03- MEC SOL III- Deslocamentos em peças retilíneas fletidas

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Universidade Federal do Pará - UFPA 
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Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 1/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
Mecânica dos Sólidos 03: 
Conteúdo Programático: 
1. Introdução à mecânica; 
 
2. Análise das tensões e deformações; 
 
3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas; 
 
4. Introdução ao estudo das estruturas hiperestáticas; 
 
5. Flambagem de colunas; 
 
6. Solicitações combinadas; 
 
7. Ensaios de laboratório. 
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Mecânica dos Sólidos 03: 
Conteúdo Programático: 
1. Introdução à mecânica; 
 
2. Análise das tensões e deformações; 
 
3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas; 
 
4. Introdução ao estudo das estruturas hiperestáticas; 
 
5. Flambagem de colunas; 
 
6. Solicitações combinadas; 
 
7. Ensaios de laboratório. 
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Quando uma peça é solicitada, além das tensões que se desenvolvem na seção 
transversal da peça, há também o deslocamento linear do eixo desta peça. 
3.1. Introdução: 
● Flecha: É a componente do deslocamento 
linear de um ponto no eixo de uma peça 
perpendicular ao eixo reto desta peça antes 
da aplicação das cargas. 
 
● Linha elástica: É a curva na qual se 
transforma o eixo da peça, inicialmente reto. 
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Representação do deslocamento: O deslocamento y é a flecha da peça correspondente 
à seção que dista x do apoio esquerdo. A equação y=f(x) é a linha elástica da peça 
correspondente ao carregamento P. 
3.1. Introdução: 
P
x
y
Viga
Pilar Pilar
Pilar
Nota: 
Importância das flechas: Nas considerações de projeto, 
frequentemente, há a verificação das flechas limites. 
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Determinação da linha elástica: Dentre os vários processos, cita-se: 
 
 
 (a) Integração direta; 
 
 (b) Diagrama dos momentos; 
 
 (c) Funções singulares. 
3.1. Introdução: 
Nota: Todos os métodos citados são aplicados apenas em regime elástico. 
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● A equação diferencial da linha elástica de uma peça deformada de eixo inicialmente reto 
é: 
 
 
 
 
onde x e y são as coordenadas da linha elástica, E é o módulo de elasticidade da peça, I é o 
momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro e M é o momento fletor. 
3.2. Integração direta: 
Nota: É necessário integrar duas vezes a equação diferencial da linha elástica para obter a flecha y em 
função de x. 
M
dx
ydIE =⋅⋅ 2
2
P
x
y Linha elástica 
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Processo de integração: A determinação da linha elástica consiste em integrar a 
equação d2y/dx2. A primeira integração fornece a inclinação dy/dx (rotação) da tangente à 
linha elástica e a segunda integração fornece a linha elástica y em função de x. 
 
● Constantes de integração: Como a equação diferencial é de segunda ordem, aparecem 
na integração duas constantes, as quais são determinadas, na maioria das vezes, com as 
condições de apoio da peça. 
3.2. Integração direta: 
Nota: Antes da integração é necessário exprimir I e M 
em função de x. 
● Convenção de sinal: Dada a convenção dos 
momentos fletores, é necessário considerar a 
abscissa x, orientada ao longo da peça, positiva 
da esquerda para direita e a flecha y positiva se 
dirigida de baixo para cima. P
x
y
x
y
(+) 
(-) 
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Hipóteses e limitações: 
 
(a) Na equação diferencial da linha elástica está implicitamente admitido que as flechas 
provenientes das forças cortantes são desprezíveis às produzidas pelos momentos fletores; 
 
(b) Admite-se que as flechas são pequenas comparativamente às dimensões das seções 
transversais da peça; 
 
(c) Presume-se que a peça seja reta antes da aplicação das cargas externas; 
 
(d) Admite-se que as seções transversais da peça permaneçam planas durante a 
deformação; 
 
(e) Supõe-se que se trate de peças constituídas de materiais que possuam o mesmo 
módulo de elasticidade à tração e à compressão. 
3.2. Integração direta: 
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Dedução da equação diferencia da linha elástica: 
3.2. Integração direta: 
● Comprimento da fibra em ab: 
⇒⋅= θρ ddx κ
θ
ρ
==
dx
d1
● Comprimento da fibra em cd: 
( ) ( ) ⇒⋅−=⋅−=
ρ
ρθρ dxydycd
dxydxcd ⋅−=
ρ
{ LLL ∆+= 0
● Deformação da fibra em cd: 
( )
⇒
⋅
−=
∆
=
dx
dx/y
L
L
x
ρε
0 ρ
ε yx −=
MO MO
dθ
m
n
p
q
O
dx
y
c
a
d
b
ρ
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Dedução da equação diferencia da linha elástica: 
3.2. Integração direta: 
● Tensões normais na seção transversal: 
⇒⋅= xx E εσ ρ
σ yEx
⋅
−=
● A força que atua em dA: 
⇒⋅
⋅
−=⋅= dAyEdAdF x ρ
σ
Nota: Como não há força normal atuando na seção, 
⇒=⋅
⋅
−⇒= ∫∫ 00
AA
dAyEdF
ρ
0=⋅∫
A
dAy Nota: O momento estático em relação ao eixo 
neutro é nulo, ou seja, o eixo neutro coincide 
com o centro de gravidade da seção. 
σ
dA
y
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Dedução da equação diferencia da linha elástica: 
3.2. Integração direta: 
● O momento da força dF em relação ao eixo neutro: 
( ) ⇒⋅





