 25 = 32
1
1
1
1
1
1
2
3
+
=
1
1
3
d)
1
1
1
1
1
1
1
2
3
+
=
1
1
c)
1
1
1
1
1
1
1
2
+
=
1
b)
1
1
1
1
1
1
1
.
.
.
1
1
1
1
a)
n – 1
k – 1
n – 1
k
n
k
+ = ⇔
n – 1
k – 1
+ n – 1
k
=
n
k
n – 1
0
n – 1
1
n – 1
2
. . . n – 1
k – 1
0
0
1
0
1
1
2
0
2
1
2
2
.
.
.
+
n – 1
k
=
. . . 
. . .
n
k – 1
n
0
n
1
n
2
n
k
. . . .
n� �k
n – 1� �k
n – 1� �k – 1
0 1 2 n� � = � � = � � = ... = � � = 1, ∀n ∈ �0 0 0 0
0 1 2 n� � = � � = � � = ... = � � = 1, ∀n ∈ �0 1 2 n
n� �k
1
1
1
1
1
1
2
3
4
+
=
1
1
3
1
e)
1 5 10 10 5 1
n n n n� � + � �+ � � + … + � � = 2n0 1 2 n
�55��
5
4��
5
3��
5
2��
5
1��
5
0�
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6 MATEMÁTICA
c) A soma dos binomiais da coluna k, a partir do
primeiro, é igual ao binomial localizado na próxima linha
e na próxima coluna do último binomial somado.
Exemplos
Generalizando:
d) A soma dos binomiais de uma diagonal (“para -
lela” ao lado oblíquo do triângulo), a partir do primeiro, é
igual ao binomial abaixo do último binomial somado.
Exemplos
Generalizando:
k k + 1 k + 2 n n + 1 � �+ � �+ � � +…+� � = � �0 1 2 n – k n – k
2 3 4 5 � � + � � + � � = � �0 1 2 2 
0 1 2 3 4 5 � � + � � + � � + � � + � � = � �0 1 2 3 4 4
1
0
2
0
3
0
4
0
1
1
2
1
3
1
4
1
4
4
5
4
5
5
5
0
5
1
5
3
3
3
4
3
2
2
3
2
4
2
5
2
0
0
+
+
+ +
+ +
= =
k k + 1 k + 2 n n + 1 � �+ � �+ � � +…+ � � = � �k k k k k + 1
2 3 4 5 � � + � � + � � = � �2 2 2 3
0 1 2 3 4 5 � � + � � + � � + � � + � � =� �0 0 0 0 0 1
0
0
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
2
2
3
2
4
2
5
2
3
3
4
3
5
3
4
4
5
4
+
+
+
+
+
+
==
� Calcular
Resolução
Observando, pela Relação de Stifel, que
, temos:
Resposta: 969
� Calculando , obtém-se
a) 120 b) 464 c) 495
d) 792 e) 912
Resolução
=
= + + + + =
(soma na diagonal do triângulo de Pascal)
=
Resposta: C
19! 19.18.17
= ––––––– = ––––––––– = 969
16!.3! 3.2.1
18 18 19 
= � � + � � = � � = 15 16 16 
17 17 18 � � + � � + � � = 14 15 16 
17 17 18 � � + � � = � �14 15 15 
17 17 18 � � + � � + � �14 15 16
n + 7� �n
4
∑
n = 0
n + 7� �n
4
∑
n = 0
12� �4
11� �4
10� �3
9� �2
8� �1
7� �0
7� �0
8� �1
9� �2
10� �3
11� �4
12� �4
= 495
12 . 11 . 10 . 9
–––––––––––––
4 . 3 . 2 . 1
=
12� �4
Exercícios Resolvidos
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 6
7MATEMÁTICA
� O triângulo de Pascal é uma tabela de números binomiais,
dispostos como segue:
� � � � � 
Reescreva o triângulo, substituindo cada número binominal pe -
lo seu valor, e em seguida verifique as seguintes proprie dades:
dos binomiais equidistantes dos extremos (complementares),
das linhas, das colunas e das diagonais.
RESOLUÇÃO:
Nas questões de � a �, completar:
� + =
RESOLUÇÃO:
+ = = = = 56
Resposta: 56
� + + + + + + =
RESOLUÇÃO:
+ + + + + + = 26 = 64
Resposta: 64
� + + + + =
RESOLUÇÃO:
+ + + + = =
= = = 70
Resposta: 70
� + + + + =
RESOLUÇÃO:
+ + + + = = 70
Resposta: 70
� Calcular o valor da expressão:
RESOLUÇÃO:
= 
=
Resposta: 5
4� �44� �34� �24� �14� �0
3� �33� �23� �13� �0
2� �22� �12� �0
1� �11� �0
0� �0
7� �37� �2
8 . 7 . 6 . /5!
––––––––––––
3 . 2 . 1 . /5!
8!
–––––––––
3! (8 – 3)!
8� �37� �37� �2
6� �66� �56� �46� �36� �26� �16� �0
6� �6
6� �5
6� �4
6� �36� �26� �1
6� �0
8� �4
7� �4
6� �35� �24� �1
3� �0
7� �46� �35� �24� �13� �0
5
10 . 23 + 2 . � � 3 10 . 8 + 2 . 10 100
–––––––––––––––––– = –––––––––––––––– = ––––– = 5 
6 20 20� �
3 
7� �36� �35� �34� �33� �3
8� �47� �3
6� �35� �34� �3
3� �3
8 . 7 . 6 . 5 . 4! 
––––––––––––––
4! . 4 . 3 . 2 . 1
8!
–––––––––
4!(8 – 4)!
3 3 3 3 2 3 4
10�� � + � � + � � + � �� + 2�� � + � � + � ��0 1 2 3 2 2 2
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2 3 4 5� � + � � + � � + � �
0 1 2 3
10 + + + +2 + +
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
+ + +
�� 30 � �
3
1 � �
3
2 � �
3
3 � �
2
2 �� �
3
2 � �
4
2 ���
� 20 � �
3
1 � �
4
2 � �
5
3 �
Exercícios Propostos
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 7
8 MATEMÁTICA
1. Desenvolvimento de (x + y)n
Observando as identidades
(x + y)0 = 1
(x + y)1 = 1 . x + 1 . y
(x + y)2 = 1 . x2 + 2 . xy + 1 . y2
(x + y)3 = 1 . x3 + 3 . x2y + 3 . xy2 + 1 . y3
nota-se que, nas parcelas de cada desenvolvimento:
a) as potências de x aparecem com expoentes em ordem decrescente;
b) as potências de y aparecem com expoentes em ordem crescente;
c) os coeficientes numéricos coincidem com os elementos das linhas do Triângulo de Pascal.
A partir destas considerações, induz-se uma maneira genérica de desenvolver (x + y)n. É o Teorema do Binômio de
Newton.
2. Teorema do Binômio de Newton
a) Sendo x e y dois números reais e n um número natural, demonstra-se que:
b) Utilizando o símbolo de somatório, pode-se também escrever:
c) Número de parcelas: o desenvolvimento de (x + y)n tem n + 1 parcelas.
d) Cálculo dos coeficientes:
Os coeficientes numéricos , , , ..., podem ser calculados pela definição de Número Binomial
ou então podem ser obtidos diretamente de cada linha do Triângulo de Pascal. A maneira mais prática de calcular os
coeficientes, porém, é lembrar que o primeiro é sempre igual a 1 e que os demais são obtidos a partir do anterior
pela Relação de Fermat, que é . = . Observe:
n� �n
n� �2
n� �1
n� �0
n� �k + 1
n – k�–––––�k + 1
n� �k
n
n
(x + y)n = ∑ � � . xn – k . ykk
k = 0
n n� � . (n – k) ÷ (k + 1) = � �k k + 1
• ÷ =cada coeficiente expoente de x expoente de y aumentado de 1 coeficiente seguinte
n n n n n 
(x + y)n = � � . xn . y0 + � � . xn – 1 . y1 + � � . xn – 2 . y2 + … + � � . xn – k . yk + … � � . x0 . yn0 1 2 k n
T1 T2 T3 Tk + 1 Tn + 1
19
Palavras-chave:
Binômio de Newton –
Desenvolvimento de (x + y)n
• Termo geral 
• Coeficientes 
• Expoentes
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9MATEMÁTICA
e) Observando que (x – y)n = [x + (– y)n] e que (– y)0 = y0, (– y)1 = – y1, (– y)2 = y2, (– y)3 = – y3 etc., temos:
3. Termo geral
Podemos concluir que o termo de ordem k + 1 do desen volvimento de (x + y)n feito segundo os expoen tes
decrescentes de x, é:
É importante observar que, no desenvolvimento de (x + y)n, feito segundo expoentes crescentes de x, o ter mo de
ordem k + 1 é: 
4. Soma dos coeficientes
A soma dos coeficientes numéricos do desenvol vi men to de (ax + by)n, com a e b constantes, obtém-se fazendo
x = y = 1. A soma vale, portanto, (a . 1 + b . 1)n, ou seja, (a + b)n.
n n n n
(x – y)n = � � . xny0 – � � . xn – 1y1 + � � . xn – 2y2 – � � xn – 3y3 + ...0 1 2 3
n n n n n 
(x + y)n = � � . xn . y0 + � � . xn – 1 . y1 + � � . xn – 2 . y2 + … +� � . xn – k . yk + … � � . x0 . yn0 1 2 k n
T1 T2 T3 Tk + 1 Tn + 1
n
Tk + 1 = � � . xn – k . ykk
n
Tk + 1 = � � . xk . yn – kk
Exercícios Resolvidos
� O valor da expressão 
E = (99)5 + 5 . 994 + 10 . 993 + 10 . 992 + 5 . 99 + 1 é igual a:
a) 99999 b) 1009 c) 1099
d) 1010 e) 105
ResoluçãoE = (99)5 + 5 . 994 + 10 . 993 + 10 . 992 + 5 . 99 + 1 = 
= (99 + 1)5 = 1005 = (102)5 = 1010
Resposta: D
� O quarto termo do desenvolvimento de (2x + y)8, feito segundo
os expoentes decres centes de x, é igual a: 
a) 56x5y3 b) 36x3y5 c) 1792x5y3
d) 1792x3y5 e) 2240x4y4
Resolução
Como Tk + 1 = � �xn – kyk para (x + y)n, temos:
T4 = � � (2x)5 . y3 = 56 . 32x5y3 = 1792x5y3
Resposta: C
� Considerando o desenvolvimento do binô mio x2 –
10
,
calcule:
a) o termo médio.
b) o termo independente de x.
