Trabalho e energia

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TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
TRABALHO
As mudanças no movimento de um objeto dependem tanto da 
força quanto do seu tempo de atuação. Podemos usar um outro 
conceito para estudar essas variações no movimento chamado de 
trabalho, uma grandeza escalar que representa o esforço de uma 
força para deslocar um corpo ao longo de uma trajetória. Existem dois 
tipos de trabalho:
• Trabalho motor: quando a força tem o mesmo sentido do 
deslocamento do corpo, o trabalho realizado é positivo τ > 0. 
• Trabalho resistente: quando a força tem sentido contrário ao 
deslocamento do corpo, o trabalho realizado é negativo τ < 0.
O trabalho é de� nido matematicamente pelo produto da força 
que atua na direção do movimento pelo deslocamento.
F d cosτ = ⋅ ⋅ θ
Observação
• A unidade SI de trabalho é o Joule (J): 1 J = 1 N·m.
• Essa expressão só é válida se a força for constante.
• Se a força for paralela e no mesmo sentido do deslocamento 
(θ = 0), temos um trabalho motor τ = +F · d.
• Se a força for paralela e no sentido contrário ao deslocamento 
(θ = 180°), temos um trabalho resistente τ = -F · d.
• Se a força for perpendicular ao deslocamento (θ = 90°), então 
o trabalho é nulo.
• Se a força for variável, devemos calcular a área da curva em um 
grá� co da força pelo deslocamento.
τ = Área (F × d)
Vamos agora ilustrar alguns casos especiais para o cálculo do 
trabalho:
TRABALHO DO PESO
O peso ou força gravitacional só realiza trabalho na “subida” 
ou na “descida”, tendo em vista ser uma força que só atua no eixo 
vertical e de módulo constante.
• Corpo subindo: o trabalho é resistente, pois o peso aponta 
para baixo e é contrário ao deslocament o
peso m g hτ = − ⋅ ⋅
• Corpo descendo: o trabalho é motor, pois o peso aponta para 
baixo e tem a mesma direção do deslocamento
peso m g hτ = + ⋅ ⋅
Observação
O trabalho da força peso SÓ DEPENDE DA VARIAÇÃO DE ALTURA 
do corpo, independente da trajetória:
1 2 3τ = τ = τ
TRABALHO DA NORMAL
Para referenciais inerciais, a força normal é sempre perpendicular 
à trajetória, portanto seu trabalho é sempre nulo
normal 0τ =
TRABALHO DA FORÇA ELÁSTICA
Por se tratar de uma força variável, devemos usar a área da � gura 
para determinar o trabalho da força elástica:
 
Fel triângulo
e
2
F l
1
Área kx x
2
k x
2
τ = = ⋅
⋅
τ =
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TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
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TRABALHO DO ATRITO
A força de atrito cinético é constante, portanto seu trabalho 
através de uma distância d é dado por:
c
c
Fat c c
Fat c
Fat d e Fat N
N d
τ = ⋅ = µ ⋅
τ = µ ⋅ ⋅
POT ÊNCIA
Imagine que você quer subir até uma determinada plataforma 
e existem dois caminhos possíveis: uma escada ou uma rampa em 
zigue-zague. Qual seria a diferença entre os percursos? O trabalho é o 
mesmo, pois é a mesma altura subida em ambos os casos. No entanto, 
o tempo de percurso é diferente. Isso faz com que pessoas mais velhas 
pre� ram as rampas por � carem menos cansadas na trajetória. A 
grandeza física que está relacionada a esse tempo se chama potência
e é calculado pela taxa de realização de trabalho:
P
t
τ
=
∆
Unidades de potência:
• SI: watt (W) 1W = 1 J/s
• 1 kW = 10 ³ W
• 1 MW = 106 W
• 1 GW = 109 W
• 1 cv (cavalo-vapor) ≅ 735,5 W 
• 1 hp (horse-power) ≅ 745,7 W
POTÊNCIA INSTANTÂNEA
A potência fornecida a um corpo por uma força constante pode 
ser calculada por
W F s
P
t t
P F v
⋅ ∆
= =
∆ ∆
= ⋅
• F é a força resultante
• V é a velocidade do corpo
RENDIMENTO
O rendimento mede uma taxa de aproveitamento. Nesse caso, 
imagine um motor de um carro ligado produzindo uma potência total. 
No entanto, devido ao atrito e outras dissipações, apenas uma fração 
dessa potência total é transmitida para ser usada pelo carro. 
total útil dissipadaP P P= +
O aproveitamento dessa potência (ou trabalho) pode ser calculado 
por alguma das expressões abaixo
dissipadaútil
total total
PP
r ou r 1
P P
= = −
Exercício Resolvido
01. (PUCRS 2015) Uma caixa com um litro de leite tem 
aproximadamente 1,0 kg de massa. Considerando g = 10 m/s², 
se ela for levantada verticalmente, com velocidade constante, 10 
cm em 1,0 s, a potência desenvolvida será, aproximadamente, de 
a) 1,0 · 10² W
b) 1,0 · 10 W 
c) 1,0 · 100 W 
d) 1,0 · 10-1 W 
e) 1,0 · 10-2 W 
Resolução: C
0mg h 1 10 0,1p p 1 10 W.
t 1
× ×
= = ⇒ = ×
∆
ENERGIA
Quando um arqueiro estica a corda de um arco para atirar a 
� echa, há uma tensão que quando solta fará com que a � echa entre 
em movimento. Enquanto o arqueiro não a solta, dizemos que ela 
está prestes a realizar um trabalho. De� niremos a energia como a 
capacidade de um corpo em realizar trabalho. Existem várias formas 
de energia: química, térmica, elétrica, mecânica etc. Falaremos apenas 
da energia mecânica, que pode ser dividida em Potencial e Cinética.
A unidade de qualquer tipo de energia é a mesma do Trabalho: 
Joule (J).
Observação
O conceito formal de energia é um tanto obscuro para a física, 
pois ela se trata de uma grandeza matemática que nos servirá para 
encontrar os estados dos corpos.