⋅
⋅
=⇒⋅−= ydAyEdMydFdM
ρ
⇒=⋅





⋅
⋅
= ∫∫ 0MydA
yEdM
AA ρ




=⋅⋅⋅= ∫∫ IdAy
:Sendo
dAyEM
A
A
2
2
0 ρ
⇒
⋅
=
ρ
IEM 0 IE
M
⋅
= 0
1
ρ
σ
dA
y
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Dedução da equação diferencia da linha elástica: 
3.2. Integração direta: 
● Sabendo que, na maioria das vezes, nas 
aplicações práticas ocorrem apenas pequenas 
deflexões, pode-se escrever: 
dxds ≈ ( )
dx
dytg ==θθ
⇒⋅=⇒⋅= θρθρ ddxdds
● Equação diferencia da linha elástica: 
⇒=
⋅
⇒
⋅
=
dx
d
IE
M
IE
M:Sendo θ
ρ
1
dx
dθ
ρ
=
1
IE
M
dx
yd
⋅
=2
2
P
y x
y
dθ
x dx
ρ
ba
ds
O
b
a
θ+dθθ
dθ
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P
y x
y
dθ
x dx
ρ
ba
ds
O
b
a
θ+dθθ
dθ
3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
3.2. Integração direta: 
Nota: 
 
 
( ) ( ) 21 x
'x'yxarctgxy
+
=⇒=
● Equaçãoda curvatura: Quando a linha elástica da 
peça apresenta grandes rotações, tem-se: 
( ) 




=⇒=
dx
dyarctg
dx
dytg θθ
( )[ ]
ds
dx
dx
dx/dyarctgd
ds
d
⋅===
θ
ρ
κ 1
( )[ ]
( )
( )



+=⇒+=
+
=
2222
2
22
1
1
dx/dydx/dsdydxds
dx/dy
dx/yd
dx
dx/dyarctgd
( )[ ] 232
22
1
1
/
dx/dy
dx/yd
+
==
ρ
κ
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y
P
x
y
x
Ry
MR
L LP
x
y
x
3.3. Exemplo 1: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(a) Cálculo das reações: 
PRy = LPM R ⋅=
(b) Equação do momento fletor: 
LPxPM ⋅−⋅=
(c) Linha elástica: 
LPxP
dx
ydIEM
dx
ydIE ⋅−⋅=⋅⋅⇒=⋅⋅ 2
2
2
2
1
2
2
1
CxLPxP
dx
dyIE
Integração a
+⋅⋅−
⋅
=⋅⋅
⇒=⇒= 00 dx/dyx/p 01 =C
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y
L P
x
y
x
3.3. Exemplo 1: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) Linha elástica: 
2
23
26
2
CxLPxPyIE
Integração a
+
⋅⋅
−
⋅
=⋅⋅
⇒=⇒= 00 yx/p 02 =C
26
23 xLPxPyIE ⋅⋅−⋅=⋅⋅
Nota: 
 
Flecha máxima: p/ x=L 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rotação máxima: p/ x=L 
 
 
 
 
 
 
 
⇒
⋅⋅
−
⋅
=⋅⋅
26
23 LLPLPyIE
IE
LPymax ⋅⋅
⋅
−=
3
3
⇒⋅⋅−
⋅
=⋅⋅ LLPLP
dx
dyIE
2
2
IE
LP
dx
dy
max
max ⋅⋅
⋅
−==





2
2
θ
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q x
y
x
y
q x
y
x
Ry
MR
L L
3.4. Exemplo 2: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(a) Cálculo das reações: 
LqRy ⋅= 22 /LqM R ⋅=
(b) Equação do momento fletor: 
22
22 xqLqxLqM ⋅−⋅−⋅⋅=
(c) Linha elástica: 
22
22
2
2
2
2 xqLqxLq
dx
ydIEM
dx
ydIE ⋅−⋅−⋅⋅=⋅⋅⇒=⋅⋅
1
322
622
1
CxqxLqxLq
dx
dyIE
Integração a
+
⋅
−
⋅⋅
−
⋅⋅
=⋅⋅
⇒=⇒= 00 dx/dyx/p 01 =C
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q x
y
x
y
L
3.4. Exemplo 2: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) Linha elástica: 
2
4223
2446
2
CxqxLqxLqyIE
Integração a
+
⋅
−
⋅⋅
−
⋅⋅
=⋅⋅
⇒=⇒= 00 yx/p 02 =C
Nota: 
 
Flecha máxima: p/ x=L 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rotação máxima: p/ x=L 
 
 
 
 
 
 
 
⇒
⋅
−
⋅⋅
−
⋅⋅
=⋅⋅
2446
4223 LqLLqLLqyIE
IE
Lqymax ⋅⋅
⋅
−=
8
4
⇒
⋅
−
⋅⋅
−
⋅⋅
=⋅⋅
622
322 LqLLqLLq
dx
dyIE
IE
Lq
dx
dy
max
max ⋅⋅
⋅
−==





