Estatística Ensino Médio

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Estatística
Paulo Júlio Gonçalves Monteiro
O que é Estatística?
Estatística é a de ser um conjunto de métodos especialmente 
apropriados à coleta, à apresentação (organização, resumo e 
descrição), à análise e à interpretação de dados de observação, tendo 
como objetivo a compreensão de uma realidade específica para a 
tomada da decisão.
Resumidamente: Estatística é a área da matemática que coleta, 
analisa e interpreta dados experimentais utilizando teorias 
probabilísticas para explicar a ocorrência de eventos.
Para que serve a Estatística?
-A coleta, a organização, a sintetização e a apresentação de dados
-A medição da variação nos dados e levantamento de dados
-A estimativa dos parâmetros da população e a determinação da 
precisão das estimativas
-A aplicação dos testes de hipótese em relação aos parâmetros
-A análise da relação entre duas ou mais variáveis.
A estatística trabalha com dois conjuntos de dados: o universo e a 
amostra. Apesar de a estatística se preocupar em obter informações 
sobre a população, dificilmente ela estuda todos os componentes da 
mesma
Média, Moda e Mediana
Média
A média (Me) é calculada somando-se todos os valores de um conjunto de 
dados e dividindo-se pelo número de elementos deste conjunto.
Como a média é uma medida sensível aos valores da amostra, é mais 
adequada para situações em que os dados são distribuídos mais ou menos 
de forma uniforme, ou seja, valores sem grandes discrepâncias.
Sendo,
Me: média
x1, x2, x3,..., xn: valores dos dados
n: número de elementos do conjunto de dados
Média
Exemplo:
Os jogadores de uma equipe de basquete apresentam as seguintes 
idades: 28, 27, 19, 23 e 21 anos. Qual a média de idade desta equipe?
Solução
Me =
28+27+19+23+21
5
Me = 
118
5
= 23.6
Moda
A Moda (Mo) representa o valor mais frequente de um conjunto de dados, 
sendo assim, para defini-la basta observar a frequência com que os valores 
aparecem.
Um conjunto de dados é chamado de bimodal quando apresenta duas 
modas, ou seja, dois valores são mais frequentes.
Exemplo
Em uma sapataria durante um dia foram vendidos os seguintes números de 
sapato: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 e 41. Qual o valor da moda 
desta amostra?
Solução
Observando os números vendidos notamos que o número 36 foi o que 
apresentou maior frequência (3 pares), portanto, a moda é igual a:
Mo = 36
Mediana
A Mediana (Md) representa o valor central de um conjunto de dados. 
Para encontrar o valor da mediana é necessário colocar os valores em 
ordem crescente ou decrescente.
Quando o número elementos de um conjunto é par, a mediana é 
encontrada pela média dos dois valores centrais. Assim, esses valores 
são somados e divididos por dois.
Mediana
Exemplo
Em uma escola, o professor de educação física anotou a altura de um grupo de 
alunos. Considerando que os valores medidos foram: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 
m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 m e 1,78 m, qual o valor da mediana das alturas 
dos alunos?
Solução
Primeiro devemos colocar os valores em ordem. Neste caso, colocaremos em 
ordem crescente. Assim, o conjunto de dados ficará:
1,50; 1,54; 1,55; 1,60; 1,65; 1,67; 1,69; 1,75; 1,78
Como o conjunto é formado por 9 elementos, que é um número ímpar, então a 
mediana será igual ao 5º elemento, ou seja:
Md = 1,65 m
Mediana
Calcule o valor da mediana da seguinte amostra de dados: (32, 27, 15, 
44, 15, 32).
Solução
Primeiro precisamos colocar os dados em ordem, assim temos:
15, 15, 27, 32, 32, 44
Como essa amostra é formada por 6 elementos, que é um número par, 
a mediana será igual a média dos elementos centrais, ou seja:
Md =
27+32
2
= 
59
2
= 29,5
Média Aritmética
Média Aritmética
A Média Aritmética de um conjunto de dados é obtida somando todos 
os valores e dividindo o valor encontrado pelo número de dados desse 
conjunto.
É muito utilizada em estatística como uma medida de tendência 
central.
Pode ser simples, onde todos os valores possuem a mesma 
importância, ou ponderada, quando considera pesos diferentes aos 
dados.
