Introdução à Lógica

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V I N Í C I U S M E L L O
I N T R O D U Ç Ã O À L Ó G I C A
I N S T I T U T O D E M AT E M ÁT I C A D A U FA L / U A B
Copyright © 2010 Universidade Aberta do Brasil/MEC
editado pelo instituto de matemática da ufal/uab
Conteúdo
Proposições 7
Argumentos 15
Implicação 29
Lógica Símbolica 43
Teoria dos Conjuntos 59
Índice 73
Introdução
Lógica é o começo da sabedoria, não o fim.
Doutor Spock
A lógica te levará de A para B, a imaginação te levará a qualquer lugar.
Albert Einstein
A Lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distin-
guir os raciocínios corretos dos incorretos. A Lógica não nos ensina a
pensar, essa é uma habilidade que todos os seres humanos adquirem,
se devidamente estimulados. A Lógica também não está preocupada
com a maneira como nós raciocinamos, essa é uma preocupação da
Psicologia. Assim, a Lógica é basicamente uma ferramenta impor-
tante para guiar nosso raciocínio, na medida em que ela nos ajuda a
separar os bons argumentos dos argumentos falhos.
O objetivo desta disciplina é dar uma breve introdução aos princi-
pais conceitos da Lógica, com ênfase em certos tópicos mais impor-
tantes para um curso de Licenciatura em Matemática. O material está
dividido em cinco capítulos. No primeiro capítulo, vamos estudar
o conceito de proposição, que é o conceito mais básico da Lógica.
Vamos aprender a distinguir proposições de não proposições, a re-
conhecer os tipos de proposições categóricas e a negar proposições
categóricas. No segundo capítulo, vamos estudar como as proposições
se encadeiam para formar argumentos. Vamos aprender a separar a
forma e o conteúdo de um argumento e a reconhecer quando um
argumento é válido ou inválido, principalmente no caso dos silo-
gismos. O terceiro capítulo é dedicado ao importante conceito de
implicação. Vamos aprender a formar a recíproca e a contrapositiva
de proposições condicionais. No capítulo quatro, vamos estudar a
Lógica Simbólica, ou seja, como as proposições podem ser reescritas
com predicados e conectivos lógicos, de modo a torná-las livres das
ambiguidades das línguas naturais. Finalmente, estudaremos no
quinto capítulo os principais conceitos da Teoria dos Conjuntos.
Vamos aprender as principais operações entre conjuntos e a como
demonstrar algumas de suas propriedades usando diagramas de
Venn.
http://www.entertonement.com/clips/kcwrdxbqcy--Logic-is-the-beginning-of-wisdom-Valeris-Not-the-endLeonard-Nimoy-Star-Trek-VI-The-Undiscovered-Country-Captain-Spock-
http://pt.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein
6
Parte deste texto foi inspirada em materiais de licença pública
disponíveis na internet, particularmente o material da disciplina In-
troduction to Logic do curso de filosofia da Universidade de Lander e
alguns verbetes da Internet Encyclopedia of Philosophy. Procuramos
também tornar o texto o mais interativo possível, com muitos exer-
cícios respondidos e testes rápidos que podem ser preenchidos no
próprio leitor de arquivos PDF.
Figura 1: Nas universidades medievais,
a Lógica era um dos primeiros assuntos
a ser estudados, formando com a
Gramática e a Retórica o trivium.
http://philosophy.lander.edu/logic/index.html
http://philosophy.lander.edu/logic/index.html
http://www.iep.utm.edu/
Proposições
O estudo da Lógica começa pelo estudo da linguagem que us-
amos para nos comunicar. Nós usamos a linguagem para vários
propósitos: informar fatos (“são 12 horas”, “ Todos os homens são
mortais”), expressar sentimentos (“hoje não estou bem”, “eu te
amo!”), dar ordens ou fazer pedidos (“desça daí!”, “cante, por fa-
vor”), obter informações (“Como você se chama?”, “Quanto é sete
vezes nove?”) etc. Mas no estudo da Lógica estamos interessados
principalmente em enunciados do primeiro tipo listado acima, aque-
les que se referem a algum fato.
Dizemos que uma proposição é um enunciado que se refere
a um fato que é ou verdadeiro ou falso. Assim, essa definição ex-
clui frases interrogativas como “Você gosta de Matemática?”, pois
a pergunta em si não é verdadeira nem falsa. Mas a resposta a essa
pergunta, seja ela “Eu gosto de Matemática” ou “Eu não gosto de
Matemática”, é verdadeira ou é falsa . Frases imperativas normal- Esperamos que verdadeira no primeiro
caso e falsa no segundo ,mente também não são proposições. Não faz sentido dizer que uma
ordem como “Me dê seu boné” é verdadeira ou falsa. Por outro lado,
se alguém diz “Você vai me obedecer”, isso só pode ser verdadeiro
ou falso.
Devemos distinguir questões de fato de questões de opinião. O enunci-
ado “Guaraná é melhor que suco de uva” é uma questão de opinião,
algumas pessoas podem achar que isso é verdade, enquanto outras
podem não concordar. O problema aqui é uma certa ambiguidade no
enunciado. Se colocássemos as expressões “Todos acham que”, “Eu
acho que” ou “Alguém acha que” antes de “guaraná é melhor que
suco de uva”, aí sim transformaríamos uma questão de opinião em
uma questão de fato, que pode ou não ser verdadeiro, sendo assim
uma proposição.
Note ainda que não precisamos saber decidir se a proposição é
verdadeira ou falsa, basta que ela admita apenas uma dessas duas
possibilidades. Por exemplo, a sentença “Todo número par maior que
dois é a soma de dois números primos” é claramente uma proposição
pois ou ela é verdadeira ou falsa. Mas, no presente momento, nós
8 introdução à lógica
não sabemos se ela é verdadeira ou falsa, pois ninguém conseguiu
mostrar que ela de fato vale para todo número par maior que dois,
nem ninguém encontrou um número par que não possa ser escrito
como a soma de dois primos. Uma proposição cuja verdade ou fal-
sidade é desconhecida é chamada conjectura. A conjectura que
acabamos de expor neste parágrafo é a famosa conjectura de
Goldbach.
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 7 + 3
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11
...
Podemos tornar a definição de proposição mais precisa recor-
rendo ao Princípio da Não Contradição e ao Princípio do
Terceiro Excluído. O princípio da não contradição diz que uma
proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Já
o princípio do terceiro excluído diz que uma proposição ou é ver-
dadeira ou é falsa, não há uma terceira possibilidade. Esses princí-
pios podem parecer autoevidentes, mas existem várias sutilezas em
questão. É possível, por exemplo, desenvolver uma lógica em que al-
gumas proposições podem ser verdadeiras e falsas ao mesmo tempo
(a chamada Lógica Paraconsistente), ou em que o fato de uma
proposição não ser falsa não garante que ela seja verdadeira (a Lóg-
ica Intuicionista), ou ainda em que as proposições possuam uma
certa porcentagem de veracidade entre 0 e 100% (a Lógica Difusa).
Em nosso curso, estudaremos a Lógica Clássica, na qual os princí-
pios da não contradição e do terceiro excluído são válidos.
Teste Rápido Determine a natureza dos seguintes enunciados: Clique no círculo azul para iniciar o
teste e no quadrado azul para finalizar.
1. A maior parte da matéria do universo é invisível.
(a) É uma proposição (b) Não é uma proposição
2. Ligue o amplificador e o coloque no volume máximo.
(a) É uma proposição (b) Não é uma proposição
3. O mal de Alzheimer é a quarta maior causa de morte na Inglaterra.
(a) É uma proposição (b) Não é uma proposição
4. O que é tão belo quanto um dia de sol?
(a) É uma proposição (b) Não é uma proposição
5. Sexta-feita é o melhor dia da semana!
(a) É uma proposição (b) Não é uma proposição
6. Plutão não é um planeta.
(a) É uma proposição (b) Não é uma proposição
�
Às vezes é difícil determinar se um certo enunciado é uma proposição.
Considere o enunciado “Este enunciado é falso”. Se admitirmos que
ele é verdadeiro, então ele é falso, pois é isso o que ele afirma. Por
outro lado, se admitirmos que ele é falso, então o que ele está enun-
proposições 9
ciando é verdade. Esse é o chamado Paradoxo do Mentiroso
(figura 2). O problema aqui é que o enunciado faz referência a si
mesmo, gerando um raciocínio circular.
Figura 2: O nariz do Pinóquio sempre
cresce quando ele mente (e apenas
quando ele mente). No caso acima,o
nariz dele irá crescer?
Exercício 1. Paradoxo do Barbeiro — Em uma pequena cidade,
existe um único barbeiro. Os habitantes andam sempre barbeados.
Alguns deles se barbeiam, enquanto os demais são barbeados pelo
barbeiro. Ou seja, o barbeiro barbeia todos os habitantes da cidade
que não se barbeiam. Sendo assim, a proposição “O barbeiro se bar-
beia” é verdadeira ou falsa?
Proposições Categóricas
Qualquer proposição que expresse uma relação de inclusão ou
exclusão, completa ou parcial, entre duas classes é chamada de
proposição categórica. Entendemos por classe uma coleção
de todos os objetos que possuem alguma característica específica em
comum. Assim, se considerarmos a classes dos objetos em forma de
bola (“bolas”) e os objetos de cor azul (“azuis”) obtemos quatro tipos
de proposições categóricas:
Tipo Relação Exemplo
Universal Afirmativa Inclusão total Toda bola é azul
Universal Negativa Exclusão total Nenhuma bola é azul
Particular Afirmativa Inclusão parcial Alguma bola é azul
Particular Negativa Exclusão parcial Alguma bola não é azul
Teste Rápido Classifique as proposições abaixo em Universal
Afirmativa (UA), Universal Negativa (UN), Particular Afirmativa
(PA) ou Particular Negativa (PN):
1. Todos os filósofos são preguiçosos.
(a) UA (b) UN (c) PA (d) PN
2. Alguns passáros não voam.
(a) UA (b) UN (c) PA (d) PN
3. Alguns matemáticos são ricos.
(a) UA (b) UN (c) PA (d) PN
4. Nenhum gato é verde.
(a) UA (b) UN (c) PA (d) PN
5. Alguns policiais não são honestos.
(a) UA (b) UN (c) PA (d) PN
�
10 introdução à lógica
A classificação de proposições em universais/particulares afirma-
tivas/negativas é útil pois podemos chegar a conclusões gerais sobre
certos tipos de enunciados. Por exemplo, considere as proposições
“todo brasileiro é honesto” e “algum brasileiro não é honesto”.
Se é falso que todo brasileiro é honesto, então isso só acontece
porque existe ao menos um brasileiro que não é honesto, ou seja,
a segunda proposição é verdadeira. Por outro lado, se é verdade
que todo brasileiro é honesto, então não existem brasileiros deson-
estos, e a segunda proposição é falsa. Em resumo, a veracidade de
uma proposição implica necessariamente na falsidade da outra e
vice-versa. Dizemos nesse caso que elas são proposições contra-
ditórias ou, de outra forma, que uma é a negação da outra.