Resolução
a) Como o desenvolvimento tem 10 + 1 = 11 termos, o termo médio
é o sexto.
Tk+1 = x
n – k . yk
T6 = (x
2)10 – 5 . (– x– 3)5 = – 252 . x – 5 = – 
b) Tk + 1 = (x
2)10 – k . (– x– 3)k = . x20 – 2k . (– 1)k . x– 3k =
= (– 1)k . x20 – 5k
20 – 5k = 0 ⇒ k = 4
O termo independente de x é (– 1)4 . x0 = 210.
Respostas: a) – b) 210
n
k
8
3
� 1–––x3 �
n� �k
10� �5
252
–––––
x5
10� �k
10� �k
10� �k
10� �4
252
–––––
x5
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10 MATEMÁTICA
� Desenvolver:
a) (x + y)0 = 1
b) (x + y)1 = 1x + 1y
c) (x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2
d) (x + y)3 = 1x2 + 3x2y + 3xy2 + 1y3
e) (x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
f) (x + y)5 = 1x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5
g) (x – y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5
� Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x + 2y)10,
feito segundo os expoentes decrescentes de x.
RESOLUÇÃO:
Tk + 1 = . x
10 – k . (2y)k
T4 = Tk + 1 → k = 3
T4 = . x
10 – 3 . (2y)3 = . x7 . 23 . y3 =
= . x7 . 8y3 = 960x7y3
Resposta: 960x7y3
� Calcular o termo de grau 9 no desenvolvimento de
RESOLUÇÃO:
I) Tk + 1 = . (x
2)12 – k . 
k 
=
= . x24 – 2k . x– 3k = . x24 – 5k
II) 24 – 5k = 9 ⇔ 5k = 15 ⇔ k = 3
III) T4 = . x
9 = . x9 = . x9 = 220x9
Resposta: 220x9
� A soma dos coeficientes dos termos do desen vol vimento
de (2x + y)6 é:
a) 81 b) 7776 c) 729 d) 2048 e) 243
RESOLUÇÃO:
Fazendo x = y = 1, temos: (2 + 1)6 = (3)6 = 729
Resposta: C
10� �k
10� �3
10!
––––––
3! . 7!
10 . 9 . 8 . 7!
–––––––––––––
3 . 2 . 1 . 7!
1 12�x2 + –––�x3
12� �k �
1
–––
x3 �
12� �k 12� �k
12� �3 12!–––––––3! . 9!
12 . 11 . 10 . 9!
––––––––––––––
3 . 2 . 1 . 9!
Exercícios Propostos
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11MATEMÁTICA
1. Princípio fundamental da
contagem
Os problemas de Análise Combinatória são, basica -
mente, problemas de contagem. A abordagem destes
proble mas é baseada num fato, de fácil com prova ção,
denominado Princípio Fundamental da Contagem ou,
simples mente, Regra do Produto, enunciado e exem -
plificado a seguir.
Enunciado
Um acontecimento é composto de dois estágios su -
ces sivos e independentes. O primeiro estágio pode ocor -
rer de m modos distintos; em seguida, o segundo es tá -
 gio pode ocorrer de n modos distintos. Nestas condições,
dizemos que “o número de maneiras dis tin tas de ocor -
rer este acontecimento é igual ao produto m . n”.
Exemplo
Um estudante, ao se inscrever no Concurso para
Vestibular, deve escolher o Curso e a Faculdade que
deseja cursar. Sabe-se que existem cinco cursos pos -
síveis: Engenharia, Medicina, Odontologia, Arquite tura e
Direito. Cada curso pode ser feito em três faculdades
possíveis: Estadual, Federal e Particular. Qual é o
número total de opções que o estudante pode fazer?
Resolução
De acordo com o Princípio Fundamental da Conta -
gem, o número total de opções que o estudante pode
fazer é 5 x 3, ou seja, 15. Podemos ilustrar estas 15 op -
ções com o auxílio da árvore de possibilidades, obser -
vando que, para cada um dos cinco cursos pos síveis (E,
M, O, A, D), existem três faculdades possíveis (E, F, P).
Generalizações
Quando um acontecimento for composto por k está -
gios sucessivos e in depen dentes, com, respectiva mente,
n1, n2, n3, ..., nk possibilidades cada, o número total de
ma neiras distintas de ocorrer este acontecimento é 
n1 . n2 . n3 . ... . nk.
2. Técnicas de contagem
Seja A = {a; b; c; d; ...; j} um conjunto formado por 10
elementos distintos, e consideremos os “agrupa men tos
ab, ac e ca”.
Os agrupamentos ab e ac são considerados sempre
distintos, pois diferem pela natureza de um elemento.
Os agrupamentos ac e ca, que diferem apenas pela
ordem de seus elementos, podem ser considerados
distintos ou não.
Se, por exemplo, os elementos do conjunto A fo rem
pontos, A = {A1, A2, A3, ..., A10}, e ligando estes pontos
desejarmos obter retas, então os agrupamentos A1A2 e
A2A1 são iguais, pois representam a mesma reta.
Se, por outro lado, os elementos do conjunto A
forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, ..., 9}, e com estes
algarismos desejarmos obter números, então os agru -
pamentos 12 e 21 são distintos, pois representam
núme ros diferentes.
Do que foi exposto, podemos concluir que:
a) Existem problemas de contagem em que os agru -
pa mentos, a serem contados, são considerados distin -
tos, apenas quando diferem pela natureza de pelo
menos um de seus elementos. É o caso em que ac = ca.
Escolha
do Curso
Escolha
da Faculdade Resultado
E
F
P
E
F
P
E
F
P
E
F
P
E
F
P
D
A
O
M
E
E E
E F
E P
M E
M F
M P
O E
O F
O P
A E
A F
A P
D E
D F
D P
20
Palavras-chave:
Análise combinatória –
Princípio da contagem e arranjos
• Contagem
• Sequências
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12 MATEMÁTICA
Neste caso, os agrupamentos são chamados com -
binações.
Caso típico
O conjunto A é formado por pontos e o problema é
saber quantas retas esses pontos determinam.
b) Existem problemas de contagem em que os agru -
pa men tos, a serem contados, são considerados distin -
tos, quando diferem tanto pela natureza como pela
ordem de seus elementos. É o caso em que ac � ca.
Neste caso, os agrupamentos são chamados arran jos.
Caso típico
O conjunto A é formado por algarismos e o pro ble -
ma é contar os números por eles determinados.
3. Arranjos simples
Definição
Seja A um conjunto com n elementos e k um
natural menor ou igual a n.
Chamam-se arranjos simples k a k, dos n
elementos de A, os agrupamentos, de k elementos
distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza
ou pela ordem de seus elementos.
Cálculo do número de arranjos simples
Na formação de todos os arranjos simples dos n
elementos de A, tomados k a k, temos:
n possibilidades na escolha do 1o. elemento;
n – 1 possibilidades na escolha do 2o. elemento,
pois um deles já foi usado;
n – 2 possibilidades na escolha do 3o. elemento,
pois dois deles já foram usados;
�
n – (k – 1) possibilidades na escolha do ko. ele -
mento, pois k – 1 deles já foram usados;
Pelo Princípio Fundamental da Contagem, represen -
tando com o símbolo An, k o número total de arranjos
simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:
(é o produto de k fatores)
Multiplicando e dividindo por (n – k)!:
n(n – 1) (n – 2) . ... . (n – k + 1) . (n – k)!
An,k = –––––––––––––––––––––––––––––––––––––,
(n – k)!
notamos que n(n – 1)(n – 2) . ... . (n – k + 1) . (n – k)! = n!;
assim, podemos também escrever
n!
An,k = ––––––––
(n – k)!
An,k = n . (n – 1) . (n – 2) . ... . (n – k + 1)
� Jogar baralho é uma atividade que estimula o
raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que
utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete
colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda
tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas,
e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e
o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas
colunas.
A quantidade de cartas que forma o monte é 
a) 21.
b) 24.
c) 26.
d) 28
e) 31.
Resolução
A quantidade de cartas que forma o monte é 
52 – (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7) = 52 – 28 = 24
Resposta: B
� (UNESP) – Uma rede de supermercados fornece a seus clientes
um cartão de crédito cuja identificação é forma da por 3 letras distintas
(dentre 26), seguidas de 4 algaris mos distintos. Uma determinada
cidade receberá os cartões que têm L como terceira letra, o último
algarismo é zero e o pe núltimo é 1. A quantidade total de cartõesdis -
tintos oferecidos por tal rede de supermer cados para essa cidade é 
a) 33 600 b) 37 800 c) 43 200 
d) 58 500 e) 67 600 
Resolução
A numeração dos cartões dessa cidade é do tipo
A primeira letra pode ser escolhida entre as 25 res tan tes e a segunda
letra entre as 24 res tantes. O primeiro algarismo pode ser esco lhido
entre os 8 res tantes e o segundo entre os sete restantes. Desta forma,
o número de cartões é 25 . 24 . 8 . 7 = 33 600
Resposta: A
Exercícios Resolvidos
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13MATEMÁTICA
� (FUVEST) – Uma caixa automática de banco só trabalha
com notas de 5 reais e 10 reais. Um usuário deseja fazer um
saque de 100 reais. De quantas maneiras diferentes a caixa
eletrônica poderá fazer esse pagamento?
a) 5 b) 6 c) 11
d) 15 e) 20
RESOLUÇÃO:
Resposta: C
� Num avião, uma fila tem 7 poltronas dispostas como na
figura abaixo.
corredor corredor 
Os modos de João e Maria ocuparem duas poltronas dessa
fila, de modo que não haja um corredor entre eles, são em 
número de:
a) 6 b) 7 c) 8
d) 10 e) 12
RESOLUÇÃO:
10 modos
Resposta: D
J M
M J
J M
M J
J M
M J
J M
M J
M J
J M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
� O código de barras, contido
na maior parte dos pro dutos
industrializados, consiste
num conjunto de várias barras que podem
estar preenchidas com cor escura ou não.
