Unidade 3 - MODELAGEM DE SISTEMAS

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Introdução
Olá, estudante!
Vamos iniciar esta unidade curricular compreendendo os elementos passivos da eletrônica, como
resistor, indutor e capacitor, e os circuitos associados em série e paralelo, denominados circuitos RLC.
MODELAGEM DE SISTEMASMODELAGEM DE SISTEMAS
MODELAGEM DE SISTEMASMODELAGEM DE SISTEMAS
Au to r ( a ) : M e . G u i l h e r m e A f o n s o B e n to M e l l o
R ev i s o r : Fa b i o J o s e R i c a rd o
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 48 minutos.
Esse tipo de circuito é muito comum em filtros eletrônicos, como os filtros passa-baixa, que se destinam,
entre outras coisas, a reduzir ou eliminar ruídos.
Também veremos meios de representação e modelagem de sistemas elétricos, mecânicos e
eletromecânicos, de fluxo e térmicos e o impacto de perturbações sobre os sistemas.
Bons estudos!
A modelagem de sistemas elétricos é uma atividade comum dos engenheiros que atuam em processos
elétricos e eletrônicos. Essa modalidade está associada, principalmente, à configuração, ao mapeamento
e ao desenvolvimento de placas de circuitos eletrônicos.
Os sistemas elétricos são todos aqueles processos que envolvem eletricidade, seja tensão em corrente
alternada ou corrente contínua. A corrente contínua refere-se a um estado em que a tensão de operação é
contínua/fixa; a corrente alternada, por sua vez, refere-se à tensão variante no tempo. A imagem, a seguir,
vai auxiliá-lo(a) a compreender isso melhor.
Modelagem de Sistemas
Elétricos
Na eletrônica, os sistemas são formados por componentes passivos , ativos e eletromecânicos . Os
componentes ativos são aqueles que podem gerar, amplificar e chavear o circuito, como transistores,
diodos, reguladores de tensão e transformadores; os eletromecânicos são componentes que possuem
partes móveis e atuam eletricamente, como fusíveis, conectores e sensores (BRAGA, 2016).
Os passivos são os elementos mais comuns que podem ser encontrados nos aparelhos eletrônicos,
como é o caso dos resistores, indutores e capacitores. Estes não possuem a capacidade de amplificar,
tampouco de gerar sinais elétricos; contudo, assim como todos os demais componentes eletrônicos,
atuam de alguma maneira na dissipação de calor e na polarização.
Os resistores são componentes cuja característica é se opor à passagem de corrente elétrica. Os
indutores são elementos eletrônicos capazes de armazenar energia na forma de corrente elétrica e,
quando há variação da corrente passante pelo indutor, gera-se um fluxo magnético variante. Os
capacitores têm a capacidade de armazenar energia na forma de tensão elétrica . Devido à variação da
tensão passante entre as placas do capacitor, há uma variação do campo elétrico (RODRIGUES, 2018).
Entretanto, quando os capacitores são desconectados da fonte de alimentação, perdem a capacidade de
armazenamento, incorrendo na descarga de tensão e corrente elétrica em um determinado período de
tempo. Essa descarga varia dependendo da capacidade de armazenamento de carga do capacitor.
Agora, caro(a) estudante, você pode se perguntar: que o(a) engenheiro(a) necessita saber para poder
modelar um circuito eletrônico , composto dos principais componentes passivos?
Na modelagem de circuitos elétricos e eletrônicos, geralmente se utilizam os conhecimentos e as leis
relacionados aos sistemas eletrônicos, como Lei de Ohm, Lei de Kirchhoff, Lei de Faraday e de Maxwell. A
Lei de Ohm é a mais importante, pois dá “vida” à matemática relacionada aos componentes envolvendo
eletricidade.
Figura 3.1 - a) Representação da forma de onda de um circuito com tensão em corrente contínua (VCC); b)
representação da forma de onda de um circuito em tensão em corrente alternada (VCA). 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foram apresentados dois gráficos, ambos com uma seta na cor preta para direita, partindo da
origem 0,0, tendendo a infinito; no eixo vertical, uma seta na cor preta, partindo de 0,0 da origem tendendo a
infinito. No primeiro gráfico, há uma reta que toca o eixo vertical em 0,y e tende ao infinito, identificado por ,
uma reta contínua. No segundo gráfico, há a representação de um sinal em corrente alternada, do tipo senoidal,
semelhante a uma serpente, que varia no tempo com ciclos positivos e ciclos negativos, identificado por .
VCC
VCA
RELAÇÕES DE TENSÃO ERELAÇÕES DE TENSÃO E
CORRENTE PARA CADA UM DOSCORRENTE PARA CADA UM DOS
COMPONENTES COMPONENTES 
#PraCegoVer : o infográfico apresenta seis tópicos em linha horizontal. O título do infográfico é "Relações de
tensão e corrente para cada um dos componentes”. Abaixo do título, há o seguinte texto: “Deve-se conhecer as
relações de tensão e corrente para cada um dos componentes, sendo Equações 3.1 e 3.2, tensão e corrente para
o resistor; Equações 3.3 e 3.4 para o capacitor; e Equações 3.5 e 3.6 para o indutor”. Abaixo do texto, o primeiro
tópico é “Tensão no resistor” e, ao clicar nele, há o número “3.1” e, abaixo, a equação: “ ”. O segundo
tópico é “Corrente no resistor” e, ao clicar nele, é apresentado o número “3.2” e, abaixo, a equação: “ ”. O
terceiro tópico é “Tensão no capacitor” e, ao clicar nele, há o número “3.3” e, abaixo, a equação “
”. O quarto tópico é “Corrente no capacitor” e, ao clicar nele, é apresentado o número “3.4”
e, abaixo, a equação “ ”. O quinto tópico é “Tensão no indutor” e, ao clicar nele, é apresentado o
Deve-se conhecer as relações de tensão e corrente para cada um dos
componentes, sendo equações 3.1 e 3.2, tensão e corrente para o resistor;
equações 3.3 e 3.4 para o capacitor; e equações 3.5 e 3.6 para o indutor.
Fonte: Adaptada de Tsimafei Evseev / 123RF.
= R. iVR
=iR
V
R
(t) = i (t) .dtVc
1
C
∫
(t) = C.iC
dv(t)
dt
número “3.5” e, abaixo, a equação “ ”. O sexto tópico é "Corrente no indutor” e, ao clicar nele, é
apresentado o número “3.6” e, abaixo, a equação “ ”.
Você precisa ter noções destas equações iniciais para desenvolver quaisquer projetos envolvendo os
elementos básicos da eletrônica, para o controle e comando de dispositivos em geral.
Observe o circuito na Figura 3.2, um circuito RLC em série.
Figura 3.2 - Circuito RLC série 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foi apresentado um circuito eletrônico composto de quatro elementos em série. O primeiro
elemento é uma fonte de tensão em corrente contínua, identificada com v(t) com o sinal de positivo para cima e
negativo para baixo dentro da circunferência. Em série com a fonte de tensão, há um resistor identificado pela
letra R; nesta mesma malha, há um indutor L conectado em série com o resistor R e seu outro conector ligado a
um capacitor C, sendo seu segundo borne conectado no segundo borne da fonte de tensão. Há uma
identificação no circuito da corrente passante pelo indutor em vermelho com a inscrição ; à direita do
capacitor, está uma seta apontando para cima com uma inscrição .
Segundo Oliveira (2019), a utilização das equações diferenciais é bastante ampla na engenharia, porque
por meio delas é possível descrever vibrações em vigas e sistemas elétricos; entretanto, alguns
parâmetros poderão apenas ser obtidos computacionalmente, devido à complexidade de alguns
sistemas. Com isso, pode-se reescrever o circuito apresentado na Figura 3.2 na forma de equações
diferenciais ordinárias (EDO).
Pela lei de análise das malhas de Kirchhoff, pode-se afirmar que a soma das quedas de tensão em uma
malha é zero; pela lei dos nós, a soma das correntes em um nó é zero.
