Aula 3 - Cálculo Diferencial e Integral II

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CENTRO UNIVERSITÁRIO DE CARATINGA GRADUAÇÃO 
UNEC / EAD DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
NÚCLEO DE ENSINO A DISTÂNCIA - NEAD Página | 14 
Professor: MSc Robson da Silva – robsonfisica75@bol.com.br 
AULA 3 
 
1.3 INTEGRAL DEFINIDA 
 
1.3.1 ÁREA 
O cálculo de área de figuras planas, têm sido uma das principais preocupações 
dos matemáticos. O método da exaustão, que consiste em usar figuras de áreas co-
nhecidas para determinar a área de outras figuras era o mais utilizado antigamente. 
Hoje, para determinar a área de uma figura plana, aplicamos o método da inte-
gral. Este método, consiste em dividir a figura em uma série de polígonos que possam 
ser alojados exatamente abaixo da curva e depois somarmos a área de todos os po-
lígonos. 
Considere o problema para definir a área S de uma figura plana, figura 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos calcular a área aproximada da figura abaixo da curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) aproximando 
a figura S para um retângulo de base AB e altura 𝑓(𝑥) figura 3. 
 
Figura 2: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico da função f(x). 
 
Fonte: Fleming, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação, 
integração. 6ª ed. São Paulo: Makron, 2006, p. 272. 
 
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Podemos perceber que a área acima da curva 𝑓(𝑥) não faz parte da área da figura s. 
Porém se dividirmos a área da figura em mais retângulos e esses tiverem bases me-
nores como mostrado na figura 4 o erro no cálculo da área tende a diminuir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico da função f(x), adaptando. 
 
Fonte: Fleming, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação, inte-
gração. 6ª ed. São Paulo: Makron, 2006, p. 272, adaptado. 
Figura 4: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico da função f(x), adaptando dividindo 
em partes retangulares. 
 
Fonte: Fleming, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação, inte-
gração. 6ª ed. São Paulo: Makron, 2006, p. 272, adaptado. 
 
 
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Agora se dividirmos a área s da figura em infinitos retângulos de altura 𝑓(𝑥) e base 
𝑑𝑥 de modo que cada retângulo possa ser colocado exatamente abaixo da curva 𝑓(𝑥), 
figura 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A área da figura 4 será dada pela equação 1.5. 
𝐴 = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
𝑥=𝑏
𝑥0=𝑎
 1.5 
 
Esse modelo de integral que possui limite inferior e limite superior na integração é 
chamado de integral definida. 
 
1.3.2 INTEGRAL DEFINIDA 
 
As integrais indefinidas nasceram com a formalização matemáticas dos proble-
mas de área e dos problemas físicos. A solução de uma integral definida é semelhante 
à solução das integrais indefinidas, somente acrescentamos a solução dos limites e 
não teremos uma constante de integração. Assim temos: 
 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]𝑎
𝑏 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
𝑎
 1.6 
 
Figura 5: Cálculo da área da figura plana limitada pelo gráfico da função f(x), adaptando dividido 
em infinitos retângulos. 
 
Fonte: Fleming, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites, derivação, inte-
gração. 6ª ed. São Paulo: Makron, 2006, p. 257. 
 
 
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Exemplo 8 
Calcular a integral definida ∫ 𝑥𝑑𝑥
3
1
 
Resolução: 
Como a integral é uma integral imediata, podemos integrar diretamente e depois fazer 
a substituição dos limites. 
∫ 𝑥𝑑𝑥 = [
𝑥²
2
]
1
33
1
= (
32
2
−
12
2
) =
9 − 1
2
=
8
2
= 4 
Exemplo 9 
Calcular a integral definida ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝜋
2
0
 
Resolução: 
Como a integral é uma integral imediata, podemos integrar diretamente e depois fazer 
a substituição dos limites. 
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 = [𝑠𝑒𝑛𝑡]0
𝜋
2
𝜋
2
0
= [𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
) − 𝑠𝑒𝑛(0)] = 1 − 0 = 1 
 
Exemplo 10 
Calcular a integral definida ∫ 𝑥𝑒−𝑥
2+1𝑑𝑥
2
1
 
Resolução: 
Nesta integral, vamos começar resolvendo a integral indefinida pelo método de inte-
gração por substituição, em seguida substituiremos os limites de integração. 
𝑢 = −𝑥2 + 1 → 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −2𝑥 
 
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∫ 𝑥𝑒−𝑥
2+1𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑒𝑢
𝑑𝑢
−2𝑥
2
1
=
−1
2
𝑒𝑢 
∫ 𝑥𝑒−𝑥
2+1𝑑𝑥
2
1
= [
−1
2
𝑒−𝑥
2+1]
1
2
=
−1
2
[(𝑒−2
2+1) − (𝑒−1
2+1)] 
=
−1
2
[(𝑒−4+1) − (𝑒−1+1)] =
−1
2
[𝑒−3 − 𝑒0] =
−1
2
[𝑒−3 − 1] 
 
 
 
 
 
Referencial Bibliográfico: 
1. FLEMMING, Diva Maria; GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A: Funções, Limi-
tes, Derivação e Integração. 6ª ed. São Paulo: Makron Books, 2006. 
 
2. BOULOS, Paulo (Compilador). Cálculo diferencial e integral 1. São Paulo: Ma-
kron Books, 1999. 381p. 
 
3. LEITHOLD, LOUIS. O Cálculo com Geometria Analítica. V.1. São Paulo: Har-
bra, 2000. 
 
4. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. V.1. São Paulo: Ma-
kron Books, 1994. 2º Edição revisada. 
 
Agora é hora de praticar, resolva os exercícios propostos da Aula 3 em MATERIAL COM-
PLEMEMTAR.