Quando um leitor óptico passa sobre essas
barras, a leitura de uma barra clara é con vertida
no número 0 e a de uma barra escura, no
número 1. Observe a seguir um exem plo
simplifi cado de um código em um sistema de
código com 20 barras. 
Se o leitor óptico for passado da esquerda
para a direita, irá ler: 01011010111010110001. 
Se o leitor óptico for passado da direita para a
esquer da, irá ler: 10001101011101011010. 
No sistema de código de barras, para se
organizar o processo de leitura óptica de cada
código, deve-se levar em consideração que
alguns códigos podem ter leitura da esquerda
para a direita igual à da direita para a esquer da,
como o código 00000000111100000000, no
sistema descrito acima.
Em um sistema de códigos que utilize apenas
cinco bar ras, a quantidade de códigos com lei -
tura da esquer da para a direita igual à da direita
para a esquerda, descon siderando-se to das as
barras claras ou todas as escuras, é: 
a) 14 b) 12 c) 8 d) 6 e) 4
Resolução
Se um sistema de códigos utiliza apenas cinco
barras, a quan tidade de códigos com leitura da
esquerda para a direita igual à da direita para a
esquerda, desconsi derando-se todas as barras
claras ou todas as escuras, é 6, pois:
1) As barras A,B,C,D,E podem estar preen -
chidas com cor escura ou não, ou seja, 2
possibilidades cada.
2) –A e E devem estar preenchidas com a
mesma cor: 2 possibili dades.
–B e D devem estar preenchidas com a
mesma cor: 2 possibi lidades.
–C tem 2 possibilidades de preenchimento.
3) Assim, existem 2.2.2 = 8 códigos com
leitura da esquerda para a direita igual à da
direita para a esquerda, das quais 2 têm
todas as barras claras ou todas escuras.
Logo, a resposta é 8 – 2 = 6.
Resposta: D
Exercícios Propostos
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14 MATEMÁTICA
� Uma pesquisa realizada por estudantes da
Faculdade de Estatística mostra, em horas por
dia, como os jovens entre 12 e 18 anos
gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira
a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A
seguinte tabela ilustra os resulta dos da pesquisa.
De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo
gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de
segunda-feira a domingo), nas atividades escolares?
a) 20 b) 21 c) 24
d) 25 e) 27
RESOLUÇÃO:
A quantidade de horas semanais, de segunda-feira a domingo,
que um jovem de 12 a 18 anos gasta com atividades escolares é 
5 . 5 + 2 . 1 = 27
Resposta: E
� Uma senha de acesso a uma rede de computadores é
formada por 3 letras escolhidas entre as seis primeiras do
nosso alfabeto. Quantas senhas diferentes e de três letras
distintas podem ser formadas com as letras citadas?
RESOLUÇÃO:
Letras ⇒
↓ ↓ ↓Total de
possibilidades ⇒ 6 . 5 . 4 = 120 = A6,3
Resposta: 120
� Existem vários sistemas de numeração, mas o mais
comum, e que é frequentemente utilizado por nós, é o sistema
de numeração decimal, no qual contamos com dez símbolos
distintos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Quantos números diferentes e de quatro algarismos distintos
podem ser formados nesse sistema?
RESOLUÇÃO:
Condição: o algarismo dos milhares deve ser diferente de zero.
Algarismos ⇒
↓ ↓ ↓ ↓Total de
possibilidades ⇒ 9 . 9 . 8 . 7 = 4536
ou
A10,4 – A9,3 = 10 . 9 . 8 . 7 – 9 . 8 . 7 = 4536
Resposta: 4536
� O diretor de uma escola convidou os 280
alunos de terceiro ano a participarem de uma
brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e
6 personagens numa casa de 9 cô modos; um dos personagens
esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O
objetivo da brincandeira é adivinhar qual objeto foi escondido
por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi
escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é
sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre
distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sor -
tea do mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta,
ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
RESOLUÇÃO:
O número total de possibilidades de uma persona gem esconder
um dos 5 brinquedos em um dos 9 cômodos é 6 . 5 . 9 = 270.
Já que as respostas devem ser sempre diferentes, algum aluno
acertou a resposta porque “há 10 alunos a mais do que possíveis
respostas distintas”.
Resposta: A
C D UM
3a.2a.1a.
Rotina 
Juvenil
Durante 
a semana
No fim 
de semana
Assistir à televisão 3 3
Atividades domésticas 1 1
Atividades escolares 5 1
Atividade de lazer 2 4
Descanso, higiene e
alimentação
10 12
Outras atividades 3 3
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15MATEMÁTICA
1. Definição
Seja A um conjunto com n elementos. Os arranjos
simples n a n, dos n elementos de A, são chamados
permutações simples de n elementos.
Observe que, de acordo com a definição, todas as
permutações têm os mesmos elementos: são os n ele -
mentos de A. Assim sendo: duas permutações dife -
rem entre si apenas pela ordem de seus elementos.
2. Cálculo do número 
de permutações simples
Representando com o símbolo Pn o número total de
per mu tações simples de n elementos e estabelecendo 
k = n na fórmula An,k = n(n – 1).(n – 2) . ... . (n – k + 1), temos:
Pn = An,n = n(n – 1).(n – 2) . ... . (n – n + 1) =
= n.(n – 1).(n – 2) . ... . 1 = n!
Logo:
3. Permutações com 
elementos repetidos
Sejam α elementos iguais a a, β elementos iguais
a b, γ elementos iguais a c, ..., λ elementos iguais a �,
num total de α + β + γ + ... + λ = n elementos.
Representando com o símbolo Pn
α, β, γ, ..., λ o número
de permutações distintas que podemos formar com os n
elementos, temos:
n!
Pn
�, β, γ, ..., λ = ––––––––––––––––––
�! . β! . γ! . ... . λ!
Pn = n!
Exercícios Resolvidos
� São designadas por tucano as aves da família Ram phastidae que
vivem nas florestas da América Central e América do Sul e possuem um
bico grande e inconfundível. Quantos são os anagramas da palavra
TUCANO?
Resolução 
P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Resposta: 720
� Quantos anagramas da palavra TUCANO come çam com vogal e
terminam com consoante?
Resolução
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
3 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 3 . P4 . 3 = 9 . 4! = 216 
P4
Resposta: 216
� (FUVEST) – Um lotação possui três bancos para passageiros, cadaum com três lugares, e deve transportar os três membros da família
Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso, 
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove
passageiros no lotação é igual a
a) 928 b) 1152 c) 1828
d) 2412 e) 3456
Resolução
Existem 3 formas de escolher o banco em que a família Souza irá sentar
e P3 formas de posicioná-la nesse banco.
Existem 2 formas de escolher, entre os bancos que so braram, aquele
em que o casal Lúcia e Mauro senta. Para cada um desses bancos
existem duas formas de posicionar o casal (à esquerda ou à direita do
banco, por exemplo) e, para cada uma dessas formas, P2 maneiras de o
casal trocar de lugar entre si.
Existem P4 formas de posicionar as quatro outras pessoas.
Assim, no total, temos:
3 . P3 . 2 . 2 . P2 . P4 = 12 . 3! . 2! . 4! = 3456 maneiras distintas de dispor
os passageiros no lotação.
Resposta: E
A
O
U
C
N
T
21
Palavras-chave:
Permutações • Permutar 
• Trocar
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16 MATEMÁTICA
� Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de
alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sem -
pre pega outros dois filmes e assim suces siva -
mente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos,
sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso,
estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos.
Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia.
Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará
um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam
vistos e sem que nenhum filme seja repetido. 
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser
posta em prática? 
a) 20 x 8! + (3!)2 b) 8! x 5! x 3! c)
d) e)
Resolução 
Para alugar os 16 filmes lançamentos, serão neces sárias 8 locações,
pois são alugados dois filmes por vez.
I) O número de sequências diferentes para alugar os 8 filmes de ação,
nas 8 locações, é P8 = 8!
II) O número de sequências diferentes para alugar os 5 filmes de
comédia, nas 5 primeiras locações, é P5 = 5!
III) O número de sequências diferentes para alugar os 3 filmes de
drama, nas 3 últimas locações, é P3 = 3!
Assim, o número de formas distintas é 8! . 5! . 3!
Resposta: B
� (UNESP) – A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade.
Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos
percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos sentidos “de
baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”. O número de
percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:
a) 95 040. b) 40 635. c) 924.
d) 792. e) 35.
Resolução
Qualquer percurso para ir de A até B deve ter, sempre, cinco trechos
“de baixo para cima” e sete trechos “da esquerda para a direita”. O
número de percursos diferentes é igual, portanto, ao número de
permutações desses 12 trechos, lembrando que 5 são iguais (↑) e os
outros 7 também (→). Logo
P12
5,7 = = = 792
Resposta: D
16!
––––
28
12!
––––––
5! . 7!
12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7!
––––––––––––––––––
5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 7!
8! x 5! x 3!
––––––––––––
22
8! x 5! x 3!