ENERGIA CINÉTICA (EC)
É a energia de movimento e depende da massa (m) e da velocidade 
(v) do objeto.
2
c
m v
E
2
⋅
=
ENERGIA POTENCIAL
É a energia que dizemos “armazenada” nos corpos pronta para 
realizar trabalho ou se transformar em energia cinética. Vamos citar 
dois exemplos:
GRAVITACIONAL (EPG)
É a energia de um corpo devido a sua posição elevada em relação 
a um referencial. Pode ser descrita como:
pgE m g h= ⋅ ⋅
em que:
• m é a massa do corpo
• g é a aceleração gravidade
• h é a altura a partir do solo (ou da posição de referência)
ELÁSTICA (EPE)
É a energia de um corpo devido à deformação de uma mola. Pode 
ser descrita como:
2
pe
k x
E
2
⋅
=
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TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
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em que:
• k é a constante elástica da mola
• x é a deformação da mola
MECÂNICA (EMEC)
É a soma de todas as energias do corpo: cinética e potencial.
mec c pE E E= +
Essa grandeza é muito útil pois ela sempre se conserva para um 
sistema isolado. Assim os sistemas apenas trocam os tipos de energia 
entre si (potencial por cinética e vice-versa), sem que o valor total seja 
modi� cado. Isso se chama princípio de conservação da energia e é 
um princípio fundamental para a ciência.
Observação
São chamados conservativos os sistemas que não possuem forças 
dissipativas como atito e resistência do ar. Nesse caso a energia de 
um objeto se mantém constante.
Exercício Resolvido
02. (UDESC 2019) Um pequeno bloco com 300 g de massa 
comprime em 2,0 cm uma mola de constante elástica de 10 N/m. 
O bloco é solto e sobre por uma superfície curva, como mostra a 
� gura abaixo.
Desconsiderando quaisquer forças de atrito, assinale a alternativa 
que corresponde à velocidade do bloco ao passar pela metade da 
altura máxima hmax a ser atingida no plano inclinado.
a) 200 cm s
3
b) 
100
cm s
3
c) 2 cm s
30
d) 2 cm s
3
e) 10 cm s
3
Resolução: A
Usando a Conservação da Energia Mecânica, a energia elástica é 
igual a energia potencial gravitacional máxima, assim obtemos a 
altura máxima.
( )
2 2
e pgmáx máx máx
22
3
máx máx1
kx kx
E E mgh h
2 2mg
10 2 10 2
h h 10 m
2 3 10 10 3
−
−
−
= ⇒ = ∴ =
⋅ ⋅
= ∴ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅
Quando o objeto atinge a metade da altura máxima, sua velocidade 
será:
( )
2 2 2
e pg c
22
1 3
1
2
kx mv 2 kx
E E E mgh v mgh
2 2 m 2
10 2 102 1
v 3 10 10 10
3 10 2 3
2 100 cm 200
v 10 m s v cm s
3 1m 3
−
− −
−
−
 
= + ⇒ = + ⇒ = − 
 
 ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
 ⋅
 
= ⋅ ⋅ ∴ =
Observação
Quando existirem forças dissipativas atuando no corpo, apesar 
da energia do sistema se conservar, a energia do corpo não se 
conserva. No entanto, essa energia mecânica perdida é devido ao 
trabalho realizado pelas forças dissipativas. Assim, vale a expressão:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
dissipativom inicial m final
dissipativoc inicial p inicial c final p final
E E
E E E E
= + τ
+ = + + τ
Exercício Resolvido
03. (ESPCEX 2020) Um corpo homogêneo de massa 2kg desliza 
sobre uma superfície horizontal, sem atrito, com velocidade 
constante de 8 m/s no sentido indicado no desenho, caracterizando 
a situação 1.
A partir do ponto A, inicia a subida da rampa, onde existe atrito. O 
corpo sobe até parar na situação 2, e, nesse instante, a diferença 
entre as alturas dos centros de gravidade (CG) nas situações 1 e 2 
é 2,0 m. 
A energia mecânica dissipada pelo atrito durante a subida do 
corpo na rampa, da situação 1 até a situação 2, é
Dado: adote a aceleração da gravidade g = 10 m/s².
a) 10 J. 
b) 12 J. 
c) 24 J. 
d) 36 J. 
e) 40 J. 
Resolução: C
Pelo princípio da conservação de energia, podemos escrever:
2
c p d d
2
d d
mv
E E E mgh E
2
2 8
2 10 2 E E 24 J
2
= + ⇒ = +
⋅
= ⋅ ⋅ + ∴ = −
Observação
O sinal negativo indica que a energia foi realmente dissipada.
TEOREMA DO TRABALHO
O ganho ou a perda de energia cinética (velocidade) de um corpo 
provém de um trabalho realizado sobre ele. Podemos estabelecer que 
o trabalho é igual à variação da energia cinética do corpo.
cEτ = ∆
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TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
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Observação
Essa equação é análoga à conservação da energia em sistemas 
conservativos ou dissipativos.
Observação
Demonstração do teorema do trabalho
Usando uma combinação da equação de Torricelli:
if
2 2V V 2 a s= + ⋅ ⋅ ∆
E da segunda lei de Newton: 
F
F m a a
m
= ⋅ ⇒ =
Teremos:
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
c inicialc final
c
f
if
if
i
m VF m V
V 2
2 2
V
E E
2
s F s
m
m V m
2
V
s
E
F
⋅ ⋅
= + ⋅ ⋅ ∆ ⇒ = + ⋅ ∆ ⇒
⋅ ⋅
⋅ ∆ = − ⇒ τ = −
τ = ∆
Exercício Resolvido
04. (UNICAMP 2018) O primeiro satélite geoestacionário brasileiro 
foi lançado ao espaço em 2017 e será utilizado para comunicações 
estratégicas do governo e na ampliação da oferta de comunicação 
de banda larga. O foguete que levou o satélite ao espaço foi 
lançado do Centro Espacial de Kourou, na Guiana Francesa. A 
massa do satélite é constante desde o lançamento até a entrada 
em órbita e vale m = 6,0 × 10³ kg. O módulo de sua velocidade 
orbital é igual a Vor = 3,0 × 10³ m/s.