De modo geral, proposições universais afirmativas da forma “Todo
S é P” e proposições particulares negativas da forma “Algum S não é
P” são sempre contraditórias. Da mesma forma, proposições univer-
sais negativas da forma “Nenhum S é P” e proposições particulares
afirmativas da forma “Algum S é P” são contraditórias, pense por
exemplo nas proposições “Nenhuma vaca é rosa” e “Alguma vaca é
rosa” (fig. 3).
Todo S é P
Nenhum
S é P
Algum
S é P
Algum S
não é P
Figura 3: Proposições contraditórias. S
é de “sujeito” e P de “predicado”.
Exercício 2. Encontre a negação de cada uma das proposições
categóricas abaixo:
(a) Todo marinheiro é casado.
(b) Nenhum chinês é comilão.
(c) Algum americano é negro.
(d) Algum mamífero não sobe em árvores.
Proposições universais e particulares diferem na maneira como
nós verificamos sua veracidade. Por exemplo, para mostrar que a
proposição particular “algum argentino é cabeludo” é verdadeira,
bastaria encontrar um argentino de cabelos compridos. Este sujeito
seria o exemplo que mostra que a proposição é verdadeira. Mas
para mostrar que a proposição universal “todos os brasileiros são
bons de bola” é verdade, não basta mostrar exemplos de bons jo-
gadores de futebol que são brasileiros (Pelé, Garrincha, Ronaldo etc.),
devemos mostrar que isso vale de fato para cada um dos brasileiros.
Por outro lado, para mostrar que “todos os brasileiros são bons de
bola” é falsa, bastaria encontrar um brasileiro que fosse “perna-de-
pau”. Este sujeito seria um contraexemplo da proposição, ou
seja, um contraexemplo para uma proposição universal “Todo S é
P” é um objeto X que é S mas não é P. Já um contraexemplo para
a proposição universal “Nenhum S é P” é um objeto X que está na
classe S e também na classe P.
proposições 11
Exercício 3. Encontre um contraexemplo apropriado para cada uma
das seguintes proposições categóricas universais:
(a) Nenhum time de futebol do Brasil é tricolor.
(b) Todos os números primos são ímpares.
(c) Todos os quadriláteros são retângulos.
(d) Nenhum presidente brasileiro nasceu em Alagoas.
Diagramas de Venn para Proposições Categóricas
O lógico inglês John Venn (fig. 4) desenvolveu um dispositivo muito
útil para a visualização das relações entre classes de objetos chama-
dos Diagramas de Venn. Nós vamos utilizar bastante os diagra-
mas de Venn durante o curso. Para começar, vejamos como eles po-
dem ser usados para representar as proposições categóricas.
Figura 4: John Venn
Para representar as relações entre duas classes (por exemplo, as
classe S dos socialistas e a classe P dos pacifistas) consideramos dois
círculos que se intersectam e estão delimitados por um retângulo,
como na figura 5. Os dois círculos determinam 4 regiões no retân-
gulo, cada uma representando uma certa relação entre as classes. A
região 1 representa todos os objetos de S que não são objetos de P
(“socialistas não pacifistas”); a região 2, os objetos comuns as classes
S e P (“socialistas pacifistas”); a região 3, os objetos de P que não
são objetos de S (“pacifistas que não são socialistas”); finalmente, a
região 4 representa os objetos que não pertencem nem a classe S nem
a classe P (“nem socialistas, nem pacifistas”).
1 2 3
4
S P
Figura 5: Relação entre as classes S e P
Para representar graficamente as proposições categóricas, vamos
adotar as seguintes convenções: uma região branca significa que não
sabemos se existem ou não existem objetos lá. Uma região hachurada
significa que não existem objetos. E um X em uma região significa
que existe ao menos um objeto
S P
(a) Todo S é P
S P
(b) Nenhum S é P
Figura 6: Proposições universais repre-
sentadas em diagramas de Venn.
Por exemplo, na figura 6(a) a região 1 está hachurada e portanto
não existe nenhum objeto na classe S que não esteja em P, ou seja,
todo objeto de S está em P. Na figura 6(b), a região comum às classes
http://pt.wikipedia.org/wiki/John_Venn
12 introdução à lógica
S e P está hachurada, o que significa que não existem objetos da
classe S na classe P e portanto nenhum S é P. Note que podemos
interpretar também que nenhum P é S.
X
S P
(a) Algum S é P
X
S P
(b) Algum S não é P
Figura 7: Proposições particulares
representadas em diagramas de Venn.
Já na figura acima, representamos as proposições particulares. O
X na região 2 indica que existe ao menos um objeto da classe S que
está também na classe P (fig. 7(a)). Na figura 7(b), colocamos o o X
na região 1, denotando que existe algum objeto em S que não está em
P.
As várias relações entre os tipos de proposições podem ser facil-
mente visualizadas nos diagramas de Venn. Comparando as figuras
6(a) e 7(b), vemos que a região hachurada em uma contém um X na
outra. O mesmo se aplica as figuras 6(b) e 7(a). Isso é apenas a repre-
sentação gráfica do fato dessas proposições serem contraditórias.
Exercício 4. Represente graficamente as proposições categóricas
abaixo usando diagramas de Venn:
(a) Nenhum samba é música sertaneja.
(b) Alguns músicos não são pianistas.
(c) Alguns veículos não são automóveis.
(d) Alguns presidentes foram competentes.
(e) Todos os vírus são patogênicos.
proposições 13
Exercício 5. Determine a proposição que está representada em cada
um dos diagramas de Venn abaixo:
(a)
X
Mamíferos Carnívoros
(b)
Jovens Impetuosos
(c)
X
Jogadores Viciados
(d)
Quadrados Triângulos
(e)
X
Computadores Objetos portáteis
Argumentos
Proposições raramente importam quando isoladas umas das out-
ras. Um argumento é uma série de proposições encadeadas, al-
gumas das quais, as premissas, têm o objetivo de dar suporte, jus-
tificação ou evidência para a verdade de outra proposição, a con-
clusão. Considereo seguinte exemplo:
A pena de morte deveria ser adotada somente se ela intimidasse os
assassinos. Entretanto, isso aconteceria apenas se os assassinos enten-
dessem a consequência dos seus atos antes de agirem. Como isso não é
assim, a pena de morte não deve ser adotada.
A conclusão desse argumento é a proposição “a pena de morte
não deve ser adotada”. As outras proposições são as premissas. São
elas que oferecem as razões ou justificativas para a conclusão.
Como argumentos são tentativas de se prover evidência ou su-
porte a certas afirmações, elas frequentemente contém palavras como
“portanto”, “assim”, “logo”, “consequentemente” ou “então” antes
de suas conclusões. De modo semelhante, palavras ou expressões
como “porque”, “na medida em que”, “desde que” ou “como” acom-
panham as premissas de um argumento. Tais palavras “indicadoras”
auxiliam na tarefa de identificar as premissas e a conclusão de um
argumento. Além disso, as conclusões normalmente aparecem no fim
de um argumento. Mas nem sempre é assim, às vezes a conclusão
pode aparecer no começo ou no meio de um argumento:
A vereadora Vera é a pessoa indicada para o cargo. Isso é porque ela possui
a maior experiência legislativa entre todos os candidatos e porque ela
não irá colocar os interesses privados acima dos interesses públicos.
Calisto orbita Júpiter. Logo, ele não é um planeta, pois apenas corpos
que orbitam estrelas podem ser planetas.
Nos exemplos acima, as conclusões são as proposições em itálico.
Mas, quando queremos nos concentrar na essência de um argumento,
podemos reorganizá-lo de modo a eliminar as palavras indicadoras
e a colocar a conclusão no fim. Por exemplo, o primeiro argumento
acima ficaria assim:
16 introdução à lógica
(1) A pena de morte deveria ser adotada somente se
intimidasse os assassinos.
(2) A pena de morte intimidaria os assassinos somente se
eles entendessem as consequências de seus atos.
(3) Os assassinos não entendem a consequência de seus atos.
(4) A pena de morte não deve ser adotada.
As proposições 1, 2 e 3 são as premissas e a proposição 4 é a con-
clusão. Por convenção, quando queremos detalhar um argumento,
atribuimos um número ou rótulo a cada proposição e separamos as
premissas da conclusão por uma linha que funciona como a con-
junção “portanto”.
Exercício 6. Reescreva os argumentos abaixo, separando as premis-
sas da conclusão como no exemplo acima:
(a) “A vereadora Vera é a pessoa indicada para o cargo. Isso é porque
ela possui a maior experiência legislativa entre todos os can-
didatos e porque ela não irá colocar os interesses privados acima
dos interesses públicos.”
(b) “Calisto orbita Júpiter. Logo, ele não é um planeta, pois apenas
corpos que orbitam estrelas podem ser planetas.”
(c) “João não dormiu bem ontem à noite. Ele está com grandes ol-
heiras e parece cansado.”
(d) “Uma vez que a solução ficou vermelha quando o reagente foi
adicionado, ela era ácida, já que soluções ácidas reagem a este
reagente ficando vermelhas.”
Forma X Conteúdo
No estudo da Lógica, estamos mais interessados na forma dos argu-
mentos do que no seu conteúdo. Considere o seguinte exemplo:
(1) Pedro foi morto a tiros em seu apartamento.
(2) Pelas imagens da câmera de segurança, apenas
Antônio teve contato com Pedro na noite do crime.
(3) Um exame de resíduos detectou a presença de
pólvora nas mãos de Antônio.
(4) Antônio matou Pedro.
O argumento acima pode ser reescrito essencialmente na forma
(1) P foi deixado no estado E através do meio M.
(2) Apenas A esteve em contato com P.
(3) A utilizou o meio M.
(4) A deixou P no estado E.
argumentos 17
onde os símbolos A, E, M e P são interpretados como “Antônio”,
“morto”, “arma de fogo” e “Pedro”, respectivamente.
Já o argumento
(1) A vidraça que dá para o pátio foi quebrada
por uma bola.
(2) Apenas Joãozinho estava no pátio.
(3) Joãozinho estava brincando com a bola.
(4) Joãozinho quebrou a vidraça do pátio.
se encaixa no mesmo modelo do primeiro, apenas mudamos a in-
terpretação dos símbolos para A = “Joãozinho”, E = “quebrada”,
M =“Bola” e P = “a vidraça do pátio”. A grande vantagem de se
trabalhar com modelos de argumentos é que tudo que descobrirmos
sobre um modelo se aplica a todos os argumentos que se encaixam
nele.
Argumentos Dedutivos e Indutivos
Um argumento dedutivo é um argumento no qual acredita-se
que as premissas fornecem uma garantia da verdade da conclusão.
Em um argumento dedutivo, a intenção das premissas é fornecer um
suporte tão grande a conclusão que é impossível a conclusão ser falsa
se as premissas forem verdadeiras.
Já em um argumento indutivo, acredita-se que as premissas
fornecem uma garantia da provável verdade da conclusão. Em um
argumento indutivo, a intenção das premissas é fornecer um suporte
suficiente a conclusão, de modo que é improvável que a conclusão
seja falsa, no caso das premissas serem verdadeiras.
