Resistência dos Materiais - exercícios resolvidos (cap 1)

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Mecânica dos Materiais
Prof. Francisco Marcondes 
Lista 01 – Exercícios Resolvidos
2020.2 – Fortaleza/CE
Monitor: Arthur Lima
Mecânica dos Materiais
Monitor: Arthur Lima 01
A viga mostrada abaixo suporta a carga
distribuída. Determine as cargas internas
resultantes que agem na seção transversal que
passa pelo ponto C. Considere que as reações nos
apoios A e B sejam verticais.
Questão 01 Solução
0,5 kN/m
1,0 kN/m
0,5 kN/m
𝐹𝑇
𝐹𝑅
𝐵𝐴
4,5 𝑚 3,0 𝑚
𝑅𝐴 𝑅𝐵
𝐹𝑅 𝐹𝑇
4,5 𝑚
6,0 𝑚
𝐹𝑅 = 0,5
𝑘𝑁
𝑚
𝑥 9 𝑚 → 𝐹𝑅 = 4,5 𝑘𝑁
𝐹𝑇 =
1,0
𝑘𝑁
𝑚
𝑥 9 𝑚
2
→ 𝐹𝑇 = 4,5 𝑘𝑁
 𝐹𝑦 = 0
𝑅𝐴 − 𝐹𝑅 − 𝐹𝑇 + 𝑅𝐵 = 0
𝑥
𝑦
𝑅𝐴 = 3,75 𝑘𝑁
 𝑀𝐴 = 0
−𝐹𝑅 4,5 − 𝐹𝑇 6,0 + 𝑅𝐵 9,0 = 0
+
𝑅𝐵 9,0 = 47,25 → 𝑅𝐵 = 5,25 𝑘𝑁
Mecânica dos Materiais
02
A viga mostrada abaixo suporta a carga
distribuída. Determine as cargas internas
resultantes que agem na seção transversal que
passa pelo ponto C. Considere que as reações nos
apoios A e B sejam verticais.
Questão 01 Solução
0,5 kN/m
1,0 kN/m
0,5 kN/m
𝐴
1,5 𝑚
3,75 kN
𝐹′𝑅 𝐹′𝑇
1,5 𝑚
2,0 𝑚
𝑤
1,0
=
3,0
9,0
→ 𝑤 = 0,33 𝑘𝑁/𝑚
 𝐹𝑦 = 0
3,75 −𝐹′𝑅 − 𝐹
′
𝑇 − 𝑉𝐶 = 0
𝑥
𝑦
𝑉𝐶 = 1,75 𝑘𝑁
 𝑀𝐴 = 0
−𝐹′𝑅 1,5 − 𝐹
′
𝑇 2,0 − 𝑉𝐶 3,0 + 𝑀𝐶 = 0
+
𝑀𝐶 = 8,5 𝑘𝑁.𝑚
𝐶
𝐹′𝑇𝐹′𝑅
1,0 𝑚
0,5 kN/m
w kN/m
𝑉𝐶
𝑀𝐶
3,0 𝑚
𝐶
6,0 𝑚
Por semelhança de triângulo:
𝐹′𝑅 = 0,5
𝑘𝑁
𝑚
𝑥 3 𝑚
𝐹′𝑅 = 1,5 𝑘𝑁
𝐹′𝑇 =
0,33
𝑘𝑁
𝑚
𝑥 3 𝑚
2
𝐹′𝑇 = 0,5 𝑘𝑁
(Vertical pra baixo)
(Sentido anti-horário)
 𝐹𝑥 = 0
𝑁𝐶 = 0 𝑘𝑁
𝑁𝐶
Monitor: Arthur Lima
Mecânica dos Materiais
03
A barra mostrada abaixo é constituída de um
material tendo a tensão de escoamento 𝜎𝑒 =
50 𝑘𝑝𝑠𝑖. Determine as dimensões mínimas
requeridas ℎ1e ℎ2 que sejam múltiplos de
1
8
𝑖𝑛.
