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24/10/2022 15:42 UN 6 - Avaliação Objetiva: Revisão da tentativa https://avap.multivix.edu.br/mod/quiz/review.php?attempt=2135383&cmid=1264861 1/7 Minhas Disciplinas / Meus cursos / 420775 / Unidade 6 - Equações diferenciais de segunda ordem e aplicações / UN 6 - Avaliação Objetiva Cálculo III Iniciado em segunda, 24 out 2022, 15:38 Estado Finalizada Concluída em segunda, 24 out 2022, 15:41 Tempo empregado 3 minutos Avaliar 0,75 de um máximo de 0,75(100%) https://avap.multivix.edu.br/my/ https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=7 https://avap.multivix.edu.br/mod/quiz/view.php?id=1264861 https://avap.multivix.edu.br/my/ https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/user/index.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=1 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=2 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=3 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=4 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=5 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=6 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=7 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=8 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=9 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=10 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=12 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=13 https://avap.multivix.edu.br/hooks/portal/ https://avap.multivix.edu.br/mod/page/view.php?id=1252%2F%22%20target%3D%22_blank https://avap.multivix.edu.br/calendar/view.php/ https://avap.multivix.edu.br/local/staticpage/view.php?page=biblioteca https://avap.multivix.edu.br/ 24/10/2022 15:42 UN 6 - Avaliação Objetiva: Revisão da tentativa https://avap.multivix.edu.br/mod/quiz/review.php?attempt=2135383&cmid=1264861 2/7 Questão 1 Correto Atingiu 0,15 de 0,15 É sabido que as equações diferenciais de segunda ordem são de fundamental importância para qualquer estudo associado à mecânica dos �uidos, da condução do calor, do movimento ondulatório ou dos fenômenos eletromagnéticos, que são problemas essenciais no contexto do engenheiro. Nesse sentido, assinale a alternativa que caracteriza uma solução particular de y'’ – 3.y’ – 4.y = 2.sent. Escolha uma opção: Y(t) = .sent + 5.cost. Y(t) = 2.sent + .cost. Y(t) = .sent + 7.cost. Y(t) = 4.sent + 5.cost. Y(t) = .sent + .cost. Sua resposta está correta. Admitamos inicialmente que: Y(t) = A. sent Em que A é uma constante que devemos encontrar. Temos que, Y’ (t) = A.cost e Y” (t) = – A.sent Logo, substituindo na EDO dada, obtemos: – 5A.sent – 3A.cost = 2sent Ou seja, A = e A = 0 (Absurdo) Dessa maneira, concluímos que a hipótese feita inicialmente acerca da função Y(t) é inadequada, i.e, devemos efetuar uma outra escolha. Como no segundo membro da EDO dada aparece um termo “co-seno”, isso nos sugere a incluir um termo “co-seno” na função Y(t), ou seja, tomando agora: Y(t) = A. sent + B.cost Em que A e B são constantes que devemos encontrar. Logo, temos que: Y’ (t) = A.cost – B.sent e Y” (t) = – A.sent – B.cost A substituição de Y(t), Y’(t) e Y’’(t) na EDO dada, resulta em: (– A + 3B – 4A).sent + (– B – 3A – 4B).cost = 2sent E, então, devemos ter: – 5A + 3B = 2, E https://avap.multivix.edu.br/my/ https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/user/index.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=1 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=2 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=3 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=4 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=5 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=6 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=7 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=8 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=9 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=10 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=12 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=13 https://avap.multivix.edu.br/hooks/portal/ https://avap.multivix.edu.br/mod/page/view.php?id=1252%2F%22%20target%3D%22_blank https://avap.multivix.edu.br/calendar/view.php/ https://avap.multivix.edu.br/local/staticpage/view.php?page=biblioteca https://avap.multivix.edu.br/ 24/10/2022 15:42 UN 6 - Avaliação Objetiva: Revisão da tentativa https://avap.multivix.edu.br/mod/quiz/review.php?attempt=2135383&cmid=1264861 3/7 Questão 2 Correto Atingiu 0,15 de 0,15 – 3A – 5B = 0 Ou seja, A = e B = E, portanto, uma solução particular da E.D.O dada é: Y(t) = .sent + .cost É sabido que as equações lineares de segunda ordem têm importância decisiva no estudo das equações diferenciais, por duas razões principais: a primeira é a de as equações lineares terem uma rica estrutura teórica subjacente e vários métodos sistemáticos de solução, enquanto que a segunda é que boa parte dessa estrutura e desses métodos é compreensível em um nível matemático bastante elementar. Nesse sentido, assinale a alternativa que caracteriza a solução geral da EDO de segunda ordem com coe�cientes constantes y” + 5y’+ 6y = 0. Escolha uma opção: y(t) = c .e + c .e . y(t) = c .e + c .e . y(t) = c .e + c .e . y(t) = c .e + c .e . y(t) = c .e + c .e . 