––––––––––––
28
A
B
Exercícios Propostos
� Quantos anagramas tem a palavra AMIGO?
RESOLUÇÃO:
P5 = 5! = 5 . 4 . 3. 2 . 1 = 120
Resposta: 120
� Quantos anagramas da palavra AMIGO começam com
vogal e terminam com consoante?
RESOLUÇÃO:
3. 3 . 2 . 1 . 2 = 3 . P3 . 2 = 3 . 3! 2 = 36123
P3
Resposta: 36
A
I
O
M
G
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17MATEMÁTICA
� Chipre é uma ilha situada no mar Mediterrâneo Oriental ao
sul da Turquia, com a Síria e o Líbano a leste. Quantos anagra -
mas da palavra CHIPRE tem as letras C, H e I juntas?
RESOLUÇÃO:
P3
P4
P4 . P3 = 4! . 3!= 144
Resposta: 144
� O setor de recursos humanos de uma em -
presa vai realizar uma entrevista com 120
can didatos a uma vaga de contador. Por
sorteio, eles pretendem atri buir a cada candidato um número,
colocar a lista de números em ordem numérica crescente e
usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um
defeito do com putador, foram gerados números com 5 alga -
rismos distin tos e, em nenhum deles, apareceram dígitos
pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver
recebido o número 75 913 é
a) 24. b) 31. c) 32. d) 88. e) 89
RESOLUÇÃO: 
Permutando os algarismos 1, 3, 5, 7, 9, obtém-se 
5! = 120 números de cinco algarismos distintos. Es crevendo estes
números em ordem crescente até o número 75 913, temos:
1) 4! = 24 números iniciados em 1
2) 4! = 24 números iniciados em 3
3) 4! = 24 números iniciados em 5
4) 3! = 6 números iniciados em 71
5) 3! = 6 números iniciados em 73
6) 2! = 2 números iniciados em 751
7) 2! = 2 números iniciados em 753
8) O número 75 913
A ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número
75 913 é 24 + 24 + 24 + 6 + 6 + 2 + 2 + 1 = 89
Resposta: E
� Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
RESOLUÇÃO:
P2;35 = = 10
Resposta: 10
� Quantos são os anagramas de “URUGUAI” que
começam por vogal?
RESOLUÇÃO:
1) A quantidade de anagramas que começados em U é 
P6
2 = = 360
2) A quantidade de anagramas começados em A é
P36 = = 120
3) A quantidade de anagramas começasos em I é
P36 = = 120
Assim, a quantidade total de anagramas de “URUGUAI”
começados em vogal é 360 + 2. 120 = 600.
Resposta: 600
C H I
5!
–––––
2!3!
U R U G U A I
6!
––––
2!
A U R U G U I
6!
–––––
3!
I U R U G U A
6!
–––––
3!
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 17
18 MATEMÁTICA
1. Definição
Seja A um conjunto com n elementos e k um natural
menor ou igual a n. Chamam-se combinações simples
k a k, dos n elementos de A, os agrupamentos, de k
elementos distintos cada, que diferem entre si apenas
pela natureza de seus elementos.
2. Cálculo do número de
combinações simples
Representando com o símbolo Cn,k o número total
de combinações simples dos n elementos de A, toma -
dos k a k, temos:
a) permutação de k elementos de uma com bi na -
ção k a k, obtendo-se Pk arranjos distintos.
b) permutação de k elementos das Cn,k com bina -
 ções k a k obtendo-se Cn,k . Pk arranjos
distintos.
Assim sendo:
Lembrando que An,k = , Pk = k! e 
= , podemos também escrever:
Seja A = {a, b, c, d} um conjunto com 4 elementos dis -
tintos. Com os ele men tos de A podemos formar 
4 com bina ções de três elementos cada:
Permutando os 3 elementos de uma delas, por exemplo
abc, obtemos P3 = 6 arranjos distintos:
Permutando os 3 elementos das 4 com bi na ções, 
ob temos todos os ar ran jos 3 a 3:
Assim sendo: 
(4 combinações) x (6 permuta ções) = 24 arranjos e,
portanto, C4,3 . P3 = A4,3
An,k n! n
Cn,k = ––––– = –––––––––– = � �
Pk k!(n – k)! k
n� �k
n!
–––––––––
k!(n – k)!
n!
––––––––
(n – k)!
An,k
Cn,k . Pk = An,k ⇔ Cn,k = –––––
Pk
abc abd acd bcd
abc abd acd bcd
acb
bac
bca
cab
cba
abc abd acd bcd
acb adb adc bdc
bac bad cad cbd
bca bda cda cdb
cab dab dac dbc
cba dba dca dcb
22
Palavras-chave:
Combinações simples • Escolher 
• Conjuntos
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 18
19MATEMÁTICA
� (FUVEST) – Participam de um torneio de voleibol 20 times distri -
buídos em 4 chaves, de 5 times cada uma. Na 1a. fase do torneio, os
times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra
todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de cada chave pas sam
para a 2a. fase. Na 2a. fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada
partida, apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número de
jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é:
a) 39 b) 41 c) 43 d) 45 e) 47
Resolução
Na primeira fase, foram realizados 4 . C5,2 = 4 . 10 = 40 jogos; na
segunda fase, 4 jo gos; na terceira fase, 2 jogos e na final, 1 jogo. Total
de jogos = 40 + 4 + 2 + 1 = 47
Resposta: E
� De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4
pessoas cada?
Resolução
O primeiro grupo pode ser escolhido de C8,4 modos. Escolhido o
primeirogrupo, sobram 4 pessoas e só há 1 modo de formar o
segundo grupo.
= = 35
Resposta: 35
� (UNESP) – Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10
questões de múltipla escolha, com 5 alter nativas cada e apenas uma
correta, deseja que haja um equilíbrio no número de alternativas
corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto é, ele
deseja que duas questões sejam assinaladas com a alternativa A, duas
com a B, e assim por diante, como mostra o modelo.
Modelo de folha de resposta (gabarito)
Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com
a letra X disposta nas alternativas corretas, será
a) 302 400 b) 113 400 c) 226 800
d) 181 440 e) 604 800
Resolução 
Existem: 
C10;2 formas de escolher as questões cuja resposta correta é A; C8;2
formas de escolher as questões cuja resposta correta é B; 
C6;2 formas de escolher as ques tões cuja resposta correta é C; 
C4;2 formas de escolher as questões cuja resposta correta é D;
C2;2 formas de escolher as questões cuja resposta correta é E.
Ao todo, existem
C10;2 . C8;2 . C6;2 . C4;2 . C2;2 =
= . . . . 1 = = 113 400
Resposta: B
� Considere o seguinte jogo de apostas: 
Numa cartela com 60 números disponíveis, um
apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os
números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será
premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números
escolhidos por ele numa mesma cartela. 
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a
quantidade de números escolhidos. 
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as
seguintes opções: 
Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; 
Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6
números escolhidos; 
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números
escolhidos; 
Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; 
Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. 
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são 
a) Caio e Eduardo. b) Arthur e Eduardo. c) Bruno e Caio. 
d) Arthur e Bruno. e) Douglas e Eduardo. 
Resolução
De acordo com o enunciado, podemos montar a se guinte tabela:
Portanto, os dois apostadores com maiores proba bilidades de serem
premiados são Eduardo com 420 apostas e Caio com 346 apostas.
Resposta: A
C8,4 x 1–––––––––
2
70
––––
2
A B C D E
01 X
02 X
03 X
04 X
05 X
06 X
07 X
08 X
09 X
10 X
10!
–––––
8!2!
8!
–––––
6!2!
6!
–––––
4!2!
4!
–––––
2!2!
10!
–––––
(2!)5
Quantidade de números
escolhidos em uma cartela
Preço da cartela (R$) 
6 2,00 
7 12,00 
8 40,00 
9 125,00 
10 250,00 
Apostador Números de apostas realizadas
Arthur
6
250 . � � = 2506
Bruno
7 6
41 . � � + 4 . � � = 287 + 4 = 2916 6 
Caio
8 6
12 . � �+ 10 . � � = 336 + 10 = 3466 6 
Douglas
9
4 . � � = 3366
Eduardo
10
2 . � � = 4206
Exercícios Resolvidos
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 19
20 MATEMÁTICA
� Como não são adeptos da prática de esportes,
um grupo de amigos resolveu fazer um
torneio de futebol utilizando videogame.
Decidiram que cada jogador joga uma única vez com cada um
dos outros jogadores. O campeão será aquele que conseguir o
maior número de pontos. Observaram que o número de
partidas jogadas depende do número de jogadores, como
mostra o quadro:
Se a quantidade de jogadores for 8, quantas partidas serão
realizadas?
a) 64 b) 56 c) 49 d) 36 e) 28
RESOLUÇÃO:
O número de maneiras de se escolher 2 jogadores dentre os 8
possíveis é:
C8;2 = = = 28
Resposta: E
� (FGV) – Dez pessoas, entre elas Gilberto e Laura,
pretendem formar uma comissão com quatro membros
escolhidos entre os dez. Quantas comissões são possíveis se
Gilberto e Laura podem ou não comparecer mas nunca juntos
na mesma comissão?
a) 182 b) 45 c) 240 d) 100 e) 70
RESOLUÇÃO:
1) Número total de comissões possíveis (escolha de quaisquer
quatro pessoas entre as dez):
C10,4 = = = 210
2) Número de comissões em que Gilberto e Laura estão ambos
presentes (escolha das outras duas pessoas dentre as oito que
sobraram):
C8,2 = = = 28
3) Portanto, a quantidade de comissões possíveis é de:
210 – 28 = 182
Resposta: A
� Num plano são dados dez pontos, três a três não coli -
neares. Pergunta-se:
a) qual o número total de retas determinadas por esses pon tos?
b) qual o número total de triângulos com vértices nestes pon tos?