Aplique um fator de segurança 𝐹𝑆 = 1,5 para
evitar o escoamento. Cada barra tem uma
espessura de 0,5 𝑖𝑛. 1 𝑘𝑖𝑝 = 103𝑙𝑏𝑓; 1 𝑘𝑝𝑠𝑖 =
103𝑙𝑏𝑓/𝑖𝑛².
Questão 02 Solução
𝜎𝑒 = 50 𝑘𝑝𝑠𝑖
𝐹𝑆 =
𝜎𝑒
𝜎
→ 𝜎 =
𝜎𝑒
𝐹𝑆
→ 𝜎 =
50 kpsi
1,5
→ 𝜎 = 33,33 x 103lbf/in2
 𝐹𝑥 = 0
𝐹 − 30 𝑘𝑖𝑝 = 0 → 𝐹 = 30 𝑘𝑖𝑝
𝜎 =
𝐹
𝐴
→ 𝐴 =
𝐹
𝜎
→ 𝐴 =
30 𝑥 103𝑙𝑏𝑓
33,33 𝑥 10³
𝑙𝑏𝑓
𝑖𝑛2
𝐴 = 0,9 𝑖𝑛²
𝐵 𝐴
𝐹 30 𝑘𝑖𝑝
ℎ1
𝐹𝑆 = 1,5
𝐹 = 30 𝑥 103𝑙𝑏𝑓
𝐴 = 0,9 𝑖𝑛2 = ℎ1 𝑥 𝜀 → ℎ1 =
0,9
𝜀
ℎ1 = 1,8 𝑖𝑛 ≈ 1,875 𝑖𝑛 =
15
8
𝑖𝑛
𝜀 = 0,5 𝑖𝑛
 𝐹𝑥 = 0
𝐹 − 30 𝑘𝑖𝑝 − 15 𝑘𝑖𝑝 − 15 𝑘𝑖𝑝 = 0 → 𝐹 = 60 𝑘𝑖𝑝
𝜎 =
𝐹
𝐴
→ 𝐴 =
𝐹
𝜎
→ 𝐴 =
60 𝑥 103𝑙𝑏𝑓
33,33 𝑥 10³
𝑙𝑏𝑓
𝑖𝑛2
𝐴 = 1,8 𝑖𝑛²
𝐵
𝐹 30 𝑘𝑖𝑝
ℎ2
𝐹 = 60 𝑥 103𝑙𝑏𝑓
𝐴 = 1,8 𝑖𝑛2 = ℎ2 𝑥 𝜀 → ℎ2 =
1,8
𝜀
ℎ2 = 3,6 𝑖𝑛 ≈ 3,625 𝑖𝑛 =
29
8
𝑖𝑛
15 𝑘𝑖𝑝
15 𝑘𝑖𝑝
𝐴
𝐶
Monitor: Arthur Lima
Mecânica dos Materiais
04
As barras AB e CD são feitas de um aço que tem
um tensão de falha igual a 510 MPa. Utilizando
um fato de segurança igual 1,75 para a tensão de
falha, determine o menor diâmetro das barras
que possam suportar as cargas mostradas na
figura abaixo. A viga é suportada nos pontos A e
C por pinos.