Na modelagem de circuitos RLC, frequentemente, busca-se a corrente passante pelo indutor e a
queda de tensão no capacitor . Outro fator importante é que as EDO são referentes a derivadas ,
então, é necessário tornar a Equação 3.1 uma função apenas de derivadas. Para tanto, é necessário
realizar a derivada da equação.
(t) = L.VL
di(t)
dt
(t) = v (t) .dtiL
1
L
∫
(t)iL
(t)VC
Equaç o 3.1 :  v (t) −R. i (t) −L. − i (t) .dt = 0a~
di (t)
dt
1
C
∫
(t)iL
(t)vC
Outro fator importante, é deixar o item de maior grau com coeficiente 1.
A equação diferencialque descreve o sistema é dada por:
São parâmetros que exigem que se conheçam as condições iniciais do sistema, que varia de processo
para processo. Por exemplo, ƛ está relacionado à ordem do sistema: se o sistema tem ordem 2, então é
preciso localizar os dois valores de ƛ. Um exemplo é reescrever a Equação 3.3 para:
Alguns processos devem sempre ser levados em consideração, e é tarefa do(a) engenheiro(a) estar
atento a todas as informações que são fornecidas. Isso é comum a todos os processos, sejam eles
simples, como um simples projeto de eletrônica, até todo o controle industrial de quadros de comando,
controle de inversores de frequência, equipamentos eletromecânicos etc.
E para o sistema RLC em paralelo? O que fazer? Deve-se fazer o mesmo. A figura, a seguir, vai poder
ilustrar isso melhor.
Figura 3.3 - Circuito RLC paralelo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foi apresentado um circuito eletrônico composto de quatro elementos em paralelo. O primeiro
elemento é uma fonte de tensão em corrente contínua identificada com o sinal de positivo para cima e negativo
para baixo dentro da circunferência. Em paralelo com a fonte de tensão, há um resistor identificado com a letra
R; em paralelo com o resistor, há um indutor identificado com a letra L; e, em paralelo com indutor, há um
capacitor identificado com a letra C. À direita do capacitor, há uma seta apontando para cima, identificada como
v(t).
Na resolução do circuito RLC em paralelo, o processo de resolução é o mesmo, aplicar a Lei de Ohm .
Como os elementos estão em paralelo, a diferença de potencial (ddp) é igual nos três termos, então:
Equaç o 3.2 :  R. +L. + i (t) = 0a~
di (t)
dt
i (t)d2
dt2
1
C
Equaç o 3.3 :   + . + i (t) = 0a~
i (t)d2
dt2
R
L
di (t)
dt
1
C.L
Equaç o 3.4 :  ( . )+ i (∞)a~ ∑
i=1
n
Ai e
− .tλi
Equaç o 3.5 :   + .λ+ = 0a~ λ2
R
L
1
C.L
Equaç o 3.6 :   + + = 0a~ iR iL iC
Conhecendo as equações que descrevem as tensões e correntes elétricas dos elementos passivos
(resistor, capacitor e indutor) e substituindo-as na Equação 3.6, tem-se:
Pode-se reescrever e, derivando a Equação 3.7, obtém-se:
Repare que as Equações 3.3 e 3.8 são bem parecidas e o andamento da resolução do sistema também.
No entanto, o(a) engenheiro(a) deve saber trabalhar bem, configurar e modelar os processos baseado na
Transformada de Laplace e realizar a Transformada inversa de Laplace , pois além de reduzir as
equações diferenciais, pode-se apontar se o circuito está estável ou não, com base nos polos e zeros da
função de transferência . A Transformada de Laplace usa a equação característica dada pela Equação
3.9, na qual há a mudança de domínio do tempo (t) para a frequência (s):
Sendo que s = σ+j.ω.
Para Pérez (2012), a Transformada de Laplace apresenta uma definição da relação da saída pela entrada
do sistema, solucionando equações de forma mais acessível, sem a presença de tantas derivadas,
comuns nas EDO.
Todavia, um sistema nem sempre é tão simples. A maioria dos sistemas tem uma infinidade de recursos
que os protegem de possíveis perturbações e desvios, como é o caso de controladores . Veja no
elemento a seguir as perturbações de entradas mais comuns (BOJORGE, 2009):
Clique nas abas a seguir para visualizar o respectivo conteúdo:
Portanto, cada perturbação causa um tipo de alteração no sistema, e essas perturbações são comuns
para o estudo experimental e teórico. Além disso, os sistemas são divididos em duas partes: resposta
natural , transitória ou homogênea , etapa que ocorre após a modificação do estado da entrada até o
período de assentamento do sistema; e resposta estacionária ou forçada , que remete ao desempenho
do sistema no período estacionário (DRIEMEIER, 2019).
Veja o caso da Equação 3.8, realizar a Transformada de Laplace e, posteriormente, aplicar a entrada do
tipo degrau unitário (ou seja, degrau de amplitude 1).
Equaç o 3.7 :   + v (t) .dt+C. = 0a~
v
R
1
L
∫
dv (t)
dt
Equaç o 3.8 :  C. + . + .v = 0a~ v′′
1
R
v′
1
L
Equaç o 3.9 :  L{f (t)} = f (t) .  dta~ ∫
0
∞
e−st
Impulso Degrau Pulso Rampa Senoidal
Impulso : a perturbação do tipo impulso é momentânea, ou seja, ocorre em um instante de tempo e não
ocorre novamente. Pode compreender a vibração de um sensor em um determinado momento.
Isolando V(s) na equação e considerando que v(0) é uma constante, teremos:
Agora, aplicando a entrada degrau à função de transferência apresentada na Equação 3.11, tem-se:
No circuito RLC paralelo da Figura 3.3, suponha que o valor do resistor R seja 1 Ω, o do indutor L seja 10 H
e o do capacitor C seja 2 mF. Podemos reescrever a Equação 3.12 de resposta à entrada do tipo degrau
assim:
Observe que a entrada do tipo degrau provoca uma modificação na resposta do sistema, visto que ele
acrescenta mais um polo no processo, e eventualmente esse polo também pode interferir na estabilidade
. Por isso, é necessário conhecer onde os polos e zeros do sistema estão localizados no lugar das raízes
( root locus ).
Reescrevendo a Equação 3.13, em função dos polos e zeros, tem-se:
Para identificar os zeros da equação, iguala-se o numerador a zero e, por fim, calculam-se os valores para
“s”. E faz-se o mesmo para o denominador, assim, encontram-se os polos do sistema. Para a Equação
3.20, o zero está em -500, e os polos estão em 0, -0,1 e -500. Você pode compreender isso melhor na
Figura 3.4.
Equaç o 3.10 : C. [ .V (s) − s.v (0) − (0)] + . [s.V (s) − v (0)] + .V (s) = 0 a~ s2 v′
1
R
1
L
Equaç o 3.11 : V (s) =a~
V (0) . [C.s+ ]1
R
C. + .s+s2 1
R
1
L
Equaç o 3.12 : V (s) = { } .a~
V (0) . [C.s+ ]1
R
C. + .s+s2 1
R
1
L
1
s
Equaç o 3.13 : V (s) = .a~
V (0)
s
[ + 1]s
500
(s+ 500) .(s+ )1
10
Equaç o 3.14 :  V (s) = V (0) .a~
[ + 1]s
500
s. (s+ 500) . (s+ 0, 1)
Figura 3.4 - Representação dos polos e zeros no lugar das raízes 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a figura apresenta com a representação quadrada. Na vertical, há números crescentes de -1,5 a
+1,5, exibidos de 0,5 em 0,5. Na horizontal há números crescentes de -500 a +500, exibidos de 250 em 250. O
eixo horizontal é identificado com o símbolo sigma e o vertical, com jota ômega. A figura está dividida em duas
partes iguais em relação ao eixo horizontal, sendo a da esquerda com fundo verde, e a da direita com fundo
magenta. Na parte inferior, acima do eixo horizontal, há uma escrita: frequências no domínio s. Nesta imagem,
há um xis em sigma igual a -500 e jota ômega igual a 0; há outro xis em sigma igual a -0,1 e jota ômega em 0;
outro xis em sigma igual a 0 e jota ômega igual a 0. Por fim, há um zero na posição sigma igual a -500 e jota
ômega igual a 0.
