AMORTIZAÃÃO DE DIVIDAS

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CAPÍTULO III - FINANCIAMENTOS
III.1 - AMORTIZAÇÃO DE DÍVIDAS
A disponibilidade de recursos é, sem dúvida, fundamental para a concretização de um
investimento. Se os recursos próprios forem insuficientes as empresas devem recorrer a
empréstimos.
 O valor desses empréstimos, ou seja, o principal, evidentemente terá que ser restituído à instituição financeira, acrescido de sua remuneração, que são os juros.
À forma de devolução do principal mais juros, chama-se de “sistema de amortização”.
Os sistemas mais usados serão vistos a seguir.
A) SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (PRICE)
Também conhecido como “Sistema Price” ou “Sistema de Prestação Constante” é muito
utilizado nas compras de prazos menores e no crédito direto ao consumidor.
Neste sistema as prestações são constantes, ou seja, correspondem a uma série uniforme
“A”. A parcela de juros decresce com o tempo, ao passo que a parcela de amortização aumenta com o tempo. Graficamente pode-se apresentar este comportamento da seguinte maneira:
Como em todos os sistemas corretos de amortização, no sistema Price a prestação é a soma da amortização com os juros do período, ou seja:
pk = ak + jk
Onde:
pk - prestação no período k
 ak - amortização no período k
 jk - juros no período k
Além disso, os juros no período k são calculados sobre o saldo devedor anterior:
jk = i*(Saldo devedor)k-1
Nota-se, portanto, que quanto menor o saldo devedor menores serão os juros e, como as
prestações são constantes no sistema Price, a amortização crescerá com o tempo.
A prestação p é calculada da seguinte forma:
VP = P 1-(1+i)-n
 i 
Onde P é o principal, ou seja, o valor do empréstimo.
As fórmulas do Sistema Francês de amortização são apresentadas no quadro abaixo:
	Período (k)
	Saldo devedor (SDk)
	Prestação(pk)
	Amortização(ak)
	Juros(jk)
	0
	VP0 =VP
	
	
	
	1
	VP1 = VP0 - a1
	p =P(A/P,i,n)
	a1 = p – j1
	j1 = i VP0
	2
	P2 = P1 - a2
	p
	a2 = p – j2 
	j2 = i VP1
	...
	= 0
	
	
	
	K - ak 
	Pk = P k-1 - a k = 0
	p
	a k = p – jk
	jk = i VPk - 1
Pode-se calcular o saldo devedor após a k-ézima prestação a partir da seguinte fórmula:
Sdk = VP = P 1-(1+i)- k
 i 
Ou seja, o saldo devedor é o valor presente das prestações futuras.
EXEMPLO III.1
Montar o quadro de amortização para um financiamento de R$1.000,00, a juros de 36%
a.m. com prazo de 4 meses, amortizável pelo sistema Price em 4 prestações mensais. Calcular também o saldo devedor, imediatamente após a segunda prestação, sem o uso da tabela.
Solução:
 1.000 = P 1-(1,36)-4 P = 508,6976465
 0,36
	Período (k)
	Saldo devedor (SDk)
	Prestação(pk)
	Amortização(ak)
	Juros(jk)
	0
	1.000,00
	
	
	
	1
	851,3023535
	508,6976465
	148,697465
	0,36x1.000 = 360,00
	2
	649,0735543
	508,6976465
	202,2287992
	306,4688473
	3
	374,0423911
	508,6976465
	275,031167
	233,6664795
	4
	0
	508,6976465
	374,0423857
	134,6552554
	
	
	
	
	