A diferença entre os dois tipos de argumento vem do tipo de re-
lação que o autor ou expositor do argumento considera haver entre
as premissas e a conclusão. Se o autor do argumento considera que
a verdade das premissas estabelece definitivamente a verdade da
conclusão, devido à definição dos termos, a vinculação matemática
ou a necessidade lógica, então o argumento é dedutivo. Se o autor
do argumento não acha que a verdade das premissas estabelece a
verdade da conclusão em definitivo, mas mesmo assim acredita que a
sua verdade fornece uma boa razão para acreditar que a conclusão é
verdadeira, então o argumento é indutivo.
18 introdução à lógica
Os seguintes argumentos são exemplos de argumentos dedutivos:
(1) Há 32 livros na prateleira superior da estante,
e 12 na prateleira inferior.
(2) Não há livros em qualquer outro
lugar na minha estante.
(3) Há 44 livros na estante.
(1) Bergen é uma cidade da Noruega ou da Suécia.
(2) Noruega e Suécia são países da Escandinávia.
(3) Bergen é uma cidade da Escandinávia.
No primeiro caso, a conclusão segue das premissas por causa
de uma relação matemática óbvia (se uma urna está dividida em
exatamente dois compartimentos separados, um contendo x objetos
e outro contendo y, a urna contém x + y objetos). Já no segundo
caso, a conclusão segue das premissas em virtude das definições dos
termos, uma vez que a Escandinávia é a região do norte da Europa
que abrange Suécia, Dinamarca e Noruega.
Por outro lado, argumentos indutivos podem apelar para quais-
quer considerações que possam aumentar a probabilidade da ver-
dade da conclusão. Assim, argumentos indutivos podem tomar as
mais variadas formas, incluindo uso de estatísticas, generalizações de
experiências passadas, analogias, apelo a evidências, uso de opiniões
de especialistas, testemunhas ou autoridades etc.
Os argumentos da seção anterior ( “Antônio matou Pedro” e
“Joãozinho quebrou a vidraça do pátio”) são exemplos de argu-
mentos indutivos. Eles são altamente prováveis, se assumirmos que
as premissas são verdadeiras. Mas em ambos os casos, não pode-
mos garantir com certeza absoluta. Uma bola chutada de longe
pelo vizinho pode ter quebrado a vidraça ou o assassino de Pedro
pode ter editado as fitas das câmeras de segurança. O fato de haver
pólvora nas mãos de Antônio não prova nada por si só, ele podia
estar treinando tiro. Da mesma forma, Joãozinho brincar com a bola
não quer dizer que ele quebrou a vidraça. Mas quando reunimos to-
das as premissas, a probabilidade da conclusão aumenta. Essa é uma
característica dos argumentos indutivos: sempre é possível aumentar
a probabilidade da conclusão com auxílio de novas premissas. Se adi-
cionássemos a premissa “A testemunha T viu A alterar o estado de
P”, os argumentos ganhariam ainda mais força.
Argumentos indutivos são muito comuns nas ciências e no uso
cotidiano. Também em Matemática o processo de raciocínio indu-
tivo exerce um papel importante na formulação de conjecturas e na
resolução de problemas. Mas ao contrário de outras ciências, onde
normalmente sequer é possível afirmar que algo é verdade com 100%
argumentos 19
de certeza, na Matemáticao objetivo é exatamente chegar a certeza
absoluta das proposições, e portanto a exposição de qualquer teoria
matemática consiste basicamente no encadeamento de vários argu-
mentos dedutivos. Por isso vamos nos ater neste curso a parte da
Lógica que estuda os argumentos dedutivos, a chamada Lógica
Dedutiva.
Exercício 7. Decida se os argumentos seguintes são dedutivos ou
indutivos:
(a) “Através da história, as pessoas repetem os mesmos erros, por-
tanto concluimos que erros serão cometidos no futuro.”
(b) “As baleias são mamíferos, logo as baleias assassinas também
são.”
(c) “Treinamento com halteres é inerentemente seguro. Eu nunca
observei uma lesão muscular causada pelo treino com halteres. ”
(d) “Dado que as espécies evoluem, membros de uma espécie de-
vem de alguma forma dar origem a membros de outra espécie.
Segue que membros da segunda espécie derivam de membros da
primeira. ”
Validade e Fundamentação
Quem emite um argumento dedutivo quer convencer a audiência que
a conclusão do argumento é uma consequência necessária das pre-
missas. Para ver se um argumento é realmente convincente, devemos
analisá-lo de dois pontos de vista, primeiro com relação a forma e
depois quanto ao conteúdo.
Por exemplo, vamos analisar a forma de um dos argumento acima,
aquele cuja conclusão é “Belsen é uma cidade da Escandinávia”. Este
argumento possui a seguinte forma:
(1) A está em B ou está em C.
(2) B e C estão em D.
(3) A está em D.
Analisando a estrutura desse argumento, vemos que sempre que os
símbolos A,B,C e D são escolhidos de forma que as premissas sejam
verdadeiras, então a conclusão é necessariamente verdadeira.
Em geral, dizemos que um argumento dedutivo é um argu-
mento válido se ele toma uma forma na qual é impossível que a
conclusão seja falsa, caso as premissas sejam verdadeiras. Se um ar-
gumento é válido ou inválido, é apenas uma questão de forma, não
de conteúdo. Por exemplo, o argumento
20 introdução à lógica
(1) Marcos é Brasileiro ou Chileno.
(2) Brasil e Chile estão na Ásia.
(3) Marcos é Asiático.
possui a mesma forma do anterior, portanto trata-se também de um
argumento válido. Mas quando analisamos o conteúdo, vemos que
a segunda premissa é falsa. Neste caso dizemos que o argumento é
válido, mas infundado, pois uma das premissas que deveriam suportar
a conclusão é falsa. Assim, em resumo, um argumento é um argu-
mento fundamentado se ele é válido quanto a forma e se todas as
premissas são verdadeiras. Um argumento infundado, por sua
vez, é um argumento que é válido mas que possui ao menos uma das
premissas falsa.
Argumentos
Dedutivos
Inválidos Válidos
Fundamentados Infundados
Indutivos
Para reforçar estes conceitos, considere agora o seguinte argu-
mento:
(1) Todos os papas residem no vaticano.
(2) Bento XVI reside no vaticano.
(3) Bento XVI é um papa.
Será que esse argumento é válido? Apesar de tanto as premissas
quanto as conclusões serem verdadeiras, intuitivamente vemos que
há algo de errado no argumento como um todo, pois o simples fato
de Bento XVI residir no vaticano não parece dar suporte suficiente
a conclusão de que ele é um papa. De fato, quando analisamos a
estrutura do argumento, vemos que ele pode ser colocado na forma
(1) Todo A é B.
(2) C é B.
(3) C é um A.
Se esse argumento fosse válido, para quaisquer escolhas de símbolos
A,B e C para as quais as premissas fossem verdadeiras, deveríamos
ter que a conclusão também deveria ser verdadeira. Mas faça A =
“abacate”, B = “verde” e C = “Meu papagaio”. Temos assim o
argumento
(1) Todo abacate é verde.
(2) Meu papagaio é verde.
(3) Meu papagaio é um abacate.
cuja conclusão é obviamente falsa.
Teste Rápido Responda com verdadeiro ou falso:
1. Um argumento fundamentado é um argumento dedutivo que é
válido e cujas premissas são verdadeiras.
(a) Verdadeiro (b) Falso
argumentos 21
2. É impossível um argumento dedutivo ser válido e infundado.
(a) Verdadeiro (b) Falso
3. Se um argumento dedutivo é válido, ele não pode ser infundado.
(a) Verdadeiro (b) Falso
4. Se as premissas de um argumento dedutivo são verdadeiras,
então o argumento é fundamentado.
(a) Verdadeiro (b) Falso
5. Se as premissas de um argumento são verdadeiras, a conclusão
deve ser verdadeira.
(a) Verdadeiro (b) Falso
6. Se um argumento dedutivo é válido, então sua conclusão pode ser
verdadeira ou falsa.
(a) Verdadeiro (b) Falso
7. Se um argumento válido possui uma conclusão falsa, então ao
menos uma das premissas deve ser falsa.
(a) Verdadeiro (b) Falso
�
Silogismos Categóricos
Para entender melhor os conceitos de argumentos válidos e inválidos,
vamos considerar um tipo de argumento muito simples chamado de
silogismo categórico. Silogismos foram investigados sistemati-
camente pelo grande filósofo grego Aristóteles (fig. 8). Um silogismo
categórico consiste em exatamente três proposições categóricas que
relacionam três classes de objetos. Mais precisamente, um silogismo
categórico é um argumento consistindo de duas premissas e uma
conclusão, todas elas proposições categóricas, relacionadas de tal
modo que as duas premissas têm uma classe em comum e a con-
clusão relaciona as duas outras classes.
Figura 8: Aristóteles
Isso parece complicado, mas não é difícil de entender na prática.
Considere o seguinte silogismo:
(1) Todos os astrônomos são altamente educados.
(2) Pessoas educadas são bens para a sociedade.
(3) Todos os astronômos são bens para a sociedade.
Cada proposição é uma proposição universal afirmativa. As duas
primeiras são as premissas e a última é a conclusão. Essas três
proposicões relacionam três classes de objetos: ’astrônomos’, ’pessoas
altamente educadas’, e ’bens para a sociedade’. Cada uma dessas
http://pt.wikipedia.org/wiki/Arist�teles
22 introdução à lógica
classes aparece duas vezes no silogismo. As classes presentes na
conclusão (’astrônomos’, ’bens para sociedade’) aparecem em difer-
entes premissas. A classe restante (’pessoas altamente educadas’)
aparece uma vez em cada premissa. Dependendo da posição das
classes em um silogismo, o silogismo pode ser um argumento válido
ou inválido.
Ate aqui, temos usado S e P para representar o sujeito e o pred-
icado de uma proposição categórica. Agora vamos restringir o uso
de S e P para o sujeito e predicado da conclusão de um silogismo e
introduzir o símbolo M para representar a terceira classe:
S = sujeito da conclusão
P = predicado da conclusão
M = classe comum as duas premissas,
ou termo “médio”
De acordo com essa convenção, podemos identificar S, P e M no
silogismo acima como:
S = astrônomos
P = bens da sociedade
M = pessoas altamente educadas
Cada um desses símbolos representa uma classe de objetos. O
silogismo que usamos de exemplo segue o seguinte modelo formal:
(1) Todo S é M.
(2) Todo M é P.
(3) Todo S é P.
Mais uma vez, quando analisamos a validade de um argumento,
estamos interessados apenas na sua forma e não em seu conteúdo.
As premissas podem ou não ser verdadeiras. Isso pode levar a certos
exemplos que são esdrúxulos, mas válidos. Por exemplo, considere o
seguinte silogismo:
(1) Todos os cães são seres altamente educados.
(2) Todos os seres altamente educados
praticam nado sincronizado.
(3) Todos os cães praticam nado sincronizado.