Podemos dizer que um sistema é estável se seus polos estiverem no semiplano esquerdo do plano de
coordenadas complexo de “s”. Segundo Rodrigues (2019, p. 1), a estabilidade está relacionada a esta
definição: “um sistema é considerado estável se para toda entrada limitada, ele produz uma saída
limitada”, independentemente do estado inicial. Uma entrada limitada sempre possui um limite inferior e
um limite superior (RODRIGUES, 2019). Vamos fixar o conteúdo visto até aqui? Na atividade, a seguir,
coloque seu conhecimento em uso.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
Todo e qualquer sistema pode ser modelado, desde sistemas considerados simples até os mais
robustos e complexos. Para tanto, é preciso encontrar suas equações características, bem como realizar
ensaios para proteger o sistema de determinadas entradas, como estar sujeito às perturbações
(BOJORGE, 2009). As harmônicas são exemplos de perturbações que interferem no funcionamento dos
mais diversos equipamentos industriais e provocam ruídos, principalmente a terceira e a quinta
harmônicas.
BOJORGE, N. Dinâmica e modelagem de processos . Niterói: UFRJ, 2010. Disponível em:
http://www.eq.ufrj.br/docentes/ninoska/docs_PDF/Aula_Modelagem_%20LADEQ_1sem09. 
pdf . Acesso em: 30 maio 2021.
Sobre as perturbações do tipo harmônica, assinale a alternativa correta.a) São interferências de composição do tipo impulso.
b) São interferências do tipo degrau com amplitude �xa.
c) São interferências de composição do tipo rampa.
d) São interferências de composição da senoide básica.
e) São interferências de composição do tipo pulso.
Assim como os processos elétricos e eletrônicos, podemos representar os sistemas mecânicos e
eletromecânicos na forma de equações diferenciais ordinárias. Nos sistemas mecânicos há basicamente
dois modelos existentes, o translacional e o rotacional .
Clique nas setas dos slides de texto a seguir para visualizar o conteúdo:
Modelagem de Sistemas
Mecânicos e
Eletromecânicos
Translacional : há uma massa que se desloca, como é o caso do sistema massa-mola-
amortecedor (Figura 3.5).
Rotacional : há uma massa que está em movimento circular (Figura 3.6). Um exemplo disso
é o movimento de pêndulo.
http://www.eq.ufrj.br/docentes/ninoska/docs_PDF/Aula_Modelagem_%20LADEQ_1sem09.pdf
Veja melhor como isso funciona nas imagens a seguir.
Figura 3.5 - Sistema mecânico translacional 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a figura apresenta um sistema contendo um quadrado na parte superior com uma inscrição m de
fundo branco; acima do bloco há uma força f puxando o bloco para cima; à esquerda do bloco, há uma
identificação de y(t) com uma seta apontando para cima; abaixo do bloco, há dois elementos, uma mola com
inscrição k e um amortecedor de inscrição b conectados tanto no bloco quanto no solo.
Figura 3.6 - Sistema mecânico rotativo 
Fonte: Adaptada de Nishitani (2017, p. 9).
#PraCegoVer : a figura apresenta uma circunferência de cor cinza com inscrição J. Dentro da circunferência, há
uma mola em forma de caracol conectada a uma haste com uma inscrição K. Abaixo da circunferência, há um
bloco de semicírculo (o amortecedor) na cor vermelha com inscrição b. À direita da circunferência, há um sinal
de theta entre a haste e o eixo horizontal. Acima há uma seta indicando a rotação da circunferência anti-horário
com uma inscrição T.
Pode-se dizer que esses dois sistemas apresentados nas figuras denotam a base de elementos
mecânicos. O sistema massa-mola-amortecedor está associado à modelagem mecânica translacional ,
pois há um bloco de massa “m” que se desloca, neste caso, para cima ou para baixo. A EDO que descreve
esse movimento é dada por:
Observe que a Equação 3.15, descrita pelo teorema do movimento do baricentro , assemelha-se aos
casos anteriores (elétricos) quanto à forma, inclusive o mecanismo de resolução é igual. E podemos
condicionar os estágios iniciais da equação, de modo que a Transformada de Laplace para o sistema
pode ser dada por:
Organizando a Equação 3.17, a função de transferência para o sistema da Figura 3.5 é:
No caso do sistema do modelo rotativo da Figura 3.6, não será utilizado o teorema do movimento do
baricentro, pois o objeto não está se deslocando além dos objetos que o prendem, mas está girando
mediante elementos que impedem o giro. Que fatores devemos levar em consideração quanto ao modelo
rotativo?
Momento de inércia.
Torque.
Amortecedor angular.
Mola angular.
Então como descrever o movimento da haste em relação ao centro do objeto? Aqui, será utilizado o
teorema do momento angular. A força aplicada, neste caso, o torque 𝜏, é contrária aos elementos que
impedem o giro, como a mola, o amortecedor e o momento de inércia do próprio corpo.
Diferentemente do modelo translacional, que refere-se ao deslocamento em um ou mais eixos (x, y e z),
no modelo rotativo há uma variação angular no tempo θ(t). Desta maneira, os parâmetros de variação
angular devem ser considerados.
Agora compare as duas Equações formadas, 3.15 e 3.19:
Notou que, basicamente, são as mesmas equações? É claro que cada caso é um caso, mas pode-se
analisar as equações de forma análoga, assim como nos circuitos RLC, na Equação 3.3:
Equaç o 3.15 :  f (t) = m. + b. + k.ya~ y′′ y′
Equaç o 3.16 :  F (s) = m. [ .Y (s) − s.y (0) − (0)] + b. [s.Y (s) − y (0)] + k.Y (s)a~ s2 y′
Equaç o 3.17 :  F (s) = Y (s) . [m. + b.s+ k] − y (0) . [m.s+ b] −m. (0)a~ s2 y′
Equaç o 3.18 : Y (s) =a~
F (s) + y (0) . [m.s+ b] −m. (0)y′
[m. + b.s+ k]s2
Equaç o 3.19 :  τ (t) = J. + b. + k.θa~ θ′′ θ′
Equaç o 3.15 :  f (t) = m. + b. + k.ya~ y′′ y′
Equaç o 3.19 :  τ (t) = J. + b. + k.θa~ θ′′ θ′
Equaç o 3.3 :   (t) + . (t) + = 0a~ i′′
R
L
i′
1
C.L
Para Carvalho (2000), apesar de as equações resultantes não serem muito “atraentes” para se fazer o
cálculo manual , podem ser simuladas, elaboradas e verificadas em computadores . Há ainda dispositivos
e equipamentos que podem utilizar ambos os modelos no desenvolvimento de ações, como um motor
elétrico rotativo, composto de uma haste conectada no eixo do motor ligado a uma engrenagem, e esta
engrenagem, a uma cremalheira, como você pode ver representado na Figura 3.7.
Figura 3.7 - Sistema misto mecânico 
Fonte: Adaptada de Nishitani (2017, p. 10).
#PraCegoVer : a figura apresentada contém três partes, identificadas como objetos 1, 2 e 3. O objeto 1, referente
ao eixo motor, contém uma circunferência com um J escrito; abaixo da circunferência, há x x x, que representam
o amortecedor b1; à esquerda há a identificação de uma seta com inscrição T(t) apontando no sentido de
rotação horário e outra identificação de theta1. Entre o objeto 1 e o objeto 2, há uma haste identificada com a
letra k. No objeto 2, há um pinhão contendo uma engrenagem de raio r, com anotação de rotação angular theta
2. No objeto 3, há um retângulo com uma cremalheira que está em contato com a engrenagem do objeto 2. No
objeto 3, há uma identificação de m; e, abaixo do retângulo do objeto 3, há um conjunto de amortecedor
identificado por b2.
R E F L I T A
Os sistemas têm semelhanças, o que facilita o entendimento e,
consequentemente, identificação das equações que representam os
circuitos. Outro fator importante é o ganho de tempo com essas
semelhanças entre processos. Reflita: quais outros sistemas, além do
sistema mecânico, possui um sistema massa-mola-amortecedor
semelhante?