Média Aritmética Simples
Esse tipo de média funciona de forma mais adequada quando os valores são 
relativamente uniformes.
Por ser sensível aos dados, nem sempre fornece os resultados mais 
adequados.
Isso porque todos os dados possuem a mesma importância (peso).
Fórmula
Ms =
X1+X2+X3+ …+Xn
n
Onde
Ms: média aritmética simples
x1, x2, x3,...,xn: valores dos dados
n: número de dados
Média Aritmética Simples
Exemplo:
Sabendo que as notas de um aluno foram: 8,2; 7,8; 10,0; 9,5; 6,7, qual 
a média que ele obteve no curso? 
Ms =
8,2+7,8+10,0+9,5+6,7
5
Ms = 
42,2
5
Ms = 8,4
Média Aritmética Ponderada
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do 
conjunto de dados pelo seu peso.
Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma 
dos pesos.
Mp =
𝑝1 . 𝑥1+𝑝2 . 𝑥2+ …+𝑃𝑛 . 𝑋𝑛
𝑝1 + 𝑝2+ …+𝑃𝑛
Onde,
Mp: Média aritmética ponderada
p1, p2,..., pn: pesos
x1, x2,...,xn: valores dos dados
Média Aritmética Ponderada
Exemplo:
Considerando as notas e os respectivos pesos de cada uma delas, 
indique qual a média que o aluno obteve no curso.
Disciplina Nota Peso
Biologia 8,2 3
Filosofia 10,0 2
Física 9,5 4
Geografia 7,8 2
História 10,0 2
Língua Portuguesa 9,5 3
Matemática 6,7 4
Média Aritmética Ponderada
Mp = 
3 . 8,2 + 2 . 10 + 4. 9,5 + 2 .7,8 + 2 .10 + 3 . 9.5+4 .6,7
3 + 2 + 4 + 2 + 2 + 3 + 4
Mp = 
24,6 + 20+ 38+ 15,6+ 20+ 28,5 + 26,8
20
Mp = 
173,5
20
Mp = 8,7
Medidas de Dispersão e 
Amostragem
População e Amostra
Na estatística, população é o conjunto total dos dados e amostra é um 
subconjunto da população.
População
População é o conjunto de elementos que possuem características em 
comum. É um termo bem mais amplo que no senso comum, podendo 
haver reunião de pessoas, objetos ou até mesmo ideias.
Exemplo:
Todos as pessoas com ensino superior no Brasil.
Amostras
Amostras, na estatística, são subconjuntos da população e possuem as 
mesmas características que a população tem. A técnica de retirada de uma 
amostra da população é chamada de amostragem.
Exemplo:
2000 pessoas com ensino superior no Brasil.
Parâmetros
Os parâmetros são as características numéricas da população.
Exemplo:
As media das notas das pessoas com ensino superior no Brasil.
Estimativas
Torna-se caro e demorado trabalhar com a população inteira, por isso que 
são escolhidas amostras que possuem as mesmas características da 
população.
A estimativa é uma medida numérica que descreve uma característica da 
amostra, que será avaliada e obtido um parâmetro que descreve uma 
característica da população.
Distribuição de Frequências
Quando se faz um levantamento sobre uma população, é retirado uma 
amostra dessa população, obtendo dados relativos à amostra e 
organizando esses dados em tabelas e gráficos, separando-os por classes 
ou categorias, contendo um número de elementos correspondentes para 
cada uma das variáveis.
Medidas de Dispersão
As medidas de dispersão servem para indicar o quanto os dados estão 
dispersos em torno da região central.
Amplitude
A amplitude (H) ou intervalo total é calculada pegando os valores extremos 
do conjunto de dados. Pode ser calculada pela seguinte fórmula:
H = x1 – xn
Onde:
H: é a amplitude
x1: é o primeiro valor
xn: é o último valor.
Desvio
Os desvio serve para medir a dispersão entre uma variável em relação a 
medida de tendência central. É calculado pela seguinte fórmula:
Di = xi – MA
Onde:
Di: é o desvio;
xi: é uma variável qualquer;
MA: é a média aritmética dos dados.
Variância
Variância é uma medida de dispersão e é usada também para expressar o quanto um 
conjunto de dados se desvia da média.