Desprezando a velocidade inicial do satélite em razão do movimento 
de rotação da Terra, o trabalho da força resultante sobre o satélite 
para levá-lo até a sua órbita é igual a
a) 2 MJ.
b) 18 MJ.
c) 27 GJ.
d) 54 GJ.
Resolução: C
Pelo teorema da energia cinética:
( )23 322 0
cinR
3 6 9
R
6 10 3 10mvmv
W E 0
2 2 2
3 10 9 10 27 10 W 27 GJ.
× × ×
= ∆ = − = − =
× × × = × ⇒ =


EXERCÍCIOS DE
FIXAÇÃO
01. (EEAR) Um disco de massa igual a 2,0 kg está em movimento 
retilíneo sobre uma superfície horizontal com velocidade igual 
a 8,0 m/s, quando sua velocidade gradativamente reduz para 
4,0 m/s. Determine o trabalho, em J, realizado pela força resistente 
nesta situação.
a) – 48.
b) – 60.
c) + 60.
d) + 100.
02. (EEAR) Um bloco encontra-se em movimento retilíneo uniforme 
até que ao atingir a posição 2 m passa a estar sob a ação de uma 
única força, também na direção horizontal. Finalmente, na posição 12 
m esse bloco atinge o repouso. O módulo, em newtons, e o sentido 
dessa força são
Considere que:
1. o trabalho realizado por essa força seja igual a –100 J.
2. o referencial adotado seja positivo a direita.
a) 20 para esquerda.
b) 10 para esquerda.
c) 20 para direita.
d) 10 para direita.
03. (EEAR) Um motoqueiro desce uma ladeira com velocidade 
constante de 90 km/h. Nestas condições, utilizando apenas os dados 
fornecidos, é possível a� rmar com relação à energia mecânica do 
motoqueiro, que ao longo da descida
a) a energia cinética é maior que a potencial.
b) sua energia cinética permanece constante.
c) sua energia potencial permanece constante.
d) sua energia potencial gravitacional aumenta.
04. (EEAR) Assinale a alternativa que apresenta um conceito físico.
a) Energia potencial é aquela resultante do movimento.
b) Um veículo em alta velocidade possui energia cinética.
c) Em um átomo, o número de elétrons é sempre igual ao número 
de prótons.
d) Todos os corpos são compostos de átomos, e estes são um 
aglomerado de uma ou mais moléculas.
05. (EAM) Sabendo que a aceleração da gravidade local é de 10 m/s², 
qual é o valor da energia potencial gravitacional que uma pessoa de 
massa 80 kg adquire, ao subir do solo até uma altura de 20 m?
a) 1.600 Joules
b) 8.000 Joules
c) 10.000 Joules
d) 15.000 Joules
e) 16.000 Joules
06. (EAM) Um projétil de 0, 02 kg foi disparado de uma arma de 
fogo, saindo com uma velocidade de 400 m/s. Qual é, em joules (J), 
a energia mecânica desse projétil, em relação à arma, no momento 
do disparo?
a) 1200 J
b) 1600 J
c) 2400 J
d) 3600 J
e) 4800 J
07. (EEAR) Um garoto com um estilingue tenta acertar um alvo a 
alguns metros de distância. 
(1) Primeiramente ele segura o estilingue com a pedra a ser 
arremessada, esticando o elástico propulsor.
(2) Em seguida ele solta o elástico com a pedra. 
(3) A pedra voa, subindo a grande altura. 
(4) Na queda a pedra acerta o alvo com grande violência. 
Assinale os trechos do texto correspondentes às análises físicas das 
energias, colocando a numeração correspondente.
( ) Conversão da energia potencial elástica em energia cinética.
( ) Energia cinética se convertendo em energia potencial gravitacional.
( ) Energia potencial gravitacional se convertendo em energia cinética.
( ) Usando a força para estabelecer a energia potencial elástica.
A sequência que preenche corretamente os parênteses é:
a) 1 – 2 – 3 – 4
b) 2 – 3 – 4 – 1
c) 3 – 4 – 1 – 2
d) 4 – 1 – 2 – 3
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TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
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08. (EEAR) Na Idade Média, os exércitos utilizavam catapultas chamadas 
“trabucos”. Esses dispositivos eram capazes de lançar projéteis de 2 
toneladas e com uma energia cinética inicial igual a 4000 J.
A intensidade da velocidade inicial de lançamento, em m/s, vale
a) 1. b) 2. c) √2. d) 2√2.
09. (EEAR) Dois corpos, A e B, deslocam-se em uma trajetória retilínea, 
da posição 0 até 20 metros, submetidos cada um a uma única força, 
FA e FB, respectivamente. As duas forças estão relacionadas à posição 
conforme o mesmo grá� co a seguir. A massa do corpo A é igual a 
2 vezes a massa do corpo B. Pode-se a� rmar, corretamente, que da 
posição 0 até 20 metros
Observação: considere o referencial inercial.
a) a aceleração do corpo A é maior que a do corpo B.
b) a aceleração do corpo B é maior que a do corpo A.
c) o trabalho realizado pela força sobre o corpo A é maior que o 
realizado sobre o corpo B.
d) o trabalho realizado pela força sobre o corpo B é maior que o 
realizado pelo corpo A.
10. (EEAR) O motor de um guindaste em funcionamento, consome 
1,0 kW para realizar um trabalho de 104 J, na elevação de um bloco 
de concreto durante 20 s. O rendimento deste motor é de 
a) 5%. b) 10%. c) 20%. d) 50%.