Observe que, no caso da Figura 3.7, há uma combinação de elementos mecânicos (translacional e
rotativo), relacionados à transmissão do movimento. Para tanto, devemos analisar quantos corpos e
variáveis estão contidos no sistema, até porque a quantidade de variáveis do sistema vai determinar o
número de equações existentes. Deve-se, então, verificar se as variáveis têm relação umas com as outras,
a fim de determinar o número de graus de liberdade do sistema.
Como você viu no exemplo apresentado da Figura 3.7, deve-se analisar corpo a corpo. O primeiro dos
corpos é o elemento conectado ao eixo do motor, identificado como objeto 1.
O primeiro passo é identificar as forças atuantes neste objeto.
Há um torque 𝜏(t) sendo induzido para provocar o movimento; esse torque pode ser advindo do motor.
Há uma restrição do movimento causada pelo momento de inércia , pelo amortecedor e pela haste
que transmite o movimento ao objeto 2 (pinhão).
Observe que a haste que transmite o movimento do motor para o pinhão está correlacionada e
condicionada à rotação do objeto 1, que é θ1, e do objeto 2, que é θ2. Então, deve-se reescrever a
equação por:
Em relação ao objeto 2 (pinhão), pode-se descrever duas forças atuantes : o elemento que promove giro
do objeto e a rotação da haste, que neste caso têm os mesmos valores, sendo:
Lembre-se de que o torque é igual à força multiplicada pela distância. Para que possa entender isso, vou
dar o exemplo de acionar uma maçaneta. Veja a Figura 3.8.
Figura 3.8 - Ação de uma força F sobre o eixo de uma fechadura 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a figura apresenta uma fechadura de porta na cor cinza, em que a maçaneta está identificada na
cor cinza de tamanho d, promovendo rotação em sentido horário com a letra T. Na extrema direita da maçaneta,
há uma seta vermelha apontada de cima para baixo com a letra F.
b1
Equaç o 3.20 : τ (t) = J. + b. + k.θa~ θ1
′′ θ1
′
Equaç o 3.21 : τ (t) = J.+ b. + k. ( − )a~ θ1
′′ θ1
′ θ1 θ2
Equaç o 3.22 : k. ( − ) =a~ θ1 θ2 τP
Quanto mais próximo do eixo da maçaneta a força for aplicada, menor será o torque . Entretanto, pode
ser aplicada menos força na extremidade da maçaneta, e o torque vencerá o momento de inércia da
maçaneta e promoverá a abertura da porta.
Então, o torque é dado por:
Essa situação ocorre exatamente na transmissão de força do pinhão para a cremalheira, em uma força
, relacionada ao raio do pinhão “r”. Então:
Reescrevendo a Equação 3.22, você obtém:
Sabe-se que o arco de uma circunferência é dado por:
Relacionando o arco como a quantidade de deslocamento do pinhão em relação à cremalheira, pode-se
afirmar que:
Por fim, analisando o objeto 3, relacionado à cremalheira, e o deslocamento da massa “m”, tem-se que:
Substituindo a Equação 3.28 na Equação 3.30, tem-se que:
Temos duas Equações (3.21 e 3.31) em função de e .
Essas duas equações representam o funcionamento de todo o sistema da Figura 3.7. Isso serve para
quaisquer tipos de sistemas, assim como para processos eletromecânicos, que relacionam dispositivos
elétricos/eletrônicos com dispositivos mecânicos . Um exemplo de dispositivo eletromecânico são os
motores , que produzem uma saída mecânica para uma entrada elétrica. Veja um exemplo de como isso
ocorre na Figura 3.9.
Equaç o 3.23 : τ = F .da~
FP
Equaç o 3.24 :   = r .  a~ τP FP
Equaç o 3.25 :  k. ( − ) = r .  a~ θ1 θ2 FP
Equaç o 3.26 :   =a~ FP
k. ( − )θ1 θ2
r
Equaç o 3.27 :  Arco  =  Raio. nguloa~ â
Equaç o 3.28 : x = . ra~ θ2
Equaç o 3.29 :   = P +a~ FP Fb2
Equaç o 3.30 : = m. + .a~
k. ( − )θ1 θ2
r
x′′ b2 x
′
Equaç o 3.31 : = m. r. + . r.a~
k. ( − )θ1 θ2
r
θ2
′′ b2 θ2
′
θ1 θ2
Equaç o 3.21 : τ (t) = J. + b. + k. ( − )a~ θ1
′′ θ1
′ θ1 θ2
Equaç o 3.31 : = m. r. + . r.a~
k. ( − )θ1 θ2
r
θ2
′′ b2 θ2
′
Na Figura 3.9, você pôde observar que há um sistema eletrônico ligado a um motor, que promove
movimento angular do eixo. Como proceder neste caso? Resolva as equações como no caso anterior da
Figura 3.7, na qual há uma transmissão de movimentos entre os circuitos.
Agora que conhece um pouco sobre transmissão do movimento, vamos aplicar os conceitos de transmitir
a corrente para o motor. A primeira etapa é identificar a equação que descreve o sistema:
Além disso, observa-se que o resistor R, o indutor L e o motor estão em série, então a corrente passante
nos três elementos é igual. é a força eletromotriz (fem) do motor – que é o potencial elétrico
fornecido por um dispositivo elétrico, como motores e geradores –, e essa força eletromotriz é dada por
(NISE, 2012):
Sendo que é a constante de proporcionalidade da força eletromotriz.
O torque desenvolvido no motor é proporcional à corrente passante por ele multiplicada por , que é a
constante de proporcionalidade do torque do motor. Essa constante depende do campo magnético e das
características do motor, dada por:
Figura 3.9 - Circuito eletromecânico 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : foi apresentado um circuito eletrônico composto de quatro elementos em série. O primeiro
elemento é uma fonte de tensão em corrente contínua identificada com v(t) com o sinal de positivo para cima e
negativo para baixo dentro da circunferência. Em série com a fonte de tensão, há um resistor identificado pela
letra R; conectado ao resistor, há um motor representado por uma circunferência e, tanto na parte inferior quanto
superior, há um pequeno retângulo centralizado em relação à circunferência. À direita do motor, há uma haste
com rotação theta e identificação de torque T; à esquerda do motor, há uma identificação de com sinal de
positivo na parte superior e negativo na parte inferior. Conectado ao motor, há um indutor identificado pela letra
L, e o outro borne do indutor conectado no sinal de negativo da fonte.
(t)vm
Equaç o 3.32 :  v (t) = (t) + (t) + (t)a~ vR vL vM
(t)Vm
Equaç o 3.33 :   (t) = .a~ vM kM
dθ (t)
dt
kM
kT
Equaç o 3.34 :  τ (t) = . i (t)a~ kT
Reescrevendo a Equação 3.36 com base nas Equações 3.33 e 3.35, você obtém:
Fazendo-se a Transformada de Laplace da Equação 3.36:
Segundo Nise (2012), o carregamento mecânico equivalente típico em um motor tem parâmetros como
inércia, “J”, e amortecimento, “b”, de armadura e da carga refletida para armadura do motor, cuja
Transformada de Laplace é:
Considerando que a saída do sistema é θ(t), a entrada é v(t), e promovendo a substituição da Equação
3.39 na Equação 3.38, a função de transferência do sistema apresentado na Figura 3.9 é:
De fato é um grande trabalho de atenção e dedicação para o cálculo da função de transferência de um
circuito eletromecânico. Entretanto, grande parte dos processos industriais é formada por dispositivos
elétricos e mecânicos, como apresentado na Figura 3.9.
Assim como nos dispositivos elétricos, em dispositivos mecânicos e eletromecânicos, como motores e
geradores, podemos aplicar perturbações na entrada do sistema para estudo experimental e teórico.