RESOLUÇÃO:
a) C10;2 = = 45
b) C10;3 = = 120
Respostas: a) 45 b) 120
Quantidade de jogadores 2 3 4 5 6 7
Número de partidas 1 3 6 10 15 21
8!
––––––––––
2! (8 – 2)!
8!
––––––
2! 6!
10� �2
10� �3
10!
––––––
6!4!
10 . 9 . 8 . 7
––––––––––––
4 . 3 . 2
8!
––––––
6!2!
8 . 7 
––––––
2
Exercícios Propostos
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 20
21MATEMÁTICA
� Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando
como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes
e 5 tipos distintos de pedras ornamentais.
Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 
15 pedras ornamentais distintas.
A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem
ser produzidas é representada pela expressão
a) . b) + 
c) + d) . 
e)
RESOLUÇÃO:
A quantidade de maneiras de se escolher 2 tipos de tecidos
diferentes a partir de 6 é dado por 
C6,2 = 
A quantidade de maneiras de se escolher 5 tipos diferentes de
pedras ornamentais a partir de 15 é dada por C15,5 = 
Assim, a quantidade de maneiras de se escolher 2 tecidos e 
5 pedras é
. 
Resposta: A
� (FUVEST) – Doze pontos são assinalados sobre quatro
segmentos de reta de forma que três pontos sobre três seg -
mentos distintos nunca são colineares, como na figura.
O número de triângulos distintos que podem ser desenhados
com os vértices nos pontos assinalados é
a) 200. b) 204. c) 208. d) 212. e) 220.
RESOLUÇÃO:
O número de triângulos distintos que podem ser formados é 
C12,3 – 2 . C4,3 pois os pontos A, B, C e D são alinhados o mesmo
acontecendo com M, N, P e Q.
Assim:
C12,3 – 2 . C4,3 = – 2 . =
= – 2 . 4 = 220 – 8 = 212 
Resposta: D
12!
–––––––
3! 9!
4!
–––––––
3! 1!
12 . 11 . 10
––––––––––––
6
6!
–––––
4!2!
15!
––––––
10!5!
6!
––––––
4!2!
15!
––––––
10!5!
6!
–––
2!
15!
––––
5!
6!
–––
2!
15!
––––
5!
21!
––––––
7!14!
6!
–––––
4!2!
15!
–––––
10!5!
6!
––––––
4!2!
15!
––––––
10!5!
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 21
1. Paralelepípedo
Paralelepípedo é todo prisma cujas bases são paralelogramos.
2. Paralelepípedo reto-retângulo
Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo re tân gulo é todo paralelepípedo reto cujas faces são retân gulos.
22 MATEMÁTICA
33 e 34
Palavras-chave:
Paralelepípedo e cubo
• Prisma de base
quadrangular 
• Retângulo 
• Quadrado
Módulos
33 – Paralelepípedo e cubo
34 – Paralelepípedo e cubo
35 – Pirâmide
36 – Pirâmide
37 – Tetraedro regular
38 – Cilindro
39 – Cilindro
40 – Cone
41 – Cone
42 – Esfera e suas partes
43 – Esfera e suas partes
44 – Esfera e suas partes
GEOMETRIA MÉTRICA
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 22
3. Área total
No paralelepípedo re to-retângulo da figura, de 
di mensões a, b e c, temos:
A
ABCD
= A
EFGH
= a . b
A
BFGC
= A
AEHD
= a . c 
A
ABFE
= A
DCGH
= b . c
Assim, sendo A
t
a área total do paralelepípedo,
temos:
4. Volume
Sendo V o volume de um paralelepípedo reto-retân -
gulo de dimensões a, b e c, e considerando-se um dos
retângulos cujos lados medem a e b, por exemplo, como
base, temos:
V = Ab . h = (a . b) . c ⇔
5. Diagonal
Sejam D a medida da diagonal AG
––
do par a lelepípedo
reto-retân gu lo de dimensões a, b e c da figura e d a me -
dida da diagonal EG
–––
da face EFGH.
No triângulo retângulo EFG, temos:
(EG)2 = (FG)2 + (EF)2 ⇒ d2 = a2 + b2
No triângulo retângulo AEG, temos:
(AG)2 = (EG)2 + (AE)2 ⇒ D2 = d2 + c2
Assim, D2 = a2 + b2 + c2 e, portanto: 
6. Cubo
Cubo é todo paralelepípedo reto-retângulo cujas seis
faces são quadradas.
Num cubo de aresta a, sendo A
t
a área total, D a
medida da diagonal e V o volume do cubo,temos:
D = ���������������a2 + b2 + c2
V = a3D = a . ����3At = 6 . a2V = a . b . c
At = 2 . (ab + ac + bc)
23MATEMÁTICA
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 23
24 MATEMÁTICA
�Considere um caminhão que tenha uma carroceria na forma de
um paralelepípedo retângulo, cujas dimen sões internas são 5,1 m
de comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura. Suponha que
esse caminhão foi contra tado para trans portar 240 caixas na forma
de cubo com 1 m de ares ta cada uma e que essas caixas podem ser
empilhadas para o transporte.
Qual é o número mínimo de viagens neces sárias para realizar esse
transporte?
a) 10 viagens. b) 11 viagens. c) 12 viagens. 
d) 24 viagens. e) 27 viagens.
Resolução
Admitindo-se que as caixas serão empilhadas de forma organizada
e cada pilha não pode ultrapassar a altura da carroceria, no compri -
mento caberão apenas cinco caixas, na largura duas caixas e na
altura duas caixas, como sugere a figura seguinte.
Em cada viagem serão transportadas 5 . 2 . 2 = 20 caixas. 
Para transportar as 240 caixas serão neces sárias, e suficientes,
= 12 viagens.
Resposta: C

 Eclusa é um canal que, cons truído em águas de um
rio com grande des nível, pos sibilita a navegabilidade,
subida ou descida de embarcações. 
No esquema anterior, está representada a des cida de uma embar -
cação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do Rio
Paraná até o nível da jusante.
A câmara dessa eclusa tem comprimento apro xi mado de 200 m e
largura igual a 17 m. A va zão aproximada da água durante o esvazia -
men to da câmara é de 4 200 m3 por minuto. Assim, para descer do
nível mais alto até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de
a) 2 minutos. b) 5 minutos. c) 11 minutos.
d) 16 minutos. e) 21 minutos.
Resolução
A câmara da eclusa tem a forma de um parale lepípedo reto-
retângulo de 200 m de com pri men to, 17 m de largura, 20 m de
altura e volu me V = (200 . 17 . 20) m3 = 68 000 m3
Se a vazão aproximada é de 4 200 m3 por mi nuto, o tempo
necessário e suficiente para des cer do nível mais alto até o nível da
jusante é
t = minuto 	 16,1 min
Resposta: D
� Um porta-lápis de madeira foi cons truído no
formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a
seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do
cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 
8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de:
a) 12 cm3 b) 64 cm3 c) 96 cm3
d) 1 216 cm3 e) 1 728 cm3
Resolução
O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto equivale
ao volume do cubo externo menos o volume do cubo interno e foi
de (12 cm)3 – (8 cm)3 = 1 216 cm3
Resposta: D
240
–––––
20
68 000 m3
––––––––––
4 200 m3
Exercícios Resolvidos – Módulos 33 e 34
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 24
25MATEMÁTICA
� As dimensões de um paralelepípedo reto-retângulo são 
3 m, 4 m e 12 m. Calcular a área total e o volume desse sólido.
RESOLUÇÃO:
I) At = 2 . 12 . 4 + 2 . 3 . 4 + 2 . 12 . 3
At = 96 + 24 + 72
At = 192 m
2
II) V = AB . h
V = 12 . 3 . 4
V = 144 m3
� (UNICAMP) – Um queijo tem o formato de paralelepípedo,
com dimensões 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o queijo,
uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo
que alguns cubos ficam totalmente sem casca, outros
permanecem com casca em apenas uma face, alguns com
casca em duas faces e os restantes com casca em três faces.
Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em
apenas uma face é igual a
a) 360. b) 344. c) 324. d) 368.
RESOLUÇÃO:
O número de cubos que possuem casca em apenas uma face é
2.(18 . 3 + 6 . 3 + 6 . 18) = 360
Resposta: A
Exercícios Propostos – Módulo 33
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 25
26 MATEMÁTICA
� Um fazendeiro tem um depósito para arma -
zenar leite formado por duas partes cúbicas
que se comunicam, como indicado na figura.
A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da
medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada
para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos
para encher metade da parte de baixo.
Quantos minutos essa torneira levará para encher completa -
mente o restante do depósito?
a) 8 b) 10 c) 16 d) 18 e) 24
RESOLUÇÃO:
Sendo a e 2a as medidas das arestas dos cubos pe queno e grande,
respectivamente, e sendo Vp e Vg os respectivos volumes desses
cubos, temos:
Vp = a
3 e Vg = (2a)
3 = 8a3
O volume total do depósito é V = Vp + Vg = a
3 + 8a3 = 9a3
Se, para encher a metade do cubo grande, a torneira levou
8 minutos, ela enche, a cada minuto, = . 
O tempo, em minutos, para encher a parte que falta do reser -
vatório, será = 10.
Resposta: B
� Conforme regulamento da Agência Nacional
de Aviação Civil (Anac), o passageiro que em -
barcar em voo doméstico poderá transportar
bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem
(altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 
115 cm. 
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma
de um paralelepípedo retângulo. 
O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa
permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é 
a) 25. b) 33. c) 42. d) 45. e) 49.
RESOLUÇÃO:
A figura abaixo mostra a planificação de uma caixa que tem a
forma de um paralelepípedo retângulo.
A figura abaixo mostra o paralelepídedo retângulo.
De acordo com o enunciado: 
x + 42 + 24 � 115 ⇔ x � 49.
Assim, o maior valor para x, em cm, é 49.