EXERCÍCIOS DE
TREINAMENTO
01. (EEAR) Em uma montanha russa, o carrinho é elevado até uma 
altura de 54,32 metros e solto em seguida. Cada carrinho tem 345 kg 
de massa e suporta até 4 pessoas de 123 kg cada. Suponha que 
o sistema seja conservativo, despreze todos os atritos envolvidos e 
assinale a alternativa que completa corretamente a frase abaixo, em 
relação à velocidade do carrinho na montanha russa. A velocidade 
máxima alcançada ... 
a) independe do valor da aceleração da gravidade local. 
b) é maior quando o carrinho está com carga máxima. 
c) é maior quando o carrinho está vazio. 
d) independe da carga do carrinho.
02. (EEAR) Uma bola de massa m e de dimensões desprezíveis é 
abandonada e desliza a partir da posição O em uma rampa sem atrito, 
conforme a � gura. Considerando o sistema conservativo, certamente, 
a bola irá atingir até o ponto _____ .
a) A. b) B. c) C. d) D.
03. (EEAR) Durante um experimento foi elaborado um grá� co da 
intensidade da força horizontal resultante (F) aplicada sobre um bloco 
que se desloca (d) sobre um plano horizontal, conforme é mostrado 
na � gura a seguir. Determine o trabalho, em joules, realizado pela 
força resultante durante todo o deslocamento.
a) 300
b)450
c) 600
d) 900
04. (EEAR) Uma mola está acoplada a um bloco. A mola, sem forças 
aplicadas sobre ela, possui um comprimento igual a 2 m (situação 1).
Após ser comprimida, o sistema mola-bloco se mantém nessa posição 
devido a uma trava (T) (situação 2).
Conforme o desenho, após tirar a trava (situação 3), qual a variação 
de energia cinética, em joules, que o bloco estaria sujeito, devido à 
mola, durante o deslocamento do seu centro de gravidade do ponto 
A até o ponto B?
Considere:
1. superfície (S) sem atrito;
2. resistência do ar desprezível; e
3. a mola obedece a Lei de Hooke, conforme o grá� co força elástica 
da mola (F) em função da deformação (x) da mola, a seguir.
a) 5
b) 12
c) 25
d) 50
05. (EAM) Analise a � gura a seguir.
A � gura acima mostra um homem aplicando uma força horizontal 
num bloco, apoiado numa superfície sem atrito, de intensidade igual 
a 100 N, para arrastar um caixote da posição inicial de 10 m até a 
distância de 20 m. Qual é o valor do trabalho realizado pela força F 
durante esse deslocamento?
a) 5000 J
b) 4000 J
c) 3000 J
d) 2000 J
e) 1000 J
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TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
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06. (EM) Um motorista, dirigindo um carro sem capota, dispara um 
revólver apontado para cima na direção vertical. Considerando o vetor 
velocidade do carro constante, para que o projétil atinja o próprio 
motorista é necessário que, 
a) a velocidade do carro seja muito menor quando comparada à 
velocidade inicial do projétil. 
b) a velocidade inicial do projétil seja maior que a velocidade do som 
no ar. 
c) a energia mecânica do projétil seja constante ao longo de 
toda trajetória. 
d) a energia potencial do projétil atinja um valor máximo igual à 
energia cinética do carro. 
e) a energia potencial do projétil atinja um valor máximo igual à 
metade da energia cinética do carro. 
07. (EAM) Em regiões mais frias do Brasil e fundamental a utilização 
de chuveiros elétricos para aquecimento da água do banho diário. 
Cada banho possui um certo consumo de energia. Quanto de energia 
se gasta em um banho de 10 min (1/6 de hora) em um chuveiro 
elétrico cuja potência e 3,0 kW, em kWh?
a) 0,5 kWh
b) 3,0 kWh
c) 5,0 kWh
d) 3000 kWh
e) 30000 kWh
08. (ESPCEX) Um bloco, puxado por meio de uma corda inextensível 
e de massa desprezível, desliza sobre uma superfície horizontal com 
atrito, descrevendo um movimento retilíneo e uniforme. A corda faz 
um ângulo de 53° com a horizontal e a tração que ela transmite ao 
bloco é de 80 N. Se o bloco sofrer um deslocamento de 20 m ao longo 
da superfície, o trabalho realizado pela tração no bloco será de:
(Dados: sen 53° = 0,8 e cos 53° = 0,6) 
a) 480 J 
b) 640 J 
c) 960 J 
d) 1280 J 
e) 1600 J 
09. (ESPCEX) Um motor tem uma potência total igual a 1.500 W e 
eleva de 15 m um volume de 49 10 L⋅ de água de um poço artesiano 
durante 5 horas de funcionamento. O rendimento do motor, nessa 
operação, é de:
Dados: considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s² e a 
densidade da água igual a 1 kg/L. 
a) 30%
b) 50%
c) 60%
d) 70%
e) 80%
10. (ESPCE X) Um carrinho parte do repouso, do ponto mais alto 
de uma montanha-russa. Quando ele está a 10 m do solo, a sua 
velocidade é de 1 m/s. Desprezando todos os atritos e considerando 
a aceleração da gravidade igual a 10 m/s², podemos a� rmar que o 
carrinho partiu de uma altura de 
a) 10,05 m 
b) 12,08 m 
c) 15,04 m 
d) 20,04 m 
e) 21,02 m
11. (ESPCEX) Um corpo de massa 4 kg está em queda livre no campo 
gravitacional da Terra e não há nenhuma força dissipativa atuando. 
Em determinado ponto, ele possui uma energia potencial, em relação 
ao solo, de 9 J, e sua energia cinética vale 9 J. A velocidade do corpo, 
ao atingir o solo, é de: 
a) 5 m/s
b) 4 m/s
c) 3 m/s
d) 2 m/s
e) 1 m/s
12. (AFA) Uma partícula está sob efeito de uma força conforme o 
grá� co abaixo:
O trabalho, em joules, realizado pela força no intervalo x = 0 a x = 10 
é de
a) 7. 
b) 10.
c) 4. 
d) 23.
13. (ESPCEX) Um operário, na margem A de um riacho, quer enviar 
um equipamento de peso 500 N para outro operário na margem B.
Para isso ele utiliza uma corda ideal de comprimento L = 3 m, em que 
uma das extremidades está amarrada ao equipamento e a outra a um 
pórtico rígido.