A conclusão é ridícula, mas o silogismo ainda assim é válido, pois
ele possui a mesma forma do que analisamos acima. O que ocorre
é que as premissas são falsas Em resumo, para facilitar a análise
da validade de um silogismo, devemos ignorar o conteúdo e nos
concentrar apenas na forma.
argumentos 23
Diagramas de Venn para Silogismos
Podemos verificar facilmente a validade de um silogismo usando
diagramas de Venn. A idéia é bastante simples: inicialmente, rep-
resentamos cada uma das premissas usando diagramas de Venn;
depois fundimos esses dois diagramas em um único diagrama com
três círculos, já que um silogismo relaciona três classes; finalmente,
verificamos se a conclusão do silogismo pode ser “lida” no diagrama
resultante. Vamos ver como isso funciona na prática em alguns exem-
plos.1. Considere o silogismo
(1) Nenhum M é P.
(2) Todo S é M.
(3) Nenhum S é P.
Inicialmente, representamos as duas premissas usando diagramas
de Venn, como discutimos no capítulo anterior:
M
P S
M
(1) Nenhum M é P. (2) Todo S é M.
Note que representamos a classe M como um terceiro círculo que
intersecta as classes P e S. Utilizamos um círculo tracejado apenas
para guardar o lugar da classe restante. A seguir, fundimos os dois
diagramas, pintando aquelas regiões que estão hachuradas em ao
menos um dos diagramas que representam as premissas:
M
PS
24 introdução à lógica
Podemos agora tentar ver se a conclusão pode ser lida do dia-
grama. Neste caso, a conclusão é “Nenhum S é P”. Quando ol-
hamos o diagrama, vemos que a única região de S que não está
hachurada, e que portanto pode possuir membros, não está no
círculo que representa a classe P. Portanto a conclusão segue das
premissas e o silogismo é válido.
M
PS
Nenhum S é P
2. O seguinte silogismo é um dos mais usados:
(1) Todo M é P.
(2) Todo S é M.
(3) Todo S é P.
Para verificar sua validade, representamos os diagramas de Venn
das premissas:
M
P S
M
(1) Todo M é P. (2) Todo S é M.
Fundimos os dois diagramas de maneira semelhante ao caso
acima:
M
PS
A única região de S que não está hachurada é a região comum às
três classes. Está região está inteiramente contida em P, logo este
silogismo é sempre válido.
M
PS
Todo S é P
argumentos 25
3. O próximo silogismo envolve proposições particulares:
(1) Todo M é P.
(2) Algum M é S.
(3) Algum S é P.
Lembre-se que para representar a segunda premissa, colocamos
um X na região comum às classes M e S:
M
P S
M
X
(1) Todo M é P. (2) Algum M é S.
Como não sabemos se o elemento que está na região comum a S e
M pertence ou não à classe P, colocamos o X exatamente sobre a
região tracejada. Mas na hora de fundir as duas premissas, vemos
que o X não pode ficar na região hachurada, ficando assim na
região central:
M
PS
X
Analisando a figura resultante, vemos que a conclusão “Algum S é
P” segue necessariamente, e portanto o silogismo é válido.
M
PS
X
Algum S é P
4. Agora, vejamos um exemplo de silogismo inválido:
(1) Todo P é M.
(2) Algum S é M.
(3) Algum S é P.
26 introdução à lógica
M
P S
M
X
(1) Todo P é M. (2) Algum S é M.
Outra vez, a única coisa que soubemos sobre o membro X é que
ele pertence a S e a M. Nada podemos afirmar sobre sua relação
com a classe P. Por isso, na fusão das premissas, colocamos o X
sobre a fronteira da região P:
M
PS
X
Assim, pode ser que o X pertença a classe P ou não, e a conclusão
“Algum S é P” não segue necessariamente das premissas.
M
PS
X
X pode estar em S
mas não estar em P5. Este último exemplo levanta questões interessantes:
(1) Nenhum P é M.
(2) Todo M é S.
(3) Algum S não é P.
M
P S
M
(1) Nenhum P é M. (2) Todo M é S.
argumentos 27
M
PS
A fusão das premissas é bastante simples, mas quando tentamos
ler a conclusão, vemos que não existe um X na região de M que
não está hachurada. Assim, devemos concluir que o silogismo é
inválido, pois não podemos ler “Algum S não é P”. Entretanto,
se soubermos que a classe M possui algum elemento, esse ele-
mento necessariamente está em S e não está em P, logo “Algum
S não é P”. Em outras palavras, o silogismo passa a ser válido se
acrescentarmos a premissa “Existe algum M”.
M
PS
Se existem mem-
bros em M, eles
estão em S e não
estão em P
Exercício 8. Represente graficamente cada um dos silogismos
abaixo usando diagramas de Venn e decida sobre sua validade:
(a)
(1) Toda máquina que não polui
é uma máquina eficiente.
(2) Nenhum automóvel é uma
máquina eficiente.
(3) Nenhum automóvel é uma
máquina que não polui.
(b)
(1) Nenhum professor de lógica é
uma pessoa benevolente
(2) Alguns ditadores são pessoas
benevolentes.
(3) Alguns ditadores não são
professores de lógica.
(c)
(1) Todos os pintores são artistas
(2) Todos os escultores são artistas.
(3) Todos os escultores são pintores.
28 introdução à lógica
(d)
(1) Alguns médicos não são
a favor da eutanásia.
(2) Algumas pessoas a favor da
eutanásia são ateus.
(3) Alguns médicos não são ateus.
Implicação
Argumentos dedutivos podem assumir diversas formas, como
vimos no capítulo anterior no caso dos silogismos. Mas silogismos,
apesar de úteis, não são suficientes para representar argumentos
mais complexos. A principal ferramenta necessária para representar
argumentos complexos, como aqueles utilizados em demonstrações
matemáticas, é o conceito de implicação, ou seja, implicações são
proposições da forma “Se P, então Q”, onde P e Q são duas outras
proposições. Por exemplo, a proposição
“Se um cidadão está no Exército, então ele tem mais de 18 anos”
é uma implicação, com P = “Um cidadão está no Exército” e Q =
“Ele (o cidadão) tem mais de 18 anos”. A proposição P é chamada de
antecedente e a proposição Q de consequente.
Uma implicação assegura que o consequente é verdadeiro sempre
que o antecedente também for verdadeiro. No exemplo acima, se um
cidadão estiver realmente no Exército, certamente ele terá mais de
18 anos. É importante frisar que uma implicação não assegura que
o consequente é verdadeiro, mas apenas que se o antecedente for
verdadeiro, então o consequente será verdadeiro também.
Na nossa linguagem cotidiana, as implicações podem ser expressas
de várias maneiras. Por exemplo, a mesma proposição acima pode
ser expressa como
Se um cidadão está no Exército, então ele tem mais de 18 anos.
Um cidadão estar no Exército implica que ele tem mais de 18 anos.
Se um cidadão está no Exército, ele tem mais de 18 anos.
Um cidadão está no Exército somente se tem mais de 18 anos.
Um cidadão estar no Exército é condição suficiente para
ter mais de 18 anos.
Um cidadão tem mais de 18 anos se está no Exército.
Um cidadão tem mais de 18 anos sempre que está no Exército.
Um cidadão ter mais de 18 anos é uma condição necessária para
estar no Exército.
Se P, então Q.
P implica (que) Q.
Se P, Q.
P somente se Q.
P é uma condição suficiente para Q.
Q se P.
Q sempre que P.
Q é uma condição necessária para P.
30 introdução à lógica
Note que em alguma das formas acima, o antecedente P aparece
depois do consequente, mas nem por isso vamos chamá-lo de con-
sequente. Devemos sempre transformar a implicação dada na forma
“Se P, então Q” para poder identificar antecedente e consequente.
Exercício 9. Identifique o antecedente e o consequente de cada im-
plicação abaixo:
(a) “Se chove, não vou para a escola.”
(b) “Ter a taxa de juros baixa é uma condição necessária para o país
crescer.”
(c) “O Corinthians vence somente se Ronaldo joga.”
(d) “Dois círculos se intersectam em um ponto sempre que a soma
dos raios é igual a distância entre os centros.”
(e) “Excesso de fritura na alimentação é uma condição suficiente para
infarto do coração.”
(f) “Não há risco de engravidar, se vocês tomaram as precauções
indicadas.”
A Recíproca e a Contrapositiva
Existem duas proposições relacionadas a uma implicação “Se P,
então Q”: a recíproca e a contrapositiva. A recíproca é obtida
invertendo-se antecedente e consequente, ou seja, ela tem a forma “Se
Q, então P”. Assim, a recíproca de
“Se um cidadão está no Exército, então ele tem mais de 18 anos”
é
“Se um cidadão tem mais de 18 anos, então ele está no Exército”.
Como está claro nesse exemplo, nem sempre a recíproca é verdadeira,
pois a maioria dos cidadãos de mais de 18 anos não está no exército.
Mas para outras implicações, pode ocorrer que a recíproca também
seja verdadeira. Por exemplo, tanto a proposição “Se um triângulo
possui dois lados iguais, então possui dois ângulos internos iguais”
quanto sua recíproca “Se um triângulo possui dois ângulos inter-
nos iguais, então possui dois lados iguais” são verdadeiras. Quando
isso acontece, podemos escrever as duas proposições em uma única
frase da forma “P se, e somente se, Q” ou ainda “P é uma condição
necessária e suficiente para Q”. No exemplo ilustrado neste pará-
grafo temos que “um triângulo possui dois lados iguais se,e somente
se, possui dois ângulos internos iguais” ou “Em um triângulo, ter
dois lados iguais é uma condição necessária e suficiente para ter dois
ângulos internos iguais”.
| |
implicação 31
Já a contrapositiva da proposição “Se P, então Q” tem a forma “Se
não Q, então não P”. Note que na contrapositiva o antecedente é a
negação do consequente da proposição original e vice versa. Assim, a
contrapositiva de
“Se um cidadão está no Exército, então ele tem mais de 18 anos”
é
“Se um cidadão tem menos de 18 anos, então ele não está no Exército”,
onde mudamos a expressão “não tem mais de 18 anos” para a ex-
pressão equivalente “tem menos de 18 anos” só por clareza. É óbvio
que a contrapositiva de implicação verdadeira é sempre verdadeira,
pois Q é uma condição necessária para P (”ter mais de 18 anos é
necessário para estar no Exército”). Se essa condição não é satisfeita
( “não Q” = “tem menos de 18 anos”) a condição P também não
poderá ser ( “não P” = “não está no Exército”). Portanto, sempre
que nos for apresentada uma implicação da forma “Se P, então Q”,
podemos imediatamente formar sua contrapositiva “Se não Q, então
não P”, sendo esta tão verdadeira quanto a proposição original. Em
resumo, o seguinte argumento é sempre válido:
(1) Se P, então Q.
(2) Se não Q, então não P.
Exercício 10. Forme a recíproca e a contrapositiva de cada impli-
cação a seguir:
(a) “Se chove, então não vou para a escola.”
(b) “Se o país cresce, então a taxa de juros é baixa.”
(c) “Se o Corinthians vence, então Ronaldo joga.”
(d) “Se a soma dos raios é igual a distância entre os centros, então
dois círculos se intersectam em um ponto.”
