MATEMÁTICA 2 - Aula 04 - Análise Combinatória

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Fatorial, Princípio Fundamental da Contagem, 
Permutação, Arranjo Simples, 
Combinação Simples 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Análise Combinatória é um ramo da matemática utilizado 
para resolver problemas de contagem. Descobrir de quantos 
modos podemos realizar uma determinada ação. Em muitos 
casos teremos como resultado números consideravelmente 
grandes, e para isso utilizaremos uma ferramenta chamada 
fatorial. 
 
1. FATORIAL 
Para todo número n natural maior ou igual que dois, 
definiremos o fatorial da seguinte forma: 
𝒏! = 𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟏) ∙ (𝒏 − 𝟐) ∙ … ∙ 𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏, com n IN e n  2. 
 
Exemplos: 
2! = 2.1 
3! = 3 . 2 . 1 = 6 
4! = 4. 3 . 2 . 1 = 24 
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 
6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 
 
Obs1.: 0! = 1 e 1! = 1 
Obs2.: O fatorial de um número pode ser interrompido, 
conforme a conveniência dos cálculos. Vejamos: 
5! = 5 . 4 . 3! ou 5! = 5 . 4! 
10! = 10 . 9! 
n! = n .(n - 1)! ou n! = n.(n - 1).(n-2)! 
 
2. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (P.F.C) 
Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo 
que a primeira pode ser feita de m modos e, para cada um destes, 
a segunda pode ser feita de n modos, então o número de modos 
de realizar a ação é 𝒎 ∙ 𝒏. 
 
Exemplo: Para irmos da cidade A para a cidade B temos três 
opções de trajetos de ônibus. Para irmos da cidade B para a 
cidade C podemos utilizar dois transportes distintos (ônibus ou 
metrô). Então, pelo princípio fundamenta da contagem, se 
sairmos da cidade A e chegando na cidade C passando por B, 
teremos seis opções distintas de trajetos. 
 
2.1. Árvore de Possibilidades 
É o mecanismo utilizado para 
facilitar a resolução de problemas de 
contagem. 
Exemplo: 
Ana deseja se vestir para ir à um 
restaurante de comida japonesa. 
Olhando seu armário gostou de 
duas calças (C1 e C2) e três blusas 
(B1, B2 e B3). Sendo assim, Ana tem 
as seguintes possibilidades: 
(C1, B1), (C1, B2), (C1, B3), (C2, B1), 
(C2, B2) e (C2, B3), 
Que são no total: 2 ∙ 3 = 6. 
 
 
Exemplos: 
1. Quantos números inteiros, positivos e ímpares, com 3 
algarismos podemos formar? 
 
2. Quantos números inteiros, positivos e ímpares, com 3 
algarismos distintos podemos formar? 
 
3. Quantos números inteiros, positivos e pares, com 3 
algarismos podemos formar? 
 
4. Quantos números inteiros, positivos e pares, com 3 
algarismos distintos podemos formar? 
 
3. PERMUTAÇÃO 
3.1. Permutação Simples 
Permutar é sinônimo de trocar. Intuitivamente, nos 
problemas de contagem, devemos associar a permutação à 
noção de embaralhar, de trocar objetos de posição. 
Indicamos por Pn a permutação de n elementos distintos. 
!nPn = 
 
3.2. Permutação com repetição 
A permutação de n elementos dos quais a é de um tipo, b 
é de outro tipo e assim sucessivamente, de modo que 𝑛 = 𝑎 +
𝑏 + 𝑐 + ⋯, é dada por: 
𝑃𝑛
𝑎,𝑏,𝑐,… =
𝑛!
𝑎! ∙ 𝑏! ∙ 𝑐! ∙ …
 
 
3.3. Anagramas 
São senhas formadas com as letras de uma palavra dada. 
E utilizamos permutação para determinar a quantidade de 
anagramas possíveis. 
Exemplo: EARL é um anagrama da palavra REAL. 
 
Exemplos: 
1. Quantos anagramas tem a palavra ANEL? 
 