Na margem A, a corda forma um ângulo θ com a perpendicular ao 
ponto de � xação no pórtico.
O equipamento é abandonado do repouso a uma altura de 1,20 m 
em relação ao ponto mais baixo da sua trajetória. Em seguida, ele 
entra em movimento e descreve um arco de circunferência, conforme 
o desenho abaixo e chega à margem B.
Desprezando todas as forças de atrito e considerando o equipamento 
uma partícula, o módulo da força de tração na corda no ponto mais 
baixo da trajetória é
Dado: considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s². 
a) 500 N
b) 600 N
c) 700 N
d) 800 N
e) 900 N
14. (AFA) Um sistema mecânico conservativo, em que a massa da 
partícula móvel vale 1,2 kg, tem sua energia potencial dada pelo grá� co:
A velocidade da partícula em x = 2m vale 10 m/s. As velocidades da 
partícula em x = 0, x = 5 m e x = 7 m, valem, respectivamente, em m/s:
a) 5 3;10;8 3
b) 1 0 3;20;10 2
c) 1 0 3;20;10 6
d) 5 3;5;10 3
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TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
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15. (AFA) Um corpo de massa m se movimenta num campo de forças 
conservativas e sua energia potencial (EP) varia com o tempo de acordo 
com o grá� co abaixo.
O grá� co que MELHOR representa a variação da energia mecânica 
(Em) do corpo com o tempo (t) é
a)
b)
c)
d)
16. (AFA) A energia cinética Ec de um corpo de massa m que se desloca 
sobre uma superfície horizontal e retilínea é mostrada no grá� co em 
função do deslocamento x.
O grá� co da força resultante FR que atua sobre o corpo em função do 
deslocamento x é
a)
b)
c)
d)
17. (AFA) O motor da � gura imprime ao corpo de massa m uma 
aceleração para cima de módulo igual a g. Calcule a potência 
fornecida pelo motor em função do tempo, sabendo-se que o corpo 
partiu do repouso no instante t = 0.
a) 
22mg
P
t
= b) 
2mg
P
2t
= c) P = 2 mg²t d) P = mg²t
122
TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
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18. (ESPCEX) A mola ideal, representada no desenho I abaixo, possui 
constante elástica de 256 N/m. Ela é comprimida por um bloco, de 
massa 2 kg, que pode mover-se numa pista com um trecho horizontal 
e uma elevação de altura h = 10 cm. O ponto C, no interior do bloco, 
indica o seu centro de massa. Não existe atrito de qualquer tipo neste 
sistema e a aceleração da gravidade é igual a 10 m/s². Para que o 
bloco, impulsionado exclusivamente pela mola, atinja a parte mais 
elevada da pista com a velocidade nula e com o ponto C na linha 
vertical tracejada, conforme indicado no desenho II, a mola deve ter 
sofrido, inicialmente, uma compressão de:
a) 31,50 10 m−⋅
b) 21,18 10 m−⋅
c) 11,25 10 m−⋅
d) 12,5 10 m−⋅
e) 18,75 10 m−⋅
19. (ESPCEX) Um corpo homogêneo de massa 2 kg desliza sobre uma 
superfície horizontal, sem atrito, com velocidade constante de 8 m/s 
no sentido indicado no desenho, caracterizando a situação 1.
A partir do ponto A, inicia a subida da rampa, onde existe atrito. O corpo 
sobe até parar na situação 2, e, nesse instante, a diferença entre as 
alturas dos centros de gravidade (CG) nas situações 1 e 2 é 2,0 m. 
A energia mecânica dissipada pelo atrito durante a subida do corpo na 
rampa, da situação 1 até a situação 2, é
Dado: adote a aceleração da gravidade g = 10 m/s² 
a) 10 J
b) 12 J
c) 24 J
d) 36 J
e) 40 J
20. (ESPCEX) No plano inclinado abaixo, um bloco homogêneo 
encontra-se sob a ação de uma força de intensidade F = 4 N, constante 
e paralela ao plano. O bloco percorre a distância AB, que é igual a 
1,6 m, ao longo do plano com velocidade constante.
Desprezando-se o atrito, então a massa do bloco e o trabalho realizado 
pela força peso quando o bloco se desloca do ponto A para o ponto 
B são, respectivamente,
Dados: adote a aceleração da gravidade g = 10 m/s², 
3
sen 60
2
° =
e 
1
cos 60
2
° =
a) 
4 3
kg15
 e 8,4 J.−
b) 
4 3
kg
15
 e 6,4 J.−
c) 
2 3
kg
5
 e 8,4 J.−
d) 
8 3
kg
15
 e 7,4 J.
e) 
4 3
kg
15
 e 6,4 J.
21. (ESPCEX) Um bloco de massa igual a 1,5 kg é lançado sobre 
uma superfície horizontal plana com atrito com uma velocidade 
inicial de 6 m/s em 1t 0 s.= Ele percorre uma certa distância, numa 
trajetória retilínea, até parar completamente em 2t 5 s,= conforme 
o grá� co abaixo.
O valor absoluto do trabalho realizado pela força de atrito sobre o 
bloco é 
a) 4,5 J
b) 9,0 J
c) 15 J
d) 27 J
e) 30 J
123
TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
PROMILITARES.COM.BR
22. (AFA) Uma rampa, homogênea, de massa m e comprimento L, 
é inicialmente colocada na horizontal. A extremidade A, dessa rampa, 
encontra-se acoplada a uma articulação sem atrito. Na extremidade 
B está sentado, em repouso, um garoto, também de massa m. 
Essa extremidade B está presa ao chão, por um � o ideal, e ao teto, por 
uma mola ideal, de constante elástica k, conforme ilustra a Figura 1.
Em um determinado instante o garoto corta o � o. A mola, que está 
inicialmente deformada de um valor ∆x, passa a erguer lentamente 
a extremidade B da rampa, fazendo com que o garoto escorregue, 
sem atrito e sem perder o contato com a rampa, até a extremidade A, 
conforme Figura 2.