Exercite um pouco do conteúdo que viu até aqui na atividade a seguir.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos 
(Atividade não pontuada) 
Equaç o 3.35 :  i (t) =  a~
τ (t)
kT
Equaç o 3.36 :  v (t) = R. i (t) +L. + .a~
di (t)
dt
kM
dθ (t)
dt
Equaç o 3.37 : V (s) = R.   +L.s. + .s. Θ (s)a~
τ (s)
kT
τ (s)
kT
kM
Equaç o 3.38 : V (s) = . [R+L.s] + .s. Θ (s)a~
τ (s)
kT
kM
Equaç o 3.39 :  τ (s) = J. . Θ (s) + b.s. Θ (s)a~ s2
Equaç o 3.38 : V (s) = . [R+L.s] + .s. Θ (s)a~
[J. . Θ (s) + b.s. Θ (s)]s2
kT
kM
Equaç o 3.39 : =a~
Θ (s)
V (s)
kT
R.J
s.[s+ .(b+ )]1
J
.kT kM
R
Assim como os processos elétricos, os projetos mecânicos merecem interpretação e modelagem. Até
porque grande parte dos processos e diagramas industriais é repleta de estruturas mecânicas, motores,
sistemas de amortecimento de impactos etc. Entre os dispositivos mecânicos, há dois tipos especí�cos:
os translacionais e os rotativos. Os translacionais são sistemas mais conhecidos na engenharia,
presentes em diversos processos industriais até equipamentos automotivos, como a estrutura do
sistema de amortecimento de veículos.
Suponha um sistema de amortecimento cuja função força seja dada por:
Se o coe�ciente de amortecimento for igual a 0,2 N.s/m, calcule a força no instante de 1 segundo.
Assinale a alternativa correta.
a) f(1) = -8 N.
b) (1) = 15 N.
c) f(1) = 4 N.
d) f(1) = -7,096 N.
e) f(1) = -3,354 N.
A Lei de Conservação de Massa , proposta por Antoine Lavoisier em 1790, estabelece que na natureza
nada se cria, nada se perde, tudo se transforma. Também denominada Lei de Lavoisier, a lei é condição
essencial para o balanceamento e a compreensão de equações químicas (DUARTE, 2021).
O deslocamento de um fluido em tubulações também pode ser analisado mediante modelos
matemáticos, e a simulação desses modelos pode auxiliar o(a) engenheiro(a) a configurar diversos
atributos, como a operação e o monitoramento, além de permitir melhorias no processo (AYUB; PEREIRA,
2016).
f (t) = 5.t+ − 10b−2.t
Modelagem de Sistemas
de Fluxo
A modelagem de sistemas de fluxo busca analisar velocidades superficiais e reais, pressão e temperatura
que correspondem à conservação da massa e ao movimento e energia, respectivamente.
Veja, então, o elemento a seguir para conhecer as propriedades dos fluidos (líquidos e gases) e suas
equações características:
Observação: R é a constante universal dos gases, oriunda da equação de Émile Clapeyron, e equivale a
0,082 atm.L/mol.K ou 8,31 J/mol.K. Conheça mais sobre a equação de Clapeyron acessando o link no box
a seguir.
Com base na equação de Clapeyron, evidenciamos também a relação entre os gases, como
transformações isobáricas , isocóricas e isotérmicas . Na transformação isobárica, descrita pela lei de
Charles e Gay-Lussac, ainda que o volume e a temperatura de um fluido variem, a pressão permanecerá a
mesma. A transformação isocórica, comum a gases confinados, estabelece que ainda que se alterem
pressão e temperatura, o volume permanecerá o mesmo. Por fim,nas transformações isotérmicas,
definidas pela lei de Boyle-Mariotte, a temperatura permanece a mesma (SCHULZ, 2009).
Sobre os fluidos, há outros tipos de atributos de grande relevância: vazão, escoamento e viscosidade. A
vazão (Q) é a relação entre o volume do fluido em relação a um intervalo de tempo, definido na Equação
3.40; se em um duto houver deslocamento de fluido em escoamento uniforme, então a vazão será
determinada pela área da seção transversal multiplicada pela velocidade de escoamento do fluido, como
na Equação 3.41 (SILVA JÚNIOR, 2016).
Viscosidade é uma propriedade física caracterizada pela resistência de um fluido ao escoamento; já o
escoamento é análogo à corrente elétrica e está relacionado à capacidade do fluido de se deslocar de
S A I B A M A I S
A equação de Clapeyron é baseada nas leis dos gases ideais e na teoria cinética dos gases, que inter-relacionam
pressão, volume, temperatura e o número de mols de um determinado fluido.
Veja mais no link a seguir.
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/estudo-dos-gases-equacao-clapeyron.htm.
Fonte: Adaptado de Helerbrock (2021).
P .V = n.R.T
Equaç o 3.40 : Q =a~
dV
dt
Equaç o 3.41 : Q = S.va~
https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/estudo-dos-gases-equacao-clapeyron.htm
forma laminar (paralela ao duto) ou turbulenta, cuja trajetória é aleatória.
A temperatura é uma variável que promove a variação da viscosidade em líquidos. Quando há elevação
da temperatura, há um aumento da velocidade de cada molécula e, consequentemente, redução da
viscosidade do fluido, como representado na Equação 3.42 (FONTANA, 2018).
Outra equação, senão uma das mais importantes na mecânica dos fluidos, é a equação de Bernoulli,
utilizada para caracterizar o comportamento de fluidos passantes em uma tubulação. Esta equação é
obtida por meio do teorema de conservação de energia mecânica, definido pela Equação 3.43:
Sendo que:
: energia mecânica aplicada em um corpo ou fluido.
: energia cinética, relacionada ao movimento do fluido.
: energia potencial gravitacional, referente à diferença de altura.
Todos os parâmetros anteriores são levados em consideração na modelagem de um sistema de �uxo .
Vale lembrar, por exemplo, que em um mesmo duto ou tubulação pode haver a presença de mais de um
fluido ao mesmo tempo, e, nesse caso, todos os componentes presentes deverão ser analisados.
Para ilustrar isso de modo que você possa compreender melhor, observe o esquema na Figura 3.10, de
uma tubulação na qual há dois fluidos muito comuns em ambientes industriais operando
simultaneamente, a água (w) e o óleo (o), com suas respectivas variáveis.
Figura 3.10 - Trecho de uma tubulação no modo core-�ow 
Fonte: Adaptada de Granzotto (2008).
#PraCegoVer : a figura apresenta uma parte de uma tubulação seccionada de forma retangular. Na parte interna
do retângulo, há dois fluidos passantes: água nas bordas e óleo fluindo na parte central. Ainda na parte interna,
na borda inferior, há tau dablio com uma seta apontada para esquerda e mais a direita há dablio. Na borda
superior há uma inscrição de S dablio, de diâmetro theta maiúsculo. Na parte central, à direita, há identificação
So, na área da seção do óleo, e z. Na parte externa do retângulo, do lado esquerdo, há três identificações, Qw,
Qo e P1, todos entrantes na forma retangular. Acima há identificação de g (força gravitacional) e L apontando o
tamanho do tubo seccionado. Na parte inferior, há identificação de VC, e à direita há Q0 e P2.
Equaç o 3.42 : μ (T ) = .a~ μ0 e
E
R.T
Equaç o 3.43 :   = +a~ EM EC EPG
EM
EC
EPG
vo
Note, na Figura 3.10, que os dois fluidos se movem no mesmo sentido, no sentido de “z”, e que a tensão
de cisalhamento da água é contrária ao movimento do fluido. Essas informações certamente auxiliam a
identificar a sequência dos fluxos para melhor aproveitamento das equações.
 Vazão de água.
 Vazão de óleo (constante).
 Área da seção transversal ocupada por água.
 Área da seção transversal ocupada por óleo.
 Comprimento do trecho da tubulação.
 Direção do escoamento do óleo.
 Ação gravitacional.
 Volume de controle.
 Pressão na entrada do trecho da tubulação.
 Pressão na saída do trecho da tubulação.
 Tensão de cisalhamento.
 Diâmetro da tubulação.
 Velocidade constante do óleo.
 Velocidade constante da água.
Observe que, para a modelagem do sistema apresentado na Figura 3.10, há uma grande quantidade de
variáveis que interferem no funcionamento. Vale ressaltar que estamos analisando um pequeno trecho
da tubulação, que reflete o funcionamento da tubulação como um todo; entretanto, em outras partes da
tubulação pode haver a atuação de mais forças, como a Lei de Pascal etc.
