Exemplo da diagramação

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5 PRELIMINARES
A, B, B, E , T, L, P
Neste capítulo, lembramos a definição de espaços rotulados normais, que são
nossos objetos de estudo durante todo o trabalho. Além disso, lembramos a definição
do espaço topológico de filtros tight T e mostramos algumas propriedades desse es-
paço, que são utéis no Capítulo 2. Também definimos o espaço topológico de filtros
P e mostramos algumas propriedades desse espaço, que são úteis nos Capítulos 3
e 4. Por fim, lembramos alguns conceitos de medidas conformes, que aparecem na
caracterização de estados KMS nos Capítulos 2 e 4.
5.1 O ESPAÇO TOPOLÓGICO T
Começamos definindo um espaço rotulado normal. Um grafo ou grafo dirigido E
é um sistema E = (E0, E1, r , s) formado por dois conjuntos não vazios E0 de vértices,
E1 de arestas, e funções range r : E1 → E0 e source s : E1 → E0. O vértice v ∈ E0 é
um sink se o conjunto s–1(v ) é vazio, e denotamos por E0sink o conjunto de todos os
vértices sinks.
Dado um grafo E , uma sequência de arestas λ = λ1λ2 . . . λn tal que r (λi ) = s(λi+1)
para todo i = 1, . . . , n – 1 é um caminho de comprimento n, |λ| = n. Definimos os
vértices como caminhos de comprimento 0, e para cada n ∈ N En é o conjunto dos
caminhos de comprimento n. Além disso, E∗ = ∪n≥0En. Uma sequência infinita de
arestas λ = λ1λ2 . . . tal que r (λi ) = s(λi+1) para todo i ≥ 1 é um caminho de comprimento
infinito, |λ| = ∞. Definimos o conjunto dos caminhos infinitos por E∞.
Dado um conjunto não vazio A, chamado alfabeto, e cujos elementos são cha-
mados letras, um grafo rotulado é um grafo E com uma aplicação rotulante sobrejetora
L : E1 → A. Denotamos o conjunto das palavras finitas sobre A por A∗, e o con-
junto das palavras infinitas por A∞. A aplicação rotulante L pode ser estendida para
L : En → A∗ e L : E∞ → A∞. Para cada n ∈ N, o conjunto dos caminhos rotulados α
de comprimento |α| = n é a imagem Ln = L(En), e o conjunto dos caminhos rotulados
infinitos a imagem L∞ = L(E∞). Consideramos a palavra vazia ω como um caminho
rotulado de comprimento zero |ω| = 0, e definimos L≥1 := ∪n≥1Ln, L∗ := {ω} ∪ L≥1, e
L≤∞ := L∗ ∪ L∞.
Sendo P(E0) o conjunto das partes de E0, dados α ∈ A∗ e A ∈ P(E0), a imagem
relativa de α com respeito a A é o conjunto
r (A,α) =
⎧⎨⎩{r (λ) : λ ∈ E∗, L(λ) = α, s(λ) ∈ A}, se α ∈ L≥1A, se α = ω.
A imagem de α, denotada por r (α), é o conjunto r (α) = r (E0,α), em particular r (ω) = E0.
Capítulo 5. Preliminares 22
Outro conjunto importante é o subconjunto de letras associado ao elemento
A ∈ P(E0)
L(AE1) = {L(e) : e ∈ E1 e s(e) ∈ A} = {a ∈ A : r (A, a) ̸= ∅}.