Quando o garoto, que neste caso deve ser tratado como partícula, 
atinge a extremidade A, a mola se encontra em seu comprimento 
natural (sem deformação) e a rampa estará em repouso e inclinada 
de um ângulo θ.
Considerando g o módulo da aceleração da gravidade local, nessas 
condições, a velocidade do garoto em A, vale 
a) 
k L
x sen g
m 2
∆ θ −
b) 
k L
x g cos
m 2
∆ + θ
c) 
k
x gL cos
m
∆ + θ
d) 2
k
x gL sen
m
∆ − θ
23. (AFA) Um bloco escorrega, livre de resistência do ar, sobre um 
plano inclinado de 30º, conforme a � gura (sem escala) a seguir. 
No trecho AB não existe atrito e no trecho BC o coe� ciente de atrito 
vale 
3
.
2
µ =
O bloco é abandonado, do repouso em relação ao plano inclinado, 
no ponto A e chega ao ponto C com velocidade nula. A altura do 
ponto A, em relação ao ponto B, é 1h , e a altura do ponto B, em 
relação ao ponto C, é 2h .
A razão 1
2
h
h
 vale 
a) 
1
2
b) 
3
2
c) 3 d) 2
24. (AFA) Uma mola ideal de constante elástica k, depois de sofrer 
uma deformação x, lança um bloco de massa m, verticalmente para 
cima, até uma determinada altura H, conforme ilustra a � gura abaixo.
Desprezando qualquer forma de atrito e considerando desprezível a 
massa da plataforma sobre a qual o bloco se apoia, o módulo da 
velocidade que o bloco possuirá, ao passar pela metade dessa altura, 
é dado por
a) 
2k
x
m
b) 
k
2x
2m
c) 
2k
2x
m
d) 
k
 x
2m
25. (EN) Analise a � gura abaixo.
A � gura acima mostra um pequeno bloco, inicialmente em repouso, 
no ponto A, correspondente ao topo de uma esfera perfeitamente lisa 
de raio R = 135 m. A esfera está presa ao chão no ponto B. O bloco 
começa a deslizar para baixo, sem atrito, com uma velocidade inicial 
tão pequena que pode ser desprezada, e ao chegar ao ponto C, 
o bloco perde contato com a esfera. Sabendo que a distância horizontal 
percorrida pelo bloco durante seu voo é d = 102 m, o tempo de voo do 
bloco, em segundos, ao cair do ponto C ao ponto D vale
Dado: g = 10 m/s² 
a) 1,3
b) 5,1
c) 9,2
d) 13
e) 18
26. (EFOMM) A � gura abaixo mostra a vista superior de um anel de 
raio R que está contido em um plano horizontal e que serve de trilho, 
para que uma pequena conta de massa m se movimente sobre ele 
sem atrito. Uma mola de constante elástica k e o comprimento natural 
R, com uma extremidade � xa no ponto A do anel e com a outra ligada 
à conta, irá movê-la no sentido anti-horário. Inicialmente, a conta está 
em repouso e localiza-se no ponto B, que é diametralmente oposto ao 
ponto A. Se P é um ponto qualquer e θ é o ângulo entre os segmentos 
AB e AP, a velocidade da conta, ao passar por P, é
124
TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
PROMILITARES.COM.BR
a) 
k
R | cos |
m
θ
b) 
k
2R sen
m
θ
c) 
k
R | cos sen 1|
m
θ + θ −
d) 2
k
2R (cos cos )
m
θ − θ
e) 
k
R sen cos
m
θ θ
27. (EFOMM) Na situação apresentada no esquema abaixo, o bloco 
B cai a partir do repouso de uma altura y, e o bloco A percorre uma 
distância total y + d. Considere a polia ideal e que existe atrito entre o 
corpo A e a superfície de contato.
Sendo as massas dos corpos A e B iguais a m, determine o coe� ciente 
de atrito cinético µ. 
a) 
y
(y 2d)
µ =
+
b) 
2d
(y 2d)
µ =
+
c) 
(2d y)
y
+
µ =
d) 
y
2d
µ =
e) 
d
(2d y)
µ =
+
28. (AFA) Uma partícula, partindo do repouso do ponto A, percorre a 
guia representada na � gura abaixo, disposta num plano vertical.
Desprezando todos os atritos que agem sobre a partícula, sendo h 
a altura do ponto A em relação ao solo e d o diâmetro do looping 
circular, o valor máximo admissível ao quociente 
d
h
, para que a 
partícula realize esse looping é
a) 0,4 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 
29. (AFA) Dois mecanismos que giram com velocidades angulares 
1ω e 2ω constantes são usados para lançar horizontalmente duas 
partículas de massas 1m 1kg= e 2m 2 kg= de uma altura h = 30 m, 
como mostra a � gura 1 abaixo.
Num dado momento em que as partículas passam, simultaneamente, 
tangenciando o plano horizontal α, elas são desacopladas dos 
mecanismos de giro e, lançadas horizontalmente, seguem as 
trajetórias 1 e 2 (� gura 1) até se encontrarem no ponto P. 
Os grá� cos das energias cinéticas, em joule, das partículas 1 e 2 
durante os movimentos de queda, até a colisão, são apresentados 
na � gura 2 em função de (h – y), em m, onde y é a altura vertical 
das partículas num tempo qualquer, medida a partir do solo 
perfeitamente horizontal.
Desprezando qualquer forma de atrito, a razão 2
1
ω
ω
 é 
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
30. (AFA-MODIFICADA) Certo brinquedo de um parque aquático é 
esquematizado pela � gura a seguir, onde um homem e uma boia, 
sobre a qual se assenta, formam um sistema, tratado como partícula.
Essa “partícula” inicia seu movimento do repouso, no ponto A, 
situado a uma altura H = 15 m, escorregando ao longo do toboágua 
que está inclinado de 60º em relação ao solo, plano e horizontal. 