1 -2t 2 -3t 1 4t 2 3t 1 -3t 2 -5 t 1 5t 2 2t 1 3t 2 6t Sua resposta está correta. Nesse caso, temos que: a = 1 b = 5 c = 6 Logo, admitindo que y = e seja a solução da equação com r a raiz da equação característica, r + 5.r + 6 = 0 Segue que, r = – 2 e r = – 3 Portanto, a solução geral da equação acima é dada por: y(t) = c.e + c.e https://avap.multivix.edu.br/my/ https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/user/index.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=1 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=2 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=3 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=4 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=5 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=6 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=7 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=8 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=9 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=10 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=12 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=13 https://avap.multivix.edu.br/hooks/portal/ https://avap.multivix.edu.br/mod/page/view.php?id=1252%2F%22%20target%3D%22_blank https://avap.multivix.edu.br/calendar/view.php/ https://avap.multivix.edu.br/local/staticpage/view.php?page=biblioteca https://avap.multivix.edu.br/ 24/10/2022 15:42 UN 6 - Avaliação Objetiva: Revisão da tentativa https://avap.multivix.edu.br/mod/quiz/review.php?attempt=2135383&cmid=1264861 4/7 Questão 3 Correto Atingiu 0,15 de 0,15 É sabido que as equações diferenciais de segunda ordem lineares são amplamente investigadas por serem consideradas essenciais para qualquer estudo sério das áreas clássicas da Matemática e da Física e, por conseguinte, em diversos contextos da Engenharia como um todo. Assim sendo, encontre a solução do PVI dado por: y” + 5y’+ 6y = 0, y(0) = 1, y’(0) = 2. Escolha uma opção: y(t) = 5.e – 4.e . y(t) = 2.e – 4.e. y(t) = 5.e – 3.e. y(t) = 5.e + 4.e. y(t) = 5.e + 4.e . -2t -3t -2t -3tSua resposta está correta. Nesse caso, a partir da solução geral da EDO dada por: y(t) = c.e + c.e Logo, de acordo com as condições iniciais, temos que: y(0) = 1 implica que: c.e + c.e= 1, ou seja, c.e + c.e= 1, ou ainda, encontramos a equação: c + c= 1 Agora, notemos que y’(t) = c.(– 2).e + c.(– 3)e = – 2 c.e – 3.c.e. Dessa forma, substituindo y’(0) = 2, vamos obter: y’(0) = 2 – 2 c. e – 3.c. e= 2 – 2 c– 3.c= 2 Portanto, temos um sistema linear 2 x 2 com as seguintes equações: c + c= 1 – 2 c– 3.c= 2 Cuja solução é dada por: c = 5 c= – 4 Então, a solução do PVI é dada por: y(t) = 5.e – 4.e https://avap.multivix.edu.br/my/ https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/user/index.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=1 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=2 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=3 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=4 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=5 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=6 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=7 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=8 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=9 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=10 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=12 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=13 https://avap.multivix.edu.br/hooks/portal/ https://avap.multivix.edu.br/mod/page/view.php?id=1252%2F%22%20target%3D%22_blank https://avap.multivix.edu.br/calendar/view.php/ https://avap.multivix.edu.br/local/staticpage/view.php?page=biblioteca https://avap.multivix.edu.br/ 24/10/2022 15:42 UN 6 - Avaliação Objetiva: Revisão da tentativa https://avap.multivix.edu.br/mod/quiz/review.php?attempt=2135383&cmid=1264861 5/7 Questão 4 Correto Atingiu 0,15 de 0,15 Sabe-se que o aparato teórico da Engenharia em grande parte vem da linguagem e da análise Matemática, seja em contextos físicos ou não. Por isso, o engenheiro deve ter um bom embasamento dos cálculos diferenciais e integrais, equações diferenciais, álgebra linear, dentre outros recursos matemáticos para resolver a maioria dos problemas no âmbito da Engenharia. Ilustrando, na parte de análise