2. Quantos anagramas tem a palavra ARARA? 
 
3. Quantos anagramas da palavra PERDÃO existem em que P 
e O são os extremos? 
 
4. Quantos anagramas da palavra TECLADO: 
a) têm as vogais juntas? 
b) não possuem as três vogais juntas? 
 
5. Se colocarmos os anagramas da palavra ESCOLA em ordem 
alfabética, em que posição irá aparecer a palavra ESCOLA? 
 
 
 
 
 
 
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3.4. Permutação circular 
)!1( −= nPn 
Exemplo: De quantos maneiras quatro pessoas podem senta-se 
ao redor de uma mesa? 
 
4. ARRANJO SIMPLES 
Tendo n elementos, vamos estudar os agrupamentos 
ordenados de 1 elemento, de 2 elementos, de 3 elementos, ..., 
de 𝑝 elementos, com 𝑝 ≤ 𝑛. 
)!(
!
pn
n
A pn
−
= , com np 0 e pn,  IN. 
 
Exemplo: 
1. Usando as letras da palavra CONTAGEM, determine: 
a) Quantos anagramas de quatro letras distintas podemos 
formar? 
b) Quantos contêm a letra M? 
 
5. COMBINAÇÃO SIMPLES 
Combinação simples de n elementos tomados p a p 
(𝑝 ≤ 𝑛) são os subconjuntos com exatamente p elementos que 
se podem formar com os n elementos dados. 
Indica-se por: 
)!!.(
!
pnp
n
C pn
−
= com np 0 e pn,  IN. 
 
Exercícios de Fixação 
01. Calcule: 
a) 3! b) 7! 
c) 0! d) 0! + 1! + 2! + 3! + 4! 
e) 4! . 3! 
 
02. Calcule: 
a)
!7
!9
 b)
!3
!0!5 +
 c)
!4
!4!3 +
 
 
03. [UFES] Um "Shopping Center" possui 4 portas de entrada 
para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao 
primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro 
para o segundo pavimento. 
De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo de fora 
do "Shopping Center" pode atingir o segundo pavimento usando 
os acessos mencionados? 
a) 12 b)17 c) 19 
d) 23 e) 60 
 
04. Uma fechadura de segredo possui 4 contadores que podem 
assumir valores de 0 a 9 cada um, de tal sorte que, ao girar os 
contadores, esses números podem ser combinados, para 
formar o segredo e abrir a fechadura. De quantos modos esses 
números podem ser combinados para se tentar encontrar o 
segredo? 
a) 10.000 b) 64.400 c) 83.200 
d) 126 e) 720 
 
05. Quantos anagramas tem a palavra amor? 
 
06. Calcule o número de anagramas das palavras abaixo: 
a) café; b) Vasco; c) Brasil; 
d) Cruzeiro; e) Botafogo; f) arara; 
g) barraca; h) sossegos; i) Araribóia; 
j) Araraquara; k) Mississippi; 
 
07. Considerem-se todos os anagramas da palavra MORENA. 
Quantos deles têm as vogais juntas? 
a) 36 b)72 c) 120 d) 180 e) 144 
 
08. [UFF] Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos 
x anagramas que começam por vogal e y anagramas que 
começam e terminam por consoante. 
Os valores de x e y são, respectivamente: 
a) 48 e 36. c) 72 e 36. e) 72 e 24. 
b) 48 e 72. d) 24 e 36. 
 
09. Quantos anagramas têm a palavra matemática? 
 
Exercícios Complementares 
 
10. [UEL] Para responder a certo questionário, preenche-se o 
cartão apresentado a seguir, colocando-se um "x" em uma só 
resposta para cada questão. 
 