Questão 03 Solução
𝐶𝐴
𝑅𝐴𝐵 𝑅𝐶𝐷
6 𝑘𝑁
2,0 𝑚
 𝐹𝑦 = 0
𝑅𝐴𝐵 − 4 𝑘𝑁 − 6 𝑘𝑁 − 5𝑘𝑁 + 𝑅𝐶𝐷 = 0
𝑥
𝑦
𝑅𝐴𝐵 = 8,3 𝑘𝑁
 𝑀𝐴 = 0
−4 2,0 − 6 4,0 − 5 7,0 + 𝑅𝐶𝐷(10) = 0
+
𝑅𝐶𝐷 10 = 67 → 𝑅𝐶𝐷 = 6,7 𝑘𝑁
4 𝑘𝑁 5 𝑘𝑁
2,0 𝑚 3,0 𝑚 3,0 𝑚
𝜎𝑓 = 510 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑆 =
𝜎𝑓
𝜎
→ 𝜎 =
𝜎𝑓
𝐹𝑆
→ 𝜎 =
510 𝑀𝑃𝑎
1,75
→ 𝜎 = 291,43 𝑀𝑃𝑎
𝐹𝑆 = 1,75
𝜎 =
𝐹
𝐴
→ 𝐴𝐴𝐵 =
𝑅𝐴𝐵
𝜎
→ 𝐴𝐴𝐵 =
8,3 𝑘𝑁
291,43 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝐴𝐵 = 2,8 𝑥 10
−5 𝑚²
𝐴𝐴𝐵 = 2,8 𝑥 10
−5 𝑚2 =
𝜋𝑑𝐴𝐵²
4
→ 𝑑𝐴𝐵 = 5,97 𝑚𝑚
𝜎 =
𝐹
𝐴
→ 𝐴𝐶𝐷 =
𝑅𝐶𝐷
𝜎
→ 𝐴𝐶𝐷 =
6,7 𝑘𝑁
291,43 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝐶𝐷 = 2,3 𝑥 10
−5 𝑚²
𝐴𝐶𝐷 = 2,3 𝑥 10
−5 𝑚2 =
𝜋𝑑𝐶𝐷²
4
→ 𝑑𝐶𝐷 = 5,41 𝑚𝑚
Monitor: Arthur Lima
Mecânica dos Materiais
05
Determine os carregamentos internos atuando
na seção transversal que passa através do ponto
D. Assuma que as reações nos suportes A e B são
verticais. 1 𝑘𝑖𝑝 = 103𝑙𝑏𝑓; 1 𝑘𝑝𝑠𝑖 = 103𝑙𝑏𝑓/𝑖𝑛²;
1 𝑓𝑡 = 12 𝑖𝑛.
Questão 04 Solução
6 𝑘𝑖𝑝/𝑓𝑡 6 𝑘𝑖𝑝/𝑓𝑡
𝐹𝑇2𝐹𝑇1
𝐵𝐴
2,0 𝑓𝑡 2,0 𝑓𝑡
𝑅𝐴 𝑅𝐵
2,0 𝑓𝑡
10,0 𝑓𝑡
𝐹𝑇1 =
6
𝑘𝑖𝑝
𝑓𝑡
𝑥 6 𝑓𝑡
2
→ 𝐹𝑇1 = 18 𝑘𝑖𝑝
 𝐹𝑦 = 0
𝑅𝐴 − 𝐹𝑇1 − 𝐹𝑇2 + 𝑅𝐵 = 0
𝑥
𝑦
𝑅𝐴 = 18 𝑘𝑖𝑝
 𝑀𝐴 = 0
−𝐹𝑇1 2,0 − 𝐹𝑇2 10 + 𝑅𝐵 12 = 0
+
𝑅𝐵 12 = 216 → 𝑅𝐵 = 18 𝑘𝑖𝑝
𝐹𝑇2𝐹𝑇1
6,0 𝑓𝑡
𝐹𝑇2 =
6
𝑘𝑖𝑝
𝑓𝑡
𝑥 6 𝑓𝑡
2
→ 𝐹𝑇2 = 18 𝑘𝑖𝑝
Monitor: Arthur Lima
Mecânica dos Materiais
06
Determine os carregamentos internos atuando
na seção transversal que passa através do ponto
D. Assuma que as reações nos suportes A e B são
verticais. 1 𝑘𝑖𝑝 = 103𝑙𝑏𝑓; 1 𝑘𝑝𝑠𝑖 = 103𝑙𝑏𝑓/𝑖𝑛²;
1 𝑓𝑡 = 12 𝑖𝑛.