estrutural, as equações diferenciais são de fundamental importância, mais especi�camente falando na parte de de�exão de vigas. Nesse sentido, considerando que, se o wronskiano entre u e v for W(u,v) = 2.e e se u(x) = e, podemos a�rmar que a função v(x) é dada por: Escolha uma opção: v(x) = 2 e. v(x) = 3 e. v(x) = 7 e. v(x) = 5 e. v(x) = 4 e. Sua resposta está correta. Nesse caso, temos que: W(u, v) = = = 2.e Ou seja, e.v’(x) – e.v(x) = 2.e Dividindo a equação por e, segue que: v’(x) – v(x) = 2.e Ou seja, temos uma equação diferencial de primeira ordem, que se encontra no formato para resolvermos pelo método dos fatores integrantes, discutido anteriormente, dessa forma, devemos determinar o fator integrante (x) pela expressão: (x) = exp E, como p(x) = – 1, segue que: (x) = exp = exp= e = e Agora, pegamos a equação e multiplicamos pelo fator integrante, obtendo: ev’(x) – ev(x) = 2.e.e https://avap.multivix.edu.br/my/ https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/user/index.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=1 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=2 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=3 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=4 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=5 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=6 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=7 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=8 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=9 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=10 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=12 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=13 https://avap.multivix.edu.br/hooks/portal/ https://avap.multivix.edu.br/mod/page/view.php?id=1252%2F%22%20target%3D%22_blank https://avap.multivix.edu.br/calendar/view.php/ https://avap.multivix.edu.br/local/staticpage/view.php?page=biblioteca https://avap.multivix.edu.br/ 24/10/2022 15:42 UN 6 - Avaliação Objetiva: Revisão da tentativa https://avap.multivix.edu.br/mod/quiz/review.php?attempt=2135383&cmid=1264861 6/7 Questão 5 Correto Atingiu 0,15 de 0,15 Ou seja, [v(x). e] ’ = 2.e Agora, integrando, vem que: [[v(x). e]’dx = 2.e.dx e.v(x) = 2 e+ C Ou seja, temos que v(x) é dada por: v(x) = 2.e+ C. e Portanto, tomando a constante C = 0, encontramos a função v(x) mais simples possível, que é: v(x) = 2 e Da literatura foi visto que uma das razões primordiais da utilidade do estudo das equações diferenciais de segunda ordem reside exatamente no fato de que elas são modelos matemáticos de diversos processos físicos importantes que são fundamentais no contexto da Engenharia. Especi�camente falando, duas áreas signi�cativas de aplicação são a das oscilações mecânicas e a das oscilações elétricas. Sendo mais peculiar ainda, por exemplo, o movimento de um corpo rígido ligado a uma mola, as oscilações de um eixo acoplado a um volante, a corrente elétrica em um circuito simples em séries e muitos outros problemas físicos e da engenharia. Dessa forma, calcule o wronskiano entre os seguintes pares de funções y = t², y= t: e assinale a alternativa que apresenta o resultado correto. Escolha uma opção: – 2t². – 4t². –3 t². – 5t². – t². Sua resposta está correta. Nesse caso, temos que, considerando y = t² e y= t, vem que o wrosnkiano que as envolve é dado pelo determinante: W(y, y) = = = t² – 2.t²= – t² ◄ Conteúdo Online Seguir para https://avap.multivix.edu.br/mod/scorm/view.php?id=1264860&forceview=1 https://avap.multivix.edu.br/my/ https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/user/index.php?id=19144 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=1 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=2 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=3 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=4 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=5 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=6 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=7 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=8 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=9 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=10 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=12 https://avap.multivix.edu.br/course/view.php?id=19144§ion=13 https://avap.multivix.edu.br/hooks/portal/ https://avap.multivix.edu.br/mod/page/view.php?id=1252%2F%22%20target%3D%22_blank https://avap.multivix.edu.br/calendar/view.php/ https://avap.multivix.edu.br/local/staticpage/view.php?page=biblioteca https://avap.multivix.edu.br/ 24/10/2022 15:42 UN 6 - Avaliação Objetiva: Revisão da tentativa https://avap.multivix.edu.br/mod/quiz/review.php?attempt=2135383&cmid=1264861 7/7 Seguir para... 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