Analogia da Viga Conjugada

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Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 1 – Figura 6-26 
 
Considere a viga na figura abaixo, com rigidez à flexão EI constante. O apoio da direita impede a rotação do ponto 
B, mas libera o seu deslocamento vertical. Utilizando a analogia da viga conjugada, determine o diagrama de 
momentos fletores e o deslocamento do ponto B em função de P, l e EI. 
 
l 
P 
A B 
 
 
MA
MB
–MA
+MB
M(x)
x
–
+
Diagrama de momentos fletores:
VIGA REAL VIGA CONJUGADA
MB
c
MB
c
MA/EI
MB/EIMA/EI
MB/EI
MB
c
MAL/2EI
MBL/2EI
MA = vA = 0
c
QA = θA = 0
c
MB = vB ≠ 0
c
QB = θB = 0
c
∑Fy = 0 ⇒ MA = MB ⇒
P
P
∑Mo = 0 ⇒ (MA + MB) = PL
MA = MB = PL/2
∑Mo = 0 ⇒ (MAL/2EI).(L/3) = MB ⇒
L/3 L/3 L/3
c
vB = MB = – PL
3
/12EI
c
 
 
Análise de Estruturas: Conceitos e Métodos Básicos – Luiz Fernando Martha 
 
Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 2 – Figura 6-27 
 
Considere a viga na figura abaixo, com rigidez à flexão EI constante. Utilizando a analogia da viga conjugada, 
determine o diagrama de momentos fletores em função de P, a, b e EI. 
 
a 
P 
b 
A B 
C 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
P 
MA 
VA 
vA = 0 
VB 
θA = 0 
vB = 0 
θB = θB dir
 
esq
 
vC ≠ 0 
θC ≠ 0 
x 
M(x) 
–MB = –P⋅ b 
+MA 
– 
+ 
– 
MA/EI 
MB/EI 
MA = 0 
QA = 0 
MB = 0 
QB = QB dir
 
esq
 
MC ≠ 0 
QC ≠ 0 
c
 
c
 
c
 
c
 
c
 
c
 
c
 
MA/EI 
MB/EI 
MB = 0 ⇒ MA = MB / 2 
c
 
MA = P⋅ b / 2 
MB = P⋅ b 
∴∴∴∴ 
MA⋅ a /2EI 
MB⋅ a /2EI 
2a/3 
a/3 
 
 
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Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 3 – Figura 6-28 
 
Considere a viga na figura abaixo, com rigidez à flexão EI constante. Utilizando a analogia da viga conjugada, 
determine o diagrama de momentos fletores. 
 
A B C 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL 
VIGA CONJUGADA 
–MB 
– 
MB/EI 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB dir esq 
MC = 0 
QC = θC 
c
 
c
 
c
 
c
 
c
 
c
 
c
 
MB = 0 ⇒ – (MB/EI)·(6/2)·2 + (36/EI)·6·(2/3)·3 + VC·6 = 0 
c
 
MB = 27 kNm ∴∴∴∴ 
(MB/EI)·(3/2) 
A 
B 
C 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir esq 
vC = 0 
θC ≠ 0 
MA = 0 ⇒ – (MB/EI)·(3/2)·2 – (MB/EI)·(6/2)·5 + 
c
 
9 36 
A 
B 
C 
MB/EI 
36/EI 
9/EI 
A 
B 
C 
(MB/EI)·(6/2) 
(9/EI)·3·(2/3) VC 
c
 
c
 
(9/EI)·3·(2/3)·1.5 + (36/EI)·6·(2/3)·6 + VC·9 = 0 
c
 
1.5 
2 1 2 
+ 
1.5 3 3 
(36/EI)·6·(2/3) 
 
 
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Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 4 – Figura 6-29 
 
Considere a viga na figura abaixo, cujas barras têm rigidez à flexão EI = 3.6x104 kNm2. Utilizando a analogia da 
viga conjugada, determine o diagrama de momentos fletores. 
 
A C 
B 
D 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MB/EI 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MC = 0 
QC = QC dir esq 
MD = 0 
QD ≠ 0 
C 
C 
C 
C C 
C 
C 
MC = 0 ⇒ – (3MC/EI)⋅2 + VD⋅6 = 0 
C 
MB = 270 kNm ∴∴∴∴ 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vC = 0 
θC = θC dir esq 
vD = 0 
θD ≠ 0 
MA = 0 ⇒ + (3MB/EI)⋅4 + (3MB/EI)⋅8 + 
C 
C 
– (3MC/EI)⋅10 – (3MC/EI)⋅14 + VD⋅18 = 0 
C 
A 
B 
C D A B 
C 
D 
–MC 
– 
+ 
+MB 
MC/EI 
3MC/EI 
2 
4 
3MC/EI 
2 
4 
3MB/EI 
2 
4 
3MB/EI 
2 
4 
A B 
C 
D 360 = 120⋅12/4 
–MC/2 
MB = 360 – MC/2 
VD 
C 
MC = 180 kNm 
 
 
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Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 5 – Figura 6-30 
 
Considere a viga na figura abaixo, cujas barras têm rigidez à flexão EI = 2.4x104 kNm2. O apoio engaste da 
esquerda sofreu uma rotação como recalque, cujo valor foi avaliado em θA = +6x10–3 rad. Utilizando a analogia da 
viga conjugada, determine o diagrama de momentos fletores na viga provocado pelo recalque de apoio. 
 