 
 
 
 
 
 
De quantas maneiras distintas pode-se responder a esse 
questionário? 
a) 3 125 b) 25 c) 120 
d) 10 e) 32 
 
11. [UNIRIO] Uma família formada por 3 adultos e 2 crianças 
vai viajar num automóvel de 5 lugares, sendo 2 na frente e 3 
atrás. Sabendo-se que só 2 pessoas podem dirigir e que as 
crianças devem ir atrás e na janela, o número total de maneiras 
diferentes através das quais estas 5 pessoas podem ser 
posicionadas, não permitindo crianças irem no colo de ninguém, 
é igual a: 
a) 120 b) 96 c) 48 
d) 24 e) 8 
 
12. A quantidade de números inteiros, positivos e ímpares, 
formados por três algarismos distintos, escolhidos dentre os 
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a: 
a) 320 b) 360 c) 332 
d) 384 e) 34 
 
13. Um hospital oferece no cardápio 3 saladas distintas, 4 tipos 
de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas 
diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, 
um de bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a 
pessoa poderá fazer seu pedido? 
 
 
 
 
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14. (UFF) O estudo da 
genética estabelece 
que, com as bases 
adenina (A), timina 
(T), citosina (C) e 
guanina (G), podem-
se formar, apenas, 
quatro tipos de pares: 
A-T, T-A, C-G e G-C. 
Certo cientista deseja sintetizar um fragmento de DNA com dez 
desses pares, de modo que: 
- dois pares consecutivos não sejam iguais; 
- um par A-T não seja seguido por um par T-A e vice-versa; 
- um par C-G não seja seguido por um par G-C e vice-versa. 
Sabe-se que dois fragmentos de DNA são idênticos se 
constituídos por pares iguais dispostos na mesma ordem. 
Logo, o número de maneiras distintas que o cientista pode 
formar esse fragmento de DNA é: 
a) 211 b) 220 c) 20 
d) 210 e) 22x10 
 
15. Usando todos os algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4}, 
quantos números inteiros de 4 algarismos podemos escrever? 
 
16.De quantos modos 6 pessoas podem se sentar em cinco 
cadeiras, em fila? 
 
17. Uma família de 5 pessoas tem um carro de 5 lugares. De 
quantos modos podem se acomodar no carro para uma viagem 
se: 
a) só uma das pessoas sabe dirigir? 
b) só duas pessoas saber dirigir? 
c) todas podem dirigir? 
 
18. Se x! (x + 1)! / (x - 1)! x! = 20, então x vale: 
a) -6 b) -5 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
19. [UFF] O produto 20. 18. 16. 14. ... 6. 4. 2 é equivalente a: 
a) 20!/ 2 b) 2. 10! c) 20!/ 210 
d) 20! / 10! e) 210. 10!. 
 
20. [UFRJ] Considere a equação: 
n216
!50
300....24.18.12.6
= 
O valor de n, real, que verifica essa igualdade 
 
21. Os valores de x que verificam a expressão 20
!x
)!2x(
=
+
 
são: 
a) 3 ou -6 b) 6 c) -3 ou 6 
d) 3 e) -3 
 
22. (UFPA) Simplificando 
)!2(
!)!1(
+
++
n
nn
, obtém-se: 
a) 
2n
1
+
 b) 
1n
!n
+
 c) 
)1n)(2n(
1
++
 
d) 
1n
1
+
 e) 
2n
!n
+
 
23. O conjunto solução da equação (x!)2 = 36 é: 
a) {3, -3} b) {6, -6} c) {3, 6} 
d) {6} e) {3} 
 
24. (PUC-RS) A expressão (n - 1)! [(n+1)! - n!] equivale a: 
a) n! b) (n-1)! c) (n+1)! 
d) (n!)2 e) [(n-1)!]2 
 
25. (FDBEF-DF) Sendo 
10
1
)!2n(
!n)1n(
=
+
+
, e tendo em vista que n 
> 0, o valor de n é: 
a) 6 b) 8 c) 10 
d) 12 e) 9 
 
26. (PUC-PR) A soma das raízes da equação (5x - 7)! = 1 vale: 
a) 5 b) 7 c) 12 
d) 3 e) 4 
 