Deve-se considerar a equação de conservação da massa, baseada no Teorema de Transporte de
Reynolds, apresentada na Equação 3.44 (NIECKELE, 2017):
Observação: SC é a superfície de controle da tubulação . Então, considerando a Equação 3.44, referente à
lei de conservação da massa, pode-se afirmar que a variação da massa do fluido em relação ao tempo é
zero:
Portanto, para o sistema, temos:
Sabe-se que a vazão do óleo é constante , devido à bomba possuir deslocamento positivo,
independentemente de outras ações envolvidas no processo. Então, a vazão de óleo pode ser
determinada por:
Qw
Qo
Sw
So
L
z
g
VC
P1
P2
τw
ϕ
vo
vw
Equaç o 3.44 :   = ϕ.ρ.dV + ϕ.ρ.V .n.dSa~
dϕ
dt
∂
∂t
∫
VC
∫
SC
Equaç o 3.45 : = 0a~
dm
dt
Equaç o 3.46 : ϕ.ρ.dV + ϕ.ρ.V .n.dS = 0a~
∂
∂t
∫
VC
∫
SC
Sendo que ε a fração do volume do óleo, definida pela Equação 3.48:
Então, pode-se descrever a modelagem do sistema no que tange ao óleo (Equação 3.49) e à água
(Equação 3.50) conforme a seguir:
Portanto, é preciso conhecer todas as propriedades envolvidas no processo para poder fazer a
modelagem de fluxos, no que tange aos líquidos e gases: as relações fundamentais de Reynolds, o
teorema da conservação da massa, os conceitos de escoamento e viscosidade e suas inter-relações.
A simulação pode ser obtida via software, para vazão da água, supondo escoamento de 32 m³/h, b e n
(parâmetros de Blasius). Você pode ver isso no gráfico da Figura 3.11.
Figura 3.11 - Curva de carga da tubulação da linha de core-�ow 
Fonte: Adaptada de Granzotto (2008).
#PraCegoVer : a figura representa quatro curvas de carga. No eixo horizontal há uma identificação da vazão de
água em metros cúbicos por hora, variando de 0 a 25, sendo de 5 em 5. No eixo vertical, há a identificação
Pressão core-�ow em quiloPascal, variando de 0 a 250, sendo de 50 em 50. A primeira curva é a curva de bomba,
na cor vermelha, decrescente a partir de 100 de pressão e tende a zero; a segunda curva, também da bomba na
cor azul claro, inicia em pressão 160, tendendo a zero; a terceira curva, na cor azul escuro, representa o
escoamento do sistema em core-�ow ; a quarta curva, na cor roxo, representa o escoamento do sistema em
core-�ow utilizando os parâmetros de Blasius.
As equações e parâmetros de Blasius correspondem a soluções por similaridade em relação às
velocidades do fluido, ainda que varie a distância da camada-limite e a conservação da quantidade de
movimento linear (ARAKI, 2017). E assim como nos dispositivos elétricos, mecânicos e eletromecânicos,
Equaç o 3.47 :  Qo = .S = ϵ. .Sa~ jo vo
Equaç o 3.48 :a~ (1 + c. )
Qw
Qo
−1
Equaç o 3.49 : | − | . ϵ.S − . .L− ϵ. .g.S.L = . [ . ϵ.S.L] = 0a~ P1 P2 τSC SSC ρo ρo
d
dt
vo
Equaç o 3.50 : | − | . (1 − ϵ) .S + . .L− . .L− (1 − ϵ) . .g.S.L =a~ P1 P2 τSC SSC τw Sw ρw
. [ ]ρw
d
dt
vw.(1−ϵ).S.L
Qo
podemos aplicar perturbações na entrada do sistema para estudo experimental e teórico em sistemas de
fluxo, tanto na modelagem para líquidos quanto para gases.
É necessário encontrar a função de transferência do sistema, que relaciona a saída do sistema (aquilo
que se deseja encontrar) com a entrada, que pode ser uma condição ou um condicionamento de
sensores, e, por fim, fazer a multiplicação pela entrada de perturbação. No último tópico, veremos a
modelagem desistemas térmicos. Mas antes vamos praticar!
praticar
Vamos Praticar
A modelagem de sistemas é uma designação do(a) engenheiro(a) para fazer a descrição �dedigna dos
sistemas e do comportamento deles. É preciso sempre levar em consideração todos os elementos que
fazem parte do processo. Para Ogata (2014, p. 2), “a teoria de controle moderno baseia-se na análise do
domínio do tempo em sistemas de equações diferenciais. Ela simpli�cou o projeto de sistemas de
controle porque se baseia no modelo de um sistema de controle real”. Observe a �gura:
Figura - Exercício: malha fechada em blocos 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a figura apresenta E(s) com uma seta da esquerda para direita apontando para o sinal
de positivo de uma circunferência à direita (bloco somador). O bloco somador é uma circunferência
composta de um sinal de positivo do lado esquerdo e do sinal negativo logo abaixo. Saindo, à direita
do bloco somador, há uma seta preta conectada a outro bloco, desta vez retangular, com a inscrição
s+1. Saindo deste bloco, há uma seta preta conectada a outro bloco retangular com a Equação 1
sobre duas vezes s mais 5. Deste bloco, sai uma seta preta apontada para direita com a inscrição
Y(s) e uma seta que passa por baixo dos outros dois blocos retangulares e se conecta ao sinal
negativo do bloco somador.
Identi�que os polos e zeros do sistema apresentado na Figura 3.13 para uma entrada degrau unitário.
Os sistemas térmicos correspondem a processos nos quais há interação de calor entre corpos ou entre o
meio e corpos. Esses sistemas são componentes da termodinâmica, cuja ciência estuda características
da energia que provoca alterações em outros corpos ou no meio.
No elemento, a seguir, você pode identificar equipamentos ou sistemas térmicos como:
Sistemas térmicos provocam um grande impacto no meio ambiente, como a poluição e o aquecimento
global. Mas, é claro, há também fontes de energias alternativas, as chamadas energias renováveis, como
é o caso da energia fotovoltaica e da eólica (YANAGIHARA, 2020).
Caro(a) estudante, você pode perceber o princípio de sistemas térmicos no dia a dia das pessoas. É
muito comum observar a presença das energias térmicas e da troca de calor: uma xícara de café quente
em contato com a mão de uma pessoa; o uso de casacos e jaquetas para manter a temperatura do corpo;
sistemas de ar-condicionado para resfriar ambiente; os princípios de uma caldeira presente em panelas
de pressão.
A modelagem de sistemas térmicos é baseada em processos nos quais há a troca de calor entre o meio
e um objeto ou entre objetos, e nos princípios da termodinâmica , no que tange à conservação de energia.
Modelagem de Sistemas
Térmicos
Geradores de energia elétrica.
Dispositivos de climatização e refrigeração.
Motores térmicos.
Caldeiras.
Turbinas.
Geradores de vapor.
Chillers.
Entre outros.
Para Souza (2017), durante uma interação entre corpos , ainda que ocorra transformação de uma energia
para outra, o volume de energia permanece o mesmo, o que corresponde à Lei de Lavoisier.
A transferência de calor entre dois corpos está associada a uma diferença de temperatura (T): quando os
corpos entram em contato, a tendência é atingirem uma temperatura comum, de tal forma que, caso um
deles tenha uma temperatura maior, a quantidade de calor (Q) migra deste corpo para o de menor
temperatura; isso é denominado de fluxo de calor.
Este fluxo de calor pode ser mensurado através da Equação 3.51:
Na Equação 3.51, observe que uma das parcelas está negativa . Isso se dá quando o fluxo de calor migra
dessa parcela para a outra; logo, neste caso, pode-se dizer que a temperatura 1 ( ) é superior à
temperatura 2 ( ).
Nos sistemas térmicos, há elementos considerados puros ou ideais , os quais possuem, em sua natureza,
a capacidade de armazenar e de dissipar a energia. No caso dos armazenadores de energia na forma de
calor, pode-se identificar a característica de capacitância térmica , assim como ocorre com um capacitor
elétrico. Entretanto, não é possível comparar inteiramente as características elétricas deles, uma vez que
a indutância térmica não existe em armazenadores de energia térmica (FLEURY; DONHA, 2020).
