AP1-CL1-2013 1-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
RESPOSTAS – AP1 – CÁLCULO 1 – 07/04/2013
Nome: Matŕıcula:
Pólo: Data:
Atenção!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matŕıcula, • O desenvolvimento das questões pode ser a lápis. No entanto,
Polo e Data; as respostas deverão estar necessariamente à caneta;
• É expressamente proibido o uso de calculadoras; • É expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsável;
Questão 1 [2 pontos]
Calcule os seguintes limites de funções:
(a) lim
x!3
x
3 � x2 � 6x
x
2 + x� 12 (b) limx!�1
(x2 + 4) sen (x+ 1)
x
3 � 3x2 � 4x
Solução.
(a) lim
x!3
x
3 � x2 � 6x
x
2 + x� 12 = limx!3
x(x+ 2)(x� 3)
(x+ 4)(x� 3) = limx!3
x(x+ 2)
x+ 4
=
15
7
(b) lim
x!�1
(x2 + 4) sen (x+ 1)
x
3 � 3x2 � 4x = limx!�1
(x2 + 4) sen (x+ 1)
x(x� 4)(x+ 1) = 1
Questão 2 [2 pontos]
Encontre as asśıntotas verticais e as asśıntotas horizontais do gráfico da função f dada abaixo,
fazendo um estudo completo dos limites infinito e no infinito:
f(x) =
p
3x2 + 1
2� x
Solução:
Temos que:
(i) lim
x!2+
p
3x2 + 1
2� x = �1, pois
p
3x2 + 1 !
p
13 e 2� x ! 0� quando x ! 2+;
(ii) lim
x!2�
p
3x2 + 1
2� x = +1, pois
p
3x2 + 1 !
p
13 e 2� x ! 0+ quando x ! 2�;
(iii) lim
x!+1
p
3x2 + 1
2� x = limx!+1
r
x
2
⇣
3 +
1
x
2
⌘
x
⇣2
x
� 1
⌘ = lim
x!+1
x
r
3 +
1
x
2
x
⇣2
x
� 1
⌘ = �
p
3;
CÁLCULO 1 AP1 2
(iv) lim
x!�1
p
x
2 + 1
2� x = limx!�1
r
x
2
⇣
3 +
1
x
2
⌘
x
⇣2
x
� 1
⌘ = lim
x!+1
(�x)
r
3 +
1
x
2
x
⇣2
x
� 1
⌘ =
p
3.
De (i) e (ii), concluimos que a reta x = 2 é a única asśıntota vertical do gráfico de f e, de (iii) e
(iv), concluimos que as retas y =
p
3 e y = �
p
3 são as asśıntotas horizontais do gráfico de f .
Questão 3 [2 pontos]
Seja f(x) =
8
>><
>>:
2x� 1, se x < �1
x
2 � x� 5
x+ 2
, se x � �1
.
(a) f é cont́ınua em x = �1? Justifique sua resposta.
(b) f é diferenciável em x = �1? Justifique sua resposta.
Solução.
(a) Para que a função f seja cont́ınua em x = �1, devemos ter:
lim
x!�1+
f(x) = lim
x!�1�
f(x) = f(�1).
Temos que:
(i) f(�1) = �3
(ii) lim
x!�1+
f(x) = lim
x!�1+
x
2 � x� 5
x+ 2
= �3
(iii) lim
x!�1�
f(x) = lim
x!1�
2x� 1 = �3
Como (i) = (ii) = (iii), temos que f é cont́ınua em x = �1.
(b) Para que f seja diferenciável em x = �1, devemos ter:
f
0
+(�1) = f 0�(�1) = f 0(�1).
Como f
0
+(1) = 0 e f
0
�(�1) = 2, segue que f não é diferenciável em x = �1.
Questão 4 [2 pontos]
Seja y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação
xy
2 � x2 + 2y = �9.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (�1, 4).
Solução.
Derivando implicitamente, obtemos:
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CÁLCULO 1 AP1 3
y
2 + 2xy
dy
dx
� 2x+ 2 dy
dx
= 0 ) dy
dx
=
2x� y2
2xy + 2
, se 2xy + 2 6= 0.
Assim,
f
0(�1) = dy
dx
���
x=�1
=
2(�1)� (4)2
2(�1)(4) + 2 =
�18
�6 = 3.
Logo, a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (�1, 4) é:
y = 4 + 3(x+ 1) = 3x+ 7.
Questão 5 [2 pontos]
Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções:
(a) f(x) =
⇣
x� 1
x
2 + 4
⌘3
(b) g(x) = (4 + e2x) (x+ sen x)
Solução.
(a) f 0(x) = 3
⇣
x� 1
x
2 + 4
⌘2 (1)(x2 + 4)� (x� 1)(2x)
(x2 + 4)2
�
= 3
⇣
x� 1
x
2 + 4
⌘2 �x2 + 2x+ 4
(x2 + 4)2
�
=
=
3 (x� 1)2 (�x2 + 2x+ 4)
(x2 + 4)4
=
�3x4 + 12x3 � 3x2 � 18x+ 12
x
4 + 2x2 + 16
(b) g0(x) = (2 e2x) (x+ sen x) + (4 + e2x) (1 + cos x) =
= 4(1 + cos x) + e2x (1 + 2x+ 2 sen x+ cos x)
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