6
3
θ
2446
4223 xqxLqxLqyIE ⋅−⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅
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q x
y
x
y
q x
y
x
Ra
L L
Rb
y
3.5. Exemplo 3: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(a) Cálculo das reações: 
2/LqRR ba ⋅==
(b) Equação do momento fletor: 
22
2xqxLqM ⋅−⋅⋅=
(c) Linha elástica: 
22
2
2
2
2
2 xqxLq
dx
ydIEM
dx
ydIE ⋅−⋅⋅=⋅⋅⇒=⋅⋅
1
32
64
1
CxqxLq
dx
dyIE
Integração a
+
⋅
−
⋅⋅
=⋅⋅
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3.5. Exemplo 3: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) Linha elástica: 
21
43
2412
2
CxCxqxLqyIE
Integração a
+⋅+
⋅
−
⋅⋅
=⋅⋅
⇒=⇒= 00 yx/p 02 =C
Nota: 
 
Flecha máxima: p/ x=L/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rotação máxima: p/ x=0 e p/ x=L 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
⇒
⋅⋅
−
⋅
−
⋅⋅
=⋅⋅
24
2
24
2
12
2 343 /LLq/Lq/LLqyIE
IE
Lqymax ⋅⋅
⋅⋅
−=
384
5 4
⇒
⋅
−
⋅
−
⋅⋅
=⋅⋅
2464
332 LqxqxLq
dx
dyIE
( )0
24
3
=
⋅⋅
⋅
−==




 x /p
IE
Lq
dx
dy
max
max
θ242412
343 xLqxqxLqyIE ⋅⋅−⋅−⋅⋅=⋅⋅
⇒=⇒= 0yLx/p 2431 /LqC ⋅−=
( )Lx /p
IE
Lq
dx
dy
max
max
=
⋅⋅
⋅
==





24
3
θ
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x
y
x
y
x
y
x
Ra
L L
Rb
y
P
a b
P
a b
3.6. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(a) Cálculo das reações: 
L/bPRa ⋅=
(b) Equação do momento fletor: 
( )


≤≤−⋅−⋅⋅
≤≤⋅⋅
=
Lxa p/ axPL/xbP
ax0 p/ L/xbP
M
(c) Linha elástica: 
L/aPRb ⋅=
( )


≤≤−⋅−⋅⋅
≤≤⋅⋅
=⋅⋅
Lxa p/ axPL/xbP
ax0 p/ L/xbP
dx
ydIE 2
2
⇒=⋅⋅ M
dx
ydIE 2
2
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3.6. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) Linha elástica: As integrações. 
( )






≤≤+
−⋅
−
⋅
⋅⋅
≤≤+
⋅
⋅⋅
=⋅⋅
Lxa p/ CaxP
L
xbP
ax0 p/ C
L
xbP
dx
dyIE
Integração 
3
2
1
a
22
2
1
2
2
( )






≤≤+⋅+
−⋅
−
⋅
⋅⋅
≤≤+⋅+
⋅
⋅⋅
=⋅⋅
Lxa p/ CxCaxP
L
xbP
ax0 p/ CxC
L
xbP
yIE
Integração 
43
3
21
a
66
6
2
3
3
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3.6. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) Linha elástica: As constantes de integração. 
( ) ⇒






≤≤+
⋅
⋅⋅
=+
−⋅
−
⋅
⋅⋅
≤≤+
⋅
⋅⋅
=




⋅⋅
=
= Lxa p/ C
L
abP CaaP
L
abP
ax0 p/ C
L
abP
dx
dyIE
ax /p
33
2
1
ax
222
2
22
2
( ) ( ) ⇒






≤≤+⋅+
⋅
⋅⋅
=+⋅+
−⋅
−
⋅
⋅⋅
≤≤+⋅+
⋅
⋅⋅
=⋅⋅
=
=
Lxa p/ CaC
L
abPCaCaaP
L
abP
ax0 p/ CaC
L
abP
yIE
ax /p
4343
3
21
ax
666
6
33
3
31 CC =
42 CC =
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3.6. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) Linha elástica: As constantes de integração. 
( ) ax0 p/ C0C
L
bPyIE
0y0x /p
21x ≤≤+⋅+⋅
⋅⋅
=⋅⋅
=⇒=
= 6
03
0
02 =C ⇒ 04 =C
( ) ( ) ⇒≤≤+⋅+−⋅−
⋅
⋅⋅
=⋅⋅
=⇒=
= Lxa p/ CLC
aLP
L
LbPyIE
0yLx /p
43
3
Lx 66
3
L
bPLbPC
⋅
⋅
+
⋅⋅
−=
66
3
3 L
bPLbPC
⋅
⋅
+
⋅⋅
−=
66
3
1⇒
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3.6. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) Linha elástica: 
( )






≤≤⋅+
−⋅
−
⋅
⋅⋅
≤≤⋅+
⋅
⋅⋅
=⋅⋅
Lxa p/ xCaxP
L
xbP
ax0 p/ xC
L
xbP
yIE
3
3
1
66
6
3
3




⋅
⋅
+
⋅⋅
−==
L
bPLbPCC
:Sendo
66
3
31
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3.6. Exemplo 4: Aplicação didática 
Nota: 
 
Rotação em x=0 (θa) e x=L (θb): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )






≤≤+
−⋅
−
⋅
⋅⋅
≤≤+
⋅
⋅⋅
=⋅⋅
Lxa p/ CaxP
L
xbP
ax0 p/ C
L
xbP
dx
dyIE
3
2
1
22
2
2
2




