Medidas de tendência central

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MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Uma medida da tendência central é um valor que representa uma entrada típica, ou 
central, de um conjunto de dados. As três medidas mais vulgarmente utilizados de 
tendência central são a média, a mediana e a moda. 
 
DEFINIÇÃO 
 
Média: A média de um conjunto de dados representa a 
soma das entradas de dados, dividido pelo número de 
entradas. Para encontrar média de um conjunto de 
dados, use uma das seguintes fórmulas. 
Média da população: 
 
 
 
Amostra Média: 
 
 
 
A letra grega minúscula µ representa a população 
média e (leia-se "x barra") representa a média da 
amostra. Note que N representa o número de entradas 
em uma população e n representa o número de entradas 
em uma amostra. Lembre-se que a letra grega sigma maiúscula (∑) indica uma soma de 
valores. 
 
Mediana: A mediana de um conjunto de dados é o valor que se situa no meio dos dados 
quando o conjunto de dados é ordenado. A mediana mede o centro de um conjunto 
ordenado de dados dividindo-o em duas partes iguais. Se o conjunto de dados tem um 
número ímpar de entradas, a mediana é o meio de entrada de dados. Se o conjunto de 
dados tem um número par de entradas, a mediana é a média das duas entradas de dados 
de média. 
 
Moda: A moda de um conjunto de dados representa a entrada de dados, que ocorre com 
maior frequência. Um conjunto de dados pode ter uma moda, mais de uma moda, ou 
nenhuma moda. Se nenhuma entrada é repetida, o conjunto de dados não tem nenhuma 
moda. Se duas entradas ocorrerem com maior frequência, cada entrada é uma moda e o 
conjunto de dados é chamado bimodal. 
 
 
O que você deve saber 
 
 Como encontrar a média, mediana e 
moda de uma população e de uma 
amostra; 
 Como encontrar uma média 
ponderada de um conjunto de dados 
e a média de uma distribuição de 
frequência 
 Como descrever a forma de uma 
distribuição simétrica, uniforme, ou 
distorcidas e como comparar a 
média e mediana de cada uma. 
MEDIDAS DE LOCALIZAÇÃO “NÃO-CENTRAIS” 
Medidas de localização “Não-Centrais”. Além das medidas de tendência central, 
também existem algumas medidas úteis de localização “não-Central”, que são 
empregadas particularmente ao se resumirem ou descreverem as propriedades de 
grandes conjuntos de dados numéricos. Dessas medidas, o quartil é a que tem uso mais 
amplo. 
Quartis: Enquanto a mediana é o valor que divide a disposição ordenada pela metade 
(50% das observações são menores e 50% das observações são maiores), os quartis são 
medidas descritivas que dividem os dados ordenados em quatro partes (conjuntos). O 
primeiro quartil, Q1, é o valor que faz com que 25% das observações sejam menores e 
75% das observações sejam maiores. O segundo quartil, Q2, é a mediana – 50% das 
observações são menores e 50% das observações são maiores. O terceiro quartil, Q3, é o 
valor que faz com que 75,0% das observações sejam menores e 25% das observações 
sejam maiores. Para calcular os quartis, são utilizadas as fórmulas de ponto de 
posicionamento a seguir: 
Q1= valor correspondente à observação ordenada 
4
1
1


n
Q
 
Q2= valor correspondente à observação ordenada 
2
1
2


n
Q
 
Q3= valor correspondente à observação ordenada 
4
)1(3
3


n
Q
 
 
Exemplo 
A seguir são apresentados dados referentes ao peso de 10 alunos: 
50,0 kg; 70,0 kg; 60,0 kg; 80,0 kg; 75 kg; 65 kg; 55 kg; 60 kg; 70 kg; 60 kg; 
Pede-se: 
a) Média 
b) Mediana (Interpretar) 
c) Moda 
d) 1º Quartil (Interpretar) 
e) 3º Quartil (Interpretar) 
 
 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Grandeza numérica que descreve um conjunto de dados, pela quantificação da 
variabilidade ou heterogeneidade neles presente. Ou seja, as medidas de dispersão 
indicam se os valores estão relativamente próximos uns dos outros, ou separados. 
 
Amplitude 
 
Corresponde à diferença entre o maior e o menor valor. 
Dados: 10; 100; 20; 25; 
A = 100 – 10 
 A = 90 
 
A amplitude possui alguns inconvenientes. Trata-se de uma medida muito 
influenciada por valores extremos, uma vez que é calculada somente a partir deles. 
Assim, sua interpretação depende até certo ponto do número de observações do 
conjunto. Portanto, torna-se evidente a necessidade de uma medida de dispersão que 
baseie-se em todas as observações, de maneira a torna-se menos sensível ao 
aparecimento de valores discrepantes. Isso pode ser igualmente visto no exemplo: 
 
Conjunto A 5 15 15 15 40 
Conjunto B 5 10 20 30 40 
 
Tais conjuntos possuem a mesma amplitude, 35, mas apresentam claramente diferentes 
níveis de variabilidade, sendo inferior no conjunto A, com uniformidade. 
 
Variância e desvio padrão 
 
Em geral, é difícil interpretar o significado do valor da variância porque as unidades nas 
quais tal valor é expresso não são as mesmas do que as das observações do conjunto de 
dados. Por esta razão, o quadrado da variância, representada pela letra grega  (ou s 
para a amostra) é chamada de desvio padrão, é o que se utiliza com mais frequência. As 
fórmulas são: 
 
 
 
 
O desvio padrão indica o quanto em média os dados na unidade da 
variável calculada, estão variando em torno da média. 
 
Exemplo: 
Cálculo da Variância e Desvio Padrão 
Dados de pesos de quatro alunos: 
50,0 kg; 
70,0 kg; 60,0 kg; R$80,0 kg; 
 
 
 
Média = 65 kg 
 
A variação média nos pesos dos alunos foi em média de 12,9 Kg em torno da 
média. 
 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) 
 
O Coeficiente de Variação indica o percentual de variação média dos dados em torno da 
sua média. 
 
100x
S
CV
X


 
O desvio padrão é uma 
das medidas mais 
comumente usadas para 
distribuições, e 
desempenha papel 
relevante em toda a 
estatística. Cabem notar 
que a unidade do 
desvio padrão é a 
mesma da média. Por 
exemplo, se a média é 
em R$ (real), o desvio 
padrão também se 
exprimem em real. A 
variância, por outro 
lado, se exprime em 
quadrados de unidades 
(ex.: real
2
, metros
2
). 
 
 Sendo: 
CV: coeficiente de variação 
S: Desvio padrão da amostra 
X

: média 
 
 
Exemplo: Calcule o coeficiente de variação dos dados do exemplo anterior. 
 
A variação média dos pesos dos alunos foi de 19,85% em torno da sua média. 
 
Aplicação 
 
A seguir são apresentados dados referentes ao peso de 12 animais. 
 
15 25 35 13 15 15 14 20 19 30 22 27 
 
Calcule: 
a) Média 
b) Variância 
c) Desvio Padrão (Interpretar) 
d) Coeficiente de Variação (Interpretar)