Analise-II_Aula 04-06_Metodo dos Deslocamentos - Vigas_23ago2022

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Análise de Estruturas II
Método dos Deslocamentos - Vigas
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
Prof: Antônio Macário Cartaxo de Melo
Prof: Evandro Parente Junior
Método dos deslocamentos - vigas
2
▪ Conceito de rigidez:
• Graus de liberdade de um elemento de viga:
• Rigidez associada às rotações.
• Rigidez associada às translações.
• Convenção para deslocamentos e forças nodais:
• Esforços internos:
1
2
3
4
EI
L
Viga contínua
3
▪ Estrutura original:
▪ Modelo de barras e nós:
▪ Sistema principal com 3 elementos:
• 4 graus de liberdade restringidos: 3 rotações e 1 translação.
1 2 3B C DA
Dispositivo que impede a rotação
Viga contínua
4
▪ Estrutura sem o balanço - efeito aplicado no apoio 2:
▪ Modelo de barras e nós / SP com 2 elementos e 2 gdl (só rotação):
▪ SP com 2 elementos e 1 gdl:
1 2δ1 δ2
A B C
δ11 2
Viga contínua
5
▪ Solução por superposição para o SP com 1 gdl:
▪ Caso 0 - SP + cargas (esforços de engastamento perfeito):
▪ Caso 1 - SP + 1 = 1 (coeficientes de rigidez):
▪ Equilíbrio somente do nó B.
▪ O equilíbrio do nó C é trivial.
∙ δ1
1
+
𝑀𝐶 = −20 + 0 ∙ 𝛿1 = −20
A B C
Reações de engastamento perfeito
6
▪ Avaliadas pelo Método das Forças ou equação da linha elástica.
▪ Barra biengastada:
L
P
𝑃𝑎𝑏2
𝐿2
a b
𝑃𝑎2𝑏
𝐿2
𝑃𝑏2
𝐿3
(2𝑎 + 𝐿)
𝑃𝑎2
𝐿3
(2𝑏 + 𝐿)L
q
𝑞𝐿2
12
𝑞𝐿2
12
𝑞𝐿
2
𝑞𝐿
2
L
DTs
DTi
𝐸𝐼𝛼𝑔𝑇𝐸𝐼𝛼𝑔𝑇
Reações de engastamento perfeito
7
▪ Barra engastada e articulada:
L
q
𝑞𝐿2
8
5𝑞𝐿
8
3𝑞𝐿
8
a
P𝑀𝐴 =
𝑃𝑎𝑏
2𝐿2
(𝐿 + 𝑏)
𝑅𝐴 =
𝑃𝑏
𝐿
+
𝑀𝐴
𝐿
L
b
𝑅𝐵 = 𝑃 − 𝑅𝐴
L
DTs
DTi
𝑀𝐴 =
3
2
𝐸𝐼𝛼𝑔𝑇
𝑀𝐴
𝐿
𝑀𝐴
𝐿
a
3𝑀
2𝐿
L
b
𝑀𝑀
2
3𝑀
2𝐿
Esforços de engastamento perfeito
8
▪ Tabela do Soriano e Lima*:
* Soriano, H.L., Lima, S.S. (2006) Análise de Estruturas: Método das Forças e Método dos Deslocamentos. Ed. Ciência Moderna
Coeficientes de rigidez
9
▪ Barra biengastada:
• Recalque de rotação unitária – Método das Forças:
• Sistema Principal e hiperestáticos:
• Compatibilidade:
X1 X2
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 + 𝛿12. 𝑋2 = 0
𝛿2 = 𝛿20 + 𝛿21. 𝑋1 + 𝛿22. 𝑋2 = −1
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿
6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
Coeficientes de rigidez
10
• Coeficientes de flexibilidade:
• Compatibilidade:
1
M1 M2
1
−−
δ𝑖𝑗 = න
𝐿
𝑀𝑖𝑀𝑗
𝐸𝐼
𝑑𝑥 = δ𝑗𝑖 𝐹 =
𝐿
3𝐸𝐼
𝐿
6𝐸𝐼
𝐿
6𝐸𝐼
𝐿
3𝐸𝐼
𝐿
3𝐸𝐼
𝐿
6𝐸𝐼
𝐿
6𝐸𝐼
𝐿
3𝐸𝐼
൜ ൠ
𝑋1
𝑋1
= ቄ ቅ
0
−1
൜ ൠ
𝑋1
𝑋2
=
2𝐸𝐿
𝐿
−
4𝐸𝐿
𝐿
⟹
⟹
2𝐸𝐼
𝐿
4𝐸𝐼
𝐿6𝐸𝐼
𝐿2
6𝐸𝐼
𝐿2
Coeficientes de rigidez
11
▪ Barra engastada e articulada:
• Recalque de rotação unitária:
• De forma semelhante, usando o Método das Forças:
X1
⟹
3𝐸𝐼
𝐿
3𝐸𝐼
𝐿2
3𝐸𝐼
𝐿2
𝛿1 = 𝛿10 + 𝛿11. 𝑋1 = 1
𝐿
3𝐸𝐼
𝑋1 = 1 𝑋1 =
3𝐸𝐼
𝐿
⟹
Exemplo 1 - viga contínua com 2 vãos
12
▪ Solução da viga por superposição:
• Dados: E = 36 GPa e seção de 1550 cm2 (EI = 56250 kNm2).