⋅
⋅
+
⋅⋅
−==
L
bPLbPCC
:Sendo
66
3
31
⇒
⋅
⋅
+
⋅⋅
−
⋅
⋅⋅
=⋅⋅=




⋅⋅
= L
bPLbP
L
bPIE
dx
dyIE a
x 662
0 32
0
θ ( )
IEL
bLbaP
a ⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
−=
6
θ
( )
⇒
⋅
⋅
+
⋅⋅
−
−⋅
−
⋅
⋅⋅
=⋅⋅=




⋅⋅
= L
bPLbPaLP
L
LbPIE
dx
dyIE b
Lx 6622
322
θ ( )
IEL
aLbaP
b ⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
=
6
θ
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3.6. Exemplo 4: Aplicação didática 
Nota: 
 
Flecha máxima: Para dy/dx=0 tem-se y=ymax. Admitindo-se a>b, escreve-se:ax0 p/ C
L
xbP
dx
dyIE 1 ≤≤+⋅
⋅⋅
=⋅⋅
2
2




⋅
⋅
+
⋅⋅
−==
L
bPLbPCC
:Sendo
66
3
31
⇒+
⋅
⋅⋅
=⋅⋅ 1CL
xbPIE
2
0
2
( )
3
22 bLx maxy
−
=
( )
⇒⋅+
⋅
⋅⋅
=⋅⋅ ymax1
maxy
max xCL
xbP
yIE
6
3 ( )
IEL
bLbPy
/
max
⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅
−=
39
2322
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 27/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
q x
y
x
y
L
3.7. Exemplo 5: Aplicação didática 
● Uma viga bi-apoiada de madeira (E=1010 N/m2) com seção transversal de 10x20 cm2 é 
solicitada por uma carga de 3 kN/m. Determinar a flecha máxima sabendo que o vão da 
viga é 3 m. 
(a) Cálculo da flecha máxima: 
IE
Lqymax ⋅⋅
⋅⋅
−=
384
5 4



⋅= 123 /hbI
:Sendo
cm,m,ymax 48000480 −=−=( ) ( )⇒⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅
−=
122010101384
31035
310
43
/,,
ymax
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Método do diagrama dos momentos: Sobre uma peça retilínea fletida atua um sistema 
de cargas, a partir do diagrama de momento fletor desta peça deseja-se estabelecer os 
deslocamentos sofridos pelos diversos pontos do eixo da peça. 
 
● Primeiro teorema: O ângulo formado entre as tangentes em A e B, θ, é igual à área do 
diagrama de momentos fletores entre os referidos pontos dividida por E∙I. 
3.8. Diagrama dos momentos: 
∫ ⋅
⋅
=
B
A IE
dxMθ
A B
θ
xdx
M
tg em A tg
 em B
Nota: A integral de M representa a área do diagrama de 
momento fletor entre os pontos A e B. 
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A B
xdx
M
tg em A ∆
3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Segundo teorema: A distância ∆ entre o ponto B da linha elástica e a tangente que passa 
por A é igual ao momento estático, em relação à vertical que passa por B, da área do 
diagrama de momentos fletores compreendida entre A e B dividido por E∙I. 
3.8. Diagrama dos momentos: 
∫ ⋅⋅
⋅
=∆
B
A
dx
IE
xM
● Convenção de sinal: No primeiro teorema 
consideram-se positivas as áreas que correspondem a um 
diagrama de momentos fletores positivos e negativo caso 
contrário. Ou seja, uma área positiva implica que a 
tangente em B faça com a tangente em A um ângulo 
positivo, isto é, anti-horário. No segundo teorema, a área 
positiva implica em deslocamentos lineares positivos. 
Deslocamentos lineares positivos são aqueles em que o 
ponto B se coloca acima da tangente que passa por A. 
Nota: A convenção de sinal deste 
método é independente do método 
da integração direta. 
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
3.8. Diagrama dos momentos: 
● Hipóteses e limitações: 
 
(a) Na equação diferencial da linha elástica está implicitamente admitido que as flechas 
provenientes das forças cortantes são desprezíveis às produzidas pelos momentos fletores; 
 
(b) Admite-se que as flechas são pequenas comparativamente às dimensões das seções 
transversais da peça; 
 
(c) Presume-se que a peça seja reta antes da aplicação das cargas externas; 
 
(d) Admite-se que as seções transversais da peça permaneçam planas durante a 
deformação; 
 