A capacitância térmica é dependente da capacidade térmica (Equação 3.52), que refere-se à quantidade
de calor que será necessário transmitir para outro corpo a fim de aumentar em um grau de temperatura, e
da grandeza física do calor específico (Equação 3.53).
Observe que as equações 3.51 e 3.52 são semelhantes. É possível diferenciá-las assim: a primeira serve
para relação entre corpos, e a segunda, para um único corpo.
Segundo Nishitani (2017), o calor específico pode ser aplicado também a gases ideais, na condição de
altas temperaturas e pressões baixas, para volume e pressão constantes. Cada qual com sua carga de
calor específico, que aumenta a energia interna das moléculas; no caso de haver pressão constante, o
conjunto também realiza trabalho, mediante a expansão do gás.
Logo, o calor especí�co , quando há aquecimento a pressão constante ( ), é maior do que o
aquecimento a volume constante ( ). Essa diferença pode ser determinada através da Equação 3.54:
Na equação acima, “R” é a constante universal dos gases perfeitos e “M” é a massa molecular do gás.
Vale ressaltar que o calor específico para aquecimento a volume constante e a pressão constante varia
de acordo com a teoria cinética dos gases, para monoatômicos, diatômicos e poliatômicos. Quer ficar por
dentro da composição de átomos dos gases e outros elementos? Clique no link do box a seguir.
Equaç o 3.51 : q = − =a~
dQ1
dt
dQ2
dt
T1
T2
Equaç o 3.52 :  C =a~
dQ
dt
Equaç o 3.53 :  c = .a~
1
m
dQ
dT
cP
cV
Equaç o 3.54 :  Δc = − =a~ cP cV
R
M
Baseando-se na definição do calor específico e na Equação 3.53, tem-se que:
Conhecendo a Equação 3.51, do fluxo de calor, e a Equação 3.56, originada do calor específico:
É possível afirmar que a variação de temperatura no tempo é igual ao fluxo de calor dividido pela
capacidade térmica. Assim, dá-se a capacitância térmica .
De forma análoga, há a capacitância elétrica:
Já os dissipadores de energia, denominados resistência térmica, têm a capacidade de transmitir o calor
de três formas: condução, radiação e convecção. Segundo Incropera et al. (2008, p. 221):
Quando existe um gradiente de temperatura em meio estacionário, que pode ser um sólido ou
um �uido, usa-se o termo condução para referir à transferência de calor através do meio. O
termo convecção refere-se à transferência de calor, que ocorrerá entre uma superfície e um
�uido em movimento, quando eles estiverem a diferentes temperaturas.
S A I B A M A I S
As substâncias formadas por um único átomo são denominadas monoatômicas; as formadas por dois átomos
são denominadas diatômicas – exemplos disso são os gases existentes no ar, como nitrogênio ( ), oxigênio (
) e hidrogênio ( ). Também há substâncias denominadas poliatômicas, que são formadas por mais de dois
átomos, por exemplo o ozônio ( ).
Saiba mais no link a seguir.
https://ufsj.edu.br/portal-repositorio/File/frankimica/Quimica%20Fundamental/material%202%20-
%20Mol%E9culas,%20%EDons%20e%20seus%20compostos.pdf
Fonte: Adaptado de Andrade (2018).
N2
O2 H2
O3
Equaç o 3.55 :  dQ = m. c.dT = C.dTa~
Equaç o 3.56 : = C.a~
dQ
dt
dT
dt
Equaç o 3.57 : q = C.a~
dT
dt
Equaç o 3.58 : =a~
dT
dt
q
C
Equaç o 3.59 : =a~
dV
dt
(t)iC
C
https://ufsj.edu.br/portal-repositorio/File/frankimica/Quimica%20Fundamental/material%202%20-%20Mol%E9culas,%20%EDons%20e%20seus%20compostos.pdf
Portanto, na condução há a necessidade de contato entre corpos, de modo que o calor migre de um
corpo para outro até que haja uma temperatura comum. Já a convecção pode ser natural ou forçada e
ocorrer a partir de uma superfície sólida, com líquidos ou gases. Para você entender melhor, um exemplo
bem comum disso é uma panela cheia de água sendo aquecida em uma das bocas do fogão.
Na radiação térmica, a energia é transferida mediantealterações das configurações eletrônicas dos
átomos que constituem a matéria, sendo transportada por meio de ondas eletromagnéticas,
diferentemente da convecção e da condução, que necessitam da proximidade entre corpos (INCROPERA
et al., 2008). Outro exemplo bem cotidiano é um eletrodoméstico que atua com radiação térmica, como
os aparelhos de micro-ondas; no dia a dia, o Sol também age assim sobre as pessoas, com a ação das
ondas ultravioleta.
A condução térmica ( ), como dito anteriormente, depende do contato entre corpos na transferência de
calor e pode ser medida utilizando a transformada de Fourier, dada na Equação 3.60:
“k” é a condutividade térmica do material e “S” é a área da seção por onde a transferência de calor é
conduzida. Um exemplo é uma placa de alumínio (dissipador de calor) de espessura “w” com temperatura
mais baixa, em contato com o processador (p) de um computador em funcionamento, cuja temperatura
está mais elevada.
Por meio da Equação 3.61, obtém-se a resistência térmica de condução:
E, consequentemente, o fluxo de calor por condução:
Observe que a estrutura da placa de alumínio é uma superfície plana, entretanto, a condução térmica
pode ocorrer por cilindro vazado e também mediante uma casca esférica ou de base circular. Para
entender esse exemplo, veja-o ilustrado na Figura 3.12, cuja resistência térmica pode ser representada
pelas equações 3.64 e 3.65, respectivamente:
qk
Equaç o 3.60 :   = −k.S.a~ qk
dT
dx
Equaç o 3.61 : = k.S. = k.S.a~ qk
( − )Tp TAl
w
ΔT
w
Equaç o 3.62 : =a~ Rk
w
k.S
Equaç o 3.63 : =a~ qk
ΔT
Rk
Figura 3.12 - Representação do tipo de cilindro vazado e casca esférica como estruturas para condução
térmica 
Fonte: Adaptada de Nishitani (2017).
#PraCegoVer : a figura apresenta dois elementos: um cilindro vazado e uma casca esférica. No cilindro vazado,
há uma identificação de r i como raio interno, com uma seta apontada do centro para a direita, e r e como raio
externo, com uma seta apontada do centro para a borda inferior. À direita do cilindro, há uma inscrição com a
letra k e, abaixo, a identificação de w como largura do cilindro. Na casca esférica, há uma identificação de r i
como raio interno, com uma seta apontada do centro para a direita, e r e como raio externo, com uma seta
apontada do centro para a borda inferior. À direita do cilindro, há uma inscrição com a letra k.
No caso da convecção , o fluxo de calor ( ) é estabelecido pela Lei de Newton , baseado no coeficiente
médio de convecção ( ). Esse coeficiente depende da variação da temperatura, da superfície (geometria
e orientação), do fluido (velocidade de deslocamento e suas propriedades), da área de exposição (S) e,
principalmente, da variação de temperatura entre a superfície sólida ( ) e a do fluido ( ), estabelecida
na Equação 3.66. A resistência térmica no perfil da convecção corresponde à inversa da multiplicação do
coeficiente de convecção multiplicada pela área de atuação da transferência de calor, apresentada na
Equação 3.67 (NISHITANI, 2017; FLEURY; DONHA, 2020).