(e) “Se há excesso de fritura na alimentação então há risco de infarto
do coração.”
(f) “Se vocês tomaram as precauções indicadas, então não há risco de
gravidez.”
Argumentos Condicionais
Como dissemos no início do capítulo, muitos argumentos complexos
podem ser formalizados através do uso de implicações. Vamos
mostrar agora alguns desses argumentos, os quais chamaremos de
argumentos condicionais. A maioria dos argumentos utilizados
em matemática se encaixa em um dos modelos a seguir.
32 introdução à lógica
Afirmação do Antecedente
O argumento do tipo Afirmação do Antecedente, também con-
hecido como Modus Ponens , é o mais usado, tendo a forma modus ponens em latim pode ser
traduzido como “maneira de afirmar”.
(1) Se P, então Q.
(2) P.
(3) Q.
O argumento consiste em duas premissas: a primeira é uma impli-
cação com antecedente P e consequente Q. A segunda premissa é
justamente a afirmação do antecedente P. Assim, podemos concluir
de (1) e (2) que a proposição Q é verdadeira. Veja o seguinte exemplo
concreto:
(1) Se fizer sol, então eu vou à praia.
(2) Faz sol.
(3) Eu vou à praia.
Apesar da simplicidade deste argumento, é preciso um certo cuidado
para não cair em um erro muito comum e ao invés de afirmar o
antecedente, afirmar o consequente. Por exemplo, o argumento
(1) Se um número primo é maior que dois,
ele é ímpar.
(2) 7 é ímpar.
(3) 7 é primo.
pode parecer correto, já que tanto as premissas quanto a conclusão
são verdadeiras. Mas este argumento é inválido pois sua forma é
(1) Se P, então Q.
(2) Q.
(3) P.
Se o argumento fosse válido, ele funcionaria para quaisquer proposições
P e Q que satisfizessem as premissas. Mas fazendo Q = “9 é ímpar”,
temos
(1) Se um número primo é maior que dois,
ele é ímpar.
(2) 9 é ímpar.
(3) 9 é primo.
cuja conclusão é falsa. O erro está no fato de afirmarmos o conse-
quente, e não o antecedente.
Negação do Consequente
Vimos que a afirmação do consequente dá origem a argumentos
inválidos. Mas a Negação do Consequente funciona. Este argu- Este argumento também tem um nome
en latim: Modus Tolens, algo como
“maneira de negar”.
implicação 33
mento possui a seguinte estrutura:
(1) Se P, então Q.
(2) não Q.
(3) não P.
Note que a segunda premissa consiste na negação do consequente
Q. Para ver que argumentos desta forma são válidos, basta lembrar
que a proposição “Se P, então Q” é tão verdadeira quanto sua con-
trapositiva “Se não Q, então não P”. Assim, “não Q” é a afirmação
do antecedente da contrapositiva, e portanto “não P” segue. Veja este
exemplo concreto:
(1) Se um cidadão está no Exército,
ele tem mais de 18 anos.
(2) Antônio tem 15 anos.
(3) Antônio não está no Exército.
Análise de Casos
Um argumento do tipo Análise de Casos ocorre quando necessi-
tamos dividir um argumento em vários cenários que descrevem uma
situação completamente. Em sua forma mais simples, ele possui o
seguinte modelo:
(1) P ou Q.
(2) se P, então R.
(3) se Q, então R.
(4) R.
A premissa (1) que ou a condição P é satisfeita, ou a condição Q
é satisfeita, ou ainda que as duas são satisfeitas simultaneamente.
As premissas (2) e (3) dizem que R é verdadeira tanto se P quanto
se Q são verdadeiras. Portanto, podemos concluir em (4) que R é
verdadeira.
Um exemplo simples deste argumento é o seguinte:
(1) Em minha cidade, posso usar
ou o provedor de internet A ou o provedor B.
(2) se for o provedor A, então
o serviço é caro e lento.
(3) se for o provedor B, então
o serviço é caro e lento.
(4) Em minha cidade, o serviço de internet é
caro e lento.
34 introdução à lógica
É importante que as condições da premissa (1) esgotem todas as
possibilidades. Se houvesse um provedor C na cidade que fosse
rápido e barato, não poderíamos chegar a conclusão (4).
Silogismo Hipotético
Um Silogismo Hipotético é uma argumento que nos permite
deduzir uma implicação de duas outras implicações relacionadas. Ele
possui a forma
(1) Se P, então Q.
(2) Se Q, então R.
(3) Se P, então R.
Este argumento é válido pois o antecedente da conclusão é o mesmo
da primeira premissa (P), o consequente da primeira premissa é o
antecedente da segunda premissa (Q) e o consequente da segunda
premissa é o consequente da conclusão (R). Portanto se P, então Q e
então R. Veja o exemplo concreto a seguir:
(1) Se Hitler tivesse atacado a Inglaterra
dois meses antes, então ele teria
vencido a Batalha da Inglaterra.
(2) Se Hitler tivesse vencido a Batalha
da Inglaterra, então ele teria
vencido a Segunda Guerra Mundial.
(3) Se Hitler tivesse atacado a Inglaterra
dois meses antes, então ele teria
vencido a Segunda Guerra Mundial.
Esse esquema formal claramente funciona para um número maior de
condições. Por exemplo:
(1) Se você estuda, então lê bons livros.
(2) Se voce lê bons livros, então adquire cultura.
(3) Se você adquire cultura, então se torna uma
pessoa importante.
(4) Se você se torna importante, então pode
concorrer a uma vaga para o Senado.
(5) Se você concorrer a uma vaga para
o Senado, então pode ser eleito Senador.
(6) Se você estuda, então pode ser eleito Senador.
mas note que estudar é uma condição
suficiente, mas — infelizmente! — não
necessária para ser Senador.
Note que o consequente de cada premissa é o antecedente da pre-
missa seguinte e a conclusão é formada pelo antecedente da primeira
premissa e pelo consequente da última.
implicação 35
Redução ao Absurdo
Um argumento do tipo Redução ao Absurdo pode assumir várias Em latim, reductio ad absurdum.
formas, mas a idéia básica é a seguinte: queremos concluir que uma
certa proposição P é verdadeira; para tanto assumimos provisoria-
mente que ela é falsa e dessa suposição chegamos a uma contradição
envolvendo uma outra proposição Q. Em sua variante mais simples,
este argumento assume a seguinte forma:
(1) Q.
(2) Se não P, então não Q.
(3) P.
A validade desse argumento segue do Princípio da Não Contradição,
pois pela premissa (2) de “não P” obtemos “não Q”, o que contradiz
a premissa (1). Como não é possível ter ambas proposição Q e “não
Q” verdadeiras ao mesmo tempo, segue necessariamente que P é
verdadeira.
O exemplo a seguir ilustra bem a utilização da redução ao ab-
surdo: Um cientista anunciou ter desenvolvido um programa de
computador capaz de ganhar qualquer partida de xadrez, contra
qualquer adversário, quer saia com as peças brancas, quer com
as pretas. Será que isso é possivel? Suponha quetal programa de
xadrez que sempre ganha seja possivel. Então poderíamos colocar
este programa em dois computadores iguais e colocá-los para jogar
entre si. Como o programa sempre ganha, o jogo de xadrez termi-
naria com dois vencedores, mas isto vai contra as regras do jogo! Um
jogo de xadrez ou tem apenas um vencedor, ou termina em empate.
Portanto um programa que sempre vence é impossível. Para ade-
quar este exemplo ao esquema formal acima, fazemos Q = “O jogo
de xadrez tem no máximo um vencedor” e P = “É impossível um
programa de xadrez sempre ganhar”.
Talvez com um xadrez diferente possam
existir dois vencedores.
Teste Rápido Classifique os seguintes argumentos:
1. “Experimentos com animais são justificáveis somente se eles não
sentem dor. Como é óbvio que animais sentem dor, tais experi-
mentos são injustivicáveis.”
(a) Afirmação do Antecedente (b) Negação do Consequente
(c) Análise de Casos (d) Silogismo Hipotético
(e) Redução ao Absurdo
2. “Se o Presidente não é honesto, não é confiável. E se não é con-
fiável, não pode permanecer no poder. Se ele foi pego roubando,
então deve renunciar.”
(a) Afirmação do Antecedente (b) Negação do Consequente
(c) Análise de Casos (d) Silogismo Hipotético
(e) Redução ao Absurdo
36 introdução à lógica
3. “Ou o paciente tem leucemia ou tem cirrose hepática. Se for
leucemia, será necessário um transplante de figado. Se for cirrose,
será necessário um transplante de medula. Portanto, certamente o
paciente necessitará de transplante.”
(a) Afirmação do Antecedente (b) Negação do Consequente
(c) Análise de Casos (d) Silogismo Hipotético
(e) Redução ao Absurdo
4. “Toda vez que como feijoada, passo mal. Ontem comi feijoada,
por isso estou aqui na emergência.”
(a) Afirmação do Antecedente (b) Negação do Consequente
(c) Análise de Casos (d) Silogismo Hipotético
(e) Redução ao Absurdo
5. “Se pessoas gostassem de animais só porque eles são raros, elas
gostariam de cães só porque eles são raros. Mas cães não são
raros, portanto não é verdade que as pessoas gostam de animais
só porque eles são raros.”
(a) Afirmação do Antecedente (b) Negação do Consequente
(c) Análise de Casos (d) Silogismo Hipotético
(e) Redução ao Absurdo
�
implicação 37
Representação Gráfica de Cadeias de Implicações
Vejamos agora como podemos representar cadeias de implicações
graficamente. Esta representação gráfica é útil na resolução de prob-
lemas lógicos que envolvam situações onde várias condições devem
ser satisfeitas simultaneamente. A idéia é básica consiste em repre-
sentar cada implicação da forma “Se P, então Q” por uma seta
P Q
Além disso, sempre que for necessário negar uma proposição, acres-
centamos um apóstrofo. Por exemplo, “não P” é representado por P′.
Assim, a contrapositiva da implicação “Se P, então Q” é representada
por
Q′ P′
Quando juntamos todas as implicações, podemos obter cadeias do
tipo
P Q R
donde podemos concluir que “Se P, então R”, por um argumento do
tipo Silogismo Hipotético.
Vamos aplicar esta idéia no seguinte problema prático: Em um
letreiro luminoso, existem 7 lâmpadas numeradas de 1 a 7. As lâm-
padas estão conectadas de modo que se certas luzes estão acesas,
outras estão apagadas. As condições exatas são as seguintes:
Se a luz 2 está apagada, então a luz 1 está acesa.
Se a luz 4 está acesa, então a luz 3 está acesa.
Se a luz 5 está acesa, então a luz 1 está acesa.
Se a luz 5 está acesa, então a luz 4 está acesa.
Se a luz 6 está apagada, então a luz 2 está apagada.
Se a luz 7 está acesa, então a luz 6 está apagada.
Colocadas essas condições, podemos fazer várias perguntas. Por
exemplo, se uma determinada luz está acesa, quais devem estar apa-
gadas? se uma determinada luz está acesa, quais devem estar acesas?
se uma determinada luz está apagada, quais devem estar acesas? se
uma determinada luz está apagada, quais devem estar apagadas?
