Equações Diferenciais Ordinárias de 2 Ordem

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Nota de Aula: Equações Diferenciais Ordinárias de 2° Ordem 
 ( Aplicações ) 
Vamos nos ater a duas aplicações de grande interesse na engenharia: 
Sistema massa-mola-amortecedor ( Oscilador Mecânico ) 
O Sistema massa-mola-amortecedor representa um conceito aplicável a várias situações, desde 
suspensão de veículos, mesas vibratórias, análise de vibração em estruturas e componentes 
mecânicos, vibrações de moléculas, enfim... 
Vamos considerar o sistema massa-mola-amortecedor, representado pelo esquema idealizado: 
 
 
Com base na figura temos: 
f(t) = Força motora; 
m = Massa; 
k = Constante elástica; 
b = Constante de amortecimento; 
y(t) = Deslocamento a partir da posição de equilíbrio. 
 
Diante do sistema acima, podemos aplicar a segunda lei de Newton para massa constante. 
 .m a F ( na forma escalar por ser numa única direção ) 
Considerando F como força resultante, temos: 
F = f(t) – força elástica – força de amortecimento 
 
. . . ( )m y b y k y f t   
2
2
;
d y dy
a v
dt dt
 
. . . 0m y b y k y   
É fácil ver que, quando a força f(t) promove o movimento para cima, existe uma reação 
contrária ao movimento, exercida pelas forças da mola e do amortecedor. 
Assim, vamos analisar a natureza dessas forças. 
 
Força elástica (da mola) 
Segue a lei de Hooke, ou seja, a força é proporcional a deformação da mola. 
Como a deformação da mola é exatamente igual ao valor de y(t), temos: 
 
.molaf k y 
Força de amortecimento 
O amortecimento se baseia no conceito de força viscosa que surge na transferência de um 
fluido entre duas câmaras dentro do amortecedor. 
A força viscosa, a rigor, é proporcional a velocidade ao quadrado, porém, isso provocaria uma 
não linearidade inviabilizando a solução analítica da equação diferencial em questão. Então, 
vamos considerar uma força proporcional a velocidade, isto é: 
 .
.amortf b v 
 
Podemos agora, rescrever a equação proposta: .m a F . 
 . ( ) . .ma f t k y b v   
 . . . ( )ma bv k y f t   
Mas: ficando: 
 
Portanto uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficiente constante. 
 
A ausência da força motora f(t) nos leva a uma EDO homogênea 
 
 Como equação característica associada dada por : 2. . 0m b k    
com solução: 
2 4
2
b b mk
m

  
 (Bháskara) 
Do ponto de vista da mecânica, a análise do termo b2 - 4mk pode originar 3 tipos de 
movimentos : 
 
b2 - 4mk > 0 
 
 
Condição superamortecida 
 
b2 - 4mk = 0 
 
 
Condição criticamente amortecida 
 
b2 - 4mk < 0 
 
 
Condição subamortecida 
 
Agora, vamos ver 2 exemplos que devem ilustrar as condições anteriores. 
Considere a mesa vibratória especial munida de 4 molas , 2 amortecedores e um motor com 
massa excêntrica que gera uma força oscilante f(t). 
 
A massa do conjunto em movimento corresponde a 5 kg. 
Nossa análise será feita com motor desligado f(t) = 0 (equação homogênea) , com condição 
inicial : y(0) = - 0,02 m e y’(0) = 2 m/s 
Ex1. Considere k = 1000 N/m e b = 150 N s/m 
Equação: 5 (2 150) (4 1000) 0y y y      
 5 300 4000 0y y y    
Equação característica: 25 300 4000 0    1 2{ 20 40 }e     
Portanto: 
20 40
1 2( )
t ty t C e C e  
 
Considerando a condição inicial temos: 1 2
3 2
50 25
C e C   
Portanto: 
20 403 2( )
50 25
t ty t e e   com gráfico
 
 
 
Neste caso o sistema é superamortecido e, portanto, não tem oscilação periódica, em função 
do forte amortecimento. 
 
No exemplo 2, vamos preservar o exercício do exemplo 1, porém, com um amortecimento 
mais brando. 
Ex2. Considere k = 1000 N/m e b = 50 N s/m 
Equação: 5 (2 50) (4 1000) 0y y y      
 5 100 4000 0y y y    
 
Equação característica: 25 100 4000 0    { 10 10 7 }i    
Portanto: 10
1 2( ) [ (10 7 ) (10 7 ) ]
ty t e C cos t C sen t 
 
 
Considerando a condição inicial temos: 1 2
1 9 7
50 350
C e C   
 
Portanto: 10
1 9 7
( ) [ (10 7 ) (10 7 ) ]
50 350
ty t e cos t sen t   , com gráfico
 
 
Veja, que nesta condição aparece uma oscilação periódica, o que caracteriza o movimento 
subamortecido. 
Obs.: Considerando que o argumento do seno e cosseno obtido da parte imaginária da 
solução complexa, representa fisicamente “ 2 f t “ , onde f é a frequência, então: 
2 10 7f t t  
5 7
4,21f Hz

 Chamada de frequência natural. 
Obs.: O caso de amortecimento crítico é de difícil ocorrência. 
 