27. (UEL-PR) Se o número natural n é tal que 18
)!2n(
)!1n(2!n
=
−
−+
, então n é um número: 
a) menor que 3 b) divisível por 5 c) divisível por 2 
d) maior que 10 e) múltiplo de 7 
 
28. (CEFET-PR) O valor de n para que )!1n(
1n
!n
+=
+
 é: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
29. (FGV-SP) A expressão 
2
3
])!1K[(
)!K(
−
, é igual a: 
a) K3 b) k3(K - 1)! c) [(K-1)!]2 
d) (K!)2 e) k3[(K-1)!]2 
 
30. (FGV-SP) n2.(n-2)!(1-1/n) vale, para n  2 
a) n! b) (n+1)! c) (n-1)! 
d) (n+1)!(n-1)! e) n.r.a. 
 
31. (CEFET-PR) A expressão fatorada de
)!1n(3)!n3(
)]!1n(3[!n3
+
+
, 
é: 
a) 1 b) 
!n
1n +
 c) 
1n
1n3
+
+
 
d) 3(3n + 2)(3n + 1) e) 
!n
)1n3)(2n3( ++
 
 
32. [UERJ] Numa cidade, os números telefônicos não podem 
começar por zero e têm oito algarismos, dos quais os quatro 
primeiros constituem o prefixo. 
Considere que os quatro últimos dígitos de todas as farmácias 
são 0000 e que o prefixo da farmácia Vivavida é formado pelos 
dígitos 2, 4, 5 e 6, não repetidos e não necessariamente nesta 
ordem. 
O número máximo de tentativas a serem feitas para identificar o 
número telefônico completo dessa farmácia equivale a: 
a) 6 b) 24 c) 64 d) 168 
 
 
 
 
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33. Um mapa é formado por 4 
regiões distintas, conforme indica a 
figura. Sabendo que dispomos de 5 
cores diferentes para pintar o mapa, 
então, de quantas maneiras podemos 
pintá-lo de modo que não haja 
regiões vizinhas com a mesma cor? 
 
34. Num programa transmitido diariamente, uma emissora de 
rádio toca sempre as mesmas 10 músicas, mas nunca na 
mesma ordem. Para esgotar todas as possíveis sequências 
dessas músicas serão necessários aproximadamente: 
a) 100 dias. b) 10 anos c) 1 século. 
d) 10 séculos. e) 100 séculos. 
 
35. Seis pessoas, entre elas João e Pedro, vão ao cinema. 
Existem seis lugares vagos, alinhados e consecutivos. O 
número de maneiras distintas como as seis podem sentar-se 
sem que João e Pedro fiquem juntos é: 
a) 720 b) 600 c) 480 
d) 240 e) 120 
 
36. Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 
6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. Sabendo-se 
que a locomotiva deve ir à frente, e que o vagão restaurante 
não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o 
número de modos diferentes de montar a composição é 
a) 120 b) 230 c) 500 d) 600 
 
37. Um fiscal do Ministério do Trabalho faz uma visita mensal a 
cada uma das cinco empresas de construção civil existentes no 
município. Para evitar que os donos dessas empresas saibam 
quando o fiscal as inspecionará, ele varia a ordem de suas 
visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar 
o calendário de visita mensal a essas empresas? 
a) 180 b) 120 c) 100 
d) 48 e) 24 
 
38. Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, 
os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um 
por dia. Porém, ao elaborar a programação, eles decidem que 
três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser 
exibidos em dias consecutivos. 
Nesse caso, o número de maneiras DIFERENTES de se fazer a 
programação dessa semana é 
a) 144 b) 576 c) 720 d) 1040 
 
39. Quatro amigos, Pedro, Luísa, João e Rita, vão ao cinema, 
sentando-se em lugares consecutivos na mesma fila. O número 
de maneiras que os quatro podem ficar dispostos de forma que 
Pedro e Luísa fiquem sempre juntos e João e Rita fiquem 
sempre juntos é 
a) 2. b) 4. c) 8. 
d) 16. e) 24. 
 