• Caso 0:
• Caso 1:
𝑞𝐿2
12
= 60
−60 𝑃𝑎𝑏
2𝐿2
𝐿 + 𝑏 = 33,6
𝑀
2
= −10 𝑀 = −20
23,6
∙ δ1
1
2𝐸𝐼
𝐿
= 18750
4𝐸𝐼
𝐿
= 37500
3𝐸𝐼
𝐿
= 33750 0
Exemplo 1 - viga contínua com 2 vãos
13
▪ Equação de equilíbrio de momento no apoio B:
▪ Momentos nodais nas barras – convenção do MD (kNm):
▪ Barra 1:
▪ Barra 2:
37500 + 33750 ∙ 𝛿1 − 60 + 23,6 = 0 𝛿1 = 5,109 10
-4 rad
𝑀𝐴 = 60 + 18750 ∙ 5,10910
−4 = 69,6
𝑀𝐵 = −60 + 37500 ∙ 5,10910
−4 = −40,8
𝑀𝐵 = 23,6 + 33750 ∙ 5,10910
−4 = 40,8
𝑀𝐶 = −20 + 0 ∙ 5,10910
−4 = −20
𝑀2𝑀1
60 −60 −2023,6
∙ δ11
18750 37500 33750 0
Exemplo 1 - viga contínua com 2 vãos
14
▪ Momento fletor (kNm):
▪ Barra 1:
▪ Barra 2:
▪ DMF (kNm):
𝑀𝐴 = −𝑀1= −69,6
𝑀𝐵 = 𝑀2 = −40,8
𝑀𝐵 = −𝑀1= −40,8
𝑀𝐶 = 𝑀2 = −20
𝑀2𝑀1
Exemplo 1 - viga contínua com 2 vãos
15
▪ Esforço cortante:
▪ Pode ser obtido aplicando o equilíbrio no diagrama de corpo livre
dos elementos. Por exemplo:
▪ DEC (kN):
L
q
𝑀2𝑀1
𝑄1 𝑄2
Exemplo 1 - viga contínua com 2 vãos
16
▪ Esforço cortante:
▪ Barra 1:
1
A B C
21
Exemplo 1 - viga contínua com 2 vãos
17
▪ Esforço cortante:
▪ Barra 2:
2
A B C
21
Exemplo 1 - viga contínua com 2 vãos
18
▪ DEC (kN) de cada barra:
▪ DEC (kN) global:
Exercício
19
▪ Analisar a viga do exemplo anterior (E = 36 GPa e seção de 1550
cm2) usando o Sistema Principal abaixo:
1 2δ1 δ2
SP
A B C
Exercício
20
▪ Caso 0 (cargas nos elementos):
▪ Caso 1 (1 = 1):
▪ Caso 2 (2 = 1):
Exercício
21
Fim
Obrigado pela atenção
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
Prof: Antônio Macário Cartaxo de Melo
Prof: Evandro Parente Junior