(e) Supõe-se que se trate de peças constituídas de materiais que possuam o mesmo 
módulo de elasticidade à tração e à compressão. 
Nota: As hipóteses e limitações deste método são as mesmas do método da integração direta. 
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Vantagens e desvantagens: Quando se deseja estabelecer o deslocamento de um 
único ponto da peça, o método do diagrama de momento é mais vantajoso que o método 
da integração direta. Quando houver a necessidade de estabelecer o valor da linha 
elástica, o método da integração direta é mais apropriado. 
3.8. Diagrama dos momentos: 
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q
dx x
ρ
ba
ds
O
A B
dθ
A B
θ
xdx
M
tg em A tg 
em B
a b
3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Dedução do primeiro teorema: Da análise de peças fletidas, têm-se 
3.8. Diagrama dos momentos: 
ds
dθ
ρ
κ == 1
dxds =
IE
M
⋅
=
ρ
1
Admitindo pequenas deflexões, 
⇒⋅
⋅
= dx
IE
Mdθ
∫ ⋅⋅=
B
A
dx
IE
Mθ
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A B
xdx
M
a b
tg em a
tg em b
x⋅
dθ
dθ
ρ
A B
∆θ
tg em A
tg em
 B
dθ
3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Dedução do segundo teorema: Da análise de peças fletidas, têm-se 
3.8. Diagrama dos momentos: 
dx
IE
xMdx ⋅
⋅
⋅
=⋅ θ
∫∫ ⋅⋅
⋅
=⋅
B
A
B
A
dx
IE
xMdx θ
∫ ⋅⋅
⋅
=∆
B
A
dx
IE
xM
dx
IE
Md ⋅
⋅
=θ
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Áreas planas: 
3.8. Diagrama dos momentos: 
x
y
O
b
h
x
y x
y
O
b
h
x
y
2
hbA ⋅=
3
2 bx ⋅=
3
hy =
3
hbA ⋅=
4
3 bx ⋅=
10
3 hy ⋅=
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θ
A
B
-P⋅L
tg em A
tg em B
A B
x
P
δ
L
3.9. Exemplo 1: Aplicação didática 
● Determinar a rotação θ e a flecha δ no balanço da viga. 
(a) Cálculo da rotação θ: 
( )
IE
LLPdx
IE
MB
A ⋅
⋅
⋅⋅−
=⋅
⋅
= ∫
1
2
θ
(b) Cálculo da flecha δ: 
IE
LP
⋅⋅
⋅
−=
2
2
θ
( ) LLLP
IE
dx
IE
xMB
A
⋅⋅
⋅⋅−
⋅
⋅
=⋅
⋅
⋅
=∆= ∫ 3
2
2
1δ
IE
LP
⋅⋅
⋅
−=
3
3
δ
Nota: O sinal negativo de θ significa que a 
tangente em B faz com a tangente em A um 
ângulo no sentido horário. O sinal negativo de δ 
significa que o ponto B localiza-se abaixo da 
tangente em A. 
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δ
L
θ
A
B
2
tg em A
tg em B
A B
x
q
-q⋅L /2
3.10. Exemplo 2: Aplicação didática 
● Determinar a rotação θ e a flecha δ no balanço da viga. 
(a) Cálculo da rotação θ: 
( )
IE
L/Lqdx
IE
MB
A ⋅
⋅
⋅⋅−
=⋅
⋅
= ∫
1
3
22θ
(b) Cálculo da flecha δ: 
IE
Lq
⋅⋅
⋅
−=
6
3
θ
( ) LL/Lq
IE
dx
IE
xMB
A
⋅⋅
⋅⋅−
⋅
⋅
=⋅
⋅
⋅
=∆= ∫ 4
3
3
21 2δ
IE
Lq
⋅⋅
⋅
−=
8
4
δ
Nota: O sinal negativo de θ significa que a 
tangente em B faz com a tangente em A um 
ângulo no sentido horário. O sinal negativo de δ 
significa que o ponto B localiza-se abaixo da 
tangente em A. 
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q
B
Atg em A
L
B
A
q⋅L/2
2q⋅L /2
2-q⋅L /2
q⋅L/2
2q⋅L /4
2-q⋅L /8
∆
θ
tg em
 B
3.11. Exemplo 3: Aplicação didática 
● Determinar a rotação θ no apoio e a flecha δ no meio do vão. 
(a) Cálculo da rotação θ: 
( ) ( ) ( ) ( )





 ⋅⋅−
+
⋅⋅
⋅
⋅
=⋅
⋅
= ∫ 3
28
2
241 22 /L/Lq/L/Lq
IE
dx
IE
MB
A
θ
(b) Cálculo da flecha δ no meio do vão: 
IE
Lq
B ⋅⋅
⋅
=
24
3
θ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )





⋅⋅
⋅⋅−
+⋅⋅
⋅⋅
⋅
⋅
=⋅
⋅
⋅
=∆= ∫ 24
3
3
282
3
2
2
241 22 /L/L/Lq/L/L/Lq
IE
dx
IE
xMB
A
δ
IE
Lq
⋅⋅
⋅⋅
=
384
5 4δ
Nota: O sinal positivo de θ significa que a tangente em B faz com a 
tangente em A um ângulo no sentido anti-horário. O sinal positivo de δ 
significa queo ponto B localiza-se acima da tangente em A. 
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3.12. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a rotação θ nos apoios A e B e a flecha δ máxima. 
(a) Cálculo da rotação θ em A e B: 
( ) L/L/tg AAA ∆=⇒∆== θθθ
( ) ( )



 ⋅
⋅⋅−
+⋅
⋅⋅
⋅
⋅
=⋅
⋅
⋅
=∆ ∫ 3232
1 bbbPLLbP
IE
dx
IE
xMB
A
( )
⇒
⋅⋅
−⋅⋅
=∆
IE
bLbP
6
22 ( )
IE
bLbaP
⋅⋅
+⋅⋅⋅
=∆
6
( )
IEL
bLbaP
A ⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
=
6
θ ⇒ ( )
IEL
aLbaP
B ⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
=
6
θ
P⋅b/L
L
P ba
A B
P⋅a/L
A B
P⋅b
-P⋅b
∆tg em Aθ
Α
x
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3.12. Exemplo 4: Aplicação didática 
(b) Cálculo da flecha δ máxima: 
)ba /p(bLxmax >
−
=
3
22
'Pmax ∆−∆=δ
(b.1) Localização da flecha máxima: 
(b.2) Cálculo da flecha máxima: 
⇒
⋅∆
=∆
L
xmax
P
( )
IEL
xbLbaP max
P ⋅⋅⋅
⋅+⋅⋅⋅
=∆
6
P⋅b/L
L
P
b
A B
P⋅a/L
∆tg em Aθ
Α
δm
ax
xmax
a
P
A B
∆
δm
ax
∆'
∆
P
xmax
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3.12. Exemplo 4: Aplicação didática 
(b) Cálculo da flecha δ máxima: 
'Pmax ∆−∆=δ
(b.2) Cálculo da flecha máxima: 
( )
⇒