40. Quantos números de 6 algarismos podemos escrever, 
utilizando os algarismos 2, 2, 3, 3 e 4? 
 
41. Quantos anagramas existem da palavra TAPETE? 
 
42. [PUC] Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem 
formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo é a 
primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis 
é: 
a) 10 b) 120 c) 24 
d) 60 e) 30 
 
43. Quantos são os anagramas da palavra ARAPONGA? 
 
44. [FAAP - SP] Uma companhia de móveis tem dez desenhos 
para mesas e 4 desenhos pra cadeiras. Quantos pares de 
desenhos de mesa e cadeira a companhia pode formar? 
 
45. A figura a seguir 
representa parte do mapa 
de uma cidade onde estão 
assinalados as casas de 
João(A), de Maria(B), a 
escola(C) e um possível 
caminho que João percorre 
para, passando pela casa 
de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos 
distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para 
o Norte ou Leste, para ir de sua casa à escola, passando pela 
casa de Maria? 
 
46.[CESGRANRIO] Durante a Copa do Mundo, que foi 
disputada por 24 países, as tampinhas de Coca-Cola traziam 
palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros 
lugares (por exemplo: 1° lugar, Brasil; 2° lugar, Nigéria; 3° 
lugar, Holanda). 
Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas 
tampinhas diferentes poderiam existir? 
a) 69 b) 2024 c) 9562 d) 12144 e) 13824 
 
47.[FGV] Uma pessoa vai retirar dinheiro num caixa eletrônico 
de um banco mas, na hora de digitar a senha, esquece-se do 
número. Ela lembra que o número tem 5 algarismos, começa 
com 6, não tem algarismos repetidos e tem o algarismo 7 em 
alguma posição. O número máximo de tentativas para acertar a 
senha é: 
a) 1680. b) 1344 c) 720 
d) 224 e) 136 
 
48. O conselho administrativo de um sindicato é constituído por 
doze pessoas, das quais uma é o presidente deste conselho. A 
diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos 
por membros do conselho, sendo que o presidente da diretoria 
e do conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas 
maneiras diferentes esta diretoria poderá ser formada? 
a) 40 b) 7920 c) 10890 
d) 11! e) 12!. 
 
49. As finalista do concurso Miss Universo, são Miss Brasil, 
Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss França. De 
quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, o 
segundo e terceiro lugar neste concurso ? 
a) 60 b) 45 c) 125 
d) 81 e) 120 
 
 
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50. (PUC-SP) A quantidade de números de quatro algarismos 
distintos que, podem se pode formar com os algarismos 1, 2, 4, 
7, 8 e 9 é: 
a) 300 b) 340 c) 360 
d) 380 e) 400 
 
51. A quantidades de números impares de 4 algarismos 
distintos, que se podem formar com os algarismos 1, 2, 4, 7, 8 e 
9 é : 
a) 150 b) 360 c) 170 
d) 200 e) 180 
 
52. (PUC-SP) Numa sala há 5 lugares e 7 pessoas. De quantos 
modos diferentes essas [pessoas podem ser colocadas, ficando 
5 sentadas e 2 em pé ? 
a) 5040 b) 21 c) 120 
d) 2520 e) 125 
 
53. (UEL-PR) Num pequeno pais, as chapas dos automóveis 
tem duas letras distintas seguidas de 3 algarismos sem 
repetição. Considerando-seo alfabeto com 26 letras, o número 
de chapas possíveis de se firmar é: 
a) 1370 b) 39 000 c) 468 000 
d) 676 000 e) 3 276 000 
 
54. (PUC-PR) O número de placas de veículos que poderão ser 
fabricadas utilizando-se das 26 letras do alfabeto latino e dos 10 
algarismos arábicos, cada placa contendo três letras e quatro 
algarismos, não podendo haver repetição de letras e algarismos 
é: 
a) 67 600 000 b) 78 624 000 
c) 15 765 700 d) 1 757 600 
e) 5 760 000 
 