Quando o motor com massa excêntrica é ligado, a oscilação é obtida por sobreposição da 
solução homogênea com a particular. 
Vamos considerar o motor gerando força modelada pela função ( ) 20 (24 )f t sen t N , ou 
seja, apresenta uma amplitude de 20N com frequência de 12 Hz. 
Agora a condição inicial para nosso estudo será y(0) = 0 e y’(0) = 0. 
 
Ex3. Dados: m = 5kg , k = 1000 N/m e b = 150 N s/m 
Equação: 5 300 4000 20 (24 )y y y sen t    
Solução: 20 40( ) 0,00248 0,00207 0,000408 (24 ) 0,000441 (24 )t ty t e e cos t sen t      
 Solução Homogênea Solução Particular 
Seu gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex4. Dados: m = 5kg , k = 1000 N/m e b = 50 N s/m 
Equação: 5 100 4000 20 (24 )y y y sen t    
Solução: 
10( ) [0,000231 (10 7 ) 0,002218 (10 7 )] 0,000231 (24 ) 0,000748 (24 )ty t e cos t sen t cos t sen t    
 
 
Seu gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução Homogênea Solução Particular 
Circuito RLC 
O circuito RLC representa uma unidade básica para construção de diversos sistemas elétricos 
imprescindíveis no nosso dia a dia: televisão, rádio, controle remoto, máquina de lavar roupa, 
elevadores, GPS e por aí vai. 
Vamos fazer o modelamento matemático apoiados na lei de Kirchoff que diz: 
Num circuito elétrico fechado, a tensão aplicada é igual à soma das quedas de tensão dos 
componentes. 
 
 
Então, vamos entender a quantificação da queda de tensão em cada componente: 
Obs.: Usaremos I(t) no lugar de i(t) para não confundir com a unidade imaginária. 
 
Resistor 
No resistor, a queda de tensão é proporcional à intensidade da corrente. Em simbologia 
matemática fica: 
 .RE R I , onde R = Resistência elétrica (Ω) Ohm 
 
Indutor 
No indutor, a queda da tensão é proporcional à taxa de variação da corrente em função do 
tempo. Matematicamente pode ser representada por: 
 .L
dI
E L
dt
 , onde L = Indutância (H) Henry 
 
 
i(t) = corrente (A) 
E(t) = fonte de alimentação (V) 
Capacitor 
No capacitor, a queda de tensão é proporcional à carga elétrica armazenada. Em termos 
matemáticos: 
 
1
.CE Q
C
 , onde C = Capacitância (F) Farad 
 
Pela Lei de Kirchoff: EL + ER + EC = E(t) 
 
1
( )
dI
L R I Q E t
dt C
   
 
Como por definição: ( )
dQ
I t
dt
 logo Q I dt  
Gerando a equação íntregro-diferencial 
1
( )
dI
L R I I dt E t
dt C
   
Derivando toda a equação em relação ao tempo t, temos: 
 
2
2
1 ( )d I dI dE t
L R I
dt dt C dt
   
Resultando numa equação diferencial similar ao sistema mecânico, gerando os mesmos tipos 
de soluções com as mesmas classificações,apenas com diferença na escala de valores. 
Isso é impressionante, pois são aplicações físicas tão diferentes, e que do ponto de vista 
matemático são de mesma natureza. 
A analogia entre o sistema mecânico e sistema elétrico representa um conhecimento 
fundamental para a engenharia. Muitas simulações mecânicas foram feitas através de circuitos 
elétricos análogos, em função do custo de construção e da dificuldade de fazer aquisição de 
dados do ponto de vista mecânico (posição e velocidade em função do tempo). 
O circuito elétrico é de fácil construção, de baixo custo e de simples aquisição de dados. 
Analogia entre os sistemas mecânico e elétrico 
Sistema Mecânico Sistema Elétrico 
Massa (m) Indutância (L) 
Constante de amortecimento ( b) Resistência elétrica (R) 
Constante de elasticidade (k) Recíproco da capacitância (1/C) 
Força motora Derivada de força eletromotriz 
Deslocamento Corrente elétrica 
 
Ex5. Achar a corrente elétrica num circuito RLC com R = 10 Ω , L = 0,1 H e C = 10-3 F. O 
circuito está ligado a uma fonte de tensão E(t) = 150 sen (120π t ). Considere a corrente e 
variação desta, nulas como condição inicial. 
 
0,1 10 1000 150.120 . (120 )
0,1 10 1000 56548,668. (120 )
I I I cos t
I I I cos t
 

   
   
 
 
EDO homogênea: 0,1 10 1000 0h h h    { 50 86,603 }i  
Solução homogênea: 50 1 2( ) [ (86,603 ) (86,603 )]
th t e C cos t C sen t  
A solução particular será do tipo: ( ) (120 ) (120 )p t Acos t Bsen t   
 { 3,958 1,129 }A e B  
Solução particular: ( ) 3,958 (120 ) 1,129 (120 )p t cos t sen t   
Solução geral : I(t) = h(t) + p(t) 
 
50
1 2( ) [ (86,603 ) (86,603 )] 3,958 (120 ) 1,129 (120 )
tI t e C cos t C sen t cos t sen t    
 
 
Com base nas condições iniciais I(0) = 0 e Q(0) = 0 ou I’(0) = 0 , temos: 
50( ) [ 3,958 (86,603 ) 2,631 (86,603 )] 3,958 (120 ) 1,129 (120 )tI t e cos t sen t cos t sen t     
 
Veja o Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Rebello abr/2012 
(rev. 2015)