Equações Exponenciais

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Agora mudaremos o nosso conteúdo. Você estudou os conceitos modulares, passaremos para os
conceitos de exponenciais. Para começar, estudaremos alguns tipos de equações chamadas equações
exponenciais. Essas equações são expressões algébricas que possuem um sinal de igualdade entre
duas partes, estas, por sua vez, têm a incógnita figurando no expoente. Veja alguns exemplos de
equações exponenciais:
16ˣ = 4
 2ˣ + 16 = 20
 9ˣ = 81
 5ˣ⁺¹ = 625
Não há forma específica de resolver uma equação exponencial. O que devemos buscar para a resolução
é um procedimento para podermos igualar as bases. Então, para não termos problemas nas resoluções
de equações exponenciais, recorremos às várias propriedades da potenciação. Faremos uso de
algumas ferramentas nas resoluções, artifícios para facilitarmos nossos conceitos e, por consequência, a
resolução dessas equações. Observe alguns casos:
Exemplos resolvidos:
1) Resolva a equação 5ˣ = 125.
Resolução:
Neste caso, iremos usar uma técnica que consiste em escrever ambos os seus membros na forma de
potências de mesma base, no caso a base 5.
Devemos fatorar o número 125 de forma que tenhamos bases iguais, assim, 5³ = 125 gera 5ˣ = 5³ , desta
forma x = 3. Concluímos que o conjunto solução para essa equação é S = {3}.
2) Determine a solução da equação 8ˣ⁻¹ = 16.
Resolução:
Iremos usar o mesmo procedimento do exemplo 1. Colocaremos todas as potências na base 2, para tal
basta fator o 8 e o 16. Assim temos a equação equivalente:
(2³)ˣ⁻¹ = 2⁴
Assim temos
2³ˣ⁻³ = 2⁴, daí vem 3x – 3 = 4, que gera 3x = 4 + 3.
Logo, 3x = 7 implica em x = 7/3. Então o conjunto solução da equação é S = {7/3}.
Função Exponencial
Caro(a) aluno(a), estamos estudando a nossa última função deste material, a chamada função
exponencial. Para que possamos seguir de forma satisfatória em relação aos conceitos de função
exponencial, é aconselhável que você faça uma revisão das propriedades operatórias de potências.
Vamos, então, definir a função exponencial:
Considere um número a positivo e diferente de 1. Chamamos de função exponencial a função bijetora f:
R R*- definida por f(x) = ax. Essa função recebe o nome de função exponencial pelo fato de, como
podemos observar, a variável independente, indicada por x, estar no expoente.
Esse tipo de função é utilizada largamente em representações diversas, como em taxa de variação em
rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, em crescimento do número de bactérias, em
decaimento radioativo de substâncias químicas, crescimento ou decrescimento populacional entre
outras.
Exemplo resolvido:
Uma bactéria tem um ciclo de reprodução em um meio, de hora em hora. Supondo que, inicialmente,
existam 8 bactérias nesse meio, determine o número de bactérias ao fim de 10 horas.
Resolução: 
Observe que no tempo t = 0, o número de bactérias é igual a 8.
No tempo t = 1 hora, o número de bactérias é 16 que é equivalente a 8.2¹.
No tempo t = 2 horas, o número de bactérias é dado por 8.2² = 32. Em t = 3 horas teremos 8.2³
bactérias. E assim sucessivamente. Então, para t horas teremos o número de bactérias n dado em
função de t por n(t) = 8.2ᵗ. Logo, no tempo desejado, ou seja, ao fim de 10 horas, o número de bactérias
será de n(10) = 8.2¹⁰ = 2³.2¹⁰ = 2¹³ = 8192.
Gráfico da Função Exponencial no Plano
Cartesiano
Para construirmos o gráfico de uma função exponencial podemos proceder de forma semelhante ao das
funções que você estudou neste material. Podemos construir uma tabela com valores para x e obter
seus correspondentes valores de y, formando, assim, os pontos (x,y). Isso feito, localizamos esses
pontos no plano cartesiano e traçamos a curva gerada por eles, logo, temos o gráfico da função.
Exemplos resolvidos:
1) Construir o gráfico da função exponencial f(x) = 2ˣ.
Resolução:
Para a representação gráfica da função f(x) = 2ˣ arbitraremos os seguintes valores para x:
–2, –1, 0, 1 e 2.