55. (PUC-SP) A placa de um automóvel é formada por duas 
letras seguidas de 4 algarismos. Com letras A e R e aos 
algarismos impares, quantas placas diferentes podem ser 
constituídas, de modo que a placa não tenha nenhum algarismo 
repetido, e nenhuma letra repetida : 
a) 480 b) 360 c) 120 
d) 240 e) 200 
 
56. (UF-CE) A quantidade de números inteiros compreendidos 
entre 30 000 e 65 000 que podemos formar utilizando-se 
somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7 de modo que não fiquem 
algarismos repetidos é: 
a) 48 b) 66 c) 96 
d) 120 e) 72 
 
57. (CEFET-PR) A quantidade de números formados por 4 
algarismos distintos, escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 que 
contem 1 e 2 e não contem o 7, é: 
a) 284 b) 422 c) 144 
d) 120 e) 620 
 
58. [UNITAU] O número de maneiras que se pode escolher 
uma comissão de três elementos num conjunto de dez pessoas 
é: 
a) 120 b) 210 c) 102 d) 220 e) 110 
 
59. [MACK] Num grupo de 10 pessoas temos somente 2 
homens. O número de comissões de 5 pessoas que podemos 
formar com 1 homem e 4 mulheres é: 
a) 70 b) 84 c) 140 
d) 210 e) 252. 
 
60. [UFRJ] Um campeonato de futebol foi disputado por 10 
equipes em um único turno, de modo que cada time enfrentou 
cada um dos outros apenas uma vez. 
O vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não 
ganha ponto algum; em caso de empate, cada equipe ganha 1 
ponto. 
Ao final do campeonato, tivemos a seguinte pontuação: 
Equipe 1 - 20 pontos Equipe 6 - 17 pontos 
Equipe 2 - 10 pontos Equipe 7 - 9 pontos 
Equipe 3 - 14 pontos Equipe 8 - 13 pontos 
Equipe 4 - 9 pontos Equipe 9 - 4 pontos 
Equipe 5 - 12 pontos Equipe 10 - 10 pontos 
Determine quantos jogos desse campeonato terminaram 
empatados 
 
61.[UFRJ] Uma estante de biblioteca tem 16 livros: 11 
exemplares do livro "Combinatória é fácil" e 5 exemplares de 
"Combinatória não é difícil". 
Considere que os livros com mesmo título sejam indistinguíveis. 
Determine de quantas maneiras diferentes podemos dispor os 
16 livros na estante de modo que dois exemplares de 
Combinatória não é difícil nunca estejam juntos. 
 
62.[PUC-02] O campeonato brasileiro tem, em sua primeira 
fase, 28 times que jogam todos entre si. Nesta primeira etapa, o 
número de jogos é de: 
a) 376 b) 378 c) 380 
d) 388 e) 396. 
 
63.[UFF] Niterói é uma excelente opção para quem gosta de 
fazer turismo ecológico. Segundo dados da prefeitura, a cidade 
possui oito pontos turísticos dessa natureza. 
 Um certo hotel da região oferece de brinde a cada hóspede a 
possibilidade de escolher três dos oito pontos turísticos 
ecológicos para visitar durante a sua estada. O número de 
modos diferentes com que um hóspede pode escolher, 
aleatoriamente, três destes locais, independentemente da 
ordem escolhida, é: 
a) 8 b) 24 c) 56 
d) 112 e) 336 
 
64. [PUC] Um professor propôs, para uma de suas turmas, uma 
prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria escolher 
exatamente 5 questões para responder. Sabe-se que 
não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos 
os alunos da turma. Logo, o número máximo de alunos que 
essa turma poderia possuir era: 
a) 17 b) 19 c) 21 
d) 25 e) 22 
 
 
 
 
 
 
70 
 
65. [UFRJ] Em todos os 53 finais de semanas do ano 
2.000,Júlia irá convidar duas de suas amigas para sua casa em 
Teresópolis, sendo que nunca o mesmo par de amigas se 
repetirá durante o ano. 
a) Determine o maior número possível de amigas que Júlia 
poderá convidar. 
b) Determine o menor número possível de amigas que ela 
poderá convidar. 
 