A C B 
θA = +6x10–3 rad 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB 
dir esq 
MC = 0 
QC ≠ 0 
C 
C 
C 
C C 
C 
C 
MB = 0 ⇒ + θA⋅8 – (4MA/EI)⋅16/3 + (4MB/EI)⋅8/3 = 0 
C 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir esq 
vC = 0 
θC ≠ 0 
MC = 0 ⇒ + θA⋅14 – (4MA/EI)⋅34/3 + (4MB/EI)⋅26/3 + (3MB/EI)⋅4 = 0 
C 
θA = +6x10–3 rad 
A B 
C 
A 
B 
C 
MB/EI θA = +6x10–3 rad 
A 
B 
C 
4MA/EI 
–MA 
– 
+ 
+MB 
MA/EI 
θA = +6x10–3 rad MB/EI 
MA/EI 
8/3 16/3 
2 8/3 16/3 4 
3MB/EI 4MB/EI 
x 
M(x) 
6 
MA 
MB = 18 kNm 
MA = 63 kNm 
∴∴∴∴ 
EI = 2.4x104 kNm2 
 
 
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Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 6 – Figura 6-31 
 
Considere a viga na figura abaixo, cujas barras têm rigidez à flexão EI = 3.0x104 kNm2. Utilizando a analogia da 
viga conjugada, determine o diagrama de momentos fletores na viga provocado por um recalque vertical ρ = 4 cm, 
de cima para baixo, do engaste C à direita. 
 A B C 
ρ
 =
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB 
dir esq 
MC = –ρ 
QC = 0 
C 
C 
C 
C C 
C 
C 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir 
vC = –ρ 
θC = 0 
3MC/EI 
–MB 
+ 
+MC 
x 
M(x) 
A C 
A B C 
ρ
 =
 
ρ 
MB/EI 
MC/EI 
B 
– 
esq 
ρ 
MB/EI 
MC/EI 
3MB/EI 3MB/2EI 
MB = 0 ⇒ – (3MB/EI)⋅2 + (3MC/EI)⋅4 – ρ = 0 
C 
MC = 160 kNm 
∴∴∴∴ MB = 120 kNm 
MA = 0 ⇒ – (3MB/2EI)⋅2 – (3MB/EI)⋅5 + (3MC/EI)⋅7 – ρ = 0 
C 
EI = 3.0x104 kNm2 
A C 
B 
 
 
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Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 7 – Figura 6-32 
 
Considere a viga na figura abaixo, cujas barras têm rigidez à flexão EI = 1.2x104 kNm2. Utilizando a analogia da 
viga conjugada, determine o diagrama de momentos fletores. A viga está submetida, concomitantemente, a um 
recalque vertical para baixo de 3 cm no apoio A e a uma força concentrada vertical para baixo na seção C. 
 
A B 
C 
D 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = –ρ 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB 
dir esq 
MD = 0 
QD ≠ 0 
C 
C 
C 
C C 
C 
C 
MB = 0 ⇒ VD⋅6 + (180/EI)⋅3 – (3MB/EI)⋅2 = 0 
C 
vA = –ρ 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir esq 
vD = 0 
θD ≠ 0 
MA = 0 ⇒ VD⋅9 + (180/EI)⋅6 – (3MB/EI)⋅5 – (3MB/2EI)⋅2 + ρ = 0 
C 
3MB/2EI 
VD = –20/EI 
MC = 25 kNm ∴∴∴∴ 
+MC 
MC/EI 
MB/EI 
A C 
D A 
3MB/EI 
2 2 
MB = 70 kNm 
180/EI 
A B 
C 
D 
ρ = 0.03 m 
+ 
– 
60 
–MB 
MC = – MB/2 + 60 
M(x) 
x 
B 
ρ 
1 1 3 
VD 
C 
ρ 
C 
C 
EI = 1.2x104 kNm2 
C ρ = 0.03 m 
 
 
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Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 8 – Figura 6-33 
 
Considere a viga abaixo com rigidez à flexão EI constante. Utilizando a Analogia da Viga Conjugada, determine as 
reações de apoio na viga provocadas por um recalque vertical ρ, para cima, do engaste A na esquerda. 
 