Resposta: E
4a3
–––––
8
a3
––––
2
9a3 – 4a3
–––––––––
a3
–––
2
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27MATEMÁTICA
Exercícios Propostos – Módulo 34
� Alguns objetos, durante a sua fabricação,
neces sitam passar por um processo de
resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica
utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.
O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no
tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3?
a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm
de altura.
b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de
altura.
c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de
altura.
d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.
e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.
RESOLUÇÃO:
O nível de água subirá 2 cm, pois: 
30 cm . 40 cm . x cm = 2 400 cm3 ⇔
⇔ 1 200 . x cm3 = 2 400 cm3 ⇔ x = ⇔ x = 2
Resposta: C
� No projeto de uma nova máquina, um en ge -
nheiro encomendou a um torneiro mecânico
a fabricação de uma peça, obtida a partir do
recorte em um cubo, como ilustrado na figura. Para isso, o
torneiro forneceu, juntamente com o desenho tridimensional
da peça, suas vistas frontal, lateral e superior, a partir das
posições indicadas na figura. Para facilitar o trabalho do tor -
 neiro, as arestas dos cortes que ficam ocultos nas três vistas
devem ser representadas por segmentos tracejados, quando
for o caso.
As vistas frontal, lateral e superior que melhor representam o
desenho entregue ao torneiro são
2 400
––––––
1 200
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 27
28 MATEMÁTICA
RESOLUÇÃO:
Com relação à peça a seguir, temos:
Resposta: E
� Uma fábrica produz barras de chocolates no
formato de paralelepípedos e de cubos, com
o mesmo volume. As arestas da barra de
chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de
largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas
descritas, a me dida das arestas dos chocolates que têm o
formato de cubo é igual a
a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm.
d) 24 cm. e) 25 cm.
RESOLUÇÃO:
Sendo VP e VC os volumes das barras de chocolate de formato
“paralelepípedo” e “cubo”, respectivamente, e sendo a a medida
da aresta do cubo, temos:
⇒ a3 = 216 cm3 ⇒ a = 6 cm
Resposta: B
� A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos
objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo
especial de peça feita nessa companhia tem
o formato de um paralepípedo retangular, de acordo com as
dimensões indicadas na figura que segue.
O produto das três dimensões indicadas na peça resultariana
medida da grandeza
a) massa. b) volume. c) superfície.
d) capacidade. e) comprimento.
RESOLUÇÃO:
O produto das três dimensões (comprimento, largura e altura)
resulta no volume do paralelepípedo.
Observação: considerando que o sólido é maciço, não se pode
substituir esse “volume” por “capacidade”.
Resposta: B
 ⇒
VP = 3 cm . 18 cm . 4 cm = 216 cm
3
VC = a
3
VP = VC
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 28
29MATEMÁTICA
� Uma carga de 100 contêineres, idênticos ao
modelo apresentado na Figura 1, deverá ser
descarregada no porto de uma cidade. Para
isso, uma área retangular de 10 m por 32 m foi cedida para o
empilhamento desses contêineres (Figura 2). 
De acordo com as normas desse porto, os contêineres
deverão ser empilhados de forma a não sobrarem espaços
nem ultrapassarem a área delimitada. 
Após o empilhamento total da carga e atendendo à norma do
porto, a altura mínima a ser atingida por essa pilha de
contêineres é 
a) 12,5 m. 
b) 17,5 m. 
c) 25,0 m. 
d) 22,5 m. 
e) 32,5 m. 
RESOLUÇÃO:
1) Observando que 32 ÷ 6,4 = 5 e 10 ÷ 2,5 = 4, cada “camada”, na
área de armazenamento, comporta 5 x 4 = 20 contêiners.
2) Para armazenar 100 contêineres, serão necessárias (e suficientes)
5 “camadas”, pois 100 ÷ 20 = 5
3) Após o empilhamento total da carga, a altura mínima a ser
atingida é 5 . 2,5 m = 12,5 m.
Resposta: A
32m
10m
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 29
30 MATEMÁTICA
1. Definição
Sejam um plano α, um ponto V tal que V ∉ α e uma
região poligonal S do plano α. 
Pirâmide é a união de todos os segmentos 
––
VP,
tais que P ∈ S.
O ponto V é denominado vértice da pirâmide e a
região poligonal S é denominada base da pirâmide.
2. Elementos da pirâmide
Na pirâmide VABCDEF da figura:
a) O ponto V é o vértice da pirâmide.
b) Os segmentos 
––
VA, 
––
VB, 
––
VC etc., são as arestas
laterais.
c) Os triângulos VAB, VBC, VCD etc., são as faces
laterais.
d) Os segmentos 
––
AB, 
––
BC, 
––
CD etc., são as arestas da
base.
e) O polígono ABCDEF é a base da pirâmide.
f) A distância (h) do vértice V ao plano α que
contém a base é a altura da pirâmide.
3. Pirâmide reta
Uma pirâmide é denominada reta quando todas as
faces laterais são triângulos isósceles.
4. Pirâmide regular
Uma pirâmide é denominada regular quando ela é
reta e o polígono da base é regular.
Nas pirâmides regulares da figura:
a) OA = R é o raio da circunferência circunscrita à
base ou simplesmente o raio da base.
b) OM = a é o apótema da base.
c) VM = g é o apótema da pirâmide (altura de
uma face lateral).
d) O triângulo VOM é retângulo em O e, portanto,
.
e) O triângulo VOA é retângulo em O e, portanto,
.
g2 = a2 + h2
(VA)2 = R2 + h2
35e36
Palavras-chave:
Pirâmide • Faces lateraistriangulares
• Apótema
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 30
31MATEMÁTICA
5. Área lateral
A área lateral da pirâmide é a soma das áreas de
todas as faces laterais.
6. Área total
A área total da pirâmide é a soma da área da base
com a área lateral.
Assim, sendo At a área total, Ab a área da base e A�
a área lateral, temos:
7. Volume
Demonstra-se que toda pirâmide tem por volume a
terça parte do volume de um prisma de mesma base e
mesma altura. 
Assim, sendo V o vo lu me da pirâmide, te mos:
1
V = –– . Ab . h
3
At = Ab + A�
Exercícios Resolvidos – Módulos 35 e 36
� (PASUSP) – Os papiros mostram que os egípcios antigos
possuíam diversos conhecimentos matemáticos. Eles sabiam que o
volume da pirâmide equivale a um terço do volume do prisma que a
contém. A maior pirâmide egípcia, Quéops, construída por volta de
2560 a.C., tem uma altura aproximada de 140 metros e sua base é um
quadrado com lados medindo aproximadamente 230 metros.
Logo, o volume da pirâmide de Quéops é de aproxima damente (em
milhões de metros cúbicos):
a) 1,2 b) 2,5 c) 5 d) 7,5 e) 15
Resolução
Sendo V o volume da pirâmide, em metros cúbicos, temos:
V = . Vprisma = . 230
2 . 140 =
= = 2 468 666,66 � 2,5 milhões de metros cúbicos
Resposta: B

 (FUVEST) – Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma
pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8 m e a altura
da pirâmide 3 m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em
lotes que cobrem 1 m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas
desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de
telhas a ser comprado é: 
a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130
Resolução
I) No triângulo VOM, retângulo em O, tem-se VO = 3, 
OM = 4 e VO2 + OM2 = VM2, portanto, VM = 5.
II) A área SBCV da face BCV é
SBCV = BC . VM = . 8 . 5 = 20
III) A área S� da superfície lateral da pirâmide é
S� = 4 . SBCV = 4 . 20 = 80 m
2.
IV) Como cada lote cobre 1m2 e são desperdiçados 10 lotes, o
número de lotes necessários é + 10 = 90
Resposta: A
� Um artesão construiu peças de artesanato inter -
cep tando uma pirâmide de base quadrada com um
plano. Após fazer um estudo das diferentes peças
que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das
faces pentagonal. 
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão?
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a
interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas
laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces trian gulares e, quando
um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um
triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma
face com um plano é um segmento de reta. Assim, se o plano
interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem
5 lados.
1
–––
3
1
–––
3
7 406 000
–––––––––
3
1
–––
2
1
–––
2
80m2
––––––
1m2
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 31
32 MATEMÁTICA
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de
uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da
pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se
uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da
pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4
lados.
Resolução
O plano α da figura seguinte intercepta as qua tro faces laterais e a base
da pirâmide, determinando o pentá go no ABCDE.
Resposta: C
Exercícios Propostos – Módulo 35
� Determinar o volume de uma pirâmide de base qua drada
cujo lado mede 5 cm e cuja altura mede 3 cm.
RESOLUÇÃO:
Ab = (5 cm)
2 = 25 cm2
h = 3 cm
V = . Ab . h
Assim: V = . 25 cm2 . 3 cm = 25 cm3
Resposta: 25 cm3

 Determinar a área lateral de uma pirâmide quadran gular
regular cuja base tem 64 m2 de área e cuja altura mede 3 m.
RESOLUÇÃO:
Ab = l
2 = 64 ⇒ l = 8 m
No triângulo VOH, temos
g2 = a2 + 32 e a = = 4 m, então:
g2 = 42 + 32 ⇒ g = 5 m
Al = 4 . = 2 . 8 . 5 ⇒ Al = 80 m
2
Resposta: 80 m2
� Calcular a área total da pirâmide do exercício anterior.
RESOLUÇÃO:
Al = 80 m
2
Ab = 64 m
2
At = Al + Ab
Assim: At = 80 m
2 + 64 m2 ⇒ At = 144 m
2
Resposta: 144 m2
� (URCA) – O volume de uma pirâmide hexagonal regular é 
96���3 cm3. Se sua altura mede 12 cm, então a aresta da base
da pirâ mide, em centímetros, mede:
a) 2 b) 2���3 c) 4 d) 3���3 e) 6
RESOLUÇÃO:
Sendo a a medida da aresta da base da pirâmide, em centímetros,
tem-se:
V = . 6 . . 12 = 96���3
Assim: 6a2���3 = 96���3 ⇔ a2 = 16 ⇔ a = 4
Resposta: C 
1
––
3
1
––
3
l
–––
2
l . g
–––––
2
�a2���3––––––4�1–––3
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 32
33MATEMÁTICA
� Uma fábrica produz velas de parafina em
forma de pirâmide quadrangular regular com
19 cm de altura e 6 cm de aresta da base.
Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura –
3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte
su perior –, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base
superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco
 sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de
cada bloco, unindo-os, con forme afigura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o mo delo, retirando a
pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base,
mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar
com parafina para fabricar uma vela?
a) 156 cm3 b) 189 cm3 c) 192 cm3
d) 216 cm3 e) 540 cm3
RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado, pode-se concluir que a altura da
pirâmide de parafina é 16 cm e que a altura da pirâmide menor
retirada é 4 cm.
Assim, o volume, em centímetros cúbicos, de parafina para
fabricar o novo modelo de vela é igual a:
. 62 . 16 – . (1,5)2 . 4 = 192 – 3 = 189
Resposta: B
� (FUVEST) – Três das arestas de um cubo, com um vértice
em comum, são também arestas de um tetraedro. A razão
entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é
a) b) c)
d) e)
RESOLUÇÃO:
Sendo VC o volume do cubo ABCDEFGH de aresta medindo a, e VT
o volume do tetraedro ABCF que satisfaz as condições do enun -
ciado, temos:
VC = a
3 e VT = . . a =
Assim, a razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é
= =
Resposta: B
1
–––
3
1
–––
3
2
–––
9
1
–––
6
1
–––
8
1
–––
3
1
–––
4
a3
–––
6
a . a
–––––
2
1
–––
3
1
–––
6
a3
–––
6
–––––
a3
VT
––––
VC
Exercícios Propostos – Módulo 36
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 33
34 MATEMÁTICA
� (FUVEST) – O sólido da figura é formado pela pirâmide
SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabe-se que
S per tence à reta determinada por A e E e que AE = 2 cm, 
AD = 4 cm e AB = 5 cm. A medida do segmento
—
SA que faz 
com que o volume do sólido seja igual a do volume da
pirâmide SEFGH é 
a) 2 cm b) 4 cm c) 6 cm 
d) 8 cm e) 10 cm 
RESOLUÇÃO:
Sendo x a medida, em centímetros, do segmento 
—
SA, temos:
Vsólido = . VSEFGH ⇒ VSABCD + VABCDEFGH = . VSEFGH ⇒
⇒ . 5 . 4 . x + 5 . 4 . 2 = . . 5 . 4 . (x + 2) ⇔
⇔ + 2 = . (x + 2) ⇔ 3x + 18 = 4x + 8 ⇔ x = 10
Resposta: E
� (UNESP) – Há 4 500 anos, o Imperador Quéops do Egito
mandou construir uma pirâmide regular que seria usada como
seu túmulo. As características e dimensões aproximadas
dessa pirâmide hoje, são:
1.a) Sua base é um quadrado com 220 metros de lado;
2.a) Sua altura é de 140 metros.
Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 
1,88 × 104 m3, o número médio de operários utilizados como
mão de obra gastava em média 60 dias. 
Dados que 2,22 × 1,4 � 6,78 e 2,26 ÷ 1,88 � 1,2 e mantidas
estas médias, o tempo necessário para a construção de toda
pirâmide, medido em anos de 360 dias, foi de, aproxima -
damente,
a) 20. b) 30. c) 40. d) 50. e) 60.
RESOLUÇÃO:
1) O volume da pirâmide, em metros cúbicos, é
V = . (2,2 . 102)2 . (1,4 . 102) =
= . 2,22 . 1,4 . 106 	 . 6,78 . 106 = 2,26 . 106
2) Se, para construir 1,88 . 104 m3, gastaram-se 60 dias, então para
construir a pirâmide toda, gastou-se um número d de dias, tal
que:
d = = . 60 . 102 	 1,2 . 6 000 = 7 200
3) 7 200 dias = anos = 20 anos
Resposta: A
4
–––
3
4
–––
3
4
–––
3
1
–––
3
4
–––
3
1
–––
3
4
–––
9
x
–––
3
1
—–
3
1
—–
3
1
—–
3
2,26
–––––
1,88
2,26 . 106 . 60
—––––––––––––
1,88 . 104
7 200
–––––––
360
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:35 Página 34
35MATEMÁTICA
1. Definição
O tetraedro regular é uma pirâmide triangular em
que todas as faces são triângulos equiláteros.
2. Área total
Se a for a medida da aresta do tetraedro regular
VABC e At sua área total, então:
a2���3
At = 4 . AΔABC = 4 . –––––– ⇔ At = a
2���3
4
3. Altura
Se a for a medida da aresta do tetraedro regular
VABC, então:
a)
–––
AM é a altura do triângulo equilátero ABC e,
portanto, .
b) O é o baricentro do triângulo equilátero ABC e, 
portanto, 
c) O triângulo VOA é retângulo em O e, portanto,
(VA)2 = (VO)2 + (AO)2 ⇔ a2 = h2 + ⇔
⇔ h2 = a2 – ⇔ h 2 = ⇔ h =
4. Volume
Se a for a medida da aresta do tetraedro regular
VABC e V o volume, então:
5. Resumo
Se VABC for um tetraedro regular de aresta a, então
a área de uma face, a área total, a altura e o volume
valem, respectivamente:
a3���2
V = ––––––
12
a���6
h = ––––––
3
At = a
2���3
a2���3
Af = ––––––4
1 1 a2���3 a���6 a3���2V = –– . Ab . h = –– . –––––– . ––––– ⇔ V = –––––– 3 3 4 3 12 
a���6–––––
3
6a2–––
9
3a2–––
9
a���3 2�––––�3
2 a���3AO = –– . AM = –––––
3 3
a���3AM = –––––
2
37
Palavras-chave:
Tetraedro regular • Pirâmide 
 • Triângulo equilátero
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:36 Página 35
36 MATEMÁTICA
� (MACKENZIE) – Um objeto, que tem a
forma de um tetraedro regular reto de aresta
20 cm, será recoberto com placas de ouro nas
faces laterais e com placa de prata na base. Se
o preço do ouro é R$ 30,00 por cm2 e o da
prata, R$ 5,00 por cm2, das alternativas dadas,
assinale o valor mais próximo, em reais, do
custo desse reco bri men to:
a) 24 000 b) 12 000 c) 16 000 
d) 18 000 e) 14 000
Resolução
Seja o tetraedro regular VABC, de base ABC.
I) As faces laterais VAB, VAC, VBC e a base
ABC pos suem áreas iguais a
AVAB = AVAC = AVBC = AABC =
= = 100���3 cm2
II) Se as faces laterais serão recobertas de
ouro a R$ 30,00 por cm2 e a base de prata,
a R$ 5,00 por cm2, o valor P desse recobri -
mento será
P = 3. (100���3).R$ 30,00 + (100���3).R$ 5,00
P 	 300.1,7.R$ 30,00 + 100.1,7.R$ 5,00
P = R$ 16150,00
Resposta: C

 Um artista plástico utilizou 6 bastões de
vidro com 40 cm de comprimento cada um,
para fazer um tetraedro regular ABCD, como
pode ser observado na figura seguinte.
Ele pretende colocar um 7o. bastão que ligará
os pontos M e N, sendo M ponto médio de 
—
AD e N ponto médio de 
—
BC. O comprimento do 
7o. bastão será:
a) 20���2 cm b) 25���2 cm c) 30���2 cm
d) 35���2 cm e) 40���2 cm
Resolução
I) No triângulo equilátero BCD, temos:
DN = = = 20���3 cm
II) No triângulo retângulo DMN, temos:
(MN)2 + (MD)2 = (DN)2 ⇒
⇒ (MN)2 + 202 = (20���3)2 ⇒
⇒ MN = 20���2 cm
Resposta: A
202 . ���3
–––––––––
4
40 ���3
–––––––
2
� ���3
––––––
2
� A medida da altura de um tetraedro regular cuja aresta
mede a é igual a:
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
I) AM = (altura do ΔABC)
II) AO = AM = . ⇒ AO = 
III)No triângulo VOA, temos:
(VA)2 = (VO)2 + (AO)2 ⇔ a2 = h2 + 
2
⇔ h =
Resposta: B
a���6
––––
4
a���6
––––
3
a���6
––––
2
a���6
––––
6
a���6
––––
5
a���3
–––––
2
2
–––
3
2
–––
3
a���3
–––––
2
a���3
–––––
3
a���6
–––––
3�
a���3
–––––
3
�
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:36 Página 36
37MATEMÁTICA

 Uma empresa produz dados com 4 faces em forma de
tetraedro regular. Os dados são feitos de acrílico e sua aresta
mede ���3 cm. O volume de acrílico utilizado para fabricar 5000
dados é:
a) 1200 ���6 cm3
b) 1250 ���6 cm3
c) 1300 ���6 cm3
d) 1350 ���6 cm3
e) 1400 ���6 cm3
RESOLUÇÃO:
O volume de cada dado é:
V = = = cm3
Assim, 5000 . V = 5000 . = 1250 ���6 cm3
Resposta: B
� (UNESP) – Cada aresta de um tetraedro regular de
vértices A, B, C e D mede 1 dm. M é um ponto da aresta AB,
e N é um ponto da aresta CD.
a) Calcule a área total da superfície do tetraedro.
b) Sabe-se que o menor valor possível para a distância de M a
N ocorre quando eles são pontos médios das arestas.
Obtenha o valor dessa distân cia mínima.