 ⋅
⋅⋅⋅
⋅
⋅
=⋅
⋅
⋅
=∆ ∫ 32
1 maxmaxmax
x
A
xxL/xbP
IE
dx
IE
xM'
max
( )
IEL
xbP' max
⋅⋅⋅
⋅⋅
=∆
6
3
'Pmax ∆−∆=δ
( ) ( )
⇒
⋅⋅⋅
⋅⋅
−
⋅⋅⋅
⋅+⋅⋅⋅
=
IEL
xbP
IEL
xbLbaP maxmax
max 66
3
δ
( )
IEL
bLbP /
max
⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅
=
39
2322
δ
P⋅b/L
L
P
b
A B
P⋅a/L
A B
P⋅b
-P⋅b
∆tg em Aθ
Α
δ m
ax
xmax
a
P
A B
∆
δ m
ax
∆ '
∆
P
xmax
(P⋅b/L)⋅xmax
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Função singular: O conceito de função singular foi aplicado à análise das vigas em 1919 
por Macauley. As aplicações destes conceitos facilitam a solução de problemas envolvendo 
cargas concentradas, forças ou momentos, evitando assim a utilização de equações 
distintas para estabelecer os valores de força cortante e momento fletor. 
 
● Notação de Função singular: Introduzindo, por definição, a seguinte função: 
 
 
 
onde, para n≥0 a quantidade entre colchetes é nula se x-a≤0 e é x-a se x-a>0. 
 
● A função singular fn(x) obedece à integral: 
3.13. Funções singulares: 
( ) nn axxf −=
0
1
1
≥
+
−
=⋅−
+
∞−
∫ n para n
ax
dxax
nx
n
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 42/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
3.13. Funções singulares: 
Nota 1: A Lei de integração para n=-1 e n=-2 é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 



>
≤
=−=⋅−∫
∞−
−
0a-x para 
0a-x para 
axdxax
x
1
001
12 −
∞−
−
−=⋅−∫ axdxax
x
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
● Método das funções singulares: A equação diferencial da linha elástica de uma peça 
deformada de eixo inicialmente reto é: 
 
 
 
 
onde M é a equação, escrita em termos de função singular, que descreve o valor do 
momento fletor. 
 
Lembrando que: 
 
 
 
Têm-se: 
3.13. Funções singulares: 
M
dx
ydIE =⋅⋅ 2
2
dx/dQp = dx/dMQ =
Q
dx
ydIE =⋅⋅ 3
3
p
dx
ydIE =⋅⋅ 4
4
Sendo: p o carregamento, Q a força cortante, M o 
momento fletor e y a flecha. 
Nota: Para estabelecer a linha elástica pelo 
método das funções singulares, basta 
determinar a equação do carregamento p e 
integrar a mesma quatro vezes. 
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x dx
p=f(x)
p
Q+dQQ
M M+dM
dx
O
x
y
3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
3.13. Funções singulares: 
● Dedução das equações diferenciais p=dQ/dx e Q=dM/dx: 
0=∑ OM
( ) ⇒=⋅⋅−⋅++− 0
2
dxdxpdxQdMMM
dx
dMQ =
0=∑ VerticalF
( ) ⇒=+−⋅− 0dQQdxpQ
dx
dQp −=
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3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
3.13. Funções singulares: 
● Representação dos carregamentos: 
(a) Momento concentrado 
x
p
M0
a
O
( ) 20
−
−⋅= axMxp
(b) Força concentrada 
x
p
F0
a
O
( ) 10
−
−⋅= axFxp
(c) Carga uniformemente 
distribuída 
( ) 00 axpxp −⋅=
x
p
p0
a
O
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 46/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
3. Deslocamentos em peças retilíneas fletidas: 
3.13. Funções singulares: 
● Representação dos carregamentos: 
x
p
a
O
d p/dx2 2
(d) Carga com variação linear 
( ) 1ax
dx
dpxp −⋅=
(e) Carga com variação 
quadrática 
( ) 22
2
ax
dx
pdxp −⋅=
x
p
a
O
dp/dx
 