Para responder essas perguntas, vamos empregar o método
gráfico. Chamemos de L1 a proposição “A luz 1 está acesa”, L2 a
proposição “A luz 2 está acesa” etc, até L7 a proposição “A luz 7 está
acesa”. Pela nossa convenção, L′1 significa que a “não L1”, ou seja,
a luz 1 não está acesa, o que é idêntico a “A luz 1 está apagada”. O
mesmo acontece para as outras luzes. Assim, as seis condições sobre
as luzes são representadas como
38 introdução à lógica
L′2 L1
L4 L3
L5 L1
L5 L4
L′6 L
′
2
L7 L′6
Podemos também formar as contrapositivas de cada uma dessas
implicações. Na primeira implicação, por exemplo, temos que “Se a
luz 2 está apagada, então a luz 1 está acesa”. A contrapositiva desta
implicação é “Se a luz 1 está apagada, então a luz 2 está acesa”, cuja
representação gráfica é
L′1 L2
Note que quando tomamos a contrapositiva o que ocorre na prática é
que invertemos o sentido das setas e acrescentamos um apóstrofo em
cada simbolo, tomando cuidado de eliminar dois apóstrofos suces-
sivos, pois a negação de uma negação é uma afirmação. Fazendo isso
para todas as implicações acima, obtemos
L′2 L1 L2 L
′
1
L4 L3 L′4 L
′
3
L5 L1 L′5 L
′
1
L5 L4 L′5 L
′
4
L′6 L
′
2 L6 L2
L7 L′6 L
′
7 L6
Podemos agora sintetizar todas essas implicações em um único dia-
grama no qual não apareçam símbolos repetidos. Com um pouco de
cuidado, chegamos ao seguinte gráfico:
L7 L′6 L
′
2
L1
L5
L4 L3 L′3 L
′
4
L′5
L′1
L2 L6 L′7
Veja que o gráfico está dividido em duas partes, uma para as impli-
cações dadas e outra para as contrapositivas, sendo que uma pode
implicação 39
ser obtida da outra simplesmente invertendo-se as setas e trocando o
sinal de apóstrofo.
A interpretação do gráfico é muito simples: sempre que for pos-
sível sair de um símbolo a outro “seguindo o caminho das setas”,
temos uma relação de implicação. Portanto, vemos que se a luz 7 está
acesa, as luz 1 também está, pois podemos sair de L7 e chegar a L1
pelo caminho de cima da parte direita. Da mesma forma, sabemos
L7 L′6 L
′
2
L1
que se a luz 3 está apagada, então a luz 5 também está, pois podemos
sair de L′3 e chegar a L
′
5. L′3 L′4
L′5
É importante ressaltar que as condições dadas não nos permitem
responder todas as perguntas possíveis sobre o estado das lâmpadas.
Por exemplo, como não sai nenhuma seta de L1, não podemos afir-
mar se uma certa luz está acesa ou apagada quando a luz 1 está
acesa. Por outro lado, sabemos que se ela estiver apagada, as luzes 2
e 6 estarão acesas e as luzes 5 e 7, apagadas.
Teste Rápido Responda as seguintes questões:
1. Se a luz 7 está ligada, qual dos seguintes itens é verdadeiro?
(a) A luz 2 está desligada (b) A luz 6 está ligada
(c) A luz 4 está desligada (d) A luz 5 está ligada
(e) A luz 3 está ligada
2. Se a luz 5 está ligada, qual dos seguintes itens não pode ser ver-
dadeiro?
(a) A luz 4 está ligada (b) A luz 1 está ligada
(c) A luz 6 está desligada (d) A luz 3 está desligada
(e) A luz 7 está ligada
3. Se a luz 1 está desligada, qual dos seguintes itens poderia ser
verdadeiro?
(a) A luz 5 está ligada (b) A luz 2 está desligada
(c) A luz 3 está desligada (d) A luz 7 está ligada
(e) A luz 6 está desligada
4. Se a luz 5 está desligada, qual dos seguintes itens não pode ser
verdadeiro?
(a) As luzes 1 e 2 estão ligadas (b) As luzes 3 e 7 estão
desligadas
(c) As luzes 4 e 6 estão ligadas (d) As luzes 2 e 4 estão
desligadas
(e) As luzes 7 e 2 estão ligadas
5. Se a luz 3 está desligada, qual dos seguintes itens deve ser ver-
dadeiro?
40 introdução à lógica
(a) As luzes 1 e 6 estão ligadas (b) As luzes 4 e 5 estão
desligadas
(c) As luzes 7 e 1 estão ligadas (d) As luzes 6 e 5 estão
desligadas
(e) As luzes 2 e 4 estão ligadas
�
Exercício 11. Em um colônia de férias, algumas crianças estão an-
siosas para brincar na piscina. Mas para que a ordem seja mantida,
alguns deles não podem ficar ao mesmo tempo na piscina. As regras
são as seguintes:
Ana e Bento ficam na piscina somente se Cristina estiver.
Ana fica na piscina se Daniel estiver.
Fernando fica na piscina somente se Cristina e Eduardo estiverem.
Bento fica na piscina se Fernando estiver.
Se Fernando está fora da piscina, entãoDaniel fica de fora.
Represente graficamente a cadeia de implicações, fazendo A = “Ana
está na piscina”, B = “Bento está na piscina” etc.
Teste Rápido Com relação ao exercício anterior, responda as
seguintes questões:
1. Qual destes grupos de crianças poderia estar na piscina sem que
nehuma outra criança estivesse junto?
(a) Daniel, Eduardo, Cristina e
Bento
(b) Fernando, Eduardo, Bento e
Cristina
(c) Bento, Fernando, Eduardo e
Daniel
(d) Daniel, Cristina, Ana e
Fernando
(e) Nenhuma das respostas
acima
2. Se Daniel está na piscina, qual o número mínimo de crianças
nela?
(a) Três (b) Quatro
(c) Cinco (d) Seis
(e) Sete
3. Se Cristina não está na piscina, quem poderia estar?
(a) Ana (b) Eduardo
(c) Fernando (d) Daniel
(e) Nenhuma das respostas
acima
4. Se Eduardo está fora da piscina, qual das seguintes proposições
deve ser verdadeira?
implicação 41
(a) Ana está fora da piscina (b) Daniel está na piscina
(c) Fernando está na piscina (d) Bento está fora da piscina
(e) Daniel está fora da piscina
5. Se não mais que duas crianças estão fora da piscina, quem destes
pode estar fora?
(a) Ana (b) Bento
(c) Cristina (d) Eduardo
(e) Nenhuma das respostas
acima
�
Exercício 12. Alguns cantores estão sendo selecionados para for-
mar um grupo vocal. Entretanto, para que suas vozes combinem,
alguns cantores devem ser selecionados com outros. As regras são as
seguintes:
Se Heitor não for escolhido, então Eduardo será escolhido.
Se Daniel é escolhido, então Felipe, Carlos e Alberto serão escolhidos.
Se Gilberto é escolhido, então Eduardo não é escolhido.
Se Alberto é escolhido, então Bernardo, Felipe e Gilberto serão escolhidos.
Represente graficamente a cadeia de implicações, fazendo A = “Al-
berto é escolhido”, B = “Bernardo é escolhido” etc.
Teste Rápido Com relação ao exercício anterior, responda as
seguintes questões:
1. Qual destes grupos de cantores poderia formar um grupo com-
pleto de cantores escolhidos?
(a) Alberto, Felipe, Gilberto e
Heitor
(b) Gilberto, Eduardo e Heitor
(c) Daniel, Felipe, Alberto,
Bernardo, Gilberto e Heitor
(d) Eduardo, Alberto, Heitor e
Felipe
(e) Bernardo, Felipe, Gilberto e
Heitor
2. Se Gilberto não for escolhido, então qual das proposições pode
ser verdadeira?
(a) Bernardo e Alberto serão
escolhidos
(b) Carlos e Felipe serão
escolhidos
(c) Daniel e Bernardo serão
escolhidos
(d) Eduardo e Gilberto serão
escolhidos
(e) Nem Eduardo nem Heitor
serão escolhidos
3. Se Eduardo for selecionado, qual dos seguintes grupos contém
apenas os cantores que não devem ser escolhidos?
42 introdução à lógica
(a) Alberto, Gilberto e Daniel (b) Daniel, Carlos, Alberto e
Gilberto
(c) Felipe, Bernardo, Alberto,
Gilberto e Daniel
(d) Felipe, Bernardo, Alberto,
Gilberto, Daniel e Carlos
(e) Heitor, Felipe, Bernardo,
Alberto, Gilberto, Daniel e
Carlos
4. Quantas cantores no máximo poderiam ser escolhidos para o
grupo?
(a) quatro (b) cinco
(c) seis (d) sete
(e) oito
5. Se Felipe é escolhido, então qual das seguintes proposições não
pode ser verdadeira?
(a) Alberto é escolhido (b) Alberto não é escolhido
(c) Daniel é escolhido e Heitor
não é
(d) Carlos é escolhido e Eduardo
também
(e) Bernardo é escolhido e
Gilberto não
�
Lógica Símbolica
Figura 9: Gottfried Leibniz
O grande filósofo e matemático Leibniz (fig. 9) dedicou parte
de sua obra a criação de uma linguagem na qual todos os conflitos
humanos pudessem ser resolvidos de maneira puramente racional.
Em suas palavras,
“A única maneira de corrigir nossos raciocínios é torná-los tão tangíveis
quanto aqueles dos matemáticos, para que possamos encontrar nosso
erro num relance, e quando houvesse conflitos entre as pessoas,
poderíamos simplesmente dizer: Vamos calcular, sem mais delongas,
para ver quem está certo.”
Ou seja, Leibniz propôs que se nossos raciocínios pudessem ser es-
critos de uma forma algébrica, de maneira similar a que usamos
quando resolvemos equações em Matemática, qualquer questão
poderia ser resolvida como se resolve uma equação e todos os con-
flitos seriam superados. Hoje em dia podemos achar essa idéia
ingênua ou ambiciosa demais. Mas no território mais limitado da
Lógica e da Matemática, essa idéia frutificou e, graças ao esforço de
muitas gerações de lógicos e matemáticos, temos atuamente uma lin- Os principais continuadores do projeto
de Leibniz foram George Boole, Augus-
tus de Morgan, Charles Peirce, Gottlob
Frege e Giuseppe Peano.
guagem, com alfabeto e regras próprias, que permite a comunicação
de um grande número de idéias, principalmente idéias matemáticas.
Neste capítulo, vamos ver uma pequena introdução a essa linguagem
chamada Lógica Simbólica.
Proposições Atômicas e Proposições Compostas
Já vimos que uma proposição é um enunciado que se refere a um
fato que é ou verdadeiro ou falso, mas podemos refinar esse conceito.
Uma Proposição Atômica é uma proposição que não pode ser
decomposta em proposições mais simples. Por exemplo, “O cachorro
correu” é uma proposição atômica, enquanto “O cachorro correu e o
gato fugiu”, não é uma proposição atômica, porque ela pode decom-
posta em duas proposições “O cachorro correu” e “O gato fugiu”.