RESOLUÇÃO:
Sejam a = 1 dm a medida da aresta do tetraedro regular.
a) A área total é AT = 4 . = 4 . = ���3 dm2
b) I) AN = BN = = = dm
II) (MN)2 + (AM)2 = (AN)2 ⇒
⇒ (MN)2 + dm
2 
= dm
2 
⇔
⇒ (MN)2 = – dm2 ⇔
⇔ (MN)2 = dm2 ⇒ MN = dm
Resposta: a) ���3 dm2 b) dm
���6
–––––
4
(���3 )3 . ���2
–––––––––––
12
a3���2
–––––––
12
���6
–––––
4
a2���3
––––––
4
(1 dm)2 . ���3
–––––––––––––
4
a���3
––––––
2
(1 dm) . ���3
–––––––––––––
2
���3
–––––
2
� 1–––
2
� � ���3–––––2 �
� 3–––
4
1
––
4
�
2
–––
4
���2
–––––
2
���2
––––
2
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:36 Página 37
38 MATEMÁTICA
1. Cilindro de bases circulares
Sejam α e β dois planos paralelos distintos, r uma
reta que intercepta os planos α e β e S uma região cir -
cular contida em α.
Chama-se cilindro de base circular a união de todos
os segmentos PQ
––
paralelos a r,com P ∈ S e Q ∈ β.
Elementos
a) A distância h entre os planos α e β é a altura do
cilindro.
b) A região circular S é chamada base do cilindro.
c) O segmento de reta PQ
––
da figura é chamado ge -
ra triz do cilindro.
2. Cilindro circular reto
Quando a reta r é perpendicular ao plano α, o cilindro
é denominado cilindro circular reto.
No cilindro circular reto, a altura e a geratriz têm
mes ma medida.
Como o cilindro circular reto
pode ser gerado por uma rotação
completa de uma região
retangular em torno de um de
seus lados, ele também é
denominado cilindro de
revolução.
Na figura:
a)
↔
BC é o eixo do cilindro.
b) AD
—
é a geratriz da superfície lateral do cilindro.
c) AB = CDé raio da base do cilindro.
3. Secção meridiana do 
cilindro circular reto
É o retângulo que se obtém ao seccionar o cilindro
por um plano que contém o seu eixo.
Sendo R a medida do raio da base e h a medida da
altura de um cilindro circular reto, a área da secção meri -
dia na Asm é dada por :
4. Cilindro equilátero
É todo cilindro circular reto cuja secção meridiana é
um quadrado. 
Assim, no cilindro equilátero, temos: 
5. Cálculo de áreas e volumes
Área da base (Ab)
É a área de um círculo de raio R.
Assim, .
Asm = 2 . R . h
h = 2R
Ab = π . R
2
38e39
Palavras-chave:
Cilindro • Círculo 
• Geratriz
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:36 Página 38
39MATEMÁTICA
Área lateral (Al)
A superfície lateral é a de um retângulo de dimen -
sões 2πR (com primento da circunferência da base) e h.
Assim,
Área total (At)
É a soma das áreas das bases com a área lateral.
Assim, 
Volume do cilindro (V)
O cilindro é equivalente a um prisma de mesma
altura e mesma área da base.
Assim,
ou 
.V = π . R2 . h
V = Ab . h
At = 2 . Ab + Al
Al = 2 . π . R . h
� Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de
vela ornamental a partir de moldes feitos com
cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm
(conforme ilustram as figuras a seguir). 
Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma
cilindros e, em segui da, os preenche completamente com parafina.
Supondo-se que o custo da vela seja direta mente proprocional ao
volume de parafina em pre gado, o custo da vela do tipo I, em relação
ao custo da vela do tipo II, será:
a) o triplo. b) o dobro. c) igual.
d) a metade. e) a terça parte.
Resolução
Sendo R1 e R2 os raios e V1 e V2 os volumes dos cilin dros
considerados, temos:
I) 2 π R1 = 20 cm ⇒ R1 = cm
2 π R2 = 10 cm ⇒ R2 = cm
II) V1 = π . 
2
. 10 cm3 = cm3
V2 = π . 
2
. 20 cm3 = cm3
III) Assim:
= = 2 ⇒ V1 = 2 V2
Portanto, o primeiro tem o dobro do custo do segundo.
Resposta: B

 Em muitas regiões do Estado do Amazonas, o
volume de madeira de uma árvore cortada é
avaliado de acordo com uma prática dessas regiões:
I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um barbante.
II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em seguida, seu
comprimento é medido com fita métrica.
III. O valor obtido com essa medida é mul ti pli cado por ele mesmo e
depois multipli cado pelo comprimento do tronco. Esse é o volu me
estimado de madeira.
Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do volume do
tronco, considerando-o um cilindro perfeito.
A diferença entre essas medidas é pratica mente equi valente às perdas
de madeira no processo de corte para comercialização.
10
–––
π
5
––
π
10
–––
π
1 000
–––––
π
500
––––
π
� �
� 5–––π �
1 000
––––– cm3
π
––––––––––––
500
––––– cm3
π
V1
–––
V2
Exercícios Resolvidos – Módulos 38 e 39
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:36 Página 39
40 MATEMÁTICA
� Determinar a área da base, a área lateral, a área total e o
volume de um cilindro circular reto cujo raio da base mede 5 m
e a altura 3 m.
RESOLUÇÃO:
I) Ab = π . R
2
Ab = π . 5
2
Ab = 25 . π m
2
II) Al = 2 . π . R . h
Al = 2 . π . 5 . 3
Al = 30 . π m
2
III) At = 2 . Ab + Al
At = 2 . 25 . π + 30 . π
At = 80 . π m
2
IV) V = Ab . h
V = 25 . π . 3
V = 75 . π m3
Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de:
a) 30% b) 22% c) 15% d) 12% e) 5% 
Resolução
Sendo R o raio do tronco, V o volume do tron co, con siderando-o um
cilindro perfeito, e V’ o volume do tronco, calculado de acordo com
essa prática regimental, tem-se:
I) V = π R2h
II) V’ = . . h =
Assim:
= 1 – = 1 – 	 1 – 0,78 = 0,22 = 22%
Resposta: B
� Em uma padaria, há dois tipos de forma de bolo,
formas 1 e 2, como mostra a figura abaixo.
Sejam L o lado da base da forma quadrada, r o raio da base da forma
redonda, A1 e A2 as áreas das bases das formas 1 e 2, e V1 e V2 os
seus volumes, respectiva mente. Se as formas têm a mesma altura h,
para que elas comportem a mesma quantidade de massa de bolo, qual
é a relação entre r e L?
a) L = r b) L = 2r c) L = 3r
d) L = r���π e) L = (π r2)/2
Resolução
Os volumes V1 e V2 do bolo na forma de paralelepí pedo e do bolo na
forma de cilindro são tais que: V1 = V2 ⇒ L
2 . h = π r2 h ⇒ L = r���π
Resposta: D
� Um chefe de cozinha utiliza um instrumento cilín -
drico afiado para retirar parte do miolo de uma la -
ran ja. Em seguida, ele fatia toda a laranja em
secções perpendiculares ao corte feito pelo cilindro. Considere 
que o raio do cilindro e da laranja sejam iguais a 1 cm e a 3 cm,
respectivamente.
A área da maior fatia possível é
a) duas vezes a área da secção transversal do cilindro.
b) três vezes a área da secção transversal do cilindro.
c) quatro vezes a área da secção transversal do cilindro.
d) seis vezes a área da secção transversal do cilindro.
e) oito vezes a área da secção transversal do cilindro.
Resolução
A maior fatia (adotando-se espessura zero) é a que contém o círculo
maior da esfera (laranja).
Descontada a secção transversal do cilindro, cuja área é de π . 12, esta
fatia tem área, em cm2, de π . 32 – π . 12 = 8π, equivalente a oito vezes
a área da secção transversal do cilindro.
Resposta: E
π2R2h
––––––
4
2π R
–––––
4
2π R
–––––
4
V’
––––
V
V – V’
–––––––
V
π
–––
4
Exercícios Propostos – Módulo 38
C3_2A_MAT_ROSE_2022.qxp 22/03/2022 09:36 Página 40
41MATEMÁTICA
� Para resolver o problema de abastecimento
de água foi decidida, numa reunião do con -
domínio, a construção de uma nova cisterna.
A cisterna atual tem formato cilín drico, com 3 m de altura e 
2 m de diâmetro, e estimou-se que a nova cisterna deverá
comportar 81 m3 de água, mantendo o formato cilíndrico e a
altura da atual. Após a inauguração da nova cisterna a antiga
será desativada. Utilize 3,0 como aproximação para π. 
Qual deve ser o aumento, em metros, no raio da cisterna para
atingir o volume desejado? 
a) 0,5 b) 1,0 c) 2,0 d) 3,5 e) 8,0 
RESOLUÇÃO:
I) A cisterna atual tem 1 m de raio na base e 3 m de altura.
II) A nova cisterna deverá ter 81 m3 de volume, 3 m de altura e
raio R, em metros, tal que π . R2 . 3 = 81; assim, para π = 3, deve-
se ter: 3 . R2 . 3 = 81 ⇔ R2 = 9 ⇒ R = 3 
III) O aumento, em metros, no raio da cisterna deve ser 3 – 1 = 2
Resposta: C
� Dona Maria, diarista na casa da família
Teixeira, precisa fazer café para servir as
vinte pessoas que se encontram numa
reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe de uma
leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.
Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja
colocar a quantidade miníma de água na leiteira para encher os
vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria
deverá 
a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 
20 vezes maior que o volume do copo.
b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 
20 vezes maior que o volume do copo.
c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 
10 vezes maior que o volume do copo.
d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 
10 vezes maior que o volume do copo.
e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 
10 vezes maior que o volume do copo.
RESOLUÇÃO:
1) O volume do copinho plástico, em centímetros cúbicos, é 
π . 22 . 4 = 16π
2) O volume da leiteira, em centímetros cúbicos, é 
π . 42 . 20 = 320π