Montando uma tabela temos:
→
Indicando esses pontos no plano cartesiano temos um padrão para o gráfico dessa função.
Figura 3 - Gráfico da função f(x) = 2ˣ
Fonte: o autor.
2) Construir o gráfico da função exponencial f(x) = .
Resolução:
Como procedemos no exemplo 01, construiremos uma tabela com valores arbitrários de x e
determinaremos os valores de y correspondentes.
 x y = 2
-2 y = 2 = 1/4
-1 y = 2 = 1/2
0 y = 2 = 1
1 y = 2 = 2
2 y = 2 = 4
x
-2
-1
0
1 
2
( )
x1
2
Localizamos cada um dos pontos obtidos da tabela e os interligamos através da curva da função, então,
temos:
Figura 4 - Gráfico de f(x) = (1/2)ˣ
Fonte: o autor.
Exemplo resolvido:
Considere que uma substância se decompõe segundo a função , em que c é uma
constante, t indica o tempo em minutos e f(t) indica a quantidade da substância, em gramas, no instante
t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine o valor de
c + a.
 x y = 2
-2 y = (1/2) = 4
-1 y = (1/2) = 2
0 y = (1/2) = 1
1 y = (1/2) = 1/2
2 y = (1/2) = 1/4
x
-2
-1
0
1 
2
f (t) = c × 2−0,5t
Resolução:
Os pontos (a, 512) e (0, 2048) pertencem a função, então, se substituirmos t por a obtemos 512, de
mesma forma quando t = 0 temos 2048. Temos
Desta forma, a função indicada na questão é .
Agora, substituindo o valor de t por a temos . Daí tem .
Fatorando o segundo membro ficamos com que gera 0,5a = 2. Logo, a = 4. Desta forma,
podemos concluir que a + c = 4 + 2048 = 2052.
Crescimento e Decrescimento
Nas construções que fizemos você deve ter notado que a função f(x) = 2ˣ é crescente e a função f(x) =
(1/2)ˣ é decrescente. Em uma função exponencial não existe a necessidade da construção do gráfico
para constatarmos isso. A função pode ser crescente ou decrescente conforme o valor de sua base. Se
ela for maior que 1, a função é crescente; se a base for um número real entre 1 e 0, temos uma função
decrescente.
Indiferente da função exponencial f(x) = aˣ ser crescente ou decrescente, seu gráfico sempre cruza o
eixo das ordenadas – eixo y, no ponto (0, 1). Outro fator a ser notado é que, pelo fato de termos a > 0, o
seu gráfico não toca o eixo x.
f (0) = c × 2−0,5(0) = c × 20 = c = 2048
f (t) = 2048 × 2−0,5t
f (a) = 2048 × 2−0,5a = 512 2−0,5a = =5122048
1
4
2−0,5a = 2−2
SAIBA MAIS
Os elementos radioativos têm uma característica interessante: à medida que o tempo
passa, a sua quantidade e atividade vão sendo reduzidas, por consequência, em razão da
radioatividade, a energia liberada por ele é reduzida. Chamamos de meia vida de um
elemento radioativo o intervalo de tempo em que certa amostra do elemento se reduz à
metade da quantidade inicial de núcleos instáveis, ou seja, temos um função exponencial
de base meio. Esse processo, em que a massa se reduz a metade também é conhecido
como semidesintegração.
Fonte: Almeida (2020).
REFLITA
De acordo com teoria de Malthus a população mundial cresce em progressão geométrica,
que é uma função exponencial e a produção de alimento não acompanha esse ritmo. A
teoria malthusiana explicava, desta forma, a existência da fome, pobreza e miséria no
mundo. Como fazer com que a população mundial deixe de crescer de forma
exponencial?
Fonte: IVANISSEVICH, Alicia. Thomas Malthus: Entenda o descompasso entre alimento e
população. Rede Globo, 2012. Disponível em:
http://redeglobo.globo.com/globoecologia/noticia/2012/09/thomas-malthus-entenda-o-
descompasso-entre-alimento-e-populacao.html. Acesso em: 22 de abri. de 2020.
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http://redeglobo.globo.com/globoecologia/noticia/2012/09/thomas-malthus-entenda-o-descompasso-entre-alimento-e-populacao.htm