E o saldo devedor após a segunda prestação é:
B) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
É o sistema normalmente utilizado para financiamentos de longo prazo.
Neste sistema as amortizações são constantes e calculadas da seguinte forma:
a= vp/n
Onde P é o principal e n é o número de prestações.
O saldo devedor após o pagamento da k - ézima prestação é dado por:
Sdk = P - k a
Graficamente a prestação pode ser representada assim:
As fórmulas do SAC são apresentadas no quadro abaixo:
EXEMPLO III.2
Elaborar a tabela financeira pelo sitema SAC para o financiamento do exemplo anterior.
Calcular também, o saldo devedor após a segunda prestação.
Solução:
	Período (k)
	Saldo devedor (SDk)
	Prestação(pk)
	Amortização(ak)
	Juros(jk)
	0
	1.000,00
	
	
	
	1
	750,00
	610,00
	250,00
	0,36x1.000 = 360,00
	2
	500,00
	469,60
	250,00
	219,60
	3
	250,00
	320,00
	250,00
	180,00
	4
	0
	365,20
	250,00
	115,20
	
	
	
	
	
E o saldo devedor após o segundo pagamento, sem utilização da tabela, pode ser calculado assim:
O PERIODO DE CARÊNCIA
A concessão de um período de carência é muito utilizada pelas instituições financeiras.
Durante o período de carência paga-se somente juros e o principal permanece inalterado, ou ainda, não se paga juros e estes são capitalizados acrescendo o principal.
Se, no exemplo anterior, fosse concedido dois meses de carência, a tabela financeira do
financiamento ficaria assim:
C) SISTEMA AMERICANO
No sistema americano, pagam-se apenas os juros e o principal é devolvido ao final do empréstimo. Para um principal P e uma taxa i, haverá um pagamento de juros iP. No último período são pagos os juros iP mais o principal P.
	Período (k)
	Saldo devedor (SDk)
	Prestação(pk)
	Amortização(ak)
	Juros(jk)
	0
	1.000,00
	
	
	
	1
	1.000,00
	360,00
	0
	0,36x1.000 = 360,00
	2
	1.000,00
	360,00
	0
	360,00
	3
	1.000,00
	360,00
	0
	360,00
	4
	0
	1.360,00
	1.000,00
	360,00
	
	
	
	
	
Quem toma um empréstimo neste sistema deve normalmente formar um fundo para amortizar o principal. Denominando q os depósitos periódicos deste fundo, pode-se calcula-lo da seguinte forma:
 Q = P (A/F; ; n)
 Onde é a taxa de remuneração do fundo
Se i for igual a , tudo se passará como no Sistema Francês, pois o tomador pagará periodicamente os juros iP do empréstimo e aplicará P (A/F; ;n) na formação do fundo. O desembolso periódico será:
IP + P(A/F;i;n) = P= P(A/P;i;n)
D) OUTROS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Sistema de Pagamento Único : É muito utilizado para financiamentos industriais de capital de giro. Paga-se, neste caso, juros e principal no final do empréstimo. Nada mais do que achar F dado P.
Pagamento antecipado: Aqui os juros são cobrados antecipadamente e o principal é devolvido ao final do empréstimo. É uma forma conhecida de “aumentar” a taxa de juros efetiva cobrada por uma instituição financeira.
Decididamente este não é um sistema correto sob o ponto de vista da matemática financeira. Para que um sistema seja correto o valor presente das prestações, descontado à taxa de juros do financiamento, deve ser igual ao principal.
III.2 Exercícios Propostos
III.2.1. Para uma dívida de R$ 50.000,00, uma taxa de juros de 10% ao período e um plano de 5 prestações construa um quadro de amortizações pelo sistema:
a) PRICE
b) SAC
c) SAC com um período de carência.
 
III.2.2. Considere uma dívida de $100.000,00 a ser resgatada em 25 prestações com 4% de juros. Depois de quantas prestações o valor da prestação do sistema PRICE passa
a ser superior à do sistema SAC.
III.2.3. Uma pessoa fez um empréstimo de R$ X a juros de 4% ao mês e saldou a dívida
pelo SAC em 10 prestações. A soma dos valores nominais das prestações foi de R$
50.000,00. Se a dívida tivesse sido paga pelo sistema Price, qual seria a soma dos
valores das prestações?