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y
P
x
y
x
Ry
MR
L LP
x
y
x
3.14. Exemplo 1: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(a) Cálculo das reações: 
PRy =
(b) A equação p(x): 
121 00 −−− −⋅−−⋅⋅−−⋅= LxPxLPxP)x(p
LPM R ⋅=
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P
x
y
x
Ry
MR
L
3.14. Exemplo 1: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) A equação Q(x): 
(d) A equação M(x): 
010 LxPxLPxP)x(Q −⋅−⋅⋅−⋅= −
101 LxPxLPxP)x(M −⋅−⋅⋅−⋅=
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P
x
y
x
Ry
MR
L
3.14. Exemplo 1: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e) Linha elástica: 
⇒=⋅⋅ M
dx
ydIE 2
2
⇒−⋅−⋅⋅−⋅=⋅⋅
101
2
2
LxPxLPxP
dx
ydIE
1
22
1
212 CLxPxLPxP
dx
dyIE
:Integração a
+−⋅−⋅⋅−⋅=⋅⋅
21
626
2
323 CxCLxPxLPxPyIE
:Integração a
+⋅+−⋅−⋅
⋅
−⋅=⋅⋅
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P
x
y
x
Ry
MR
L
3.14. Exemplo 1: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e.1) Constantes de integração: 
⇒+−⋅−⋅⋅−⋅=⋅⋅
=⇒=
10
2
00
2
0 212 CLPLPPIE
:0dy/dx 0x /p
01=C
⇒+−⋅−⋅
⋅
−⋅=⋅⋅
=⇒=
20
6
0
2
0
6
0 323 CLPLPPIE
:0y 0x /p
02 =C
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y
L P
x
y
x
3.14. Exemplo 1: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e.2) Linha elástica: 
323
626
LxPxLPxPyIE −⋅−⋅⋅−⋅=⋅⋅
Nota: A flecha máxima, y=ymax, ocorre para: 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
Lx =
⇒−⋅−⋅
⋅
−⋅=⋅⋅
323
626
LLPLLPLPyIE
( ) ( ) ⇒⋅⋅−⋅=⋅⋅ 23
26
LLPLPyIE
IE
LPymax ⋅⋅
⋅
−=
3
3
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q x
y
x
y
q x
y
x
Ry
MR
L L
3.15. Exemplo 2: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(a) Cálculo das reações: 
LqRy ⋅=
(b) A equação p(x): 
02
2
1 00
2
0 −⋅−−⋅⋅−−⋅⋅= −− xqxLqxLq)x(p
22 /LqM R ⋅=
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q x
y
x
Ry
MR
L
3.15. Exemplo 2: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) A equação Q(x): 
(d) A equação M(x): 
11
2
0
2
xqxLqxLq)x(Q ⋅−⋅⋅−⋅⋅= −
20
2
1
22
xqxLqxLq)x(M ⋅−⋅⋅−⋅⋅=
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q x
y
x
Ry
MR
L
3.15. Exemplo 2: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e) Linha elástica: 
⇒=⋅⋅ M
dx
ydIE 2
2
⇒⋅−⋅
⋅
−⋅⋅=⋅⋅
20
2
1
2
2
22
xqxLqxLq
dx
ydIE
1
622
1
31
2
2 CxqxLqxLq
dx
dyIE
:Integração a
+⋅−⋅
⋅
−⋅
⋅
=⋅⋅
21
2446
2
42
2
3 CxCxqxLqxLqyIE
:Integração a
+⋅+⋅−⋅
⋅
−⋅
⋅
=⋅⋅
Universidade Federal do Pará - UFPA 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 55/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
q x
y
x
Ry
MR
L3.15. Exemplo 2: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e.1) Constantes de integração: 
01=C⇒+⋅−⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅
=⇒=
10
6
0
2
0
2
0 31
2
2 CqLqLqIE
:0dy/dx 0x /p
⇒+⋅−⋅
⋅
−⋅
⋅
=⋅⋅
=⇒=
20
24
0
4
0
6
0 42
2
3 CqLqLqIE
:0y 0x /p
02 =C
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Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 56/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
q x
y
x
y
L
3.15. Exemplo 2: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e.2) Linha elástica: 
Nota: A flecha máxima, y=ymax, ocorre para: 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
Lx =
IE
Lqymax ⋅⋅
⋅
−=
8
4
42
2
3
2446
xqxLqxLqyIE ⋅−⋅⋅−⋅⋅=⋅⋅
⇒⋅−⋅
⋅
−⋅
⋅
=⋅⋅
42
2
3
2446
LqLLqLLqyIE
⇒⋅−⋅
⋅
−⋅
⋅
=⋅⋅ 42
2
3
2446
LqLLqLLqyIE
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 57/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
q x
y
x
y
q x
y
x
Ra
L L
Rb
y
3.16. Exemplo 3: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(a) Cálculo das reações: 
2/LqRa ⋅=
(b) A equação p(x): 
101
2
00
2
−−
−⋅
⋅
+−⋅−−⋅
⋅
= LxLqxqxLq)x(p
2/LqRb ⋅=
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 58/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
q x
y
x
Ra
L
Rb
y
3.16. Exemplo 3: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) A equação Q(x): 
(d) A equação M(x): 
010
22
LxLqxqxLq)x(Q −⋅⋅+⋅−⋅⋅=
121
222
LxLqxqxLq)x(M −⋅⋅+⋅−⋅⋅=
Universidade Federal do Pará - UFPA 
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Prof.: Bernardo Moraes Neto 59/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
q x
y
x
Ra
L
Rb
y
3.16. Exemplo 3: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e) Linha elástica: 
⇒=⋅⋅ M
dx
ydIE 2
2
⇒−⋅
⋅
+⋅−⋅
⋅
=⋅⋅
121
2
2
222
LxLqxqxLq
dx
ydIE
1
464
1
232 CLxLqxqxLq
dx
dyIE
:Integração a
+−⋅
⋅
+⋅−⋅
⋅
=⋅⋅
21
122412
2
343 CxCLxLqxqxLqyIE
:Integração a
+⋅+−⋅
⋅
+⋅−⋅
⋅
=⋅⋅
Universidade Federal do Pará - UFPA 
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Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 60/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
q x
y
x
y
L
3.16. Exemplo 3: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e.1) Constantes de integração: 
24
1
3LqC ⋅−=
02 =C
⇒+−⋅
⋅
+⋅−⋅
⋅
=⋅⋅
=⇒=
1
242624
0
0
232
CLLLqLqLLqIE
:dy/dx L/2x /p
⇒+⋅+−⋅
⋅
+⋅−⋅
⋅
=⋅⋅
=⇒=
2010
12
0
24
0
12
0 343 CCLLqqLqIE
:0y 0x /p
Universidade Federal do Pará - UFPA 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 61/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
3.16. Exemplo 3: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e.2) Linha elástica: 
Nota: A flecha máxima, y=ymax, ocorre para: 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
2/Lx =
IE
Lqymax ⋅⋅
⋅⋅
−=
384
5 4
q x
y
x
y
L
xCLxLqxqxLqyIE ⋅+−⋅⋅+⋅−⋅⋅=⋅⋅ 1
122412
343