Essas proposições se referem a dois fatos distintos, embora relaciona-
http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz
44 introdução à lógica
dos. Uma proposição que não é atômica é chamada Proposição
Composta.
A verdade ou falsidade de uma proposição composta depende
de duas coisas: da sua forma e da verdade ou falsidade de cada
uma das proposições que a compõem. Por exemplo, a proposição
“José é brasileiro e Juan é boliviano” é uma proposição composta
composta de duas proposições atômicas, “José é brasileiro” e “Juan
é boliviano”. Por convenção, usamos letras minúsculas como p, q, r
etc. para representar as partes de uma proposição composta. Essas
letras são conhecidas como variáveis proposicionais, pois elas
representam o valor-verdade (ou verdadeiro, ou falso) de uma
proposição. Assim, fazendo p = “José é Brasileiro” e q = “Juan é
boliviano”, temos que a proposição composta acima tem a forma “p
e q”. Ela só é verdadeira se José for brasileiro e Juan for boliviano. Se
José não for brasileiro ou se Juan não for boliviano, a proposição “p
e q” é falsa. Portanto, a verdade ou falsidade da proposição “p e q”
depende não só de cada uma das proposições p e q como também do
sentido da palavra “e”.
Conectivos Lógicos
Palavras como o “e” do exemplo acima são chamadas Conectivos
Lógicos. Poderíamos pensar que existem muitos tipos de conec-
tivos, já que nossa língua é rica em palavras que ligam duas orações
(as conjunções). Mas quando analisamos mais detalhadamente os
exemplos de argumentos dos capítulos anteriores, vemos que na
verdade apenas quatro conectivos lógicos bastam para representá-los.
O primeiro conectivo é o “e”, citado acima, também conhecido
conjunção. A conjunção é representada pelo símbolo “&”, de
modo que uma proposição composta da forma “p e q” é representada
simbolicamente por “p & q”. Como vimos, “p & q” só é verdadeira
se ambas as proposições p e q forem verdadeiras. Esse fato pode ser
resumido na tabela verdade 1 ao lado. Note que a tabela contém
quatro linhas, contendo todas as possíveis combinações de (V)erdade
e (F)alsidade para as proposições p e q, assim como o valor-verdade
de “p&q”, ou seja, o resultado da conjunção para os valores de p e q
de cada linha. Como se vê, a única ocorrência de verdadeiro na col-
una “p & q” ocorre na primeira linha, quando os valores de p e q são
ambos verdadeiros.
p q p&q
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabela 1: Tabela verdade da conjunção.
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabela 2: Tabela verdade da disjunção.
O segundo conectivo é o “ou”, como na proposição “João é brasileiro
ou Juan é boliviano”. O conectivo “ou” é conhecido como dis-
junção e é representada pelo símbolo “∨” (do latin “vel”, que
significa “ou”). Assim, a proposição “p ou q” é representada sim-
bolicamente por “p ∨ q”. A disjunção de duas proposições p e q so é
lógica símbolica 45
falsa se as duas proposiçõesforem falsas, como pode ser constatado
da tabela verdade 2. Note que o significado do “ou” em Lógica é
bastante preciso, diferente do que acontece na nossa língua. Por ex-
emplo, em português “João é brasileiro ou Juan é boliviano” pode
ser interpretado de modo que ela é verdadeira somente se apenas
uma das proposições é verdadeira: ou “João é brasileiro” ou “Juan é
boliviano”, mas não é possível que João seja brasileiro e Juan seja bo-
liviano. Ou seja, o “ou” em português possui um sentido de oferecer
alternativas excludentes, o chamado “ou exclusivo”. Mas em Lógica
sempre interpretamos o “ou” inclusivamente.
A implicação é o terceiro tipo de conectivo lógico. Nós já estu-
damos o conceito de implicação no capítulo anterior, portanto não é
estranho que uma proposição composta da forma “se p, então q” seja
representada simbolicamente como p → q. Para entender a tabela
verdade da implicação, devemos encará-la como uma promessa, de
modo que “se p, então q” pode ser interpretada como “É garantido
que q, desde que p”. Por exemplo, “Se sua média for maior ou igual
a 7, então você será aprovado” pode ser lido como “É garantido que
você será aprovado, desde que sua média seja maior ou igual a 7”. A
idéia é que a implicação “se p, então q” é falsa quando a promessa é
descumprida, e verdadeira caso contrário. No exemplo, se você tirar
9 e for aprovado, p e q são verdadeiras e a promessa foi cumprida,
portanto p→ q é verdadeira. Se você tirar 7, 5 e não for aprovado, p é
verdadeira, q é falsa e p→ q é falsa, pois a promessa foi quebrada.
p q p→ q
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela 3: Tabela verdade da implicação.
Mas o que acontece se você tirar uma nota menor que 7? Ou
seja, o que acontece se p for falsa? Digamos que você tire 6, 8 e
seja aprovado (p = F e q = V). A promessa foi quebrada? Não, a
promessa dizia apenas que você seria aprovado se tirasse 7 ou mais.
Da mesma forma, se você tirar 6 e não for aprovado (p = F e q = F),
a promessa também não foi quebrada. Como a promessa não foi des-
cumprida, não podemos dizer que a implicação p → q é falsa. Como
uma proposição deve ser ou verdadeira ou falsa, somos obrigados
a concluir que quando p é falsa, a implicação p → q deve ser ver-
dadeira. Em resumo, uma implicação p → q é sempre verdadeira,
exceto quando p é verdadeira e q é falsa (isto é, quando a promessa é
quebrada). Confira a tabela 3.
O quarto e último conectivo lógico é especial pois ele se aplica
a apenas uma proposição. Trata-se da negação. Representamos
uma proposição da forma “não p” simbolicamente por “∼p”. Como
já vimos anteriormente, se p é verdadeira, sua negação ∼ p é falsa
e vice-versa, de modo que a tabela verdade da negação é bastante
simples (veja a tabela 4).
p ∼p
V F
F V
Tabela 4: Tabela verdade da negação.
Para ver que esses conectivos lógicos são suficientes para represen-
tar a maioria dos argumentos, basta notar que quando escrevemos
46 introdução à lógica
argumentos da forma
(1) P
(2) Q
(3) R
estamos realmente querendo dizer que “Se as premissas P e Q forem
satisfeitas, então a conclusão R é satisfeita”, o que é o mesmo que
“Se P e Q, então R”, que por sua vez pode ser escrito simbolicamente
como (P&Q) → R. Expressões como esta, que envolvem apenas var-
iáveis proposicionais e conectivos lógicos são chamadas de fórmu-
las. Uma fórmula descreve a forma de uma proposição (lembre-se
da distinção que fizemos entre forma e conteúdo de argumentos).
Note que usamos parênteses para deixar a fórmula mais clara. Se
tivéssemos excluído os parênteses, a fórmula P&Q → R poderia
ser interpretada como “P e se Q, então R”. Para um exemplo mais
complexo, lembre-se de um argumento do tipo “Análise de Casos”:
(1) P ou Q.
(2) se P, então R.
(3) se Q, então R.
(4) R.
Sua fórmula é
((P ∨Q)&(P→ R)&(Q→ R))→ R.
Exercício 13. Considerando as seguintes proposições atômicas
m = “Marte é um planeta que devemos explorar.”
e = “Existe água em Marte.”
t = “Todo ser vivo precisa de água.”
f = “O espaço é a fronteira final.”
v = “Vênus é uma planeta que vale a pena explorar.”
traduza as fórmulas dadas para o português:
(a) ∼e (b) f &v
(c) m ∨ v (d) t→ m
(e) ( f &t&e)→∼v (f) m→∼v
(g) v→∼m (h) ∼(m ∨ v)
(i) t→ (∼e→∼m) ( j ) ∼m& ∼v
Exercício 14. Transforme os argumentos formais em fórmulas us-
ando os conectivos lógicos apropriados:
(a) Afirmação do Antecedente
(1) Se P, então Q.
(2) P.
(3) Q.
lógica símbolica 47
(b) Negação do Consequente
(1) Se P, então Q.
(2) não Q.
(3) não P.
(c) Falácia da Afirmação do Consequente
(1) Se P, então Q.
(2) Q.
(3) P.
(d) Silogismo Hipotético
(1) Se P, então Q.
(2) Se Q, então R.
(3) Se P, então R.
(e) Redução ao Absurdo
(1) Q.
(2) Se não P, então não Q.
(3) P.
(f) Silogismo Disjuntivo
(1) P ou Q.
(2) não Q.
(3) P.
Tabelas Verdade de Fórmulas
Como vimos, os conectivos lógicos nos permitem combinar diversas
proposições em uma única proposição composta ou, mais geral-
mente, construir fórmulas envolvendo variáveis proposicionais. Na
seção anterior, usamos tabelas verdade para entender o significado
de fórmulas nas quais aparece um único conectivo. Mas o mesmo
processo pode ser conduzido no caso da fórmula conter mais de um
conectivo, basta analisar cada parte da fórmula separadamente. Por
exemplo, vamos construir a tabela verdade da fórmula
((p ∨ q)&(∼p))→ q.
Para tanto, colocamos na primeira linha da tabela uma coluna para
cada variável proposicional, para cada subfórmula escrita entre
parênteses e para a fórmula completa:
p q p ∨ q ∼p (p ∨ q)&(∼p) ((p ∨ q)&(∼p))→ q
É importante que as fórmulas que estão dentro de mais parênteses
sejam listadas primeiro nas colunas. Depois atribuímos cada valor
48 introdução à lógica
possível de V e F às variáveis proposicionais p e q e avaliamos cada
coluna sucessivamente:
p q p ∨ q ∼p (p ∨ q)&(∼p) ((p ∨ q)&(∼p))→ q
V V V F F V
V F V F F V
F V V V V V
F F F V F V
É possivel também escrever uma tabela verdade simplifi-
cada, na qual os valores verdade de cada subfórmula ficam abaixo
dos conectivos. Veja o seguinte exemplo de tabela verdade simplifi-
cada para a mesma fórmula anterior:
((p ∨ q) & (∼p)) → q
V V V F F V V
V V F F F V F
F V V V V V V
F F F F V V F
1 2 1 3 2 4 1
Os números da última linha representam os passos da construção da
tabela simplificada. No passo 1, colocamos os valores das variáveis
proposicionais p e q. No passo 2, identificamos as subfórmulas mais
aninhadas dentro de parênteses (p ∨ q e ∼p) e colocamos o valor ver-
dade correspondente abaixo do conectivo. Prosseguimos da mesma
forma, analisando o conectivo & no passo 3 e finalmente o conec-
tivo→ no passo 4. Note que esta última coluna é justamente a que
contém o resultado final, o qual exibimos em negrito.