66. [CEFET-PR] Qual é o valor de n para que 
6
n
C
C
4
2n
6
n =
−
? 
a) 4 b) 1 c) 6 
d) 2 e) 8 
 
67. [CESCEA-SP] De quantas maneiras distintas um grupo de 
10 pessoas pode ser dividido em 3 grupos, de 5, 3 e 2 pessoas? 
a) 2340 b) 2480 c) 3640 
d) 2520 e) 3200 
 
68. [CEFET-PR] De Uma comissão técnica formada por 
engenheiros e economistas, deve Ter 5 elementos, dos quais 
0elo menos 2 devem ser engenheiros. Se são disponíveis 4 
engenheiros e 5 economistas, o número possível de comissões 
distintas é: 
a) 18 b) 23 c) 35 
d) 105 e) 240 
 
69. [UFSM-RS] Uma enfermidade que tem sete sintomas 
conhecido é detectada pelo médico, se o paciente apresentar 4 
ou mais desses sintomas. Para que seja feito um diagnóstico 
seguro, o número de combinações possíveis de sintomas 
diferentes é: 
a) 1 b) 7 c) 21 
d) 35 e) 64 
 
70. O número de triângulos determinados por 7 pontos distintos, 
4 sobre uma reta e 3 sobre uma paralela á primeira, é: 
a) 60 b) 30 c) 20 
d) 10 e) 5 
 
71. [UERJ] Uma rede é formada de triângulos equiláteros 
congruentes, conforme a representação abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os 
lados dos triângulos, percorrendo X caminhos distintos, cujos 
comprimentos totais são todos iguais a d. 
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os 
comprimentos desses caminhos, X equivale a: 
A) 20 B) 15 C) 12 D) 10 
72. [OBM] Qual é o algarismo das unidades do número 
N = 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 2018! ? 
 
GABARITO 
 
Fixação 
01. a) 6 b) 5040 c) 1 d) 34 
 e) 144 
02. a) 72 b) 121 6⁄ c) 
5
4⁄ 
03. e) 04. a) 05. 24 
06. a) 24 b) 120 c) 720 d) 40320 
 e) 6720 f) 10 g) 840 h) 840 
 i) 15120 j) 5040 k) 34650 
07. e) 08. a) 09. 151200 
 
Complementares 
10. e) 11. e) 12. a) 13. 180 
14. a) 15. 256 16. 720 
17. a) 24 b) 48 c) 120 
18. c) 19. e) 20. 50 3⁄ 21. d) 
22. d) 23. e) 24. d) 25. b) 
26. d) 27. c) 28. a) 29. b) 
30. a) 31. d) 32. b) 33. 240 
34. e) 35. c) 36. d) 37. b) 
38. d) 39. c) 40. 30 41. 180 
42. e) 43. 6720 44. 40 45. 150 
46. d) 47. b) 48. c) 49. a) 
50. c) 51. e) 52. d) 53. c) 
54. b) 55. d) 56. e) 57. c) 
58. a) 59. c) 60. 17 61. 792 
62. b) 63. c) 64. c) 
65. a) 106 b) 11 
66. c) 67. d) 68. d) 69. e) 
70. b) 71. b) 72. 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	Obs1.: 0! = 1 e 1! = 1
	Exemplos:
	3.1. Permutação Simples
	3.2. Permutação com repetição
	4. ARRANJO SIMPLES
	5. COMBINAÇÃO SIMPLES
	58. [UNITAU] O número de maneiras que se pode escolher uma comissão de três elementos num conjunto de dez pessoas é:
	58. [UNITAU] O número de maneiras que se pode escolher uma comissão de três elementos num conjunto de dez pessoas é:
	a) 120 b) 210 c) 102 d) 220 e) 110