O desvio padrão (DP) é definido como a raiz quadrada da variância (V).
A vantagem de usar o desvio padrão ao invés da variância é que o desvio padrão é 
expresso na mesma unidade dos dados, o que facilita a comparação.
∑: símbolo de somatório. Indica que temos que somartodos os termos, desde a primeira 
posição (i=1) até a posição n
xi: valor na posição i no conjunto de dados
MA: média aritmética dos dados
n: quantidade de dados
Variância
Exemplo
Considerando as idades das crianças das duas festas indicadas anteriormente, 
vamos calcular a variância desses conjuntos de dados.
Festa A
Dados: 1 ano, 2 anos, 2 anos, 12 anos, 12 anos e 13 anos
Média:
Maα = 
1+2+2+12+12+13
6
= 
42
6
= 7 anos
Variância:
Vα = 
(1 −7)2+(2 −7)2+(2 −7)2+(12 −7)2+(12 −7)2+(13 −7)2
6
Vα =
36+25+25+25+25+36
6
≅ 28,67 anos2
Variância
Festa B
Dados: 5 anos, 6 anos, 7 anos, 7 anos, 8 anos e 9 anos
Média:
Mab = 
5+6+7+7+8+9
6
= 
42
6
= 7 anos 
Variância:
Vα = 
(5 −7)2+(6 −7)2+(7 −7)2+(7 −7)2+(8 −7)2+(9 −7)2
6
Vα =
4+1+0+0+1+4
6
≅ 1,67 anos2
Desvio Padrão
Exemplo
Em uma equipe de remo os atletas possuem as seguintes alturas: 1,55 m ; 1,70 m e 1,80 m. Qual é o 
valor da média e do desvio padrão da altura desta equipe?
Cálculo da média, sendo n = 3
Cálculo do desvio padrão
a
Desvio Padrão
O desvio padrão é uma medida que expressa o grau de dispersão de um conjunto de 
dados. Ou seja, o desvio padrão indica o quanto um conjunto de dados é uniforme. Quanto 
mais próximo de 0 for o desvio padrão, mais homogêneo são os dados.
O desvio padrão (DP) é calculado usando-se a seguinte fórmula:
∑: símbolo de somatório. Indica que temos que somar todos os termos, desde a primeira 
posição (i=1) até a posição n
xi: valor na posição i no conjunto de dados
MA: média aritmética dos dados
n: quantidade de dados
Desvio Padrão
Exemplo
Considerando ainda o exemplo anterior (sobre variância), vamos 
calcular o desvio padrão para as duas situações:
DPa = 28,67 = 5,35 anos
DPb = 1,67 =1,29 anos
Agora, sabemos que a variação das idades do primeiro grupo em relação a média é
de aproximadamente 5 anos, enquanto que a do segundo grupo é de apenas 1 ano.
Coeficiente de Variação
Para encontrar o coeficiente de variação, devemos multiplicar o desvio 
padrão por 100 e dividir o resultado pela média. Essa medida é expressa em 
porcentagem.
CV = 
100 .𝐷𝑃
𝑀𝐴
O coeficiente de variação é utilizado quando precisamos comparar variáveis
que apresentam médias diferentes.
Como o desvio padrão representa o quanto os dados estão dispersos em
relação a uma média, ao comparar amostras com médias diferentes, a sua
utilização pode gerar erros de interpretação.
Desta forma, ao confrontar dois conjuntos de dados, o mais homogêneo será
aquele que apresentar menor coeficiente de variação.
Coeficiente de Variação
Exemplo
Um professor aplicou uma prova para duas turmas e calculou a média e 
o desvio padrão das notas obtidas. Os valores encontrados estão na 
tabela abaixo.
Com base nesses valores, determine o coeficiente de variação de cada 
turma e indique a turma mais homogênea.
Desvio Padrão Média
Turma 1 2,6 6,2
Turma 2 3,0 8,5
Coeficiente de Variação
Solução
Calculando o coeficiente de variação de cada turma, temos:
CV1 = 
100 .2,6
6,2
≅ 42%
CV2 = 
100 .3
8,5
≅ 35%
Desta forma, a turma mais homogênea é a turma 2, apesar de 
apresentar maior desvio padrão.