⋅
−=
24
1
3LqC
:Sendo
2
1
212224212
343 LCLLLqLqLLqyIE ⋅+−⋅⋅+⋅−⋅⋅=⋅⋅
⇒⋅+




⋅−




⋅
⋅
=⋅⋅
2
1
224212
43 LCLqLLqyIE
Universidade Federal do Pará - UFPA 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 62/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
x
y
x
y
x
y
x
Ra
L L
Rb
y
P
a b
P
a b
3.17. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(a) Cálculo das reações: 
L/bPRa ⋅=
(b) A equação p(x): 
1110 −−− −⋅⋅+−⋅−−⋅⋅= Lx
L
aPaxPx
L
bP)x(p
L/aPRb ⋅=
Universidade Federal do Pará - UFPA 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 63/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
x
y
x
Ra
L
Rb
y
P
a b
3.17. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(c) A equação Q(x): 
000 Lx
L
aPaxPx
L
bP)x(Q −⋅⋅+−⋅−⋅⋅=
(d) A equação M(x): 
111 Lx
L
aPaxPx
L
bP)x(M −⋅⋅+−⋅−⋅⋅=
Universidade Federal do Pará - UFPA 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 64/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
x
y
x
Ra
L
Rb
y
P
a b
3.17. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e) Linha elástica: 
⇒=⋅⋅ M
dx
ydIE 2
2
⇒−⋅
⋅
+−⋅−⋅
⋅
=⋅⋅
111
2
2
Lx
L
aPaxPx
L
bP
dx
ydIE
1
222
1
222 CLx
L
aPaxPx
L
bP
dx
dyIE
:Integração a
+−⋅
⋅
⋅
+−⋅−⋅
⋅
⋅
=⋅⋅
21
666
2
333 CxCLx
L
aPaxPx
L
bPyIE
:Integração a
+⋅+−⋅
⋅
⋅
+−⋅−⋅
⋅
⋅
=⋅⋅
Universidade Federal do Pará - UFPA 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 65/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
x
y
x
Ra
L
Rb
y
P
a b
3.17. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e.1) Constantes de integração: 
⇒+⋅+−⋅
⋅
⋅
+−⋅−⋅
⋅
⋅
=⋅⋅
=⇒=
2010
6
0
6
0
6
0 333 CCL
L
aPaP
L
bPIE
:0y 0x p
02 =C
⇒⋅+−⋅
⋅
⋅
+−⋅−⋅
⋅
⋅
=⋅⋅
=⇒=
LCLL
L
aPaLPL
L
bPIE
:0y Lx p
1
666
0 333
( ) ⇒⋅+⋅
⋅
⋅
+−⋅−⋅
⋅
⋅
= LC
L
aPaLPL
L
bP 10
666
0 33
L
bPLbPC
⋅
⋅
+
⋅⋅
−=
66
1
3
Universidade Federal do Pará - UFPA 
Instituto de Tecnologia 
Faculdade de Engenharia Civil 
Prof.: Bernardo Moraes Neto 66/66 Disciplina: Mecânica dos Sólidos 03 
x
y
x
y
L
P
a b3.17. Exemplo 4: Aplicação didática 
● Determinar a linha elástica da viga. 
(e.2) Linha elástica: 
xCLx
L
aPaxPx
L
bPyIE ⋅+−⋅
⋅
⋅
+−⋅−⋅
⋅
⋅
=⋅⋅ 1
666
333




⋅
⋅
+
⋅⋅
−=
L
bPLbPC
:Sendo
66
1
3
Nota: A flecha máxima, y=ymax, ocorre para: 
 
 
 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )ba para/bLxmax >−= 322
⇒⋅+−⋅
⋅
⋅
+−⋅−⋅
⋅
⋅
=⋅⋅ maxmaxmaxmax xCLxL
aPaxPx
L
bPyIE 1
666
333
( ) 2322
39
/
max bL
IEL
bPy −⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅
−=( ) ⇒⋅+⋅
⋅
⋅
=⋅⋅ maxmax xCxL
bPyIE 1
6
3
	Número do slide 1
	Número do slide 2
	Número do slide 3
	Número do slide 4
	Número do slide 5
	Número do slide 6
	Número do slide 7
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	Número do slide 11
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	Número do slide 66