Vejamos um outro exemplo ilustrativo, a fórmula (p → q)&(q →
p). Sua tabela verdade é
p q (p→ q) (q→ p) (p→ q)&(q→ p)
V V V V V
V F F V F
F V V F F
F F V V V
Note que essa fórmula possui valor verdadeiro se, e somente se, p e
q tem o mesmo valor, ou seja, quando p e q são ambas verdadeiras
ou ambas falsas, e valor falso se, e somente se, p e q possuem valores
diferentes. A tabela verdade simplificada tem a seguinte forma:
lógica símbolica 49
(p → q) & (q → p)
V V V V V V V
V F F F F V V
F V V F V F F
F V F V F V F
1 2 1 3 1 2 1
A fórmula (p → q)&(q → p) aparece tão frequentemente que a
representamos com um conectivo especial, o bicondicional, cujo
símbolo é↔. Ou seja, a tabela verdade da fórmula p ↔ q é exata-
mente a mesma tabela verdade da proposição (p → q)&(q → p). Por
completeza, colocamos na tabela 5 a tabela verdade do bicondicional.
Note que para uma fórmula bicondicional ter valor verdadeiro, as
variáveis p e q devem ter o mesmo valor. Se os valores forem difer-
entes, a bicondicional é falsa.
p q p↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabela 5: Tabela verdade do bicondi-
cional.
Exercício 15. Construa a tabela verdade das seguintes fórmulas:
(a) p& ∼p (b) ∼(p∨ ∼p)
(c) ∼(∼p∨ ∼q) (d) ∼p ∨ q
(e) (∼q)→ (∼p) (f) q↔ p
Tabelas Verdades de Fórmulas com Três ou Mais Variáveis
As fórmulas que vimos naseção anterior dependiam de duas var-
iáveis p e q. Portanto tínhamos que considerar quatro casos possiveis
para os valores de p e q (VV, VF,FV e FF). O que acontece se a fór-
mula depende de três variáveis proposicionais p, q e r? Claramente,
temos que considerar dois casos: ou p é verdadeira, ou p é falsa. Se
p = V, temos que q e r podem assumir quatro possíveis valores (VV,
VF,FV e FF). Da mesma forma, se p = F, q e r também podem as-
sumir estes mesmos quatro valores. Assim, são oito as possibilidades
de verdadeiro e falso para três variáveis p,q e r.
De modo geral, para cada nova variável introduzida, o número
de possibilidades de verdadeiro e falso dobra, como a figura ao lado
bem ilustra. Portanto, para 4 variáveis teremos 16 casos a considerar,
para 5, 32 casos, para 6, 64 casos, e assim por diante, de modo que
se uma fórmula depende de n variáveis, sua tabela verdade possuirá
2n linhas. Isso mostra que tabelas verdade não são muito úteis para
fórmulas que dependem de quatro ou mais variáveis. Nesse caso,
devemos empregar outras maneiras de estudar a fórmula.
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
p q r
F V V
F V F
F F V
F F F
↘ ↙
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
Por exemplo, considere a fórmula (p&q&r) → s, que depende
de quatro variáveis proposicionais p,q,r e s. Assim, sua tabela ver-
dade completa possuirá 16 linhas, uma para cada combinação de
verdadeiro e falso para p,q,r e s. Vejamos o resultado final:
50 introdução à lógica
p q r s (p&q&r) (p&q&r)→ s
V V V V V V
V V V F V F
V V F V F V
V V F F F V
V F V V F V
V F V F F V
V F F V F V
V F F F F V
F V V V F V
F V V F F V
F V F V F V
F V F F F V
F F V V F V
F F V F F V
F F F V F V
F F F F F V
Certamente, construir tabelas verdade como essas, de fórmulas
que dependem de quatro ou mais variáveis, é um processo cansativo
e sujeito a erros. Além disso, é um trabalho muitas vezes desnecessário,
pois pensando um pouco podemos chegar ao mesmo resultado com
bem menos esforço. No caso particular da fórmula (p&q&r) → s,
podemos raciocinar assim: uma implicação x → y é sempre ver-
dadeira, exceto quando x = V e y = F. Portanto, (p&q&r) → s é
falsa apenas quando x = (p&q&r) é verdadeira e y = s é falsa. Mas
é fácil ver que (p&q&r) só é verdadeira se p,q e r forem verdadeiras.
Logo a única ocorrência de F na última coluna da tabela verdade de
(p&q&r) → s acontece quando p = V, q = V, r = V e s = F, ou seja,
exatamente na segunda linha da tabela acima.
Exercício 16. Construa a tabela verdade das seguintes fórmulas:
(a) p&(q ∨ r) (b) (p&q) ∨ (p&r)
(c) p ∨ (q&r) (d) (p ∨ q)&(p ∨ r)
(e) (p ∨ q) ∨ r (f) p ∨ (q ∨ r)
(g) (p ∨ q)→ r (h) p ∨ (q→ r)
(i) ((∼(p ∨ q)) ∨ (r ∨ (∼q)))
Negação da Conjunção e da Disjunção
Existe uma relação interessante entre conjunção e disjunção. Con-
sidere por exemplo a proposição composta “Paulo passou em En-
genharia e Quitéria passou em Medicina”. Se fizermos p = “ Paulo
passou em Engenharia” e q = “Quitéria passou em Medicina”, temos
lógica símbolica 51
que a proposição acima pode ser expressa pela fórmula “p&q”. O
que acontece quando negamos a proposição “p&q”? Ora, a negação
de “p&q” é representada simbolicamente por “∼ (p&q)” e pode
ser lida como “Não é verdade que Paulo passou em Engenharia e
Quitéria em Medicina”. Mas se isso não é verdade, ou “Paulo não
passou em Engenharia” (∼p), ou “Quitéria não passou em Medicina”
(∼ q), ou as duas coisas, o que é representado simbolicamente por
“(∼p) ∨ (∼q)”. Ou seja, a negação de uma conjunção (∼(p&q)) tem o
mesmo significado da disjunção das negações ((∼p) ∨ (∼q)).
Nós chegamos a conclusão que as proposições “∼ (p&q)” e
“(∼ p) ∨ (∼ q)” possuem o mesmo significado através da análise
de um exemplo, mas é possível mostrar isso de uma forma mais geral
comparando as tabelas verdade das duas fórmulas. Na tabela 6, rep-
resentamos a tabela verdade de ∼(p&q). Note que ∼(p&q) assume o
valor falso apenas se p e q são verdadeiras.
p q p&q ∼(p&q)
V V V F
V F F V
F V F V
F F F V
Tabela 6: Tabela verdade da negação da
conjunção.
Na tabela verdade da fórmula ∼p∨ ∼q (tabela 7), vemos a mesma
configuração: ela assume o valor falso apenas se p e q forem ver-
dadeiras. Assim, apesar das fórmulas ∼ (p&q) e ∼ p∨ ∼ q serem
diferentes, elas possuem o mesmo significado, no sentido que elas
assumem os mesmos valores para cada escolha particular de ver-
dadeiro e falso para p e q.
p q ∼p ∼q ∼p∨ ∼q
V V F F F
V F F V V
F V V F V
F F V V V
Tabela 7: Tabela verdade da disjunção
das negações.
Em geral, dizemos que duas fórmulas P e Q que dependem das
mesmas variáveis p, q, r,. . . são fórmulas logicamente equiva-
lentes se elas assumem os mesmos valores para cada escolha das
variáveis proposicionais que a compõem. Esse fato pode ser facil-
mente comprovado pela comparação das tabelas verdade de P e Q.
Assim, acabamos de mostrar que “a negação da conjunção é logi-
camente equivalente a disjunção das negações”. É possível mostrar
também que a “a negação da disjunção é logicamente equivalente
a conjunção das negações”, basta comparar as duas tabelas 8 e 9 ao
lado. Vemos que ambas assumem o valor verdadeiro apenas quando
p e q sao falsas. Essas duas equivalências são conhecidas como Leis
de De Morgan, em homenagem ao lógico e matemático Augustus
De Morgan.
p q p ∨ q ∼(p ∨ q)
V V V F
V F V F
F V V F
F F F V
Tabela 8: Tabela verdade da negação da
disjunção.
p q ∼p ∼q ∼p& ∼q
V V F F F
V F F V F
F V V F F
F F V V V
Tabela 9: Tabela verdade da conjunção
das negações.
Exercício 17. Quando P e Q são fórmulas logicamente equivalentes,
escrevemos P ≡ Q. Mostre as seguintes equivalências:
(a) ∼(∼p) ≡ p
(b) p→ q ≡ (∼q)→ (∼p)
(c) p→ q ≡ (∼p) ∨ q
(d) ∼(p ∨ q ∨ r) ≡ (∼p)&(∼q)&(∼r)
(e) ∼(p&q&r) ≡ (∼p) ∨ (∼q) ∨ (∼r)
(f) p→ q ≡ (∼p) ∨ q
52 introdução à lógica
Tautologias e Contradições
Uma tautologia é uma fórmula que sempre é verdadeira, qualquer
que seja o valor atribuído as variáveis proposicionais que a compõem.
Por exemplo, a tabela verdade da fórmula ((p ∨ q)&(∼ p)) → q
que analisamos anteriormente possui apenas o valor verdadeiro em
sua última coluna, sendo portanto uma tautologia. Tautologias são
importantes por desempenharem na Lógica Simbólica um papel
semelhante ao dos argumentos válidos na Lógica Clássica. Ou seja,
cada tautologia é um modelo de raciocínio lógico. A fórmula ((p ∨
q)&(∼ p)) → q, por exemplo, representa o argumento conhecido
como silogismo disjuntivo:
(1) p ou q.
(2) não p.
(3) q.
Um exemplo de silogismo disjuntivo é “Na família de João, todos
são médicos ou advogados. João não é médico. Portanto João é advo-
gado”. Da mesma forma, as fórmulas de outros argumentos válidos
são sempre tautologias.
Uma contradição é uma fórmula que é sempre falsa. Portanto
se P é uma contradição, ∼ P é uma tautologia, e vice-versa. Note
que uma fórmula pode não ser nem uma tautologia nem uma con-
tradição, basta que ela assuma ao menos um valor verdadeiro e outro
falso.
Exercício 18. Decida se as fórmulas abaixo são tautologias ou con-
tradições.
(a) p&(∼(p ∨ q))
(b) (p ∨ q)&((∼p) ∨ q)&(p ∨ (∼q))&((∼p) ∨ (∼q))
(c) (p↔ (p& ∼p))↔∼p
(d) ((p→ q)→ r)→ ((r → p)→ (s→ p))
Predicados
Até aqui, estudamos a parte da Lógica Simbólica conhecida como
Lógica Proposicional, onde as proposições são tratadas inde-
pendentemente umas das outras. Assim, as proposições “Sócrates
é um filósofo” e “Platão é um filósofo” são proposições diferentes,
denotadas por variáveis proposicionais p e q, por exemplo. Mas clara-
mente essas duas proposições possuem algo em comum. Mais exata-
mente, elas possuem o mesmo predicado “é filósofo”. Um predi-
cado descreve uma propriedade de certos objetos ou relações entre
lógica símbolica 53
objetos. Por exemplo, as frases “Meu carro é azul”, “O céu é azul”
e “A capa do livro é azul” possuem o mesmo predicado “é azul”,
que descreve a propriedade de ser azul. Podemos fazer análises mais
completas das proposições quando identificamos seus predicados.
A parte da Lógica Simbólica que estende a Lógica Proposicional
levando em conta a identificação