 
A B 
l 
ρ 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = +ρ 
QA = 0 
MB = 0 
QB = 0 
C 
C 
C 
C 
vA = +ρ 
θA = 0 
vB = 0 
θB = 0 
–MA 
+ +MB 
x 
M(x) 
A 
MA/EI 
MB/EI 
B 
– 
MAl/2EI 
∑Fy = 0 ⇒ M B = M A 
C 
∴∴∴∴ 
MB = 0 ⇒ (MAl/2EI)(2l/3) – (MBl/2EI)(l/3) –ρ = 0 
C 
A B 
l 
ρ 
2l/3 
2l/3 l/3 
l/3 
MBl/2EI 
MA 
MB 
VA VB 
A B 
∑MA = 0; ∑Fy = 0 ⇒ 
( )
( ) lMMV
lMMV
BAB
BAA
/
/
+−=
++=
 
ρρ
ρρ
33
22
1212
66
l
EI
V
l
EI
V
l
EI
M
l
EI
M
BA
BA
−=+=
+=+=
 
ρ 
ρ 
 
 
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Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 9 – Figura 6-34 
 
Considere a viga abaixo com dois vãos. As barras têm inércia à flexão EI = 105 kNm2. Utilizando a Analogia da 
Viga Conjugada, determine o diagrama de momentos fletores na viga provocado pelas forçasconcentradas de 
40 kN atuando nos centros dos vãos e pelo recalque vertical ρ = 6 mm, de cima para baixo, do apoio simples E na 
direita. 
 
 
A 
B C D 
E 
ρ = 0.006 m 
EI = 105 kNm2 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MC = 0 
QC ≠ QC dir esq 
ME = –ρ 
QE ≠ 0 
C 
C 
C 
C C 
C 
C 
MC = 0 ⇒ –(3MC/EI)⋅2 + (180/EI)⋅3 + VE⋅6 – ρ = 0 
C 
MC = 70 kNm ∴∴∴∴ 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vC = 0 
θC ≠ θC dir 
vE = –ρ 
θE ≠ 0 
ΣMA = 0 ⇒ –(3MC/EI)⋅4 – (3MC/EI)⋅8 + (180/EI)⋅3 
C 
C 
+ (180/EI)⋅9 + VE⋅12 – ρ = 0 
C 
A 
B C D 
E 
–MC 
+MB +MD 
Configuração deformada (elástica): 
ρ 
MB = MD = 60 – MC/2 
A B 
C 
D 
E 
MC/EI 
A 
B C D 
E 
ρ 
3MC/EI 
180/EI 180/EI 
A 
B C D 
E 
MC/EI 
60/EI 60/EI 
ρ 
ρ 
3MC/EI 
VE 
C VA 
C 
VE 
C VA 
C 
VE 
C 
MB = MD = 25 kNm 
esq 
VA 
C 
VE = +8.0⋅10–4 rad 
C 
ρ = 0.006 m 
EI = 105 kNm2 
 
 
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Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 10 – Figura 6-35 
 
Considere a viga abaixo com inércia à flexão EI constante. O apoio na esquerda é um engaste e o apoio na direita 
impede a rotação mas libera o deslocamento transversal. Utilizando a Analogia da Viga Conjugada, determine o 
diagrama de momentos fletores na viga em função do valor da taxa de carregamento transversal uniformemente 
distribuído q e do vão l. 
 q 
l 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA = 0 
MB ≠ 0 
QB = 0 
C 
C 
C 
C 
A 
MA/EI 
MB/EI 
B 
∑Fy = 0 ⇒ – MAl/2EI + MBl/2EI + (ql2/8EI)⋅2l/3 = 0 
C 
∴∴∴∴ 
∑Fy = 0; ∑M = 0 ⇒ AB M
ql
M −=
2
2
 
63
22 ql
M
ql
M BA +=+= 
qC(x)= M(x)/EI 
A B 
l 
MA MB 
VA = ql 
q 
vA = 0 
θA = 0 
vB ≠ 0 
θB = 0 
–MA 
+ 
+MB 
x 
M(x) 
– 
ql2/8 
MAl/2EI 
2l/3 
2l/3 l/3 
l/3 
MBl/2EI 
A B 
l/2 
(ql2/8EI)⋅2l/3 
 
 
 
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Capítulo 6 – Analogia da Viga Conjugada – Exercício proposto 11 – Figura 6-36 
 
Considere a viga abaixo com inércia à flexão EI = 2.4x104 kNm2 constante. O apoio na esquerda sofre um recalque 
vertical para baixo de 3 cm. Utilizando a Analogia da Viga Conjugada, determine o diagrama de momentos 
fletores na viga. 
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MC = 0 
QC ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB 
dir esq 
MA = –ρ 
QA = 0 
C 
C 
C 
C C 
C 
C 
vC = 0 
θC ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir 
vA = –ρ 
θA = 0 
3MA/EI 
–MB 
+ 
+MA 
x 
M(x) 
A C 
A B C 
ρ
 =
 
ρ 
MB/EI 
MA/EI 
B 
– 
esq 
ρ 
MB/EI 
MA/EI 
3MB/EI 3MB/2EI 
MB = 0 ⇒ + ρ + (3MB/EI)⋅2 – (3MA/EI)⋅4 = 0 
C 
MB = 72 kNm 
∴∴∴∴ MA = 96 kNm 
MC = 0 ⇒ + ρ + (3MB/EI)⋅5 + (3MB/2EI)⋅2 – (3MA/EI)⋅7 = 0 
C 
EI = 2.4x104 kNm2 
A C 
B