Assim como na Equação 3.63, a resistência térmica pode ser configurada por:
O coe�ciente médio de convecção corresponde a uma variável que depende da variação de temperatura
entre os corpos; quando a diferença de temperatura é superior a 10 ºC, o coeficiente deixa de ser uma
constante e, no caso do ar, a equação característica é dada por (GONZALEZ, 2012):
Equaç o 3.64 :   =         Equaç o 3.65 :   =a~ Rk
ln( )re
ri
2.π.k.w
a~ Rk
−re ri
4.π. . .kre ri
qc
hc
TS TF
Equaç o 3.66 : = .S. ΔTa~ qc hc
¯ ¯¯̄¯
Equaç o 3.67 : =a~ Rc
1
.Shc
¯ ¯¯̄¯
Equaç o 3.68 : =a~ qc
ΔT
Rc
Equaç o 3.69 :   = 1, 77.a~ har ( − )T1 T2
1/4
Na radiação térmica, há o conceito de um corpo absorvedor ideal, chamado de corpo negro . Este corpo
negro independe do comprimento e da direção da onda. Além disso, em uma determinada faixa de
temperatura e comprimento de onda, o corpo negro supera em energia toda e qualquer outra superfície; a
radiação emitida pelo corpo negro é denominada difusa , pois emite independentemente da direção
(RAMALHO JÚNIOR; FERRARO; SOARES, 2013; ALBUQUERQUE, 2020). O fluxo de calor de radiação (qr)
emitido por este corpo está apresentado na Equação 3.70:
Nesse contexto, 𝝈 é a constante de Stefan-Boltzmann, é a área da superfície do corpo negro e é a
temperatura da superfície do corpo emissor. Entretanto, a radiação térmica pode ocorrer entre corpos
cinzentos, que são corpos que não são emissores tampouco receptores perfeitos de radiação, e o fluxo
de radiação pode ser determinado por (NISHITANI, 2017):
Na Equação 3.71, há a presença de , que corresponde ao coe�ciente de emissividade da superfície
cinzenta do emissor e do receptor, oriundo da relação entre corpos cinzentos. Então, com base na
resistência térmica de condução e convecção, o fluxo de calor se dá pela diferença de temperatura
dividida pela resistência térmica, que, neste caso de corpos cinzentos, é:
Agora que você já conhece as ferramentas disponíveis, vamos ao exemplo:
Figura 3.13 - Exemplo de sistema térmico 
Fonte: Adaptada de Nishitani (2017, p. 25).
#PraCegoVer : a figura apresenta um retângulo dividido em quatro blocos. O primeiro está identificado na cor
cinza, com duas inscrições, sendo elas C1 e T1. O segundo bloco, na cor branca, está identificado como R1; o
terceiro bloco, na cor cinza, tem duas inscrições, sendo elas C2 e T2. O quarto bloco, na cor branca, está
identificado como R2. À esquerda do retângulo, está escrito , com uma seta apontando da esquerda para
direita; à direita do retângulo, está escrito .
Observe que na Figura 3.13 há duas capacitâncias , e , dois corpos separados por um bloco
resistivo ; há, ainda, a atuação da temperatura do ambiente, , no corpo 2, e a resistência entre o
corpo 2 e o ambiente. Note que há um fluxo de calor forçado entrando no sistema. Na Figura 3.13,
os blocos estão em contato uns com os outros e isolados de outras forças nas partes inferior e superior
Equaç o 3.70 :   σ. .a~ qr= Se Te
4
Se Te
Equaç o 3.71 : σ. . .( − )  a~ qr= Se εe−r Te
4 Tr
4
εe−r
Equaç o 3.72 : =a~ Rr
( − )Te4 Tr4
σ. . .( − )Se εe−r Te4 Tr4
(t)qi
Ta
C1 C2
R1 Ta R2
(t)qi
da penetração. Então, a primeira coisa a fazer, a partir da Equação 3.58, é identificar as capacitâncias que
representam o sistema:
A partir da Equação 3.63, do fluxo de carga por condução, tem-se:
Substituindo as Equações 3.74 e 3.75 nas equações das capacitâncias, é possível obter as equações
características desse sistema baseado nos parâmetros apresentados.
Portanto, para fazer a análise e a modelagem de sistemas que possuem ações e dispositivos térmicos, é
necessário verificar todos os equipamentos, identificar o sequencial de acionamentos, conhecer as
equações que são base para discriminar o processo e representá-lo da forma mais fiel possível. Caro(a)
estudante, chegamos ao final deste tópico e do conteúdo desta unidade; então, para fixar o que vimos,
nada melhor do que praticar. Vamos lá!
praticar
Vamos Praticar
A Lei de Conservação da Energia e da massa é condição sine qua non para análise de processos que
envolvem sistemas de �uxo e sistemas térmicos, e é também fundamental para toda análise química de
matéria, balanceamento e suas equações (DUARTE, 2021).
Ao longo desta unidade, foram apresentados diversos mecanismos que envolvem um sistema de �uxo,
e agora está na hora de você modelar um esquema de tubulação para a �gura a seguir.
Equaç o 3.73 : =a~
dT1
dt
−qi q12
C1
Equaç o 3.73 : =a~
dT2
dt
−q12 q2a
C2
Equaç o 3.74 :   = =a~ q12
ΔT
R1
−T1 T2
R1
Equaç o 3.75 :   = =a~ q2a
ΔT
R2
−T2 Ta
R2
Equaç o 3.76 : = −  a~
dT1
dt
qi
C1
−T1 T2
.C1 R1
Equaç o 3.77 : − .( + )+a~
T1
.C2 R1
T2
C2
1
R1
1
R2
Ta
.C2 R2
Figura - Exercício: trecho de uma tubulação 
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a figura representa uma parte de uma tubulação seccionada de forma retangular. As
bordas da tubulação são pretas. Ocupando toda a parte interna do retângulo,há um fluido passante
na cor azul; ainda na parte interna, na borda superior, há um V com uma seta apontada para direita.
No centro, há uma inscrição de S, de área, e theta maiúsculo, de diâmetro da tubulação. Acima do
retângulo, à esquerda, há um g com uma seta apontada de cima para baixo; ao centro, há uma letra
L. À direita do retângulo, há uma letra Z com uma seta apontada da esquerda para direita. À
esquerda do retângulo, há um Q com uma seta da esquerda para direita. Na parte inferior do
retângulo, há identificação de VC.
Considere:
Q Vazão do �uido (constante).
S Área da seção transversal ocupada pelo �uido.
L Comprimento do trecho da tubulação.
z Direção do escoamento do óleo.
g Ação gravitacional.
 Volume de controle.
𝜙 Diâmetro da tubulação.
v Velocidade constante do �uido.
Apresente as equações que representam essa seção de tubulação.
VC
Material
Complementar
F I L M E
Print the legend
Ano: 2014
Comentário: O filme/documentário conta a história da evolução e da tecnologia,
aborda o mercado e a presença das impressoras 3D no mundo moderno, a
modelagem e a simulação em sistemas de impressão 3D, além de explorar o
potencial dessa tecnologia.
Para conhecer mais sobre o filme, acesse o trailer disponível a seguir.
TRA I LER
L I V R O
Automação industrial: controle do movimento e
processos contínuos
Alexandre Capelli
Editora: Érica
ISBN: 9788536519616
Comentário: O livro de Alexandre Capelli é um dos grandes referenciais da área
de automação industrial no que tange a dimensionamento, modelagem e
projeção de sistemas industriais.
ACESSAR
Conclusão
Agora que concluiu esta unidade, caro(a) estudante, pode entender que o que acontece com sistemas elétricos,
mecânicos e eletromecânicos, térmicos e de fluxo é semelhante: deve-se inicialmente conhecer os elementos
básicos, para poder desenvolver as equações que os representam.
É necessário encontrar a função de transferência do sistema, que relaciona a saída com a entrada; outro fator
importante nos sistemas é identificar se eles são estáveis ou não, identificando os polos e zeros do sistema,
então analisar o plano 𝝈+jω no plano de coordenadas.
Vale ressaltar que as perturbações são fatos comuns em ambiente industrial, desde a mudança do estado de
referência de variáveis em sistemas supervisórios e interfaces homem-máquina até impactos externos, difíceis
de controlar, como as interferências por harmônicos na rede.
Portanto, cabe ao(a) engenheiro(a) analisar todo o comportamento dos sistemas para poder dimensioná-los
corretamente, levando em consideração todos os elementos associados. E é fato que muitos sistemas podem
ser influenciados por diversos processos, por exemplo, o sistema de controle de uma caldeira, em que há
contribuição térmica, elétrica, mecânica e de fluxo.
Referências
ALBUQUERQUE, B. M. B. de. Um conto, um quantum :
investigação do potencial de séries de narrativas discretas para a
introdução de tópico da teoria quântica em sala de aula.
(Dissertação). Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física.
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