125
TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
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Considere a aceleração da gravidade constante e igual a g e despreze 
as resistências do ar, do toboágua e os efeitos hidrodinâmicos sobre a 
partícula. Para freá-la, fazendo-a chegar ao ponto C com velocidade 
nula, um elástico inicialmente não deformado, que se comporta 
como uma mola ideal, foi acoplado ligando essa partícula ao topo 
do toboágua.
Nessa circunstância, a deformação máxima sofrida pelo elástico foi 
de 10 2 m.
Na descida, ao passar pelo ponto B, que se encontra a uma altura 
H
,
2
a partícula atinge sua velocidade máxima, que, em m/s, vale 
a) 6,0 b) 8,5 c) 10 d) 16,8
EXERCÍCIOS DE
COMBATE
01. (EPCAR/AFA 2011) Duas esferinhas A e B, de massas 2 m e m, 
respectivamente, são lançadas com a mesma energia cinética do 
ponto P e seguem as trajetórias indicadas na � gura abaixo.
 
Sendo a aceleração da gravidade local constante e a resistência do ar 
desprezível, é correto a� rmar que a razão A
B
V
V
 
 
 
 entre as velocidades das 
esferinhas A e B imediatamente antes de atingir o solo é
a) igual a 1.
b) maior que 1.
c) maior que 2.
d) menor que 1.
02. (FUVEST 2015) No desenvolvimento do sistema amortecedor de 
queda de um elevador de massa m, o engenheiro projetista impõe que 
a mola deve se contrair de um valor máximo d, quando o elevador 
cai, a partir do repouso, de uma altura h, como ilustrado na � gura 
abaixo. Para que a exigência do projetista seja satisfeita, a mola a ser 
empregada deve ter constante elástica dada por
 
Note e adote:
– forças dissipativas devem ser ignoradas;
– a aceleração local da gravidade é g.
a) 2mg(h + d)/d²
b) 2mg(h – d)/d²
c) 2mgh/d²
d) mgh/d
e) mg/d
03. (EFOMM 2018) Em uma mesa de 1,25 metros de altura, é 
colocada uma mola comprimida e uma esfera, conforme a � gura. 
Sendoa esfera de massa igual a 50 g e a mola comprimida em 10 
cm, se ao ser liberada a esfera atinge o solo a uma distância de 5 
metros da mesa, com base nessas informações, pode-se a� rmar que a 
constante elástica da mola é:
(Dados: considere a aceleração da gravidade igual a 10 m/s²)
a) 62,5 N/m.
b) 125 N/m.
c) 250 N/m.
d) 375 N/m.
e) 500 N/m.
04. (FUVEST 2003) Uma criança estava no chão. Foi, então, levantada 
por sua mãe que a colocou em um escorregador a uma altura de 
2,0 m em relação ao solo. Partindo do repouso, a criança deslizou e 
chegou novamente ao chão com velocidade igual a 4 m/s. Sendo T o 
trabalho realizado pela mãe ao suspender o � lho, e sendo a aceleração 
da gravidade g = 10 m/s2, a energia dissipada por atrito, ao escorregar, 
é aproximadamente igual a
a) 0,1 T. b) 0,2 T. c) 0,6 T. d) 0,9 T. e) 1,0 T.
05. (ESPCEX/AMAN 2012) Uma força constante F

 de intensidade 
25N atua sobre um bloco e faz com que ele sofra um deslocamento 
horizontal. A direção da força forma um ângulo de 60° com a direção 
do deslocamento. Desprezando todos os atritos, a força faz o bloco 
percorrer uma distância de 20 m em 5 s.
 
A potência desenvolvida pela força é de:
Dados: sen 60° = 0,87; cos 60° = 0,50.
a) 87 W.
b) 50 W.
c) 37 W.
d) 13 W.
e) 10 W.
06. (ESPCEX/AMAN 2017) Uma esfera, sólida, homogênea e de 
massa 0,8 kg é abandonada de um ponto a 4 m de altura do solo em 
uma rampa curva.
Uma mola ideal de constante elástica k = 400 N/m é colocada no � m 
dessa rampa, conforme desenho abaixo. A esfera colide com a mola e 
provoca uma compressão.
126
TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
PROMILITARES.COM.BR
Desprezando as forças dissipativas, considerando a intensidade da 
aceleração da gravidade g = 10 m/s² e que a esfera apenas desliza e 
não rola, a máxima deformação sofrida pela mola é de: 
a) 8 cm.
b) 16 cm.
c) 20 cm.
d) 32 cm.
e) 40 cm.
07. (EPCAR/AFA 2018) Uma partícula é abandonada sobre um 
plano inclinado, a partir do repouso no ponto A, de altura h, como 
indicado pela � gura (fora de escala). Após descer o plano inclinado, 
a partícula se move horizontalmente até atingir o ponto B. As forças 
de resistência ao movimento de A até B são desprezíveis. A partir do 
ponto B, a partícula então cai, livre da ação de resistência do ar, em 
um poço de profundidade igual a 3 h e diâmetro x. Ela colide com o 
chão do fundo do poço e sobe, em uma nova trajetória parabólica até 
atingir o ponto C, o mais alto dessa nova trajetória.
Na colisão com o fundo do poço a partícula perde 50% de sua energia 
mecânica. Finalmente, do ponto C ao ponto D, a partícula move-
se horizontalmente, experimentando atrito com a superfície. Após 
percorrer a distância entre C e D, igual a 3 h, a partícula atinge o 
repouso.
Considerando que os pontos B e C estão na borda do poço, que 
o coe� ciente de atrito dinâmico entre a partícula e o trecho CD é 
igual a 0,5 e que durante a colisão com o fundo do poço a partícula 
não desliza, a razão entre o diâmetro do poço e a altura de onde foi 
abandonada a partícula, x/h vale
a) 1.
b) 3.
c) 3√3.
d) 4√3.