Questão 04 Solução
𝐶𝐴
18 𝑘𝑖𝑝
2,0 𝑓𝑡
𝑉𝐶𝐹𝑇1
6,0 𝑓𝑡
𝑀𝐶
 𝐹𝑦 = 0
18 − 𝐹𝑇1 − 𝑉𝐶 = 0
𝑉𝐶 = 0 𝑘𝑖𝑝
 𝑀𝐴 = 0
−𝐹𝑇1 2,0 − 𝑉𝐶 6,0 + 𝑀𝐶 = 0
𝑀𝐶 = 36 𝑘𝑖𝑝. 𝑓𝑡
(Sentido anti-horário)
 𝐹𝑥 = 0
𝑁𝐶 = 0 𝑘𝑖𝑝
𝑁𝐶
Monitor: Arthur Lima
Mecânica dos Materiais
07
O eixo mostrado abaixo é suportado pelos dois
mancais A e B e é submetido para as forças
aplicadas nas polias fixadas ao eixo. Determine o
carregamento resultante atuando na seção
transversal localizado no ponto C. As forças de
300 N atuam na direção –z e as de 500 N atuam
na direção +x. Os mancais em A e B exercem
forças somente nas direções x e z.
Questão 05 Solução
𝐵𝐴
𝑅𝐵𝑍300 𝑁
400 𝑚𝑚 350 𝑚𝑚
𝑅𝐴𝑧
.𝑅𝐴𝑥
300 𝑁
500 N 𝑅𝐵𝑥
500 N
.
250 𝑚𝑚
𝑦
𝑧
+
𝑥
.
 𝑀𝐴𝑥 = 0
−300 0,4 − 300 0,4 + 𝑅𝐵𝑧(1) = 0
𝑅𝐵𝑧 = 240 𝑁
 𝑀𝐴𝑧 = 0
+500 0,75 + 500 0,75 − 𝑅𝐵𝑥(1) = 0
𝑅𝐵𝑥 = 750 𝑁
 𝐹𝑥 = 0
−𝑅𝐴𝑥 + 500 + 500 − 𝑅𝐵𝑥 = 0
𝑅𝐴𝑥 = 250 𝑁
 𝐹𝑧 = 0
𝑅𝐴𝑧 − 300 − 300 + 𝑅𝐵𝑧 = 0
𝑅𝐴𝑧 = 360 𝑁
+
.
Monitor: Arthur Lima
Mecânica dos Materiais
08
O eixo mostrado abaixo é suportado pelos dois
mancais A e B e é submetido para as forças
aplicadas nas polias fixadas ao eixo. Determine o
carregamento resultante atuando na seção
transversal localizado no ponto C. As forças de
300 N atuam na direção –z e as de 500 N atuam
na direção +x. Os mancais em A e B exercem
forças somente nas direções x e z.
Questão 05 Solução
𝐴
300 𝑁
400 𝑚𝑚 150 𝑚𝑚
360 𝑁
250 𝑁
300 𝑁
𝑦
𝑧
+
𝑥
.
 𝑀𝐴𝑥 = 0
−300 0,4 − 300 0,4 + 𝑉𝐶𝑧 0,55 + 𝑀𝐶𝑥 = 0
𝑀𝐶𝑥 = 108 𝑁.𝑚
 𝑀𝐴𝑧 = 0
−𝑉𝐶𝑥 0,55 + 𝑀𝐶𝑧 = 0
𝑀𝐶𝑧 = 137,5 𝑁.𝑚
 𝐹𝑥 = 0
−250 + 𝑉𝐶𝑥 = 0
𝑉𝐶𝑥 = 250 𝑁
 𝐹𝑧 = 0
360 − 300 − 300 + 𝑉𝐶𝑧 = 0
𝑉𝐶𝑧 = 240 𝑁
𝐶
.
𝑀𝐶𝑥
𝑉𝐶𝑧
𝑉𝐶𝑥
.
𝑀𝐶𝑧
+
.
Monitor: Arthur Lima
Mecânica dos Materiais
09
A viga uniforme é suportada por duas barras AB e
CD que tem seção transversal de 10 mm² e 15
mm², respectivamente. Determine a intensidade
w da carga distribuída de forma que a tensão
normal média em cada barra não exceda 300 kPa.
Considere que as reações nos apoios A e B sejam
verticais.
Questão 06 Solução
w
𝐹𝑇
𝐶𝐴
2,0 𝑚
𝑅𝐴𝐵 𝑅𝐶𝐷
𝐹𝑇
4,0 𝑚
𝐹𝑇 =
𝑤 𝑥 6 𝑚
2
→ 𝐹𝑇 = 3𝑤
 𝐹𝑦 = 0
𝑅𝐴𝐵 − 𝐹𝑇 + 𝑅𝐶𝐷 = 0
𝑥
𝑦
𝑅𝐴𝐵 = 𝑤
 𝑀𝐴 = 0
−𝐹𝑇 4,0 + 𝑅𝐵 6,0 = 0
+
𝑅𝐶𝐷 6,0 = 12w → 𝑅𝐶𝐷 = 2𝑤
𝜎𝐴𝐵 =
𝑅𝐴𝐵
𝐴𝐴𝐵
→ 300 𝑥 103 =
𝑤
10 𝑥 10−6
→ 𝑤 = 3,0
𝜎𝐶𝐷 =
𝑅𝐶𝐷
𝐴𝐶𝐷
→ 300 𝑥 103 =
2𝑤
15 𝑥 10−6
→ 𝑤 = 2,25
𝑤 = 2,25 𝑁.𝑚
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟
𝜎 = 300 𝑘𝑃𝑎
𝐴𝐴𝐵 = 10 𝑚𝑚²
𝐴𝐶𝐷 = 15 𝑚𝑚²
Monitor: Arthur Lima
Mecânica dos Materiais
10
O eixo abaixo é construído de um cano AB e uma
barra sólida BC. O cano tem o diâmetro interno
de 20 mm e o externo de 28 mm. A barra sólida
tem um diâmetro de 12 mm. Determine a tensão
normal média nos pontos D e E e represente a
tensão sobre um elemento de volume localizado
em cada destes pontos.
Questão 07 Solução
 𝐹𝑥 = 0 → F = 4 kN
𝜎𝐷 =
𝐹
𝐴𝐴𝐵
→ 𝜎𝐷 =
4 𝑥 103𝑁
3,016 𝑥 10−4 𝑚²
𝐴 𝐵
4 𝑘𝑁 4 𝑘𝑁
𝐴𝐴𝐵
𝑑𝑖 = 20 𝑚𝑚 𝑑𝑒 = 28 𝑚𝑚
𝑪𝒂𝒏𝒐 𝑨𝑩
𝐴𝐴𝐵 =
𝜋(𝑑𝑒
2−𝑑𝑖
2)
4
→ 𝐴𝐴𝐵 = 301,6 mm²
𝐴𝐴𝐵 = 3,016 x 10
−4 𝑚²
𝑑 = 12 𝑚𝑚
𝑩𝒂𝒓𝒓𝒂 𝑩𝑪
𝐴𝐵𝐶 =
𝜋(𝑑²)
4
→ 𝐴𝐵𝐶 = 113,1mm²
𝐴𝐵𝐶 = 1,131 x 10
−4 𝑚²
𝐵 𝐶
8 𝑘𝑁 8 𝑘𝑁
𝐴𝐵𝐶
𝐴 𝐷 𝐷
𝜎𝐷
4 𝑘𝑁
𝜎𝐷 = 13,263 𝑀𝑃𝑎
𝜎𝐸 =
𝐹
𝐴𝐵𝐶
→ 𝜎𝐸 =
8 𝑥 103𝑁
1,131 𝑥 10−4 𝑚²
𝐵 𝐸 𝐸
𝜎𝐸
8 𝑘𝑁
𝜎𝐸 = 70,734 𝑀𝑃𝑎
(Compressão) (Tração)
𝐹
 𝐹𝑥 = 0 → F = 8 kN
𝐹
Monitor: Arthur Lima