08. (FUVEST 2004) Nos manuais de automóveis, a caracterização 
dos motores é feita em CV (cavalo-vapor). Essa unidade, proposta no 
tempo das primeiras máquinas a vapor, correspondia à capacidade 
de um cavalo típico, que conseguia erguer, na vertical, com auxílio 
de uma roldana, um bloco de 75 kg, à velocidade de 1 m/s. Para 
subir uma ladeira, inclinada como na � gura, um carro de 1000 kg, 
mantendo uma velocidade constante de 15 m/s (54 km/h), desenvolve 
uma potência útil que, em CV, é, aproximadamente, de
a) 20 CV.
b) 40 CV.
c) 50 CV.
d) 100 CV.
e) 150 CV.
09. (EFOMM 2017) Considere uma bolinha de gude de volume 
igual a 10 cm³ e densidade 2,5 g/cm³ presa a um � o inextensível de 
comprimento 12 cm, com volume e massa desprezíveis. Esse conjunto 
é colocado no interior de um recipiente com água. Num instante t0, 
a bolinha de gude é abandonada de uma posição (1) cuja direção faz 
um ângulo θ = 45° com a vertical conforme mostra a � gura a seguir.
O módulo da tração no � o, quando a bolinha passa pela posição mais 
baixa (2) a primeira vez, vale 0,25N. Determine a energia cinética 
nessa posição anterior.
Dados: ρágua = 1.000 kg/m³ e g = 10 m/s²
a) 0,0006 J
b) 0,006 J
c) 0,06 J
d) 0,6 J
e) 6,0 J
10. (ESPCEX/AMAN 2017) Um prédio em construção, de 20 m de 
altura, possui, na parte externa da obra, um elevador de carga com 
massa total de 6 ton, suspenso por um cabo inextensível e de massa 
desprezível.
O elevador se desloca, com velocidade constante, do piso térreo até a 
altura de 20 m, em um intervalo de tempo igual a 10 s. Desprezando 
as forças dissipativas e considerando a intensidade da aceleração da 
gravidade igual a 10 m/s², podemos a� rmar que a potência média útil 
desenvolvida por esse elevador é: 
a) 120 kW.
b) 180 kW.
c) 200 kW.
d) 360 kW.
e) 600 kW.
DESAFIO PRODESAFIO PRO
1 (ITA) Uma massa puntiforme é abandonada com impulso inicial desprezível do topo de um hemisfério maciço em 
repouso sobre uma superfície horizontal. Ao descolar-se da 
superfície do hemisfério, a massa terá percorrido um ângulo 
θ em relação à vertical. Este experimento é realizado nas três 
condições seguintes, I, II e III, quando são medidos os respectivos 
ângulos I ,θ IIθ e III :θ
I. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal e não 
há atrito entre a massa e o hemisfério.
II. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal, mas 
há atrito entre a massa e o hemisfério.
III. O hemisfério e a massa podem deslizar livremente pelas 
respectivas superfícies.
Nestas condições, pode-se a� rmar que 
a) II Iθ < θ e III I.θ < θ
b) II Iθ < θ e III I.θ > θ
c) II Iθ > θ e III I.θ < θ
d) II Iθ > θ e III I.θ > θ
e) I III.θ = θ
127
TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
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2 (IME) Um gerador eólico de diâmetro d é acionado por uma corrente de ar de velocidade v durante um tempo t
na direção frontal à turbina. Sabendo-se que a massa especí� ca 
do ar é ρ e o rendimento do sistema é η, sua potência elétrica 
é dada por
a) 
2 3d v
2
πηρ
b) 
2 3d v
4
πηρ
c) 
2 3d v
8
πηρ
d) 
3 3d v
10
πηρ
e) 
3 3d v
12
πηρ
3 (ITA) Um pequeno bloco desliza sobre uma rampa e logo em seguida por um “loop” circular de raio R, onde há um 
rasgo de comprimento de arco 2Rϕ, como ilustrado na � gura. 
Sendo g a aceleração da gravidade e desconsiderando qualquer 
atrito, obtenha a expressão para a altura inicial em que o bloco 
deve ser solto de forma a vencer o rasgo e continuar em contato 
com o restante da pista.
4 (ITA) No plano inclinado, o corpo de massa m é preso a uma mola de constante elástica k, sendo barrado à frente 
por um anteparo. Com a mola no seu comprimento natural, o 
anteparo, de alguma forma, inicia seu movimento de descida 
com uma aceleração constante a. Durante parte dessa descida, 
o anteparo mantém contato com o corpo, dele se separando 
somente após um certo tempo.
Desconsiderando quaisquer atritos, podemos a� rmar que a 
variação máxima do comprimento da mola é dada por
a) 
( )m g sen m a 2g sen a
K
 α + α +  . 
b) 
( )m g cos m a 2g cos a
K
 α + α +  . 
c) 
( )m g sen m a 2g sen a
K
 α + α −  . 
d) 
m (g sen - a)
.
K
α
e) 
m g sen 
.
K
α
5 (IME) 
Na Situação I da � gura, em equilíbrio estático, a Massa M, 
presa a molas idênticas, está a uma altura 
h
3
. Na Situação II, 
a mola inferior é subitamente retirada. As molas, em repouso, 
têm comprimento h
2
. O módulo da velocidade da Massa M na 
iminência de tocar o solo na situação II é:
Observação: g: aceleração da gravidade.
a) 4gh / 2 2   
b) 3gh / 2 2   
c) 2gh / 2 2   
d) gh / 2 2   
e) 0 
GABARITO
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. A
02. B
03. B
04. B
05. E
06. B
07. B
08. B
09. B
10. D
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
01. D
02. B
03. B
04. C
05. E
06. C
07. A
08. C
09. B
10. A
11. C
12. A
13. E
14. C
15. B
16. A
17. C
18. C
19. C
20. B
21. D
22. D
23. A
24.D
25. B
26. D
27. A
28. D
29. D
30. D
EXERCÍCIOS DE COMBATE
01. D
02. A
03. E
04. C
05. B
06. E
07. C
08. A
09. B
10. A
DESAFIO PRO
01. C
02. C
03. 
( )R 1 2cos 1 cos
h
2cos
+ ϕ + ϕ  =
ϕ
04. C
05. E
128
TRABALHO, ENERGIA E POTÊNCIA
PROMILITARES.COM.BR
ANOTAÇÕES